Численное моделирование динамики вихревых нитей и нелинейных волн второго звука в сверхтекучем гелии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи

КОНДАУРОВА Луиза Петровна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ВИХРЕВЫХ НИТЕЙ И НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ВТОРОГО ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ

01.04.14 - теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 1 СЕН 2Щ

Новосибирск - 2014

005552402

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения Российской академии наук (г. Новосибирск).

Научный консультант доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Немировский Сергей Карпович.

Официальные оппоненты:

Григорьев Юрий Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, главный научный сотрудник.

Ефимов Виктор Борисович - доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт физики твердого тела Российской академии наук, ведущий научный сотрудник.

Филиппов Юрий Петрович - доктор технических наук, Международная межправительственная организация Объединенный институт ядерных исследований, начальник сектора криофизических исследований.

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Защита состоится «24» сентября 2014 г. в 09 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук Д 003.053.01 в ФГБУН Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН по адресу 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, д. 1. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Института теплофизики СО РАН http://www.itp.nsc.ru/dissertation/kondaurova-luiza-реЦоупа.

Отзывы на автореферат просим направлять по адресу: 630090, Новосибирск, проспект Лаврентьева, 1, Ученому секретарю совета, email: dissovet@itp.nsc.ru Факс: (383)330-84-80

Ученый секретарь диссертационного совета

Автореферат разослан

д.ф.-м.н., профессор

Кузнецов Владимир Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы.

Термин «квантовая турбулентность» объединяет широкий класс явлений, когда в квантовых жидкостях возникает хаотическое множество одномерных квантованных вихревых нитей (вихревых пучков), которое оказывает сильное влияние на различные физические процессы. Квантовая турбулентность проявляет себя по-разному в зависимости от физической ситуации, изменяется от квазиклассической турбулентности в движущихся потоках жидкостей до равновесного состояния петель в области фазового перехода. Стохастическая динамика квантовых вихревых нитей (более общее - топологических дефектов) является одним из актуальнейших направлений в физике квантовых жидкостей, соответствующая область обычно называется теорией квантовой турбулентности. Диапазон приложения теории стохастических квантовых вихрей необычайно широк, от теории фазовых переходов до свойств Бозе-Эйнштеновского конденсата.

Работа посвящена численному моделированию квантовой турбулентности. Термин "квантовая турбулентность" был введен Фейнманом при объяснении результата Гортера-Меллинка, когда при превышении некоторой скорости противотока возникает резкое увеличение температурного перепада. Возникновение этого перепада обусловлено появлением вихревой структуры, представляющей собой совокупность нитей (вихревой клубок) в сверхтекучем движении. Эти вихревые нити оказывают тормозящее действие на нормальное движение, что приводит, в частности, к ухудшению теплопереноса в сверхтекучей жидкости. Эта область физики является объектом пристального внимания многих исследователей. В теории квантовой турбулентности исследования можно разделить на два подхода: микроскопический, когда при различных внешних физических параметрах исследуется непосредственно динамика вихревых нитей и свойства образовавшейся при этом вихревой структуры, и макроскопический, когда исследуется взаимное влияние гидродинамических величин и системы вихревых нитей.

Интерес к квантовой турбулентности обосновывается несколькими моментами. Во-первых, мотивация исследования квантованных вихревых нитей связана с тем, что теория сверхтекучей турбулентности является важной во многих прикладных задачах, касающихся квантовых жидкостей. Развитие некоторых отраслей науки и техники, особенно прикладной сверхпроводимости для создания сильных стационарных магнитных полей, потребовало создания устойчивого функционирования систем при температурах ниже 2 К. При этих температурах единственным реальным хладагентом является сверхтекучий гелий. В качестве важного примера можно указать охлаждение сверхтекучим гелием сверхпроводящих магнитов высокой мощности или электронных приборов для изучения слабых элек-

тромагнитных полей. При конструировании таких систем изучение теплообмена в сверхтекучем гелии является очень важным, поскольку скачки теплового потока в сверхпроводнике, в том числе связанные с формированием вихревого клубка, так называемого quench, могут привести к аварийным ситуациям, таким как перегреву части обмотки, механическим повреждениям вследствие резкого вскипания гелия и т.д. Наличие вихревого клубка сильно влияет на тепловой поток, который не может быть больше описан просто двухжидкостной моделью Ландау, и, очевидно, требуется учет динамики сверхтекучей турбулентности. В этом направлении проводятся экспериментальные и теоретические исследования. Заметно возрос интерес к исследованию нестационарных режимов движения сверхтекучего гелия, в частности, к нелинейной акустике, имеющей дело с интенсивными волнами температуры.

Во -вторых, доктрина квантовой турбулентности, как части теории сверхтекучести, тесно связана с другими проблемами общей теории квантовых жидкостей, такими как генерация вихрей, взаимодействие между близко расположенными вихревыми нитями и, следовательно, их рекон-некция, проблема критических скоростей, определение роли квантовых вихрей в фазовых переходах и т.д. Исследование стохастических вихрей часто приводит к нестандартным решениям, которые проясняют вышеупомянутые проблемы.

Следующая мотивация обусловлена разработкой идеи моделирования классической турбулентности хаотическими квантованными вихрями. Хотя идея моделировать турбулентность дискретными вихрями (точечными в двумерном случае или линейными в трехмерном случае) обсуждается давно в классической гидродинамике, только в квантовых жидкостях, где вихревые нити являются реальными объектами, она может быть реализована, особенно сейчас, в связи с появлением мощных экспериментальных методов исследования квантовых вихрей.

Кроме того, что сверхтекучая турбулентность имеет большое значение в указанных выше случаях, теория стохастического вихревого клубка в квантовых жидкостях представляет большой интерес и значение с точки зрения общей физики, поскольку существуют аналогичные системы неупорядоченного множества одномерных особенностей во многих физических полях. В качестве примеров можно указать дислокации в твердых телах, линейные топологические дефекты в жидких кристаллах, полимерные цепи и т.д.

Цель данной работы состоит в моделировании динамики вихревых нитей в различных физических ситуациях, а также влияния квантовой турбулентности на тепловые и гидродинамические процессы. В соответствии с намеченной целью решены следующие задачи: • Изучена динамика вихревых нитей при наличии противотока.

• Распад квантовой турбулентности вблизи абсолютного нуля.

• Динамика вихревых нитей в постановке Ланжевена.

• Динамика умеренных и интенсивных волн второго звука в рамках уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности (ГСТ).

• В рамках ГСТ свободный распад квантовой турбулентности.

• Вскипание сверхтекучего гелия в различных физических ситуациях.

Научная новизна.

• Впервые исследована динамика вихревого клубка в рамках метода вихревой нити с применением нового критерия реконнекций, основанного на динамике элементов вихревых нитей. Изучены средние статистические и геометрические свойства вихревого клубка в стационарном состоянии при наличии противотока и при периодических граничных условиях. Получена детальная статистика. Установлена степень влияния различных критериев реконнекций на свойства вихревого клубка и связи между параметрами, характеризующими эти свойства.

• Впервые изучен распад вихревой структуры квантовых нитей при отсутствии взаимного трения (вблизи абсолютного нуля) с помощью анализа потери длины нитей. Распад вихревого клубка обусловлен баллистическим испарением петель и их диффузией.

• Впервые проведено численное исследование динамики взаимодействующих вихревых петель с использованием подхода Ланжевена. Установлено, что области с повышенной плотностью вихревых нитей появляются и исчезают в различных местах пространства, т.е. динамика вихревой системы имеет сильно флуктуационный характер. Получено распределение вихревых петель по их длинам, энергетический спектр трехмерного движения, индуцируемого вихревым клубком.

• Предложен метод ускоряющий расчет динамики вихревых нитей.

• В рамках уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности решены задачи как по распространению интенсивных тепловых импульсов, так и распад вихревого клубка. Показано, что метод Вайнена применим вблизи фазового перехода. Аномальный распад вихревого клубка обусловлен наличием остаточной скорости противотока.

• Решена задача о вскипании сверхтекучего гелия при ступенчатом выделении тепла на нагревателе в случае адиабатного приближения, когда плотность вихревого клубка принимает свое равновесное значение по величине скорости противотока.

Практическая ценность работы. На основании проведенных исследований сформулированы важные обобщения и выводы, способствующие решению фундаментальной проблемы физики - теории квантовой турбулентности. Исследования вносят существенный вклад в понимание как влияния

квантовой турбулентности на гидродинамические и тепловые процессы, так и динамики вихревого клубка в различных физических ситуациях.

Используемые методы и подходы, а также полученные результаты по нестационарному теплообмену и определению времени вскипания гелия могут быть использованы при конструировании различных криогенных систем: охлаждение сверхпроводящих магнитов, в частности, в ускорительной технике; в электронном оборудовании, работающем при низких температурах (телескоп Хаббл) и т.д.

Полученная детальная информация о структуре вихревого клубка при наличии противотока может быть использована как в дальнейших исследованиях турбулентности, так и при развитии теории (или модели) сверхтекучего течения в ограниченном пространстве со стенками.

Достоверность полученных результатов обусловлена использованием проверенных методик численного и аналитического решений. Полученные численные результаты качественно и количественно описывают известные экспериментальные данные, совпадают с известными аналитическими результатами других авторов (Немировский, Вагег^Ы, Халатников и др.). Достоверность полученных результатов обусловлена также публикацией результатов исследований в жестко рецензируемых научных журналах.

На защиту выносятся следующие положения и результаты диссертации:

1. Результаты исследования в рамках метода вихревой нити динамики вихревых нитей. Детально исследованы средние характеристики вихревого клубка, получена детальная статистическая информация об общих и локальных свойствах вихревой структуры в стационарном состоянии. Изучена степень влияния различных критериев реконнекций на динамические и статистические характеристики вихревой структуры. Было установлено: какие свойства вихревого клубка являются нечувствительными к изменениям критериев, а какие зависят от выбора критерия. Данные исследования необходимы для лучшего понимания основных физических свойств турбулентности, а также для дальнейшего развития теоретических моделей.

2. Предложенный метод расчета уравнения Био-Савара: индуцированный вклад от отдаленных участков нитей находится с помощью усреднения по трехмерным ячейкам. Расчет динамики вихревого клубка при применении этого метода ускоряется в несколько раз.

3. Результаты численного моделирования в рамках метода вихревой нити распада вихревого клубка вблизи абсолютного нуля в различных ситуациях. В результате анализа потери длины нитей, обусловленной физическими факторами и численными процедурами, получено, что распад квантовой

турбулентности в отсутствии нормальной компоненты обусловлен баллистическим испарением и диффузией вихревых петель.

4. Результаты исследования динамики стохастических квантованных вихревых нитей при подходе Ланжевена. Были получены энергетический спектр трехмерного движения, индуцируемого вихревым клубком, распределение петель по их длинам. Получена сильно флуктуирующая динамика вихревой системы со спонтанно появляющимися и исчезающими областями с повышенной плотностью вихревых нитей, которая напоминает явление перемежаемости в обычной турбулентности.

5. Получение системы уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности, которая адекватно описывает во втором приближении распространение мощных тепловых импульсов в различных температурных областях и геометриях. Показано, что данная система уравнений позволяет успешно исследовать динамику тепловых импульсов при наличии сверхтекучей турбулентности. Решена задача о распространении возмущений конечной амплитуды в безвихревом гелии. Получено аналитическое значение коэффициента нелинейности второго звука, которое совпало с известной формулой Халатникова.

6. Результаты численного моделирования на основе полученных уравнений ГСТ динамики интенсивных тепловых импульсов при различных температурах невозмущенного гелия, когда коэффициент нелинейности второго звука имеет любой знак или нулевое значение. Исследования проведены для различных геометрий нагревателя (плоского, цилиндрического и сферического). Изучена динамика, как одиночного импульса, так и серии импульсов. Получены временные зависимости температуры, скорости противотока, плотности вихревого клубка в различных точках пространства. Исследовано влияние затравочного члена в уравнении Вайнена и фоновой плотности вихревого клубка на распространение импульса. Проведены исследования влияния длительности периода импульсов на их динамику. Показано, что геометрии нагревателя и длительность периода существенно влияют на эволюцию мощных тепловых импульсов.

7. Результаты численного исследования нелинейных волн второго звука

вблизи точки фазового перехода Тл . Показано, что теория Вайнена может

быть использована в этой области. Предложенный и реализованный в виде компьютерной программы численный алгоритм решения поставленных задач методом распада разрыва (методом Годунова).

8. Результаты численного моделирования в рамках ГСТ распада вихревого клубка. Показано, что аномальный распад вихревого клубка обязан присутствию остаточной скорости в объеме жидкости.

9. Результаты численного исследования методом характеристик второго порядка вскипания сверхтекучего гелия при ступенчатом выделении тепла

на нагревателе в случаях плоской и цилиндрической геометрий в случае адиабатного приближения, когда плотность вихревого клубка принимала свое равновесное по величине относительной скорости значение. Исследована динамика полей температуры и скорости нормальной компоненты.

Личный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором или при непосредственном его участии. Автором проведено численное моделирование изложенных задач: постановка задач, определялся выбор численного алгоритма, предложены и разработаны алгоритмы для ускорения численного счета, созданы и отлажены практически все программы для проведения численных экспериментов, выполнено подавляющее большинство вычислительных экспериментов, а также анимации проведенных расчетов. Обсуждения общих постановок задач и полученных результатов осуществлялось совместно с соавторами опубликованных работ.

Апробация работы проходила на следующих научных мероприятиях: III Советско-западный симпозиум по теплообмену в криогенных системах (Харьков, 1989 г.); XX Всесоюзное совещание по физике низких температур «Квантовые жидкости и кристаллы» (СССР, Донецк, 1990 г.); 14, 15, 16, 17 международные конференции по криогенике ICEC-13, ICEC-14, ICEC-15, ICEC-16 (Украина, Киев, 1992 г.; Италия, 1994 г.; Япония, 1996 г.; Англия, 1998 г.); Международные конференции по физике низких температур LT-21, LT-24, LT-25, LT-26 (Чехословакия, Прага, 1996 г., США, Орландо, 2005 г.; Нидерланды, Амстердам, 2008 г.; Китай, Пекин, 2011 г.); Международная конференция «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Россия, Новосибирск, 1996 г.); Международные конференции по физике низких температур в условиях микрогравитации CWS-1999, CWS-2002 (Россия, Черноголовка, 1999 г., 2002 г.); Математические международные конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Казахстан, Усть-Каменогорск, 2003 г.; Алматы, 2004 г.); международные конференции по квантовым жидкостям и твердым телам QFS-2004, QFS-2007, QFS-2010, QFS-2012 (Италия, Тренто, 2004 г.; Россия, Казань, 2007 г.; Франция, Гренобль, 2010 г.; Англия, Ланкастер, 2012 г.); Всероссийская конференция «Новые математические модели механики сплошных сред: Построение и изучение» (Россия, Новосибирск, 2009 г.); XXXV Совещание по физике низких температур (Россия, Черноголовка, 2009 г.); 8-я Международная конференция по физике криокристаллов и квантовых кристаллов (Россия, Черноголовка, 2010 г.); Международное совещание по турбулентности в квантовых двухжидкост-ных системах (Объединенные Арабские Эмираты, Абу Даби, 2012 г.); конференция израильского физического общества (Израиль, Реховот, 2013 г.),

а также на семинарах различных научных учреждений (Институт Макса Планка, Геттинген, Германия; LIMSI, Орсе, Франция; JPL, Пасадена, США).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 научных трудов. Основными из них являются 20 наименований, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 20 - в ведущих зарубежных и отечественных журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов докторских диссертаций.

Структура и объем диссертации: работа состоит из шести глав, введении, заключения и библиографического списка из 286 наименований; общий объем диссертации 207 страниц, включая 94 рисунков и 6 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дана общая характеристика работы.

В первой главе представлен краткий обзор экспериментальных и теоретических работ по тематике диссертации. Обоснована актуальность проблемы, сформулированы основные цели и задачи.

Первая часть работы посвящена моделированию динамики вихревых нитей (см. рис. 1) в различных физических ситуациях. Многие из средних параметров, характеризующих свойства вихревого клубка, могут быть измерены экспериментально, по крайней мере, в принципе. Однако, получение подробной статистической информации о свойствах вихревого клубка едва ли возможно в обозримом будущем. С учетом их значимости для лучшего понимания основных физических свойств квантовой турбулентности необходимо проведение численных моделирований, которые позволяют изучить различные характерные черты вихревого клубка. Численные результаты и анализ их поможет в дальнейших исследованиях турбулентности, в создании новых моделей или теории квантовых жидкостей.

Одним из методов для расчета динамики вихревых нитей - это метод вихревой нити, в котором незначительные изменения ядра квантованных вихрей игнорируются, вихри аппроксимируются нитями с заданной структурой ядра. В расчетах вихревая нить аппроксимируется набором вихревых прямых отрезков, размеры которых много меньше межвихревого расстояния. Согласно этому скорость точки вихревой нити определяется в отсутствии нормальной компоненты скоростью жидкости как целое плюс индуцированная скорость от всей вихревой системы, которая определяется уравнением Био-Савара. При наличии нормальной компоненты появляется еще два дополнительных слагаемых, которые связаны с взаимодействием нормальной и сверхтекучей компонент. Нахождение индуцированной

скорости требует больших временных затрат. Поэтому зачастую используют так называемое локальное приближение, когда индуцированная скорость определяется только прилегающими к этой точке элементами нити. Это приближение применимо для довольно разреженного вихревого клубка. Динамика нитей усложняется еще тем, что при своем движении сегменты вихревых нитей (нити) могут пересекаться (реконнектировать). Процессы реконнекции, в результате которых изменяется очень сильно топология вихревой структуры, не описываются аналитически. В численных работах, начиная с работы Шварца, используются различные критерии реконнекций. Эти критерии основываются на физической интуиции и результатах численного моделирования.

Рис. 1. Вихревой клубок, полученный в наших расчетах при использовании О критерия реконнекций. Температура Т = 1.9 К, скорость противотока \пз = 1.0 см/с.

Во второй главе проведено детальное исследование средних характеристик вихревого клубка в стационарном состоянии при наличии противотока: зависимость плотности вихревого клубка, скорости реконнекций, анизотропии, среднеквадратичных значений кривизны, скорости дрейфа, плотности силы трения от скорости противотока и температуры. Была получена также детальная статистическая информация об общих и локальных свойствах вихревой структуры: корреляционные функции ориентации вихревых нитей, распределение петель по их длинам, корреляции между длиной и среднеквадратичной кривизной петель, функции распределения кривизны

нитей и т.д. Проведено сравнение полученных расчетных значений с имеющимися в литературе экспериментальными и теоретическими результатами. В п. 2.1 в рамках метода вихревой нити исследована динамика вихревого клубка при периодических граничных условиях. Численные исследования проведены с использованием локально-индуцированного приближения. Скорость вихревой точки определяется следующим выражением:

^ = ^ ++ Й8'Х(УП5 -^-««'хкх^ -у^Д (1)

где тя. = /З^'хя", рь>с =ск1Ал\п{Н1а0\ в - радиус-вектор, проведенный из начала координат в эту точку, с = 1.1, кг=к/тНе — квант циркуляции, к — постоянная Планка, тНе — масса атома гелия, /? — радиус кривизны нити в этой точке, а0 — радиус ядра вихревой нити, \п5 = \п - V, — скорость противотока, — скорости нормальной и сверхтекучей компонент соответственно, в', в' — первая и вторая производные по параметру £ соответственно, параметр £ — длина дуги, а, а' — коэффициенты трения. При проведении расчетов использовался критерий реконнекций, предложенный нами. Суть этого критерия заключается в следующем, если сегменты нити при своем движении пересекались в течение временного шага, то процессы реконнекции осуществлялись. В дальнейшем он будет называться динамическим критерием - О критерием. Начальный шаг вдоль нити Л£0 выбирался из точности расчетов скорости движения вихревых колец средних размеров, точности расчета скорости двух антипараллельных нитей, а также точности расчета средних характеристик вихревого клубка. Полученные расчетные значения для скоростей сравнивались с аналитически полученными значениями скоростей. Для сохранения точности расчетов контролировались длины сегментов нитей. Если длина сегмента нитей становилась больше 1.8- Д£0, то добавлялась дополнительная точка согласно круговой интерполяции, если меньше Д£0/1.8, то точка удалялась. Петли, состоящие меньше, чем из трех сегментов удалялись из расчета. Схема Рунге-Кутта четвертого порядка точности использовалась для интегрирования уравнения движения по времени. Временной шаг определялся из

условия устойчивости схемы: т = 2^а2 (где а - шаг вдоль нити)

для а = Л£0 / 2 . Вычисления проведены при температуре Т = 1.6 К. В качестве вычислительного объема был куб с размером ребра 50 мкм. Расчеты

проведены для скоростей противотока уП5 =6, 8, 12 см/с. В качестве начальной конфигурации задавались 24 вихревых кольца.

Показано, что изначально гладкая система вихревых колец трансформируется в хаотический вихревой клубок. Достигнуто стационарное состояние вихревого клубка. Была получена следующая зависимость плотности вихревого клубка от скорости противотока: ¿(уш )= с у~ 280 с/см2. Качественная зависимость плотности вихревых нитей от противотока согласуется с зависимостью, полученной в эксперименте.

Одной из важных характеристик является количество реконнекций в единице объема в единицу времени (скорость реконнекций) в стационарном состоянии. Полученная зависимость скорости реконнекций от плотности вихревых нитей с С ~ 2.47 качественно согласуется с теоретическими предсказаниями.

Использование локально-индуцированного приближения показывает, что полученные численные результаты качественно согласуются как с экспериментальными данными, так и с результатами, предсказанными в теоретических и расчетных работах. Надо заметить, что в предложенном нами критерии реконнекций (КР) необходимо знать как можно точнее скорость вихревых элементов. Используемое приближение не дает этой точности. Этот КР будет приводить к более точным результатам в случае, когда динамика вихревых точек определяется полным уравнением Био-Савара. В п. 2.2 приведены результаты численного исследования, проведенного при использовании для расчета скорости вихревых нитей полного уравнения Био-Савара. В этом случае в уравнении (1) наведенная скорость уя- от конфигурации всех нитей определяется следующим уравнением:

Первое слагаемое определяет часть скорости, связанной с прилежащими к вихревой точке сегментами нити , второе слагаемое - вклад от всей конфигурации нитей, исключая соседние сегменты.

Было проведено сравнение расчетов при применении наиболее используемых Б, в, вЕ критериев реконнекций. Второй использованный О критерий основан на пространственном расположении вихревых точек сегментов нитей. Суть этого критерия состоит в том, что если вихревые точки сегментов нитей подходили ближе пространственного шага вдоль нити, то процессы реконнекций осуществлялись. И третий использованный СЕ критерий, как и геометрический, основан на пространственном расположении точек вихревых сегментов нитей только с наложением дополни-

тельных условий, а именно, после реконнекций длина вихревых нитей должна только уменьшаться, сегменты нитей угол между которыми меньше 10 градусов не реконнектируют. Было установлено, что на некоторые свойства вихревого клубка эти критерии сильно влияют, в то время как другие свойства являются нечувствительными к выбору критерия реконнекций.

Численные исследования проведены при периодических условиях, при температурах Т = 1.3, 1.6, 1.9 К для значений скорости противотока от vns=0.3 см/с до vns=1.2 см/с. Вычисления проведены для кубика с размером ребра 0.1 см. Было исследовано влияние различного количества кубиков, окружающих центральный расчетный кубик (6 и 12 кубиков), на свойства клубка. Расчеты показали, что это влияние появляется при температуре Т = 1.9 К и скоростях противотока vnj=l.l, 1.2см/с. Поэтому расчеты проведены для одного центрального кубика. Для всех проведенных расчетов в качестве начальных условий выбирались 20 колец радиусом г0 =9-10_3см. Было показано, что начальное условие не влияет на стационарные характеристики вихревого клубка.

Было получено, что переходное время от начальной конфигурации до достижения устойчивого стационарного состояния больше при низких температурах (при которых стационарное значение плотности L(t) = (llV)\ids (V - объем кубика) меньше), и меньше при высокой температуре, когда клубок более плотный. Это хорошо согласуется с экспериментом Вайнена (Ргос. R. Soc. Lond. А, 243, 1958) при Т = 1.6 К.

Исследование скорости реконнекций показало, что при использовании G критерия наблюдается много ложных перезамыканий петель. Для двух других критериев значение коэффициента сг в уравнении для скорости реконнекций (dNrldi) = сгк{1))512 изменяется в пределах диапазона от

0.1 до 0.5, предсказанном в работе Немировского (PRL, 96, 2006), т.е. эти данные дают надежную скорость реконнекций. Скорости реконнекций увеличиваются с повышением температуры и скорости противотока.

Более разреженным вихревой клубок получается при использовании G критерия, а наиболее плотным при использовании D критерия. Для всех критериев при всех температурах и скорости противотока было достигнуто стационарное состояние для плотности вихревых нитей (см. рис. 2). Усреднения проводилось в области стационарного состояния. Плотность вихревых нитей увеличивается с увеличением скорости противотока и с увеличением температуры (см. рис. 2).

Исследованы средние характеристики вихревого клубка в стационарном состоянии. Определен коэффициент пропорциональности у между плотностью вихревого клубка и квадратом скорости противотока.

А. Т=1.3 К, Vns= 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2 см/с хю4

t.s

Б- Vns = 0.5 см/с, различные температуры

Рис. 2. Численные результаты при использовании GE критерия.

На рис. 3 приведено сравнение численных данных с экспериментальными результатами. Для анализа этого сравнения требуется прежде всего очень тщательный анализ экспериментальных данных, поскольку стабилизация температуры, шероховатость стенок, ширина каналов, точность установления противотока - все это сильно влияет на определение значения у. Игнорируя эти различия в экспериментальных условиях, отметим, что 1) разброс численных результатов (наших и Adachi, Fujiyama, Tsubota) меньше, чем разброс экспериментальных данных; 2) численные результаты лежат в пределах разброса экспериментальных значений у.

т,к

Рис. 3. Численные и экспериментальные значения у(Т). Эксперименты: 1 - S. Babuin et al., Phys. Rev. В, 86 (2012) (канал 7x7мм); 2 - R.A. Ashton et al., Phys. Rev. Lett., 46 (1981) (0.13 мм - диаметр канала); 3 - R. К. Childers and J.T. Tough, Phys. Rev. B, 13 (1976) (0.13 мм - диаметр канала); 4 - K.P. Martin and J.T. Tough, Phys. Rev. B, 27 (1983) (1 мм - диаметр канала); расчеты для G критерия: 5 - H. Adachi et al., Phys. Rev. В, 81 (2010).

Полученные результаты по исследованию анизотропии вихревого

клубка и характеризующих его индексов 1п = —— |"[l - (s' • тп )2

¿tot J

/x=TLf[l-(s'-fx)2k. sxs'tâ,

tot £ tot ç tot £

( ru, f — единичные вектора параллельный и перпендикулярный скорости противотока соответственно, Ltot — вся длина нитей, интегрирование проводится по всей конфигурации нитей) показали, что клубок с повышением температуры становится более ориентированным в направлении, перпендикулярном к скорости противотока (становится более сплюснутым). При использовании G критерия клубок получается наиболее изотропным, и менее изотропным при использовании D критерия. Анизотропные индексы практически не зависят от скорости противотока.

Получена следующая зависимость среднеквадратичной кривизны

клубка от плотности вихревых нитей /|s*|2 \ = c|(l) . Найдены коэффици-

енты с2 этой пропорциональности, которые уменьшаются с ростом температуры и не зависят от критериев реконнекций (при одной и той же плотности вихревого клубка при более низкой температуре нити более изогнуты).

Определено отношение среднего радиуса кривизны к межвихревому расстоянию I = 1/^Т) в зависимости от корня квадратного из плотности вихревого клубка. Получены практически горизонтальные линии на графике зависимости. Наблюдаются некоторые различия в тонкой структуре: средний радиус кривизны составляет примерно около трети I при Т = 1.3 К, и более половины при Т = 1.9 К. Самое сильное изменение структуры наблюдается для D критерия. При умеренных и высоких температурах для D критерия нити являются более извилистыми по сравнению с другими. Однако эта средняя характеристика не позволяет определить, с чем связаны малые значения радиуса кривизны: или с доминирующим вкладом малых петель с большой кривизной и в то же время большие петли являются гладкими, или потому что большие петли являются более изогнутыми. Чтобы ответить на этот и подобные вопросы, необходимо иметь детальную информацию о вихревом клубке, а не только его средние характеристики.

Было установлено, что скорость вихревого клубка близка к скорости сверхтекучей компоненты и ее проскальзывание (скорость дрейфа

Vvt = 1 v5) составляет около 5% при Т = 1.3 К и близко к 10%

Ltot ^ dt

при Т =1.9 К. Скорость дрейфа очень чувствительна к нелокальным эффектам для более плотных клубков.

Полученные численные результаты показывают, что сила взаимного трения пропорциональна скорости противотока в кубе для всех критериев: Fm=psKdS = apjK(cfyJf (J = -—Js'x[s'x(v„s-vj;)^). Получены

с

значения коэффициента Сf . Установлено, что он является чувствительным

к нелокальному взаимодействию. Этот коэффициент напрямую связан с экспериментально используемой константой Гортера-Меллинка

3 ~ _

AqM =Cfa/ кр, а = ар / рп. Прямое сравнение с экспериментом показывает, что экспериментально измеренные значения константы Гортера-Меллинка имеют значительный разброс, а полученные нами результаты (за исключением результатов для G критерия при Т = 1.9 К) находятся между представленными экспериментальными данными (см. рис. 4). Это означает, что получен правильный порядок и корректная зависимость от температуры константы Гортера-Меллинка.

s

о <

о

w

20

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Т,К

1.9

Рис. 4. Зависимость коэффициента Асм от температуры. Эксперименты: Vinen [15] - W.F. Vinen, Proc. R. Soc. bond. A, 240 (1957), W.F. Vinen, Proc. R.Soc. bond. A, 243 (1957). KWG [51] - H.C. Kramers, T.M. Wiarda, A. Broese van Groenou, Proc. LT-7 (Univ. of Toronto Press, 1961); H.C. Kramers, in Superfluid Helium, ed. J. F. Allen (Academic, London, 1965).

Изучена детальная статистика вихревого клубка. Получена функция распределения вероятности петель по их длинам, которая практически не зависит от выбора критерия реконнекций. Ядро этой функции хорошо описывается следующей аналитической функцией:

Функция Р0 нормирована на 1. Максимумы этих функций совпадают, поэтому и названа наиболее вероятной длиной. Второй аппроксимирующий параметр ЧС показывает долю петель, которая принадлежит ядру. ЧР ~ 0.2 для Уп5 =0.5 см/с , = 0.3 для Упв = 1.0 см/с. Этот параметр слабо зависит от температуры. Это говорит о том, что большинство петель принадлежит к длинным хвостам. Среднее значение длин петель, как следует отсюда, намного больше Ь,.

Следующим объектом исследования является функция распределения локальной кривизны, которая хорошо описывается следующей аналитической зависимостью:

У

Это уравнение не имеет подгоночных параметров, оно включает среднеквадратичную кривизну 5 . Отсюда можно найти отношение средней кривизны и среднеквадратичной 575 = л/гТз = с, /с2 (5 = = С\(ь)1'2,

52 = = с2(^) )> что хорошо согласуется с численными результатами.

Например, для СЕ критерия отношение у[ъс1/л[2с2 равно 0.985, 1.009 и 1.018 (вместо прогнозируемого значения равного единицы) для Т = 1.3, 1.6, 1.9 К, соответственно. Это уравнение также позволяет найти наиболее

вероятное значение кривизны Б* = Б / = Б / 2 .

Распределение кривизны петель описывается хорошо распределением Гаусса />(($"))<= Ч7стл/2жехр{-((.у')-(.$:))2/2с72}, г 1, I" - положение максимума (наиболее вероятное значение средней кривизны по петлям), а -ширина кривой, значение которой определено для разных температур и скоростей противотока. Показано, что среднее значение кривизны 5 (по

определению Б = ^'Д?')^") практически совпадает с наиболее вероятным значением средней по петлям. Данное свойство клубка не зависит от выбора критерия реконнекций.

Зная функции распределения петель по их длинам и функции распределения кривизны по отдельности, можно определить как они скоррели-рованы между собой. Было получено, что длинные петли имеют кривизны, которые концентрируются возле условного среднеквадратичного значения, зависящего от температуры. Для малых петель наблюдается резкая граница, которая ограничивает снизу доступные значения кривизны. Эта граница соответствует минимально возможной среднеквадратичной кривизне петли, реализуемой для идеальной окружности.

Корреляционная функция ориентации ^(г, — г2)= ^'(г, )• в'(г2при

различных значениях температуры изображена на рис. 5 (от критериев реконнекций не зависит). Основное наблюдение состоит в том, что корреляция очень быстро падает, почти до нуля на межвихревом расстоянии. Усредняя эти корреляционные функции по всем расстояниям, найдено, что в среднем клубок слегка поляризован. Наиболее важным является то, что значение ^ = 10~3, т.е. исчезающе мало по сравнению с единицей. Это означает, что не существует когерентных вкладов (от большого количества нитей) к полю скорости на больших расстояниях по сравнению с межвихревым расстоянием, поэтому энергетический спектр вихревого клубка должен быть определен вкладами отдельных нитей вплоть до размеров кубика.

-Т1.3 к Т1.6 к Т1.9 к

О

О

0.5

Рис. 5. Корреляционная функция ориентации при различных значениях температуры для уП8 = 1 см/с . СЕ критерий.

Далее проводится тщательный анализ численно полученных свойств вихревого клубка в случаях локально-индуцированного приближения и с использованием полного уравнения Био-Савара для расчета скорости вихревой точки с экспериментальными данными. В результате анализа сделано заключение, что локально-индуцированное приближение с успехом может быть использовано в аналитических исследованиях турбулентности при наличии противотока. Несмотря на различия в некоторых результатах, полученных при использовании различных критериев реконнекций, метод вихревой нити можно считать надежным и хорошо подходящим для описания вихревого клубка в стационарном состоянии при наличии противотока. Полученные численные результаты и их анализ поможет в дальнейших исследованиях турбулентности при наличии скорости противотока. В главе 3 рассматриваются очень важные задачи о распаде квантовой турбулентности при температурах, близких к абсолютному нулю. Свободный распад вихревого клубка является ключевым аргументом в пользу того, что хаотическая совокупность квантованных вихрей может имитировать классическую турбулентность, или, по крайней мере, воспроизвести некоторые основные свойства. Поскольку все возможные механизмы диссипации вихревой энергии, обсуждаемые в литературе, связаны с малыми масштабами, то естественно предположить, что распад турбулентности происходит вследствие потока энергии в пространстве масштабов, то есть возникает каскад Колмогорова, как и в классической турбулентности.

Проведено численное моделирование распада вихревой структуры квантованных нитей в различных ситуациях с анализом потери длины нитей, обусловленной физическими факторами и численными процедурами. В п. 3.1 изложены результаты по изучению распада вихревого клубка вблизи абсолютного нуля. При температурах, когда нормальная компонента сверхтекучего гелия практически отсутствует, а, следовательно, отсутствует и взаимное трение, которое является наиболее очевидным механизмом диссипации вихревого движения в квантовых жидкостях. В то же время, в ряде экспериментальных и численных работах показано, что вихревой клубок распадается при температурах близких к абсолютному нулю. Повышенный интерес к этой теме связан с тем фактом, что часть экспериментов, в которых исследовался распад вихревого клубка, показывают квазиклассическое поведение квантовой турбулентности. Опираясь на эти данные, строятся квазиклассические теории квантовой турбулентности. Однако, проблема является гораздо шире, и вопрос о диссипации кинетической энергии вихревого движения в отсутствии взаимного трения представляет интерес не только в квазиклассической турбулентности, но и в других системах (в различных аспектах), в которых рождаются одномерные топологические дефекты. С другой стороны, диссипативные механизмы при нулевой температуре, которые широко обсуждаются в литературе, должны также работать при конечной температуре, так что представляется интересным изучить в целом их вклад на распад. Что касается квазиклассической турбулентности, то полная проблема включает в себя также "субпроблему" - передачи энергии на малых масштабах, где диссипативные механизмы являются эффективными. Она включает в себя каскад Колмогорова, каскад волн Кельвина, и очень серьезную проблему согласования этих двух энергетических потоков. В данной главе рассматриваются только чисто "физические" механизмы вырождения вихревой энергии, опуская каскады. В п. 3.2 излагаются возможные механизмы вырождения вихревого клубка вблизи абсолютного нуля, обсуждаемые в литературе: а) каскадное дробление вихревых петель, б) распад, связанный с моментами реконнектирова-ния, в) излучение звука движущимися и осциллирующимися вихрями, г) испарение петель и диффузионный распад.

В п. 3.3 представлен краткий обзор теоретических работ, в которых используется как теория Гросса-Питаевского, так и метод вихревой нити. Хотя все работы на основе уравнения Био-Савара демонстрируют распад квантовой турбулентности, но конкретные механизмы не установлены. В данной работе выполняется прямое численное моделирование распадающегося сконцентрированного в пространстве вихревого клубка, тщательно изучаются все возможные механизмы, которые приводят к потере энергии вихрей и их длины. Численное моделирование выполнено как в случае безграничного пространства, так в кубике с гладкими стенками.

В п. 3.4 представлены результаты численного моделирования свободного распада квантовой турбулентности, которая первоначально была сосредоточена в конечной области. Основной целью данного исследования является выяснение вопроса: как длина вихревых петель диссипирует в численном эксперименте. Для достижения этой цели контролировались все возможные вклады в изменение общей длины нитей /,„, (t) внутри выделенной области пространства: (I) в моменты реконнекций, (И) при исключении из расчета очень маленьких петель ниже пространственного разрешения, (III) при добавлении и удалении вихревых точек для поддержания точности численного алгоритма и (IV) при передвижении петель, вышедших за пределы этой области. Некоторые из перечисленных «численных» механизмов имитируют реальные «физические» процессы, которые обсуждались выше. Изменение длины нитей в моменты реконнекций (I) происходит в обоих случаях. Но, в реальной физической ситуации суммарная длина петель уменьшается при этом, а в расчетах это изменение может быть как отрицательным, так и положительным. Это зависит от деталей проведения перезамыканий. Величина изменения длины в численных реконнекциях порядка пространственного разрешения , тогда как в действительности это изменение должно быть порядка нескольких размеров ядра вихревой нити. Исключение из расчета очень маленьких петель (И) имитирует сценарий Фейнмана: каскадоподобное дробление петель с вырождением их на очень малых масштабах. Разница состоит в том, что в численной процедуре, убираются петли размером порядка пространственного разрешения , в то время как реальный аналог связан с атомными размерами. Добавление и удаление точек (III) не имеет физического аналога, это чисто численная процедура. Что касается последнего (IV) фактора, то этот процесс наблюдается полностью в эквивалентной форме, как в численном моделировании, так и в экспериментальных исследованиях. Далее обсуждается выбор начальной конфигурации вихревых петель. В данном исследовании в качестве начальной конфигурации вихревых петель была выбрана конфигурация, которая была ранее получена нами при прямом численном моделировании системы вихрей под действием сил Ланжевена. Будучи схожей с турбулентностью, генерируемой противотоком (в том смысле, что распределения петель по их длинам близки друг к другу), эта конфигурация вихревого клубка свободна от некоторых осложнений (в первую очередь анизотропии), присущих последней. Начальная конфигурация вихревых петель изображена на рис. 6(а). Структура вихревого клубка является однородной со случайными вихревыми петлями различного размера. Далее приводится численная процедура, описанная в главе 2. Отличием является то, что скорость противотока, сила трения в данном случае равны нулю, т.е. вихревая нить движется согласно закону Био-Савара.

В п. 3.5 исследуется распад вихревого клубка, который изначально находился в сферической области радиуса Я = 0.008 см с прозрачной границей. Динамика этих петель исследовалась в рамках локально-индуцированного приближения. Для более удобного графического представления на рис. 6 сфера заменена кубиком с размером ребра, равным диаметру сферы (/ = 0.016 см). На этом рисунке изображены вихревые конфигурации в разные моменты времени. Видно, что в результате самопересечения вихревых петель создаются петли меньшего размера. Петли малых размеров двигаются относительно быстро и с течением времени покидают первоначально выделенный объем без дальнейших столкновений. Расчеты показали, что количество реконнекций, приводящих к дроблению вихревых петель, в единицу времени существенно больше реконнекций, приводящих к слиянию их.

(а)

(Ь)

(с)

№

Рис. 6. Конфигурации вихревых петель в различные моменты времени 1 (мс): 0 (а), 0.48 (Ь), 2.16 (с), 8.63 (с1).

Вследствие чего, естественно образуется 'облако', состоящее из мелких быстро движущихся петель, которое расплывается в пространстве.

Результаты мониторинга изменения общей длины нитей /,„/?) внутри исходной области представлены на рис. 7. Хорошо видно, что уменьшение общей длины нитей в выделенной области, обусловлено в основном передвижением петель за пределы этой области. Уменьшение общей длины // равно сумме всех "необратимых" (без выхода) механизмов, 11 = 1з + 14 + 15. Видно также, что длина /б за пределами области, а также все «необратимые» потери // равны уменьшению /2 внутри выделенной области (локально-индуцированное приближение сохраняет длину нитей). В п. 3.6 изложены результаты распада того же самого вихревого клубка в той же самой выделенной области пространства, но в отличие от предыдущего случая, динамика вихревых нитей описывается на основе полного уравнения Био-Савара. Самое поразительное различие между этими двумя исследованиями является то, что скорость реконнекций, которые приводят к распаду вихревых петель, оказалась в этом случае в начальный момент почти на порядок выше, чем в случае исследования распада при использовании локально-индуцированного приближения. В то же время скорость реконнекций, приводящих к слиянию петель, примерно такая же. Суммарная длина нитей внутри фиксированного объема практически исчезает в

t (ms)

Рис. 7. Вклад различных механизмов в уменьшение общей длины. Уменьшение общей длины (1), уменьшение общей длины внутри выделенного объема (сферическая область с радиусом R = 0.008 см) (2), уменьшение общей длины в связи с удалением малых петель из расчета (петли, состоящие из менее чем трех сегментов) (3), изменение общей длины в связи с использованием процедуры добавления и удаления вихревых точек на нитях (4), изменение общей длины, обусловленное процессами реконнекций (5), суммарная длина нитей за пределами выделенного объема (6).

течение примерно четырех мс, что примерно в три раза меньше, чем соответствующее время, полученное с использованием локально-индуцированного приближения (около 12 мс). Однако полное уменьшение длины связано в основном с удалением малых петель из расчетов. В п. 3.7 приведены результаты расчетов в кубической области с гладкими стенками в рамках локально-индуцированного приближения. Сторона кубика была равна / = 27? = 0.016 см. Известно, что замкнутая петля, достигнув твердой границы, разбивается, концы этой открытой петли начинают скользить по поверхности, переходя с одной поверхности кубика на другую. Поскольку теперь в объеме кубика будут присутствовать замкнутые и открытые петли, то увеличится и количество типов реконнекций. На рис. 8 показан вклад различных механизмов в уменьшение длины. Уменьшение длины обусловлено в основном удалением малых открытых петель, т.е. петли умирают на стенах. Влиянием других факторов можно пренебречь.

Рис. 8. Влияние различных механизмов на уменьшение длины вихревых петель в кубике с гладкими стенками: 1 - уменьшение длины всех петель 10 - Ш), где 10 - длина всех петель в начальный момент времени и Цг) - это длина всех петель в момент времени 2 - сумма длин всех петель, концы которых на стенках куба; 3 - суммарная длина удаленных малых замкнутых петель; 4 - сумма длин удаленных малых открытых петель; 5 - изменение длины вследствие процессов реконнекций; 6 - изменение длины, связанное с процедурой добавления или удаления вихревых точек на нитях.

В п. 3.8 проводится обсуждение и делается заключение. Установлено, что основным механизмом, ответственным за уменьшение длины нитей (и, соответственно, энергии), является перемещение вихревых петель из выделенного объема. На начальном этапе это обусловлено движением

малых петель, которые генерируются при самопересечениях нитей. Когда вихревой клубок становится достаточно разреженным, тогда большие петли могут проходить расстояния, сравнимые с размером объема. В случае бесконечного пространства петли движутся за пределы фиксированной области. В случае ограниченного пространства твердыми стенками петли разбиваются на границе. При своем дальнейшем сложном движении они вновь разбиваются на более мелкие петли. Этот сценарий согласуется с теорией диффузионного распада вихревого клубка.

В главе 4 исследована динамика квантованных вихревых нитей в поле случайных воздействий.

В п. 4.1 излагаются результаты численного исследования динамики вихревого клубка при действии случайных (ланжевеновских) сил. Подход Лан-жевена является очень мощным статистическим методом для численных исследований стохастических процессов в различных областях теоретической физики. Подход Ланжевена не применялся для реального вихревого клубка, состоящего из многих взаимодействующих и сталкивающийся петель различных размеров и форм. Этот подход чрезвычайно полезен для исследования как термодинамического равновесия, так и сильно неравновесных (турбулентных) процессов. Динамика вихревых петель в безграничном пространстве рассчитывалась на основе использования полного уравнения Био-Савара. Уравнение движения имеет следующий вид:

~ = V, + V,,. + св'х(▼„ - V,,)-огЪ'х[8'Х(УИ5 -(£*),

м

где - сила Ланжевена в виде белого шума, как по времени, так и по пространству, т.е. со следующим коррелятором:

Здесь - символ Кронекера, г, у - пространственные компоненты; Г/, г2 — произвольные моменты времени; £> - интенсивность ланжевеновской силы. Далее мы полагаем уп5 = 0, у5 = 0 и пренебрегаем членом с а . В интегральной форме, с учетом принятых приближений, получаем уравнение динамики вихревой точки нити:

I I

в(г,£) = 8(Г0,£)+ ¡{8в-ОВ„)Л'+ \ст,

'о 'о

где ЩЧ) - стандартный винеровский процесс, который представляет собой решение уравнения Фоккера-Планка, в котором присутствует только одна переменная, коэффициент сноса равен нулю и коэффициент диффузии равен единице. Данное уравнение решалось численно методом Эйлера. В качестве начальной конфигурации были взяты 6 колец, расположенных

симметрично вокруг начала координат. Радиус колец был Я = 2 10"3 см, расстояние между ними с! = 10~3 см.

Система из шести колец эволюционирует в сильно запутанный хаотический вихревой клубок с неоднородной структурой. Участки с повышенной концентрацией вихревых петель образуются и исчезают в различных местах пространства. Такая динамика вихревого клубка сходна с явлением перемежаемости, наблюдаемой в классической турбулентности.

Получено равновесное состояние вихревого клубка, когда в среднем диссипативные силы уравновешивают действие стохастических сил. Проведены расчеты некоторых статистических характеристик вихревой структуры: распределение количества вихревых петель относительно их длин, спектр энергии. Уменьшение количества петель (см. рис. 9) описывается следующей функцией:

Подобная усредненная зависимость наблюдалась как в различные моменты времени, так и для отдельной области с повышенной завихренностью внутри вихревой структуры. Это распределение отличается от распределения

п(1)с11 ос Г2 5, которое, как предполагалось, имеет место в равновесном состоянии. На данный момент нет объяснения этому несоответствию.

п(1) ¡11 8400 1 2 1, 10"3см

Рис. 9. Распределение петель п(Щ1 по их длинам I.

Средняя кинетическая энергия потока, индуцированная вихревой петлей длины I определяется следующим выражением:

* = = № Подынтегральное выражение в скобках - распределение энергии ёЕ!4к =

в сферическом к - пространстве. Получено, что для изотропного случая спектральная плотность определяется следующим выражением:

Существуют различные области волнового числа к\ малые по сравнению с (У)1/3 (у - объем,

занимаемый вихрями), большие по сравнению с межвихревым расстоянием 1/ -Л и промежуточные значения. В области малых волновых чисел Е ос к2 (см. рис. 10).

к, ю61/т

Рис. 10. Энергетический спектр Е(к) вихревого клубка.

Эта зависимость согласуется с законом равнораспределения. Для больших волновых чисел начинает играть дискретность, спектр убывает как Е - к'1. Вторая часть работы посвящена исследованию нелинейных волн второго звука, влияния квантовой турбулентности на тепловые и гидродинамические процессы. Исследование нестационарных явлений наряду со стационарными явлениями значительно расширяет возможности изучения квантовой турбулентности. В этом случае следует учитывать взаимное влияние квантовых вихрей и тепловых импульсов. Последовательный подход к этой проблеме дает гидродинамика сверхтекучей турбулентности (ГСТ), которая совместно с феноменологической теорией Вайнена является связующим звеном между теорией вихревого клубка и экспериментально наблюдаемыми явлениями. Существует несколько методов построения ГСТ: феноменологический, стохастический, вариационный. Некоторые из широко известных эффектов, такие как, например, аномальный распад вихревого клубка, могут найти объяснение чисто в рамках ГСТ. Эти уравнения имею очень громоздкий вид. Даже в простых случаях, типа противотока, не всегда удается найти аналитическое решение. Поэтому зачастую численные расчеты являются единственной возможностью исследования этих уравнений.

В главе 5 изучается динамика мощных тепловых импульсов, одиночных и периодических, в различных температурных областях при различных геометриях нагревателя. Исследован свободный распад вихревого клубка. В п. 5.1 представлен краткий обзор.

В п. 5.2 приводится вывод уравнений ГСТ, полученных при феноменологическом подходе, с точностью до членов второго порядка малости по отклонениям от равновесных значений. Полученные уравнения имеют следующий вид:

Э Г дг '

Р* о Р

г(7оЛо

ратх

{р + Рп)Ърп тт РРп дТ

о

о

Эх р

<7Т

ратх

ат 0 Э Т

(Т-гт (7о

ратТ0

рлат ЭТ

1 (<

т'

дх

Эуп

Эг I р

ЭРп\

аТ РРп дт )

Эу

Эх

пв + _Р_

Рп

0т

а0 ¿Рп |Г /7„ ЭГ

эт

Эх '

дЬ рп ь ЭуП5 Эг р Эх

э^

Эх "

2р 1 1 'я-

« = Врп / 7р, ах = Арцрпр2 / «

рх 2

оу =да/дТ,

ТТ

2л д2а/дТ2,

(2)

Здесь А - постоянная Гортера-Меллинка, ст = <х0 + о-' - энтропия на единицу массы; Г0 - температура невозмущенного жидкого гелия; о0 - энтропия на единицу массы при температуре Т0; 7',<т' - отклонения от равновесных значений; %{,%2 - параметры в уравнении Вайнена, В - коэффициент Хол-ла-Вайнена, 1 = 0, 1,2 — соответственно для случаев плоской, цилиндрической и сферической геометрий. Для проверки корректности полученных уравнений решена задача о распространении конечных тепловых разрывов в условиях отсутствия вихревого клубка. Полученная формула для скорости этих разрывов совпала с формулой Халатникова. Данная система уравнений решалась методом распада разрыва (методом Годунова). Эти уравнения учитывают нелинейные эффекты. При отсутствии турбулентности в области, где коэффициент нелинейности второго звука а2 принимает положительные значения, разрывы образуются на переднем фронте волны, в случае, когда а2 принимает отрицательные значения, разрывы образуются на заднем фронте волны, если а2 принимает нулевые значения, то форма импульса не изменяется. Исследования динамики мощных тепловых импульсов при температурах, где а2 принимает отрицательное и нулевое значение,

ранее не проводились, хотя существуют проведенные в этой области эксперименты. Уравнение Вайнена (2) является условием баланса между ростом и распадом уже существующего вихревого клубка. Это уравнение не описывает возникновение вихревых нитей. Вайнен предложил в уравнение (2) в правую часть его вводить добавочное слагаемое (затравочный член)

1 15/2

7]уп$| , описывающее механизм начального зарождения вихревых нитеи, у - некоторая сильно зависящая от температуры величина. В п. 5.3 исследовано распространение мощных тепловых импульсов в области температур, где а2 >0.

Решена задача: на плоский нагреватель, погруженный в невозмущенный гелий при температуре Т0 = 1.4 К подается импульс прямоугольной формы. Исследовано влияние как значения начального (фонового) уровня плотности вихревого клубка (ПВК), так и затравочного члена в уравнении Вайнена, описывающее начальное зарождение вихревых нитей. Получено, что численные и экспериментальные данные согласуются, если в расчетах используется фоновое значение ПВК Ь0 = 3-106 см"2 или используется в затравочном члене коэффициент, превышающий примерно в 104 раз коэффициент, предложенный Вайненом. Конечно, ни одна из этих ситуаций не может соответствовать физической реальности, т.е. оба пути преодоления проблемы начального зарождения вихревых нитей в объеме жидкости не привели к разумным физическим результатам. Сравнение проводилось с экспериментами Фишдона и др. (1990), в которых тепловые импульсы подавались на нагреватель в периодическом режиме. В работе приведена установившаяся форма импульса. Следовательно, наиболее реальным в данном эксперименте является наличие в объеме жидкости фоновой турбулентности.

Проведенные исследования показали, что хаотические квантованные вихревые нити существенном образом влияют на эволюцию интенсивных волн второго звука. Динамика каждого импульса зависит от условий всей серии импульсов, в частности, от их скважности. В этом режиме в объеме жидкого гелия устанавливается неравномерное распределение фоновой (для последующих импульсов) плотности вихревых нитей. Наилучшая аппроксимация экспериментальных данных получается, когда начальное распределение плотности вихревого клубка задается в виде функции степенного вида, а именно: Ьш,(1 = 0, х) = Ьо/О+хЛ^н)2 - для случая плоского нагревателя, Ь4п,(1 = 0, г) = Ь0(г1т/ г)2 - для цилиндрической и сферической геометрии нагревателя (х - расстояние от нагревателя, г — расстояние от центра цилиндра, I - время, с 2 - скорость второго звука при температуре невозмущенного гелия, 1:н - длительность импульса, г^ -

радиус нагревателя, Ь0 подбиралось таким образом, чтобы расчетное и экспериментально измеренное значения амплитуды переднего фронта

волны второго звука, пришедшей в точку, находящуюся на расстоянии 1 мм от нагревателя, совпали). Форма импульсов и численные значения максимумов и минимумов кривых зависимости температуры от времени удовлетворительно описываются при увеличении в полтора раза коэффициента в члене, ответственном за рост плотности вихревых нитей, в уравнении Вайнена (см. рис. 11). При одинаковых значениях мощности тепловыделения, периоде подачи нагрузки и фоновой плотности вихревых нитей перегревы менее вероятны в случае сферического нагревателя, и наиболее вероятны в случае плоского нагревателя.

40

зо

20

Г(тК) 10

0 -10

-20

0 0.5 1.0 1.5 2.0

/(пв)

40

30 20

Г(мК)10 О

-10

-20

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

*(мс)

Рис. 11. Влияние времени повторения импульсов на эволюцию температуры в точке, расположенной на расстоянии с! = 1 мм от греющей поверхности цилиндрической формы. 0 = 4 Вт/см2, длительность импульса: ^ = 1 мс. (а) -экспериментальные данные Р1$гс1оп е1 а1. (1990), (б) - расчет. Кривая 1 - Ь0 = 1.5-107, 2- 5.0-106, 3 - 2.5 1 06,4- 1.0 106, 5 - 5.0-105 1/см2.

В работе БЫтагаЫ е1 а1. (1995) наблюдали эволюцию одиночных тепловых импульсов. Время ожидания между двумя последовательными импульсами было 120 с. Экспериментально было получено, что время развития вихревого клубка для мощных импульсов второго звука примерно в три раза меньше времени, предложенного Вайненом для импульсов умеренной амплитуды. Подправив соответствующим образом затравочный член, получены численные результаты и проведено сравнение с экспериментальными данными зависимости температуры от времени для точки, находящейся на расстоянии 30 мм от нагревателя, при температуре невозмущенного гелия Т = 1.7 К, для различных плотностей теплового потока (2, при длительности импульса нагрева ^ = 500 мкс (см. рис. 12). Как можно видеть, численное и экспериментальное значение амплитуды импульса примерно одинаковы. Таким образом, полученные результаты можно рассматривать как доказательство того, что дополнительный, увеличенный согласно экспериментальным данным, затравочный член описывает начальное зарождение вихревого клубка. Форма импульсов связана с остальными коэффициентами в уравнении Вайнена, которые могут быть и другими для мощных тепловых импульсов, как это было получено в случае периодических импульсов.

1 (тс) 1 (тс)

Рис. 12. Сравнение экспериментальных данных БЫтагаИ й а1. (1995) (1) и численно полученной зависимости температуры от времени (2): (2 = 40 Вт/см2 (а), (2 = 20 Вт/см2 (Ь).

В п. 5,4 представлены результаты исследования динамики мощных тепловых импульсов в области температур, где а2 <0.

Численные исследования динамики интенсивных тепловых импульсов в этой области температуры проведено впервые. Были решены задачи при граничных условиях: с одного торца длинного канала, заполненного невозмущенным гелием, подается тепловой импульс а) симметричной треугольной формы (Т = 2.05 К), б) в виде половины синусоиды частотой V = 2387 Гц, что соответствует условию проведения эксперимента СоМпег е1 а1. (1993) (вблизи Тх )• Расчетные кривые только качественно

описывают экспериментальные данные. Однако это дает основание сделать заключение, что необычное поведение импульсов обусловлено сверхтекучей турбулентностью, и теория Фейнмана-Вайнена может быть использована вблизи температуры фазового перехода.

В п. 5.5 исследуется динамика мощных тепловых импульсов в области температур, где а2 = 0.

Изучение динамики теплового импульса при температурах, где а2 = 0, ранее не проводилось. Получено качественное согласие между расчетными кривыми и экспериментальными данными работы Луцет, Цой (1986). Наличие двух максимумов в зависимости температуры от координаты наблюдается при тепловых потоках 40 и 45 Вт/см2, в то время как при меньших тепловых потоках температура монотонно спадает. Подобное поведение импульсов наблюдается в области температур, где коэффициент нелинейности второго звука положителен.

В п. 5.6 приводятся результаты исследований влияния длительности периода и геометрии нагревателя на эволюцию интенсивных волн второго звука при температуре невозмущенного гелия 1.4 К. Показано, что геометрия нагревателя и длительность периода существенно влияют на динамику мощных тепловых импульсов. Для всех геометрий нагревателя форма первого импульса сильно отличается от формы импульсов, следующих за ним. При увеличении длительности периода заметно уменьшаются максимальные значения температуры, увеличивается влияние граничных условий, существенное для случаев цилиндрической и сферической геометрии нагревателя. В случае плоской геометрии нагревателя в объеме жидкости в течение длительности теплового импульса температура сначала уменьшается, а затем увеличивается. Все наблюдаемые процессы согласуются с экспериментами. В случаях цилиндрической и сферической геометрии нагревателя наблюдаются отрицательные возмущения температуры. Их абсолютные значения с увеличением длительности между тепловыми импульсами увеличиваются. В случае плоской геометрии выход на регулярный режим, когда динамика следующего импульса повторяет динамику предыдущего импульса, происходит при значительно большем значении длительности периода, чем это происходит в случае цилиндрической геометрии. Показано, что при определенных условиях возможно вскипание гелия. Это может привести к аварийным ситуациям при охлаждении им сверхпроводящих устройств.

В п. 5.7 изложены результаты исследования распада сверхтекучей турбулентности. С одного из торцов длинного канала подается постоянная плотность теплового потока. После достижения стационарного режима прекращается подача тепла, что соответствует условиям проведения эксперимента. В задаче исследуется поведение плотности вихревых нитей со временем. Решения системы уравнений ГСТ (выведенные при феноменологи-

ческом подходе), выписанные выше, оказались близки к теоретической кривой, найденной из уравнения Вайнена. Из рис. 13 видно, что кривая 2, полученная при решении уравнений, выведенных с использованием стохастического метода, качественно описывает экспериментальные результаты Olszok (1994) (данные экспериментов в работах Schwarz, Rozen (1991) и Olszok (1994) близки друг другу). Таким образом, подтверждается точка зрения Schwarz, Rosen, что аномальный распад вихревого клубка связан с существованием в объеме жидкости остаточной скорости движения. В п. 5.8 представлено как проводилось обезразмеривание системы уравнений ГСТ, показано применение метода Годунова на тестовых задачах в различных областях температур, где а2 > 0, а2 < 0, а2 = 0.

t(s)

Рис. 13. Изменение величины, обратной плотности вихревого клубка, со временем. Т0= 1.5 К. 1 - теоретическая кривая Вайнена, 2 - наши расчетные данные, 3 - экспериментальные данные О^гок (1994).

В главе 6 исследуется нестационарный теплообмен. При создании сверхпроводящих устройств, для обеспечения безаварийной их работы, необходимо знать динамические характеристики, определяющие скорость перехода к аварийному режиму. В этих устройствах чаще всего наблюдаются нестационарные тепловыделения низкоинтенсивной мощности в виде ступенчатого импульса бесконечной длительности. Употребляемые конструкции в них есть как плоской, так и цилиндрической геометрии. В этой главе исследуется гидродинамика сверхтекучей турбулентности в вышеописанных случаях. Для описания импульсов малой амплитуды в большинстве случаев справедливо так называемое адиабатическое приближение, соответствующее случаю, когда плотность клубка успевает подстраиваться

под изменение гидродинамических параметров. Условия применимости этого приближения: время наблюдения процесса должно быть много больше времени развития вихревого клубка до своего равновесного значения

гргос » гу = ¿(Т)д 3/2 (д = ра0Т0мп0 - плотность теплового потока, подаваемая на нагреватель, й(Т) - некоторая функция температуры). Если в течение времени гя рассматриваемый процесс становится стационарным, то необходимо, чтобы гргос «. Уравнения ГСТ в этом случае принимают следующий вид:

д^ р^дГ з Э/ рп дх ^

Э? ат дх ° ратх ° а = Аръ / р], Ь= Ар*р„1ср], где с = <7тТ0 - теплоемкость, г = 0, 1 - соответственно для случаев плоской и цилиндрической геометрии. Эта система уравнений решалась методом характеристик второго порядка точности.

В п. 6.1 была решена задача: с одного из торцов длинного канала подается тепловой поток в виде ступенчатого импульса бесконечной длительности, что соответствует условию проведения эксперимента Уап-8ауег (1979). Исследовалось температурное поле вдоль канала с течением времени, а также зависимость температуры от времени вблизи нагревателя. Время достижения температуры точки фазового перехода Тл определялось как время вскипания, поскольку в рассмотренных случаях время прохождения метастабильной области на порядок меньше времени вскипания. На рис. 14 приведены результаты численного расчета зависимости роста температуры Т от времени в безразмерном виде при х = 0. Эту зависимость можно разбить на несколько областей. При временах больше и меньше т*2 рост температуры Г ос г"2 При временах больших т\ температура линейно

изменяется со временем. В эксперименте реализуется область, где Т °с г"2. В размерных переменных эта зависимость приобретает следующий вид:

АТ=^=аУп0{р/р$Г2{рпТ0А/сГ\ где а0 = 0.83. Из этого выражения определяется время вскипания 1Ьой: Ьои ~ ^ ■ Подобная зависимость наблюдалась в эксперименте. Так, при температуре невозмущенного гелия 7,0=1.8Л' с учетом разброса постоянной Гортера-Меллинка были получены следующие расчетные значения для В = 80-И 60 Вт4-с/см8. При этих же параметрах в эксперименте Вехр =110 Вт4-с/см8. При Г0 = 2.05 К , В = 49 - 87 Вт4-с/см8 и

Вехр = 17 Вт4-с/см8. Наблюдается качественное согласие между расчетными

и экспериментальными значениями. Количественные несовпадения, по-видимому, обусловлены тем, что в данном приближении не учтена зависимость термодинамических параметров от температуры, что особенно важно в области Тл, где эти величины претерпевают очень сильные изменения.

Далее в диссертации проводится анализ теоретических и расчетных работ, связанных с этой проблемой. Широко используется метод Дреснера (1984): соотношение Гортера-Меллинка в стационарном противотоке используется для нестационарной ситуации. В этом случае в системе ГСТ

необходимо опустить члены Эуп/Эг и . Такое упрощение системы уравнений ГСТ физически не обосновано.

Рис. 14. Зависимость температуры от времени вблизи нагревателя (безразмерные переменные).

В п. 6.2 исследуется нестационарный теплообмен в случае, когда с поверхности бесконечного цилиндра в гелий, заполняющий пространство между ней и коаксиальной оболочкой, выделяется тепло в виде длительного импульса. Исследования проведены для разных значений радиусов нагревателя и оболочки. Исследовано температурное поле между цилиндрами с течением времени, получены времена вскипания. Показано, что широко используемый метод, предложенный Дреснером, имеет ограниченную область применимости.

выводы

1. Впервые в рамках метода вихревой нити с применением полного уравнения Био-Савара, а также в локальном приближении, при периодических граничных условиях проведено широкомасштабное исследование стохастической динамики вихревых нитей. Вычислены основные параметры, отвечающие за динамику и структуру вихревого клубка. Получены зависимости основных характеристик клубка: переходное время от начальной конфигурации до достижения устойчивого стационарного состояния, средняя и среднеквадратичная кривизны нитей, анизотропные индексы, скорость дрейфа, плотность вихревых нитей, плотность взаимной силы трения, скорости реконнекций от скорости противотока уП5 . Получена подробная статистическая информация свойств вихревого клубка, в частности, были изучены: вероятность распределения петель в пространстве их длин, корреляция между длиной и среднеквадратичной кривизной я' петель с данными I, функция распределения кривизны нитей, функции распределения

средней и среднеквадратичной кривизны петли, автокорреляционная функция вихревой ориентации.

2. Предложен новый критерий реконнекций вихревых нитей: перезамыкания осуществлялись, если элементы нити (нитей) пересекаются в течение временного шага. Проведено сравнение статистических и геометрических свойств вихревого клубка с использованием различных критериев реконнекций, и определено, какие свойства являются надежными, а какие чувствительны к выбору критерия. Установлено, что метод вихревой нити можно считать надежным и хорошо подходящим для описания вихревого клубка в стационарном состоянии при наличии противотока, несмотря на различия в некоторых полученных данных при использовании различных критериев реконнекций.

3. Показано, что сверхтекучая турбулентность при наличии противотока по своей сути является анизотропной, благодаря выделенному направлению скорости противотока. Эта анизотропия имеет принципиальное значение и не может вообще игнорироваться.

4. Определены критерии применимости локально-индуцированного приближения к стохастической динамике вихревых нитей в стационарном состоянии при наличии противотока. Показано, что локально-индуцированное приближение с успехом может быть использовано в аналитических исследованиях турбулентности при наличии противотока.

5. Установлено, что распад сверхтекучей турбулентности, локализованной в области, вблизи абсолютного нуля обусловлен баллистическим испарением и диффузией вихревых петель. Этот механизм является эффективным для

объяснения распада квантовой турбулентности, т.е. является альтернативным по отношению сценарию распада посредством каскада волн Кельвина.

6. Впервые проведено исследование динамики вихревого клубка в поле случайных скоростей. Показано, что клубок является неоднородным. В нем спонтанно возникают и исчезают структуры с повышенной плотностью вихревых нитей, напоминающие свойства перемежаемости в обычной турбулентности. Получен энергетический спектр трехмерного движения, индуцируемого вихревым клубком.

7. Предложен метод расчета динамики вихревой нити: индуцированный вклад от отдаленных участков нитей находится с помощью усреднения по трехмерным ячейкам. Показано, что применение этого метода существенно ускоряет расчет динамики вихревых петель.

8. Проведено широкомасштабное исследование динамики интенсивных тепловых импульсов и нестационарного теплообмена в сверхтекучем гелии. Получены уравнения, учитывающие члены второго порядка малости, для распространения интенсивных волн второго звука, взаимодействующих с квантовыми вихрями. Решена задача о распространении возмущений конечной амплитуды в безвихревом гелии. Полученная формула для коэффициента нелинейности второго звука совпадает с формулой Халатникова.

9. Проведено исследование динамики тепловых импульсов, взаимодействующих с «собственными» вихрями. Показано, что это взаимодействие приводит к ряду новых физических эффектов.

10. Впервые исследована динамика импульсов при температурах, где коэффициент нелинейности принимает положительное, нулевое и отрицательное значения, а также вблизи точки фазового перехода. Показано, что теория Вайнена может быть использована вблизи Т^.

11. Показано, что аномальный распад вихревого клубка, в частности, обязан присутствию остаточной скорости в объеме жидкости.

12. Проведено исследование динамики тепловых импульсов малой, но закритической амплитуды, когда плотность вихревого клубка успевает подстраиваться под изменение гидродинамических параметров. Исследования проведены для плоской и цилиндрической геометрии нагревателя. Получены времена вскипания сверхтекучего гелия при различных режимах: периодичности и интенсивности импульсов, различные температуры.

13. Показано, что широко используемый метод, предложенный Дреснером, имеет ограниченную область применимости.

14. Результаты по нестационарному теплообмену и определению времени вскипания гелия могут быть использованы в прикладных задачах при гелиевых температурах, например, для охлаждения сверхпроводящих магнитов или электронных приборов.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах, включенных в список ВАК и/или входящих в мировые индексы цитирования (Web of Science):

1. Nemirovskii S.K., Baltsevich A.Ya., Kondaurova L.P. Heat transient in He II at slow variational of heat load //Low Temperature Physics. - 1990. - Vol. 16. -No. 4. - P. 462 - 463.

2. Nemirovskii S.K., Kondaurova L.P., Baltsevich A.Ya. Heat transfer in He-II with stepwise switching on of heater // Cryogenics. - 1992. - Vol. 32. - No. 1. -P. 47 - 52.

3. Nemirovskii S.K., Kondaurova L.P., Baltsevich A.Ya. Unsteady heat transfer in He-II with cylindrical geometry // Cryogenic. - 1994. - Vol. 34 - No. 9. -P. 733-738.

4. Nemirovskii S.K., Kondaurova L.P., Nedoboiko M.V. Hydrodynamic aspects in the problem of the theory of superfluid turbulence // Cryogenics. -1994. - Vol. 34. - ICEC Suppl. 1. - P. 309 - 311.

5. Nemirovskii S.K., Kondaurova L.P., Baltsevich A.Ya. Transient heat transport in helium П in cylindrical space // Cryogenics. - 1994. - Vol. 34 - Suppl. 1. -P.313-316.

6. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Dynamics of intense heat pulses interacting with vortices they generate // Czech. J. Phys. - 1996. - Vol. 46. - Suppl. SI.-P. 23-24.

7. Кондаурова Л.П., Немировский C.K., Недобойко M.B. Взаимное влияние квантованных вихрей и тепловых импульсов в сверхтекучем гелии // Физика низких температур - 1999. - Т. 25. - № 7. - С. 639 - 649.

8. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K., Nedoboiko M.V. Interaction of intense heat pulses and vortices in He П. // Journal of Low Temperature Physics. - 2000. -Vol. 119. - No. - P. 329 - 335.

9. Кондаурова Л.П., Немировский C.K., Недобойко M.B. Численное моделирование динамики уединенных интенсивных волн второго звука в сверхтекучем турбулентном гелии // Вычислительные технологии. - 2001. -Т. 6. - № 6. - С. 39-47.

10. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K., Nedoboiko M.V. Simulation of stochastic vortex tangle // Физика низких температур. - 2003. - T. 29. - № 8. - С. 835 - 839.

11. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Full Biot-Savart numerical simulation of vortices in He II II Journal of Low Temperature Physics. - 2005. - Vol. 3A. P. 555-560.

12. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Numerical study of stochastic vortex tangle dynamics in superfluid He II // American Institute of Physics. Conference Proceedings 850: Low Temperature Physics. — 2006. - P. 223 - 224.

13. Кондаурова Л.П., Немировский C.K. Численное исследование эволюции интенсивных волн второго звука в турбулентном сверхтекучем гелии // Теплофизика и аэромеханика. — 2008. — Т. 15. - № 2. - С. 237 — 246.

14. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Unsteady heat transfer in He II in cylindrical and spherical geometries // Journal of Low Temperature Physics. -2008. - Vol. 150. - No. 3Л. - P. 200 - 205.

15. Kondaurova L.P., Andryuscheko V.A., Nemirovskii S.K. Numerical simulations of superfluid turbulence under periodical conditions // Journal of Low Temperature Physics. - 2008. - Vol. 150. - No. 3Л. - P. 415 - 219.

16. Кондаурова JI.П., Немировский C.K. Численное исследование влияния длительности периода на эволюцию интенсивных волн второго звука // Теплофизика и аэромеханика. — 2009. — Т. 16. — № 1. — С. 149 — 157.

17. Кондаурова Л.П., Андрющенко В.А., Немировский С.К. Численное моделирование динамики вихревого клубка // Вычислительные технологии..-2010. - Т. 15. -№ 2. - С. 41 -51.

18. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Numerical study of the diffusive like decay of the vortex tangle without mutual friction // Low Temperature Physics. -2011. - Vol. 37. - No. 5. - P. 413 - 415.

19. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Numerical study on decay of the vortex tangles in superfluid helium at zero temperature // Phys. Rev. B. - 2012. -Vol. 86.-No. 13.-P. 134506-1 - 134506-12.

20. Kondaurova L., L'vov V., Pomyalov A., Procaccia I. Structure of quantum vortex tangle in 4He counterflow turbulence // Phys. Rev. B. - 2014. - Vol. 89. -No. 1,-P. 014502-1 -014502-23.

Публикации в трудах конференций:

21. Кондаурова Л.П., Немировский С.К. Численное исследование динамики мощных тепловых импульсов в турбулентном сверхтекучем гелии // Тр. Межд. конф. «Математические модели и численные методы механики сплошных сред», Новосибирск, Россия - 27 мая — 2 июля 1996. - С. 346—347.

22. Nemirovskii S.K., Kondaurova L.P. Dynamics of Intense Heat pulses Interacting with vortices they generate // Proc. of the 21st Internat. Conference on Low Temperature Physics, Prague, Czechoslovakia - 8 - 14 August, 1996. -P. 16.

23. Кондаурова Л.П., Немировский C.K., Недобойко M.B. Propagation of the intense single heat pulses in superfluid helium // Proc. of the 17-th International Cryogenic Engineering Conference and Exhibition, Bournemouth, UK -14- 17 July, 1998.-P. 4.7.

24. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K., Недобонко M.B. Interaction of intense heat pulses and vortices in Hell // Proc. of the Second Chernogolovka Workshop on Low Temperature Physics in Microgravity Environment (CWS-99), Chernogolovka, Россия - 28 July - 2 August, 1999. - P. 23.

25. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Full Biot-Savart numerical simulation of vortices in He II // Proc. of the International Symposium on Quantum Fluids and Solids (QSF2004), Trento, Italy - 5 - 9 July, 2004. -P. 44- 45.

26. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Numerical study of stochastic vortex tangle dynamics in superfluid He II // Book of abstracts of the 24th Internat. Conf. on Low Temperature Physics, Orlando, USA - 10 - 17 August, 2005. - P. 156.

27. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Unsteady heat transfer in He II in cylindrical and spherical geometry // Proc. of the International Symposium on Quantum Fluids and Solids (QFS2007), Kazan, Russia - 1 - 6 August, 2007 - P. 104.

28. Kondaurova L.P., Andryuscheko V.A., Nemirovskii S.K. Numerical simulations of superfluid turbulence under periodical conditions // Proc. of the International Symposium on Quantum Fluids and Solids (QFS2007), Kazan, Russia - 1 - 6 August, 2007. - P. 152.

29. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Simulation of stochastic motion of vortex loops random forcing // Proc. of the 25th International Conf. on Low Temperature Physics, Amsterdam, Netherlands - 6 - 3 August, 2008. - P. 7 - 8.

30. Кондаурова Л.П., Немировский C.K. // XXXV Совещание по физике низких температур: Тез. докл., Черноголовка, 29 сентября - 2 октября 2009 г. - М.: Граница, 2009. - С. 49 - 50.

31. Kondaurova L.P., Nemirovskii S. К. Numerical study of the inhomogene-ous vortex tangle at zero temperature // International Symposium on Quantum Fluids and Solids: Abs., Grenoble, France, 1-7 August, 2010. - Institute Neel Grenoble, 2010.-P. 56.

32. Kondaurova L.P. Numerical study on the free decay of vortex tangle at zero temperature // Proc. of the 26th International Conf. on Low Temperature Physics, Beijing, China - 10 - 17 August, 2011. - P. 184.

33. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K. Numerical study on decay of the vortex tangle at zero temperature // International Conference on Quantum Fluids and Solids 2012, 15-21 August, 2012, Lancaster University, UK, Conference Handbook, PI.5, Lancaster University, Department of physics.

Подписано к печати 21.05. 2014 г. Заказ № 14 Формат 60/84/16. Объем 2 уч.-изд. л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630090, Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 1