Классификационные задачи в теории модулярных представлений групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

р Київський національний університет - ->' ‘

, г.ч імені Тараса Шевченка

\Лг'

г Г- '

Вондарепко Віталій Михайлович

УДІ< 512.547

КЛАСИФІКАЦІЙНІ ЗАДАЧІ В ТЕОРІЇ МОДУЛЯРІШХ ЗОБРАЖЕНЬ ГРУП

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового дтуненя

Київ - 2000

Дисертацією є рукошіс

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Офіційні опоненти:

доктор фіоико-математичних наук, професор ГУдівок Петро Михайлович,

Ужгородський державний університеті оавідувач кафедри алгебри

доктор фіоико-математичних наук, професор Кириченко Володимир Васильович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, оавідувач кафедри геометрії

доктор фіоико-математичних наук,

академік АН Молдови Рябухін Юрій Михайлович,

Інститут математики АН Молдови,

провідний науковий співробітник

Провідна установа

Львівський державний університет імені Івана Франка, кафедра алгебри і топології

•Захист відбудеться 1і

й£’_о±_

. 200_ р. о 14.00 годині на оасідаш спеціалізованої вченої ради Д2б.001.18 Київського національного універсі; тету імені Тараса Шевченка оа адресою: 03127, м. Київ-127, проспект икадеміка Глугикова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національног університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимхірська. 58).

Автореферат ропігланий “ V /’ 2000 р.

Вчений секретар споціал’пованої вченої рад» _____ А. П. Петравчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена розв'язку класифікаційних -)іідач теорії мидуллрнпх зображень скінченнях груп, а також класифікаційних зіі-дач лінійної алгебри, що виникають в процесі досліджень. Отримані ре оультатн застосовуються в теоріях зображень інших об'єктів (сшічєпію-вимірних алгебр, орієнтовних графів, частково впорядкованих і>:ноліпн) і для детального дослідження операторів, що діють и градуйованих векторних просторах. ■

Актуальність темп. Класифікаційні задачі теорії ^ображень та лінійної алгебри виникають п самих ріпних ситуаціях. Добре відомі широкі застосування нормальної форми Жордана і канонічної'форми Кронекера-Веіїсрштрасса (для пучка матриць). Інтерес до таких задач сильно шіріс в зв’яоьу'о розвитком теорії модуляршїх і цілочислових зображень груп.

. Добре відомо, що опис медулярних зображені» групи С над полем к (тобто тоді, коли характеристика р поля к ділить порядок групи) зводиться до аналогічної задачі для її силовської р-підгрупн. Циклічна р-група мас (з точністю до еквівалентності) скінченне число нерозкладних зображень, які описуються тривіальним чином; довільна иещіклічна р-груиа мас вже (над полем характеристики р) нескінченне число нерозкладних зображень.

Першим прикладом класифікації зображень нециклічної р-групн над полем характеристики р була отримана в 1961 р. 0. А. Башевпм1 класифікація зображень групи (2,2), яка легко звелася до задачі про пучок матриць. Після цього серед спеціалістів з теорії зображень панувала дамка, іцо і для інших р-груп медулярні зображення можна описати. Проте пізніше вияснилося, що а більшості випадків це ке так, бо задача про опис зображень містить в собі класичну нерозв’язану задачу лінійної алгебри про канонічну' форму пари операторів, що діють в екшченішвимірному зекторнсму просторі (пізніше такі задачі були названі дикими, а решта :........... ручнш їй2,ї).

А саме в 1963 р. С. А. Кругляк4 довів, що дикою с задача про опис моду-■дярнпх зображень групи (р,р) при р ф 2 (а значить і довільної скінченної нецихлічшп р-групн нри р ф 2). В 1970 р. 1І1. Бреннер5 довела, що дикими

'Пгіікв І). А. Предетзв-ікмії'.й гр>ш*и Хч х в ш>.іе х&рахгерипнки І' // ДАН СССР - ЇІНіІ - /II -

выи. 5. * С* 1015- ЮІЙ.

3ГХ"ШУап Р., КіеіьІіїЬ Ы. Н. 5>_>піс суісі^ис' Гог мі ехичізіосі ої іЦе Ііг&и*г-’ЇЬіаИ ступ-щг*- // ГогьґЬия^аЬегеісЬ. ТЬеог. М?їЬ.(Ноти<). • 1973. - 40. • Р ‘Л-‘2іЗ.

’іІрсхздЮ. А. О річних 4л д*ких матричних о здачах // Матри’Ш*: і>-.дачк Кг-ов Ни ; м«'нмлпи« АН УССР. -.1977. - С. 104*114

■’Кругілї С. А. О предпаЕ-’Кгн.ййх і}^паи {р:р) инд харагг :р*!ггмїь р // ДАІІ (Н - 1°і;Х •

153. - еііц * - С. 1»І2Є5. ' . -

’’Ргиин-г Я. МоМаг герп'.чекіаііі'пз оГр-ргоирв // J. - ІЬ'Ги * N і ,.г“-

е задачі про опис модулглних зображень груп (2,2,2) і (2,4), а значить і довільної нециклічної 2-rpyrni G, такої, іцо GjG' ^ (2,21 (G1 — комутакт групи G). І, таким чином, надіятися на класифікацію модулярішх зображень (нециклічних) р-груп можна було тільки при р = 2 і лише для Груп, фактор .рупа по комутанту для яких ізоморфна групі (2,2). Такі групи, як добре відомо, вичерпуються наступними трьома нескінченними серіями

2-групп: , '

діедральні групи

Dm =< х, у\х* = ут> .=> 1, ух ~ ху~1 > (•« > 1);

кваоідіедральні групи

Qm =< х,у\х2 = у2" — 1,ух ~ху1",'і~1 > (гп ^ 3);

узагальнені групи кватерніонів '

. Нт=<х,у\уіП = l,x%-ут"\ух=ху~х > {т^2).

Наступний, після В. А. Валіева, результат про повну класифікацію мо-дулярних оображень р-груп був отриманий більш ніж через 10 років автором6 і (незалежно) К. Рінгелем7. А саме, були описані модулярні зображення всіх діедральних групп Dn. Вказані результати є наслідком розв’язання (тими ж авторами) задачі про опис зображень вільного добутку двох циклічних груп другого порядку над полем характеристики 2, яка, в свою Чергу, є наслідком розв’язання задачі про класифікацію (з точністю до подібності) пар матриць над полем довільної характеристики, рівних в квадраті нулю. При розгляді, останньої задачі К. Рінгель використав метод, запропонований І. М. Гельфандом і В. А. Пономарьовим8, а автор ввів і розв’язав деякий клас матричних задач з одним співвідношенням.

В дисертаційній роботі повністю описуються модулярні зображення ква-зідіедральних груп Qm\ звідки випливає, що групи Нт є також ручними.

Класифікаційні задачі лінійної алгебри широко застосовуються в теорії цілочислових зображень груп. Розв’язана А. В. Ройтером9 задача про опис цілочи^тових зображення Циклічної групп 1-го порядку (пер"чш результат ■ для груп непростого порядку) — це по суті задача про приведення трьох матриць одночасними перетвореннями рядків і незалежними перетворен-.

6Бопдаренко В. М. Представления диэдральныхгрупп надполем характеристики 2 // Мат. сб. -1975. -96. - чип. I. - С. 63-74. ' ,

TRingeI С. The indecomposable.representations of dihedral 2-group» // Math. Ann. - І975. - 214. - N 1. -P. 19-34. *

®1Ъльфапд И. М., Пономарьов В. А. Неразложимые представления группы Лоренца // Успехи мат. наук. - 1968 . - 23. - вып. 2. - С. 3-60.

®Гойтер А. В. О представлениях‘циклической группы 4-го порядка целочисленными матрицами // Вестник Ленинград, ун-та. - I960 - 19. - С. 58-78. .

нами стовпців. При описанні Л. О. Назаровою10 цілочислових зображень групи (2,2) виникає задача про приведення чотирьох матриць такими ж са-. мини перетвореннями, яка незалежно розв’язана Г. М. Гельфандом та В. О. Псномарьовим11. Пізніше А. В. Яковлев12 звів задачу про опис 2-адичних зображень циклічної групи 8-го порядку до деякої матричної задачі, яка виявилася ручно»13 (як відмічено в останній роботі, цей факт доведено також учнем А. В. Яковлева Ассаром). П. М. Гудівком14 показано, що скінченна р-група, яка має нескінченне число нерозкладних р-адичних зображень, є дикою в усіх випадках, за виключенням нєциклічіі<л' групи 4-го порядку і циклічної групп 8-го порядку (р-групи зі скін'- нним,числом нерозкладних зображень вичерпуються циклічними групами порядку р і р2 15'16).

Те ж саме можна сказати про задачі, зв’язані з описом зображень деакиз? класів кілець, що розглядалися в працях Ю. А. Дрозда, В. В. Кириченка,

A. В. Ройтера, X. Якобінського'та ія.

Крім окремих класифікаційних задач лінійної алгебри, при вивченні зображень різних об’єктів виникають цілі класи (схожих одна на одн}') матричних задач, які досліджуються одночасно (вказується деякий алгоритм, який дозволяє кожну із .конкретних матриць авести до нової матриці, і-Тг належить цьому ж класу, але вже має меншу розмірність). Вказаний метод вперше застосовується в процесі дослідження модулів над діадою двох локальних дедекіндових кілець17. Цей результат був використаний автором18 для класифікації взаємно анулюючих пар матриць (див. §5), яі.-ч — рапір» але більш складним .методом — була отримана І. М. Гельфандом і>

B. А. Пономарьовим8. . . .

Суттєве узагальнення цього класу матричних задач виникає при роз-

10Назарова Л. А. Целочислешше представления четверної! руппы // ДАН СССР, - 1961. - 140. - N 5.

C. 1011-1014. . . . . .

IlGelfand І. М., Ponomarev V. A. Problem of linear algebra and classification of quaduples of sulxspacbs iu

a finite dimensional vector-space // liilbert space operators {Co)i. Math. Soc. J. Bolyai). - Tihaiiy (llMngary).

- 1970.

^Яковлев А. В. Классификация 2-адических представлений циклической группы восьмого порадка '/ Зап. науч. семинаров ЛОМИ, - 1972. - 28. - С. 93-129.

13Наоароьа Л. А., Ройтер А. В. ОС \ной оадаче И. М. Гельфанда // Функц. анализ и его пршкхе 1973. - 7. - вып. 4. - С. 54-69. . .

І4ГУдивок Ї7. М. О модулярных и целочисленных представлениях конечных групп СССР. - і ІЖ

214. - N 5. - 993-996. '

18Берман С. Д., ГУдивок П. М. О цеіючисДекних аредста1 ниях конечних груї //ДАН СССР. * 1%2 145. - вып. б. - С. 1199-1201.

l6Hellet A.,-Reiner I, И. Representations of cyclic groups in rings of integrals, I // Aiiii. Math. - 19(i‘?

78. - P. 73-92; 1963. % 77. - P. 3I8-32S.

17Наоарова Л. А., Ройтер А. В. Конечиопорожденные модули над диадой двух m л«.ных дедекиндевих колец и конечные группы, обладающие абелевым нормальным делителем индекса ). // И ЛИ ('ССР. -1969. - 33. - вып. І. - С.-65-89. » ■

18Наа?.рова Л. А.» Ройтер А. В., Сергейчук В. В., Бондаренко В. М. Применение модулей над О

для классификации конечных р-груїт, обладающих абелелоп подгр\ пои индекса р, и пар впаимцо ани* лирующих операторов // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1972 - 28. - 1972. - С 69 92.

гляді задачі про цілочислові зображення циклічної груші 8-го порядку *2. і задачі, лсісгаидегмї І. М. Гельфандолі'9 па Міжіюрпднол»у математичному конгресі п Ніице в оа’язку з класифікацією модулів Хяриш-Чаидри дія групи 5\£,(2,Л)1$ В останній роботі доведено, що введені задачі с ручними; звідси випливає, шо задача 1. М. Гсльфаида с також ручкою. В дисертації отримано повнії і: розв'язок (в явному вигляді) матричних задач іп вказаного клясу, а також деяких їх уаагальнень {які автор назва» иображеянами в’язок напівлаицюгів). Цеп результат використовується'для отримання мовного розв’язку задачі І. М. Гельфанда та її, введеного автором, узагальнення; при деяких обмеженнях на поле задачі подібного типу розглядалися також іншим» авторами

Подальший розпиток клапїфікаціішнх задач лінійної алгебри зв'язаний із введенням Л. О. Иазаровоіо і А. В. Роіїторо?.і2‘?ї;і зображень частково впорядкованих ми'іжпн (з різними додатковими структурами) і введенням II. Габріелсм84 зображень орієнтовних графів -Зображення таких об'єктів виникають в різних областях алгебра: ні питання шісиітлені- в багатьох статтях і ряд: монографій54-19'27. Для всіх редуктивних груп Лі доведена принципова можливість зведений задач про класифікацію модулів Харіш-Чандіри до зображень орієнтовних графів зі співвідношеннями/9 В ряді робіт розглядаються означення і властивості більш широких класів задач.

Основними результатами. що зв'язані з класифікацією зображень частково впорядкованих (скорочено - ч. в.) множин без додаткових структур,

о наступні: .

а) опис ч. в. множші скінченного типу23;

1 ’ОІГапіі і М ТЬ. і'оЬотС'И'^) оГ Ьіе Ьга»: яо№" «; !► ^ ісь* 'її М ^сопу-их //

Асігз <1и Сопііте Ьі?г;гпяйолаІ М^іі^тлігіяп. - уоГ І. - * 1Р70 • Г Р->П 1

7<7Хоїх?Т*;> Кїі с. м. ІГ-рал;к.'ЖИМЬЛГ Пре.-УТЧІМгЧіНа групп // Фчмиї. ЙІГ’йк'І П СГ РфКЛ»Ж. '

10»І. - І5 - *чп. 2, - Г. 50-ПО.

’,І('гггй1су-П<^\'еу \У, \У. ї'итіпгій! Р.іігрііпп. !ї: іїяіт? впгі О^ІОїпгі ргоЬІгп- // Л Іхтіол МмЬ 5*0' -Ш9. - 40. - Р.

2?Нл.чл{:ов<і Л А , Рскггр А. Я. Пр'ДСї аіо'лгм ч^тична уп?-р.«лі>чпт*іх чно:и*гім // ')*п яауч. семпнаров ЛОМИ -1372 - 23. - Г. 5-31. . -

.1, Л , Р'диср Л В КмТРісір'гіК? иат^ичнм* оллачи я іі^ч^л^мх |>рпуфч-Треллл ■ К.: (РТЗ * 99 г. (Препр / ДІЇ Уіраивм ИіМ м*»темпи«и. 7Л.0)

'14ОаЬгіг1 Р. і.‘пге?!г§І>цге Шг^гІіуп^гп. і // Мали*. МаїЬ. - 1977. - 5. • N 1. ■ ї*. 71-І0.Ї.

>3Лрс«д Ю. А., Киги !»’п*л 0 П. Ьон^чиолі/рн»л' ллгг^рм. - К.: пп'*л<-Г. Н»0 - |Р0 с .

(’• М. Там»1 ЛІ£>.Ьгл* ап<1 (^и&ігаїіс Гонг.» - ІлчСпл» іп Мз!Ь«*піїН ■* - 109У. -

ЙргіпцсїЛ’ргічр. 19»4. - 37і‘» р. . .

?Ч»аЬгір! І’, Воі^г Л V ПАі*г<««*пІаІ’ОП?. оГ йпіте-Иігл^пвіотІ аі^’Ьтяч. - 1 г>< уНора><ч!і*і оГ МгИЬ. 5ч-і (Л!<И>г* УМ)) - 73. - Ярпіі5і»ІЛ>гІА6. 1!й»? - 177 р. ‘

заї^ї;'Моіп І N . <;НГлг<!І І. М . ОІО.М Б. Віп’гіигс 1оглІ<* сіс Ь гаїг^огм* «і*4* гп'нЬіЬ-?» НагічЬ < 1і*»*(5г* // Г. Н Л'а,ї Чсі Сіігі'. - ІЗ'Л. ЬГЛ 2т, - N 10. - г. *П!И37: . л Мі N II - Р. 49У-ІРГ

2уК:г*’йи»'р М. М. Чл- ^ично утфл.чо^^нпьір мііоаіч т кс?і-мр.г-..* іяпг» /. Мпг; !і\> ч грм**м*г«>л ЛОМИ -ІУГ'2 • 2К. - С УІ^\

б) опис точних ч. в. множин скінченного типу і їх зображень30;

• в). опис ч. в. множин ручного типу31; ■

г) опис однопараметричішх ч. в. мнолшіі і їх зображень32;

• д, опис ч. в. множин скінченного росту00;

е) опис точних ч. в. множин скінченного росту і їх зображень м.

В дисертаційній роботі описуються точні частково впорядковані множини нескінченного росту і вивчається структура їх ообрг ень; цей результат завершує повний опис точних ручних часткова впорядкованих множин. , . . • ' ,

Зображенням орієнтовних графів прпсвячен - дуже багато робіт. Це зв’язало, зокрема, з тим, що коли розглядати зображення графів, наклавши на них деякі співвідношення (що задаються орієнтовними шляхами на графі

і їх лінійними комбінаціями), то отриманий клас задач містить d собі по суті задачу про зображення довільної скінчсшювимірної алгебри. На сучасному етапі розвитку теорії зображень (скінченновнмірш) алгебри трактуються саме таким чином. Для орієнтовних графів без співвідношення всі класифікаційні питання розв’язані — як відносно графів скінченного типу 35,36, так і ручних графів37,33. -Відмітимо, шо задача І. М. Гельфанда, про яку йшла мова вище, також природним чином формулюється в термінах зображень графів. •

Таким чином, при вивченні молулярішх і ц^чисдових зображень груп, зображень асоціативних алгебр, алгебр Лі і таке інше виникаю’! * класифікаційні задачі лінійної алгебри (часто одна і та ж задача — в різних ситуаціях), які розвиваючись, вже незалежно від початкових оадач, знаходить нові застосування п різних областях алгебри і функціонального аналізу, і особливо в теоріях зображень (класичних і г класичних) об’єктів.

30Клси«ер М, М. О точных представлениях, частично упорядоченных множеств исшёчною типа // Пли. науч. семинаров ЛОМИ. ■: 1972. - 28. - С. 42-59.

31Назарова Л. А. Частично упорядоченные множества бесконечного типі // 1Ьв АН (ЧТР 1У75 39. - N 5: - С. 963-991. .

З20трашсвск&я В. В. О представлениях однопараметрцческих частично упорядоченных множеств // Матричные оадачи. - Киев: Нн-т матем нки АН УССР. - 1977. - С. 114-149.

.33Завадский А. Г., Назарова Л. А. Частично упорядоченные множества конечною роет // <t') і анализн его прилож. - 1982. - 19. - вып. 2. - С. 21-29. ..

• зч3авадсжни Л Г. Алгоритм дифференцирования и классификация представлений // Нор. АН С( ‘Cl*.

1991. - 55. - N 5. - С. 1007-1048. -

• 35Gabrie\ P. Representations indccomposables dee ensembles «жіогтеа fj Sem. Duuieil Alge-Ьгл 2t)-rj*nne.

1972-73,-expose 13. -Sec. Mat[i. - Paris.1973. - P. 51-Є0. ' J

зе Бернштейн И. II., Пгльфанд И. М., Пономарев В. А. Функторы Кокстера и теорема І'абриеля // Успехи мат. наук, - 1973. - 28.*- N 2. - С. 9-34. . '

37DonovanP., Freislich М. R. The representation theory of finite graphs and associated ngehf;^ // Caileton Lecture Notes. - 1973. - N 5.. - P. 3-86. , ,

38Наоарова Л. А. Представления колчаков бесконечною типа // Пав. АН (’Р. - 1973. - 37 N -1 С. 752-7У1. ’ ■ ■

Дисертаційна робота : рисвячена подальшому розвитку класифікаційної частини теорії модулярних оображень груп, узагальненню старих і постановці нових класифікаційних задач, їх г ’зв’яоанню та застосуванню.

Зв’яоок роботи о науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації ов’яоана о дослідженнями по теорії оображень і теорії матричних оадач, які проводяться в Інституті математики НАН України протягом багатьох років. Автор брав активну участь в цих дослідженнях і, оокрема, в дослідженнях відділу алгебри оа 1996-2000 рр. по темі: “Категорно-матрнчні та гомологічні методи в теорії оображень та теорія груп”(номер державної реєстрації 0198ТЛЮ1999). .

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є отримання критерия ручності довільної скінченної групи над довільним полем і розв'язання класифікаційних задач теорії модулярних зображень, що виникають при цьому, шляхом зведення їх до класифікаційних задач лінійної алгебри; узагальнення задач лінійної алгебри, які виникають в процесі дослідження, і розвинення відповідних методів їх розв’язання (як тих, що належать автору, так і інших); застосування отриманих результатів в теоріях оображень локаг них алгебр, орієнтовних графів і частково впорядкованих мно-жг і та д*ія вивчення лінійних операторів, що діють в скінченновимірних градуйованих векторних просторах.

Наукова новизна. В дисертації автором отримані нові теоретичні результати, головними із яких є наступні:

« Описано всі скінченні групи, задача про опис зображень яких над полем Характеристики р > 0 є ручною.

• Отримано повну класифікацію модулярних зображень квазідіедраль-

них груп. . .

• Для кожного натурального числа п отримано повну класифікацію пар

матриць А, В, що задовольняють рівності А2 = Вг = 0, В2 = (АВ)пА (знайдено канонічну форму). '

• Отримано повну класифікацію нерозкладних оображень довільної в’язки иаіг “ишщюгів. ‘ ’ -

о Отримано в явному вигляді розв’язок відомої задачі І. М. Гельфанда та її узагальнення (над полем довільної характеристики). • .

• Описано точні частково впорядковані множини нескінченного росту та вивчено структуру їх нерозкладних оображень.

• Для лінійних операторів, що діють в-скінченновимірному векторному просторі, проградуйованому за допомогою частково впорядкованої множини з інволюцією 5 (зокрема, в фільтрованому просторі), і довільного фіксованого мінімального многочлена / = /(£) описано випадки скінчен-

ного та нескінченного типів, скінченного а нескінченного росту, ручного та дикого типів. . . ,

Всі перераховані результати отримані автором особисто.

Практичне значення одержапих реоультатів. Результати роботи, які зв’язані безпосередньо з медулярними зображеннями скінченних груп, мають теоретичний характер і можуть знайти застосування в близьких розділах сучасної алгебри. Решта класифікаційних задач, позв’язаних автором і викладених В дисертаційній роботі, можуть бути використані в теоріях зображень асоціативних алгебр, алгебр Лі, орієнтовних графів, тощо. Результати, зв’язані з дослідженням операторів, що діють в градуйованих векторних просторах, можуть знайти застосування в самих різних розділах математики.

Апробація реоультатів дисертації.

Результати дисертаційної роботи оприлюднено:

на П’ятому Всесоюзному симпозіумі о теорії-груп (м. Краснодар, 1976 р.), на XVIII Всесоюзній алгебраїчній конференції (м. Кншиньов, 1985 р.) на міжнародній конференції з алгебри, присвяченій пам’яті О. І. Мальцева (м. Новосибірськ, }989 р.),

на VI симпозіумі з теорії кілець, алгебр та модулів (м. Львів, 1990 р.;,

• на міжнародній конференції з алгебри, присвяченій 'Пам’яті А. І. Ширшова (м. Барнаул, 1991 р.), '

на міжнародній конференції з теорії зображень та комп’юттної алгебри (м. Київ, 1997 р.), .

на міжнародній конференції о теорії зображень алгебр (м. Білефельд, Німеччина, 1998 р.),

на Другій міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті Л. А. Калужніна (м. Київ - м. Вінниця, 1і^9 р.),

на Третій міжнародній конференції “Симетрія в нелінійній математичній фізиці ” (м. Київ, 1999 р.) . .

Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на ллгебраЬі ному семінарі Ужгородськ "о університету (1977, 1983 і 1995 роки), на ал гебраїчному семінарі Інституту математики НАЦ України (протягом І .7 2000 рокіь), на алгебраїчному семінарі Київського університету ім. Тараса Шевченка (1999 і 2000 роки), а алгебраїчної у семінарі університету міста Білефельд (Німеччина, 1999 рік) та на алгебраїчному семінарі університету міста Падерборн (Німеччина, 1999 рік). ,

Публікації. Результати дисертації опубліковані в праця- [) 35]. .V виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, и друкована 21 етап и: [1-3, 5, б, 8-12. 15-20, 22-26] (з них 17 — особг ті роботи автора).

Особистий вгесок "добувача. Усі результати дисертаційної роботи (примані автором самостійно. Зі спільник робіт на аахіи._ виносяться лише результати, отримані автором особисто. У статті [1] автору особисто належать всі результати, за винятком тверджень 1-3; у статті [2] автору особис і належать результати §§2, 3 (лема 2.1 і твердження 2.2, 3.1 разом

0 наслідками); у статті [G] автору особисто належать .твердження 2 і леми 5-7; у статті [9] автору особисто належать результати §4 і леми 5-7.

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається

01 вступу, шести розділів, висновків і списку використаних джерел, який

займає 13 сторінок і містить 111 найменувань. Загальний обсяг роботи 310 сторінок. .

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертації обгрунтована актуальність тематики, визначено мсту та задачі дослідження, подано огляд літератури, близької до теми досліджень автора, і коротко викладені зміст дисертації та методи досліджень.' ■ ■

V першому розділі дисертації формулюються теореми, що повністю описують ручні скінченні групи над довільним полем характеристики р > 0.

Як відомо, при р ф 2 довільна скінченна р-група є дикою над полем характеристики р > 0. При р — 2 ручні групи описуються наступною теоремою. .

Теорема 1.1. Нациклічна скінченна 2-група G є ручною над полем k характеристики 2 тоді і лише тоді, коли (G : G') = 4.

Через G' позначається, як.овичайно, комутант групи G.

Ручні групи довільного порядку над полем характеристики р > 0 описуються такою теоремою. • '

Теорема 1.2. Скінченна група G є ручною над полем k характеристики р тоді і лише тоді, коди довільна її абелеоа р-підгрупа порядку більше 4 — циклічна. • - ■

Відмітимо, що в це твердження формально можна включити і випадок р — 0, якщо за силовську 0-підгрупу вважати одиничну підгрупу. .

Ці два критерії є головними результатами дисертаційної роботи. З ними в тій чи іншій мірі зв’язані всі інші результати дисертації (з точки зору методів досліджень, які належать автору,-і класифікаційних задач лінійної алгебри, які виникають в процесі досліджень).

У цьому ж розділі доведення сформульованих теорем зводиться до питания про ручкість квазідіедральних груп над полем характеристики 2.

" Опишемо схему доведення ручності квазідіедральннх груп.

1-Я крок. Оскільки групова алгебра к<Зт е локальною і кпазіфробеніу-соііоіч, то замість неї можна розглядати фактор-алгебру по цоколю к(},пЦ (“втративши” при цьому лише одне нерозкладне, а саме регулярне, зображення), яка ізоморфна алгебрі Л„ = (а, Ь | а3 = І), Ь2 = 0,<і2 = (Ьа)"Ь) при п = 2”1-1 — 1. іншими словами, виникає задача про класифікацію пар матриць Д, В (над полем характеристики 2), які задовольняють такі рівності: А3 = 0,В2 = 0, А2 = (ВА)" В при п = 2т~1 - 1.

2-й крок. Позначимо через 5.= (Л, *) наступну частково впорядковану множину з інволюцією: елементами А є числа —п — 1, ~п,... , — 1, —0, -4-0,1,

... ,п,п 4- 1, де -0^ +0, з природною впорядкованістю (при цьому -і < ±0 < j для > 0, а —0 і +0 — єдина пара гопорівняльних елементів) і і* — -і при * ф ±0, (±0)’ = ±0.

Сформульована задача про пару матриць розглядається для довільного поля і для довільного натурального числа п. • Вона зводиться до задачі про блокову матрицю В = (А,-), і, І Є А (з квадратними діагональними клітинами), рівну в квадраті нулю, за допомогою перетворень подібності спеціального вигляду: .

1) можна робити довільне елементарне пере лорення одночасно з рядками всіх горизонтальних смуг, номери яких належать''множнні {і,і*}, де

і Є А, але прн цьому оі стовпцями дуальних вертикальних смуг (тобто смуг

з тими ж номерами) треба зробити обернене перетворення; ’

2) якщо і < 7, де і, і Є А, то рядки і-ї горизонтальної смуги, помножені на елементи а Є к, можна додавати до рядків горизонтальної смуги, але при цьому кожного ралу з дуальними стовпцями потрібно зробити обернене перетворення.

3-й крок. Отримана на другому кроці задача узагальнюється, а саме за

А береться довільна частково впорядкована множина, кожний елемент якої негіорівняльний не більше, ніж з одним елементом, а за * — таку інволюцію, яка може діяти нетривіальним чином лише на точках, що порівняльні и усіма іншими точками (такі множини Б називаються *-напівланшо :амн). Доводиться, що ця задача є ручною. ■ .

Перший і другий кроки розглядаються в розділі І дисертації, а троііі

— в розділі 3.

У розділі 3, крім завершення доведення критеріїв ручності скінченні)! групи над полем ненульової характеристики, повністю описую ться нерозкладні зображення алгебри Л„ над довільним по м (а значить і модуляр них зображень квазідіедральннх'груп). При цьому суттєво використовуються результати розділу 2, в якому повністю описані зображення допілі.

їй)) в'язки напівл щюгів (історія виникнення задач такого тану викладена тііце). '

Зупинимося більт детально на викладених в розділах 2 і.З результатах.

У розділі 2 дисертації розглядається наступний клас класифікаційних надач. Нагадаємо що напівланцюг — це частково впорядкована множина V, кожний елемент якої непорівняльний не більше, ніж о одним елементом;

• \г Гг1

тоді X однозначно представляється у вигляді и Х^ де кожна підмножина

»=і

V; (яка називається компонентою напівланцюга) складається іо однієї або іох ненорівняльних між собою точок і Хі < А'г < • ■ • < Хт (тобто хі <

Хі ■ ■ ■ < Хт ДЛЯ ДОВІЛЬНИХ Хі Є Хі). ■

І)‘язкою ш>"івяанцюгів Лі,... ,Вп назвемо пару 5 = (5,<г),

це а — деяка інволюція на множині 5о = ( и Л;) и ( и Д), така, що ха = х

■ І=1 4=1

ДЛЯ ДОВІЛЬНОГО X ІЗ двоелемектної КОМПОН ‘НТИ.

Зображенням в'язки 5 = (5, а) над полем к нарвемо набір блокових матриць V = , (/„} о коордиатами іо к, такий, що горизонтальні і

вертикальні смуги матриці £/,(1 < і < п) занумеровані відповідно елементами 'апівланцюгів Аі і І?,, і при цьому число рядків чи стовпців в смузі з номером х Є АіііВі ;в залежності від того х Є Аі чи х Є В,) дорівнює числу рядків чи стовпців в смузі о номером у Є А] и £?;-, якщо х” — у. Розмір- " пістю зображення II = {\1;... , [/„} назвемо суму числа рядків і стовпців ' усіх матриць (7,-. Два зображення І/ і V назвемо еквівалентними, якщо одне о них може бути отриманим з іншого оа допомогою таких перетворень: по-перше, в смугах о номерами х і х° можна робити, одночасно, довільні елементарні перетворення (однакові, якщо обидві смуги горизонтальні або вертикальні, і взаємно обернені, ікщо одна із смуг горизонтальна, а інша кортикальна), і, по друге, при х < у в /1; (відповідно в В,), то рядки (відповідно стовпці) смуги (матриці Щ о номером х можна добавляти до рядків смуги о номером у.

В дисертаційній роботі отримана повна класифікація (а точністю до еквівалентності) нерозкладних зображень довільної в’язки напівланцюгів. При. цьому канонічні зображення задаються в явній і інваріантній (без ” відбитків" па відповіді в тій чи іншій мірі методу доведення) формі. Відмітимо, що в сучасних працях, при розгляді зображень різних об’єктів, ці умови виконуються далеко не завжди; це, зокрема, викликано тим, що часто на перше місце в дослідженнях різних авторів виступає не класифікація зо бра? жень, а обчислення категорії зображень, що дозволяє переходити до еквівалентних категорій, і навіть якщо “нова” задача повністю розв’язується, то питання про побудову функтора із ’’нової” задачі в задачу задану не

розглядається. При цьому часто природного функтора і не .. нуе. Іншими словами, розв’язується по суті більш слабка, хоча і еквівалентна о точки . зору теорії категорій, класифікаційна задача.

0 розділі 2 розглядаються також інші, зп’пзані о побра.копиями в’яиок напіплапцюгів, питання — про опис зображень з умовами невироджеиості, про в'язки скінченного типу і скінченного росту; розглядаються також деякі узагальнення зображень в’язок напівланцюгів, що виникають на практиці. ■

Отримані в розділі 2 результати використовуються в подальших розділах дисертації.

У розділі 3 отримана повна класифікація зображень локальної алгебри Л„ =< 1, (і, 6|а3 г= Ь2 = 0, а2 = (Ьа)пЬ > {п ^ 1) гад довільним полем к. Як уже було сказано, звідси випливає класифікація зображень хшізідіедральішх групп і: д полем характеристики 2.

Перш ніж перейти до опису нерозкладних зображень алгебри Л„, вкажемо їх інваріанти.

Гї)аф С\ для ребер якого задана орієнтація /і : С\ —> Со х Со, позначаємо через С(1 (С'о і Сі — відповідно множшіа вершин і ребер графа ). У нашому випадку неоріентовнпй граф С буде ланцюгом аі -і циклом з ш ) І вершинами, а /< — деякою орієнтацію С. Для простоти термінології відповідний граф С(, також будемо називати ланцюгом або циклом (в кожному конкретному випадку буде ясно, розглядається неорієнтовшій чи орієнтовний гра ’ V Вершини ланцюга (відповідно цикла) довжини т будемо позначати символами і, 2,.. • , т (вершини с,- і с,+і — сусідні); індекси для цикла завджи розглядаються по модулю т.

Якщо в множині {с),сш} кінців ланцюга С^ виділена деяка підмиожіша М, то кінець Сі, який належить "М, будемо називати відміченим, а пару (Ср,М) — ланцюгом о відміченими кінцями (випадок М — 0 не виключається).

Зіставимо ланцюгу (відповідно циклу) С,, послідовність /і^, /і2з, ... , /<т_і,ш

(ВІДПОВІДНО /1)2, • ■ • ,/іт-1,т,/<ті), Де /Ч,Ш ~ 1, ЯКЩО /і(і,',і + і) = (с.',<',Чі)- >

/'і.і+1 — -1, якщо /<(/і,і+.і) = (с1+і),сі); будемо позначати її через /І (для ланцюга, що складається із однієї точки, Д ~ 0; для циклів із однієї точки С,, і зі стрілками, направленими відповідно оа і проти годинникової стрілки, покладемо Т‘ = (Мп) і V- (*Лі), Де ІЧі = 1 і і/п = -1).

Ланцюги (відповідно цикли) С^ і Ои вважаються рівними тоді і лшіч тоді, коли /7 = V. Якщо С\, — ланцюг (відповідно .ікл), то через С* будемо позначати ланцюг (відповідно цикл) С,;., де /Г = ( — /(,п-1,>л, —/<т-2,т-ь • • ■ ,

- /Іі2) (відповідно /Г = (-//тЬ-^ш-і.т,.--,-^и))' Ланцюг, ЯКИЙ <прі(

мується із ланці ів С(1 і Д ототожненням правої вершини і лівої вершини Д,, будемо позначати через С^Д; якщо С,, — цикл, то через С,,(р) (/' - ціле число) позначається цикл Д, для якого V = (^р+і,р+2, /ір+2,р+зі • • • ,

/Ірітріт+і)- .

Нехай в — натуральне число і 2(-«,«) — {—«, —« 4-1,... ,0,1,... ,в}. Назвемо в-ланцюгом (відповідно ї-циклом) пару (С(І, /), де — ланцюг (відповідно цикл) і / — функція, яка оіставляє кожній вершині с,- Є Со число /і = /(сі) Є 2(—в, ,і). Трійку (СР,Л/, /) назвемо з-лапцюгом о підміченими чіиями, якщо (С(|, /) —ланцюг з підміченими кінцями і функція / : Со —>■ £(*-«, в) приймає на М нульові значення. Якщо Л = (С/п А/, /) — я-ланшог її відміченими кінцями, то дуальним до А назвемо «-ланцюг з відміченими кінцями Л* = де М* = {с;|ст+і_і Є М} і /*(с-) = -/(ст+1_,)

(<:*.. г-а вершина С*). Аналогічним чином визначається «-цикл, дуальний

до «-циклу А = (С7Р,/): А" ~ (С*,/*), де /*(с*) = -/(ст+2-,); якщо при цьому Л = А*, то «-цикл Л будемо називати самодуальшш. Через А(р), де А = (С,„ /) — «-цикл і р — натуральне число, будемо позначати ї-цикл (См(р),/(,,)), де /(,;)(С!Р)) = /(сі+р) (с-Р) — *'а вершина СДр)).

У • чпадку, холи І = (С,,, А/, /) і і? = (Д,/V, </) — «-ланцюги о відміченими кінцями і ст Є М, Є N (с;,1 ^ і ^ т, і 1 ^ і ^ — від-

повідно вершини Сц і Дї введемо новий «-ланцюг з відміченими кінцями ЛоВ^^Л): Р<, = С,0„,Т = (М\ {ст}\{(11})\к\сІ,=/,к\0^д.

Для, «-ланцюга о відміченими кінцями В. = (Д,N.,д) покладемо В^ —

о В^ о о • • • с В^, де В*1) = В при непарному і і В^‘1 = В* при парному

і. Назвемо лан іг з відміченими кінцями Л = (См, М, /) складеним, якщо його можна представити у виді А = ВИ при г > 1, і простим — в противному разі (зокрема, при |Со| = 1 в-ланцюг з відміченими кінцями Л тоді і лише тоді є складеним, коли М — 0 і /і = 0); в-цикл А назвемо простим, якщо А ф Л(р) для довільного 0 < р < т. .

Переходимо тепер безпосередньо до побудови нерозкладних зображень алгебри А„ і формулювання класифікаційної теореми.

Позначимо через Рп+і (відповідно (]п+і) множину простих п+1-ланцюгіа

о відміченими кінцямг 4.= (Ся, М,/) (відповідно п + 1-циклів А = (С^,/)), що задовольняють наступні умови: '

1) якщо /іІ)І+1 = ±1, то /і = аб° Л'+і = ¥3, Де Р, 9 > 0;

2) якщо /і1>і+1 = ±1, то /І+і ^ ±(п + 1); .

3) ЯКЩО = ±1, ТО /,■ ф ±П.

(Зокрема, для п+ 1-циклу із однією вершиною /і < 0 при /іц = 1 і /і ^ 0 при/(ц=-1). '

'Для п + 1-лаішюга А Є Рп+і покладемо 1 = {Л, Л*}, а для ті •+ 1-циклу А ^ <5«+1 — А = {Л(р), Л'(р)|0 .т}, де т — |Со|; таким чином, задано

рообиття множини Рп+\ (відпоиідно £?„+і) на класи, які попарно не перетираються; множину цих класів будемо позначати череп Рп+1 (відповідно

Для довільного а Є к позначимо через ка множину поліномів виду ір4, де ір = і/)(<) — незвіднпй над полем к поліном (зі старшим коефіцієнтом 1), відмінний під і і І + а, і д — натуральне число. Якщо Л = (<-'),,/) — я + 1-цикл і в класі А існує самодуальшій п + 1-цикл, то покладемо р(Л) — \С'0\І2, де С'0 = {с,- Є С0|/(с,) 0,= -/і,іі+і}.

Простому п + 1-ланцюгу о відміченими кінцями А = (С,,,А/,Л, який належить множині Рп+ь зіставляються такі зображення алгебри Л,,:

а)Т1(А)при|Л/|=0,

б) Ті (А) і Т2{А) при |Л/| = 1,

в) ТР(Л,р),1 ^ г ^ 4, р = 1,2.'.. , при |Д/| = 2. '

Простому п + 1-циклу Л = (С^,/), який належить множині ф„+ь Оставляються зображенії я Т(А, <р), де

<р Є ко, якщо клас А щ містить самодуального п + 1-цнкла;

<р Є к\, якщо клас Л містить в собі самодуальшій п + 1-цикл і число />(.>; парне; •

<р Є к і, якщо клас А містить в собі самодуальшій п 4-1-цикл і число р(А) непарне.

Укажемо явний вигляд цих зображень.

Для п -Ь 1-ланцюгіп з відміченими кінцями Л = (С;1, А/, /) і В = (Д, /V, д) (не обов’язково простих) будемо писати Л > В, якщо існує число р, 1 ^ р ^ тіи(т,з) (де т = |С0|,в = рої), таке, що /( = д{ і цІМХ = і/іін- црН

1 < і < р і або /р > <?р, або /р = дР і /ір>р+ , > (при цьому впажасмо /^т,т+і = ^>,«+1 — 0)- Очевидно, що це відношення е відношенням порядку,

Нехай Л = (Ср, Д/,/) — п + 1-лаииюг о відміченими кінцями, Су {сі,С2,... ,ст} і 1 < і < і < т. Через А{і,і) будемо ітппачатн п {- І ланцюг з відміченими кінцг їй (£)^, А'-,у), де Д • підланцюг С,„ що скла дається із вершин с*.,с,+1,... і стрілок, які їхз'єднують (нлітодля я, і "

V — (/1,-,І+1),/ііЧ-і.і+2. • ■ • >/'.1-1,і)’ N - М Г\ Д і д -• обмеження / на 1)„ Покладемо

Фп+1 )

[Л(1,і)]*оЛ, якщо СіЄМ і і ф\,

[Л(1,і)]‘, якщо сі ^ А/' або і~ і;

л(2) _ / Л{І,.п)

л* 1 Л(і т\

о А’, якщо і іфт,

, якщо ст ^ Л/ або і = т.

Вершину ^ п + 1-ланцюга о відміченими кінцями А назвемо лівою, якщо А- > і правою, якщо >4«а> > або А<а> = Л*1».

Аналогічним чином визначаються ліві і праві вершини п + 1-цикла А = (С,„/), якщо покласти а|^ = [А(і,і + т)]' і А-2) = Л(і,і + т), де гг+ 1-ланцюг А(і, і + гп) = (Ои, N, д) в цьому випадку визначається та:: же, як і дія п+1=ланцюга: й= (цІМі),^ІН2,... ,/і,+т_1ііЧт), N = 0 і д, =

Переходимо безпосередньо до побудови зображень виду Тг(А),Тг(А,р) і Ї’(А, <р). Якщо Т — зображення алгебри Л„, то простір, в якому воно реалізується, будемо позначати через То, а лінійне відображення, яке відповідає елементу х є Л„, — через Т(х); очевидно, що зображення Т однозначно визначається простором То і лінійними відображеннями Т(а) і Т(Ь) (і, навпаки, довільна пара матриць X, У, така, піл> А'3 = б і У2 = (Х¥)пХ, задає зображення алгебри Л„, якщо покласти Т(а) = Х,Т(Ь) = У). Нагадаємо, що лінійні відображення пишуться справа від елементів простору.

Для дог: ьного цілого числа дф 0 покладемо 5о(?) = {1,2,... ,9} при д >

0, го(<7) = {-1.-2,... ,-д} прид < 0 І 5(?) = 5о(?)и50(-д) = {±1,±2,... ,

± с/}. Найменше число множини 5о(ї) будемо позначати через < д >.

Розглянемо спочатку випадок, коли А = {С^М, /) — п + 1-ланцюг о відміченими кінцями із Рп+і, для якого \М\ ^ 1. ,

Для зображення Т = ТГ(А) базис простору То складаються із елементів и,(д), де 1 ^ і гС гд і (при довільному фіксованому і)

(символи —0 і +0 — різні). .

Л І! ‘шин оператор Т(а)‘ діє на базисных елементах наст ним чином: 1а) і>,(д)Т(а) = и,(-д), якщо або д Є {1,.•. ,п + 1},/< 0,

або д Є {1,... ,«},/,• = 0; , •

2а) г;*(—п — 1)Т(а) = Уі(—0), якщо /,■= 0;

За) і);(—0)Г(а) г= Ьі(п + 1);

4а) Гі(д)Т(а) = 0 для решти випадків. -Зрозуміло, що в кожному конкретному випадку ці рівності потрібно розглядати лише для допустимих значень д.

д Є 5(п +1) и {—0, +0}, якщо /* = 0 і с; М,

д Є 5(п + 1) и {—0}, якщо с; Є М і г = 1,

' д = +0, якщо С{ Є М і г = 2;

Укажемо тепер дію на базисних елемеїг х оператора Т(Ь). Будемо вважати, що при /,• = 0 символ <—/,■> дорівнює —0, а символ '< /,■ >--------(-0.

У випадку, коли q ф< —/і >, < /; >,

■ ІЬ) і;,(?)Г(Ь) = УІ(-? + 1),.якщодЄ{-1,... ,-п};

2b) t>i(q)T(b) = fi(l), якщо q — -п — 1 і Д = 0;

3b) Vj(q)T{b) = 0 для решти випадків.

Якщо ж q =< —/і >,< /, >, то елемент Vj(q)T(b) є лінійною комбінацією базисних елементів а коефіцієнтами 0,1, —1, причому коефіцієнт при Vj(s) дорівнює нулю кожного раау, коли j ф і ± 1. У випадку j = і — 1 коефіцієнт

при Vj(s) ВІДМІННИЙ ВІД нуля ТОДІ І лише ТОДІ, КОЛИ )lji — —1 і виконується

одна із таких умов:

4b) q =< /, >, s =< -fj >;

. 5Ь) 5 =</,•>, s = +0 і вершина Cj — ліва;

6b) q = —0, a =< — fj > і вершина с,- — ліва;

7b) q — —0, s = +0 і вершини c;, Cj — ліві; •

У випадку j = і +1 коефіцієнт при v;(s) відмінний від нуля тоді і лише тоді, коли (iij — 1 і виконується одна із таких умов:

4'Ь) q =< —/,■ >, s =<,fj >;

b'b) q =< —/,• >, s= -0 І вершина Cj.— права;

■ 6'6) q = +0, s = < jj > і вершина Cj — права;

Tb) q — +0, s = — 0 і вершини сі, Cj — праві

При цьому у випадку j = і — 1 (відповідь^ j = і + 1 ) ненульовий коефіцієнт дорівнює -1,.ЯХЩО /tj-lj = — 1 І S = +0 (відповідно ftjj+1 =5 1 і s = — 0 ) і 1 в противному разі. . . .

Нехай тепер А = (Ср, М, /) — л 4- 1-ланцюг о відміченими кінцями іо Р„+і, для якого |М| = 2. •

Для зображення Т = Тг(А,р) базис простору То складається із елементів Vi(q,l), де 1 < t < m, 1 < / < р і (при довільних фіксованих і і /) q Є S(fi), якщо Ji ф- 0;

q € S(n + 1) U {—0, +0}, якщо /,• = 0 і і ф 1, п; q € S(n + 1) U {—0}, яки1 і = 1 і або І непарне і г = 1,3, або І парне і г = 2,4;

q Є 5(?г + 1) U {—0}, якщо і~т і або І непарне і г = 3,4, або І парне і г — 1,2;

q = +0, якщо і — 1 і або /• непарне і г = 2,4, або І парне і г■ = 1,3; q — +0, якщо і = гп і або І непарне і г = 1,2, або І парне і »• = 3, 4. Елементи Vj(q,l)T(a) для довільного q і елементи Vi(q,i)l'(№ для q ф< ~Іі >, 9 =< /і > при кожному фікейваному І вйо ічається так же, як елементи Vi(q)T(a) і v,(q)T(b) для зображення Т ’А). *

Якщо ж q —< —fi > < fi >, то елемент Vi(q,l)T(b) є лінійною комбінацією базисних елементів о коефіцієнтами 0,1, —1, причиму елемент Vj(a, () входить в розклад Vj{q,l)T{b) по базису То о нульовим коефіцієнтом, якщо j Ф і ± 1. У випадку j = і - 1 коефіцієнт при Vj(s,t) відмінний від нуля ТОДІ І „аШЄ тоді, коли виконуються ті ж самі умови, що і для зображення Т = ТГ(А) і при цьому додатково мас місце одна іо наступних умов:

а).Є = /; .

б) j ~ 1, і — парне it = 1 + 1;

в) і = пі, І — непарне it = 1 + 1;

У випадку j — i + 1 роль умов а)-в) виконують такі умови: .

а’)(=*; - ' ,

б’) і = 1, і — парне і f = і + 1; в’) j = m, I — непарне і t = / + 1.

При цьому, як і для зображення Т = ТГ(А), при j = і — 1 (відповідно j — І -f 1 ) НенуЛЬОВИЙ коефіцієнт ДОрІВНЮ'- -1, ЯЙЦО Hj-lj — — 1 і s = +0 (відповідно fijj+i = 1 і в —0 ) і 1 в противному разі.

Розглянемо, нарешті, гчпадок, коли Т = Т{А, <р), де А — (Сц, /) — n-f 1-шікл іо Q і.

Іля довільного і Є {1,, ш} покладемо Fi = {< —/,• >,</<>}. Позначимо, далі, черео Ff множину {<-/» >},якщо /і ^0,

{-0}, якщо /і = 0 і або №-і,і = — = 1 і вершина с,- — права,

або = —/*і,і+і = —1 і вершина с,-—ліва, .

{-0,+0} для решти випадків,

і черео Fj+ множину _

{</,•>}, якщо /,• j£0, . ' . .

{+0}, якщо fi = 0 і або == —^і,»+і = 1 і вершина а — ліва, або = —Мі.і+1 — і вершина Cj — права, '

{ -0, +0} для решти випадків.

Позначимо через І найменше із чисел і Є {1,... > m}, таких, що |Fjlj| < FU\-\Fr\^Ff\. ■

Нехай U — векторний простір над полем к о базисом uj,W2,... ,u?, q = cleg р, і Ф : U —¥ U — лінійний оператор, матриця якого в цьому базисі є кліткою Фробеніуса (для алгебраїчно замкнутого поля — кліткою Жордана) з характеристичним поліномом ір. Позначимо через Т° — Т°(Л) зображення алгебри Л, побудоване для n-f 1-циклу А таким же чином, як зображення Т'і(А) для n+1-ланцюга А — (Ср, M.f) при М — 0; коефіцієнт прн u;-(s) в розкладі Vi(q)T°(b) по базису простору 7J позначимо через Ду(?,я). Відмітимо, що оскільки для циклів індекси j £ {1,. .. , пі} розглядаються по

модулю т, то при т = 1,2 рівності } = і - 1 і ] = і + 1 обігаються, і тому при визначенні коефіцієнта /%(д,з), д -< -/; >,< /,■ >, j = і - \ - і + 1, потрібно розглядати як випадок і = і - 1, так і випадок з = і + 1 (тобто, якщо т = 1,2, то при д =< —/, >,</;> коефіцієнт (д, з) відмінний від нуля тоді і лише тоді, коли ^ = і — 1 = £+1 і або — —1 і виконується одна іо умов 4Ь)-7Ь), або //,у = 1 і виконується одна із умов 4'6)-7'6)). Тоді у випадку, коли = —1, зображення Т = Т(/1,уз) визначаєт:.'* наступним чином: ' •

То = (7 ® Тц*; . . '

[иР © Vi(q)]T(a) = «г 0 Vi(q)'Ґ>(d) для довільних г, £ і д; .

[«г <8>Л7»(9)]3’(Ь) = «г 0 Vi(q)T0(b), якщо ( ф І або і = І, д ^ Р(+;

[«г ® «'.(9)]Г(6) = «ГФ 0 і>і(д)Г°(6), якщо « = /, д Є ґ;+ і |Г,-| = |.РГ+|; ,[«г®ч(?)]Г(Ь) = «г® 2 ^+1(9,з)і;(+і(в)+игФ® V _2(д, я)г7і_2(з),

якщо д є ^ 1|*Л Ф |Р+|.

У випадку, коли рі-ц = 1, зображення Т — !Г(Л,<р) визначається наступним чином:

Т0 = У®7?;

[цг ® и,(д)]Т(а) = «Г ® Vi(q)'Ґ,(a) для довільних г,і і д; ,

[«г 0 *'і(7)]Т(Ь) = «Г ® г,(д)Г°(6), якщо і ф І - І або і —І — 1,д £

[иг0і;,(д)]Г(г>) = игФ®і;і(д)Т°(6),якщо і = /-1,д Є ^ і |^І,| =

[иг®і>(_і(д)]Г(5) = иг® X) А-и-2(д,*)У|-2(в) + «гФ® 2 /?(-і.і(д,8)г’((*),

• «єк,+

якщо д Є і 1^1 ^ І^^І. _

Основним результатом розділу 3 є наступна класифікаційна теорема. Теорема 3.5. Зафіксуємо в кожному класі X Є Рп+1 и £?п+і по од-йому представнику. Тоді множина всіх зображень виду ТГ(А), Тг(А,р) і Т(А,(р), що відповідають вибраним п+1-ланцюгам і п+1-циклам, є повиою множиною нерозкладних попарно нееквівалентних зображень алгебри Л„. Основний класифікаційний результат розділу 2 застосовується в розділі

4 для розв'язку, в явному вигляді і над полем довільної характеристики, відомої задачі І. М. Гельфанда (поставленої ним22 на Математичному конгресі в ІІіцце в зв’язку о класифікацією модулів Харіш-Чандра для групи 5і(2, Я)) та деякого її узагальнення. '

Задача І.. М. Гельфанда — це (в термінах зображень графів) задача про опис зображень над полем орієнтовного графа (7 з вершинами 1+, І-, 2, стрілками (Iі,2) : Iі 2, (2,1і) : 2 -+ Iі і співвідношенням (2,1+)(1+,2) = (2,1~)(1“, 2) = 7 (а також з несуттєвою, як вияснилося пізніше, додатковою умовою про нільпотентність оператора 7). Як уже відмічаюся вище, Л. О. Назарова і А. В. Ройтер14 довели, що ця задача є ручною.

В дисертації розглядається більш загальна задача, а саме задача про зображення симетричного графа (?„, п ^ 3, з множиною вершин {1+, 1~, 2,... , п - 1,п+,»Г}, стрілками (а,Ь) : а —> 6, де (а,і) Є {(Iі,2), (2, Iі), (п*, п —

1),(и— 1,п±),(5, в + 1) 12 ^ в ^ п — 2}, і із співвідношеннями (2,1+)(1+,2) =' (2,,2), (?і -1,п+)(п+,п-1) = (п- 1,п~)(п~,п -1) і (а,6)(Ь,с) =0 для всіх стрілок (а,6)(6,с), таких, що с ф о, с ф Iі при а = 1* і с ф п* при а = пт.

Відмітимо, що деякі узагальнення задачі І. М. Гельфанда розглядалися іншими авторами20,21. Задача, яка розглядається в першій із цих робіт, виникла в зв’язку з вивченням модулів Харіш-Чандра для груп" 50(1, п) і розв’язується над полем характеристики р ф 2; вона є частинним випадком нашої задачі. В другій із указаних робіт розглядається широкий клас задач, який містить в собі з точністю до еквівалентності (в категорному розумінні) задачі, цро які говориться тут, але задані вони в більш слабкій формі (див. вище відповідне пояснення) і розв’язані при деякому обмеженні на поле. ■ . •

У розділі 4 отримана повна класифікація зображень цього графа над довільним полем. При цьому основні інваріанти нерозкладних зображень (по яких визначаються зображення) знайдені в термінах самого графа (а не класифікаційної задачі, до якої вони, зображення, зводяться) — ними е маршрути в індукованому природною симетрією т : йп —► Єп гомоморфному образі С„ графа С„, які задовольняють деякі додаткові умови. .

У розділі 4 розглядаються також інші приклад» скінчешюішмірннх і не-скінчеішоїшмірішх алгебр (більшість із яких задана у вигляді орієнтовного гр ї>а зі співвідношеннями), задача про опис зображень яких зводиться до аналогічної задачі для явно вказаних в’язок напівланцюгів.

У розділі 5 описуються точні частково впорядковані множини нескінченного росту і вивчається структура їх нерозкладних зображень. Ця тематика також ов’::зана із зображеннями в’язок напівланцюгів.

Дамо означення, які потрібні для викладення цього результату.

Зображення частково впорядкованої множшш 5 над полем к — не набір скінченнсвимірних векторних просторів и = {и$,их\х є 5}, такий, що их С и для всіх х Є 5 і ІІХ С {/„, якщо х ^ у. Вектор 1 - ~1{и) = {сіг\х Є 5и0), де гіо = МЮ = (ііші и0 і <1Х = <1х(и) = с!іпц((7І/ £ иу) для довільного

ІІ<Г

х £ Б, будемо називати вектор-розмірністю зображення І/.

Зображення II і V називаються еквівалентними, якщо ісіі>;є ізоморфізм <р : Цо Уо векторних просторів, такий, що [}х<р С Ух для довільного іб5. Пряма сума зображень, розкладні і нерозкладні зображення визначаються природним чином. Зображення {/ називається точним, якщо всі координаті! йх (х Є 5 и 0) відмінні від нуля; частково впорядкована множина 5 називається точною, якщо у неї є хоча б одне точне нерозкладне зображення.

Дамо тепер означення ч. в. множшш скінченного і нескінченного росту.

Будемо говорити, що зображення V = {Ьго, их\х Є 5} частково вгюрядко-

ваної множшш 5 над полем к породжується зображенням V = {170,є ,

5} множини 5 над кільцем поліномів І(\ = А:[і], якщо існує скінченно-

вимірний Л’і-модуль IV, такий, що V = V ® IV: IIо = І о 0 ІV, ІІХ —

■ Чі] ВД

Іпі (Ух © IV Г0 © ІV), де іх : Ух -> У0 — природне вкладення. .

*[<] _

Нехай сі = {(І0, сІх\х є 5) — вектор о цілими невід’ємними координатами. Позначимо через ц{<1) найменше можливе число Л')-зображель, які породжують, з точністю до екпівалентності, майже всі (тобто всі, крім скінченного числа) зображення множшш Б над к вектор-розмірності сі. Покладемо ^(5) = Бирз ц(<і). Кажуть, що ч. в. множина 5 має скінченний ріст (над к), якщо ц(8) < оо; в противному разі 5 називають ч. в. .множиною нескінченного росту. Надалі, говорячи про ч. в. множину нескінченного росту, будемо завжди вважати, що вона є ручною, тобто ц{і) < оо для довільного вектора (І.

Сформулюємо тепер основні результати розділу 5.

По-перше, автор доводить (теорема 5.1), що точну ч. в. множина 5 нескінченного росту можна представити у вигляді суми (тобто об’єднання без перетину) двох напівланцюгів А і В; при цьому точки а Є. А і Ь Є В можуть бути порівняльними між собою. ' .

Далі, якщо ч. в. множина 5 є сумою двох напівланцюгів А і В з компонентами Аі,... , А„ і В і,... ,Дп, де Аі < Аг < ... < Ап і Ві< В? < ... < Вт,

.то на множині компонент 1(5) = Ь(А) и Ь(В) — {А>,... ,А„, В і,.... ,Вт}

(Ь(X) позначає множину компонент напівланцюга X) введемо бінарне від-

ношення р, вважаючи, що ХрУ тоді і лише тоді, коли а < Ь для деяких а Є X і Ь Є У. Неважко довести, що напівланцюги можна вибрати таким чином, що р є відношенням часткового порядку (твердження 5.12).

Надалі будемо вважати, що ч. в. множина 8 (нескінченного росту) представлена у виді суми саме таких напівланцюгів; відношення порядку р позначаємо черео Для довільного напівланцюга Р будемо позначати череа Ь\{Р) (відповідно Ь'і(Р)) множину його одноелементних (відповідно двое-лементних) компонент. Відзначимо, що на ЦБ) (як і взагалі на сукупності всіх підмножин в Б) оадаие відношення часткового порядку індуковане . відношенням часткового порядку для 5: X ^ У тоді і лише тоді, коли х ^ у для дояільних х Є X і у € У. Покладемо £і(5) = (Л) и Іц(В),і — 1,2.

Запис Ь2 (5) буде означати, що множина двоелементних компонент розглядається разом о відношенням а не Нагадаємо ще, що ч. в. множина 5 називається ординально нерозкладною, якщо не існує підмнгіжин А, В ф 0, таких, що 5 = А + В і а < Ь для довільних а Є А, Ь Є В.. '

Точні ч. в. множини нескінченного росту описуються такою теоремою.

Теорема 5.13. Частково впорядкована множина Б нескінченного росту є точною тоді і лише тоді, коли виконуються наступні умови:

1) (5) — ординально нерозкладна ч. в. множина; .

2) Ь\(3) містить не біііьиіе двох елементів, причому ко;- ний із кіа непорівняльний {відносно 4) з деяким елементом із іг(5).

Із цієї теореми випливає, що до я кожного натурального числа п існує така точна частково впорядкована множина нескінченного росту, яка залишається точною пкля добавлення (відповідним чином) п додаткових порівнянь (для задач скінченного росту це може бути лише при п = 1 і то у виключних нападках); а значить існують нерозкладні оображення з довільним значенням форми Тітса (для множин скінченного росту це значення може дорівнювати 0,1 і в окремих випадках 2).

В розділі 5 розглядаються також деякі питання про зображення ч. в. множин з відношенням еквівалентності (в тому числі з деякими умовами невиродженості), які суттєво ав’ї. >ані з результатами і методами розділу 6.

При описанні автором медулярних зображень діедральних груп6 розв’я--зана деяка класифікаційна задача, яку в термінах векторних просторів і лінійних відображень можна сформулювати як задачу про канонічний вн-і'д ; матриці оператора, який має мінімальний поліном ^з(^) = <2 і діє в скінченновимірному векторному просторі, проградуйованому оа ? чшмо гою лінійно впорядкованої множини (ланцюга) о інволюцією *. В дисертації, при доведенні критеріїв ручності скінченних груп над полем довільної характеристики і класифікації медулярних зображень кваоідіедраль-

них груп (розділи 1 і 3) витікає більш широкий клас задач (так звані S-зображення): замість ланцюга потрібно розглядати вже напіпланцюг, причому кожна його точка, на якій інволюція діє нетривіальним чином, порівняльна а усіма іншими точками (така множина з інволюцією називається *-.іапівлаіщюгом); мінімальний поліном <p{t), як і раніше,,рішноє

Iі. В зв'язку о цими задачами виникає природне питання:

Якою буде задача (скінченного чи нескінченного типу, ручною чи дикою, тогцо), коли простір проградуііованиЯ і допомогою довільної частково впорядкованої множини з інволюцією, а мінімальним поліномом є довільний поліном (p(t) ?

Повна відповідь на це питання наводиться в заключному розділі дисертаційної роботи. Крім того, у випадку, коли всі к< пені поліному належать основному полю, розглядається задача про опис о точністю до подібності таких операторів. При розгляді цих питань використовуються результати розділів 2 і 4.

Питання, які розглядаються в заключному розділі дисертації, є природними самі по собі: воші є природним узагальненням ан; огічних питань для оператора, що діє в звичайному векторному просторі (відповіді на які випливають безпосередньо із добре відомих нормальних форм).

Перш ніж сформулювати основні результати розділу 6, дамо точні означення. При розгляді лінійних відображень, функторів, композиції морфія-мів тощо, ми користуємось (як і раніше) правим записом.

Нехай S — (Л, *) — скінченна частково впорядкована множина А з інволюцією * і k— довільне поле. Л-простором над полем k будемо називати градуйований за допомогою А векторний простір або, іншими словами, пряму суму U = (ї)аєл Ua векторних fc-просторів Ua. S-простором назвемо всякий Л-простір, таких, що [/„• = Ua для довільного а Є А. Цілочисловий вектор d = da, а Є А, де da =* dimtf7a будемо називати вектор-размірністю ■S-простору U. У випадку, коли U і U' — S-простори над полем к, лінійне відображення (р Є Homjt(t/, U') S-простору U в S’-простір U' будемо називати S-ВІДобраЖЄИНЯМ, ЯКЩО 'ра-а- = <раа ДЛЯ ДОВІЛЬНОГО а І <РЬс — 0 при

6 ^ с, де іряу позначає лінійне відображення Ux в U'y, індуковане відображенням ір. Множина всіх S-відображень S-простору U в S-простір V будемо позначати через Hornet (U, U').

Категорію S-просторів над полем к, об’єкти якої - S-простори, а мор-фізми —■ S-відображення, будемо позначати через mod 5 А.1 (по аналогіі з категорп :о скінченновимірних векторних t-просторів mod к).

• Нехай V — S-простір над полем к. Лінійні оператори <р, ф Є Horn*(£/, U) будемо називати S-подібними, якщо ф — \~1<р\ для деякого оборотного S-

відображення Л Є horns,k(U, U). Очевидно, що S-відображення А є оборотним тоді і лише тоді, коли оборотними є всі відображення Хаа Є Нот*({/а, {/„)) Оператор ір € ІІопц.(£/, {/) назвемо S-разкладшім (далі — просто розкладним), якщо для деякого оператора ф, S-подібного <р, існує розклад S-иростору U в пряму суму власних S-підпросторів V і IV, таких, що Уф С V и IVV' С IV. '

Нас буде цікавити задача про опис з точністю до S-подібності лінійних операторів в S-просторах. В категорних термінах це задача про опис о точністю до ізоморфізму об’єктів категорій As,і, яка визначається наступним чином: об’єктами As,і є пари (U,<p), де U € mod5,к і ір є Нош*((У, U), а морфіомами S : ((J,<p) —V (U’,<p') — такі S-відображення 5 Є Homs*((7,[/'), для яких ір5 = Sip'. Зіставимо кожному многочлену / = j(t) (степені deg / > 0) повну підкатегорію As,kj, ЩО складається із об’єктів (U, ір), таких, що /((?) — 0. •

Якщо, множина А складається із одного об’єкту, оадача про об’єкти категорії As,t,f — де класична задача про один оператор в скінченновнмірному векторному ^-просторі.

Відмітимо, що у випадку, коли S — лінійно впорядкована множина о тривіальною інволюцією, зв’язані з S-просторами означення легко пере-формулювати в термінах фільтрованих просторів.

Як і для категорії зображень скінченновкмірних алгебр (і інших об’єктів), категорії As,kj бувають: скінченного і нескінченного типу, скінченного і нескінченного росту, ручні і дикі (всі ці означення дасться стандартним Чином). ; ' •

Сформулюємо дл« наших категорій відповідні критерії. Будемо вважати, що степінь полінома f(t) (оі старшим коефіцієнтом 1) більша оа одиницю і всі його корені містяться в полі к.

Категорії As,k,f скінченного типу описуються Наступною теоремою.

Теорема 6.1. Категорія As,k'i має скінченний тип тоді і лише тоді, коли S = (А,*) е ланцюгом з тривіальною інволюцією і виконується одна із таких умов: .

а) \А\ = 1; '

б) И| = 2, deg/(0 = 2,3;

в) |Д| > 2, deg/(t) = 2.

Відмітимо, що у виключеному випадку deg / = 1 категорія As,k,f має скінченне число нерозкладних об’єктів, які описуються тривіальним чином.

При описі ручних категорій As,kj відповідь суттєво залежить від степені поліному /(<). У випадку, коли deg/(t) = 2, ручні категорії описуються' наступною теоремою.

Теорема С.13. Нехай S — (Л, *) — частково впорядкована множина .< інволюцією і /(f) = (t — a)(t — 6). Тоді категорія As:k,f є ручною а тому і лише а тому випадку, коли S — *-напівланцюг.

Розглянемо тепер випадок, коли степінь поліному /(f) більша двох.

Першії... результатом у цьому ттадку с наступна теорема.

ТЬорема 6.17. Нехай (leg /(f) > 2, а ч. в. множина з інволюцією

S = (/!,*) не є лінійно впорядкованою з тривіальною інволюцією. Тоді As,h,/ — дика категорія. •

Таким чином, псе зводиться до випадку, коли 5 = (Л,‘) є ланцюгом . (лінійно впорядкованою множиною) з тривіальною інволюцією.

У випадку, коли 5 = (А,*) — ланцюг о тривіальною інволюцією (і deg/(f) > 2), ручні та дикі категорії Ад*,/ опи уються наступною теоремою.

Теорема G.18. Нехай S = (А,*) — ланцюг з тривіальною інволюцією, |Л| > 1, z /(f) — поліном степені більше двох. Категорія A.A,k,f Р- рудною тоді і лише тоді, коли |Л| -f deg /(f) 6, причому у випадку рівності

кратність довільного кореня поліному f(t) менша трьо

Сформулюємо тепер теореми, які описують категорії As,k,f скінченного, а значить і ..ескінченного, росту (означення таких категорій дається таким же чином, як і для частково впорядкованих множин). При цьому о формальних причин зручно виключити із розгляду вже описані категорії скінченного типу. . '

У випадку, коли степінь поліному /(f) дорівнює двом, категорії скінченного росту описуються наступною теоремою. '

Теорема 6.16. Нехай S = (А, *) — частково впорядкована множина з інволюцією і f(t) = (f — a)(t — b). Категорія As,k,f (нескінченного тшу> має скінченний ріст тоді і лише тоді, коли виконуються такі умови:

а) А — напгвланцюг з одною двоелементною компонентою;

б) інволюція * — тривіальна;

ті) а фЬ.

Якщо ж степінь поліному /(f) більша двох, то маємо наступний критерій.

Теорема 6.26. Нехай S — (А,*) — частково впорядкована множина з інволюцією-і deg/(f), > 2. Категорія As,*,/ (нескінченного типу) має скінченний ріст тоді і лише тоді, коли виконуються такі умови:

а) |Л| 4- deg/(f) =6; ' .

б) 5 — ланцюг з тривіальною інволюцією;

в) f(t — поліном без кратних коренів.

■ Показано, що задача про класифікацій, а точністю до ізоморфізму, об'єктів ручної категорії нескінченного типу As,k,f еквівалентна задачі про кла-

сифікаї.'ю о деякими умовами невиродженостізображень частково впорядкованих множин із умовами невиродженості спеціального виду (яка розглядається в розділі 5); остання задача в свою чергу зводиться (як показано в розділі 5) до задачі про невнроджені зображення деякої в’язки напівлан-цюгів. Для категорій \s.tj скінченного типу класифікація об’єктів проводиться окремо.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розв’язку класифікаційних задач теорії модулярних зображень скінченшіх груп і класифікаційних задач лінійної алгебри, що виникають в процесі досліджень, а також застосуванню отриманих в цьому напрямку результатів для вивчення зображень інших об’єктів і дослідження операторів, що діють в градуйованих векторних просторах.

Головними результатами дисертації є критерії, які повністю описують ручні скінченні групи над полем доцільної характеристики. Доведено, що довільна скінченна група <7 € ручною над полем к характеристики р тоді

і лише тоді, коли коли довільна її абелева р-підгруп а порядку більше 4 —' циклічна. Основним при цьому є випадок, коли р = 2 і Є є 2-групою; при виконанні цих умов вказаний критерій еквівалентний наступному: неци-клічна скінченна 2-група С є ручною над полем к характеристик» 2 тоді і лише тоді, коли (б : С) = 4.

В процесі доведення цих критеріїв розв’язана задача- про класифікацію (над довільним полем) зображень алгебри Л„ = (а,Ь|«3 = 0,Ь2 = 0, а1 = (іЬа)пЬ) для довільного натурального я; і як наслідок — задача про класифікацію модулярішх зображень квазідіедральних (в іншій термінології — напівдіедральних) груп фт =< х, »/|г2 = у2" = 1 ,ух = ху2"'‘~1 > (т ^ 3).

В свою чергу в процесі розв’язання цих задач повністю розв’язується широкий клас класифікаційних задач, названий автором зображеннями в’язок напівланцюгів. Цей результат суттєво використовується в подальших розділах дисертаційної роботи, при розв’язанні класифікаційних задач, які зв’язані а зображеннями асоціативних алгебр, алгебр Лі, орієнтовних графів, частково впорядкованих множин.

В дисертації, з істотним використанням класифікації в’язок напівлан цюгів, отримано повний опис (над полем довільної характеристики) зображень симетричного графа (?„,» ^ 3, з множиною вершин {1+, 1~, 2,... , п - 1 стрілками (а,6) : а -» Ь, де (а,Ь) Є {(1±,2),(2,1±),(г±,«-

1),(/і --1, »*),(*, 8-М) |2 < а < п — 2}, і із співвідношеннями (2,1 + )(1' ,2) =

(2,1_)(1~, 2), (п - 1, п+)(ті+,п - 1) = (п - 1, п~)(п~, п - 1) і (а, Ь)(Ь, с) = О для всіх стрілок (а,Ь)(6,с), таких, що с ф а, с ф 1* при а = 1т і с ф п* при а = п*. Ця задача містить п собі як частинний випадок підому задачу, поставлену I. М. Гельфаидом па Математичному конгресі в Ніц'це п зв’язку о вивченням будови модулів Харіш-Чандри для групи 5£(2, Я).

Зображення частково впорядкованих множин, які виникли в результаті доведення другої гіпотези Брауера-Т^елла, знаходять засто 'вання в ріпних областях алгебри. Зображенням множин скінченного типу і скінченного росту присвячено ряд кандидатських і докторських дисертацій. Автором отримано повний опис точних частково впорядкованих множин нескінченного росту, що завершує опис усіх точних ручних частково впорядкованих множин (відмітимо, що на відміну від множин скінченного росту, число точних множин нескінченного росту є нескінченним). А саме, в дисертації доводиться, що точну ч. п. множину Б нескінченного росту можна представити однозначним чином у вигляді суми (об’єднання без перетину) двох иапіпланцюгів; при цьому двоелементні компоненти утворюють - відносно нового, введеного на компонентах, відношення часткового порядку - орди- ’ пально нерозкладну множину, а число одноелементішх компонент не перевищує 2, причому кожна із них непорівняльна (підносно введеного порядку)

0 деякою дбоєлємєнтною компонентою. Доводиться, що ці умови є також

1 достатніми. Із цього результату випливає, зокрема, що для множин нескінченного росту існують нерозкладні зображення з довільним значенням форми Тітса (для множин скінченного росту це значення може дорівшовз.ти

0,1 і, у виключних випадках, 2).

В заключному розділі дисертації розглядається узагальнення задачі, яка виникає в зв’язку з класифікацією модуляршіх зображень квазідіедральїшх груп і є природною сама по собі. А саме, детально досліджується задача про опис операторів, що діють в градуйованих за допомогою частково впорядкованих множин з інволюцією (зокрема, в фільтрованих, п класичному розумінні) просторах. З використанням результатів попередніх розділів повністю описуються в цій ситуації випадки скінченного і нескінченного типу, скінченного і нескінченного росту, ручного і дикого типу (для довільної фіксованої множини і довільного фіксованого, мінімального поліному). В усіх ручних випадках нескінченного тип}' (коли корені поліному належать основному полю), опис таких операторів зводиться до опису зображень деяких, явно вказаних, в’язок напілланцюгів, що дає можливість користуватися класифікацією зображень в’язок напішіалцгагів (у випадках скінченного типу опис операторів проводиться окремо).

Отже, в процесі отримання автором класифікації ручних скінченних

груп над полем довільної характеристики виникають різні класи класифікаційних оадач, що відносяться до теорії зображень, в широкому розумінні цього слова, і лінійної алгебри (S-оображення, зображення в’язок, оператори в градуйованих просторах). В дисертації наведено повні розв’язки цих оадач, які, в свою чергу, застосовуються для вирішення ряду класифікаційних оадач і, зокрема, наступних добре відомих проблем: опису медулярних зображень кваоідіедральних груп, розв’я зку - в явному вигляді

і над довільним полем - задачі І. М, Гельфанда (та її узагальнення), опису точних частково впорядкованих множин нескінченного росту.

При вирішенні перерахованих проблем автор застосовує свої нові прийоми і методи, які можуть бути корисними при дослідженні ілших класифікаційних задач. '

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Статті: ' ■ . ' .

1. Бондаренко В. М., Дрозд Ю. А. Представленческьй тип конечных

групп // Модули и представления. - Записки науч. семинаров J10MII. -1977. - 71. - С. 24-41. . : '

2. Бондаренко В. М., Завадский А. Г., Назарова JI. А. О представлениях ручных частично упорядоченных множеств // Представления и квадратичные формы. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1979. - С. 75-105 (переклад англійською мовою: On representations of time partially ordered bets // Amer. Matj|. Soc. Transl. (2). - 1986. - 128. - P. 57-78).

3. Бондаренко R. М. Точные частично упорядоченные множества бесконечного роста // Линейная алгебра и теория представлений. - Киев: Пн-т математики АН УССР. - 1983. - С. 68-85.

4. Бондаренко В. М. Связки полуцепных множеств и их представления. -К.: 1988. - 32 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 88.60).

5. Бондаренко В. М. Представления обобщенной связки полуцепных

множеств /І Комплексный ан. іиз, алгебра и топология. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1990. - С. 9-19. .

6. Назарова Л. А., Бондаренко В. М., Ройтер А. В. Ручные частично упорядоченные множества с инволюцией // Теория Галуа, кольца, алге-

б ичеекне группы и их приложения. - Труды мат. ин-та АН СССР им. В.

А. Стеклова. - 1990. - 183. - С. 149-159.

7. Bondarenko V. М., Zavadskij A. G. Posets with an equivalence relation of

tame type and of finite growth // Canad. Math. Soc. Conf. Proc. - vol. 11. -1991. - P. 67-88.. ’

8. Бондаренко В. М. Представления связок полуцепнпх множеств и их приложения // Алгебра и анализ. - 1991. - 3. - вып. 5. - С. 38-61.

9. Bondarenko V. М., Zavadskij A. G. Tame posets with equivalence relation

// Contem. Math. - 1992. - 131, part 2. - P. 237-251. '

10. Бондаренко В. М. О классификации линейных операторов с точностью до S-подобия // Доповіді НАН України. - 1997. - N 10. - С. 16-20.

11. Бондаренко В. М. Операторы в S-пространстве, удов творяющие полиномиальному равенству // Науковий вісник Ужгородського університету (серія: математика). - 1997. - Dim. 2. - С. 12-17.

12. Бондаренко В. М. Линейные оператори в конечномерных S-пространствах // Некоторые вопросы современной математики. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1998. - С. 7-24.

13. Бондаренко В. М. Категории A-s.k.S конечного типа // Некоторые вопросы современной математики, - Київ: 1н-т математики НАН України.

- 1998. - С. 25-34.

14. Бондаренко В. М. Классификация объектов категории As,k,f конечного типа // Некоторые вопросы современной математики. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1998. - С. 35-48.

15. Бондаренко В. М. О новом алгоритме для представлений связки

полуцепей І/ Науковий вісник Ужгородського університету (серія: математика). - 1998. - вип. 3. - С. 33-41. .

16. Бондаренко В. М. О каноническом виде проектора в фильтриро-ванном векторном, пространстве // Крайові оадачі для диференціальних рівнянь. - Київ: Ін-т математики ІІАИ України. - 1998. - внп. 3. - С. 24-29.

17. Бондаренко В. М. Представления с условиями невырожденности слабо пополненных частично упорядоченных множеств: категории Itk(S][Т) конечного типа // Вісник Київського університету (серія: фізико-математичні науки). - 1999. - шт. 2. - С. 14-23.

18. Bondarenko V. М. On certain wild algebras generated by idempotents // Methods of functional analysis and topology. - 1999. - 5. - N 3. - P. 1-3.

19. Бондаренко В. М. Представления двухкомпонентных слабо попол-

ненных частично упорядоченных множеств с условиями невырожденности: описание ручных и диких случаев // Вісник Київського університету (серія: фізико-математичні науки). - 1999. - вип. 3. - С. 33-42. ■

20. Бондаренко В. М, В’язки двох натіівланцюгів нескінченного типу // .

Вісник Львівського університету (серія механіко-математична). - 1999. -віт. 54. - С. 38-41 (англ.).

21. Bondarenko V. М. Operators on (A,*)-Space.s and Linear Classification Problems // Proc. of the Third International Conf. “Symmetry in Nonlinear

Mathematical Physics”. - Part 2. - Kiev. - 1999. - P. 330-332.

22. Бондаренко В. M. Лінійні оператори о скінченно вимірних S-npoc-торах: пари (S,f) ручного типу // Вісішк. Київський університет імені Тараса Шевченка (Математика. Механіка). - 1999. - вип. 3. - С. 6-10.

23. Бондаренко В. М. Про звільнення від умов невиродженності для одного класу лінійних класифікаційних задач // Математичні методи та фізико-механічні поля. - 1999. - 42. - N 4. - С. 123-120.

24. Бондаренко В. М. О нормальной форме оператора, действующего

о конечномерном фильтрованном векторном пространстве / / Науковий вісник Ужгородського університету (серія: математика). - 1999. - вип. 4. -С. 4-11. ■

25. Бондаренко В. М. В’язки двох tiaпіоланцюгів скінченного росту

// Вісник Київського університету (серія: фізнко-математичні науки). -1999. - віт. 4. - С. 18-21. •

26. Бондаренко В. М. Классификация линейных операторов с минимальным полиномом f[t) = (t — a)(t — Ь),аф Ъ, действующих о фильтрованном векторном пространстве // Нелінійні коливання. - 2000. - 3. - N 1. - С. 31-35.

Тези доповідей: ■ ' ' .

27. Бондаренко В. М. Модулярные представления квазииаэдральных групп // Пятый Всесоюзный симпозиум по теории групп.. Тезисы сообщений. - Новосибирск. - 1976. - С. 10-11.

28. Бондаренко J3. М. Гельфандовскиё задачи бесконечного роста //

XVIII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений. - Кишинев. - 1985. - часть первая. - С. 61.. . '

29. Бондаренко В. М. Об обобщении задачи И. М. Гелъфанда // Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А. И. Мальце.-и Тезисы докладов. - Новосибирск,- - 1989. - С. 26.

30. Бондаренко В. М. О классификации линейных операторов в конеч-

номерных S-пространствах // VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. - Львов. - 1990. - С. 25. ■

31. Бондаренко В. М., Завадский А. Г. Частично упорядоченные множества с отношением эквивалентности конечного роста // VI симпозиум по еории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. - Львов. - 1990. -

С. 26.

32. Бондаренко В. М. О к/іассификации представлений частично упорядоченных множеств с отношением эквивалентности // Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А. И. Ширшова. Тезисы до-

кл ідоо. - Новосибирск. - 1991. - С. 17.

33. Bondarenko V. М. On tame and wild pairs (5,/) // Pic»\ lutmuivmwl Conf. ‘‘Representation theory and computer algebra*1. - Kiev. - 1*1!)”. • I'. (>.

35. Bondarenko V. M. On an етістіоп of the problem about represent >!ion<< of bundles of semifhairu. ff Proe. International Conf. “KcpreM’ntatinu ’ ii-’iny of algebras"(ICRA-8.5). - Bielefeld. - 1998. - P. -32-43.

35. Bondarenko V. M. Operatoron vector spaces given hj a mwlu’c over a Krull-Schmidt category j j Друга міжнародна алгебраїчна коїиперч-ішія э 'країні, присвячена пам’яті професора Л. А. Калулсніна. Матеріали. - Вінниця. - 1999. - С. 13.

АНОТАЦІЇ Вопдпрспко В. М. Класифікаційні задачі о теорії ли>$рлярних зобро-ж<нь труп. - Рукопис.

Дтертація на здобуття наукового ступеня доктора фЬт.'и-мдтематичшіК наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Т. Г. Шевченка, Київ, 2G00.

Дисертацію присвячено роп п'янку класифікаційних задач теорії медулярних зображень скінченних груп і класифікаційних задач ;ііпінної алгебри, шо зшшкають о процесі досліджень. В дисертації повністю описуються ручні скінченні групи надколом довільної характеристики. Класифікаційні задачі лінійної алгебри, які при ньому розв’язуються, застосовуються для повного опису зображень кпапідіедральшіх груп над полем характеристики

2 (і відповідної серії локальних алгебр над довільним полем), розв'язку - а явному вигляді і для довільного поля - задачі І. М. Гельфанда та її узагальнення, опису точних частково впорядкованих множин нескінченного росту

і детального штчешш операторів. що діють в градуйованих (за допомогою частково впорядкованих множин з інволюцією) векторних лросторах.

Ключові слова: квазідіедральна група, модуларні зображення, ручна група, в'гзка нппіпланиюгіт». орієнтовний граф, частково впорядкована множина. нескінченний ріст, S-простір, категорія Act j.

Бондаренко В. М. Классификационные задачи в теории модулщтыг прі дгтаплгниії ?руп. - Рукопись. '

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра я теория чисел. - Киевский национальный университет имени Т. Г. Шевченко, Киев, 2000.

Диссертационная работа посвящена решению классификационных оадач теории модулярных представлений конечных групп и классификационных оадач линейной алгебры, которые возникают в процессе исследований, а также применению полученных в этом направлении результатов к изучению представлений других объектов и к исследованию линейных операторов, которые действуют в градуированных пространствах.. .

Главными результатами диссертации являются герин, которые полностью описывают ручные конечные группы над полем произвольной характеристики. Доказано, что конечная группа С? является ручной над по- . лом к характеристики р тогда и только тогда, когда произвольная ее абелева р-подгруппа порядка больше -1 — циклическая. Основным при этом есть случай, когда р~ 2иб является 2-группой; при выполнении этих условий указанный критерий эквивалентен следующему: нециклическая конечная

2-группа С является ручной над полем к характеристики 2 тогда и только тогда, когда (й ; С) = 4 (С — коммутант группы С). . ' ,

В процессе доказательства этих критериев решена задача о классификации (над произвольным полем) представлений локальной алгебры Лп = {а,/>1а3 = 0,Ь2 = 0, а2 = (Ьа)пЬ} для произвольного натурального п; и как следствие — задача о классификации модулярных представлений квааи-диэдральных (в другой терминологии — полудиэдральных) гр; ш <$т =< х,у\х2 = уг' = 1,рх = хуг"г~1> (тп> 3).

В свою очередь, в процессе решения этих оадач полностью решается широкий класс классификационных задач, названный автором представлениями связок полу.цепей. Этот результат используется в разных частях диссертационной работы, при решении классификационных оадач, которые связаны с представлениями ассоциативных алгебр, алгебр Ли, ориентиро-ланных графов, частично упорядоченных множеств.

Б диссертации получено полное описание (над полем произвольной характеристики) представлений симметрического графа Сп ^ 3, с множеством вершин (1+,1“,2,... ,п — 1,п+,п~}, стрелками (а,Ь) : а -> 6, где (а,Ь) € {(1±,2),(2,1 ±),(п±,п - г;,(п - 1,п±),(в,в + 1) |2 < « < п - 2}, и с соотношениями (2,1+)(1+,2) = (2,1~)(1~,2), (п — 1,п+)(п+,/г - 1) = ■ (и - 1,п~)(п~,п - 1) и (а, 6)(6, с) = 0. для всех стрелок (о, Ь)(Ь,с), таких, что с ф а, с ф 1± при а = а с ф гг* при а = пт. Эта задача содержит в себе ьа частный случай 'звестную задачу, поставленную И. М. Гельфандом на Математическом конгрессе в Ницце в связи с изучением строения м дулей Харищ-Чандры для группы 51(2, Л).

Представления частично упорядоченных множеств, которые возникли в процессе доказательства второй гипотезы Брауэра-[фелда, находят приме-

нения в различных областях алгебры. В диссертации получено полное описание точных частично упорядоченных множеств бесконечного роста, что завершает описание всех точных ручных частично упорядоченных множеств (отметим, что в отличие от .множеств конечного роста, число точных множеств бесконечного роста бесконечно).

В заключительной части диссертации рассматривается обобщение задачи, которая возникает в свяон с классификацией модуляр—jx представлений квазидиэдральных групп и является естественной сама по себе. ■ А именно подробно научается задача об описании операторов, которые действуют в градуированных с помощью частично упорядоченных множеств с инволюцией (в частности, в фильтрованных) пространствах. С использованием результатов других разделов полностью описываются в этой ситуации случаи конечного и бесконечного типа, конечного и бесконечного роста, ручного и дикого типа (для произвольного фиксированного множества и произвольного фиксированного мтшмалыюго полинома). Во всех ручных случаях бесконечного роста (когда корни полинома принадлежат основному), описание таких операторов сводится к описанию некоторых, явно указанных, связок полуцепей (в случаях конечного типа описание операторов проводится отдельно). .

Ключевые слова: кваопдиздральная группа, модулярные представе-

ния, ручная группа, связка полуцепей, ориентированный граф, частично упорядоченное множество, бесконечный рост, 5-пространства, категория

As, *,/• ' •

Bondarenko V. М. Classification problems in the theory of modular representations of groups. - Manuscript. Thesis for a doctor’s degree by speciality

01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv Taras Shevchenko university, Kyiv, 2000. '

The dissertation is devoted to solution of classification problems of modular representation-theory and classification problems of linear algebra which arise under these investigations. In the dissertation, we completely describe tame finite groups over a field of arbitrary characteristic. The classification problems of linear algebra which are solved here use for complete classification of the representations of quasidihedral groups over a field of characteristic 2 (and corresponding series of local algebras over ah arbitrary field), for solution - in' explicite form and for an arbitrary field - of Gclfand’s problem atid its generalisation, for describing of faithful partyally 'ordered sets of infinite grout h, and for detail study of operators which act, on gradable (wilh the help of partyally ordered sets with involution) vector spaces.

Key words: quaMdihfchal group, modular representation, tame group,

uuiidlu of semichuiri, orienl'd graph, partyally ordered set, infinite! growth, S-*}we. ..Mtcgory As.ij.

Hi/in, A11 Al>yKy 10.10.2000. <J>o[>MaT 60x90/16. Ilaiiip oi|k\ 0 ({>'•. Apyss. ■S'm. ApyK apK. 2.09. i'w. <J>ap6o-ui,-Tfi. 2.09. 06a.-bua- aj>K. 2.0. 'fttpaju 100 up. 3a.\!. /S3 B<wK<>ijiTonno.

DiAiipyujiKiHo is lacTiixyii M.yu-wannai HA1I yKpa'iim 0Jtil) 1 Kims 4, MCII, b_v;i. Tepemejjfciiicbia, 3