Устойчивость и бифуркации систем управления с цилиндрическим пространством состояний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.925.42

КОНДРАТЬЕВА Наталья Васильевна

УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ

Специальность 01.01.11 — системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики матема-тико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель—доктор физико-математических наук, профессор Г. А. ЛЕОНОВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор Сергей Юрьевич ПИЛЮГИН, кандидат физико-математических наук, доиент Вера Борисовна СМИРНОВА. Ведущая организация — Северо-Западный политехнический институт.

Защита состоится « »_____1994 г. в часов

на заседании специализированного совета К-063.57.49 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться » научном библиотеке СПбГУ, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан « »_ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета К-063.57.49 кандидат физико-математических наук, доцент

А. И. ШЕПЕЛЯВЫЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Работа посвящена устойчивости и бифуркациям важных для современной техники динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством, описывающих динамику синхронных электрических маиин и систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Вместе с тем изучается устойчивость "в целом" дву-«ерной фазовой системой, описывашцей динамику синхронной машины при сильном регулировании возбуждения .

Многие инженерные задачи связаны с расчетом параметров .названных систем, обеспечивапцих их устойчивуп работу. Важной проб-пемой является проблема изучения перехода системы ФАПЧ или синхронной машины из устойчивого режима работы в неустойчивый режим.

Переход фазовой системы из устойчивого режима работы в неустойчивый режим часто бывает связан с появлением в цилиндрическом фазовом пространстве этой системы так называемой гомоклини-4еской траекторией, или петли сепаратрисы второго рода. Поэтому 1роблема определения условий существования гомоклинической тра-зктории является актуальной.

ЦЕПЬ РАБОТЫ состоит в определении частотных критериев существования гомоклинических траекторий многомерных фазовых систем с одной угловой координатой, описывающих динамику синхронных «авин и систем ФАПЧ.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Первые исследования по существований •омоклинических траекторий многомерной системы ФАПЧ были провеяны в статьях В.Н.Белых и В.И.Некоркина . В данной работе для

-у

Согласно терминологии,. введенной И.М.Ботвинником, в теории регулирования возбуждения синхронных машин регуляторами сильного 1ействия называют регуляторы, реагирующие на значения производив регулируемых величин. Под увеличением интенсивности регули-»ованиа здесь будем понимать увеличение коэффициента обратной :вязи при производной регулируемой величины. "^Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественное исследование трех диф->еренциальных уравнений из теории фазовой синхронизации // ПММ. 975. Т.39. N4. С.642-649 .

Белых В.Н., Некоркин В.И. О качественном исследовании много-1ерных фазовых систем // CMS. 1977. N4. С.724-735.

реяения этой проблемы используется частотный подход и идеи предложенные В.Н.Белых.

Математически строгие частотные методы исследования нели нейных систем возникли в 60-е годы и вначале оказали больно! влияние на развитие теории абсолютной устойчивости. Частотны! подход в теории абсолютной устойчивости восходит к работа: В.И.Попова. В.А.Якубовича, Р.Калмана.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации впервые:

1) получен частотный критерий существования гомоклинической тра-зктории многомерной фазовой системы, описывающей динамику системы ФАПЧ;

2) получен частотный критерий существования гомоклинической траектории многомерной фазовой системы, описывающей динамику синхронной машины:

3) при исследовании устойчивости "в целом" простейшей модел! синхронной машины при сильном регулировании возбундения показано, что в некоторых случаях даже при неограниченном увеличенш интенсивности такого регулирования области динамической устойчивости синхронной машины не заполняют все пространство состояний, При этом в пространстве состояний имеются области существовать круговых двивений, соответствующих выпадению машины из синхронизма, и наблюдается эффект равномерной ограниченности областе( динамической устойчивости"4"1 ;

4) показано, что в некоторых случаях задача о предельной нагрузке, тесно примыкающая к задаче определения областей динамическо( устойчивости синхронных машин, имеет полояительное решение.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Результаты работы могут быть использованы при анализе конкретных систем ФЙПЧ и синхронны> электрических машин.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теоретической кибернетики математи-ко-механического факультета С-ПбГУ и на Третьей Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения I-их приломения" (Пермь, 1980г.).

'^Здесь равномерная ограниченность областей динамической устойчивости установлена по фазовой координате, совпадающей с величиной рабочего угла синхронной машины.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано две работы [1.2].

СТРШШРй И ОБЪИЫ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения. трех глав, приложения и списка литературы, включающего 133 наименования, содервит 30 рисунков, излошена на 15? страницах машинописного текста.

КРАТКОЕ С0ДЕР1ПНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ дана историческая справка, сформулированы полученные результаты. Описан метод исследования.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ ДИССЕРТАЦИИ рассматривается система

= С~Х э Х-ЯХ +$ Ч'(СГ) ,

(1)

где - постоянная ^ - матрица, $ и ^ - постоянные, И- - векторы, - АЯ~ - периодическая функция класса

Системы вида (1) описывают динамику систем ФАПЧ и хорошо

известны в теории и практике управления. Зто так называемые системы непрямого регулирования.

Здесь <5"'(■Ь) - разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов, Х(Ь) - вектор состояний фильтра.

Всиду далее будем предполагать, что функция имеет вид

^лС^-^ , 12)

где ^ . АТГ _ перИОдИческая функция класса ^ , име-пцая нулевое среднее значение, • Кроме того, будем счи-

тать, что выполнено условие

л

Г" г' ^((Г)

и °о и и о - единственные нули функции на множестве

£"О^ 2 П~) , причем о,'<, < и

Г*(г0) >о ?,(<Го)<0. (4)

Систему (1) часто называют системой с цилиндрическим фазовым пространством» или фазовой системой, поскольку для этой системы наряду с евклидовым фазовым пространством

можно ввести цилиндрическое фазовое пространство, рассматривая классы вычетов по модуле «297 . (сГплсеГЯЗТ, , Я* ) _

образующие кольцо вычетов по модулю ЗЯ* :

| {а-месП^, 1-1, ...,

Пространство •» называют накрывающим для цилиндрического фазового пространства. Координату б' называют угловой, или фазовой координатой.

Для фазовых систем понятие устойчивости "в целом" модифицировано в понятие глобальной асимптотической устойчивости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Систему (1) будем называть глобально асимптотически устойчивой, если любое решение этой системы стремится при 4 * "+®0 к некоторому состоянию равновесия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Реиение ХШ) системы (1) называ-

ют круговым, если существуют числа и £>0 . такие, что

при всех ? Т выполнено неравенство

Ж е-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Будем говорить, что ревение (<зг^)-, Х-М)

системы (1) - цикл второго рода, если существуют число Т7^ и

целое число \'ФО > такие, что имеют место равенства О

&Сс ) " (Г (О) Х(т)-ХСО) =0 .

Введем качественные структуры разбиения фазового пространства системы (1) на траектории: структурой будем называть структуру глобальной асимптотической устойчивости, структурой

- структуру существования кругового цикла второго рода. Переход от структурык структуре (7 часто связан с появлением так называемой гомоклинической траектории.

- ? -

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4." Траектории в фазовом пространстве системы (1), двоякоасимптотическун при- и при i—к

седловой особой точке, называют гомоклинической траекторией, или петлей сепаратрисы седла.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Петлв сепаратрисы седла будем называть петлей сепаратрисы второго рода, если в накрываюцзм фазовом пространстве петля теряет свойство замкнутости.

Всюду далее будем иметь дело с гомоклинической траекторией» соответствунщей петле сепаратриса второго рода. Введем обозначения

Здесь fit ( £ = i..... ^ ) - t - столбец матрицы ^ . Введем передаточнуп функции системы (I)

пг.(р)= с*(А-р1У*-е.

Здесь и далее * - знак эрмитова сопряжения матрицы. -С - единичная матрица соответствующей размерности. Р - комплексная переменная. Будем предполагать, что \1/1Р) не вырондена, т.е. полиномы

' \\/(Р) с£еt(Jt-PI) ^ dlei (Я-PL) ___- ■ ' р>п

не ииевт обцих нулей и что ' . где

f = й'т Р ItifP) .

оо

Будеи рассматривать система (1) в пространстве параметров

Х1а = {(Р>Ю- Р- (At' сП

' J

(Г^адз).

- В -

Введем области в пространстве параметров П о :

1). Область , в которой определен варьируемый параметр As > О , такой, что матрица ß I гурвицева и выполнена

частотные условия:

Re Mi(Sto -aJ >о , Vco tR1

3 >

¿ihn Co 2 Re. WCLCO ~A±)>0 .

¿o~> o«

2). Область -£"2 2 , в которой определен варьируемый параметр /)z ">0 , такой, что матрица ßА2 Г имеет одно полови-

тельное собственное значение и собственных значений с

отрицательными вещественными частями, и выполнены частотные условия

tun u>zRc W(i'u>-Az)<0.

О?-» Обозначим через

одну из компонент линейной связности мномества Систему (1) будем рассматривать в об-

ласти параметров с помощью систем сравнения:

*

Выделим в области параметров XI

две области:

Здесь

j. = л (V

- кривая, соответствующая гомоклинической траектории хорошо изученного уравнения второго порядка

ё + ¿- о + 9 о)

описывающего движения математического маятника, а такае достаточно большой класс объектов, различных по своей физической природе: синхронную машину в простейшей идеализации, простейшую систему ФЙПЧ и поисковую систему ФЙПЧ.

В разделах 1.1 и 1.2 главы 1 доказываются соответственно следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1,1. 1). В области параметров£ система (1) имеет структуру ¿> . 2). В области параметров С система (1) имеет структуру С/ .

ТЕОРЕМА 1.2. На любом непрерывном пути 5 2. ,

соединяющим точку области параметров с точ_кой области

параметров _0 и . таком, что £(х) , , суще-

ствует точка (Р*у . соответствующая гомоклинической

траектории системы (1).

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ ДИССЕРТАЦИИ рассматривается фазовая система

* 7 -г- + х*СШ-Щ<г) ^

и ■ (б)

где Я - постоянная гурвицева П * ^ - матрица, ^ и ^ постоянные ПхМ - матрицы. Правая часть системы гладкая и 'Я Ж - периодическая по -б* , причем для вектор-функции выполнено условие

. ■> J .

а Функция ^ удовлетворяет при всех % и ^ соотно-

шениям

где ^ , Р^ и Г2- - некоторые числа, ^ - периодическая функция имеет вид (2) и удовлетворяет условие (3).

Систрма (б) описывает динамику синхронных электрических машин, а такяе динамику регулятора Буасса-Сарда.

Здесь ^(Ь) - разность фаз вращающихся магнитного поля и ротора, 5 - скольяение ротора, ХСЬ) - вектор значений токов в обмотках ротора.

л ^

Будем по-прежнему считать, что и °0 единствен-

ные нули функции на множестве . причем З^^и

и выполнено условие (4). Введем обозначения

, с II

Здесь 6 Г , С'с' ( С = 1.... т ) - с - столбцы матриц 5 и £ соответственно.

Систему (1) будем рассматривать в пространстве параметров

Ш 2о = { (?,*)' Р - Г/ч/ч Ч А*

б/,, с*.,,,О,

Введем в рассмотрение передаточнуи матрицу системы (6)

.'К (Р) = с*

Введем области в пространстве параметров ^о.

1. Область . в которой определен варьируемый параметр Ал . такой, что Ах€Г-0 . матрица Я + ЛлХ гурвицева и выполнены частотные условия

Яе КССчэ-А1)?ол усоегК*-¿¿и* со* Ке К (с'а?-Ах) >0 .

. СО-^аС,

2. Область . в которой определен варьируемый параметр Л* _ такой, что Ма->£{о}Цг), матрица А + АхГ гурвицева и выполнено частотное условие

М [- £-*■ йе Фс-, +А

7)

Обозначим через ^ одну из компонент линейной связности множества

а Л !дх . Систему (6) будем рассматривать в облас-

- 11 -

ти параметров 2) с помоцьи уравнений сравнения

ё *•\Пйгл-^ $ + т^о^

6+ /2 9 ч>се)^о .

Выделим в области параметров две области:

% - {гад - ^ гиН,

Здесь

Л-Ф - по-прежнему бифуркационная кривая уравнения (5).

В разделах 2.1 и 2.2 главы 2 доказываются соответственно следующие теоремы.

ТЕОРЕМА-2.1. 1). В области параметров ^oS система (8) имеет структуру .5* . 2). В области параметров Я) и система . .Гб) имеет структуру V . (Л

ТЕОРЕМА 2.2. На лпбом непрерывном пути ^ .

соединяющим ^очку области параметров «О 5 с точкой области параметров V . таком, что суще-

ствует точка ( Р'") (У") . соответствующая гомоклинической траектории системы (6).

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ ДИССЕРТАЦИИ исследуется устойчивость "в целом" уравнения второго порядка

9*- в + \ ' (7)

описывающего в простейвей идеализации динамику синхронной машины при сильном регулировании возбуждения.

Здесь 6>Н) - рабочий угол мавины, . - приведенный коэффициент демпферного момента, $ - приведенный момент внешней нагрузки, ¡3 - приведенный коэффициент регулирования ( Л г О . , ),

Представим уравнение (?) в виде

9 -МШ - . (8)

Здесь 3(6) _ скольвение ротора, ?(0)= П*^ 0-$ ,

Допустим, что &о и Ол единственные нули функции ((О) на множестве

[О,АЖ) , 4'(бо)>0 , .

Обозначим Оз. — -<??5Г . Следующая теорема определяет в пространстве параметров с>1 , ^ , £ область, в которой при любом значении параметров система (8) не является ус-

тойчивой "в целом".

ТЕОРЕМА 3,1, Если выполнено условие

-9*. Ро

(9)

то для любого ^ существует такое Ар >0 , что любое ужение системы (8) с начальными данными 6(0)= во . &(0)Ъ О . где в» 6(&Л, , - 02 + > является круговым.

Следующая теорема определяет характер изменения области притяжения устойчивого состояния равновесия (Оо О) системы (8) при условии (9) и неограниченном увеличении £ и устанавливает равномерную по ^ ограниченность этой области.

ТЕОРЕМА 3.2. 1). Если выполнено условие (9), то . ^^

где &- функция, определенная в условии теоремы 3.1. 2). При условии

01

(0.10)

-во ^

Л л

существует у> , такое, что при ^ система (8) не имеет

циклов второго рода.

Следующее утверждение. вытекающее из доказательства теоремы 3,2, позволяет при достаточно больших решить для системы (8) задачу о предельной нагрузке, _

СЛЕДСТВИЕ, Если имеет место (10) и для точки (о Л) фазовой плоскости системы (8) выполнены условия

то существует '^ , такое, что при,/^^/5 точка ^^ попадает в область притяжения точки ^^ О) ,

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1, Н.В.Кондратьева, Г.А.Леонов, 0 динамической устойчивости синхронных машин при сильном регулировании возбуждения// Автоматика и телемеханика, 1990, N6. С,57-67.

2. П.В.Кондратьева. Глобальная устойчивость двумерных динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством// Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Третья Уральская региональная конференция. Тезисы докладов. Пермь, 1988,