Реномгруппа в задачах стохастической динамики: распространение звука в окрестности критической точки, анизотропная турбулентность тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕНОРМГРУППА В ЗАДАЧАХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ: РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В

ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОИ ТОЧКИ, АНИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ.

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

—ГБ ОД-2 7 ОКТ 1998

На правах рукописи

СЕРДЮКОВ Александр Викторович

Санкт-Петербург

1998 г.

Работа выполнена на кафедре статистической физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Л.Ц. АДЖЕМЯН

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор А.И. СОКОЛОВ

Кандидат физико-математических наук,

с.н.с. Н.В. АНТОНОВ

Ведущая организация — Санкт-Петербургский физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН.

Защита состоится " 23 " _ 1998 ГОДа,

в часов, на заседании Диссертационного совета

К063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук с Санкт - Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт - Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан " 2!г "_¿¿^¿-.^о/,^_^ддд г

Ученый секретарь

диссертационного совета С.Н. МАНИДА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Методы стохастической динамики и теории поля, в частности метод ренормализационной группы (РГ), используются в диссертации для изучения особенностей распространения звука вблизи критической точки фазового перехода жидкость-газ, а также для исследования устойчивости колмогоровского скейлинга в модели анизотропной развитой турбулентности.

Актуальность темы исследования.

Ультразвуковые эксперименты — это один из эффективных и широко применяемых методов исследования динамики флуктуа-ций вблизи фазовых переходов второго рода. Поэтому теоретическое вычисление скейлинговых функций, определяющих поведение дисперсии скорости и поглощения звука, представляют значительный интерес. Метод ренормгруппы, который играет определяющую роль в описании термодинамики фазовых переходов второго рода, оказывается черезвычайно полезным как для обоснования динамического скейлинга, так и при вычислении динамических скейлинговых функций.

В рамках теории поля многие вычисления вынужденно ограничиваются теорией возмущений. Любые сведения о скейлинговых функциях, которые можно получить вне рамок теории возмущений, представляют особый интерес. В частности, важным является вопрос о низкочастотном поведении дисперсии скорости звука.

В теории развитой турбулентности несжимаемой жидкости использование метода РГ позволяет обосновать инфракрасный скей-линг с колмогоровскими размерностями. Для теории турбулентности в некоторых случаях необходимо учитывать влияние анизотропии. Это определяет актуальность выполненного в диссертации исследования устойчивости инфракрасного скейлинга по отношению к анизотропии.

Цель работы:

• изучение поведения поглощения и дисперсии скорости звука в близкой окрестности критической точки перехода жидкость-газ, вычисление методом РГ и ^-разложения соответствующей скей-линговой функции;

• исследование низкочастотного поведения скейлинговой функции, определяющей закон дисперсии звуковой моды в критической области;

• сравнение предсказаний теории распространения звука в окрестности критической точки с экспериментом;

• исследование методом РГ и ¿"-разложения устойчивости кол-могоровского скейлинга в стохастической модели анизотропной развитой турбулентности.

Основные результаты диссертации.

1) Метод ренормализациопной группы использован для обоснования скейлингового поведения поглощения и дисперсии скорости звука в близкой окрестности критической точки жидкость-газ. Во втором порядке е = 4 — ¿-разложения (ё — размерность пространства) вычислена универсальная скейлинговая функция, определяющая закон дисперсии звука в близкой окрестности критической точки жидкость-газ.

Найдены температурная и частотная зависимости поглощения и дисперсии скорости звука в окрестности критической точки на изохоре выше Тс. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментом.

2) Методом инфракрасной теории возмущений изучена низкочастотная асимптотика дисперсии скорости звука. Показано, что на низких частотах приведенная дисперсия ведет себя как ш3/2. Такое поведение хорошо согласуется с экспериментальными данными.

3) Вычислены с-разложения универсальных отношений амплитуд, определяющих низко- и высокочастотные асимптотики поглощения и дисперсии скорости звука в критической области.

4) В рамках стохастической модели анизотропной развитой турбулентности несжимаемой жидкости в предположении о малости анизотропных поправок доказана устойчивость колмогоровского скейлинга для размерности пространства (1=3. Показано, что для (I < 2.68 происходит потеря устойчивости.

Научная новизна работы определяется эффективностью используемых методов, позволивших получить существенно новые результаты.

В частности, в работе впервые вычислено с точностью до е2 с-разложение скейлинговой функции, входящей в закон дисперсии звука; вне рамок е-разложения получена низкочастотная асимптотика этой функции; строго доказана устойчивость колмогоровского скейлинга в стохастической модели анизотропной развитой турбулентности.

Теоретическое и практическое значение.

1) Полученное в диссертации во втором порядке £-разложения выражение для скейлинговой функции, входящей в закон дисперсии звука, позволяет достичь хорошего согласия между теорией и экспериментом и служит подтверждением гипотезы динамического скейлинга в применении к критическим явлениям.

2) Результаты, касающиеся низкочастотной асимптотики этой скейлинговой функции, полученные вне рамок е-р аз ложения, могут быть использованы для проверки теории в широкой окрестности критической точки.

3) Доказательство устойчивости колмогоровского скейлинга в рамках стохастической модели анизотропной турбулентности в предположении о малости анизотропии дает возможность учиты-

вать влияние анизотропии по теории возмущений.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры статистической физики Научно-исследовательского института физики Санкт-Петербургского государственного университета и на III Международной конференции "Renormalization Group' 96", проходившей 26-31 августа 1996 года в городе Дубна, Россия.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано пять работ. Они указаны в конце автореферата.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы, включающего 83 наименования. Объем работы 113 страниц. Работа содержит 4 рисунка, 6 диаграмм и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во Введении коротко описаны задачи, решаемые в диссертации, используемые методы и основные результаты. Особое внимание уделяется переходу от стохастической постановки задачи к квантово-полевой.

Уравнения движения в стохастической динамике имеют следующий общий вид:

д1ф = Ьф+У(ф) + /, (1)

где L — некоторая линейная операция, У(ф) — нелинейности, описывающие взаимодействие полей, / — набор случайных сил. Распределение для / обычно предполагается гауссовым с нулевым средним и заданной матрицей корреляторов

Ц{Х)ЛХ')) — где х = (х,г). Можно показать [1], что за-

дача (1), доопределенная условием запаздывания, эквивалентна некоторой теории поля с удвоенным числом полей и действием

8(ф,ф') = 1с1х{±ф'01ф, + ф'(-д1ф + 1ф + У(ф))], (2)

причем ф' — вспомогательные поля. Эквивалентность понимается в смысле тождественного совпадения средних задачи (1) и функций Грина теории поля (2), производящий функционал которых записывается в виде функционального интеграла:

С{А,А') = У Бф' j Оф ехр{ в(ф,ф') + ^Ах (Аф+А'ф')}.

Это обстоятельство позволяет широко использовать методы квантовой теории поля в задачах стохастической динамики.

Первые три главы диссертации посвящены изучению особенностей распространения звука вблизи критической точки перехода жидкость-газ.

В Главе 1 приводятся общие сведения о поведении флуктуаций в окрестности критической точки и выводится закон дисперсии звуковой моды. В п.1.1 рассматривается поведение основных термодинамических величин и определяются критические индексы. В п. 1.2 критическая статика перехода жидкость-газ рассматривается в рамках ?/>4-модели, причем особое внимание уделяется выбору параметра порядка [2]. В п.1.3 рассматриваются общие принципы построения моделей критической динамики [3] на основе стохастических уравнений Ланжевена вида

д,фа = («„6 + ЫФ))^^ + /«.,

где фа = фа(х, £) — набор переменных задачи; — статическое

действие, пропорциональное гамильтониану Гинзбурга-Ландау;

ОаЬ — симметричная матрица коэффициентов Онзагера, не зависящая от ф; (Заь — антисимметричная матрица коэффициентов меж-модовой связи, которые находятся обычно из условий согласованности с гидродинамикой.

В п.1.4 согласно общему методу п.1.3 строится стохастическая модель, описывающая динамику флуктуаций в окрестности критической точки жидкость-газ, и на основе этой модели выводится закон дисперсии звуковой моды. Соответствующая модель была впервые предложена в работе [4], где также был получен закон дисперсии звука. Изложение п.1.4 отличается от [4] некоторыми деталями (в частности, выбором параметра порядка) и в целом следует [5], [6]. В п.1.4 показано, что дисперсионное уравнение звука имеет вид

k2 = u2[c-J + AR(u,r)l (3)

где Сад, которая имеет смысл скорости звука при и —> оо, и А — константы, не зависящие от температуры т ~ Т — Тс. Функция R представляет собой функцию отклика на вариацию температуры и вычисляется в рамках //-модели критической динамики, предложенной в [7]:

R(t-t') = fdx R(x,x'), R(x,x') = {F{x)F,{x')), x = (x,i),

F(x) = (ф2(х)~ (ф2))/2, F'(x) = -\ф>'(х)Ъ2ф(х), (4)

где A — кинетический коэффициент, а ф — параметр порядка модели Н. Усреднение в (4) производится по распределению Н-модели.

Ренормировка //-модели, неренормированное действие которой имеет вид

5 = fdxJ ^{-\0ф'^2ф' + ф'[-д1ф - (vV)^i' +

+A0V2(-VV + т0ф + дюф3/6)] -- VW'vW + v'[-G^v + Ао ^й1 V2v + V'VV V]), (5)

а также вычисление е-разложения функции отклика !?(< — £') описаны в Главе 2. Ренормировка действия (5) изучается в п.2.1, а ренормировка функции отклика — в п.2.2. Вычисление ренор-мированной функции отклика Пц по теории возмущений описано в п.2.3. Были вычислены следующие одно- и двухпетлевые диаграммы:

где непрерывные линии отвечают пропагаторам (ф'ф) и {фгр), а пунктирные — {ч'ч) и ^у). Перечеркивания соответствуют штрихованным полям. Диаграммы для Гз и Г4 — символические обозначения для сумм диаграмм со всевозможными вариантами расстановки перечеркиваний. Результаты вычислений собраны в Приложении к диссертации.

В п.2.4 уравнение ренормгруппы для ренормированной функции отклика Нц, которое является линейным уравнением в частных производных первого порядка, решается методом характеристик. В этом же параграфе доказывается скейлинговое представление для Я:

Я - С1Г-аФ(С2<1>), й = и/тг", а = 2-Л/, (6)

где а ~ 0.11 — индекс теплоемкости, г ~ 3.07 — индекс частоты; а также изучаются аналитические свойства скейлинговой функции Ф(ад). Вводится нормированная скейлинговая функция /(ш) = 61Ф(2>2И>), где б^о — константы, такая, что

/И = 1 + 1кш + ..., /(го) = /„(-ш)-" + (7)

и'—>0 ю- >оо

где к = а/ги; /оо — универсальная константа, вычисляемая в виде ¿"-ряда. Для сравнения с экспериментом f{w) представляется в виде /(го) = (1 — гю)~кН{;ш). Функция /г(ш) находится в виде г:-разложения, которое приводится в Приложении. Сравнение вычисленной в п.2,4 нормированной скейлинговой функции /(и>) с экспериментальными данными проводится в п.2.5. Согласно (3) и

(6), (7)

ах{ш, т)с~2{ш, т)та = тгС^тДСгй),

где с — скорость звука, ад — поглощение звука на длине волны, Схр — неуниверсальные амплитуды. Благодаря тому, что для Не3 Соо — оо, возможно прямое сравнение отношения 7г1т//11е/ с экспериментальными данными работы [8] по Не3 (см. рис. 1).

Рис.1. От-

*1т/(£)/Не/(£) ношение пТш/(й)/Ве/(ш)

как функция приведенной частоты Со сравнивается с экспериментальными данными по поглощению на длине волны а\(и>) для Не3 [8]. Кривая 1 соответствует первому порядку е-разложения для функции /г(и;), кривая 2 — второму; пунктирная кривая построена по функции Кролла и Руланда [9].

В диссертации также приведены графики, на которых производится сравнение экспериментальных данных для приведенной дисперсии [с~2(0) — (ш)}та и приведенного поглощения а\(ш)с~2(и>)та с предсказаниями теории.

10"

10

-2

2

/ '/ 1

10"

10°

ю2

В Главе 3 изучается асимптотика функции /(«>) при и) —)• 0. С помощью инфракрасной теории возмущений (ИКТВ), предложенной в [10], [11], в гл. 3 доказывается во всех порядках теории возмущений, что асимптотика малых ги функции /(го) имеет вид

¡(ги) = 1 + гкш + {/-1(—г«))2-£Г/2 + 0(и>2),

где а! — размерность пространства, I/ ~ 3 + 7.89е + ... — универсальная амплитуда. Соответственно, приведенная дисперсия скорости звука на малых приведенных частотах ведет себя как

из

3/2

т°[с (0) - с- (и;)]

, что демонстрирует рис. 2. Идеи ИКТВ излагаются в п.3.1. В п.3.2 строится используемая в этом методе процедура устранения ультрафиолетовых расходимостей, а в п.3.3 описывается вычисление е-разложепия амплитуды U и других универсальных амплитуд. Полученные результаты обсуждаются и п.3.4.

Рис.2. Низкочастотное поведение приведенной дисперсии скорости звука т"[с~2(0) - с~2(ш)] как функции приведенной частоты из. Наклон прямой соответствует степенному закону ~ й3/2. Экспериментальные точки построении по данным для Не3 [8], оставлены лишь данные для частот 0.5 и 1 МГц.

Глава 4 посвящена исследованию в рамках метода РГ и е-разложения устойчивости колмогоровского скейлинга в модели анизотропной развитой турбулентности.

Развитая турбулептность характеризуется большими числами Рейнольдса Re = (lmax/lminгде 1таг — характерный размер

наиболее крупномасштабных движений (вихрей) в системе, /„„•„ — диссипативная длина, связанная со средней мощьностью накачки кинетической энергии в систему IV и вязкостью щ соотношением В экспериментах числа Рейнольдса достигают значений порядка 10"1 ~ 106. В этих условиях в области волновых чисел к <С 1 /1тт и частот и <С щсогласно феноменологической теории Колмогорова распределение фурье-компонент ср(и, к) случайной скорости не зависит от вязкости г^о, и, как след-

ствие, имеет место инфракрасный скейлинг с (колмогоровскими) размерностями

1 2 А^ = Аы = -А, = -, Д* = -Ах = 1.

Стохастическая гидродинамика однородной турбулентности несжимаемой жидкости описывается уравнением Навье-Стокса

= щдр,- - д,р + /„ у4 = д1 + (^у), (8)

где у?,- — поперечное поле пульсаций скорости, Рц — кинематическая вязкость, р и — давление и поперечная случайная сила на единицу массы. Распределение случайной силы — гауссово. Для коррелятора случайных сил в рамках РГ-подхода в изотропном случае часто выбирается степенная модель [12], а именно: в (к, ^-представлении

СШ = Д(9)

где Д) — константа, а £ > 0 — безразмерный параметр теории, в качестве "физического" значения которого выбирается е — 2. Обобщение модели (8), (9) на анизотропный случай было предложено в [13] и рассматривалось в [14], однако вопрос устойчивости колмогоровского скейлинга в этой модели не был до конца исследован авторами этих работ. Анизотропная модель подробно рассматривается в п.4.1. При наличии выделенного направления п

коррелятор случайных сил в предположении о малости анизотропии может быть записан в виде

(fifi) = D,kA-d-7s5{t - í')[(l + pi(fc¡j/*2))Py + ptñiñj], (10)

где pi, р2 — малые параметры анизотропии, fcjj = (kn)2, Pi} = 6¡j — k¡kj/k'¿ — поперечный проектор, a ñ,(k) — P¡j(k)iij.

При наличии выделенного направления структура расходимо-стей требует расширения модели до мультипликативно ренорми-руемой. Действие такой расширенной модели имеет вид

S{tf/, ф) = <prgov$Dw<ff/2 + ¥/(-VtV> + и0{(О2 + ul0d¡)<p +

+n(ií20a2 + «3o5|p(M}), (11)

где Df — коррелятор (10) без выделенных явно множителей до и vq. Анизотропные слагаемые ~ и,о включены в действие (11) с целью устранения ультрафиолетовых расходимостей соответствующей структуры за счет ренормировки зарядов и,о- Предел u¡о —> 0 не приводит к противоречию. Можно показать, что нулевым значениям u¿o соответствуют отличные от нуля значения рснормированных зарядов щ, которые находятся явно [15].

В п.4.2 изучена ренормировка модели (11), вычислены ^-функции, найдены координаты неподвижной точки ренормгруппы и показано, что собственные числа матрицы производных /3-функций по зарядам, вычисленных в фиксированной точке РГ, имеют положительные вещественные части при d = 3, то есть найденная фиксированная точка — инфракрасно устойчивая. При d < 2.68 одно из собственных значений, связанное с зарядом из, меняет знак, и устойчивость неподвижной точки РГ теряется.

В Заключении перечислены основные результаты диссертации и даны ссылки на работы последних лет по теории распространения звука в окрестности фазовых переходов второго рода.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ким T.JL, Сердюков A.B.

Квантово-полевая ренормгрупла в теории развитой турбулентности: учет анизотропии и пассивной примеси. // Теоретическая и математическая физика. 1995. T.1Ü5. No.3. С.412-422.

2. Adzhemyan L.Ts., Vasiljev A.N., Serdukov A.V.

Tow-loop RG calculation of sound attenuation and dispersion near the liquid-gas critical point. // ''Rtnormalization Group' 96"; eds D.V. Shirkov, D.I. Kazakov, V.B. Priezzhev. — Dubna, 1997, pp. 1117.

3. Аджемян JI.П., Сердюков A.B.

Низкочастотное поглощение и дисперсия скорости звука в окрестности критической точки жидкость-газ. // Препринт SPbU-IP-97-23. — Санкт-Петербург, СПбГУ, НИИФ, 1997.

4. Adzhemyan L.Ts., Vasiljev A.N., Serdukov A.V.

Tow-loop RG calculation of sound attenuation and dispersion near the liquid-gas critical point. // Int.J.Mod.Phys. B. 1998. V.12. No 12/13. PP. 1255-1262.

5. Аджемян Л.Ц., Васильев А.H., Сердюков A.B. Поглощение и дисперсия скорости звука в окрестности критической точки жидкость-газ: Ренормгрупповой расчет в двух-петлевом приближении. // Препринт SPbU-IP-98-б. — Санкт-Петербург, СПбГУ, НИИФ, 1998.

1

2

3

4

5

6

7

8 9

[10 [И

[12

[13 [14

[Ii

Цитируемая литература

Martin P.C., Siggia E.D., Rose H.A. // Phys. Rev. 1973. V.A8. P.423.

Паташинский A.3., Покровский В. JI. // Флуктуационная теория фазовых переходов.— М: Наука, 1982.

Hohenberg P., Halperin В. // Rev. Mod. Phys. 1977. V.49. N.3. Р.435.

Dengler R., Schwabl F. // Europhys. Lett. 1987. V.4. N.ll. P.1233.

Adzhemyan L.Ts., Vasiljev A.N., Serdukov A.V. // Int. J. Mod. Phys. B.' 1998. V.12. N.12/13. P.1255.

Аджемян Л.П., Васильев А.Н. // ТМФ. 1998. Т.117. N.l. С.140.

Siggia Е., Halperin В., Hohenberg Р. // Phys. Rev. 197G. V.B13. N.5. Р.2110.

Roe D.B., Meyer H. // J.Low.Tcmp.Phys. 1978. V.30. N.l/2. P.91.

Kroll D.M., Ruhland J.M. // Phys. Lett. 1980. V.80A. N.l. P.45.

Аджемян Л.Н., Васильев A.H., Письмак Ю.М. // ТМФ. 1988. Т.74. N.3. С.360.

Налимов М.Ю. // ТМФ. 1989. Т.80. N.2. С.212.

Аджемян Л.П., Антонов Н.В., Васильев А.Н. // УФН. 1996. T.16G. N.12. С.1257.

Rubinstein R., Barton J.M. // Phys. Fluids. 1987. V.30. P.2987. Carati D., Brenig L. // Phys. Rev. 1989. V.A40. N 9. P.5193. Ким Т.Л. // Вестник СПбГУ. 1996. Cep.4. Вып.3(18). С.71.