Капиллярные явления в кристаллах 4He тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.09 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

На правах рукописи ООйМУ— УДК 53С.7

ШЕМЯТИХИН ДМИТРИЙ БОРИСОВИЧ

КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ ГЕЛИЯ-4

01.04.09 - Физика низких температур

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2013

005057863

Работа выполнена в ИФП РАН. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН К. О. Кешишев.

Официальные оппоненты: Заместитель директора НФТТ РАН,

доктор физико-математических наук Александр Алексеевич Левченко,

Ведущий научный сотрудник ИФТ, доктор физико-математических наук Сергей Евгеньевич Коршунов

Ведущая организация:

Кафедра физики низких температур и сверхпроводимости МГУ

Защита диссертации состоится «15» мая 2013 г. в 11:30 на заседании диссертационного совета Д.002.103.01 при Институте физических проблем им. П. Л. Капицы РАН по адресу: Российская Федерация, 119334, Москва, ул. Косыгина, д. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физических проблем им. П.Л. Капицы РАН.

Автореферат разослан «5» апреля 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН

Людмила Андреевна Прозорова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Экспериментальное исследование равновесных свойств поверхности подавляющего большинства веществ является практически невыполнимой задачей из-за трудности получения объекта исследования — равновесной поверхности кристалла.

Твердый гелий во многих отношениях является уникальным объектом для изучения свойств кристаллической поверхности. У него отсутствует большинство барьеров, связанных с кристаллизацией. Во-первых, благодаря квантовым эффектам, кинетический коэффициент роста кристалла при низких температурах становится аномально большим для всех направлений за исключением нескольких выделенных. Во-вторых, при достаточно низкой температуре кристалл окружен сверхтекучей жидкостью, которая может бездиссипа-тивно переносить массу. И в-третьих, мала теплота кристаллизации. В итоге кристалл 4Не может принять равновесную форму очень быстро, в ряде случаев за времена порядка секунд. Исследуя форму таких образцов, возможно оценить поверхностную энергию кристалла.

В диссертации применен оптический метод измерения энергии ступени на грани (0001) кристалла 4Не, предложенный Марченко и Паршиным [1]. Метод основан на измерении зависимости краевого угла от угла наклона стенки. Полученная величина хорошо согласуется с более ранними данными, полученными с помощью измерения спектра кристаллизационных волн при Т<0,25К (Rolley и др. [2]), а также из исследования скорости роста грани при Т «1,2 К (Wolf и др. [3]). В диссертации измерена энергия ступени в области температур 0,5<Т<0,9К, где других экспериментальных данных не имеется.

Апробация работы.

Основные результаты работы были представлены на научных семинарах ИФП РАН, на 49-й конференции МФТИ (ноябрь 200G), на 34-м совещании по фи-

зике низких температур в Сочи (сентябрь 2006), 50-й конференции МФТИ (ноябрь 2007), на международных конференциях С}РЗ-2007 в Казани (август 2007), ЬТ-25 в Амстердаме (август 2008), СгуоСопГегепсе-2008 в Мадриде (сентябрь 2008).

Публикации.

Результаты работы опубликованы в 3 статьях, а также доложены на 6 конференциях. Список публикаций приведён в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация содержит 3 главы, 99 страниц, 38 рисунков, 48 библиографических записей в списке литературы.

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, представление о капиллярных эффектах в кристаллах, описывается содержание диссертации.

В первой главе «Постановка задачи» приведено теоретическое описание поставленной задачи.

Форма кристалла, при которой его полная энергия, включающая в себя поверхностную, минимальна, называется равновесной. В отсутствие внешних полей эту форму полностью определяет поверхностная энергия а и граничные условия (например, если кристалл граничит со стенкой).

Энергию вициналыгой поверхности кристалла можно представить в виде суммы энергий плоских участков ао, отдельных ступеней /3, и энергии взаимодействия ступеней:

а(в) = аосозв + этв! + тг|0|3. (1)

п 6

Здесь /г — высота ступени, 7 — константа взаимодействия между ступенями. /3 нормирована на единицу длины. Теоретически рассмотрено несколько

I/

во

Рис. 1: Равновесная форма границы раздела кристалл-жидкость. При определенных наклонах стенок мениск будет загнут в разные стороны на левом н правом краю.

принципиально разных механизмов взаимодействия ступней. Основными являются упругое (Марченко и Паршин [4]), электростатическое (Воронков [5]) и энтропийное (Воронков [5], СгиЬег и МиШгш [6]). В константу 7 эти взаимодействия внесут вклады с разными температурными зависимостями.

Следуя работе [1], рассмотрим кристалл с горизонтальной гранью в гравитационном поле, ограниченного стенками камеры в системе координат, показанной на рис. 1. Ось Z направлена вертикально, х — вправо. Форму межфазной границы обозначим Z{x). Пусть правая стенка камеры наклонена к нормали к грани кристалла на угол ф.

Энергия кристалла, зависящая от формы его поверхности, равна сумме поверхностной, гравитационной, а также поверхностной энергии, связанной с разницей энергий Дс кристалл-стенка и жидкость-стенка. Равновесная форма кристалла соответствует минимуму этой энергии при фиксированном его объеме. Если отсчитывать высоту от уровня жидкости, где давление равно давлению равновесия плоской горизонтальной границы кристалл-жидкость, то уравнение, минимизирующее энергию кристалла, выглядит следующим

образом:

d6

- (а" + a) cos в — + ApgZ = 0. (2)

ах

При вариации свободных концов возникают граничные условия (приведены для правой, наклонной стенки):

a' cos(ф -в0)- a sin(ф - в0) + Ае(ф) = 0. (3)

Здесь во — угол наклона поверхности кристалла в точке контакта со стенкой.

После подстановки разложения поверхностной энергии а(в) (1) в это граничное условие, для малых углов во получается выражение для зависимости угла во от угла наклона стенки ф:

во = ±^^-^^(тАе(ф)±а08тф-^созф^. (4)

Положительное (отрицательное) решение реализуется на правом (левом) краю мениска на рис. 1. Если же угол наклона стенки находится в диапазоне ф~ < ф < ф+, границы которого определяются соотношением

а0Бтф± — Ае(ф±) = ±^созф±, (5)

уравнение (4) не имеет решения, и горизонтальная грань непосредственно контактирует со стенкой.

В результате, если известна поверхностная энергия грани с*о, а диапазон углов ф+ — ф- достаточно мал, так, что можно пренебречь различием е(ф+) и измерение зависимости во(ф) с использованием (5) является прямым

методом определения энергии ступени

Р = (6)

При малых углах в в случае Б-образного мениска уравнение (2) имеет решение

То есть оба скругленных края мениска имеют универсальную форму независимо от их размера и знака кривизны.

Вышеприведенные результаты справедливы только при малых углах в, в том случае, когда допустимо разложение (1). При этом поверхностная жесткость линейно зависит от угла, а + а" = В то же время, из различных экспериментальных данных известно ([2, 3], Андреева и др. [7]), что при температурах выше 0,4 К в диапазоне 2° < в < 10° жесткость слабо зависит от ориентации: а и 0,245 эрг/см2. Отсюда получается ограничение на верхнюю границу ориентаций, при которых имеет смысл говорить о разложении (1): угол в не может быть таким, чтобы жесткость превысила значение 0,245 эрг/см2.

При больших углах наклона поверхности жесткость а ~ 0,245 эрг/см2, и, если пренебречь отличием совО от 1 в первом слагаемом выражения (2), уравнение легко интегрируется. Решение представляется в виде

^ = Ь(^), ¿ = (8)

Капиллярная длина Л равна 1,2 мм для твердого 4Не, С — произвольная константа интегрирования.

Таким образом, профиль мениска в случае Б-образной формы должен быть кубическим при малых углах, и описываться гиперболическими функциями при больших.

Во второй главе диссертации подробно описана экспериментальная установка, методика и ход измерений.

Предварительные результаты получены на оптическом криостате, созданном ранее [7] для изучения различных свойств кристаллического гелия. Для получения низких температур использовался оптический криостат, снабженный стандартным рефрижератором откачки 3Не с предельной температурой 0,3 К. Данный криостат обладал рядом недостатков. Его оптический тракт проходил через объем с жидким гелием, и плавающие в нем частички замороженного воздуха прилипали к окнам. Это существенно повлияло на точность

предварительных экспериментов. Вторым недостатком была невозможность продолжительной работы в непрерывном режиме, тогда как для экспериментов с кристаллами из-за необходимости их растить медленно требовалось иметь возможность поддерживать низкую температуру по нескольку суток. Дело в том, что в качестве градусной камеры использовался основной объем с жидким гелием. Подлить его, не изменив условия в экспериментальной камере, было невозможно.

Для исправления перечисленных выше недостатков криостат был практически полностью переделан. Без изменений остались только экспериментальная камера, азотный объем и верхняя часть гелиевого стакана. В новой конструкции камера висит в общем для всей установки вакуумном объеме. Комнатный, азотный и гелиевый экраны легко снимаются и открывают доступ к стеклам. В такой конструкции основной объем гелия откачивать до 1К не обязательно, хотя и возможно. Вместо этого была сделана градусная камера.

Экспериментальная камера представляет собой горизонтально расположенный цилиндр из феррохрома с внутренним диаметром 19 мм и длиной 29 мм. В торцы камеры вмонтированы оптические окна. Медное плоское полированное дно камеры находится в тепловом контакте с рефрижератором посредством гибкого медного холодопровода, к которому припаян угольный термометр сопротивления. В отверстие в верхней части камеры впаян тонкий капилляр, служащий для заполнения камеры рабочим веществом. Внутри камеры в верхней ее части расположен конденсатор, представляющий собой диэлектрический цилиндр 0 0,8 мм, на который бифилярно в один слой намотаны два провода 03Омкм в капроновой изоляции. При включении напряжения между проводами кВ напряженность поля между соседними витками составляет величину ~106В/см.

К внутренней поверхности камеры приклеены два стеклянных тела с образующими, параллельными оси камеры, основания которых примыкают к переднему и заднему окнам камеры (см. рис. 2). Конфигурация стеклянных

стснок выбрана таким образом, что с увеличением высоты угол гр изменяется для левой стенки от 30° до 57°, а для правой — от 55° до 29°. Таким образом, изменяя высоту кристалла, мы можем менять угол наклона стенки в месте касания его поверхности в указанных выше пределах.

На рис. 3 приведен продольный разрез экспериментальной камеры с кристаллом и показан ход лучей. Лучи света, расположенные выше и ниже искривленного около окон камеры мениска, проходят через камеру без отклонений, образуя на фотографии светлые области. Часть пучка света, попавшая на искривленный участок, преломляется, образуя отклоненный вниз сходящийся пучок. Все это приводит к перераспределению света на фотографии: сразу под поверхностью мениска видны темная, а под ней светлая полосы.

Температура измерялась термометрами сопротивления (1кГ2 ИиОг), прокалиброванными по давлению паров 3Не, 4Не. Сопротивление измерялось мостом переменного тока SIM 921, выделяемая мощность не превышала Ю-11 Вт. Значение температуры выводилось на компьютер. В процессе работы записывались температуры градусной камеры, объема с 3Не, а также экспериментальной камеры. Точность измерения составляла 2-3 мК.

После охлаждения рефрижератора до температуры 0,9 К камера запол-

Рис. 2: Экспериментальная камера

нялась жидким 4Не, и давление с помощью газификатора поднималось до величины 25,3 бар при включенном напряжении на конденсаторе. Электрическое поле инициировало возникновение твердой фазы на поверхности конденсатора, и растущий кристалл имел форму тонкой ограненной пластинки, перпендикулярной оси Сб кристалла. Достигнув размеров ~5 мм зародыш под действием силы тяжести отрывался от конденсатора и, планируя, падал на горизонтальное дно, при этом грань (0001) с большой вероятностью оказывалась горизонтальной (Кешишев, Паршин, Бабкин [8|). Качество образца контролировалось визуально. Образец признавался удачным, если отклонение грани от горизонтали не превышало Ю-2 рад. Для получения хорошо ориентированного образца порой требовалось 20-30 попыток. Ориентация контролировалась оптически.

Удачный образец медленно, с характерной скоростью ЗОмкм/мин выращивался до необходимой высоты между стеклянными стенками камеры при температуре, соответствующей минимуму на кривой правления. После этого запирался вентиль, находящийся снаружи криостата. Запертый кристалл выдерживался от 10 минут до 10-11 часов, его профиль фиксировался фотоаппаратом. Было замечено, что, будучи запертым, кристалл растет с постоянной скоростью 0,3мкм/мин, практически не меняя свою форму. Такое

(а) г з га с г г в

<3

1ШШ щ ------------------ =гг

и'\\: \ -."V- \> / / \\\\; (б)

Интенсивность света

Рис. 3: (а) Оптическая схема установки. Показан продольный разрез камеры. Параллельный свет, попав на мениск, отражается и преломляется на нем. (б) Перераспределение света в результате преломления, отражения и дифракции, (в) Фрагмент экспериментальной фотографии мениска.

поведение объясняется тем, что уровень гелия в 4-градусном объеме постепенно понижается, что приводит к разогреву находящихся над его поверхностью капилляра заполнения ячейки. Это, в свою очередь, обеспечивает поток вещества в ячейку.

После достижения необходимого уровня и установления равновесия фотографировался профиль кристалла. Пример полученной фотографии приведен на рис. 4. Границе раздела между кристаллом (прозрачной областью снизу) и жидкостью (областью сверху) соответствует верхний край темной полосы. Затем кристалл медленно рос либо плавился до следующего уровня, где выдерживался очередные 20, затем 40 минут, после чего делалась очередная фотография. И так далее. В итоге получалась серия профилей с шагом 0,3-0,5 мм с различными углами наклона стенки.

Рис. 4: Пример полученного изображения

На всех фотографиях на краях поверхностей кристалла и цилиндрических стеклянных стенок видна дифракционная картина с характерным масштабом ~0,1мм. Для точного определения положения мениска необходимо было ее «расшифровать», то есть с максимальной точностью определить положение геометрической тени.

Третья глава работы посвящена обработке фотографий и обсуждению полученных результатов.

В первом разделе подробно описаны все шаги и алгоритмы разработанной компьютерной программы, определяющей профиль мениска Z(x), а также углы наклона поверхности кристалла в местах касания стенки.

Экспериментальные результаты получены в диапазоне температур 0,50,9 К на двух кристаллах. У первого образца базисная плоскость была наклонена в поперечном направлении (относительно оси х) на угол 2 ■ Ю-4 рад, и в продольном направлении (относительно оси у) на угол 1,2- 10_3рад. Для второго образца поперечный наклон составлял 8 • Ю-4 рад, а продольный — 6 • Ю-4 рад. После измерения продольного наклона грани оптическая скамья наклонялась на измеренный угол, в результате чего устранялась непарал-лелыюсть оптической оси относительно грани.

Первый образец фотографировался в ходе постепенного подплавления, второй последовательно подращивался. В случае первого образца были получены две серии фотографий, соответствующие двум температурам: 0,89 К, 0,01 К, для второго — три серии при температурах 0,9 К, 0,72 К, 0,53 К. Результаты обработки двух из пяти серий представлены на рис. 5 (первый образец, Т = 0,61 К и второй образец, Т = 0,9 К). Масштаб по оси ординат более чем в 00 раз превышает масштаб вдоль оси абсцисс. Все кривые максимально приближены друг к другу без соблюдения вертикального масштаба. Реальное расстояние по вертикали между серединами верхнего и нижнего профилей составляет ~ 5 мм.

При углах в < Ю-2 рад. с точки зрения равновесности формы поверхностей, наблюдаемых во всех сериях, картина выглядит весьма неоднозначно.

Здесь часто возникают немонотонные профили, что свидетельствует об отсутствии равновесия. Протяженность таких участков вдоль оси х меняется в пределах нескольких миллиметров. Обычно подобные явления связываются с дефектностью кристалла, и мы не можем исключить подобного объяснения. Можно лишь напомнить, что кристаллы выращивались с соблюдением всех необходимых в таких случаях мер предосторожности. Вместе с тем, в ряде случаев форма отдельных фрагментов поверхности вряд ли может быть объяснена наличием дислокаций. Так, например, профиль N23 (рис.5) в средней своей части содержит прямолинейный, с нашей точностью, участок протяжённостью ~4мм и наклоненный относительно грани (0001) на угол 0,003 рад. К сожалению, у нас нет каких-либо конкретных соображений по поводу природы наблюдаемых метастабильных состоянии.

Рис. 5: Две серии менисков кристалла при Т = 0,61 К (слева) и 7' = 0,9 К (справа). Штриховой линией проведено направление грани. Между линиями сетки 4мкм, что грубо соответствует коридору ошибок.

Что касается области больших углов, там ситуация гораздо яснее. При углах в > 0,02 рад и температуре Т > 0,4 К, все экспериментальные данные по измерению поверхностной жесткости согласуются между собой [7, 2, 3], при этом сама величина жесткости изотропна до не слишком больших углов наклона. Мениск, находящийся в равновесии, должен представлять собой гиперболический синус либо косинус, см. формулы (8).

Действительно, практически все полученные профили при достаточно больших углах с нашей точностью аппроксимировались гиперболическими функциями (8). Для всех данных использовано значение капиллярной длины Л = 1,2 мм, которое согласуется со значением поверхностной жесткости, измеренной в других экспериментах.

Таким образом, можно утверждать, что при не слишком малых углах Ю-2 < 9 < Ю-1 поверхность находится в равновесном состоянии.

На рис. 6 приведены графики зависимости угла наклона поверхности вблизи стенки от угла наклона стенки во(ф) [11]. Несмотря на имеющийся разброс экспериментальных точек на некоторых графиках, можно утверждать о наличии плато (во = 0), ширина которого меняется с температурой. Предсказанного корневого поведения графика при ф ф± не наблюдается, вместо этого здесь имеется линейная зависимость с различными наклонами слева и справа. Кроме того, наблюдается заметное отклонение правой ветви от прямой линии при достаточно больших углах.

Для интерпретации поведения полученных графиков вп(ф) в области углов, где поверхностная жесткость изотропна, поверхностную энергию можно представить при малых углах в в виде

/? _ в2 а = а0 + -\в\ + (а0 - а0)—, (9)

где 5о — 0,245 эрг/см2 — значение поверхностной жесткости, ао = 0,172эрг/см2 — поверхностная энергия грани (0001) [9].

Далее, подставив это разложение (9) в уравнение (3), можно, задавшись всего двумя неизвестными величинами ¡3 и Де (при этом пренебречь зависи-

Рис. 6: Зависимость в0(ф) для двух серий профилен: а) Т = 0,61 К н б) Т = 0,9 К. Светлые и темные символы соответствуют правой и левой сторонам мениска. Сплошной линией проведен результат расчета (см. текст). Светлыми и темными символами обозначены точки, полученные на правой и левой сторонах мениска соответственно.

мостыо этой величины от ориентации кристалла), построить график в$(ф). Рассчитанная таким образом зависимость плохо ложится на экспериментальные точки. Наибольшее расхождение при ф > 50°, где расчетная кривая проходит существенно выше. Это расхождение можно ликвидировать, если предположить, что энергия кристалл-стенка анизотропна, то есть зависит от угла наклона стенки (который отсчитывается от оси Сб кристалла).

Учесть неизотропность поверхностной энергии кристалл-стенка можно следующим образом. График Ае(ф) можно построить из графика во{ф) всего с одной неизвестной величиной р. Полученная зависимость приведена на рис. 7. Светлые и темные точки соответствуют двум сериям данных при 0,90 К и 0,61 К соответственно. Параметр ¡3 разный для двух серий. Тот факт, что две различные серии, полученные для двух различных кристаллов при разных температурах, легли на одну кривую, свидетельствует о том, что величина Ае уже достигла своего значения при нуле температуры. Эта кривая была параметризована как

Ае{ф) = 0,128 - 0,013 cos 2ф + 0,022 cos 4ф (10)

в единицах эрг/см2.

Рис. 7: Зависимость Де разницы энергии кристалл-стенка и жидкость-стенка от кристаллографической ориентации ф. Светлыми и темными кружками обозначены данные 0,90 К и 0,61 К соответственно.

С помощью полученной параметризации были вычислены значения параметра (3 для всех экспериментальных серий. Полученные расчетные кривые проведены сплошными линиями на рис. 6. Несмотря на небольшую величину анизотропии энергии кристалл-стенка, полученные значения (3 отличаются от оцененных из ширины плато ф+ — ф- на ~30% в меньшую сторону.

На рис. 8 представлен график температурной зависимости вычисленного параметра /3 (сплошными кружками). Крестиком обозначена точка, полученная нами ранее [10] на криостате до переделки. На тот же график нанесены данные работы [2], полученные из измерения спектра кристаллизационных волн, а также данные [3], полученные их измерения скорости роста грани (0001). Следует отметить, что нами был измерен коэффициент при линейном члене \0\ в разложении поверхностной энергии в той области углов, где поверхностная жесткость уже практически не зависит от кристаллографиче-

Iв/h, эрг/см2 0,015

0,010

0,005

0,000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Т, К

Рис. 8: Зависимость /3(T)/h. Темные кружки — данные [11|, крестик — предварительный рузультат |1()|, светлые кружки и треугольники — значение энергии ступени, измеренные в работах |2| и соответственно.

ской ориентации.

Полученные результаты опубликованы в следующих работах.

Статьи:

1. К. О.Кешишев, В.Н.Сорокин, Д. Б. Шемятихин. Критическое поведение мениска в кристаллах гелия-4. Письма в ЖЭТФ, 85, 213 (2007).

2. К. О. Keshishev, D. В. Shemyatikhin, Contact Angle Singularity in 4He Crystals. J. Low Temp. Phys., 150, 282, (2008).

3. Кешишев К. О., Марченко В. И., Шемятихин Д. Б., Исследование по-

верхности кристаллов 4Не. ЖЭТФ, 134 (2013).

Доклады на конференциях:

1. 49-я конференция МФТИ, Москва, ноябрь 2006. Доклад: К. О.Кеши-шев, Д. Б. Шемятихин, Капиллярные явления в кристаллах 4Не.

2. 34-е совещание по физике низких температур, Сочи, сентябрь 2006. Стендовый доклад: К. О. Кешишев, Д. Б. Шемятихин, Капиллярные явления в кристаллах 4Не.

3. Международная конференция QFS-2007, Казань, август 2007, содокладчик. Доклад: К. О. Кешишев, Д. Б. Шемятихин, Contact Angle Singularity in 4He Crystals.

4. 50-я конференция МФТИ, Москва, ноябрь 2007. Доклад: К. О. Кешишев, Д. Б. Шемятихин, Капиллярные явления в кристаллах 4Не.

5. Международная конференция LT-25, Амстердам, август 2008. Доклад: К. О. Кешишев, Д. Б. Шемятихин, Contact Angle Singularity in 4He Crystals.

6. Международная студенческая конференция CryoConference-2008, Мадрид, сентябрь 2008. Стендовый доклад К. О. Кешишев, Д. Б. Шемятихин, Contact Angle Singularity in 4He Crystals.

Список литературы

1. Марченко В. И., Паршин А. Я., New possibilities in crystal morphology. // Письма в ЖЭТФ, 83, 485 (2006).

2. Rolley Е., Guthmann С., Chevalier Е., and Balibar S., The Static and Dynamic Properties of Vicinal Surfaces on 4He Crystals. // Journal of Low Temp. Pliys. 99, 851 (1995).

3. Wolf P.E., Gallet F., Balibar S., Rolley E., Nozie'res P., Crystal growth

and crystal curvature near roughening transitions in hep 4#e. // Journal de Physique 46, 1987 (1985).

4. Марченко В. И., Паршин А. Я., Об упругих свойствах поверхности кристаллов. // ЖЭТФ 79, 257 (1980).

5. Воронков В. В., Об угловой зависимости свободной поверхностной энергии кристалла. // Кристаллография, 12, 831 (1967).

6. Gruber Е. Е. and Mullins W. W., On the theory of anisotropy of crystalline surface tension. // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 28, 875 (1967).

7. Андреева О. А., Кешишев К. О., Осипьян С. Ю., Анизотропия коэффициента роста и поверхностной жесткости кристаллов 4 Не. // Письма в ЖЭТФ, 49, 661 (1989)

8. Кешишев К. О., Паршин А. Я., Бабкин А. В., Кристаллизационные волны в 4Не И ЖЭТФ, 80, 716 (1981).

9. Andreeva О. A., Keshishev К. О., Solid-SuperfluidiHe Interface. // Physica Scripta, T39, 352 (1991).

10. Кешишев К. О., Сорокин В. Н., Шемятихин Д. Б., Критическое поведение мениска в кристаллах гелия-4- // Письма в ЖЭТФ, 85, 213 (2007).

11. Кешишев К. О., Марченко В. И., Шемятихин Д. Б., Исследование поверхности кристаллов 4//е. // ЖЭТФ, 143, 674, (2013).

Подписано в печать. Формат А5. Тираж 101 Экз. Заказ №5602. Типография ООО "Ай-клуб" (Печатный салон МДМ) 119146, г. Москва, Комсомольский проспект, д.28 Тел. 8-495-782-88-39

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

+

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы

Российской академии наук

04201355997

на правах рукописи

УДК 536.7

Шемятихин Дмитрий Борисович

Капиллярные явления в кристаллах 4Не

Специальность 01.04.09 - Физика низких температур

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН Кешишев К. О.

Москва

2013

Оглавление

Введение 3

Постановка задачи 6

1.1 Равновесная форма кристалла................................6

1.2 Энергия вицинальной поверхности............................8

1.3 Рост грани кристалла..........................................13

1.4 Минимизация полной энергии..................................15

1.5 Обзор экспериментальных результатов ......................22

1.6 Экспериментальные данные по поверхностной жесткости 4Не 26

Эксперимент 29

2.1 Экспериментальная установка ................................29

2.2 Калибровка и тестирование фотоаппарата ..................40

2.3 Дифракционная картина ......................................45

2.4 Ход эксперимента ..............................................52

Обработка результатов и обсуждение 57

3.1 Обработка фотографий........................................57

3.2 Результаты......................................................72

Приложение 85

Список литературы 94

Введение

Капиллярные явления обычно присущи жидкостям, однако в ряде случаев могут наблюдаться и в кристаллах. Существенным отличием является то, что в кристаллах нет кинетического механизма, обеспечивающего практически бездиссипативный перенос вещества из одного места (скажем, с угла) в другое. И даже у кристалла, находящегося в равновесии с расплавом, конечный кинетический коэффициент роста препятствует образованию равновесной формы, образец растет в тех направлениях, где этот коэффициент больше. Можно ожидать наблюдение капиллярных эффектов в классических кристаллах лишь у микроскопических образцов. Чем их размер меньше, тем больше кривизна поверхности и, следовательно, больше движущая сила, стремящаяся изменить форму кристалла. Кроме того для формирования у малого кристалла поверхности равновесной формы требуется перенести гораздо меньше вещества. И действительно, исследователям удалось наблюдать изменение формы кристалла в сторону равновесия лишь у микроскопических кристаллов парафинов (например, Клия [1]) и металлов (см. например Metois и Heyraud [2]). В ряде случаев наблюдалась огранка (например, Jackson и Miller [3]). Однако надежных доказательств достижения равновесной формы не существует.

Совершенно отдельно стоит кристалл 4Не. У него отсутствует большинство барьеров, связанных с кристаллизацией. Во-первых, благодаря квантовым эффектам, кинетический коэффициент роста кристалла при низких температурах становится аномально большим для всех направлений за исключением нескольких выделенных. Во-вторых, при достаточно низкой температуре кристалл окружен сверхтекучей жидкостью, которая

может бездиссипативно переносить массу. И в-третьих, мала теплота кристаллизации. В итоге кристалл 4Не может принять равновесную форму очень быстро, в ряде случаев за времена порядка секунд.

Яркой иллюстрацией капиллярных эффектов в 4Не является наличие кристаллизационных волн — колебаний поверхности кристалла, обусловленных его быстрым ростом и плавлением, в то время как кристаллическая решетка остается неподвижной (Андреев и Паршин [4], Кешишев, Паршин, Бабкин [5, 6]).

Согласно современным теоретическим представлениям, анизотропия поверхностной энергии вицинальных направлений определяется элементарными ступенями и их взаимодействием. Измерение равновесных профилей при таких ориентациях позволяет сделать количественные оценки энергии ступени и энергии взаимодействия ступеней. Исследованию формы менисков кристалла 4Не вблизи грани (0001) посвящена данная диссертация.

Было обнаружено, что в диапазоне температур 0,5<Т<0,9К. при не слишком малых углах (кристаллографическая ориентация 0,01 < 9 < 0,1 рад.) профили менисков описываются гиперболическими функциями, что соответствует отсутствию анизотропии поверхностной жесткости. В то же время, в этой области углов был обнаружен линейный по \в\ вклад в поверхностную энергию и измерена температурная зависимость коэффициента при этом члене. Кроме того была обнаружена и оценена анизотропия энергии стекло-кристалл 4Не.

Диссертация организована следующим образом. Первая глава посвящена теоретическому рассмотрению равновесной формы кристалла, ее зависимости от температуры. Обсуждены проблемы, связанные с получением равновесной формы. Рассмотрен случай, когда кристалл ограни-

чен с двух сторон наклонными стенками. Также приведен обзор экспериментальных работ, посвященных капиллярным свойствам кристаллов. Во второй главе описана схема и ход эксперимента. Третья глава посвящена обработке и обсуждению полученных результатов, описанию алгоритмов программы обработки изображений.

Основные результаты работы были представлены на научных семинарах ИФП РАН, на 49-й конференции МФТИ (ноябрь 2006), на 34-м совещании по физике низких температур в Сочи (сентябрь 2006), 50-й конференции МФТИ (ноябрь 2007), на международных конференциях (^-2007 в Казани (август 2007), ЬТ-25 в Амстердаме (август 2008), СгуоСоп£егепсе-2008 в Мадриде (сентябрь 2008). Результаты диссертации опубликованы в работах [7, 8, 9].

Глава 1

Постановка задачи

1.1 Равновесная форма кристалла

Форма кристалла, при которой его полная энергия, включающая в себя поверхностную, минимальна, называется равновесной. В отсутствие внешних полей эту форму полностью определяет поверхностная энергия а и граничные условия. Для жидкости, которая изотропна, в отсутствие стенок эта форма представляет собой тело с минимальной площадью поверхности, то есть шар. В случае кристалла поверхностная энергия является функцией кристаллографической ориентации 01,02, и его равновесная форма соответствует симметрии кристалла.

В отсутствие внешних полей равновесная форма кристалла дается построением Вульфа [10]. Суть его в том, что форма кристалла состоит из таких участков (возможно, плоских), расстояние от которых до центра пропорционально поверхностной энергии этих участков. Это правило позволяет, зная поверхностную энергию, наглядно представить форму кристалла: от точки во всех возможных направлениях надо отложить отрезки, пропорциональные поверхностной энергии для данной кристаллографической ориентации, и провести через их концы перпендикулярные плоскости. Огибающая семейства таких плоскостей определяет равновесную форму кристалла.

Математически условие фазового равновесия выражается дифференциальным уравнением Херинга [11]

где F — свободная энергия единицы объема кристалла, р — давление жидкости, ¡i — химический потенциал жидкости, у — атомный объем кристалла, R\, R2, в\ и 6% — главные радиусы кривизны поверхности в данной точке и соответствующие им кристаллографические направления. При произвольно выбранных координатах форма кристалла определяется тензором поверхностной жесткости áij = aóij + д2а/dQidOj.

В случае, когда кристалл ограничен стенками камеры, около них будет фиксированный краевой угол, определяемый разностью поверхностной энергии жидкость-стенка и кристалл-стенка, а также поверхностной энергией кристалла. Профиль же между стенками описывается решением уравнения (1). В общем случае в уравнение дадут также свой вклад все внешние силы, действующие на кристалл, например, поле тяжести или электрическое поле.

Наличие плоского участка (атомногладкой грани) в равновесной форме кристалла связано с особенностью в поверхностной энергии, производная которой испытывает скачок в этом направлении. Этот факт был обнаружен еще Гиббсом [12]. Величина этого скачка согласно построению Вульфа определяет размер грани.

Форма кристалла зависит от температуры. Как было показано Ландау [13], при абсолютном нуле у классического кристалла должны присутствовать все возможные грани вплоть до самых высоких индексов Миллера. С повышением температуры появляются скругленные участки, количество граней уменьшается. Исчезновение грани называется фазовым переходом огранения (roughening transition) (Burton и Cabrera [14]) и сопровождается исчезновением особенности в поверхностной энергии. Атомногладкая грань превращается в атомношероховатую поверхность, существенно меняется механизм роста в этом направлении.

Для квантовых кристаллов набор кристаллографических ориентаций, соответствующих атомногладким граням, даже при самых низких температурах оказывается совсем небольшим. У 4Не обнаружены три перехода огранения: (0001) с температурой 1,28К ([6], Avron и др. [15]), (1010) при 0,8К (Landau и др. [16], Андреева и Кешишев [17]), и (ЮН) при 0,365 К (Wolf и др. [18]).

1.2 Энергия вицинальной поверхности

Важным частным случаем поверхности кристалла является вициналь-ная поверхность, ориентация которой близка к ориентации атомноглад-кой основной грани (с небольшими индексами Миллера).

Рассмотрим участок поверхности кристалла, наклоненный на небольшой угол в к плоскости грани. Атомы в кристалле расположены в упорядоченной решетке, поэтому на микроскопическом уровне такая поверхность будет представлять собой лестницу из плоских участков с высотой ступени в один атомный слой (см. рис. 1). Соответственно, энергия такой поверхности будет складываться из энергии плоских участков и энергии ступеней (Ландау [13]):

а(в) = a0cose + sin#| + Emt, (2)

где ао — поверхностная энергия грани, ß — энергия ступени на единицу ее длины, h — высота ступени, Eint — энергия взаимодействия ступеней на единицу площади.

Первый член в этой сумме — энергия плоских участков, нормированная на единицу площади уже новой поверхности. Второй член — сумма энергий ступеней, количество которых на единицу длины грани равно |sin0|/h. Именно эта математическая особенность ответственна за при-

Рис. 1: Вицинальная поверхность кристалла, наклоненная на угол в к базовой грани. h — высота ступени, d — расстояние между ступенями.

сутствие в равновесной форме грани. Действительно, справа и слева от направления 0 = 0 производная da/dO конечна и имеет разные знаки. Этот факт был известен еще Гиббсу, который в сноске на странице 311 в книге [12] отметил, что «производные от а по направляющим косинусам поверхности являются, по-видимому, разрывными функциями последних».

Третий член суммы не менее важен и отвечает за взаимодействие ступеней. Для определения Eint на вицинальной поверхности ниже будут рассмотрены различные механизмы их взаимодействия.

Теоретически рассмотрено несколько принципиально разных механизмов взаимодействия ступеней. Основными являются упругое (Марченко и Паршин [19]), электростатическое (Воронков [20]) и энтропийное (конфигурационное) (Воронков [20], Gruber и Mullins [21]). Первое связано с упругими деформациями решетки, создаваемых ступенью. Второе связано с взаимодействием дипольных электрических моментов, сконцентрированных около ступени. Третье вызвано тем, что ступени не могут пересекаться, и длинноволновые флуктуации их формы «не умещаются» между соседними ступенями. Это взаимодействие появляется только в том случае, если первые два малы, иначе ступени не могут сближаться. Все эти механизмы приводят к взаимодействию между соседними ступе-

нями, пропорциональному 1 /d2, но с по-разному зависящими от температуры коэффициентами.

Вычислим вклад этих взаимодействий в поверхностную энергию. Количество ступеней на единице длины вицинальной грани равно | sm6\/h, расстояние между ними d—h/ \ sin#|. В итоге получаем

_, | sin в1 / h \~2 . о о

Егщ (X ^ —— ос sin в\ « \е6 , h \|sm6,|y

откуда

а(в) = а0 cos6 + sin6>| + (3)

IL U

Здесь 7 — константа взаимодействия между ступенями. Численный коэффициент 6 введен для удобства.

Такой вклад энергии взаимодействия ступеней в поверхностную энергию справедлив только до тех пор, пока угол наклона поверхности не слишком велик.

Наряду с перечисленными выше взаимодействиями в кристалле могут присутствовать другие механизмы, например, рассмотренное Ландау ван-дер-ваальсовское взаимодействие, приводящее к отталкиванию ступеней по закону 1 ¡S [13], которое даст вклад в энергию поверхности более высокого порядка ~ в4.

Рассмотрим подробнее основные механизмы взаимодействия.

Упругое взаимодействие ступеней.

Из теории упругости известно, что два точечных дефекта в твердом теле отталкиваются друг от друга, и их энергия взаимодействия ведет себя по закону ~ 1 /<i3 (d — расстояние между ними) (см. например, Ко-севич [22]). Ступени на поверхности кристалла ведут себя как линейные дефекты, и их энергия взаимодействия будет пропорциональна 1/d2 [19].

Существенным отличием ступени от произвольного линейного дефекта будет наличие момента сил, сосредоточенного вблизи ступени. Вдали от нее поверхность однородна, и поверхностное натяжение равно некоторой величине £ (эта величина не равна поверхностной энергии о; и в общем случае является тензором [19]). Силы поверхностного натяжения по разные стороны ступени равны, но приложены в разных плоскостях: г = 0 и 2 = /г, что приводит к ненулевому моменту сил е/г, действующий на ступень и направленный вдоль нее. Этот момент также создаст поле упругих деформаций в кристалле.

Марченко и Паршин [19] показали, что энергия взаимодействия двух ступеней в изотропном случае

^ 1 - а2 1

Ее1 ос —----;

Ей2'

Е — модуль Юнга кристалла, о — коэффициент Пуассона. Данное выражение справедливо только для взаимодействия дефектов в изотропной теории упругости. В более сложных случаях, например, гексагональной плотноупакованной решетки кристалла 4Не, результат качественно не должен измениться.

Электростатическое взаимодействие ступеней.

Наряду с упругим существует электростатическое дипольное взаимодействие ступеней, рассмотренное Воронковым [20]. Поверхность кристалла обладает двойным электрическим слоем. Каждая ступень, как дефект поверхности, будет иметь дополнительный дипольный момент. Положим его равным р на единицу длины. Энергия взаимодействия диполей составляет ~ р2/<^3- После интегрирования по длине обеих ступеней получается энергия взаимодействия на единицу длины равная

Р2

Ее1 ос -2.

В общем случае может наблюдаться как отталкивание, так и притяжение ступеней в зависимости от направления дипольного момента каждой ступени.

Энтропийное взаимодействие ступеней.

Данный механизм был рассмотрен Воронковым [20], а также Грубером и Мюлленсом [21].

При ненулевой температуре на классической ступени присутствуют изломы разных знаков, в результате она перестает быть прямой. Изломы могут перемещаться по ступени, изменяя ее форму, энтропия ступени возрастает.

Длинноволновые флуктуации ступеней имеют большую амплитуду и не умещаются между соседними ступенями. Подобные флуктуации становятся коллективными, ступени начинают колебаться вместе. Такое поведение ведет к уменьшению энтропии системы, увеличению свободной энергии, и, следовательно, к отталкиванию ступеней друг от друга. Этот механизм может быть нарушен достаточно сильным упругим или электростатическим отталкиванием ступеней, которое подавит индивидуальные флуктуации.

Аккуратный расчет, проведенный Покровским и Талаповым [23], приводит к выражению для энергии энтропийного взаимодействий ступеней

_ ^(квТУ "" ~ 6 р<р ' 1'

которое существенно зависит от температуры. Таким образом, энтропийное взаимодействие может проявиться только при достаточно высокой температуре, если оно превысит другие механизмы.

Как можно видеть, анализ температурной зависимости энергии взаимодействия ступеней позволяет выяснить характер этого взаимодействия.

Взаимодействие ступеней изучалось экспериментально в классических кристаллах. Wang и др. [24] измерили флуктуации расстояния между ближайшими ступенями в кристалле кремния на слегка наклоненном относительно грани (111) участке. Полученное распределение хорошо описывалось моделью, в которой энергия взаимодействия ступеней обратно пропорциональна d2, и оказалось гораздо уже, чем предсказанное для невзаимодействующих ступеней. Такая методика позволила измерить распределение расстояний между ступенями и в других кристаллах, см. например, Rousset и др. [25].

1.3 Рост грани кристалла

Для того, чтобы кристалл приобрел равновесную форму необходимо, чтобы скорость его роста во всех направлениях была отлична от нуля вплоть до самых маленьких значений передавления ÔP (на эту величину давление выше, чем на кривой плавления).

Атомношероховатые участки поверхности могут расти достаточно легко, присоединение новых атомов не меняет ее состояние. Вицинальные участки поверхности растут за счет перемещения ступеней. Для роста же атомногладкой грани, напротив, необходимо зарождать слой за слоем, что является существенным препятствием для ее роста. Таким образом в реальных кристаллах грань практически всегда находится в метастабиль-ном состоянии, она не может дорасти до своего равнов