Категории полигонов над полугруппами с системами локальных единиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

1. Категория полигонов S — Act.

1.1. Основные определения и вспомогательные результаты.

1.2. Некоторые свойства категории S — Act.

1.3. Проективные полигоны в S — Act.

1.4. Характеризация образующих в категории S — Act.

2. Функторы тензорное произведение и Нот.

2.1. Тензорное произведение.

2.2. Ковариантный Нот-функтор.

2.3. Контравариантный Нот-функтор.

2.4. Сопряженность функторов и ее следствия.

3. Прямые пределы.

3.1. Прямые пределы полигонов.

3.2. Прямые пределы в категории SSLU.

3.3. Функторы, перестановочные с прямыми пределами.

4. Морита-эквивалентность полугрупп с системами локальных единиц.

4.1. Необходимые условия Морита-эквивалентности.

4.2. Критерий эквивалентности.

4.3. Полугруппы с CJIE, эквивалентные моноидам.

5. Двойственность Морита.

5.1. Категория sC.

5.2. Необходимые условия Морита-двойственности.

5.3. Достаточные условия двойственности Морита.

5.4. Произведения и копроизведения нерефлексивны.

6. Эквивалентность категорий нечетких полигонов над полугруппами с СЛЕ,

6.1. Категория нечетких полигонов над полугруппой с СЛЕ.

6.2. Тензорные произведения нечетких полигонов.

6.3. Категории нечетких полигонов над Морита-эквивалентными полугруппами.

6.4. Морита-эквивалентность полугрупп с эквивалентными категориями нечетких полигонов.

Аналогично тому, как представление кольца Я эндоморфизмами абелевой группы определяет Д-модуль, представление полугруппы 5 преобразованиями множества определяет ^-полигон (в некоторых источниках встречаются термины 5-операнд, 5-система, 5-множество). Категории полигонов над моноидами (то есть полугруппами с единицей) в течение последних тридцати лет являлись предметом интенсивного изучения многими математиками. Детальное изложение известных результатов содержится в [13]. Кроме того, полигонам над моноидами посвящен библиографический обзор [14], в который вошли работы, вышедшие до 1981 года.

Одним из направлений исследований моноидов является развитие теории эквивалентности и двойственности, аналогичной предложенной К. Мо-ритой для колец с единицей. Впервые двойственность категорий левых Я- и правых 5-модулей, названная впоследствии Морита-двойственностью, была рассмотрена К. Моритой в 1958 году в [23] и Г. Адзумайей в вышедшей годом позже работе [10]. Ими было доказано, что такая двойственность всегда реализуется функтором Нот{, X), где бимодуль лХ$ является инъ-ективным кообразующим с обеих сторон и, кроме того, Я = Епйз{Х) и 5 = Еп(1л{Х). Помимо этого, доказано, что двойственность между категориями всех левых Я- и правых 5-модулей невозможна и что необходимо рассматривать их специальные подкатегории. Более поздние результаты, касающиеся Морита-двойственности колец с единицей, содержатся, например, в [24], [28] и [30].

В той же работе [23] и в более поздней работе [22] К. Морита исследует эквивалентность категорий левых модулей над двумя кольцами с единицей. Систематизированное изложение теорем Морита об эквивалентности колец с единицей содержится, например, в [9], [29].

В 1972 году У. Кнауэр [16] и Б. Банашевски [11] независимо перенесли на категории полигонов над моноидами теорию Морита-эквивалентности колец. Ими получены практически одинаковые результаты, а именно: два моноида А и В Морита-эквивалентны, то есть обладают эквивалентными категориями левых полигонов над ними, тогда и только тогда, когда В = аАа, где а2 — а^АжвА существуют элементы V такие, что а1 = I и VI = 1. Кроме того, в работе [16] приведена характеризация образующих категории левых полигонов над моноидом, дополненная впоследствии в [17], изучена структура проективных полигонов, сформулирован аналог для полигонов над моноидами известной теоремы Габриэля-Уоттса об эквивалентности тензорному произведению функтора между категориями модулей над кольцами с единицей, перестановочного с копроизведени-ями и коядрами. Полное доказательство этого утверждения содержится в [13].

У. Кнауэр и П. Нормак в работе [18] рассмотрели вопрос о Морита-двойственности двух моноидов 5 и Т, которую они определили как двойственность между минимальными полными подкатегориями категории левых ^-полигонов и категории правых Т-полигонов, содержащими 5 и Т соответственно и замкнутыми относительно взятия подполигонов и факторов. Аналогично тому, как это доказано в [23] для колец, в [18] показано, что такая двойственность реализуется функтором Лога(, X). Предложенный в [18] критерий содержит довольно сильное условие на моноид, при котором может существовать двойственный к нему, а именно, существование двустороннего нуля. Кроме того, в [18] доказано, что конечный моноид, обладающий двойственным, является также двойственным к самому себе.

Отказ от аддитивной структуры, то есть переход от модулей над кольцами к полигонам над моноидами, - это не единственное возможное направление обобщения теории модулей над кольцами с единицей. Другим направлением является обобщение результатов, известных для случая колец с единицей, на более широкие классы колец. В частности, можно рассматривать кольца с локальными единицами, где вместо общей для всех элементов единицы существует система идемпотентов такая, что каждый элемент кольца допускает некоторый идемпотент из этой системы в качестве двусторонней единицы. Для таких колец доказаны критерии Морита-эквивалентности двух колец в терминах прямых пределов [6] и в более классической форме - в терминах Морита-контекста [7], доказан критерий Морита-двойственности двух колец с системами локальных единиц [8].

В настоящей диссертации мы объединяем оба эти направления и рассматриваем полигоны над полугруппами с системами локальных единиц

CJIE). Заметим, что данная работа не является первой, посвященной этому синтезу. В недавно вышедшей работе С. Талвара [27] сформулирован и доказан критерий Морита-эквивалентности двух полугрупп с CJIE в терминах Морита-контекста, аналогичный приведенному в [7] для колец.

В первой главе настоящей диссертации определяется категория S — Act полигонов над полугруппой с системой локальных единиц и доказывается, что она обладает многими важными свойствами, аналогичными свойствам категории полигонов над моноидом. В частности, мы выясняем устройство мономорфизмов и эпиморфизмов в категории S — Act, даем общую характеризацию образующих объектов. К сожалению, открытым остался вопрос о том, можно ли доказать в случае полугруппы с CJIE аналог теоремы Габриэля-Попеску о полном вложении (для моноидов это сделано в [17]). Кроме того, изучена структура проективных S-полигонов, играющих существенную роль в теории Морита. При этом становится понятным принципиальное отличие случая полугруппы с системой локальных единиц от случая моноида, а именно возможность непроективности полугруппы как полигона над собой.

Вторая глава посвящена Нот-функторам и тензорному произведению. Определение тензорного произведение переносится на полигоны над полугруппой с CJIE без всяких затруднений. С Дот-функторами возникают определенные проблемы. Это связано с тем, что для двух полугрупп с CJIE S и Т, левого 5-полигона N и 5-Т-биполигона М множество Homs(N, М), вообще говоря, не является левым Т-полигоном, так как нарушается условие унитарности. Поэтому определение Нот-функтора необходимо изменить и рассматривать ТНот. В четвертом разделе главы 2 мы докажем леммы о сопряженности тензорного произведения с ковариантным Нот-функтором и о сопряженности справа контравариантных Лот-функторов. Их следствием является теорема 2.14, описывающая классы объектов и морфизмов, а также конструкции, сохраняемые каждым из этих функторов.

В третьей главе аналогично тому, как это сделано в [6] для колец с СЛЕ и модулей над ними, мы определяем прямые пределы полигонов над полугруппами с CJIE и полугрупп с CJIE, доказываем их существование и получаем некоторые представления полигонов и полугрупп в виде прямых пределов, аналогичные доказанным в [6] для колец и модулей. Кроме того, в третьем разделе рассматриваются функторы между категориями полигонов, перестановочные с прямыми пределами. В том числе мы выявляем связь таких функторов с тензорным произведением, а также рассматриваем условия перестановочности с прямыми пределами ковариантного Нот-функтора. Эти результаты представляют самостоятельный интерес, а также будут неоднократно использоваться в дальнейшем при доказательстве критериев Морита-эквивалентности и Морита-двойственности.

В главе 4 формулируется и доказывается критерий Морита-эквивалентности полугрупп с СЛЕ в терминах прямых пределов, аналогичный предложенному в [6] для колец с СЛЕ.

В главе 5 формулируется и доказывается критерий Морита-двойственности полугрупп с СЛЕ. В частности, как и для моноидов в [18], мы получаем довольно жесткое условие на двойственные полугруппы - существование в каждой из них двустороннего нуля.

В главе 6 рассматриваются категории нечетких полигонов над полугруппами с СЛЕ. Основным результатом главы является тот факт, что две полугруппы с СЛЕ обладают эквивалентными категориями нечетких полигонов над ними тогда и только тогда, когда полугруппы Морита-эквивалентны. Для доказательства этого мы пользуемся техникой, аналогичной предложенной в [19] для модулей над кольцами с единицей. Ключевым элементом всех построений является понятие топологической теории на категории и топ-категории, задаваемой этой топологической теорией.

Промежуточные этапы работы обсуждались на семинаре " Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. Н. Латышева и проф. А. В. Михалева, а также на семинаре проф. У. Кнауэра в Ольденбурге, ФРГ.

Основные результаты диссертации изложены в работах автора [31], [32], [33] и [34].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физ.-мат. наук, проф. А. В. Михалеву за постановку задач и внимание к работе, а также профессору У. Кнауэру за ценные замечания.

1. И. БУКУР, А. ДЕЛЯНУ, Введение в теорию категорий и функторов. Москва, "Мир", 1972.

2. Н. БУРБАКИ, Элементы математики, Алгебра, Глава X: Гомологическая алгебра. Москва, "Наука", 1987.

3. А. КЛИФФОРД, Г. ПРЕСТОН, Алгебраическая теория полугрупп, I, II. Москва, "Мир", 1972.

4. С. ЛЕНГ, Алгебра. Москва, "Мир", 1968.

5. Л. А. СКОРНЯКОВ, К гомологической классификации моноидов. Сиб. Мат. журнал, 10 (1969), 1139-1143.

6. G. D. ABRAMS, Morita equivalence for rings with local units. Comm. Algebra 11 (1983), 801-837.л

7. P. N. AHN, L. MARKI, Morita equivalence for rings without identity. Tsukuba J. Math., vol. 11, No 1 (1987), 1-16.

8. P. N. AHN, C. MENINI, Morita duality for rings with local units. J. Algebra 164 (1994), 632-641.

9. F. W. ANDERSON, K. R. FULLER, Rings and Categories of Modules. Springer, Berlin-New York, 1974.

10. G. AZUMAYA, A duality theory for injective modules. Amer. J. Math 81, 1959, 249-278.

11. В. BANASHEWSKI, Functors into categories of M-sets. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 38 (1972), 49-64.

12. H. HERRLICH, G. E. STRECKER, Category Theory. Boston, Allyn and Bacon Inc., 1973.

13. M. KILP, и. KNAUEE, А. V. MIKHALEV, Monoids, Acts and Categories. Berlin, De Gruyer (выходит в свет)

14. M. KILP, U. KNAUER, А. V. MIKHALEV, L. A. 3KORN-JAKOV, Acts over monoids. A bibliographical survey of publications, 1975-1981. Bibliotheks- und Informationssystem der Universität Oldenburg, 1982.

15. E. W. KISS, L. MÄRKI, P. PRÖHLE, W. THOLEN, Cathegorical algebraic properties. Compendium on amalgamation, congruence extension, epimorphisms, residual smallness and injectivity. Studia Sei. Math. Hungarica 18 (1983), 79-141.

16. U. KNAUER, Projectivity of acts and Morita equivalence of monoids. Semigroup Forum, Vol. 3 (1972), 359-370.

17. U. KNAUER, A. V. MIKHALEV, Endomorphism monoids of generators in the category of 5-acts. Proc. of the Conference on Semigroups with Applications, Oberwolfach, 1991.

18. U. KNAUER, P. NORMAK, Morita duality of monoids. Semigroup Forum 40 1990, 39-57.

19. SERGIO R, LOPEZ-PERMOUTH, Lifting Morita equivalence to the categories of fuzzy modules. Inf. Sciences 64 (1992), 191-201.

20. S. MACLANE, Categories for the working mathematician. New York, Springer, 1971.

21. B. MITCHELL, Theory of categories. Pure and Appliaed Mathematics, New York, Academic Press, 1965.

22. K. MORITA, Category-isomorphisms and endomorphism rings of modules. Trans. Amer. Math. Soc. 103 (1961), 451-469.

23. K. MORITA, Duality of modules and its applications to the theory of rings with minimum condition. Sei. Rep. Tokyo Kyoku Daigaku, 6 (1958), 85-142.

24. B. J. MÜLLER, Morita duality a survey. В сб. Abelian groups and modules (Udine, 1984), CISM courses and lectures, 287 (1984), 395-414.

25. Z. SEMADENI, A. WIWEGER, Einfürung in die Theorie der Kategorien und Funktoren, Leipzig, 1979.

26. H. SCHUBERT, Kategorien I und II, Berlin und Heidelberg, 1970.

27. S. TALWAR, Morita equivalence for semigroups. J. Austral. Math. Soc. (Series A) 59 (1995), 81-111.

28. H. TACHIKAVA, Quasi-Frobenius Rings and Generalizations of QF-3 and QF-1 Rings, Lecture Notes in Math. 351. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1973.

29. R. WISBAUER, Grundlagen der Modul- und Ringtheorie, München, 1988.

30. W. XUE, Rings with Morita Duality. Lecture Notes in Math. 1523, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1992.Публикации по теме диссертации.

31. B.B. НЕКЛЮДОВА, Морита-эквивалентность моноидов и эквивалентность категорий нечетких полигонов. Фунд. и прикл. математика т. 3, Ш (1997), 179-194.

32. В. В. НЕКЛЮДОВА, Морита-эквивалентность полугрупп с направленными системами локальных единиц. Фунд. и прикл. математика,-(Sтз); 033-S&3.

33. В. В. НЕКЛЮДОВА, Полигоны над полугруппами с системами локальных единиц. Фунд. и прикл. математика, т. 3, №3 (1997), 879-902.

34. В. В. НЕКЛЮДОВА, Аналог теоремы Габриэля-Уоттса для полугрупп с системами локальных единиц. Kurosh Algebraic Conference '98, Москва, 1998, с.196.