Кинетические модели столкновительной плазмы установок УТС и космических двигателей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Московский физико-технический институт (государственный университет)

РГВ од 23 ОКТ 2000 '

Батищев Олег Викторович

КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ УСТАНОВОК УТС И КОСМИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЕЙ

АВТОРЕФЕРАТ ииссер т ации и* соиг.уячие учён ч • успели доктора физико-матема: чческих нау

Москва-2000

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственном университете)

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор СЛ.Курдюмов

доктор физико-математических наук, В.Ю.Быченков

доктор физико-математических наук, профессор А А. Чарахчьян

Ведущая организация: Институт Математического

Моделирования РАН

Защита состоится "_"__г. в_часов на

заседании диссертационного совета Д.063.91.01 при Московском физико-техническом институте

Адрес: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан "_"__г.

Учёный секретарь специализированного совета к.ф.-м.н. /нЬ7 В.А.Волков

>33 3, ч Г ТОМАг; ОЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Овладение управляемой термоядерной реакцией и создание ракетных двигателей с высоким удельным импульсом являются одними из ключевых вопросов, которые человечество должно решить в ближайшем будущем. Инженерное конструирование и оптимизация работы установок управляемого термоядерного синтеза (уУТС) и плазменных ракетных двигателей (ПРД) базируется на понимании сложных физических процессов, протекающих в них. В силу относительно высоких температур от долей электронвольта до десятков килоэлекгронвольтов топливо в уУТС и ПРД находится в форме плазмы - газа с различной степенью ионизации (от 1% в плазменном источнике до почти 100% в ядре ТОКАМАКа).

Наиболее полное описание динамики плазмы в уУТС и ПРД даётся кинетическими уравнениями для функций распределения её компонентов - электронов, ионов и нейтралов. Эти уравнения содержат в себе всё многообразие сложных процессов, протекающих одновременно в плазме: пространственный перенос частиц, радиационные потери, самосогласованные и внешние электрические и магнитные поля, а также упругие и неупругие элементарные плазмохимические процессы, происходящие в объёме и на обращенных к плазме материальных поверхностях рассматриваемых установок. Решение кинетических уравнений даёт качественное понимание нелинейного взаимовлияния плазменных процессов и их количественные характеристики, необходимые для оптимального инженерного проектирования.

Кинетические явления в плазме могут в ограниченном числе идеализированных случаев быть исследованы аналитически, но полное теоретико-аналитическое решение систем кинетических уравнений невозможно из-за большой размерности, сложных граничных условий и геометрии, временной и пространственной разномасштабности протекающих в плазме процессов, сильной нелинейности. Чисто экспериментальный подход ограничен; не даёт полной физической картины и далеко не все важные характеристики поддаются опытному измерению. К тому же стоимость современных лабораторных установок чрезвычайно высока. Последнее обстоятельство требует объединения усилий многих стран. Яркими примерами международной научной кооперации являются наземный проект термоядерного Токамака-реакгора Интернациональный Термоядерный Экспериментальный Реактор (ИТЭР) и орбитальный проект Международной Космической Станции (МКС).

Актуальность кинетического исследования стационарных и переходных режимов течения пристеночной плазмы в scrape-off layer (SOL) диверторного Токамака продиктована необходимостью решения задачи УТС в установках типа Токамак в рамках программы ИТЭР. В

частности, проблемы энергосъёма с использованием дивертора и диверторных пластан.

Актуальность кинетических расчетов пристеночной плазмы конкретных диверторных Токамаков Алькатор (МТИ, Кембридж), Дублет (Ла-Хойя, США), TdeV (Канада) и линейной установки PISCES (Калифорнийский университет) была продиктована их активнымучастием в проекте ИТЭР и возможностью прямо сравнить численную модель-с данными экспериментов.

Актуальность кинетического моделирования миниатюрного, плазменного двигателя продиктована необходимостью создания космических двигателей для микро-спутников и трудностью диагностирования из-за крошечных размеров.

Актуальность численного анализа работы прототипа плазменного двигателя с высоким удельным импульсом большой мощности необходима для понимания взаимосвязи физических процессов и оптимизации работы двигателей, которые, возможно, будут использованы для быстрых экономичных межпланетных перелётов и поддержания МКС на околоземной орбите.

Цель работы состояла в:

1)разработке кинетической модели пристеночной scrape-off layer (SOL) плазмы Токамака, учитывающей её специфику;

2)создании консервативных численных методов, обеспечивающих корректное моделирование широкого спектра физических процессов в плазме, в т.ч. столкновительных;

3)проведении численных экспериментов по идентификации нелокальных эффектов в SOL плазме ИТЭРа и ряда экспериментальных Токамаков, а также в линейной установке;

4)анализе экспериментальных методов диагностирования, сравнении данных кинетических расчётов с опытными данными и с результатами жидкостных расчётов; объяснению с кинетических позиций ряда неожиданных зависимостей;

5)кинетическом исследовании бифуркации параметров пристеночной плазмы (переход в дегачмент) при повышении средней плотности плазмы и при варьировании потока тепла, входящего в SOL слой;

6)количественных рекомендациях для инженерного проектирования дивертора ИТЭРа, а также для внесения кинетических поправок в жидкостные транспортные коды;

7)создании кинетической модели на основе столкновительного метода частиц для моделирования миниатюрного плазменного двигателя, проведении расчётов и их сравнения с данными эксперимента.

8)применении конечно-разностного кинетического метода для оделирования течения плазмы в проектируемом космическом двигателе

высоким удельным импульсом большой мощности с целью оличественного прогноза его рабочих характеристик;

9)построении модели плазмохимической кинетики в геликоновом сточнике плазмы, гибридной модели течения газа в системе питания, равнении расчётных и экспериментальных данных, объяснении кспериментальных наблюдений, предсказании работы источника в акууме и при изменении геометрических размеров;

10)создании новых консервативных адаптивных численных методов ля исследования столкновительных плазменных систем, в т.ч. с ифуркацией решений, и численного исследования бифуркации гационарных решений нелинейного анизотропного уравнения еплопроводности с источником.

Научная новизна. Перечислим новые результаты, полученные первые в данной работе.

1)Разработан гибридный метод численного моделирования SOL лазмы Токамака на основе столкновигельного метода макрочастиц, оторый позволяет одновременно рассматривать динамику электронов и онов. Метод учитывает кулоновские соударения, а также процессы онизации и возбуждения атомов [изотопов водорода] электронным даром, резонансной перезарядки и рекомбинации на стенке. Впервые айден метод расчёта амбиполярного электрического поля для метода асгац в ячейках. Динамика нейтралов описывается в кнудсеновском риближении и учитывает их рециклинг.

2)Впервые кинетическая модель применена для исследования ифуркационного перехода атгачмент-детачмент SOL плазмы для двух редельных геометрий дивертора - узкого и широкого. Обнаружено, что ереход наблюдается при тех же значениях бифуркационного параметра, то и в экспериментальных и теоретических работах. При этом впервые бнаружена существенная неравновесность функций распределения (ФР) лазменных компонентов, которая приводит к росту пристеночного отенциала и к погрешностям при зондовом измерении температуры в ;иверторе. Найдено, что средняя скорость течения плазмы в предслое -озвуковая. Сравнение кинетических расчётов с широко используемыми сидкостными моделями, говорит о недостаточности простых коррекций ипа флакс-лимита для учёта кинетических поправок.

3)Разработан оригинальный консервативный метод конечно-азностного моделирования электрон-ионной плазмы с кулоновским бменом. Предложена новая схема расчёта продольного амбиполярного лектрического поля, расчёта плавающего потенциала и поддержания

строгой квазинейтральносга системы. Впервые в численных расчётах воспроизведены результаты Брагинского для продольной электронной и ионной теплопроводности и для коэффициента термосилы (-0.71) в пределе малых чисел Кнудсена, и рассчитано значение этих величин для конечных длин пробега.

4)Впервые для диверторных Токамаков Алькатор, Дублет и TdeV (и ИТЭРа) проведено кинетическое моделирование стационарного течения электронов в SOL слое на плазменном фоне, который брался из эксперимента. Рассматривались разряды с присоединённой и с отошедшей плазмой. Получены стационарные функции распределения. По ним оценены погрешности зондовых измерений. Показано, что диверторные пробники завышают температуру в 2-6 раз. Объяснён эффект возрастания разницы показаний двухсторонними плазменными зондами при увеличении средней плотности в SOL плазме. Хотя столкновительностъ плазмы растёт при этом на порядок, одновременно происходит переход к детачменту, который характеризуется ростом пространственных градиентов, что, в свою очередь, вызывает рост асимметрии ФР электронов.

5)Кинетически моделировались нестационарные режимы распространения тепла в пристеночном слое Токамаков. Моделировались одна и несколько локализованных мод - ELMob (Edge Localized Modes). Последние типичны для режимов с детачментом, который считается основным для ИТЭРа. Показано, что прорыв ELMa вызывает возрастание неравновесности ФР, росту транспортных коэффициентов и скачку пристеночного потенциала в несколько раз, что приводит к усилению эрозии пластин и должно учитываться при их проектировании.

6)Течение плазмы в линейной установке впервые исследовалось при помощи кинетического конечно-разностного метода. Показано, что 2%-ая плотность пучка горячих электронов, образующихся на катоде дугового разряда источника плазмы, объясняет аномально высокую амплитуду экспериментально измеренного пристеночного потенциала и асимметрию температуры в точке, при её измерении двухсторонним зондом.

7)Создана консервативная кинетическая модель частично ионизованной плазмы на основе метода конечных объёмов, позволяющая одновременно рассчитывать ФР электронов, ионов и нейтралов. Она учитывает следующие процессы: ионизацию и возбуждение атомов электронным ударом, перезарядку иона и атома, нелинейные Кулоновские столкновения, трёхчастичную и поверхностную рекомбинацию, упругие соударения атомов с электронами и с нейтралами. В основе лежит известный метод дробных шагов, однако, аппроксимации операторов столкновений оригинальны: обеспечивается полная консервативность и сохраняется неотрицательность всех ФР.

8)Впервые метод прямого моделирования частиц газа и плазмы применён к кинетическому моделированию работы миниатюрного плазменного двигателя на эффекте Холла. Модель учитывает ионизацию и возбуждение атомов ксенона, их рекомбинацию на электродах. Плавающий потенциал и электрическое поле рассчитываются самосогласованно, равно как и течение плазмы в скрещенных полях. Показано, что течение плазмы пульсирующее. Удельный импульс и тяга в модели и в эксперименте взаимно близки.

9)Численно исследована кинетика плазмы в плазменном двигателе с ВЧ нагревом ионов типа несимметричный пробкотрон. Расчёты показывают возможность получения плотной плазмы и достижения удельного импульса, превышающего нынешний уровень втрое. Показано, что распределения электронов и ионов взаимно не термализованы, а скорость истечения плазмы из сопла сверхзвуковая.

10)Построена модель химической кинетики плазмы в геликоновом разряде. Модель учитывает диссоциации молекул и молекулярных ионов водорода электронным ударом, ионизации и возбуждения нейтральных частиц, конверсию теплового потока на стенке. В ней рассчитываются по гибридной модели главные параметры течения слабоионизованного газа. Рассчитывается состав плазмы и температура компонентов. Показывается важность лаймановского излучения и Франк-Кондоновских нейтралов. Обсуждается, при каких предположениях экспериментальные зависимости могут воспроизводиться с хорошей точностью. Показывается важность эффекта остаточного давления в вакуумной камере. Предсказываются характеристики источника при изменении геометрических и физических параметров разряда.

11)Разработан конечно-разностный метод моделирования столкновительной плазмы [или газа], сохраняющий массу, импульс и полную энергию, что строго доказывается. Метод применён к решению классической пучково-плазменной задачи. Показано, что в расчётах методом частиц были пропущены интересные тонкие эффекты.

12)Разработан адаптивный сеточный метод рекурсивного дробления и укрупнения (РДУ) сетки доя моделирования замагниченной плазмы с сильной анизотропией транспортных коэффициентов. Метод обладает рядом уникальных свойств. Последние демонстрируются на исследовании бифуркации решений нелинейного уравнения теплопроводности с сильно нелинейным источником и с высокой анизотропией коэффициентов теплопроводности. Численно найдены области сосуществования решений, приводятся примеры таких решений, в том числе с резкими фронтами.

Научная и практическая ценность. Научная ценность состоит в ряде точных математических результатов, полученных в работе, и в физических эффектах, объяснённых при помощи кинетических моделей.

Практическая ценность прямо связана с многочисленными экспериментами и экспериментальными установками, которые рассчитывались и анализировались в -данной работе. -Отдельно ^отметим анализ и сравнение экспериментальных методик определения температуры плазмы, которые нуждаются в кинетических поправках.

Поправки должны использоваться также в жидкостных кодах, -предполагающих равновесность ФР, что, как показано, неверно.

Развитые в работе методы кинетического и адаптивного моделирования столкновительной плазмы и газа могут быть использованы для исследования плазмы газового разряда, космической и ионосферной плазмы, когда числа Кнудсена соответствующих течений таковы, что жидкостное рассмотрение становится неудовлетворительным.

Результаты расчётов используются при проектировании Токамака-реактора ИТЭР и различных типов плазменных двигателей.

Реализация и внедрение. Результаты исследований использованы при выполнении многочисленных хоздоговорных НИР с ИКЙ РАН, ИАЭ им. Курчатова, ХФТИ, СФТИ, по международному проекту ИТЭР, гранту РФФИ № 94-0204341, грантам Министерства Энергетики США и НАСА.

Методики и программы расчёта переданы группам исследователей на Токамаках Алькатор, Дублет, TdeV и линейной установки PISCES, а также в центральную команду проекта ИТЭР.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на Всесоюзных Конференциях, Семинарах и Школах (Харьков-88, Сухуми-89, Сочи-91, Звенигород-93), международных конференциях по УТС [1, 11], по динамике разреженного газа [7, 13] по численному моделированию [70-72, 112-115] и теории [27-29, 51-54, 7375] плазмы, конференциях Европейского [56-57, 80, 84, 110-111] и Американского [21-23, 32-35, 45-50, 61-64, 84-88, 90-93, 106-109] физических обществ, на конференциях МАГАТЭ [44, 82], на международных совещаниях по теории пристеночной плазмы [17, 65-69, 76-77, 95-99, 101-103], аэрокосмических конференциях [104, 116-117], на научных семинарах в ряде ведущих научных центров мира (МФТИ, ХФТИ, СФТИ, ЛГУ, ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, ИОФАН, ВЦ РАН, ИКИ РАН, Курчатовский НЦ (СССР/Россия), Лос-Аламоская, Ливерморская, Принстонская Лаборатории, НАСА (Хьюстон), МТИ (США), Каламская Лаборатория (Англия), Юлихский Центр (ФРГ), Сиберсдорфский Научный Центр (Австрия), Университет г. Мехико (Мексика), Канадский Центр Магнитного Синтеза).

Автором сделаны приглашённые доклады на Ежегодной Конференции отделения плазмы Американского Физического Общества (Денвер, США) [45], на Международном совещании по теории пристеночной плазмы (Оксфорд, Англия) [65], и обзорный доклад на V Международном Конгрессе по динамике жидкости (Мексика) [105].

Публикации. Результаты выполненных за последние 15 лет исследований нашли отражение в 117 публикациях, приведённых в конце автореферата диссертации.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, пяти приложений и библиографии. Работа изложена на 451 странице машинописного текста, содержит одну таблицу, 213 рисунков и схем, список цитированной литературы из 290 наименований.

Личный вклад автора. Основные результаты работы, касающиеся разработки кинетических методов, численных алгоритмов, расчётных программ, математических и физических моделей получены автором.

Часть результатов получена в соавторстве с научными работниками различных организаций: Ю.С.Сиговым, Г.И.Змиевской, В.Б.Красовицким, В.Д.Левченко, И.И.Силаевым (ИПМ им М.В.Келдыша РАН), В.И.Карасём, Я.Б.Файнбергом (ХФГИ), В.П.Сидоровым (СФТИ), В.И.Петвиашвили, С.И.Крашенинниковым, А.С.Кукушкиным, Т.К.Соболевой (НЦ Курчатовский Инст.), А.С.Холодовым (МФТИ), Д.Сигмаром, А.А.Батшцевой, П.Катго, К.Молвигом, БЛабомбардом, (МТИ), М.Шукри (TdeV), Л.Шмитцем (PISCES), Дж.Воткинсом(Дублет), с руководимым автором аспирантом Д.Сзабо, и с другими соавторами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении даётся общая характеристика состояния кинетического моделирования столкновительной плазмы различных установок.

В первой главе разработанный нами для многомерных бесстолкновительных открытых пучково-плазменных систем метод частиц в ячейках [2-26] расширяется на столкновительные плазменные системы. При этом учитываются как неупругие, так и упругие соударения частиц плазмы. Метод вычисления поля расширяется на амбиполярные плазменные системы, размер которых соответствует размерам установок УТС, намного порядков превышающий масштаб разделения заряда в плазме. Данный метод применяется для изучения бифуркации в пристеночной плазме Токамака. Результаты сравниваются с

экспериментальными данными, с теоретическими моделями и с результатами жидкостных расчётов по транспортной модели.

Наибольшую сложность для расчёта представляет Кулоновский столкновительный член. Поэтому в первых параграфах главы много места уделено именно этому вопросу.

В п.1.1 рассматривается прямое приложение техники метода частиц к оператору кулоновских соударений. Оказывается, что в отличие от бесстолкновительного метода PIC, у каждой частицы появляется в явном виде облако соседей, с которыми она сталкивается, что вызывает определенные трудности.

а) требуется пространственное упорядочивание частиц, что может быть сделано достаточно эффективно, например, методами молекулярной динамики;

б) для уменьшения статистического шума, число частиц в ячейке N должно быть большим, и поскольку каждая частица взаимодействует сс всеми из своей и из соседних ячеек (3, 9, 27 в одно-, дву-, и трехмерном

2

случаях), то число операций на частицу огромное, пропорционально N Применение методов типа Бёрда затруднительно, т.к. плазменные транспортные коэффициенты, в отличие от газовых, определяют^ энергичной частью ФР;

в) появляется особенность вида 1/V в сносовом члене.

В результате метод оказывается сильно шумящим [15-17].

Для уменьшения шума в п. 1.2 предлагается заменить парны« столкновения столкновениями отдельных частиц с интегральным! потенциальными функциями распределения.

Используя известную связь между стохастическим уравнение» Ланжевена:

дх-

-r^i^+BfcÉft. i, к = 1,2,3 (1) dt

(здесь Çfc- белый шум) и уравнением Фоккера-Планка для функцм распределения величины х : f(x) dN = fdx общего вида:

|'- + Vi[Fif-Vk(Dikf)] = 0 (2),

ot

предлагаются и исследуются модельные линейные и нелинейны кинетические уравнения, дающие в качестве точного стационарног решения Максвелловскую функцию. Исследуется устойчивый мето интегрирования уравнения Ланжевена. Доказывается несколько точны результатов.

В следующем п.1.3 на примере оператора Кулоновски столкновений в сферически-симметричном случае показываются дв возможных способа построения его стохастического аналог;

ю

Оказывается, что один из них позволяет на порядок лучше разрешать надтепловые хвосты ФР. Последнее обстоятельство особенно ценно для моделирования динамики тепла в плазме.

В п. 1.4 рассматривается физическая модель пристеночного scrape-off layer (SOL) слоя Токамака, представляющего собой узкий слой плазмы вокруг сепаратриссы - поверхности, разделяющей замкнутые и открытые силовые линии магнитного поля (рис.1). Оценивается ширина пристеночного слоя по пролетному времени частиц вдоль поля и аномальной диффузии. Она, как и в эксперименте порядка 1см. Это означает, что пристеночный слой -это фактически квази-одномерное образование (длина силовой линии -от 10 метров и более), и определяющим в нем является транспорт, параллельный магнитному полю. Поэтому имеет смысл использовать одномерную по пространству модель.

Анализируются параметры большинства современных

(диверторных) Токамаков Alcator C-Mod [49], TdeV [50], Doublet-III-D [97], JET , ASDEX-U [61] и линейных диверторных симуля-торов типа PISCES [54]. Оказывается, число Кнудсена для кулоновских столкновений тепловых частиц лежит в интервале 1/40-1/10. Для ИТЭРа [56] ожидается 1/7. Поскольку длина свободного пробега пропорциональна квадрату энергии частицы, то для надтепловых частиц эффективное число Кнудсена будет меньше единицы. Поэтому для плазмы необходимо использовать кинетическую модель.

В п. 1.5 разрабатывается гибридная модель для SOL плазмы Токамака. В ней динамика, как электронов, так и ионов описывается нелинейными кинетическими уравнениями для нестационарных ФР fa=e,i( t>s>vll>v-L ) вдоль магнитной поверхности S:

—- + V||-r-- +-¿II-Ч*-Ч* +Са +Са (3),

at ds та ovii

где в правой части стоят операторы кулоновских соударений, член, описывающий приток тепла в SOL плазму и оператор неупругих

Рис.1.Полоидальный разрез ИТЭРа. плоскость гашыетрия

Внутренняя дтаертсриая пласт гаа

соударений частиц плазмы с нейтралами, соответственно. Амбиполярное электрическое поле и пристеночный потенциал находятся самосогласованно из условий квазинейтральности плазмы.

Динамика Кнудсеновских нейтралов описывается двумя

__различными моделями ддя узкого и широкого дивертора, учитывающими

рециклинг нейтралов на стенке IT йх~ионизацию электронным-ударом.— Также учитывается резонансная перезарядка атома и нейтрала, и возбуждение атома электроном [43].

Далее в этом параграфе рассматривается численная схема решения . системы уравнений. Подробно обсуждаются способы поддержания нейтральности плазмы и вычисления пристеночного потенциала, и способы уменьшения статистического шума. Метод реализован в виде кода для рабочих станций НР-735 и Sun-10, а также распараллелен на многопроцессорной ЭВМ CRAY T3D [41].

Исследованию интересного явления, обнаруженного на диверторных Токамаках относительно недавно, - бифуркации параметров SOL плазмы при изменении её средней плотности, посвящен последний параграф п. 1.6 первой главы.

В качестве входных параметров берутся типичные параметры Алькатора (C-Mod). Проведена серия расчётов, найдены зависимости основных параметров плазмы от управляющего бифуркационного параметра. Проведено сравнение с теоретической моделью. Согласие оказывается хорошим при высоких температурах плазмы в диверторе. При понижении температуры до ~ЗэВ согласие теряется. Причиной являются резко растущие кинетические эффекты, которые, как показывает расчёт, возрастают при переходе к режиму с отошедшей плазмой. ФР электронов и ионов сильно отличаются от равновесных в важной надтепловой части. Это приводит к модификации ряда важных характеристик течения: продольной проводимости и скорости ионизации газа. Показано, что плазменные зонды завышают температуру в 2.5 раза. Скорость течения у пластины дозвуковая, с М=0.2-0.4 из-за трения о нейтралы.

В конце параграфа приводится сравнение с жидкостными расчётами. Оно показывает, что простая кинетическая коррекция потока тепла на экваториальной плоскости (флакс-лимит), используемая в жидкостных кодах недостаточна, и следует полнее использовать результаты настоящих расчётов.

Расчёты с использованием столкновительного метода частиц в ячейках показывают, что аккуратное моделирование нелинейного кулоновского взаимодействия требует миллионов макрочастиц на ячейку, что делает расчёты очень долгими. При этом расчёт переходных режимов невозможен в принципе. Поэтому во второй главе разрабатывается консервативный конечно-разностный метод конечных объёмов для

плазмы с кулоновскими столкновениями и самосогласованным амбиполярным электрическим полем.

В п.2.1 рассматривается выбор системы координат. Лучшей оказывается сферическая с аксиальной симметрией. Для неё предлагается единая для электронов и ионов неравномерная сетка. Она обеспечивает равномерную относительную точность на всём динамическом интервале. Также в этом параграфе рассматриваются граничные условия на потенциальные функции. Оператор ускорения в поле преобразуется к дивергентному виду выбранной системе скоростных координат.

В конце параграфа выписывается и обсуждается схема дробных шагов для численного решения системы связанных кинетических уравнений для ФР плазмы.

Следующий п.2.2 посвящен подробному описанию консервативной разностной аппроксимации всех входящих в численную схему операторов: пространственного переноса, ускорения в поле, кулоновских соударений. Отдельно и также подробно излагается оригинальная численная схема вычисления амбиполярного потенциала и способ поддержания квазинейтральности в системе.

В п.2.3 метод тестируется на точных результатах из теории сильностолкновительной плазмы. В частности, в пределе малого числа Кнудсена получаются результаты Брагинского для параллельной магнитному полю проводимости плазмы и фактора при термосиле. Однако, при больших длинах пробега эти классические результаты неверны. Также результаты сравнивались с аналитическим выражением для потока тепла, где согласие было хорошим при высокой столкновительности. Последний тест -* это совместная четырёх-температурная релаксация неравновесных ФР электронов и ионов. Характерные времена совпадают с теоретическими с точностью 2-3 знака. Оттестированный код применется для исследования совместного нелокального транспорта электронов и ионов. Моделируются течения с различными по величине градиентами температуры и плотности. Расчёты показывают, что кинетические поправки для ионов превышают электронные примерно в два раза.

В начале объёмного п.2.4 строится математическая модель для расчёта кинетических эффектов в SOL плазме экспериментальных установок на примере ИТЭРа. Модель рассматривает эволюцию ФР электронов на ионном фоне, который берётся из эксперимента.

Первым исследуется нелокальный перенос в SOL ИТЭРа. Поскольку эксперимент только планируется, профили плазмы брались из лучших результатов транспортной модели. Показано сильное отклонение ФР от равновесной, что ведет к многократному росту теплопроводности плазмы и скоростей ионизации во внутреннем и внешнем диверторных объёмах и

к возрастанию пристеночного потенциала, по сравнению с равновесными значениями, что следует учитывать при проектировании.

Дальше последовательно моделируется SOL плазма в крупных североамериканских Токамаках Алькатор (Alcator C-Mod, Кембридж),

____Варренский (TdeV, Варрена, Канада) и Дублет (DUI-D, Ла-Хойя, США).

Все эти установки оперируют с диверторами в режимах с отошедшей и с присоединённой плазмой. Оба режима были достигнуты во второй части 90-х годов. Если проанализировать данные эксперимента, то эффективное Кулоновское число Кнудсена в них варьируется в диапазоне 0.02 —0.2j что говорит о кинетическом режиме течения.

Профили плотности и температуры плазмы берутся из баз данных экспериментов и соответствуют хорошо диагностированным разрядам. Анализируются методы экспериментального определения температуры и плотности плазмы при помощи плазменных зондов и лазерной диагностики на эффекте Доплера. Численно исследуется, как уменьшенная или увеличенная заселённость хвостов ФР может влиять на показания измерений. В частности, для Дублета было предсказано [55], что зонды дают завышенное в 6 раз показание температуры в диверторе. Установленная через два года лазерная диагностика подтвердила это. Показывается, что лазерная диагностика даёт заниженную температуру на экваториальной плоскости. В Алькаторе и TdeV диверторные зонды переоценивают электронную температуру в 2 раза. В районе подвижных зондов функция распределения асимметричная. Она имеет обогащенный хвост ветви с электронами, движущимися к дивертору и, наоборот, обеднённый, движущихся вдоль поля от него. В результате температура, измеряемая зондами, разная в одной и той же точке в зависимости от ориентации пробника.

Экспериментальные данные с TdeV и Алькатора показывают любопытную зависимость асимметрии

температуры, измеренной зондами, ориентированными вверх-вниз по силовой линии: она возрастает с возрастанием плотности. Этот на первый взгляд, шокирующий результат легко объясним с позиций нашего (рис.2) кинетического моделирования. Одновременно с ростом плотности плазмы происходит бифуркационный переход (Гл.1) от режима с присоединённой плазмой к детачменту. При этом рост градиентов превышает рост

Рис.2.

2 3

п, 1014см3

столкновительности плазмы. В результате растёт нелокальный перенос, что приводит к росту асимметрии температуры плазмы вперед-назад, измеряемой зондом. Данные кинетических расчетов хорошо ложатся на экспериментальные кривые с обоих Токамаков.

В предыдущем разделе были рассмотрены кинетические эффекты в SOL плазме различных экспериментальных Токамаков. Плазма предполагалась стационарной. Кинетические эффекты определялись нелокальным переносом в присутствии градиентов плотности и температуры плазмы. Подобные квазистационарные течения свойственны SOL плазме при умеренном уровне нагрева ядра Токамака. При увеличении потока тепла до уровня оно становится во времени пульсирующим. Эксперимент показывает, что подобные явления, именуемые эльмы (от английского ELM - Edge Localized Mode -пристеночная мода) универсальны. Они наблюдаются на всех экспериментальных Токамаках. Главное, что они типичны для режимов с отошедшей плазмой в SOL. Скейлинги параметров показывают, что эльмы будут характерны для пристеночной плазмы проектируемого Токамака-реактора ИТЭР. При быстрых пульсациях энергии следует ожидать резкого повышения плотности потока энергии на диверторных пластинах ИТЭРа. Для проектирования последних требуются количественные оценки.

Для численного исследования в п.2.5 используется кинетическая модель для SOL плазмы Токамаков, в которую добавлена частота и амплитуда всплесков параллельного потока энергии. Для оценки кинетических эффектов брались параметры самого столкновительного токамака Алькатор. Моделировался быстрый ELM типа III. Расчеты показывают, что длительность теплового импульса на пластине в несколько раз превышает длительность самого ELMa. Импульс тепла как бы размазывается по времени.

Наблюдается гистерезис параметров: кривая нагрева много резче кривой охлаждения. Также кинетический расчёт показывает, что неравновесность ФР возрастает при вспышках и долго не восстанавливается после их прекращения. После прорыва ELMa тепловой поток довольно долгое время остаётся ниже спитцеровского во всей SOL плазме.

Важно отметить, что амплитуда пристеночного потенциала растет в 10 раз при активности пристеночной моды. Дополнительное ускорение ионов в пристеночном слое в период активности ELMa приводит к дополнительной эрозии энергосъемных пластин. Проектируемые Токамаки-реакторы диверторного типа (например, ИТЭР) будут оперировать в режимах с пристеночными модами. Обнаруженный нами в данных кинетических расчетах источник дополнительной эрозии

диверторных пластин во время часто повторяющихся вспышек эльмов следует учитывать при инженерном проектировании дивертора Токамака-реакгора ИТЭР.

Важными являются режимы с присоединённой плазмой, характеризуемые высокой температурой в диверторнойобласти, которая порядка температуры ионизации водорода (дейтерия). Эти режимы характеризуются также низкой плотностью нейтралов у пластин. При переходе к многообещающим для проблематики УТС в общем, и для проекта ИТЭР в частности, режимам с отошедшей плазмой ситуация, меняется кардинально. Температура у дивертора падает, при этом плотность плазмы также сильно падает, пик плотности отодвигается на значительное расстояние (метры вдоль магнитного поля) от диверторных пластин (т.н. детачмент). Степень ионизации плазмы падает до -10%.

Нейтральные атомы возвращаются в диверторный объём в результате рецикшшга водородной плазмы (поверхностная рекомбинация протона (дейтрона) с электроном имеет очень высокую эффективность ~99%). Они приходят с температурой стенки, которой отдают кинетическую и рекомбинационную энергии. В силу высокой плотности число Кнудсена для упругих соударений нейтралов относительно низкое в диверторе. По мере удаления от пластины оно быстро спадает, и течение нейтралов может стать Кнудсеновским, требующим кинетического описания.

При удалении от пластин плотность и температура плазмы возрастают. Нейтральные атомы ионизуются и возвращаются на стенку. Часть атомов испытывает возбуждение электронным ударом. Помимо этого, важнейшим процессом является перезарядка иона и нейтрального атома. Было установлено, что резонансное сечение процесса превышает газокинетическое на два порядка.

Т.о., остро стоит вопрос о совместном кинетическом моделировании заряженных и нейтральных частиц в SOL плазме Токамака, в линейных установках, в плазмохимических реакторах, в источниках плазмы, i космосе, - везде, где плазма холодная, но числа Кнудсена относительнс велики. Поэтому в третьей главе разрабатывается консервативны! кинетический метод конечных объёмов для моделирования, как плазмы так и нейтральных частиц.

В п.3.1 детально описываются консервативные разностньи аппроксимации операторов перезарядки, ионизации и возбуждена нейтрального атома электронным ударом, упругих соударений атомов ' атомами и с электронами, и трёхчастичной рекомбинации. Каждьи оператор тестируется и добавляется в схему расщепления. Рассмспрени ведется в сферической аксиальносимметричной системе координат Аппроксимации операторов строятся на основе частных аналитически

решений с учетом специфики парных соударений. При этом функция распределения остаётся положительной для любого шага по времени, и выполняются все законы сохранения.

Т.о., полная кинетическая модель описывается системой 3-х уравнений для функций распределения электронов, ионов и нейтралов:

, у|| е Е]] =

дt дх т Эу||

С ее + Сег + ЕХе +1е+Не~Ке

сЦ + ^ + сх^+н-ъ

где в правой части добавлены новые столкновительные члены.

В п.3.2 кинетическая модель плазмы и нейтрального газа применяется к режиму с сильным рециклингом нейтралов в пристеночной плазме Токамака. Рециклинг - это повторная ионизация нейтрального атома после рекомбинации иона на поверхности диверторной пластины.

Кинетические расчёты показывают, что перезарядка является главным источником энергетических потерь. Следующий по важности канал - это лаймановское излучение плазмы. Оно больше ионизационных потерь на порядок, в силу низкой температуры электронов. Тепловые потери электронов на кулоновском взаимодействии растут с понижением температуры, но недостаточны для её выравнивания. Интересно также отметить, что трехчастичная рекомбинация является не стоком, а наоборот источником энергии в диверторе, хотя и незначительным по мощности.

Макроскопическое следствие чисто кинетических эффектов это отношение фактического потока тепла к Спитцеровскому. Интересно отметить, что вариация этого отношения для ионов 0.3-6.3 по длине области превышает вариацию отношения для электронов 0.5-2.4. Данные зависимости немонотонные - сказывается мощный эффект столкновений ионов с атомами в диверторе. Коэффициент флакс-лимита у электронов и ионов различается в два раза на большей части области моделирования. Это различие, равно как и другие кинетические поправки должны

учитываться в жидкостных кодах при моделировании динамики газа и плазмы в SOL Токамаков.

Скорость течения плазмы характеризуется числом Маха - её отношением к звуковой плазменной скорости. Течение везде сильно

______дозвуковое. На . большей ^иста^шювой линии М —0.04. На пластине

М -0.8, что близко к Бомовскому критерию устойчивости" Дозвуковое граничное условие должно включаться в жидкостные модели пристеночной плазмы.

Интересно отметить, что разгон потока начинается примерно с ионизационного фронта. Т.е. в так называемом предслое, что находится в согласии с теоретическими предсказаниями.

Также интересно отметить, что ФР атомов имеет асимметричный хвост. Он как бы дублируется с ионной ФР через процесс перезарядки. Последний, как показывают наши кинетические расчеты, оказывается доминирующим у стенки в режиме с сильным рециклингом нейтралов.

В экспериментах на диверторных Токамаках часто наблюдается асимметрия профиля плазмы на внутреннем и внешнем диверторах. Асимметрия проявляется в температуре плазмы, излучаемой мощности и тепловом потоке на диверторные пластины. Существует несколько возможных кандидатов на объяснение данного явления. В то же время есть и простейшее объяснение: если температуры плазмы у пластин разные, то может возникнуть термоэлектрический ток между ними. Параллельный ток может существенно модифицировать тепловой поток, достигающий пластины через узкий пристеночный слой.

Однако, кинетические расчёты, представленные в п.3.3 с модифицированным граничным условием (две пластины) показывают, что из-за многочисленных кинетических поправок: рост плавающего потенциала, модифицированный коэффициент теплопередачи через слой, и т.д. - на порядок уменьшают жидкостные оценки для величины термоэлектрического эффекта в пристеночной плазме Токамака.

Полная кинетическая модель используется в п.3.4 для моделирования серии из 4-х последовательных вспышек ELMob на основе экспериментальных данных с Токамака TdeV. Частота мод была очень низкой, по сравнению с п.2.5, при этом рециклинг и динамика нейтралов учтены самосогласованно..

Обнаружена интересная эволюция плотности нейтралов и плазмы на диверторе и на экваторе. На диверторе плотность нейтралов падает, а плотность плазмы растет при прорыве эльма. На экваторе при прорыве эльма плотность плазмы падает на -30%. Это означает, что плазма смещается к дивертору. Её плотность возрастает в 3-4 раза, а плотность нейтралов падает на порядок.

Эти изменения можно трактовать как смену детачмента плазмы на её атгачмент. Иными словами, в расчёте наблюдается бифуркация режима

течения плазмы в пристеночном слое: режим с отошедшей плазмой на примерно удвоенное время активности эльма сменяется режимом с присоединённой плазмой. При этом наблюдается гистерезис плазменных параметров: переход к аттачменту происходит быстрее, чем возврат в детачмент. Интересно, что при прорыве эльма скорость перезарядки растёт, а кулоновского обмена падает. В результате разница электронной и ионной температур растёт.

Параграф 3.5 посвящен кинетическому моделированию течения плазмы в линейной плазменной установке (рис.3), используемой для исследования взаимодействия плазмы с различными материалами, - Pisces (Калифорнийский университет) [66].

В данном типе установок существует дополнительный источник неравновесности. В силу особенностей дугового разряда, функция распределения (ФР) электронов в источнике в первом приближении состоит из Максвелловского ядра и 1-3% пучка энергичных электронов, ускоренных в пристеночном слое катода до энергий ЮОэВ.

Расчёты показывают следующие макроскопические следствия наличия высокоэнергетичного пучка низкой плотности в плазме установки PISCES : большая часть теплового потока переносится хвостом ФР и сильно возрастает пристеночный потенциал. Данные обстоятельства надо учитывать при проектировании и интерпретации данных линейных установок.

Актуальным для космонавтики является вопрос создания двигателя с высоким удельным импульсом. Большинство подобных двигателей использует плазму в качестве рабочего тела. Исследованию работы двух плазменных двигателей посвящена четвёртая глава.

Много усилий в настоящее время уделяется созданию миниатюрных плазменных двигателей. В п.4.1 рассмотрена одна из разновидностей двигателя на эффекте Холла - с анодным слоем. Поперечные размеры двигателя порядка 5мм, что затрудняет диагностику (рис.4). Параметры плазмы таковы, что возможно её исследование на масштабе разделения

PISCES-A

Рис.3

L=1.3m

пространственного заряда. В этом случае можно пытаться применить гибридный метод столкновительного PIC и МС, развитый в первой главе.

Рис.4. Разрез ДАСа.

постоянный магнит

Метод расширен на 2D3V и использует неравномерную сетку [104].

впрыск

Расчёты показывают, что действительно у анода образуется тонкий слой, в котором сосредоточены

падение потенциала и ионизационный источник.

газа

катод (полый)

Основные характеристики в

расчёте отличаются от экспериментальных данных не более чем на 30%. При этом обнаружено, что тяга двигателя осциллирует с характерной частотой, что может быть причиной низкого кпд двигателя.

Для того, чтобы достичь высокого удельного импульса, необходимого для быстрого перелёта к планетам, необходимо использовать протоны (Н), нагретые до 100-1000эВ. Это невозможно сделать в традиционных конфигурациях типа Холловского или ионного двигателей. Поэтому в п.4.2 исследуется кинетически система источник плазмы - радиочастотный нагрев - магнитное сопло. Данная конфигурация представляется гибкой, позволяет варьировать удельный импульс в широком диапазоне, и не имеет внутренних электродов. Однако, она новая и требует кинетического анализа [107].

Магнитная система состоит из последовательного набора магнитных сопел. Поэтому в кинетическую модель была добавлена продольная сила, учитывающая градиент поля, а также источник плазмы и нагревные члены, описывающие передачу энергии электронам в источнике и ионам в зоне ВЧ-нагрева.

Кинетические расчёты течения плазмы в системе трёх магнитных зеркал показывают, что электронная и ионная ФР неравновесны. Температура электронов в системе практически постоянна, а ионов -очень немонотонна. При этом продольная и поперечная температуры ионов значительно различаются. Наблюдается сильный эффект магнитной ловушки - плотность плазмы в ней вдвое выше средней. Плазма разгоняется в магнитном сопле до сверхзвуковой скорости. При умеренном нагреве, как показывает расчёт, возможно получить удельный импульс в 3 раза превосходящий другие плазменные движки.

Для производства плазмы в ряде плазмодвигателей используется геликоновый источник, работающий в кинетическом режиме. Поэтому в п.4.3 развита плазмохимическая модель разряда, которая прямо сравнивается с экспериментом [115]. Сначала строится физическая модель, которая учитывает процессы ионизации и диссоциации молекул водорода, диссоциации молекулярных ионов, ионизации и возбуждения атомов, их конверсию на стенке, нагрев электронов и истечение смеси из сопла. Выводятся 13 уравнений для концентраций плазменных компонентов и их температур. При этом предполагается квазинейтральность плазмы, а геометрия источника учитывается в численных коэффициентах.

Метод численного решения системы жёстких обыкновенных дифференциальных уравнений тестируется на специально сконструированной системе двух уравнений с аналитическим решением. Оттестированная программа использовалась для моделирования эксперимента. Показано, что в зависимости от соотношения подводимой мощности и объёма газа, разряд может быть устойчивым или гаснуть. Получены зависимости ключевых параметров разряда от плотности нейтрального газа в нём. Расчёты показывают, что максимальный сток энергии - это излучение в линии. Следующим идёт поток Франк-Кондоновских нейтралов на стенку. Хотя их относительная плотность 23%. Степень ионизации газа порядка 1%. Температура электронов очень близка к экспериментально измеренной. При этом плотность плазмы в три раза меньше. Поэтому дополнительно анализируется течение газа по системе питания и по источнику, что может быть сделано независимо в силу низкой степени ионизации газа.

Предложена простая модель, учитывающая переход течения от вязкого к свободномолекулярному. Она даёт результат очень близкий к экспериментальному для перепада давления в системе. Также она показывает, что течение газа в системе сильно дозвуковое.

Используя эти данные, плазмохимическая модель применяется для моделирования дейтериевых разрядов. При определённом соотношении процента поглощаемой энергии и средней скорости течения плазмы, профили экспериментальной и расчётной зависимостей плотности плазмы от мощности нагрева при постоянном массовом расходе, и наоборот, оказываются очень близкими.

В то же время в расчёте при повышении мощности разряд гаснет, чего не наблюдается в эксперименте. Проведённый численный анашз показывает, что причиной является остаточное давление в вакуумной камере, которое очевидно будет отсутствовать в космосе и должно быть учтено. На основе численных расчётов объясняется наблюдаемый в эксперименте скачок давления газа в системе питания при включении разряда.

В конце главы приведены результаты расчётов для источника плазмы проектируемого космического двигателя большей мощности. Предсказываются его рабочие характеристики. Также исследуется влияние размера диафрагм для удержания газа на разряд, и рассматриваются эффекты, связанные с предварительным нагревом газа.

В первой части последней пятой главы предлагается полностью консервативный метод для исследования столкновительных плазменных систем в Ш1V приближении. В п.5.1 строго доказываются сохранение, методом массы, импульса и энергии, при сохранении положительной определённости ФР. Метод оказывается вычислительно эффективным, обобщаемым на большую размерность. Он также оказывается очень точным.

В п.5.2 эффективность метода демонстрируется на классической задаче о пучково-плазменной неустойчивости с ограниченным числом волн. Найдены полученные ранее методом частиц результаты. Но показано, что при улучшении фазового разрешения, появляются новые тонкие эффекты на нелинейной стадии развития неустойчивости. К примеру, частота осцилляций утраивается против частоты захваченных частиц из-за формирования дырки на фазовой плоскости. Энергия волны выходит на новый уровень насыщения, который не зависит от начальной плотности пучка. Структура ФР на фазовой плоскости становится сложной, вероятно фрактальной. Для дальнейшего продвижения необходима разработка специальных адаптивных численных методов.

Поэтому, во второй части 5-й главы в п.5.3 разрабатывается новый метод рекурсивного дробления и укрупнения (РДУ) сетки. Метод базируется на оригинальном формате хранения данных. Он позволяет превратить любую существующую сетку в адаптивную. Метод обладает массой преимуществ: не надо хранить координаты узлов адаптивной сетки и список соединения узлов в ячейки; структура хранения готова для методов на вложенных сетках; накладные расходы минимальные; можно произвольно смешивать четырёхугольные и треугольные элементы; практически может использоваться любая топология сетки; дробление всегда локально; метод консервативен; всегда одна сторона параллельна магнитному полю, что очень важно для моделирования сильно замагниченной плазмы с огромной анизотропией транспортных коэффициентов вдоль и поперёк магнитного поля. Подробно описываются структура хранения и шаги по измельчению и укрупнению элементов, пересчёту значений.

В последнем параграфе 5.4 метод РДУ используется для исследования бифуркации решений нелинейного двумерного уравнения теплопроводности с источником, соответствующим радиационным потерям на излучающей примеси в Токамаке:

Сначала исследуется одномерное уравнение, в котором бифуркация вызывается излучением и самосогласованным граничным условием. Точно определяется интервал сосуществования двух различных решений уравнения. Численно находятся зависимости основных характеристик решения от бифуркационного параметра. Рассчитываются предельные решения в граничных точках интервала бифуркации.

Полученные очень точные одномерные численные решения используются для тестирования двумерного метода. Протестированный код, реализующий РДУ, применяется для исследования двумерной бифуркации. Как и в одномерном случае численно находится кривая гистерезиса решения (рис.5). Приводятся примеры двух одновременно сосуществующих решений, а также предельные решения. Отметим, что найденные решения характеризуются исключительно узким радиационным фронтом: их практически невозможно получить численно без автоматической адаптации сетки.

В самом конце главы приводится пример использования метода РДУ для решения нелинейного уравнения теплопроводности с источником в реальной геометрии диверторного токамака с несвязанными границами. Показано, что положение узкого излучающего фронта чрезвычайно чувствительно к разрешению пространственной сетки.

гистерезис решения

Рис.5

0.22 0.24 0.26 0.28 03

О

0.32

В Заключении приведены новые результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

В Приложении А приведены преобразования основных операторов из декартовой в аксиальносимметричную сферическую систему координат. В Приложении Б описываются детали построения уравнения Ланжевена. Приложение В содержит описание итерационного метода построения дискретного распределения с заданными моментами. В Приложении Г содержатся сечения основных элементарных плазмохимических реакций водорода. В Приложении Д предложен метод

построения точного решения с заданными свойствами любого неоднородного нелинейного уравнения в частных производных, в том числе с двумя сосуществующими решениями.

Основные результаты диссертационной работы представлены в

следующих публикациях автора:

1. O.V.Batishchev, I.I.Silaev, Y.S.Sigov, V.I.Petviashvilli, "Convection in Plasma Due to Drift Vortices (Computer Simulation)", Proceedings XII European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Budapest, 1985,9F-2, p.350

2. Батшцев O.B., "Ускоренный алгоритм метода частиц", препринт Ин. Прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1985, N 15, -19 с.

3. Батищев О.В., Сигов Ю.С., Силаев И.И., " Метод 'вихрей в ячейках' для моделирования атмосферы в рамках уравнения Чарни", в сборнике научных трудов под редакцией д. ф.-м. н., профессора М.Я. Марова, Ин. Прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1987, с. 22-40.

4. Батищев О.В., Сигов Ю.С., "Численное моделирование релаксации двумерного размытого электронного пучка, инжектируемого в плазму", Доклады АН СССР, 1988, 301 (5), с.1091-1094.

5. Батищев О.В., Сигов Ю.С., "Численное моделирование бесстолкновительной плазмы в открытых системах со сложной геометрией", препринт Ин. Прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1988, N 8.

6. Батищев О.В., Сигов Ю.С., "Дискретное моделирование релятивистских бесстолкновительных плазменных систем в плоской Х-У геометрии", доклады Всесоюзного семинара "Плазменная электроника", Харьков, 1988, с. 69-70.

7. O.V.Batishchev, Y.S.Sigov, "Numerical Simulation of Coherent Structures in Open Plasma Systems with the Injection of Particles", 19th European Conf. on Phenomena in Ionized Gases, Belgrade, 1989

8. A.S.Bakai, O.V.Batishchev, Y.S.Sigov, "Numerical Simulation of the Beam-Plasma Interactions in Open Systems", in Book "Nonlinear Phenomena in

Vlasov Plasmas" (F.Doveil Ed.), Editions de Physique , Orsay, France, p. 163-191, 1989

9. Батищев O.B., Сигов Ю.С., Силаев И.И., "Метод частиц в открытых плазменных системах", в сб. научных трудов под ред. д. ф.-м. н. Сигова Ю. С., Ин. Прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990, с. 22-41.

Ю.Батищев О.В., Сигов Ю.С., Силаев И.И., Карась В.И. "Численное моделирование в рамках уравнений Власова-Максвелла сильноточных пучков в плоских и осесимметричных неоднородных плазменных системах", в сб. научных трудов под ред. д. ф.-м. н. Сигова Ю. С., Ин. Прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990, с. 42-53.

1 l.O.V.Batishchev, I.LSilaev, Y.S.Sigov , V.I.Karas, "Numerical Solution of Vlasov-Maxwell System in the Heavy Ion Fusion Problem", 17th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Heating, 1991

12.0.V.Batishchev, I.I.Silaev, Y.S.Sigov, V.I.Karas, "Numerical Simulation of Vlasov-Maxwell Equations in the Heavy Ion Fusion Problem", 18th IEEE International Conference of Plasma Science, Williamsburg, Virginia, June 35,1991

13.0.V.Batishchev, I.I.Silaev, Y.S.Sigov, V.IKaras, "Numerical Simulation of Accelerating Magnetoinsulated Systems: Spatial Charge Compensation and Stability of High Current Beams", 20th European Conference on Ionized Gases, Pisa, 1991

14.0.V.Batishchev, I.I.Silaev, Y.S.Sigov, V.IKaras, Ya.B.Fainberg, V.A.Kiyashko, "Studies of a Space-Charge Neutralized Ion Beams Induction Linac for Inertial Confinement Fusion", Particle Accelerators, 199/52, 1991

15.0.V.Batishchev, I.I.Silaev, Y.S.Sigov, S.I.Krasheninnikov, T.K.Soboleva, V.D.Levehenko, P.A.Ovchenkov, G.I.Zmievskaya, "Kinetic Effects and Reversal Flows in Tokamak Edge Plasma", Proc. of 10th Conf. Plasma-Surface Interaction in Controlled Fusion Devices, Monterey, California, USA, 30 March - 3 April, 1992

16.S.I.Krasheninnikov, T.K.Soboleva, O.V.Batishchev, G.I.Zmievskaya, V.D.Levehenko, P.A.Ovchenkov, Y.S.Sigov, I.I.Silaev, "Kinetic Effects and Reversal Flows in Tokamak Edge Plasma ", Journal of Nuclear Materials 196-198 (1992), p.889-903

17.0.V.Вatishchev, I.I.Silaev, Y.S.Sigov, S.I.Krasheninriikov, T.K.Soboleva, V.D.Levchenko, P.A.Ovchenkov, G.I.Zmievskaya, "Kinetic Modelling of Transport Processes in Tokamak Edge Plasma ",

a) 3rd International Workshop on Plasma Edge Theory in Fusion Devices, --------Bad Honnef, June, 1992;________________________________________________________

b) Contributions Plasma Physics, 32 (3/4), p.237-242 (1992)

18.0.V.Batishchev, Y.S.Sigov, V.I.Karas, Ya.B.Fainberg, "2.5D Particle Simulation of Relativistic Electron Bunches (REB) Interaction with Underdense and Overdense Plasmas", Proceedings IEEE 1993 Particle Accelerator Conference, (Cat. No.93CH3279-7), Washington DC, May 1720, 1993.

19.Батищев O.B., Голота B.JI., Карась В.И , Кияшко В.А., Корнилов Е.А., Сигов Ю.С., Силаев И.И., Файнберг Я.Б., "Линейный индукционный ускоритель для зарядово-скомпенсированного ионного пучка для инерциального синтеза", Физика плазмы, 1993,19 (5), р.611-644 (1993)

20.Батищев О.В., Красовицкий В.Б., Нагучев О.Н., Сигов Ю.С., "Самофокусировка модулированного ленточного РЭП в плотной плазме ", Физика плазмы, 1993, 19 (6), р.738-747.

21.S.I.Krasheninnikov, D.Sigmar, T.K.Soboleva, А.В. Kukushkin, Y.S.Sigov, O.V.Batishchev, "Recombining Plasma in the ITER Divertor", Bulletin of American Physical Society Vol. 38 (10), 7Q17, 2051, November 1993

22.O.V.Batishchev, Y.S.Sigov, T.K.Soboleva, S.I.Krasheninnikov, D.Sigmar, "Kinetic Modeling of ITER Divertor with the WI Code", Bulletin of American Physical Society Vol. 38 (10), 7Q18, 2051, November 1993

23.0.V.Batishchev, Y.S.Sigov, S.I.Krasheninnikov, DJ.Sigmar, T.K.Soboleva, "Influence of Kinetic Effects on Particle and Energy Flows in the ITER Divertor", Contributions Plasma Physics, 34 (2/3) 436,1994

24. S.I.Krasheninnikov, DJ.Sigmar, A.B. Kukushkin, O.V.Batishchev, Y.S.Sigov, T.K.Soboleva, "Regimes with Recombining Plasma in the ITER Divertor", Contributions Plasma Physics, 34,442,1994

25.Батищев O.B., Сигов Ю.С., Левченко В.Д.., Карась В.И., "Кинетическое моделирование открытых пучково-плазменных систем", Физика плазмы, 1994,20 (7), р.654-62 .

26.Батищев О.В., Сигов Ю.С., Карась В.И., Файнберг Я.Б., "2.5-мерное моделирование релятивистских сгустков", Физика плазмы, 1994, 20 (7), р.650-653.

27.A.A.Batishcheva, M.M.Shoucri, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, I.P.Shkarofsky, "Fokker-Planck Simulation of Electron Transport in Scrape-of Layer" 1995 International Fusion Theory Conference, April 3-5, Incline Village, Nevada, lcl2, 1995

28.G.Manfredi, M.Shoucri, I.Shkarofsky, A.Grizzo, S.Krasheninnikov, D.Sigmar, O.Batishchev, A.Batishcheva "Study of a Divertor Plasma ExB Flow",

a) Report Centre Canadien de Fusion Magnetique, RI 452e, -27 p., March 1995;

b) 1995 International Fusion Theory Conference, April 3-5, Incline Village, Nevada, lc40,1995

29. O.V.Batishchev, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien "Kinetic Effects on Particle and Heat Fluxes in Detached SOL plasmas" 1995 International Fusion Theory Conference, April 3-5, Incline Village, Nevada, lc47, 1995

30.A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, M.M.Shoucri, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, I.P.Shkarofsky, D.J.Sigmar, "Fokker-Planck code ALLA", Report Plasma Fusion Center МГГ, PFC/JA-95-23, August 1995

31.O.V.Batishchev, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien, D.J.Sigmar "Kinetic Effects on Particle and Heat Fluxes in Detached Plasmas", Report Plasma Fusion Center MIT, PFC/JA-95-24, -37 p., August 1995

32.A.Batishcheva, O.Batishchev, S.Krasheninnikov, B.LaBombard, B.Lipschultz, D.Sigmar, "Kinetic Simulation of Electron Transport in C-Mod SOL Plasmas with Fokker-Planck ALLA Code", Bulletin of American Physical Society, 40 (11) 3P33, 1702, 1995

33.A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, P.J.Catto, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, "1D+2V Fokker-Planck Code ALLA", Bulletin of American Physical Society, 40 (11) 9R12, 1880,1995

34.0.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, T.D.Rognlien, "Kinetic Study of Divertor Plasma Detachment: Influence of

Impurity Radiation", Bulletin of American Physical Society, 40 (11) 9R13, 1880, 1995

35.D.J.Sigmar, S.I.Krasheninnikov, O.V.Batishchev, "Kinetic Modeling of — ELM-Propagation in the S0L Plasmas", 5u//erira of American Physical

Society, 40 (11) 9R15, 1880, 1995

36.A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, M.M.Shoucri, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, I.P.Shkarofsky, D.J.Sigmar, "A Kinetic Model of Transient . Effects in Tokamak Edge Plasmas" Physics of Plasmas 3 (5), p. 1634, May 1996

37.O.V.Batishchev, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien, DJ.Sigmar, "Kinetic Modelling of Detached and ELMy SOL Plasmas", Contributions Plasma Physics, 36 (2/3) 225,1996

38.D.J.Sigmar, A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, PJ.Catto "Kinetic Models of ELMs burst", Contributions Plasma Physics, 36 (2/3) 230, 1996

39.A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, DJ.Sigmar, M.M.Shoucri, LP.Shkarofsky, "Fokker-Planck Simulation of Electron Transport in SOL Plasmas with ALLA Code", Contributions Plasma Physics, 36 (2/3) 235,1996

40.A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, A.E.Koniges, G.G.Craddock, V.Djoijevic, "Massively Parallel Fokker-Planck Code ALLA", Contributions Plasma Physics, 36 (2/3) 414, 1996

41.X.Q.Xu, O.V.Batishchev, J.A.Byers, R.H.Cohen, T.D.Rognlien S.I.Krasheninnikov, "Parallelization of and Results from the Kinetic Edge Plasma Code Wl",

a) Bulletin of American Physical Society, 40 (11) 9R14, 1880, 1995,

b) Preprint LLNL, UCRL-JC-121441, -6 p., January 22, 1996,

c) Contributions Plasma Physics, 36 (2/3) 424, 1996

42.0.V.Batishchev, M.M.Shoucri, A.A.Batishcheva, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, I.P.Shkarofsky, B.L.Stansfield, C.Boucher, G.Pacher, D.J.Sigmar, "Fokker-Planck Simulation of Electron Parallel Transport in the Scrape-off Layer of TdeV", Report Centre Canadien de Fusion Magnetique, RI 466e, -42 p., August 1996

43.0. V.Batishche v, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien, D.J.Sigmar, "Kinetic Effects on Particle and Heat Fluxes in Detached Plasmas" Physics of Plasmas 3 (9), p.3386, September 1996

44.P.J.Catto, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, R.D.Hazeltine, P.Helander, D.A.Knoll, A.Yu.Pigarov, O.V.Batishchev, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, T.D.Rognlien, T.K.Soboleva, A.A.Batishcheva, "Impending Impurity Core Penetration, Similarity Studies, Similarity Violation in Scrape-Off Layer Plasmas, and Kinetic Modeling of Tokamak Divertor Detachment", 16th International Conf. of Atomic Energy Agency, Fusion Energy Conference, Extended Synopses, IAEA-CN-64, DP-13 (R), p.406, Montreal, Canada, 711 October 1996

45.O.V.Batishchev, "Kinetic Effects in Tokamak Scrape-off Layer Plasmas" Bulletin of American Physical Society 41 (7) 1IA1, 1351, 1996

46.O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, L.Schmitz, "Fokker-Planck Modelling of Pisces Linear Divertor Simulator", Bulletin of American Physical Society 41 (7) 5P3, 1483, 1996

47J.A.Byers, X.Q.Xu, T.D.Rognlien, O.V.Batishchev, "ID and 2D Kinetic Simulations of Tokamak Scrape off Layers" Influence of Impurity Radiation", Bulletin of American Physical Society 41 (7) 5P5, 1484, 1996

48.S.I.Krasheninnikov, A.Yu.Pigarov, O.V.Batishchev, D.J.Sigmar, G.Vahala "Approaches to Development of Neutral Hybrid Code for Tokamak Divertor Modeling", Bulletin of American Physical Society 41 (7) 5P15,1486, 1996

49.0.Batishchev, A.Batishcheva, S.Krasheninnikov, B.LaBombard, B.Lipschultz, D.Sigmar, J.Terry "Kinetic Effects in the Alcator C-Mod Scrape-off Layer", Bulletin of American Physical Society 41 (7) 7R26, 1552, 1996

50.M.M.Shoucri, I.P.Shkarofsky, B.L.Stansfield, O.V.Batishchev, A.ABatishcheva, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, "Kinetic Modelling of

* Parallel Electron Transport in TdeV", Bulletin of American Physical Society 41 (7) 7R33, 1553, 1996

51.M.L.Adams, S.I.Krasheninnikov, O.V.Batishchev, D.J.Sigmar, "Feasibility study of finite difference approach to kinetic neutral modeling in edge plasmas" 1997 International Sherwood Fusion Theory Conference, April 2830, Madison, Wisconsin, 1C01, 1997

52.M.Shoucri, I.Shkarofsky, B.Stansfield, C.Boucher, G.Pacher, O.Batishchev,

A.Batishcheva, S.Krasheninnikov, D.Sigmar, "Fokker-Planck simulation of parallel electron transport in TdeV tokamak", 1997 International Sherwood Fusion Theory Conference, April 28-30, Madison, Wisconsin, 1C14, 1997

53.0.V.Batishchev, P.J.CattorS.I:Krasheninnikov, D.J.Sigmar,"Kinetic study ~ of parallel transport in SOL plasa", 1997 International Sherwood Fusion Theory Conference, April 28-30, Madison, Wisconsin, 1D17,1997

54.L.Schmitz, O.V.Batishchev, "Kinetic modeling of detached plasmas in the PISCES-A linear machine", 1997 International Sherwood Fusion Theory Conference, April 28-30, Madison, Wisconsin, 1C24,1997

55.O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, A.A.Batishcheva, D.J.Sigmar, X.Q.Xu, J.A.Byers, T.D.Rognlien, R.H.Cohen, M.M.Shoucri, I.P.Shkarofsky, "Kinetic Effects in Tokamak Scrape-off Layer Plasmas" Physics of Plasmas 4 (5), 1672, May 1997

56.O.V.Batishchev, A.S.Kukushkin, D.J.Sigmar, "Kinetic Simulation of Parallel Electron Transport in ITER", 24th Europ. Phys. Soc. Conf. on Contr. Fus. and Plasm. Phys., Berchtesgaden, Germany, 9-13 June 1997

57.0.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, PJ.Catto, S.I.Krasheninnikov,

B.LaBombard, B.Lipschultz, D.J.Sigmar, "Kinetic Simulation of Parallel Transport and ELM Propagation in the Alcator C-Mod Tokamak",

a) Proceedings of the European Conference on Plasma-Surface Interaction, Saint-Raphael, France, 20-24 May 1996;

b) Journal of Nuclear Materials 241-243, 374, 1997.

58.P.J.Catto, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, R.D.Hazeltine, P.Helander, D.A.Knoll, A.Yu.Pigarov, O.V.Batishchev, X.Q.Xu, J.A.Byers, R.H.Cohen, T.D.Rognlien, T.K.Soboleva, A.A.Batishcheva, "Impending Impurity Core Penetration, Similarity Studies, Similarity Violation in Scrape-Off Layer Plasmas, and Kinetic Modeling of Tokamak Divertor Detachment", Proceedings of the 16th International Conference of Fusion Energy by International Atomic Energy Agency Vol. 2, p.609-618, IAEA, Vienna, 1997.

59.A.Batishcheva, M.Shoucri, I.Shkarofsky, H.Pacher, O.Batishchev, S.Krasheninnikov, D.Sigmar, "Simulation of Plasma SOL Kinetic Effects with a 2D Fokker-Planck Code" Bull. APS Vol.42, No.10, 1981, 1997

60.0.Batishchev "Coupled plasma-neutrals kinetic modeling of SOL plasmas" Bull. APS Vol.42, No. 10,2014, 1997

61.A.S.Kukushkin, O.V.Batishchev "Fokker-Planck Modelling of Kinetic Effects in Parallel Heat Transport in Divertor" Bull. APS Vol.42, No. 10, 2015, 1997

62.D.J.Sigmar, A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, M.V.Umansky, P.J.Catto, S.LKrasheninnikov, B.Labombard, B.Lipschultz, A.Yu.Pigarov, F.Wising, T.Rognlien "UEDGE modeling of plasma flow patterns and neutral gas recirculation effects in Alcator C-Mod" Bull. APS Vol.42, No. 10, 2020, 1997.

63.A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov, O.V.Batishchev ."Application of a grid-free characteristic method to the SOL plasma simulation" Bull. APS Vol.42, No. 10, 2072, 1997.

64.0.Batishchev, B.Braams, D.Knoll, T.Rognlien, M.Rensink, S.Krasheninnikov, A.A.Batishcheva "Assessment of Adaptive Mesh Algorithms for SOL Plasmas Modeling" Bull. APS Vol. 42, No. 10, 2072, 1997.

65.0.V.Batishchev, "Kinetic Modeling of SOL Plasmas in Tokamaks",

a) Int. 6th Plasma Edge Theory workshop book of abstracts, Inv.01,1,1997,

b) Contrib. Plas. Phys. 38 (1/2), 213,1998.

66.L.Schmitz and O.Batishchev "Asymmetry of the Electron Distribution Function in the PISCES-A Linear Divertor Simulator",

a) PET-6 workshop abstracts, 1.08,18,1997,

b) Contrib. Plas. Phys. 38 (1/2), 236, 1998

67.O.Batishchev, D.Knoll, T.Rognlien, S.Krasheninnikov, M.Rensink, A.Batishcheva "Adaptive Grid Approaches and Multilevel Iterative Methods for SOL Transport Codes",

a) PET-6 workshop abstracts, 11.03,40, 1997,

b) Contrib. Plas. Phys. 38 (1/2), 361, 1998

68.M.Shoucri, I.Shkarofsky, B.Stansfield, C.Boucher, G.Pacher, R.Decoste, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, S.LKrasheninnikov, D.J.Sigmar "Fokker-Planck Simulation of Parallel Electron Transport in the TdeV Tokamak",

a) PET-6 workshop abstracts, 1.04,14,1997,

b) Contrib. Plas. Phys. 38 (1/2), 225,1998

69.M.Adams, S.Krasheninnikov, O.V.Batishchev "Feasibility Study of an Iterative Finite Difference Approach to Kinetic Modeling of Neutral Particles in Edge Plasmas",

a) PET-6 workshop abstracts, 1.09, 19, 1997,

b) Contrib. Plas. Phys. 38 (1/2), 373, 1998.

70.0.V.Batishchev "Kinetic Model of Plasmas and Neutral Particles for Fusion Applications", Proc.l6th Int. Conf. on the Num. Sim. of Plasmas, Feb. 1012, Santa-Barbara, 155, 1998.

71.M.Shoucri, I.Shkarofsky, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar "A Method of Fractional Steps for the Solution of a Fokker-Planck Equation for the Study of Parallel Transport in the Scrape-off Layer of TdeV", Proc.l6th Int. Conf. on the Num. Sim. of Plasmas, Feb. 10-12, Santa-Barbara, 187, 1998.

72.0.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov, S.I.Krasheninnikov, DJ.Sigmar "Unstructured Adaptive Grids and Grid-Free Methods for the EDGE Plasmas", Proc.l6th Int. Conf. on the Num. Sim. of Plasmas, Feb. 1012, Santa Barbara, CA, 248,1998.

73.A.Batishcheva, O.Batishchev, "Multispecies Kinetic Model of Detached Plasmas", 1998 Int. Sherwood Fusion Theory Conference, March 23-25, Atlanta, Georgia, 1D07, 1998.

74.O.Batishchev, ABatishcheva, D.J.Sigmar, "Adaptive Unstructured Grid Approach to SOL Modeling", 1998 Int. Sherwood Fusion Theory Conference, March 23-25, Atlanta, Georgia, 1D19, 1998.

75.M.Shoucri, I.P.Shkarofsky, G.Pacher, R.Decoste, O.Batishchev, A.Batishcheva, "Fokker-Planck Modeling of Transient Effects in the EDGE Plasma of TdeV", 1998 Int. Sherwood Fusion Theory Conference, March 23-25, Atlanta, Georgia, 2C08, 1998

76.A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, D.J.Sigmar, "Kinetic Effects During Elm Bursts in Tokamaks", 13th' Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 1P9, 1998.

77.A.S.Kholodov, A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev "Grid-Free and Adaptive Methods for SOL Plasma Simulations", 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 2P30, 1998.

78.R.W.Harvey, A.P.Smirnov, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, W.A.Coles, "Nonthermal Electron and Ion Distributions in the Solar Transition Region Calculated with 3D Fokker-Planck Codes", AGU spring meeting, May 2629, CC210, Boston, MA, 1998

79.0.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, "Unstructured adaptive meshes and grid-free methods for edge plasma fluid simulations", Report MIT, PSFC/JA-98-21, June 1998.

80. O.V.Batishchev, "Adaptive Grid Method for Edge Plasmas", EPTSW workshop, p. 19., Innsbruck, 6-8 July, 1998.

81.O.V.Batishchev, "Fokker-Planck and PIC modeling of SOL plasmas", EPTSW workshop, p.54„ Innsbruck, 6-8 July, 1998.

82.S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, D.J.Sigmar, A.Yu.Pigarov, O.V.Batishchev, P.Helander, J.W.Connor, R.D.Hazeltine, A.Odblom, T.Fullop, "Tokamak divertor detachment and stability, and atomic physics and ExB drift modifications of strongly inhomogenious edge plasmas", IAEA Conference, Yokohama, October 1998.

83.F.Subba, O.V.Batishchev, R.Zanino, "A comparison between two adaptive numerical methods for edge plasma fluid modeling", Report MIT, PSFC/JA-98-35, October 1998.

84,O.Batishchev ."Adaptive RRC Algorithm-for SOL Plasma Simulation" Bull. APS Vol.43, No.8, 1754,1998.

85.A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev "Kinetic Simulation of Recombining Divertor Plasmas", Bull. APS Vol.43, No.8, 1755, 1998.

86.F.Subba, O.V.Batishchev, R.Zanino, "A comparison between different adaptive mesh generation strategies for edge plasma fluid modeling", Bull. APS Vol.43, No.8, 1756,1998.

87.R.W.Harvey, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, L.C.Steinhauer, J.Squire, F.A. Chang Diaz, "Axisymmetric Two-Spatial and Two-Velocity Dimension Fokker-Planck Code for Magnetically Confined Plasmas", Bull. APS Vol.43, No.8, 1886,1998.

88.J.G.Watkins, O.V.Batishchev, C.J.Lasnier, A.W.Leonard, T.H.Osborne, "ELM Effects in the DIII-D Divertor", Bull. APS Vol.43, No.8, 1889,1998.

89.R.W. Harvey, O.V. Batishchev, A.A. Batishcheva, W.A. Coles, J.D. Scudder, "Kinetic Calculation of a Current-Free Double Layer Model for the Solar Transition Region", Poster SH42A-08, Fall Mtg. of Amer. Geophys. Union, San Francisco, Dec. 6-10, 1998, Abstract in Suppl. to Eos, Nov. 10,

1998.

90.M.Shoucri, O.Batishchev, B. Stansfield, A.Batishcheva, I.Shkarofsky, "Kinetic Simulation of Coupled Plasmas and Neutral Particles in the Scrape-off Layer (SOL) of TdeV and in Linear Plasmas Experiments", Bull. APS Vol.44, No.l, Part.I, 360,1999.

91.F. Subba, O.Batishchev, R. Zanino, "Comparison between different adaptive methods for plasma fluid modeling", Bull. APS Vol.44, No.l, Part.II, 1116,

1999.

92.O.Batishchev, "RRC adaptive grid method application to SOL plasmas", Bull. APS Vol.44, No.l, Part.n, 1267,1999.

93.A.Kainz, G.Weimann, G.Kamelander, O.Batishchev, "Interactive mesh generator for magnetic fusion devices", Bull. APS Vol.44, No.l, Part.II, 1268, 1999

94.0.V.Batishchev, M.M.Shoucri, A.A.Batishcheva, I.P.Shkarofsky "Fully kinetic simulation of coupled plasma and neutral particles in scrape-off layer plasmas of fusion devices", /. Plasma Phys., 61, part II, 347,1999.

95.O.Batishchev and B.LaBombard, "Kinetic Study of Thermoelectric Current in the SOL Plasma",

a) 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 1P8, 1998;

b) J. Nucl. Mat. 266-269, 452, 1999.

96.G.Manfredi, M.Shoucri, I.Shkarofsky, S.Krasheninnikov, D.Sigmar, A.Batishcheva, O.Batishchev, P.Bertrand, A.Grizzo, "Charge Separation at a Plasma-Wall Transition Due to the Finite Ion Gyro-Radius",

a) 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 2P37, 1998;

b) J. Nucl. Mat. 266-269, 873, 1999.

97.J.G.Watkins, O.Batishchev, J.A.Boedo, D.N.Hill, C.J.Lasnier, R.Lehmer, A.W.Leonard, R.A.Moyer, "Kinetic Effects in the DIII-D Divertor",

a) 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 2P61,1999;

b) J. Nucl. Mat. 266-269, 980,1999.

98.M.Shoucri, I.Shkarofsky, P.Jacquet, G.W.Pacher, R.Decoste, O.Batishchev, A.Batishcheva, "Kinetic Modeling of the Transport in the Scrape-Off Layer of TdeV During L-H Current Drive and ELM Bursts",

a) 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 3P41,1998,

b) J. Nucl. Mat. 266-269, 1202, 1999.

99.S.C.Luckhardt, R.W.Harvey, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, J.W.Cuthbertson, R.Doehner, A.A.Grossman, R.Lehmer, L.Blush, D.G.Whyte, "Broadening of the Parallel and Perpendicular Ion Energy Spectrum and Correlation with Turbulent Potential Fluctuations in a Linear Magnetized Plasma",

a) 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 2P41,1998.

b) J. Nucl. Mat., 266-269,1285,1999.

100. O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov, "Unstructured adaptive grid and grid-free methods for magnetized plasma fluid simulations", J. Plasma Phys., 61, part 5, 701,1999.

101. O.V.Batishchev, C.Ferro, F.Subba, R.Zanino, "Two-Dimensional Fokker-Planck Model for Impurity Transport in Tokamaks", 7th PET abstracts 51, Tajimi, Japan 4-6 Oct. 1999.

102. R.Zanino, O.V.Batishchev, F.Subba, "Comparison of Finite Element and Finite Volume Methods for Magnetized Fluid", 7th PET abstracts 37, Tajimi, Japan 1999.

103. F.Subba, O.V.Batishchev, R.Zanino "Application of Adaptive Grid RRC Method to the Fluid Modeling of Edge Plasmas", 7th PET abstracts 38, Tajimi, Japan 1999.

104. J.J.Szabo, M.Martinez-Sanchez, O.Batishchev, "Particle-in-Cell Modeling of Thruster with an Anode Layer", Paper IEPC-99-100, 26th International Electric Propulsion Conference, Kitakyiushu, Japan, Oct. 1999.

105. O.V.Batishchev "Adaptive Grid Methods for Magnetized Plasmas", Vth Congress on Fluid Dynamics, Villahermosa, Mexico, Oct. 1999.

106. O.Batishchev, "Kinetic Study of a Sheath Formation in the Ignitor", Bull. APS Vol.44, No.7, 211, 1999.

107. O.Batishchev, "Kinetic Model for the Variable Isp Thruster", Bull. APS Vol.44, No.7,99, 1999.

108. J.J.Szabo, M.Martinez-Sanchez, O.Batishchev, "Particle-in-Cell/Monte Carlo Modeling of a 50-Watt Hall Thruster", Bull. APS Vol.44, No.7, 62, 1999

109. J.G.Watkins, C.L.Lasnier, M.E.Fenstermacher, O.Batishchev, J.A.Boedo, R.A.Moyer,~T.W.Petrie, A.W.Leonard "SOLrand Divertor Langmuir Probe Measurements in Balanced and Unbalanced Double Null Plasmas", Bull. APS Vol.44, No.7, 170, 1999

110. A.Kainz, G.H.Weimann, G.Kamelander, O.V.Batishchev, "ITER-like Fusion Devices Plasma Behavior Simulation: Enhancment utilizing Adaptive Mesh Application", -4p, EPS-2000 meeting , June 12-16, Budapest.

111.T.K. Soboleva, O.V. Batishchev, J.J. Martinell, "Electron and Ion Heat Fluxes in the SOL Plasmas", -4p, EPS-2000 meeting , June 12-16, Budapest.

112. O.V. Batishchev , "Hybrid Vlasov/Fokker-Planck - PIC method", Proceedings of the 17 th Int. conference on the Numerical Simulation of Plasmas, Banff, Canada, May 22-24, 2000, p. 24

113. J.J. Szabo, M.Martinez-Sanchez, O.V. Batishchev, "PIC/Monte-Carlo Modeling of a Hall Thruster with Conductive Acceleration Channel Walls", Proceedings of the 17 th Int. conference on the Numerical Simulation of Plasmas, Banff, Canada, May 22-24, 2000, p. 25-28

114. A.A. Batishcheva, O.V. Batishchev, "RRC Adaptive Grid Method For Magnetized Plasma", Proceedings of the 17 th Int. conference on the Numerical Simulation of Plasmas, Banff, Canada, May 22-24, 2000, p.29-32

115. K. Molvig, O.V. Batishchev, "A Kinetic Model for High Specific Impulse Plasma Rocket", Proceedings of the 17 th Int. conference on the Numerical Simulation of Plasmas, Banff, Alberta, Canada, May 22-24, 2000, p. 180183

116. J.J.Szabo, M.Martinez-Sanchez, O.V. Batishchev , "Numerical Modeling of the Near-Anode Region in a TAL Thruster", AIAA technical paper 20003653, 16-19 July, Huntsville, USA, 2000, -14p.

117.0. Batishchev, K. Molvig, "Kinetic Simulation of High Isp Plasm: Thruster", AIAA technical paper 2000-3754,2000, -1 lp.