Кинетические модели неравновесных фазовых переходов, связанных с возникновением ближнего и дальнего порядка тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ОЩЕЙ ®ШКИ

На прайах рукописи УДК 535.375 : 5Г7.358

пшнрин сытей львавш

КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ, СВЯЗАННЫХ С ВОЗНИКНОВЕНИИ! ЕШНЕГО И ДАЛЬНЕГО ПОРЯДКА

(Специальность 01.04.03 - радиофизика)

А в т о рв ф ер а т диссертация на соиоканиа ученой стелена кандидата физико-иатеиатичеоких наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Институте общей физики РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук Г.А.Ляхов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Л.А.Шелешш,

кандидат физико-математических наук К.Н.Драбович

Ведущая организация: Институт земного магнетизма, ионосферы в распространения радиоволн РАН

Защита состоится " " 1992 г. в

4 час. на заседании специализированного совета iHXD3.49.Q2

в Институте общей физики РАН (г.Москва, ул. Вавилова, 38). С диссертацией ыозшо ознакомиться в библиотеке ИОФАН Автореферат разослан " А5 " ОкЛЦ&рк 1992 г.

. Ученый се1фетарь специализированного совета, доктор физико-ыатеыатяческих наук

/В.П. Висов/

Г"1—

I ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность теш

Развитие творил, электромагнитных волн невозможно без привлечения новых сведений об оптических воспршмчивостях, управляющих распространением электромагнитных воля в среде, т.е. о структуре среда. При этсы оптические восприимчивости (их симметрия, относительный вео изотропных и анизотропных компонент) определяющим образом зависят от макроскопической симметрии среда (например, класса кристаллографической симметрии твердого тела). Исследование оптических воспршмчивостей дает способ установления симметрии среда, которая существеннш образом изменяется при разовых переходах (см. /"1-3У).

Пра этом особую актуальность приобретает исследование фазовых переходов, изменение симметрии при которых не столь радикально, как, например, при фазовых переходах "кристалл - изотропная среда". В особенности это относится в фазовым переходам, -смеющим отношение к жидкому состоянию вещества, адекватное сим-ыетрийное описание которого пока отсутствует. Основная трудность здесь состоит в тем, что для жидкости не удается ввести параметр порядка о нетривиальной симметрией. Поэтому приходится ограничиваться лишь качественными представлениями о том,что аидкое состояние вещества характеризуется наличием ближнего порядка, в отличие от кристаллических твердых тел, в которых имеет место дальний конфигурационный порядок и газов, в которых и дальний, и ближний порядок отсутствуют (см. /"47).

Более того, многие ыа£фойкоппческие оптические процессы

(лазерная генерация, суверлшинисценция и т.д.) связаны с неравновесными фазовыми переходами. В частности, шеет место далеко идущая апология ыезду веравновеснш фазовым переходом, связанна о возникновением лазерной генерации а равновесными фазовыми переходами, прячем интенсивность накатки играет роль тетера тура С5_7. Для '.теоретического описания неравновесных фазовых переходов, связанных с тщх/скоатвоктл оптическими процессами, также представляет веста вахшш концепции пространственного к' временного &шанего и дальнего порядков (пространственная а временная когерентность) /~6, 7].

Б связи с атш весьма актуальным представляется развитие методов а подходов теория равновесных к неравновесных фазовых переходов, явно учитывающих геометрические характеристика рассматриваемой системы (эффективную размерность системы, класс симметрии молецул, образувдих вещество, фазовые перехода в которой исследуются), а такяе определенные модельные представления о кинетике процессов в исследуемой системе /"8-10 У *

К числу бурно развивавшихся в последнее время методов, основанных на такой подходе, в. первую очередь относятся метод скейлинга в теории равновесных фазовых переходов СЮ У и метода, связанные с использованием стохастических дифференцяаль- -ных уравнений в теории неравновесных фазовых переходов, индуцированных шуысм Г&7.

Однако, несмотря на значительные успехи, достигнутые применением указанных методов, многие важные задачи до сих пор нерешены. В частности, это относится к сложным системам, которые цогут образовывать большое ( ~ 10) количество фаз (как, например, вода /"11-14 _7); такие метода не дают также возмог-

ностд единообразного подхода и к разновесный а к неразновесны« фазовны переходам (несмотря на многие черта оходства между ними). Поэтому дальнейшее развитие такого рода методов, заполняющее указанные пробелы в теории разовых переходов, является весьма актуальным.

Цель работы

Основной целью диссертационной работы является теоретичес-, кое исследование равновесных и неравновесных фазовых переходов, связанных с возникновением ближнего а дальнего порядка в системах различной природы, на основе единого неравновесного подхода, основанного на использовании нелокальных (по пространству либо по времени) кинетических моделей.

Научная новизна

В диссертационной работе о помощью ранее не применявшихся подходов и-методов, основанных на использовании нелокальных по пространству либо по времени кинетических моделей, исследованы

1) процесс релаксации пространственно-однородной плотной среды, состоящей из максвелловских молекул,

2) формирование внутренней структуры импульса электромагнитного сверхизлучения,

3) радиационно-стимулированная агрегатизация дефектов Френкеля в твердых телах,

4) структура плотной среды о заданной молекулярной симметрией С2У ,чт0 позволило получить новые научные результаты, относящиеся к неравновесным и равновесным фазовым переходам, связанным о этими процессами и системами.'

Достоверность результатов

Достоверность вшосшяс на защиту теоретических результатов нодтверядается соответствием рассчитанных фазовых диаграмм ис-следуешх объектов их фазовым диаграммам, известным из эксперимента, а таксе соответствием меаду фазовыми диаграммами, которые были получены для одного и того хе объекта с помощью различных теоретических методов.

Личный вклад автора

Все изложенные в диссертации новые научные результаты получены лично автора«. Постановка задач и интерпретация результатов осуществлялись совместно с А.А.Арсеньевны и Г.А.Ляховым.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. Она изложена на 116 страницах, иллюстрируется 7 рисунками и I таблицей. Ее библиография включает 106 литературных ссылок.

Защищаемые положения

1. Для нелокальной по времени нелинейной кинетической модели плотной среда найдено точное решение в виде разложения в ряд по полиномам Лагерра. При непрерывна! изменении параметров модели шевт место качественные изменения свойств этих точных решений, т.е. в модели возмоаны разовые переходы.

2. На основе пространственно-временной аналогии введена лроотранотвзнно-нелокальная нелинейная кинетическая модель

плотной ореда с самосогласованным средни полем, явно учитывающим молекулярную сшаштрио С2у вода. Фазовая диаграмма модели топологически эквивалентна известной из эксперимента фазовой диаграмме вода. Модель позволяет тайга найти зависимости скорости и коэффициента поглощения звука от волнового числа.

3. Предложено пространственно-нелокальное обобщение диффузионной модели процесса агрегатпзацпи радиационных дефектов Френкеля в твердых телах. В модели возысшш состояния, обладающие блиянш либо дальним порядком по пространственным переменным, прн невозможности состояний о полным отсутствием упорядоченности.

4. Предложена нелокальная во времени модель процесса формирования пшульса электромагнитного сверхизлучения. Модель позволяет найти условия, прн выполнении которых, в импульсе возникает ближний временной порядок.

Апробация результатов и публикация

В диссертации излагаются результаты, которые была опубликованы в II научных работах, доложены на П Мегяународнсгд рабочем семинаре "Акустика неоднородных сред" (г.Новосибпрск, 1416 апреля 1992 г.), обсуздены на научных семинарах в ИОЭАНе,• МГУ ш. М.В.Лдаоносова и других организациях.

Научная и практическая ценность

I. Результаты, относящиеся к пространственно-нелокальной кинетической модели плотпой среда, могут быть использованы при расчете оптических воснриимчивостей вода и других ассоцп- .

ированных жидкостей. и растворов, а также веществ, молекулярная симметрия которых близка к молекулярной симметрия вода (например, гелия - 4). Эти результаты также могут быть использованы при создавай микроскопических моделей структуры воды, обьяс-вящах ее аномальные свойства» Кроме того, эти результаты могут быть использованы при разработке новых экспериментальных . (оптических и акустических) методов исследования микроскопических свойств (характерная длина нелокальности межмолеиулярного взаимодействия, доля разорванных водородных связей среди общего их числа) и структуры воды и, вообще, ассоциированных зад-костей, многие из которых имеют важное значение для биологии.

2. Результаты, полученные при исследовании пространственно-нелокальной модели агрегатизяцая радиационных дефектов Френкеля в твердых телах, имеют непосредственное значение для задач радиационного материаловедения. В диссертационной работе даны рекомендации относительно того, при каких условиях может быть экспериментально реализован ближний либо дальний порядок

в расположения дефектов; получены формулы, которые позволяют вычислять характерные размеры агрегата и могут быть использованы для расчетов радиационной прочности материалов.

3. Результаты, связанные с теорией нелокальных по скоростям кинетических моделей разреженных сред являются основой

для создания методов прямого статистического моделирования разреженных сред, которые могут использоваться для решения задач аарокосмической техники и микроэлектроники.

4. Результаты, полученные для нелокальной по времени кинетической модели плотной среды, согут быть использованы при разработке более точных кинетических моделей, описывающих про-

цесеы переноса и релаксации в плотных средах и позволявдих рао-считнвать оптические восприимчивости, коэффициента переноса и времена релаксации этих сред. Кроме того, эти результаты могут быть полезны при разработке новых сценариев перехода к турбулентности, описываэдих нелинейное взаимодействие мод, связанное с передачей энергии к модам с более высокой частотой.

5. Результаты, относящиеся к нелокальной по времени модели сверхиздучательной системы, могут быть использованы для точных оценок выходных характеристик (длительности импульса, формы оги-бащей, частоты осцилляцай, времени задержки) лазерных систем, реализующих процесс сверхизлучения и другие кооперативные оптические явления в условиях явно выраженной а пространственной нелокальности отклика среда.

П КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность гады, сформулирована цель работы, показана научная и практическая значимость проведенных исследований, 1фатко изложено содержание диссертации, дан обзор литературы, относящейся к методам теории фазовых переходов.

В первой главе на простых примерах стохастических моделей разреженного газа вводится метод пуассоновских неравновесных стохастических ансамблей, который в последующих главах будет использован для исследования более сложных объектов.

Вторая глава посвящена исследовании фазовых переходов в нелокальной по времени кинетической модели плотной среды, задаваемой немарковским кинетическим уравнением следующего вида:

Го^л^-^/гн*.. ю

Здесь -р( - одночаотичная функция распределения по скоростям, ^(.Ь)- неотрицательная функция, нормированная на единицу, О С^ Л - оператор столкновений Больциана для ыаксвелловских молекул /"15.7.

Кинетическое уравнение (I) является нелинейным и нелокальным по времени (немарковским). Оно представляет собой простейший нетривиальный частный случай обобщенного ншарковского кинетического уравнения для плотных, вообще говоря, газов и жидкостей (см. /"16 7) и превращается в обычное уравнение Болыдаана при "С -*• 0, Таким образсы, уравнение (I) представляет собой обобщение уравнения Больциана на тот случай, когда можно пренебречь трехчастичными столкновениями и пространственными корреляциями молекул, но нельзя пренебрегать немгновеЕностью столкновений. •

Для случая изотропной по скоростям функции распределения (^Д) 0^1,4;) найдено точное общее решение нелинейного уравнения (I) в виде

1 „ ^ п=0

где - полиномы Лагерра, Сп (ту удовлетворяют си-

стеме обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием, разрешимой реккурентным образсы.

На основе анализа точного решения (2) при различием виде ', функции ^ (Ь)7 характеризувдей длительность мезшолекуляряых

столкновений, установлена возможность изменения качественных свойств этого решения при непрерывном изменении параметров модели. Эти изменения качественных свойств интерпретируются как неравновесные фазовые перехода, связанные с возникновения! ближнего и дальнего временного порядка (переход к осциолляционнсму режиму затухания мод в разложении (2), и возникновение незатухаю-, щих мод).

Показана возможнбсть обобщения этих результатов на случай анизотропной по скоростям функции распределения. При этом точное решение имеет вид

(2*)-3'2 гхр (-$')'

а Е

"•о 1*п-2[§] »"=-&

-у- л/'»")

где (У, ~ сферические координаты вектора V, -

сферические функции, Сп1т (4:) удовлетворяют некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием, разрешимой рекуррентным образом, коэффициенты которой выражаются через коэффициенты Клебша-Гордана ( 11 Нп1 1гУг>2 | .

Дано динамическое обоснование нелокальной по времени кинетической модели, основанное на использовании модельной системы Д/ случайно взаимодействующих частиц, описываемой А/ стохастическими дифференциальными уравнениями по пуассоновскш мерам, и метода пуассоновских неравновесных стохастических ансамблей, введенного в главе I. 1фше того, эта динамическая модель

дает возможность построения алгоритма, позволяющего решать де-марковское нелинейное кинетическое уравнение методом частиц и обладающего сходимостью при ДА* °° к решению этого кинетического уравнения.

В третьей главе ахи результаты распространяются на прост-ранотвенно-нелокалызую нелинейную кинетичеокую модель плотной среды, введенную на основе пространственно-временной аналогии о нелокальной по времена кинетической моделью.

Мы вводим модельное кинетическое уравнение пространственно-нелокальным интегралом столкновений л самосогласованным молекулярный средним полем:

л

Здесь J\. - постояшшй положительный параметр, тензорное среднее поле, характеризуемое в каждой точке взаимно ортогональными главными осями ОС^ /ОС.^^ 0С3 и соответствующими им собственными-значениями ~С3 , Компоненты векторов и ^Р в базисе (в^], соответствующем главным осям СС.£ | пространственно-нелокальным образом выражаются через од-ночастичнув функцию распределения С У^Т.,-!:) и среднее поле Т (.^Д) в частности, имеют вид

ff.fi = а+

где LCf] - линеаризованный оператор столкновений Болыдоа-на (см. /"16 7), ¡) в d - постоянные параметры.

Собственные значения ~C-L а направления главных осей Xi самосогласованным образом выражаются через одночастичную функцию распределения -f у явным образом учитывая молекулярную симметрию воды Ctv ■

, _ Стационарные решения кинетического уравнения (3) отыскиваются в ввде

(4)

Здесь (V)- ыаксвелдовскоо распределение, ^ (А^ -нормированная на единицу собственная функция линейного оператора у^4 } отвечающая собственному значению А^и т.д.

Показано, что стационарное решение (4) может изменять своя качественные свойства при непрерывном изменении параметров нелегальности ¿)_, т.е.- я модели возможны фазовые переходы. . Эти фазовые перехода оотровоздавтоя возникновением (исчезновением) ближнего я дальнего конфигурационного порадка и могут • быть интерпретированы как переходы между газовой, жидкой и кристаллическими фазами. При этом модель допускает существование четырех фаз кристаллического типа о тетрагональной, орто-ромбаческой, кубичеокой и гексагональной симметрией.

Фазовая диаграмма модели в переменных и ,Д.о1, ■» = ( 2 - О (см. рис.1) имеет тройную точку "газ - жидкость -твердое тело" при о( « I, 1/2 и надлежащим выбором не-

Рио.1 Фазовая диаграмма модели в переменных нелокальности о< я £> : в - газовая, £ - жидкая, с кубическая, ' Ь- тетрагональная, • Ь -------

нальная, о - оргоронбяческая фазы.

гексаго-

прорывного преобразования

переводится - о точностью до сингоний - в экспериментальную Р^" -диаграмму вода.

Модель позволяет также, при определенных упрощающих предположениях, рассчитать зависимости скорости С и коэффициента поглощения звука <5 от волнового числа к в жидкой и газовой фазах:

(5)

гдо Сс и &о (к) - скорость и коэффициент поглощения звука при <\ = ^о и 0, 1а имеет смысл средней длины свободного пробега.

. Восстановление (по результатам рис. I, (5), экспериментальным даннш о с (к) и &(И при различных значениях давления Г и температуры 1 ) зависимостей позво-

лит продвинуться в разработке микроскопической модели нелокального взаимодействия между молекулами вода.

Динамическое обоснование рассматриваемой кинетической модели дано методом пуассоновских неравновесных статистических ансамблей, развитым в первой и второй главах. Использованная при этом модельная система нелокально взаимодействующих частиц, образующих плотную среду, позволяет уточнить физический смысл рассматриваемой кинетической модели.

Четвертая глава посвящена исследованию условий возникновения ближнего и дальнего порядка в более простой (по сравнении•

с рассмотренными в двух предыдущих главах), диффузионной, пространственно-нелокальной кинетической модели, описывающей процесс радиационно-стшулированной агрегатизации дефектов Френкеля. При этом особое внимание уделяется вопросу о соотношении между результатами, получаемыми для одночастичных концентраций и для пар ных корреляционных функций.

Исследованная модельная система уравнений, управляющая рождением и гибелью электрически нейтральных дефектов двух сортов / д Ьу рекоыбшшрующих пространственно-нелокальным образом, имеет вид:

^ = а а с/ - к сА (ч,1) I & (*.-*) ^ ) № «

+ I-в IV1-).

Здесь Сд и Св - концентрации, Рд и - коэффициенты диффузии, |< - скорость рекомбинации, & (ч.) - нормированная на единицу зависимость плотности вероятности рекомбинации в единицу времени пары разноименных дефектов от расстояния между ними, Сд и - интенсивности рождения дефектов. При этом предполагается, что на расстояниях порядка характерной длины рекомбинации интенсивности рождения разношенных дефектов некоррелированы между собой. При надлежащем выборе Сг^Ч.) система уравнений (6 ) может описывать и модель твердых сфер, и туннельную перезарядку /"17 _7.

Показано, что при непрерывной изменении параметров модели возможны изменения качественных свойств ее стационарных решений. Такие изменения связаны с возникновением ближнего либо дальнего порядка, в расположении дефектов, они интерпретируются как неравновесный фазовый переход, происходящий в открытой (наличие внешнего источника излучения) системе. При этсм предположение о некоррелированности процессов рождения разноименных дефектов приводит я тому, что стационарные состояния модели всегда обладают ближним либо дальним порядком. Таким образом, состояния с отсутствием упорядоченности в расположении дефектов связаны со случаем коррелированного (например, спонтанного) рождения разношенных дефектов.

Показано, что доя получения правильных качественных результатов о возмотаюсти различных видов упорядочения в рассматриваемой модели необходимо учитывать по крайней мере первые шесть членов разложения нелокальности в ряд по степеням длили рекомбинации. При это?д учет любого числа членов более высокого порядка приводит к такед же качественным результатам. Подход, основанный на использовании одаочастичннх концентраций, дает такие же качественные результаты относительно упорядочения дефектов,что и являвшийся более общепринятых подход, основанный на использования парных корреляционных функций. При этом имеет место также приемлемое соответствие между количественными результатами, • полученными при использования сткх двух подходов.

В пятой главе показано, что подход, развитый в предыдущих главах применительно к системам большого числа взаимодействующих частиц, может быть использован также и при исследовании систем "ато'.щ + электромагнитное паче", в которых возмоа-

но кооперативное высвечивание энергии, запасенной на атсыннх уровнях. Для описания процесса формирования импульса электромагнитного сверхизлучения в протяженном образце, используется следующая модельная система уравнений;

ОО

Х о (7)

,.1. Го(ь)РМ<ъ +

+

1.

Здесь П - число квантов поля, Р - скорость передачи вне; гш, запасенной за счет инверсной заселенности атомных уровней полю, 5 характеризует корреляцию между излучающими атомами,

- разность заселенности верхнего и нижнего атомных уровней, Т2. - время "поперечной" релаксации днпольного момента одиночного атома, Т и "С - феноменологические релаксационные константы.

Система (7) обобщает аналогичную систему уравнений, иссле дованную в /~18_7, явным образом учитывая немарковский характер процесса выноса излучения из образца, и отличается от нее наличием нелокальных по времени интегральных релаксационных членов в правых частях уравне- тй (7)»

Установлено, что при непрерывном изменении параметров модели может происходить изменение качественных свойств ее рещения, связанное с возникновением ближнего порядка в импульсе сверхизлучения. Такое изменение качественных свойств реиеняя может быть интерпретировано как неравновесный фазовый переход. Найдено условие на безразмерные параметры

Ь.^хь,

модели, при выполнении которого возникает ближний порядок в импульсе, т.е. имеет, место осцилляторный режш сверхизлучения.По-отроены - диаграммы модели при различных значениях параметра |и . Установлены все возможные качественно различные виды о< (Ь - диаграмм. Найдены интервалы значений параметра при которых эти вида оф- диаграмм достигаются.

Показано, что возможность возникновения ближнего порядка в импульсе сверхизлученяя в значительной степени определяется геометрическими характеристиками образца. Этот общий результат хорошо согласуется с результатами теоретических работ других авторов Г197, относительно влияния геометрии задачи на структуру импульса.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I. Для введенной нелокальной во времени нелинейной кинетической модели плотной среда найдено точное общее решение в виде ряда по полиномам Лагерра. Показано, что при непрерывном изменении параметров модели возможны качествешше изменения свойств этого точного решения, т.е. что в модели возможны фазо-

вые переходы. - Построена фазовая диаграмма модели.

2. Для построенной на основе пространственно-временной аналогии нелокальной нелинейной кинетической модели плотной среды, явно учитывающей молекулярную симметрию вода построена фазовая диаграмма в координатах, роль которых играют параметры пространственной нелокальнооти. Показано,.что эта диаграмма топологически эквивалентна фазовой диаграмме воды, известной из эксперимента. Найдены, при определенных упрощающих предаоложе-. нпях, частотные зависимости скорости и коэффициента поглощения звука для этой модели.

3. Предложено пространственно-нелокальное обобщение диффузионной модели процесса агрегатизации радиационных дефектов Френкеля в твердых телах. Найдены условия, при выполнении которых в модели возможны состояния, обладающие ближним и дальним порядком по пространственным переменным. Показана невозможность в данной модели состояний с полным отсутствием пространственного упорядочения.

4. Предложена нелокальная во времени кинетическая модель процесса формирования импульса электромагнитного сверхизлучения, явно учитывающая немарковский характер процесса выноса излучения из вещества. Найдены условия, при выполнении которых для импульса сверхизлучения характерна квазипериодическая струк тура (ближний временной порядок).

Основные результаты работы опубликованы, в следувдих статьях:

I. Попнрин СЛ. Об одном алгоритме решения задач импульсного нагрева излучением#Вестник Московского Университета, сер. 15. 1987, й 3. С.65-68.

2. Пшнрян С.Л. Оценка погрешности приближения решения уравнения Больцмана решением стохастического дифференциального урав-

■■ нения Ито // Я.Ы1ЧНСЛ. матем. а магем.фга. 1989. Т.29, 11 2. С.314-315.

3. Попырип С.Л. Полностью консервативный алгоритм метода частиц для уравнения Больщлаш // Я, елчлсл. матем. п матем. фаз. 1989. Т.29, й 4. С.621-626.

4. Пспнрин С.Л. О стохастотескш коделяровакга уравнения Еолыд-каш о высокой степени) точности // Мате7*ат= ыодэлпр, -1989. - Т.1, й 5« - С,121-125.

5.-, Попнрш С.Л. О стохастическо:.! метода частиц в ячейках дач моделирования динамика разрешенного газа // Иэтетат. моде-лир. - 1989, - ТЛ, й 7. - С. 118-123.

6. Погаряи С,Л. О некоторых стохастических моделях динамики разрезанного газа // Я. знчисл. матем. и нате:л. флз. 1989. -

Т.29, № 8. - 0,1241-1244.

7. Погшряя С.Л. Перехода типа "отсутствие порядка - ближний порядок - дальний порядок".в одномерной кинетической г.одета с нелокальны:? интегрален столкновений« Препряит ИОФАН № 49, М.: 1989, 20 с.

8. Пспырзп С.Л. Фазовые перехода в трехмерной динамической модели с пространствснно-нелокалвши взаимодействием мезду. молекулами. Препринт КОЭАН й 18, М.: 1950. - 29 с.

9. Ляхов Г.Л., Попирая С.Л. ЕтпгпгЛ я дальний поряден в нелокальной кинетической модели плотной среда// Краткие сообщения по фпзико. ШШ. 1991. й II. - С.29-32.

10. Псшгркн С.Л. 0.. некоторых стохастических моделях уыеренио-плотного газа// Математическое моделирование. 1992. Т.4. *

-22* I. - С.99-106.

II. Ляхов Г.А,, Попырин С.Л. Границы областей упорядочения при агрегатизации радиационных дефектов Френкеля// Письма в Ш. 1992. Т.18, й 7. - С.22-26.

Описок литературы

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М. : Наука, 1972. - 620 с.

2. Агранович В.М., Гинзбург В.Л. Кристаллооптика с учетом пространственной симметрии и теория екситонов. М.: Наука,1979.-432 с.

3. Ляхов Г.А., Свирко Ю.П. Оптические реализации параметра по-' рядка для плавления // Оптика и спектроскопия, 1990, Т.68. -С.580-586.

4. Физика простых жидкостей. Огатистическая тео рвя* Под редакцией Г.Тешерли. И.: Мир, 1971. - 308 с.

5. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 404 с.

6. Перина Я, Когерентность света. М.: Мир, 1974."367с.

7. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Б., Чиркин A.C. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, - 640 с.

8. Хорстхеыке В., Лефевр Р. Индуцированные щуысы перехода. Ы.:' Мир, 1987. - 397 с.

9. Стенли Т. Фазовые перехода и критические явления. М.: Мир, 1979. - 432 с.

10. Ляхов Г.А., Мазо Д.Ы. Параметрическая оценка последовательности переходов между кристаллографическими фазами // Краткие сообщения по физике. 1989, й И. - C.I7-20.

11. Эйзенберг Д., Кауциан В. Структура и свойства вода. Л.,Гид-

рсметеоЕэдат. - 1975.-398с.

3. Маэяо Н. Наука о льда. М.: Мир. 1988. - 232 с.

3. Зацепина Г.И. Физические свойства и структура вода. М. : Изд-во МГУ, IS87. - 167 с.

4. 1нтонченко В.Я. Физика вода. Каев, Наукова дунка, 1986. -127 с. .

5. Бобылев A.B. Точные решения нелинейного уравнения Бзльцмана и теория релаксации ыаксвелловского газа // TMS, IS84, Т.60, S 2. - С.280-310.

5. Резибуа П., де Ленер U. Классическая кинетичеокая теория жидкостей и газов. М.: Мир, I9S0. - 236 о.

7. Вшецкий B.I., Калнянь ЮЛ., Котошш S.A., Овчинников A.A. Радиационно-стЕмулпровапная агрегатизация дефектов Френкеля в твердых толах // УЭН.ДЭЗО. T.I60, ft 10. - C.I-33.

8. Андреев A.B., йлельянов В.И., Ильинский Ю.А» Кооперативные явления в оптике. М.: Наука, 1988. - 288 о.

9. Лаптев В.Д., Реутова Н.М., Соколов И.В. Влияние поперечной неоднородности поля излучения и активной среда на динамику сверхизлучения протяженной система // Квантовая электроника. 1983. T.I0. - С.2060-2057.