Кинетические уравнения с флуктуациями и скейлинги в теории сильной турбулентности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Кинетические уравнения в теории сильной турбулентности

1.1 Структура иерархии ББГКИ и гипотеза "молекулярного хаоса"

1.2 Кинетические уравнения для "расширенных" функций распределения

Первоначально понятие о турбулентности возникло при изучении движения жидкости. Однако к настоящему времени концепция турбулентности получила широкое распространение. Не будет сильным преувеличением сказать, что в физике плазмы и гидродинамике практически все сложные или непонятные явления принято относить к турбулентности.

В настоящей работе под турбулентностью мы будем понимать неравновесное состояние среды, возникающее из-за сильного развития неустойчивостей, в котором ее локальные характеристики претерпевают стохастические изменения во времени. При описании турбулентности выделяют сильную и слабую турбулентность. Под слабой турбулентностью понимают случай, когда описание динамики может быть сведено к описанию слабовзаимодействующих мод (квазичастиц) [1, 2, 3]. Возможность свести описание динамики к изучению слабого взаимодействия между различными модами [4], позволила далеко продвинуться в понимании свойств слабой турбулентности [5, 6, 7]. В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением лишь сильной турбулентности, то есть будем изучать лишь такие состояния среды, в которых нелинейные взаимодействия развившихся неустойчивых мод достаточно сильны для того, чтобы устранить всякую информацию о причине возникновения турбулентности, а эволюцию системы не удается свести к изучению слабовзаимодействующих мод.

Сама постановка задачи, казалось бы, подсказывает путь ее решения: сначала следует проанализировать все возможные механизмы развития неустойчивостей, а после этого изучить механизмы нелинейного ограничения роста неустойчивых мод или пути их перерастания в турбулентные процессы. Осуществление подобной программы позволило бы получить исчерпывающую информацию о физике турбулентного состояния. Однако подобный подход сталкивается с огромными математическими сложностями. В самом деле, даже предложенный Ландау сценарий перехода к турбулентности предполагает бесконечную иерархию неустойчивостей, а описание их нелинейной динамики представляется необозримой задачей.

Следует вместе с тем отметить, что очень часто сценарий перехода к турбулентности не имеет особого значения, а интерес представляет лишь само турбулентное состояние. В случае сильной турбулентности, когда нелинейные взаимодействия устраняют всякую информацию о причине ее возникновения, можно ожидать существования замкнутых уравнений, описывающих универсальную динамику такой системы. Описание универсальных свойств турбулентности с помощью специального класса кинетических уравнений, а также изучение транспортных и скейлинговых свойств этого состояния среды является предметом настоящей работы.

После сделанных предварительных замечаний о круге проблем, которым посвящена диссертационная работа, остановимся на ее структуре. Диссертация состоит из Введения, пяти глав и Заключения. Каждая глава состоит из краткого комментария, предваряющего основной текст главы, в котором в сжатой форме сформулирована рассматриваемая в данной главе проблема и нескольких разделов. В Заключении указаны наиболее важные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертационной работы можно кратко сформулировать следующим образом:

1. Показано, что метод кинетического уравнения для расширенных функций распределения является эффективным способом замкнутого описания развитой турбулентности плазмы и несжимаемой жидкости.

2. Изучены классы универсальности турбулентных течений несжимаемой жидкости, приводимой в движение действием внешних сил.

3. Исследованы транспортные свойства замагниченной плазмы низкого давления, находящейся в состоянии однородной изотропной развитой микротурбулентности.

4. Теория сильной турбулентности плазмы применена для исследования конкретной модели самоорганизации в плазменном шнуре токамака.

5. На основе теории сильной турбулентности плазмы сформулирована теория подобия. Предсказания полученной теории подобия сопоставлены с экспериментальными скейлингами для энергетического времени жизни плазмы в токамаках.

К числу результатов диссертации, выносимых на защиту, относятся:

1. Найден новый способ получения замкнутых кинетических уравнений для расширенных функций распределения, позволяющий самосогласованным образом учесть флуктуации произвольной величины, а также возбуждение флуктуациями неустойчивых мод. Новые кинетические уравнения могут быть применены для описания сильнонеравновесных состояний различных сред в том числе и для описания развитой турбулентности.

2. Получены кинетические уравнения для расширенных функций распределения, описывающие динамику лагранжевых частиц несжимаемой жидкости. Эти кинетические уравнения использованы для изучения области применимости теории Колмогорова и исследования неколмогоровских режимов турбулентности. Определены условия перестройки колмогоровско-го спектра вблизи вязкого интервала и реализации длинноволновой универсальной турбулентности.

3. Изучены состояния развитой микротурбулентности в плазме. Установлено, что транспортные характеристики таких состояний плазмы определяются уровнем флуктуаций на масштабе порядка дебаевского радиуса, то есть, например, поперечная температуропроводность определяется бомов-ским законом, численный коэффициент перед которым связан с уровнем указанных флуктуаций. Показана универсальная природа и других коэффициентов переноса в рассматриваемых состояниях плазмы.

4. В рамках электростатической модели обнаружены два различных типа развитой микротурбулентности, которые могут реализовываться в плазменном шнуре токамака. Показано, что при одном типе развитой микротурбулентности в плазменном шнуре токамака продольная проводимость является спитцеровской (неоклассической), поведение ионов — неоклассическим, поперечная электронная температуропроводность — аномальной, а другой тип микротурбулентности в плазменном шнуре характеризуется аномальным поведением как электронов, так и ионов. Установлены параметры, ответственные за реализацию двух указанных режимов развитой микротурбулентности.

5. Построена теория подобия, учитывающая необходимость самосогласованного описания флуктуаций и возбуждения ими неустойчивых мод в состояниях развитой микротурбулентности в плазме. Предсказания теории подобия сопоставлены с экспериментальными скейлингами по глобальному энергетическому времени жизни плазмы в токамаках.

Заключение

Хорошо известно, что в настоящее время в теории развитой турбулентности несжимаемой жидкости большое место занимают соображения подобия и размерности, часто дополняемые физическими аргументами о роли вязких эффектов. Однако всякий метод, позволяющий исследовать свойства решений уравнений, не решая самих уравнений, выявляет некоторую характерную особенность, заложенную уже в самой формулировке математического аппарата физической теории, и, следовательно, не зависящую от деталей динамики. До тех пор пока эта характерная особенность не выявлена, ее следствия могут относиться к специфике той или иной физической модели или рассматриваемого приближения. На примере турбулентности несжимаемой жидкости было показано, что метод кинетического уравнения для расширенной функции распределения позволяет установить, что в пределе большого числа Рейнольдса динамику несжимаемой жидкости можно описать уравнением, корректно учитывающим диссипацию, но при этом обладающим двухпараметрической группой масштабных преобразований (напомним, что такой группой преобразований обладает уравнение Эйлера, но не обладает уравнение Навье-Стокса). Более того, метод кинетического уравнения для расширенных функций распределения в применении к физике плазмы позволил корректно учесть флуктуации произвольной величины в том числе и в неустойчивых состояниях среды, что привело к получению необратимых по времени кинетических уравнений, описывающих плазму и сходных по своей структуре с кинетическими уравнениями для лагражевых частиц несжимаемой жидкости, а также обладающих двухпараметрической группой масштабных преобразований. По своему физическому смыслу эта группа, разумеется, не имеет ничего общего с двухпараметрической группой преобразований, возникавшей в гидродинамике несжимаемой жидкости, и никак не связана с физической размерностью величин, описывающих плазму. Однако возникновение аналогичной математической структуры позволяет развивать теорию сильной турбулентности в плазме по аналогии с теорией сильной турбулентности несжимаемой жидкости, то есть выйти за рамки приближений, основанных на представлениях о слабом взаимодействии волн. Иными словами метод кинетического уравнения для расширенных функций распределения позволил выявить глубокую аналогию в динамике плазмы и турбулентной несжимаемой жидкости.

Любые кинетические уравнения, приводящие к необратимой динамике, ставят вопрос о природе возникновения этой необратимости. В связи с этим напомним, что при рассмотрении вопроса об эргодичности динамической системы рассматривается задача о поведении динамической системы с конечным числом степеней свободы (конечным числом частиц) в пределе бесконечно большого времени. Вместе с тем хорошо известно, что в задачах статистической физики более естественной является другая постановка задач о релаксации и необратимой эволюции: рассмотреть поведение динамической системы с бесконечно большим числом частиц при различных временах эволюции (см. в связи с этим [148, 82]). Интересной особенностью формализма кинетического уравнения для расширенных функций распределения является то, что в рамках указанного подхода необратимость вводится именно в рамках второй постановки задачи, причем это делается явным образом в результате предельного перехода.

1. Романов Ю., Филиппов Г. ЖЭТФ 40, 123 (1961).

2. Веденов A.A., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Ядерный синтез 1, 82 (1961).

3. Веденов A.A., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. УФН 73, 701 (1961).

4. Ораевский В.Н., Сагдеев Р.З. ЖТФ XXVII, 1291 (1962).

5. Веденов A.A., Рудаков Л.И. ДАН СССР 159, 767 (1969).

6. Галеев A.A., Карпман В.И. ЖЭТФ 44, 592, (1962).

7. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. ЖЭТФ 43, 147 (1962).

8. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. — Москва: ОНТИ, 1937.

9. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. — Москва: Редакция журнала "УФН", 1997.

10. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. — Москва: Изд-во АН СССР, 1950.

11. Майоров С.А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. УФН 164, 297 (1994).

12. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. — Москва: Гостехиздат, 1946.

13. Гордиенко С.Н. ЖЭТФ 106, 436 (1994).

14. Гордиенко С.Н. Физика плазмы 23, 754 (1997).

15. Боголюбов H.H. Избранные труды, т.З. — Киев: Наукова думка, 1973.

16. Шелест A.B. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — Москва: Наука, 1990.

17. Sandri G. Annals of Physics 24, 332 (1963).

18. Леонтович M.А. ЖЭТФ 5, 211 (1935).

19. Кадомцев Б.Б. ЖЭТФ 32, 943 (1957).

20. Кадомцев Б.Б. ЖЭТФ 33, 151 (1957).

21. Fox R., Ulenbeck G. Phys. Fluids 13, 881 (1970).

22. Zubarev D.N., Morozov V.G. Physica A 120, 411 (1983).

23. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. — Москва: Наука, 1990.

24. Бобылев A.B., Зубарев Д.Н. Уравнение Больцмана. — Москва: Мир, 1986.

25. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. — Москва: Мир, 1965.

26. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — Москва: Наука, 1979.

27. Новиков Е.А. ЖЭТФ 68, 1868 (1975).

28. Монин A.C., Яглом A.M., Статистическая гидромеханика, т.2, Наука, Москва (1967).

29. Г.М.Заславский, С.С.Моисеев, Р.З.Сагдеев и др., Физика плазмы 9, 62 (1983).

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Гидродинамика, Наука, Москва (1986).

31. Найфе А.Х., Методы возмущений, Мир, Москва, (1976).

32. Боголюбов H.H., Избранные труды, т.2, Наукова думка, Киев (1970).

33. Новиков Е.А. ДАН СССР 177, 299 (1967).

34. Покровский В.Л., Паташинский А.З., Флуктуационная теория фазовых переходов,Наука, Москва (1982).

35. Маслов В.П. УМН 41, 93 (1986).

36. Ландау Л.Д. ДАН СССР 44, 339 (1944).

37. Ebeling W., Klimontovich Y.L. Selforganization and turbulence in liquids. — Leipzig: Teuner, 1984.

38. Ван дер Варден Б.Л., Метод теории групп в квантовой механике, Харьков (1938). (1987).

39. Баренблат Г.И., Подобие, автомоде л ьность, промежуточная асимптотика, Гидрометеоиздат, Ленинград (1978).

40. Улинич Ф.Р., Любимов Б.Я., ЖЭТФ 55, 951 (1968).

41. Монин A.C., Яглом A.M., Статистическая гидромеханика, т.2, Наука, Москва (1967).42 43 [44 [45 [46 [47 [48 [49 [50 [51 [52 [5354