Качественное исследование дифференциальных уравнений синхронных электрических машин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

005053591

Зарецкий Александр Михайлович

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

1.8 ОКТ 2012

005053591

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЧУРИН Юрий Васильевич (Санкт-Петербургский государственный университет, профессор)

доктор физико-математических наук, профессор БЕЛЯЕВ Александр Константинович (Институт проблем машиноведения РАН, заместитель директора)

Ведущая организация: Институт прикладной физики Российской

Академии наук

Защита состоится 7 ноября 2012 г. в _// часов минут на заседании дисссертационного совета Д212.232.49 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 14 линия В.О., д. 29, математико-механический факультет, ауд. 22.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " ^ " /О 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

АЛ. Архипова

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию устойчивости решений актуальных для современной техники дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством, описывающих динамику синхронных электрических машин.

Первые попытки исследовать синхронные электрические машины с точки зрения теории дифференциальных уравнений были предприняты известным итальянским математиком Ф. Трикоми. Он изучил простейшее дифференциальное уравнение синхронной машины — уравнение второго порядка, которое совпадает с уравнением математического маятника под действием постоянной силы — и провел глобальное качественное исследование этого уравнения, доказал существование нетривиальной глобальной бифуркации и получил оценки бифуркационных значений параметров.

В настоящее время широкое распространение получили инженерные методы исследования устойчивости синхронных машин, основанные на математической теории локальной устойчивости. Однако многие прикладные задачи требуют не только установить факт локальной устойчивости, но и получить оценки области притяжения устойчивого состояния равновесия. Кроме того, необходимо определить условия, при которых решение не притянется к состоянию равновесия. Среди таких задач следует отметить задачу о предельной нагрузке и задачу определения условий существования круговых решений и циклов второго рода. Для решения задачи о предельной нагрузке в работе используется метод нелокального сведения [Леонов, 1984]. Идея этого метода заключается в том, что при построении функции Ляпунова используется информация о поведении траекторий специальной двумерной системы маятникого типа. На основе модифицированного метода нелокального сведения получен критерий существования круговых решений и циклов второго рода.

Все это позволяет повысить устойчивость работы синхронных электрических машин, что свидетельствует об актуальности работы.

Цель работы. Целью работы является вывод и исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений синхронных электрических машин с различными соединениями полюсов в системе возбуждения, развитие и модификация метода нелокального сведения, определение условий существования круговых решений и циклов второго рода для полученных систем, а также определение допустимой нагрузки на синхронные электрические машины.

Методы исследования. В работе применялись методы исследования устойчивости автономных систем: теорема устойчивости по первому приближению, прямой метод Ляпунова, метод нелокального сведения для исследования динамики автономных систем с угловыми координатами.

Результаты, выносимые на защиту.

• Выведены дифференциальные уравнения четырехполюсных синхронных электрических машин с короткозамкнутой демпферной обмоткой и при различных способах соединения полюсов обмотки возбуждения.

• Разработана модификация метода нелокального сведения для полученных дифференциальных уравнений синхронных электрических машин и исследована устойчивость решений этих уравнений.

• Получен критерий существования круговых решений и циклов второго рода для дифференциальных уравнений синхронных электрических машин.

Достоверность результатов. Все результаты, выносимые на защиту, строго математически доказаны.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут использоваться для анализа устойчивости конкретных моделей синхронных электрических машин.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (конференция Пятницкого) (Россия, Москва -2010, 2012), International Workshop "Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology" (Финляндия, Ювяскюля - 2010), 7th European Nonlinear Dynamics Conference (ENOC) (Италия, Рим - 2011), ТРИЗфест-2011 (Россия, Санкт-Петербург - 2011), международная конференция «VII Окуневские чтения» (Россия, Санкт-Петербург - 2011), 7th Vienna Conference on Mathematical Modelling (MATHMOD) (Австрия, Вена - 2012) и на семинарах кафедры прикладной кибернетики (2010 - 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 8 печатных работах, в том числе в 2 статьях [1, 2], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах [1, 2, 5] соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, все результаты получены диссертантом самостоятельно.

В работах [3] диссертанту принадлежат вывод дифференциальных уравнений синхронных электрических машин в двигательном режиме и исследование их устойчивости. В работе [6] диссертант разработал модификацию метода нелокального сведения для системы дифференциальных уравнений, описывающей две синхронные машины. В [7] диссертант вывел уравнения синхронных электрические машины и разработал модифи-

кацию метода нелокального сведения для этих уравнений. В [8] диссертантом выведены дифференциальные уравнения четырехполюсных синхронных электрических машин.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, двух приложений, списка литературы, включающего 72 наименований, изложена на 121 страницах машинописного текста и содержит 18 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В работе исследуется устойчивость решений дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством, описывающих динамику синхронных электрических машин. В первой главе на основе электромеханических моделей, выводятся дифференциальные уравнения синхронных электрических машин при различных соединениях полюсов в обмотке возбуждения. Пусть г - ток в обмотке возбуждения; - токи в стержнях короткозамкнутой демпферной обмотки; в — угол между радиус-вектором к стержню с током гп и вектором магнитной индукции В\ Яг, Ь\-активное и индуктивное сопротивление обмотки возбуждения; ~ ак-

тивное и индуктивное сопротивление демпферной обмотки; е - постоянное напряжение, подведённое к обмотке возбуждения; т - коэффициент сильного регулирования; п\ — количество витков в обмотке возбуждения; п2 - количество стержней в короткозамкнутой обмотке; £>1 - площадь витка обмотки возбуждения; ¿>2 - площадь диаметрального сечения короткозамкнутой обмотки; J - момент инерции ротора; В - магнитная индукция; М - момент внешних сил (момент нагрузки).

а б

Рис. 1. Электромеханические модели четырехполюсных синхронных электрических машин при последовательном соединении в системе возбуждения: а - соединение первого типа; б - соединение второго типа

Первой рассматривается электромеханическая модель синхронной электрической машины при последовательном соединении полюсов обмот-

ки возбуждения первого типа (рис. 1-а), т.е. когда все полюса обмотки возбуждения подключены последовательно друг к другу и к одному источнику постоянного напряжения. В предположение о равномерно вращающемся магнитном поле динамика машины описывается динамикой ротора. Для вывода дифференциальных уравнений, используются классические законы механики и электротехники: первый и второй законы Кирхгофа для электрической цепи, закон электромагнитной индукции и уравнение моментов сил. В итоге получена следующая математическая модель

"2

J9 = тп9 + mSiBy/2 sin(0 + f )г + ^ £ ik cos(0 + 2г*) _ м,

к=1 2

Lxi + Rii = —AniS\By/2sm{9 + \ )6 + e,

Liik + Riik = eos(9 + к = 1,..., n¡,.

Используя невырожденное преобразование координат

s = é, x = i +

L2 . . , 7Г 27г/г L2 ^ . 7г 2-л-А;.

2/ =--fttí / **sm(0 ——--), z =--—— > ik cos(0----),

n2S2B ^ K 4 n2" n2S2B f^ v 4 n2h

m

Zk = - У2 ik+j + Ctg(—)ik, к = 2,..., (n2 - 1). i-™ n2

получим систему

0 = s,

5 = —/¿s + ax sin 9 + by — <p(9) + 7, á: = — cix — dsm9s,

У = ~c2y - zs- s, ^ '

z = -c2z + ys,

% = -c2zk к = 2,..., [n2 — 1),

где

,, _ m n _ 2y/2n,SB 1 _ п2(101В)2 _ Д,

H—j, a— j , o — 2JL2 , Ci — jJ-,

C2 = t. 7=f, 7= <p(9)=lmaxSm9.

В системе (1) переменные x, y, z, zk определяют электрические величины в обмотках ротора. Заметим, что в системе (1) уравнения с переменными zk легко интегрируются, следовательно, достаточно рассматривать систему

9 = s,

s = —/ís + ax sin 9 + by — tp(6) + 7, x = — C\X — dsinfls, (2)

У = -С2У - zs- s, Z = -C2Z + ys.

Аналогично, система уравнений, описывающая электромеханическую модель синхронной электрической машины при последовательном соединений полюсов обмотки возбуждения второго типа, изображенную на рисунке 1-6, приведена к виду (2). Последовательное соединение второго типа означает, что два последовательно идущих полюса обмотки возбуждения подключены последовательно к одному источнику постоянного напряжения, а два других — к другому.

Далее рассматриваются электромеханические модели синхронных двигателей при параллельных соединениях в системе возбуждения первого и второго типов (рис. 2).

б

Рис. 2. Электромеханические модели четырехполюсных синхронных электрических машин при параллельном соединении в системе возбуждения: а - соединение первого типа; б - соединение второго типа

Вначале рассмотрена электромеханическая модель, изображенная на рисунке рис. 2-а. Она описывает четырехполюсную модель синхронной электрической машины при параллельном соединении полюсов в обмотке возбуждения первого типа, т.е. когда два противоположных полюса обмотки возбуждения подключены к одному источнику постоянного напряжения, а оставшиеся два — к другому. Математическая модель, полученная

в работе:

JÓ = тв + nxSiB(ix sin в + iy sin в) + ^ £ h eos(0 + —) - M,

k=i "2

Liix + R\ix = —4niSiB9s'm.e + ei,

L\iy + Riiy = —An\S\Bd cosO + e2,

L2ik + R2ik = -M. eos (0 + k= 1,..., n2.

Используя невырожденное преобразование координат = - [{i,—) eossin(0-J)], 2/i = - [(¿x-^) sin(0-

¿2 ■■ (d ж lixk L2 . .. 7Г 27Г/С.

2:2 = g P ¿^lk smie-J--). 2/2 =--> г* cos(0----),

ra2S2¿? ^ 4 n2 TI2S2B ^ 4 n2

m

zk = - У2 ik+j + Ctg(—fc = 2,..., (n2 - 1), Tl2

j=—m

получим систему

é = s,

s = -US + 01У1 + a2y2 - v(0) + 7> Xi = -C1X1 + yis,

2/1 = -C12/1 - Zis - S, (3)

x2 = -C2X2 + 2/2 s, 2/2 = -c2y2 - X2s - s, %=-c2zk, к = 2,..., (n2 — 1),

где

^-J' ai - JL\ ' 2 - 2JL2 ' C1 - IT' C2-zf. T=T

Imax = 2niSBjíif+e\ = aresin .e' 3, y>(0) = 7maI sin(0 + tfo)-

•у/ e!+e2

Заметим, что в системе (3), также как и в системе (1), уравнения с переменными zk интегрируются независимо от остальной системы. Следовательно, изучение системы (3) сводится к изучению системы

в = s,s = -fj,s + aiyi + а2у2 - р(в) + 7, Xi = С\Х\ + yiS,

2/1 = -С12/1 - xis - s, (4)

x2 = -c2x2 + y2s, 2/2 = -С2У2 - x2s - s.

Аналогичная система получена и в случае электромеханической модели, изображенной на рисунке 2-6, которая описывает четырехполюсные синхронные электрические машины при параллельном соединении полюсов в обмотке возбуждения второго типа, т.е. когда все полюса обмотки возбуждения подключены к разным источникам постоянного напряжения.

В конце первой главы, на основе теоремы о первом приближении, проведен статический анализ устойчивости систем дифференциальных уравнений (2) и (4), описывающих четырехполюсные синхронные машины с рассмотренными соединениями в системе возбуждения.

Все выведенные в этой главе уравнения получены на основе общего подхода, связанного с введением системы координат, жестко связанной с вращающимся магнитным полем. Такое рассмотрение позволяет исследовать динамику синхронных электрических машин с точки зрения вращения ротора, что весьма наглядно и упрощает вывод уравнений.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости в "большом" дифференциальных уравнений, полученных в первой главе. Вначале исследуются дифференциальные уравнения четырехполюсных синхронных машин, работающих на холостом ходу. Это означает, что момент внешних сил равен нулю, т.е. параметр 7 = 0. Системы дифференциальных уравнений (2) и (4) - системы с цилиндрическим фазовым пространством.

Теорема 1

Если 7 = 0, то любое решение систем (2) и стремится к одному из состояний равновесия.

Таким образом, при отсутствии нагрузки системы дифференциальных уравнений (2) и (4) глобально устойчивы. Следовательно, при любых начальных данных (при любом положении ротора относительно статора, начальных токах в обмотках ротора и т.д.) системы притянутся к соответствующим состояниям равновесия (машина втянется в синхронный режим работы). Доказательство теоремы 1 основано на использовании функции Ляпунова вида:

в

У(в, з, х, у, г) = + г2 + Ь-у2 + + у - 7]ЙС.

о

для системы (2) и

в

У(в, з, хи уих2, У2) = -з2 + х\ + Цу\ + Цх\ + Цу\ + У [<у9(С) - *

о

для системы (4).

Следующий параграф второй главы посвящен исследованию устойчивости "в большом" системы (2) в случае 7^0, что соответствует работе машины под нагрузкой. Одной из основных задач, возникающих при исследовании синхронных машин, является задача о предельной нагрузке на машину.

Рассмотрим задачу о предельной нагрузки для системы (2). Предположим, что синхронному режиму работы машины без нагрузки соответствует стационарное решение системы (2) в случае 7 = 0\ в = s = х = у = z — 0. Далее в некоторый момент времени происходит мгновенный наброс нагрузки 7 > 0. Новое устойчивое состояние равновесия, в которое должна перейти система, имеет вид в = во, s = x = y = z = 0. Здесь во удовлетворяет условиям

<р(в0) = 0, Л)>0, 0ое[О,2тг).

Математическая постановка задачи о предельной нагрузке такова: найти условия, при которых решение 6,s,x,y,z с начальными данными 0(0) = s(0) = i(0) = y(0)z(0) = 0 находилось бы в области притяжения стационарного решения в = в0, s = x = y = z = 0, т.е. должны быть выполнены соотношения

lim Bit) = в0, lim s(t) = 0, lim x{t) = 0,

i-H-oo V ' t-H-oo V ' t-i+oo

(5)

lim y(t) = 0, lim z(t) = 0,

i-H-oo t-»+oo

Следующая теорема является расширением результатов Ф. Трикоми и его последователей, полученных для двумерной системы маятникового типа.

Теорема 2 Пусть существует такое число Л > 0, что выполнены следующие условия

1.

Л < min{/i,ci,сг}.

2. Дифференциальное уравнение

Ъ + 2у/\(ц - Л)<7 + <р(<т) = 0.

с начальными данными ст(0) = в0, ст(0) = 0, удовлетворяет условию

cr(t) < ви Vi > 0.

Тогда решение системы (2) с начальными данными 6 = x = y = z = 0 удовлетворяет соотношениям (5).

Доказательство теоремы основывается на использовании метода нелокального сведения, основой которого является специальная функция Ляпунова, содержащая информацию о решениях уравнения маятникового типа специального вида:

а + А(/х - Л)сг + <р(а) = 0. (6)

Теорема 2 позволяет свести анализ системы дифференциальных уравнений пятого порядка (2) к анализу дифференциального уравнения второго порядка (6). Уравнение (6) в общем виде подробно изучено в работах Ф. Трикоми, Л. Америо, К. Бема, Л.Н. Белюстиной, Ю.Н. Бакаева и других.

Следствие 1 Пусть

о

J <р(в)ав < о,

где

<р(в) = Птах 6 - 7,

и в\ удовлетворяет условиям

¥>(00= 0, ¥>'(01) < 0, в\ € [0, 2тг),

тогда решение системы (2) с начальными данными в=в=х=у=г=0 удовлетворяет соотношениям (5).

Рассмотрим задачу о предельной нагрузке для системы (4) уравнений синхронной машины при параллельном соединении в системе возбуждения. Математическая постановка задачи о предельной нагрузке в этом случае будет: найти условия, при которых для решения 9, я, хи уи х2, у2 системы (4) с начальными данными 0(0) = г?о,в(0) = ^(О) = г/:(0) = х2(0) = 2/2(0) = 0 выполнены соотношения

Нш 0(г)=0о, Нт з(£) = 0, Нт хМ) = 0,

^+оо (—Ц-оо 4 ' (-++оо ^ '

Нт 2/1 (£) = 0, Нт х2(Ь) = 0, Нт у2Ш = 0. £-»+00 ¿-++00 (-»+00

(7)

Следующая теорема позволяет решить данную задачу. Теорема 3 Пусть существует такое число А > 0, что выполнены следующие условия

А < тт{д,сьс2}.

2. Дифференциальное уравнение

ä + 2y/\{^-X)a + ip{a)=0. (8)

с начальными данными ст(0) = 0О> ¿""(О) = О, удовлетворяет условию

a(t) < въ Vi > О.

Тогда решение системы (4) с начальными данными 9 = i9q, s = х\ = у\ = х2 = У2 = О удовлетворяет соотношениям (7).

Также как и в теореме 2 при доказательстве теоремы используется метод нелокального сведения и уравнение маятникового типа (6) специального вида.

Следствие 2 Пусть

о

J ip(6)dd < О,

где

<р(0) = Птах sin(0 + 1?0) - 7, и 9i удовлетворяет условиям

¥>(0i)=O, <£>'(0i) < 0, 0i€[O,2TT),

тогда решение системы (4) с начальными данными в = $0> s = х\ = у\ — Х2 — У2 = 0 удовлетворяет соотношениям (7).

Следствия 3 и 4 являются обоснованием широко применяемого в инженерной практике метода площадей, который был обоснован для ряда моделей в работах A.A. Янко-Триницкого. Обоснование метода площадей основывается на использовании функций Ляпунова вида: квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности. Однако теоремы 3 и 4 позволяют улучшить оценки предельной нагрузки на синхронную машину, полученные с помощью метода площадей.

Следующий параграф посвящен исследованию условий, при которых дифференциальные уравнения синхронных электрических машин имеют круговые решения и циклы второго рода.

Опеределение 1 Будем говорить, что решение u(t) = (0(i),£(i)) системы дифференциальных уравнений (2) и (4) является круговым, если существуют такие числа е > О ит, что при всех i > т имеет место неравенство

№)\>е.

(/ /1 i 1 Г-! f !Ч f //

1 I h- I ! f

A î-aimt J / f f / f f f f' f/

\МЛЛМЛДЛ7

mintci.cj;

Рис. 3. Сравнение оценок допустимой нагрузки на синхронную машину: 1 — метод площадей; 2 — метод нелокального сведения.

Опеределение 2 Решение u(t) системы дифференциальных уравнений (2) и (4) будем называть циклом второго рода, если существуют число т > 0 и целое число j ф 0, такие, что имеют место равенства

0(г) - 0(0) = 27rj, £(т)=£(0).

Круговые решения и циклы второго рода соответствуют таким режимам работы, при которых ротор синхронной машины совершает провороты на сколь угодно большой угол в. Таким образом, наличие таких решений исключает глобальную устойчивость систем (2) и (4). Следующая теорема определяет условия существования круговых решений и циклов второго рада для системы дифференциальных уравнений (2).

Теорема 4 Пусть существует такое число X > 0, что выполнены следующие условия

1. А < min{ci,c2} и выполнено

Оa + d)2 (6+1)2

2. решение F(p) уравнения

dF

F-^ = -\F-<p(a), (10)

с начальными данными F(90) = 0, удовлетворяет условию inf F(cr) > 0, Va>a0,

где а0 > до-

Тогда для любого числа е > 0 существует круговое решение в, s, х, у, z, системы (2), удовлетворяющее условиям 0(0) = во и

з(0) > 0, |s(0)| + |х(0)| + |у(0)| + |z(0)| < е.

Если, кроме этого, ц> 0, то система (2) имеет цикл второго рода.

Доказательство теоремы 4 основано на использовании модифицированного метод нелокального сведения и уравнения маятникового типа специального вида, эквивалентного уравнению (10)

а + 2Л(т + ір{а) = 0. (11)

Введём в рассмотрение следующие величины

(12)

Рі = / 7 --, Р2 = —Г~—-'

Рз - ^(Ь2-!2) +Т- 2

Следствие 3 Пусть хотя бы для одного из чисел рі выполнены следующие условия

1.

2.

Рі < тіп{сі,с2} (13)

(а + сі)2 (6 + 1)2

> 0; (14)

Рі 4(сі — рі) 4 (са-рі)

Тогда для любого числа є > 0 существует круговое решение в, э, х, у, г, системы (2), удовлетворяющее условиям 0(0) — во и

Ш\ + \х(0)\ + \у(0)\ + Ш\<е.

Аналогичная теорема и следствие получены для системы (4). Теорема 5 Пусть существует такое число Л > 0, что выполнены следующие условия

1. Л < тіп{оі,С2} и выполнено

(аг + I)2 (Ра + I)2

ц

4(С1 - А) 4(с2 - Л)

> 0; (15)

2. решение F(cr) уравнения

аа

с начальными данными Р(в0) = 0, удовлетворяет условию Ы F(o■) >0, Усг > сг0,

где сто > во-

Тогда для любого числа є > 0 существует круговое решение в, в, Х\, у\, Х2, У2, системы (4), удовлетворяющее условиям 0(0) = 90 и

з(0) > 0, |а(0)| + \х\(0)| + |уі(0)| + |а;2(0)| + Ь(0)| < є.

Если, кроме этого, ц > О, то система (4) имеет цикл второго рода.

Следствие 4 Пусть хотя бы для одного из чисел рі выполнены следующие условия

1.

2.

Pi < mm{ci,c2} (16)

(«! + l)2 ("2 + l)2 4(ci — pi) 4(c2 — Pi) (17)

Тогда для любого числа е > 0 существует круговое решение в, s, х\, у\, Х2, У2, системы (4), удовлетворяющее условиям 9(0) = во и

|*(0)| + Ы0)| + |ух(0)| + |х2(0)| + |î/2(0)| < е.

В третьей главе проводится численный анализ результатов, полученных в предыдущих главах, для систем дифференциальных уравнений (2) и (4), которые описывают динамику четырехполюсных синхронных электрических машин при последовательном и параллельном соединениях полюсов обмотки возбуждения.

7таг

' ' ' ' тіп{,:,,'с2]

Рис. 4. А — область существования круговых решений и циклов второго рода; В — область допустимых нагрузок на синхронную электрическую машину; С — область аналитически не изучена.

В работе рассмотрены различные соединения полюсов обмотки возбуждения, которые влияют на устойчивость системы. При одинаковых исходных параметрах системы имеют различные максимальные значения момента внешней нагрузки. Максимальное значение этого параметра имеет

модель, которая описывает синхронную электрическую машину при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения. Следовательно, эти синхронные электрические машины с последовательным соединением полюсов обмотки возбуждения являются наиболее устойчивыми.

Публикации по теме диссертации.

1. Зарецкий A.M., Леонов Г.А. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений синхронных машин // Доклады Академии наук. 2012. Сер. Математика. Т.445, вып.4. С.386-389.

2. Зарецкий A.M., Леонов Г.А. Глобальная устойчивость и колебания динамических систем, описывающих синхронные электрические машины // Вестник С.-Петерб. ун-та. 2012. Сер.1, вып.4. С.18-27.

3. Leonov G.A., Solovyeva Е.Р., Zaretskiy A.M., Selcdzhi S.M. Stability and oscillations of electrical machines of alternating current / Proceedings of Vienna conference of Mathematical modelling (Vienna, Austria). 2012. P.l-6.

4. Зарецкий A.M. Устойчивость дифференциальных уравнений синхронных машин / Труды XII международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, Россия). 2012. С.142.

5. Леонов Г.А., Зарецкий A.M. Циклы дифференциальных уравнений синхронных электрических машин // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2012. No 4 С.1-11.

6. Leonov G.A., Solov'eva Е.Р., Kondrat'eva N.V., Zaretskiy A.M. Limit load estimation of two connected synchronous machines / Abstracts of 7th European Nonlinear Dynamics Conference (Rome, Italy). 2011. P.50.

7. Leonov G.A., Solovyeva E.P., Zaretskiy A.M. Estimation of limit load for synchronous machines / Abstracts of the International Workshop "Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology" (Jyvaskyla,, Finland). 2010. P.4.

8. Зарецкий A.M., Кондратьева H.B., Соловьева Е.П. Математические модели явнополюсных электрических машин / Труды XI международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, Россия). 2010. С.134-135.

Подписано к печати 24.09.12. Формат 60x84 Vis. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5527.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043. 428-6919

Введение

1 Модели

1.1 Устройство синхронных электрических машин.

1.2 Предположения.

1.3 Новые математически модели четырехполюсных синхронных электрических машин.

1.3.1 Модель четырехполюсной синхронной машины при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения первого типа.

1.3.2 Модель четырехполюсной синхронной машины при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа.

1.3.3 Модель четырехполюсной синхронной машины при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения первого типа.

1.3.4 Модель четырехполюсной синхронной машины при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа.

1.4 Анализ статической устойчивости синхронных электрических машин.

2 Нелокальный анализ дифференциальных уравнений синхронных машин

2.1 Цилиндрическое фазовое пространство.

2.2 Глобальная устойчивость дифференциальных уравнений синхронной электрических машины при отсутствии нагрузки

2.3 Задача о предельной нагрузке

2.4 Дихотомичность уравнений синхронных электрических машин

2.5 Метод нелокального сведения для дифференциальных уравнений синхронных электрических машин.

2.6 Круговые решения и циклы второго рода.

3 Численный анализ

Выводы

При эксплуатации синхронных электрических машин часто возникают ситуации, связанные с малыми и большими возмущениями рабочих режимов, например, внезапное изменение момента нагрузки на валу машины. Большие возмущения могут привести к остановке машины или даже к ее поломке. Поэтому исследование устойчивости синхронных электрических машин является одной из важнейших задач для проектирования и эксплуатации этих машин.

Отличительной особенностью синхронных электрических машин является постоянная скорость вращения ротора. Она совпадает со скоростью вращения магнитного поля, генерируемого статором. Кроме того скорость вращения ротора не завит от нагрузки. Это позволяет использовать синхронные электрические машины там где необходимо поддерживать постоянную скорость вращения ротора.

Синхронные электрические машин используются как в качестве генераторов для выработки электрической энергии, так и в качестве двигателей. Как двигатели синхронные электрические машины применяются в областях где необходимо работать с постоянной скоростью вращения. Двигатели большой мощности применяют на металлургических заводах, в шахтах, в промышленных мельницах и т.д. Кроме того специальные синхронные микродвигатели используются в автоматике, звукозаписи, в самопишущих приборах. Часто синхронные машины применяются как синхронные компенсаторы, которые используются для увеличения коэффициента мощности электромеханических установок, компенсируя индуктивную мощность. В диссертации рассмотрены синхронные электрические машины в двигательном режиме.

История электрических машин начинается с изобретения М. Фараде-ем электрического двигателя в 1821 г. Однако только в 1888 г. Н. Теслой и Г. Феррарисом были предложены электрические машины, которые имели принципиально новую схему статоров. Статоры этих машин позволяли генерировать вращающееся магнитное поле, создаваемое переменным током, проходящим через их неподвижные обмотки. Этот эффект до сих пор является основой конструкции электрических машин переменного тока, в частности, синхронных генераторов и двигателей.

Сильное влияние на развитие теории электрических машин оказала работа [1], в которой Дж.К. Максвелл установил, что уравнения электрических цепей могут быть записаны в форме уравнений Лагранжа. Это позволило применить развитый аппарат аналитической механики к теории синхронных электрических машин.

Первые математические модели синхронных электрических машин появились в работах [2, 3, 4, 5]. Однако качественное поведение синхронные электрические машины с точки зрения теории дифференциальных уравнений впервые исследовал итальянский математик Ф. Трикоми. Он изучил простейшие дифференциальные уравнения синхронной машины, которые описывают движение ротора синхронной электрической машины при асинхронном запуске, и провел глобальное качественное исследование этих уравнений, доказал существование нетривиальной глобальной бифуркации и получил оценки бифуркационных значений параметров. В дальнейшем эти уравнения стали известны как уравнения типа Трикоми.

В работах [6, 7, 8, 9] детально исследованы уравнения типа Трикоми и получены более точные оценки бифуркационных значений параметров. Последующие результаты исследований таких уравнений в основном были теоретическими [10, 11] и относились к системам фазовой синхронизации.

Одной из основных научно-технических задач при изучении синхронных электрических машин является исследование устойчивости. Устойчивостью синхронной электрической машины называют способность машины восстанавливать рабочий режим после нарушения этого режима, на пример при изменении момента внешней нагрузки или при изменении напряжения в сети. Устойчивость является важнейшей качественной характеристикой синхронных электрических машин, обеспечивающей надежность их работы.

Различают две основные группы режимов работы синхронных электрических машин [12, 13]: установившиеся (рабочие) режимы и переходные режимы (переходные процессы). Исследование динамики электрических машин заключается в анализе устойчивости рабочих режимов и динамики переходных процессов.

В трудах [6, 7, 14, 15, 16, 8, 17, 9] достаточно глубоко разработана теория установившихся рабочих режимов синхронных электрических машин. При этом, при исследованиях широко использовались такие математические модели, как векторные диаграммы и схемы замещения. Однако эти модели не описывали динамические процессы, возникающих при эксплуатации синхронных электрических машин. Поэтому, важным шагом в развитии математической теории синхронных электрических машин стало создание математических моделей, которые описывали переходные процессы.

Впервые исследования переходных процессов были проведены в работах [18, 19, 20, 21, 22]. Р. Парк в работах [23, 24, 25] и А. А Горев в работах [26, 27, 28, 29] предложили новые дифференциальные уравнения явнопо-люсной синхронной машины, которые позволили исследовать переходные процессы в обмотках ротора и статора этих машин. В литературе эти уравнения, ставшие в дальнейшем широко известны, получили название уравнений Парка-Горева.

Фундаментальными работами по математической теории электрических машин являются работы [30, 31, 32]. В этих работах Г. Крон предложил новую модель обобщенной электрической машины, которая представляла собой простейшую двухполюсную идеальную машина с магнитными осями статора А, В и ротора а, Ь. Эта модель позволила выявить характерные черты электромеханического преобразования энергии. В монографии [33] выводятся уравнения двухфазной идеализированной модели электрической машины, и показывается, что на основе этих уравнений может быть проведен анализ практически всех используемых в тот момент электромеханических преобразователей. Однако эта модель не учитывает некоторые качественные характеристики синхронных электрических машин: геометрию различных роторов, индуктивности в демпферных обмотках и т.д.

Сильное виляние на дальнейшие исследования переходных процессов, происходящих в синхронных электрических машинах, оказали методы A.M. Ляпунова [34, 35]. В особенности весьма эффективным методом оказался второй метод Ляпунова. Впервые для анализа устойчивости синхронных электрических машин этот метод был использован в монографии [13]. В статье [36] была построена функция Ляпунова системы дифференциальных уравнений синхронных электрических машин третьего и пятого порядка, полученных из уравнений Трикоми посредством сингулярных возмущений.

Известно [37, 12, 38, 39, 13], что одним из основных средств повышения динамической устойчивости синхронных машин является так называемое сильное регулирование возбуждения, предложенное в [40, 41]. В теории регулирования возбуждения синхронных машин регуляторами сильного действия называют регуляторы, реагирующие на значения производных регулируемых величин.

В настоящее время широкое распространение получили инженерные методы исследования устойчивости синхронных машин, основанные на математической теории локальной устойчивости и численных методах. Однако многие прикладные задачи требуют не только установить факт локальной устойчивости, но и получить оценки области притяжения рассматриваемого состояния равновесия. Среди таких задач следует отметить задачу о нагрузке [42, 11, 43, 44, 13] на синхронную электрическую машину и задачу определения условий существования круговых решений и предельных циклов второго рода. Численное решение задачи о предельной нагрузке приводятся в [45, 46]. В инженерной практике для определения предельного наброса нагрузки используют метод площадей [11, 47, 13]. В [41] показано, что при сильном регулировании возбуждения в некоторых случаях задача о предельной нагрузке имеет положительное решение.

Задача о предельной нагрузке может быть решена с использованием второго метода Ляпунова. Однако сложность построения функций Ляпунова для многомерных систем дифференциальных уравнений, которые описывают синхронные электрические машины привела к необходимости развития различных обобщений второго метода Ляпунова. В настоящем работе распространяются классические результаты Ф. Трикоми и его последователей, полученные для уравнения маятникового типа, на многомерные модели синхронных машин. Применяется метод нелокального сведения [48, 49] для решения задачи о предельной нагрузки, кроме того приводится модифицированный метод нелокального сведения для поиска циклических решений.

В первой глава диссертации посвящена выводу дифференциальных уравнений, описывающих синхронные электрические машины. Вначале рассматривается принцип действия этих машин, а так же описываются широко известные математические модели синхронных машин, в том числе, модели Трикоми, Парка-Горева и т.д. Кроме того на основе предположения о равномерно вращающемся магнитно поле, восходящего к классическим идеям Н. Тесла и Г. Феррарисса, выведены уравнения синхронных электрических машин при различных соединениях полюсов обмотки возбуждения. В конце главы проводится статический анализ устойчивости полученных уравнений.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости в "большом" дифференциальных уравнений, полученных в первой главе. Вначале иселедуются дифференциальные уравнения четырехполюсных машин, в наиболее простом случае, когда момент внешних сил равен нулю. Показывается, что в этом случае, системы дифференциальных уравнений глобально устойчивы. Следующий параграф посвящен исследованию устойчивости систем при работе под действием постоянной внешней силы, что соответствует работе машины под нагрузкой. Исследуется задача о предельной нагрузке, приводится ее математическое описание, кроме того, на основе метода нелокального сведения, получены оценки предельно допустимых нагрузок на синхронные электрические машины. В конце главы доказываются эффективные критерии существования круговых решений и циклов второго рода для дифференциальных уравнений синхронных электрических машин.

В третьей главе проводится численный анализ результатов, полученных в предыдущих главах для дифференциальных уравнений четырехполюсных синхронных электрических машин при последовательном и параллельном соединениях полюсов обмотки возбуждения.

1. Модели

Глава посвящена выводу дифференциальных уравнений четырехполюсник синхронных электрических машин переменного тока с демпферной обмоткой в виде беличьей клетки и при различных соединениях полюсов обмотки возбуждения. Вначале описывается принципиальная конструкция синхронной электрической машины и вводятся упрощающие предположения, в которых на ряду с классическими предположениями вводится дополнительное предположение о равномерно вращающемся магнитном поле, восходящее к классическим идеям Н. Тесла и Г. Феррариса [39, 50]. На основе электромеханических законов и сделанных предположении строятся новые системы дифференциальных уравнений, описывающих четырехпо-люсные синхронные машины при четырех типах соединениях полюсов обмотки возбуждения. В конце главы проводится анализ статической устойчивости полученных моделей.

Выводы

Полученные в работе системы дифференциальных уравнений четы-рехполюсных синхронных электрических машин с различными соединениями полюсов обмотки возбуждения позволяют исследовать динамику синхронных электрических машин. Проведенный в конце первой главы анализ статической устойчивости систем, позволяет определить параметры установившихся рабочих режимов рассматриваемых синхронных электрических машин.

Теоремы 8 и 9, полученные во второй главе, позволяют оценить значение предельной нагрузки на синхронные электродвигатели при последовательных и параллельных соединениях полюсов обмотки возбуждения. Кроме того на основе анализа условий этих теорем показано, что наиболее устойчивым является синхронная электрическая машина с последовательным соединением полюсов обмотки возбуждения первого типа.

Теоремы 10 и 11, полученные во второй главе, определяют условия существования круговых решений и циклов второго рода. Эти решения соответствуют неустойчивым режимам работы синхронных электрических машин. Такие режимы работы могут привести к выходу из строя или поломке механизма, в которых используются эти машины. Таким образом, теоремы 10 и 11 позволяют определять не желательные режимы работы синхронных электрических машин.

1. Edgerton H.E., Fourmarier P. The pulling into step of a salient-pole synchronous motor. Trans. Amer. Inst. Electr. Eng., 50:769-778, 1931.

2. Tricomi F. Sur une equation differetielle de l'electrotechnique. C.R. Acad. Sci. Paris. T. 193, pages 635-636, 1931.

3. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentatasi in elettrotechnica. Annali délia R. Scuola Normale Superiore di Pisa Scienze Fisiche, pages 1-20, 1933.

4. Amerio L. On the existence of certain solutions of a nonlinear differential equation. Ann. Mat. pura ed appl. (3), 30:75-90, 1949.

5. Seifert G. De terminazione delle condizioni di stabilita per gli integrali diun'equazione intéressante l'elettrotecnica. ZAMP, 3:408-471, 1952.

6. Hayes W.D. On the equation for a damped pendulum under constant torque. Z. Anges. Math, and Phys4:398-401, 1953.

7. Белюстина Л.H. Об одном уравнении из теории электрических машин. Сб. памяти A.A. Андронова. Изд-во АН СССР., 1955.

8. Halanay A. Barbalat I. Evaluation de la valeur critique de l'équation generalisee du pendule, pages 259-275, 1959.

9. Барбашин E. A., Табуева В.A. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969.

10. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высшая школа, 1985.

11. A.A. Янко-Триницкий. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при резкопеременных нагрузках. М.;Л.: ГЭИ, 1958.

12. Seifert G. On certain solutions of a pendulum-type equation. Quarterly Appl. Math., 11:127-131, 1953.

13. Seifert G. The asymptotic behaviour of pendulum-type equations. Ann. Math., 69:75-87, 1959.

14. Böhm С. Nuovi criteri di esistenza di soluzioni periodiche di una nota equazione differenziale non lineare. Ann. Math, pura ed appl. (4)-, 35:343353, 1953.

15. Белюстина Л.H. Об устойчивости режима работы явнополюсного синхронного двигателя, pages 131-140, 1954.

16. Nickle С.A. Doherty R.E. Synhronous machines. AIEE Trans. Parts 1 and 2. An extension of Blondel's two reaction theory. Steady state power angle, characteristics, 1926.

17. Nickle С. A. Doherty R.E. Three-phase short circuit synchronous machines. Quart. Trans. AIEE, 1930.

18. Рюденберг P. Переходные процессы в электроэнергетических системах. М.: Изд-во иностр. лит., 1975.

19. Rudenberg R. Saturated synchronous machines under transient condition in the pole axis. Tr. AIEE, pages 297-306, 1942.

20. Longley F.R. The calculation of alternator swing curves, the step by step method. Tr. AIEE, 73:1129-1151, 1954.

21. Park R.H. Definition of an ideal synchronous machine and formula of armature flux linkage, pages 332-334, 1926.

22. Park R.H. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis, part i. pages 716-727, 1929.

23. Bancer E.H. Park R.H. System stability as a design problem. Quart. Trans. AIEE, 1929.

24. Горев А.А. Переходные процессы синхронной машины. JI.: Наука, 1985.

25. Горев А.А. Избранные труды по вопросам устойчивости электрических систем. М.-Л.: ГЭИ, 1960.

26. Горев А.А. Высоковольтные линии передачи электрической энергии. Л.: КУБУЧ, 1927.

27. Горев А.А. Введение в теорию устойчивости параллельной работы электрических станций, ч. I,. КУБУЧ, 1935.

28. Крон Г. Исследование сложных систем по частям диакоптика. М.: Наука, 1972.

29. Крон Г. Тензорный анализ сетей. М.: Советское радио, 1978.

30. Kron G. The Application of Tensors to the Analysis of Rotating Electrical Machinery. GEC, 1942.

31. H.H. Woodson D.C.White. Electromechanical energy conversation. New York, John Wiley and Sons, Inc., 1959.

32. Вайман М.Я. Исследование систем, устойчивых в большом. М.: Наука, 1981.

33. Вайман М.Я. Устойчивость нелинейных механических и электромеханических систем. М.: Машиностроение, 1981.

34. Arie Е., Botgros М., Halanay A., Martac D. Transient stability of the synchronous machine, pages 611-625, 1974.

35. Ботвинник M.M. Регулирование возбуждения u, статическая устойчивость синхронной машины. М.; Л.: ГЭИ, 1950.

36. Веников В.А., Герценберг Г.Р., Совалов С.А., Соколов Н.И. Сильное регулирование возбуждения. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1963.

37. Вольдек А.И. Электрические машины. Энергия, 1980.

38. Giger. Ein grenzproblemeiner technisch wichtigen nichtlinearen differentialgleichung. Z.A.M.P., Bg. 7. No 2.:121-129, 1956.

39. Леонов Г.А. Кондратьева Н.В. О динамической устойчивости синхронных машин при сильном регулировании возбуждения. Автоматика и телемеханика, No6:57-67, 1990.

40. Бушуев В.В. Динамические свойства электроэнергетических систем. М.: Энергоатомиздат, 1987.

41. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

42. Леонов Г.А. Об одном классе динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством. Сиб. мат. журн., 17:91-112, 1976.

43. Stoker J.J. Nonlinear vibrations. Interscience. New York, 1950.

44. Edgerton H.E. Lyon W.V. Transient torque — angle characteristics of synchronous machines. Trans. Amer. Inst. Electr. Eng., 49:686-698, 1930.

45. Янко-Триницкий A.A. Уравнения переходных электромагнитных процессов асинхронного двигателя и их решения. Электричество, 3, 1951.

46. Леонов Г.А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем 1. Автоматика и телемеханика, 2:45-53, 1984.

47. Леонов Г.А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем 2. Автоматика и телемеханика, 3:48-56, 1984.

48. Иванов-Смоленский A.B. Электрические машины. М.: Энергия, 1980.

49. Адкинс Б. Общая теория электрических машин. М.; Л.: ГЭИ, 1960.

50. Важнов А.И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1969.

51. Лотоцкий К.В. Электрические машины и основы электропривода. М.: Колос, 1964.

52. Андерсон П., Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость. М., 1980.

53. Брускин Д.Э., Зорохович А.Е., Хвостов B.C. Электрические машины. 4.1, 2. М.: Высшая школа, 1979.

54. Глебов И.А. Научные основы проектирования систем возбуждения мощных синхронных машин. Л.: Наука, 1988.

55. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических систем. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.

56. Леонов Г.А., Кондратьева Н.В. Анализ устойчивости электрических машин. Санкт-Петербург, 2009.

57. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

58. Hurwitz А. Uber die bedingungen, unter welchen eine gleichungen nur wurzeln mit negativen reelen teilen besitzen. Math. Ann., 46:273-284, 1895.

59. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 5-е изд. М.: Наука, 1975.

60. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

61. Красовский H.H. Барбашин Е. А. Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, 86:453-459, 1952.

62. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

63. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967.

64. Леонов Г.А., Селеджи С.М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. С.-Петербург: "Невский Диалект", 2002.

65. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Нелинейные системы. Частотные и матричные неравенства. К 80-летию со дня рожд. В.А.Якубовича. М. Физматлит, 2008.

66. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

67. Зарецкий A.M., Леонов Г.А. . Глобальная устойчивость и колебания динамических систем, описывающих синхронные электрические машины. Вестник С.-Петерб. ун-та., 1-4:18-27, 2012.

68. Леонов Г.А., Зарецкий A.M. Циклы дифференциальных уравнений синхронных электрических машин. Дифференциальные уравнения и процессы управления, 3:1-11., 2012.

69. Зарецкий A.M., Леонов Г.А. . Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений синхронных машин. Доклады Академии наук, 445-4:386-389, 2012.

70. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. Московского ун-та, 1984.