Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

9 °8'3 2645

л а правах рукописи

Кузьмин Павел Александрович

Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор

Шугаев Федор Васильевич

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор д.ф.-м.н., профессор

Борисов Анатолий Викторович Теодорович Эдуард Владимирович

Ведущая организация:

Вычислительный центр имени А. А. Дородницына Российской академии наук

Защита диссертации состоится «14» октября 2008 года в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники-и математики по адресу: 109028, Москва, Б.Трехсвятительский пер., д.З.

С диссертацией можно библиотеке МИЭМ Автореферат разослан_________2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.133.07 кандидат физико-математических наук

доцент

П. В. Шнурков

1 Актуальность проблемы

Данная работа посвящена важной и быстро развивающейся области теории сверхтекучести - теории турбулентности в сверхтекучей жидкости. Теория турбулентности в сверхтекучей жидкости важна для многих прикладных проблем, связанных с гелием-Н. Действительно, присутствие вихревого клубка оказывает значительное воздействие на поток тепла, который не может описываться простой двухжидкостной моделью Ландау. Использование гелия-И в таких проектах, как охлаждение сверхпроводящих магнитов или в космических приложениях, требует глубоких исследований. В последние годы, ввиду использования гелия в качестве жидкости для экспериментов при очень высоких числах Рейнольдса, возобновился интерес к проблеме соотношения классической и квантовой турбулентности.

В дополнение к важности квантовой турбулентности в перечисленных случаях, теория хаотического вихревого клубка в Не II представляет большой интерес с точки зрения общей физики.

Как часть теории сверхтекучести, теория квантовой турбулентности тесно связана с другими областями теории сверхтекучести: теорией образования вихрей, теорией взаимодействия сближающихся вихревых нитей, с проблемой критических скоростей и вопросом о роли, которую играют квантовые вихри в фазовых переходах. Изучение квантовой турбулентности позволяет получать нестандартные решения, проливающие свет на обозначенные проблемы.

Важной задачей гидродинамики является выяснение механизма распада турбулентного состояния в сверхтекучей жидкости. При температурах Т > 1К основными факторами диссипации оказываются вязкость нормальной компоненты и взаимное трение. В случае низких (Т < 0.1/С) температур названные источники рассеяния энергии турбулентного состояния отсутствуют, так как плотность нормальной компоненты мала. Эксперимент, однако, обнаруживает не зависящую от температуры диссипацию квантовой турбулентности. Указана возможность распада турбулентности за счет излучения звуковых волн в акте слияния вихрей

(vortex reconnection) и при распространении азимутальных волн вдоль вихревых нитей. В численном эксперименте установлена средняя мощность излучения возмущенного вихревого кольца, показано образование волны разрежения при слиянии вихрей. До сих пор, однако, остаются неясными как механизмы возникновения звуковых волн, так и относительные вклады двух названных способов излучения в эффективную кинематическую вязкость. В связи с этим представляет интерес изучение спектральных характеристик акустических волн, излучаемых турбулентной сверхтекучей жидкостью, и динамики хаотического вихревого клубка.

2 Цель работы

Целью настоящей работы является изучение некоторых свойств решений уравнения Гросса-Питаевского, а также развитие предложенной Немировским модели вихревого клубка в сверхтекучем гелии. В частности, перед автором стояли следующие задачи:

• Изучение влияния потери длины нити при перезамыкании вихревых петель на динамику вихревого клубка и распад турбулентного состояния;

• Установление границ применимости модели Немировского и связей с известными гидродинамическими моделями турбулентности;

• Изучение спектра звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами при их перезамыкании;

• Изучение существенно нестационарных режимов эволюции и распада вихревого клубка в сверхтекучей жидкости;

• Учет влияния нормальной компоненты на вихревой клубок, изучение различных режимов его эволюции;

• Выяснение применимости модели случайного блуждания вихревых петель к изучению релаксационных процессов в вихревом клубке;

• Рассмотрение других возможных моделей турбулентности в бозе-конденсате.

3 Методы исследования

Результаты диссертации получены с использованием современных методов теоретической и математической физики и функционального анализа.

4 Научная новизна

Все основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• Получен спектр звуковых волн, излучаемых вихревым кольцом при перезамыкании. Отмечено сходство с классическим случаем.

• Предложена модель вихревого клубка в сверхтекучей жидкости, учитывающая потери энергии при перезамыкании нитей. Установлены границы применимости модели и ее связи с гидродинамическими моделями турбулентности.

• В предложенной модели обнаружены точные решения. Таким образом, найдена еще одна нелинейная интегрируемая система, представляющая собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных.

• Впервые исследованы быстрые, существенно нестационарные режимы распада турбулентности в бозе-конденсате. Изучено поведение вихревого клубка при его нестационарной эволюции.

• Учтено влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучены различные режимы эволюции и их связь с описанными в литературе ранее.

• При помощи модели случайного блуждания замкнутых вихревых нетель изучены процессы релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию. Определены времена и законы релаксации.

• Дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик на некотором однородном пространстве полупрямого произведения групп Гейзенберга и Вирасоро. Тем самым, получен ряд интегрируемых обобщений уравнения Камассы-Холма, вероятно, описывающих турбулентное движение в тонких капиллярах.

5 Практическая и теоретическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в гидродинамике, теории квантовой турбулентности, теории интегрируемых систем.

6 Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре кафедры квантовой статистики и теории поля МГУ им. iM.B. Ломоносова;

• на конференции «Ломоносовские чтения» в МГУ в 2007 году;

• на конференции молодых ученых «Ломоносов» в МГУ (2006 год);

• на международной конференции «Fluxes and Structures in Fluids», С.Петербург, 2007 г.;

• на международной конференции WEHSFF-2007, Москва, 2007 год.

7 Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в девяти работах список которых приводится в конце автореферата. Пять работ [1, 2, 3, 4, 5] опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

8 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, и списка литературы, содержащего 53 наименования. Общий объем работы - 86 страниц.

9 Содержание работы

Во введении кратко изложена история вопроса, показана актуальность темы, сформулированы основные задачи и результаты диссертации.

Во второй главе кратко описано современное состояние теории квантовой турбулентности, основные теоретические и вычислительные модели, экспериментальные техники.

В третьей главе проведено численное моделирование процесса столкновения и слияния вихревых колец.

Простейшее описание динамики слабо взаимодействующего бозе-газа дает уравнение Гросса-Питаевского - уравнение Хартри для одночастичной волновой функции системы взаимодействующих бозонов:

= -Аф - (1 - \ф\2)ф.

Одним из основных факторов, возмущающих свободное движение вихревых колец, является слияние вихрей. Солитонные решения уравнения Гросса-Питаевского определяются двумя условиями. Первое условие соответствует

требованию убывания на бесконечности возмущения, вызванного солитоном:

\ip(x)\ —► 1, \х\ —» оо.

Потребуем также сохранения формы солитона при распространении: для каждого значения U скорости движения солитона

■ф(хl,X2,X3,t) = 1p{Xi,X2,X3 - Ut).

Тогда для любого фиксированного t нелинейное уравнение Шредингера примет вид:

= Ах,ф + (1 - Щ lim W = 1.

[х'[—>00

Решения такой краевой задачи и определяют солитоны уравнения Гросса-Питасвского. Вихревые кольца построены методом Ньютона, основанным на методе взаимных градиентов.

Рис. 1: Поверхности уровня плотности конденсата в различные моменты времени.

На рис. 1 представлена характерная картина слияния вихревых колец. Слияние колец приводит также к образованию двух волн разрежения, распространяющихся в направлении, перпендикулярном к плоскости,

проведенной через оси вихревых колец. По мере распространения от места столкновения импульсы разрежения эволюционируют в звуковые волны.

Считается, что причиной возникновения таких волн являются возмущенные при столкновении колеблющиеся вихревые кольца. Спектр указанного участка обнаруживает ярко выраженный узкополосный характер (рис. 2), который, очевидно, объясняется описанным выше механизмом образования звуковых волн.

Рис. 2: Зависимость плотности конденсата от времени в точке (х\,х2,хз) = (22.5,0,0) (верхний график); спектр участка 110 < t < 180 (нижний график).

Полученные результаты для формы спектра согласуются с экспериментальными данными для классической жидкости. Сходство результатов, вероятно, связано с общим для классического и квантового случая механизмом образования волн.

Таким образом, один из механизмов распада турбулентного состояния при малых температурах обнаруживает сходство с классическим явлением излучения звука вихревым кольцом. Связанный со слиянием вихрей механизм рассеяния энергии турбулентности характерен для квантовой жидкости. Образующиеся в этом случае импульсы разрежения,

распространяясь, эволюционируют в звуковые волны, Следует отметить, что, в отсутствие вязкости, столкновение вихрей является важным фактором, возмущающим движение вихревых колец; в связи с этим, явление слияния вихрей приобретает первостепенное значение для обоих механизмов распада турбулентности.

В четвертой главе изучается закон эволюции предоставленного самому себе хаотического однородного и изотропного вихревого клубка в бесконечном пространстве. Кроме того, приведен вывод выражений для вероятностей слияния и распада вихревых петель.

Температура предполагается настолько малой, что плотностью нормальной компоненты и взаимным трением можно пренебречь. Основным результатом является закон (7) быстрого, существенно нестационарного распада плотного вихревого клубка.

Турбулентность в бозе-конденсате рассматривается как хаотический клубок вихревых нитей, взаимодействующих при их пересечении. В численных экспериментах, основанных на уравнении Гросса-Питаевского, установлено, что при сближении вихревых нитей с достоверностью происходит их пересоединение, сопровождающееся излучением волн (импульсов разрежения) и возмущением самих нитей. В рассматриваемой в работе модели состояние в момент времени £ задается функцией распределении г«(М) вихревых петель по длинам. Пересоединения нитей могут влиять па функцию распределения двояким образом: пересоединение может приводить К СЛИЯНИЮ двух петель длинами ¡1 И ¡2 в одну петлю длиной I ^ /х + ¿2 или к распаду одной петли длиной I на две длинами /1 и ¿2, ¿1 + ¿2 ^ Эти процессы могут сопровождаться излучением фононов.

Вероятности перезамыкания вычислены в предположении о броуновском случайном блуждании петель и выражаются формулами:

А(11,12,1) = ЪтЩ112, В{1икЛ) = ЬЖШ~1-

Здесь Ьт, Ь, - некоторые константы, У; - характерная скорость вихревых нитей, связанная с радиусом кривизны нити £ соотношением Ц = где «-квант циркуляции, в безразмерных единицах равный 2тг. Величина

£о обозначает средний радиус кривизны вихревых нитей и является основным параметром теории. Рассматриваемая модель применима только на масштабах, превосходящих Исследовано стационарное решение кинетического уравнения для состояния г):

дп{1,г)

т

= /о[п(М)].

(2)

где интеграл столкновений 1о имеет вид

/оИМ)] =

= J А(1Ъ к, г)п(/ь <)п(«а, t)<5(Z - Ь - к)<Их<й2 (/,, 1,12)п(1^)п(1и Щ12 /)ДкИа

(¿2,1,1х)п(1, г)п{12, ЩЬ -к- ОЛцИз 1ик,1)п(1,Щ1 - Ь - ^(И^к I, ¿2, к)п(1и ¿Ж^ ~ к - 0<#1<#2 иикНкЛЩк-к-ЦШ^к.

а

А В

+!в + !в

(3)

Изучается поведение плотности (полной длины) вихревых нитей Ф) = ! 1п{1,Ь)<11.

(4)

Установлено, что полная длина вихревых нитей в стационарном состоянии имеет вид

00

.Суш

. = J 1тг(1)<11 =

{о

¿О2 '

(5)

где СуьБ-некоторая константа порядка единицы. Этим показано, что среднее расстояние между вихревыми нитями в стационарном состоянии имеет порядок среднего радиуса кривизны £о— факт, обнаруженный ранее в численных экспериментах.

Целью настоящей работы является выяснение закона убывания плотности вихревых нитей С(1) в бояе-конденсате за счет потерь энергии на излучение

в акте пересоединения нитей. Величина потери длины вихревой нити вычислена на основе уравнения Гросса-Питаевского. Известно, что потеря длины при пересоединении составляет несколько безразмерных единиц длины. В данной работе потеря длины при каждом пересоединении предполагается постоянной и равной А1.

Пусть при каждом слиянии петель теряется длина Д/, а при распаде вихревой петли обе новые петли теряют длину Исходя из этих предположений, можно записать новый интеграл столкновений, учитывающий диссипацию энергии при пересоединении:

Пп(М)] =

= J А(1и1гЛ)п{1и{)п{12,1)&(1 + Ы - ь -12)(И^12 - ! А{1Ъ1,12)п(1, г)п(/ь Щ12 + А1-1х- 1)<ИХ<112

А(12,1,1М1. Щк + Д/ - /2 - (6)

/ /

+ у, к + у, 1)п{1, Щ1 - Д/ - Ь ~ ¿2)^1^2

+ у в(і + у,г2 + у,/іМмЖ'і-^-'2-0<*№

+ J В(1 + у, її + у, /2)п(/2, ЩІ,2 -АІ-ІІ- ОЛіЛз. Умножая уравнение

-й-= /["('.*)]

на I и интегрируя но I, получаем уравнение для £(<) - основную теорему настоящей главы:

Теорема 1 Пусть состояние вихревого клубка описывается плотностью распределения петель по длинам п(1,і). Пусть эволюция состояния во времени определяется кинетическим уравнением с интегралом столкновений (б). Тогда изменение полной длины — / іп(1, і)«й

описывается уравнением

2-^-2 \Л + є/2

котпрое при е = ^ < 1 можно, разложив выражение в квадратных скобках в ряд около £ = 0, записать в виде

§ = -ЬтЦА1СМ) - (7)

где для Ц имеет место оценка Ц ~

Полученное уравнение определяет закон убывания плотности вихревых нитей за счет излучения при пересоединении. Отметим, что уравнение (7) для первого момента распределения п(1,1), являясь точным для модели (6), не содержит высших моментов при любых значениях параметров А1, в частности, для высоких плотностей турбулентности. Таким образом, уравнение (7) может описывать быстрые, существенно нестационарные режимы эволюции вихревого клубка, когда распределение вихревых петель по длинам существенно отличается от стационарного и соотношение (5) не выполняется.

Теорема 2 Решение задачи Коши для уравнения (7) имеет вид £(«) =

_¿(0)ЗЬаУ,Л//£02__(8)

+ Ц0)ЬтЦЛ1 - 1)

ПРИ 1 ^ зьмы Решение имеет характер £(*) = а вРемя

убывания величины С вдвое равно

т\ =

£(0 )ЬткА1 ^

-Ё--= --3--£(0)-З/2

2ЬтСчи>кЫ кД/0.866, 4

в предположении, что для начального состояния выполнено (5). При больших t > величина £ убывает экспоненциально

С№Ъ,УА1/а -гь.ум ЗЬМА1/$ + ЬтЦА1С( 0)

с характерным временем

таким, что 11 ~ 10.

' та

При распаде согласно уравнению Вайнена, время, за которое величина С уменьшается в два раза, равно

и, в отличие от (9),(10), зависит от начальной средней кривизны нитей не кубично, а квадратично. Таким образом, при достаточно больших плотностях вихревых нитей механизм распада, связанный с излучением фононов при пересоединении, будет превалировать и обеспечивать убывание С(1) согласно экспоненциальному закону, а не по закону £(£) ~

В пятой главе изучается влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка.

В данной главе мы интересуемся поведением полного числа вихревых нитей

Основной целью работы является получение выражения для частоты перссоединений вихревых нитей в нестационарном состоянии.

Уравнение (2) с интегралом столкновений (3) учитывает влияние как процессов рождения, так и процессов уничтожения колец, причем каждый из этих процессов сопровождается пересоединением. Поэтому для получения частоты пересоединений необходимо все члены в (2) взять со знаком "+". Проинтегрируем теперь уравнение (2) (с надлежащим образом расставленными знаками) по I, выбирая, где необходимо, величину £о в качестве параметра обрезания снизу. В результате имеем

Теорема 3 Полное число перезамыканий в вихревом клубке, описываемом кинетическим уравнением (2) с интегралом столкновений (3), дается выражением

т =

К 2С\Г1цСутеп

(И)

N = ЬтЦС2№ + 2 ЪаЩ02Ц*),

(12)

где £0 - средний радиус кривизны нитей, аУ1,Ьа,Ьт - константы.

Далее в данной главе проанализирована эволюция хаотического однородного и изотропного вихревого клубка в бесконечном пространстве. Мы не предполагаем, что температура низкая: учитывается и плотность нормальной компоненты, и взаимное треиия. Основные результаты -уравнение (15) для частоты перезамыканий, и уравнения (18), (17) для полного числа вихревых нитей и частоты перезамыканий в существенно нестационарном вихревом клубке, состоящим из замкнутых вихревых петель. Анализ эволюции вихревого клубка основан на уравнении марковской эволюции для распределения вихревых петель по длинам.

Запишем кинетическое уравнение с учетом влияния взаимного трения на вихревой клубок:

Вычислим скорость изменения длины петли за счет взаимодействия с нормальной компонентой, основываясь на уравнении движения петли в локальном приближении:

9п(М) дп{1,0 д1

дt + д1 т

+

(13)

V! = /?я' х я" + аз' х (Упв - рв' х в"), 15

где штрихи обозначают производные вдоль нитей по натуральному параметру, V] - скорость элемента нити, а, /3 - константы, зависящие от температуры.

Используя средние, вычисленные еще Немировским для гауссовской модели вихревого клубка:

I. V™

(з' х s") =

л/2с2£о IV ПЯ |

1

((8'х8")2) = ф

где ¡1 и сг - структурные константы вихревого клубка, введенные Шварцем, получаем выражение для полной частоты перезамыканий, связанной с взаимным трением:

Теорема 4 В модели вихревого клубка, описываемого кинетическим уравнением с интегралом столкновений (13), число петель, возникающих за счет взаимодействия с нормальной компонентой, равно

Л> /Эп(М) fdn(l,t)dl

где N(t) = J ti(1, t)dl -полное число вихревых петель, Iu Р, с2 -некоторые константы, зависящие от температуры.

Сформулируем также "стационарную"версию последней теоремы:

Теорема 5 В модели вихревого клубка, описываемого кинетическим уравнением с интегралом столкновений (13), полное число перезамыканий в стационарном состоянии при наличии нормальной компоненты, равно

^ _ V2«I,Vn,e2c2 + V2*^C5/2 + к{Ьт + 26j)£5/2 (15)

Если доминирует сила, связанная с влиянием на нити поля скоростей, создаваемого самими нитями, то первый член мал, и мы имеем

ЛГгес~£5/2.

В противном случае, если превалирует сила, обусловленная потоком нормальной компоненты, мы получаем другой закон:

Оба результата были получены ранее из простых качественных соображений. Уравнение (15) описывает переходный режим между упомянутыми законами.

Далее в данном разделе мы снова предполагаем диссипацию малой.

Для изучения процесса релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию необходимо использовать другую модель случайного блуждания нитей. Эта модель, в отличие от (1), учитывает замкнутость вихревых петель и кажется более релевантной. Выражения для А(1и12,1) и ¿(¿1, ¿2,0 в этой модели имеют вид:

А(11,к,1) = ЬтЦ1112,

р/2 (16)

В(/ЬМ = Мг .3/2,3/2^72-40 12

Итак, необходимо подставить в интеграл столкновений коэффициенты (16) вместо (1).

Теорема в В модели вихревого клубка, описываемого кинетическим уравнением с интегралом столкновений (3) и коэффициентами (16), полное число вихревых петель равно:

ЛГ(<) = - ЬтЦС2(1) + 4ЬЖо2Ог №) - 2&Л(*)) = -ЪпУ^Ю + ЫЖ^Сг ((I) - 2£0) N(1), где (/) = £(<)/Л^(<) обозначает среднюю длину вихревой петли.

17

Снова предположим, что С{€) изменяется значительно медленнее, чем ЛГ(£), т.е. диссипация мала. Тогда первая строка формулы (17) представляет собой уравнение эволюции для N{1), решения которого имеют вид

= + (18)

где

ЗГТГ^М (19)

обозначает стационарное число вихревых петель и

Т = —= -С- (20)

8 САЦ 8С:Ьак обозначает время релаксации для модели (16).

Соотношение (19) связывает полную плотность вихревых линий со средним радиусом кривизны вихревых нитей в (неизвестном) стационарном состоянии:

"1 6'

2 (I)

г _ 1 Ьт е0

Подведем итог пятой главы. Во-первых, мы получили уравнение для полной частоты переэамыканий в присутствии нормальной компоненты. Полученное уравнение описывает переходный режим между двумя режимами распада турбулентности, открытыми Баренги и Самуэльсом. Другими словами, их степенные решения - частные случаи нашего уравнения.

Во-вторых, достигнуто понимание того, что модель с открытыми вихревыми нитями не подходит для изучения таких тонких явлений, как процесс релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию. Вместо нее мы использовали модель с замкнутыми нитями, что позволило дать оценки времени релаксации вихревого клубка и получить новое, более точное соотношение между средним радиусом кривизны вихревых петель и их полной длиной.

В шестой главе дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик на некотором однородном пространстве полупрямого произведения групп Гейзенберга и Вирасоро.

В последние годы в литературе широко обсуждается применение гидродинамических моделей типа Камассы-Холма в теории тубулентности. В связи с этим, представляется интересным расширение класса вполне интегрируемых систем типа Камассы-Холма с целью их применения в качестве моделей сверхтекучей турбулентности. Одно из таких обобщений предложено автором Полученные системы, возможно, могут быть применены для описания сверхтекучей турбулентности в одномерных системах.

Известно, что уравнение Камассы-Холма может быть интерпретировано как бигамильтонова система на коприсоединенной орбите группы диффеоморфизмов окружности. В данной работе рассматриается класс гамильтоновых потоков на пространстве д*ед, где 0 = Уесі(51) їх С°°(5') с квадратичными функциями Гамильтона специального вида. Целью является описание всех бигамильтоновых потоков относительно модифицированной структуры Ли-Пуассона на д*ед. Получено семейство двухкомпонентных вполне интегрируемых систем, обобщающих уравнение Камассы-Холма.

Существует общий способ построения пары согласованных пуассоновых структур и получения интегрируемого потока. Пусть д - алгебра Ли, 0* - двойственное пространство к д (регулярная часть двойственного пространства к д). Определяют каноническую структуру Ли-Пуассона на 0*: для любых гладких /, д : 0* —► К

{/,0}(т) = т([#,<&]). (21)

Каждый коцикл и> Є 22(д) определяет другую пуассонову структуру на 0*, согласованную с канонической. Такая структура называется модифицированной структурой Ли-Пуассона.

Основной целью настоящей главы является описание некоторого класса аналогичных бигамильтоновых систем на пространстве д'гед, где 0 = Уесг(51) к С00^1), а С00(5ті) - пространство всех гладких тензорных плотностей на 51 степени 0, т.е. структура Уес^й^-модуля на С00^1) определяется как

Ь; : С00^1) - С7°°(51), а{х) ~ /(х)а'(х), 19

где / Є Уесі(51). Каноническая структура Ли-Пуассона на задается оператором

т ( (т\\ (тпх + 2тпд рд\ (тп\ .

который определяет коприсоединенное действие полупрямого произведения Уес^З1) к С00^1). Известно, что Я2(Уесі(5') к С°°(51)) = К3, поэтому модифицированная структура Ли-Пуссона определяется постоянным (т.е. не

зависящим от точки ( І Є g* ) оператором \pj

j = ((mo)x + 2тпод - cid3 р0д + с2<92\ ^^

V (Ро)х + Род - с2д2 2с3д )'

где І 1710 ) Є g* „ и ci, С2, сз - некоторые константы. Заметим, что структуры

W

(22), (21) на самом деле определены на коприсоединенной орбите (Diff+(51) к С°°(51))/(51 х S1), содержащей постоянный момент [0 ) Є Q*ng, тщ(х) —

W

const, Po(x) = const.

Рассмотрим класс квадратичных функций Гамильтона на g*eg

•о-!<а-ю>- -

где (, ) обозначает скалярное произведение в L2

'"îi / т2 iPl J

= J (тпі{х)тп2(х) +Pi(x)P2(x)) dx,

S1

а симметричный оператор M выбирается в форме

M =

/ По Пі \

U{l-d2) + Zoid2i £(-1)4^

t=2 i=0

Eb? 7

\ <=0 /

(25)

где a¿, Ь,, 7, е - такие константы, что М строго положителен и обратим. Такая функция Гамильтона может рассматриваться как естественное обобщение Но(т). Сформулируем основное предложение данной главы:

Теорема 7 Пусть то, ро (см. (23)) - постоянные функции. Единственными бигамильтоновыми относительно модифицированной структуры Ли-Пуассона векторными полями вида X = ^5Но (где ,7о, Но даются формулами (22), (24)), являются гамильтоновы векторные поля, соответствующие следующему оператору "инерции ":

„_(.(!-*) а-М

У а + рд 7 !

где а, ¡3, 7, є - константы.

Таким образом, получаем втроую пуассонову структуру

и вторую функцию Гамильтона

Ні ^ ^ = ^ /(2аи2у + 2Риих'и + ^ + єи3 + еии\)сЬ,

СМ;)-

такую что X = Но = J\6H\. Полученные уравнения имеют вид

Іт( + тхи + 2тих + рчх = О Р< + (ри)х = О, где тп = єи- єихх + аи- рих, р = аи + рих +

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи построенной бигамильтоновой системы. Подставляя а = /3 = 0, є = -7 = 1, получаем систему, известную ранее:

( ггц + тхи + 2тих - ррх = 0 ^^

РІ + = О,

где тп = и — ихх. Если же мы положим є = 7 = 0, а — 0 = 1, то восстановим систему, описанную в литературе:

| (у - ух\ + {2иь - ьхи)х = 0 ^

I (и + их)4 + (и2 + иих)х = О, В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Основные результаты и выводы

Получен спектр звуковых волн, излучаемых вихревым кольцом при перезамыкании. Показано, что спектр имеет уэкополосный характер, аналогичный классическому.

Предложена модель вихревого клубка в сверхтекучей жидкости, учитывающая потери энергии при перезамыкании нитей. Получено уравнение распада вихревого клубка:

Установлены границы применимости модели и ее связи с гидродинамическими моделями турбулентности. Таким образом, модель допускает точные решения. Найдена еще одна нелинейная интегрируемая система, представляющая собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. С его помощью впервые исследованы быстрые, существенно нестационарные режимы распада турбулентности в бозе-конденсате, изучено поведение вихревого клубка при его нестационарной эволюции.

Учтено влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучены различные режимы эволюции и их связь с описанными в литературе ранее. Получено уравнение для числа перезамыканий в стационарном вихревом клубке под влиянием нормальной компоненты:

^ = V2aWnsc2c2 + V^3cf£5/2 + фт + 2bs)cs/2

При помощи модели случайного блуждания замкнутых вихревых петель изучены процессы релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию. Определены времена и законы релаксации:

N(t) = (N(0)-N*)e~* + N*,

где Nh — ~~ stci(o£2(t) обозначает стационарное число вихревых петель и Т = = 8|jjab к обозначает время релаксации для данной

модели.

• Дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик на некотором однородном пространстве полупрямого произведения групп Гейзенберга и Вирасоро. Полученные уравнения имеют вид

тщ + тпхи + 2mux + pvx = О Pt + Wx = О,

гдет = eu—euxx+av—(3vx, р = au+fiux+yv, где а, /?, 7, е-константы.

Тем самым получен ряд интегрируемых обобщений уравнения Камассы-Холма, вероятно, описывающих турбулентное движение в тонких каииллярах.

Публикации по теме диссертации

[1] Кузьмин П. А., Механизм распада турбулентного состояния в сверхтекучей жидкости и спектральные характеристики звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. N 3, 2006, с. 11-13.

[2] Кузьмин П. А., Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате,// Письма в ЖЭТФ, том 84(4), 2007, стр. 238-242.

[3] Кузьмин П. А., О двухкомпонентных обобщениях уравнения Камассы-Холма // Матем. заметки, т. 81, 2007, стр. 149452.

[4] P. Kuzmin, On the full rate of reconnection in the nonstationary vortex tangle: a master equation approach // Phys. Lett. A, vol. 362, 2007, pp. 84-85.

[5] P. Kuzmin, Exactly solvable models of nonstationary turbulence in the Bose condensate // Phys. Lett. A, vol. 372, 2008, pp. 2123-2126.

23

[6] П. А. Кузьмин, О спектральных характеристиках звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами, Сб. тезисов конф. «Ломносов-2006», секция «Физика», с. 169 170, Физический ф-т МГУ, 2006.

[7] П. А. Кузьмин, Ф. В. Шугаев, Об одной точно решаемой модели квантовой турбулентности, Сб. тезисов конф. «Ломоносовские чтения», Физический ф-т МГУ, 2007.

[8] F. Shugaev, P. Kuzmin, Nonstationary turbulence in Bose condensate, Fluxes and structures in fluids, St. Petersburg, Russia, 2007.

[9] P. Kuzmin, Exactly solvable models of nonstationary quantum turbulence, WEHSFF-2007, Moscow, November 2007.

Подписано в печать 10.09.2008 г.

Печать трафаретная

Заказ № 692 Тираж: 75 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

8154

2007518154

1 Введение

1.1 Актуальность проблемы.

1.2 Цель работы

1.3 Методы исследования.

1.4 Научная новизна.

1.5 Практическая и теоретическая ценность.

1.6 Апробация работы.

1.7 Публикации.

1.8 Структура и объем диссертации.

2 Модели турбулентности в бозе-конденсате

3 О некоторых свойствах решений уравнения Гросса-Питаевского

4 Уравнение марковской эволюции при нулевой температуре

4.1 Обзор модели Немировского

4.2 Точные решения уравнения нестационарной эволюции вихревого клубка.

5 Уравнение марковской эволюции в присутствии нормальной компоненты

6 Другие точно решаемые модели

1.1 Актуальность проблемы.

Данная работа посвящена важной и быстро развивающейся области теории сверхтекучести - теории сверхтекучей турбулентности. Теория сверхтекучей турбулентности важна для многих прикладных проблем, связанных с гелием-П. Действительно, присутствие вихревого клубка оказывает значительное воздействие на поток тепла, который не может описываться простой двухжидкостной моделью Ландау. [1] Использование гелия-П в таких проектах, как охлаждение сверхпроводящих магнитов, или в космических приложениях, требует глубоких исследований. В последние годы, ввиду использования гелия в качестве жидкости для экспериментов при очень высоких числах Рейнольдса, возобновился интерес к проблеме соотношения классической и квантовой турбулентности.

В дополнение к важности сверхтекучей турбулентности в перечисленных случаях, теория хаотического вихревого клубка в Не II представляет большой интерес с точки зрения общей физики.

Как часть теории сверхтекучести, теория сверхтекучей турбулентности тесно связана с другими областями теории сверхтекучести: теорией образования вихрей, теорией взаимодействия сближающихся вихревых нитей, с проблемой критических скоростей, и вопросом о роли, которую играют квантовые вихри в фазовых переходах. Изучение сверхтекучей турбулентности позволяет получать нестандартные решения, проливающие свет на обозначенные проблемы.

Важной задачей гидродинамики является выяснение механизма распада турбулентного состояния в сверхтекучей жидкости. При температурах Т > 1К основными факторами диссипации оказываются вязкость нормальной компоненты и взаимное трение. В случае низких (Т < 0.1 К) температур названные источники рассеяния энергии турбулентного состояния отсутствуют, так как плотность нормальной компоненты мала. Эксперимент, однако, обнаруживает не зависящую от температуры диссипацию квантовой турбулентности [2, 3]. Указана возможность распада турбулентности за счет излучения звуковых волн в акте перезамыкания вихрей (vortex reconnection) и при распространении азимутальных волн вдоль вихревых нитей. В численном эксперименте установлена средняя мощность излучения возмущенного вихревого кольца, показано образование волны разрежения при перезамыкании вихрей. До сих пор, однако, остаются неясными как механизмы возникновения звуковых волн, так и относительные вклады двух названных способов излучения в эффективную кинематическую вязкость. В связи с этим представляет интерес изучение спектральных характеристик акустических волн, излучаемых турбулентной сверхтекучей жидкостью, и динамики хаотического вихревого клубка.

1.2 Цель работы

Целью настоящей работы является изучение некоторых свойств решений уравнения Гросса-Питаевского, а также развитие предложенной Немировским модели вихревого клубка в сверхтекучем гелии. В частности, перед автором стояли следующие задачи:

• Изучение влияния уменьшения длины нити при перезамыкании вихревых петель на динамику вихревого клубка и распад турбулентного состояния;

• Установление границ применимости модели Немировского и связей с известными гидродинамическими моделями турбулентности;

• Изучение спектра звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами при их перезамыкании;

• Изучение существенно нестационарных режимов эволюции и распада вихревого клубка в сверхтекучей жидкости;

• Учет влияния нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучение различных режимов эволюции;

• Выяснение применимости модели случайного блуждания вихревых петель к изучению релаксационных процессов в вихревом клубке;

• Рассмотрение других возможных моделей турбулентности в бозе-конденсате.

7 Заключение

Перечислим основные результаты работы.

• Получен спектр звуковых волн, излучаемых вихревым кольцом при перезамыкании. Отмечено сходство с классическим случаем.

• Предложена модель вихревого клубка в сверхтекучей жидкости, учитывающая потери энергии при перезамыкании нитей. Установлены границы применимости модели и ее связи с гидродинамическими моделями турбулентности.

• В предложенной модели обнаружены точные решения. Таким образом, найдена еще одна нелинейная интегрируемая система, представляющая собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных.

• Впервые исследованы быстрые, существенно нестационарные режимы распада турбулентности в бозе-конденсате.

• Изучено поведение вихревого клубка при его нестационарной эволюции.

• Учтено влияние нормальной компоненты на эволюцию вихревого клубка, изучениы различные режимы эволюции и их связь с описанными в литературе ранее.

• Установлена неприменимость модели случайного блуждания вихревых нитей к изучению релаксационных процессов в вихревом клубке.

• При помощи модели случайного блуждания замкнутых вихревых петель изучены процессы релаксации вихревого клубка к стационарному состоянию. Определены времена и законы релаксации.

• Дана полная классификация интегрируемых инвариантных соболевских метрик на некотором однородном пространстве полу прямого произведения групп Гейзенберга и Вирасоро. Тем самым получен ряд интегрируемых обобщений уравнения Камассы-Холма, вероятно, описывающих турбулентное движение в капиллярах.

1. Е. М. Лифшиц Л. Д. Ландау. Статистическая'физика. Часть 1. М.: Наука, 1995.

2. В. V. Svistunov. Superfluid turbulence in the low-temperature limit. Phys. Rev., B52:3647, 2005.

3. S. L. Davies, P. C. Hendry, and P. V. E. McClintock. Decay of quantized vorticity in superfluid He at mK temperatures. Physica, B280:43, 2000.

4. П. А. Кузьмин. Механизм распада турбулентного состояния в сверхтекучей жидкости и спектральные характеристики звуковых волн, излучаемых вихревыми кольцами. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон., (3): 11, 2006.

5. П. А. Кузьмин. Излучение фононов вихревыми нитями и распад турбулентного состояния в бозе-конденсате. Письма в ЖЭТФ, 84:238, 2006.

6. P. A. Kuzmin. On the full rate of reconnection in the nonstationary vortex tangle: A master equation approach. Phys. Lett., A362:84, 2007.

7. P. A. Kuzmin. Two-component generalizations of the Camassa-Holm equation. Math. Notes, 81:149-152, 2007.

8. P. Kuzmin. Exactly solvable models of nonstationary turbulence in Bose-condensate. Phys. Lett., A372:2123, 2008.

9. R. P. Feynman. Application of quantum mechanics to liquid helium. In C. J. Gorter, editor, Progress in Low Temperature Physics, volume 1, page 17. North-Holland, Amsterdam, 1955.

10. W. F. Vinen. Mutual friction in a heat current in liquid helium II.1. experiments on steady heat currents. Proc. Royal Soc. London Ser. A, 240:114, 1957.

11. W. F. Vinen. Mutual friction in a heat current in liquid helium II.1.. experiments on transient effects. Proc. Royal Soc. London Ser. A, 240:128, 1957.

12. W. F. Vinen. Mutual friction in a heat current in liquid helium II.

13. I. theory of the mutual friction. Proc. Royal Soc. London Ser. A, 242:493, 1957.

14. W. F. Vinen. Mutual friction in a heat current in liquid helium II.1.. critical heat currents in wide channels. Proc. Royal Soc. London Ser. A, 243:400, 1958.

15. K. W. Schwarz. Three-dimensional vortex dynamics in superfluid 4He: Line-line and line-boundary interactions. Phys. Rev., B31:5782, 1985.

16. К. W. Schwarz. Three-dimensional vortex dynamics in superfluid AHe: Homogeneous superfluid turbulence. Phys. Rev., B38:2398, 1988.

17. T. Araki, M. Tsubota, and S. K. Nemirovskii. Energy spectrum of superfluid turbulence with no normal-fluid component. Phys. Rev. Lett., 89:145301, 2002.

18. J. Koplik and H. Levine. Vortex reconnection in superfluid helium. Phys. Rev. Lett, 71:1375, 1993.

19. M. Leadbeater, T. Winiecki, D. C. Samuels, C. F. Barenghi, and C. S. Adams. Sound emission due to superfluid vortex reconnections. Phys. Rev. Lett., 86:1410, 2001.

20. M. Leadbeater, D. C. Samuels, C. F. Barenghi, and C. S. Adams. Decay of superfluid turbulence via Kelvin-wave radiation. Phys. Rev., A67:015601, 2003.

21. V. F. Kopiev and S. A. Chernyshev. Vortex ring eigen-oscillations as a source of sound. J. Fluid Mech., 341:19, 2000.

22. M. Ю. Зайцев, В. Ф. Копьев, А. Г. Мунин, and А. А. Пото-кин. Излучение звука турбулентным вихревым кольцом. ДАН СССР, 35:1080, 1990.

23. Б. J. Copeland, Т. W. В. Kibble, and D.A. Steer. Evolution of a network of cosmic string loops. Phys. Rev., D58:043508, 1998.

24. J. Magueijoa, H. Sandvik, and D. A. Steer. Statistical physics of cosmological networks of string loops. Phys. Rev., D60:103514, 1999.

25. S. K. Nemirovskii. Evolution of a network of vortex loops in He — II: exact solution of the rate equation. Phys. Rev. Lett., 96:015301, 2006.

26. T. Winiecki and C. S. Adams. Motion of an object through a quantum fluid. Europhys. Lett., 52:257, 2000.

27. H.H. Калиткин. Численные методы. M.: Наука, 1978.

28. N. G. Berloff. Interactions of vortices with rarefaction solitary waves in a Bose-Einstein condensate and their role in the decay of superfluid turbulence. Phys. Rev., А69Ю53601, 2004.

29. D. C. Samuels and C. F. Barenghi. Vortex heating in superfluid helium at low temperatures. Phys. Rev. Lett., 81:4381, 1998.

30. W. F. Vinen. Classical character of turbulence in a quantum liquid. Phys. Rev., B61:1410, 2000.

31. W. F. Vinen and J. J. Niemela. Quantum turbulence. J. Low Temp. Phys., 516:167, 2002.

32. S. K. Nemirovskii. Reconnections of vortex loops in the turbulent superfluid Helium: Rates of the breakdown and fusion processes. Journal of Low Temperature Physics, 142:769, 2006.

33. S. K. Nemirovskii. Kinetics of a network of vortex loops in Hell and a theory of superfluid turbulence. Phys. Rev., B77:214509, 2008.

34. D. A. Steer. PhD thesis, University of London, 1997.

35. V. S. L'vov, S. V. Nazarenko, and G. E. Volovik. Energy spectra of developed superfluid turbulence. JETP Lett., 80:479, 2004.

36. G. E. Volovik. Classical and quantum regimes of the superfluid turbulence. JETP Lett., 78:1021, 2003.

37. V. S. L'vov, S. V. Nazarenko, and L. Skrbek. Energy spectra of developed turbulence in helium superfluids. nlin.CD/0606002.

38. A. P. Finne, V. B. Eltsov, R. Hanninen, N. B. Kopnin, J. Kopu, M. Krusius, M. Tsubota, and G. E. Volovik. Novel hydrodynamic phenomena in superfluid 3He. cond-mat/0606619.

39. J. R. Abo-Shaeer, C. Raman, and W. Ketterle. Formation and decay of vortex lattices in Bose-Einstein condensates at finite temperatures. Phys. Rev. Lett., 88:070409, 2002.

40. W. F. Vinen. Theory of quantum grid turbulence in superfiuid He B. Phys. Rev., B71:024513, 2005.

41. S. K. Nemirovskii. Evolution of a network of vortex loops in the turbulent superfiuid helium; Derivation of the Vinen equation. Journal of Low Temperature Physics, 148:257, 2007.

42. S. K. Nemirovskii. Gaussian model of vortex tangle in Hell. Phys. Rev., B57:5972, 1997.

43. C. F. Barenghi and D. C. Samuels. Scaling laws of vortex reconnections. J. Low Temp. Phys., 136:281, 2004.

44. Chen S., Foias C., Holm D.D., Olson E., Titi E.S., and Wynne S. The Camassa-Holm equations and turbulence. Physica, D 133:49, 1999.

45. Chen S., Foias C., Holm D.D., Olson E., Titi E.S., and Wynne S. Camassa-Holm equations as a closure model for turbulent channel and pipe flow. Phys. Rev. Lett., 81:5338 5341, 1998.

46. Camassa R. and Holm D. An integrable shallow water equation with peaked solitons. Phys. Rev. Lett., 71:1661-1664, 1993.

47. Camassa R., Holm D., and Hyman J.M. A new integrable shallow water equation. Advances in Applied Mechanics, 31:1-33, 1994.

48. Fuchssteiner B. and A.S. Fokas. Symplectic structures, their Backlund transformations and hereditary symmetries. Physica, D4:47-66, 1981.

49. Liu S-Q. and Zhang Y. Deformations of semisimple bihamiltonian structures of hydrodynamic type. J. Geom. Phys., 54:427-453, 2005.

50. Oliver P.J. and Rozenau P. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary waves having compact support. Phys. Rev., E53:1900-1906, 1996.

51. Aratyn H., Gomes J.F., and Zimerman A.H. On negative flows of the AKNS hierarchy and a class of deformations of a bihamiltonian structure of hydrodynamic type. J. Phys. A: Math. Gen., 39:10991114, 2006.

52. Falqui G. On a Camassa-Holm type equation with two dependent variables. J. Phys. A: Math. Gen., 39:327-342, 2006.

53. Ming Chen, Si-Qi Liu, and Youjin Zhang. A two-component generalization of the Camassa-Holm equation and its solutions. Lett. Math. Phys., 75:1-15, 2006.

54. Kirillov A.A. Infinite dimensional Lie groups: Their orbits, invariants and representations. The geometry of moments. Led. Notes in Math., 970:101-123, 1982.

55. Marcel P., Ovsienko V., and Roger C. Extensions of the Virasoro and Neveu-Schwarz algebras and generalized Sturm-Liouville operators. Lett. Math. Phys., 40:31-39, 1997.

56. Ovsienko V.Yu. and Roger C. Extension of Virasoro group and Virasoro algebra by modules of tensor densities on S1. Fund. Anal. Appl., 31, 1996.

57. Arbarello E., De Concini C., Kac V.G., and Procesi C. Moduli spaces of curves and representation theory. Commun. Math. Phys., 117:1-36, 1988.