Конечные группы и модулярные формы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Воскресенская, Галина Валентиновна
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
ВОСКРЕСЕНСКАЯ ГАЛИНА ВАЛЕНТИНОВНА
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ И МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
(01.01.Об - Математическая логика, ялгсбра и теория чисел )
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Научный консультант -доктор физико-математических наук, профессор Н.А. ВАВИЛОВ
Санкт - Петербург 2009
004600844
!'..»>> и >ii i алгебры n it'opm:''»гч .¡
м (Гш ч i > 1 \ i (ViMKT - H;T"pv'> р: к:.:
Ч 1
Il • tmiít m» > i' >1 ' -мзгомзгичгскя:; к,к к
RA Hl 1ЛОВ Пико'ыП Ал«.'кгн»д;."..ч-;:'!
Официальные ».цКМиЧИ'Ы ЛгжПф í|t.r«lMJ-MUIVMaïIf HIT»1 ПК H..VI,, w.Ç пши научный 'чггрудшггс BKHKOB Борис I>opií!:o!¡!i«¡ 'IK'Hiw'ypi «T/W».' Mi» s «Iii s и "«к* >л • 1 . лил«! Г1 A.Си-клона l'Ait «
■ , j и 1но-мн!тмнт1!чт£их if.tv(,.
'I <• ,»
/k\ ! AB. Tl-B Владимир Гшр: к.-aun * i i кий rvm,.iiiii,iptii-i«'i
i ,» и ini.ifi ytiiim-pt-urer i î I , Ч VI 41*1 ! 11 Л . С .
/i] il li'i I <к\... I ' ,■! .. , I П JiT
» i II 1гмпло!!я ;
ßtvornan ajimiiirwuiw í:cx iííkкий гису.ъчрсгтяшш пглич-i ii'ui-кчЛ > nlîl.î-J V. Ii ! I• Г tl.MCÜI! A.Î1. IVpilCil«
'i MUM ' i ^ ,")!!) i H . !
' • „l 212 2 2 2 i i , 2 » пч i i i i i i
II ( Hi I П' I I \ i 1 i ! 1 m> •! У 11,11 p( i 1!
I • I 1 I) H|H,h l< I \ I •»•» »I» ИЯ«р.и,Ч.2й.М(|Г\-М;>П!Ь"->И'.'|{ЯН«Ч.".К1!Й
•.¡K-.hV.U.Il-l.
( nuipi i i 1 > < i 11 II i Moiiiliwijisr,in-u •;;>!.M.Ii>i>u«H ••
Г II ¡iptv, < i p nu m <»■ i ргнпла ¡¡¡î ллргс-.- ¡'/'in;;.»
ill Ii< И J 11 I , I i- I i II O i l>
> uui in il, ! t i 11 ¡i,'\¡iu « огдг-летш Maim: i ir>n к» .m !•• . mi. i" BU I \H i<> 11¡ иг 191023. Санк!-П.-гч->у!)г.
i! ) > II <î> I I i >~ 4
Aerojx4j*4„tr p.-w mis 2010 r.
Ученый п-кр'ларь дп; rcpTaimoiiüOJ'O u-.
7*-
Ножшк i:uf; i.> M.
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Диссертационная работа относится к актуальному направлению современных алгебры и теории чисел - изучению связей между модулярными формами и представлениями групп. В последние 30 лет появилось много работ, посвященных этим вопросам. Значительную стимулирующую роль сыграла статья Дж.Конвея и С.Нортона "Monstrous moonshine", в которой изучались связи между представлениями группы Монстр Фишера-Грисса и коэффициентами модулярного j - инварианта. О работах Джеффри Meiicoiia и его учеников (Ива Мартина ,У. Раджи и других) рассматривались связи между конечными группами и модулярными формами ненулевого веса. Возникающие в этом контексте ц - ряды также изучались в работах американцев Д.Цагира, Дж. Гордона, Синора , К. Оно, Д.Даммита. X. Кисилевски, Дж.МакКся и японских математиков М.Койке, Т.Копдо, Т.Тасака, М.-М. Ланга, Т.Хиромацу, И. Нобуро, итальянца А.Биаджноли, грека Я. Антонидиаса и других ученых.
Проводимые исследования показывают, что эта тематика полна разнообразных задач и является объектом интенсивного изучения. Однако до сих нор исследования велись достаточно разрозненно. Настоятельной необходимостью сегодня является разлитие системного подхода к построению теории.
Основной задача диссертации - внести вклад в разработку теории, изучающей связи между конечными группами и семействами q - рядов (г/—произведений), которые с ними ассоциированы с помощью принципа соответствия, основанного на применении комбинаторного символа обобщенной подстановки. Этот символ называется "Frame - shape"(каркас, рамочный шаблон).
Развиваемую теорию можно назвать теорией фрейм-форм или теорией фрейм - соответствия . Русская терминология не устоялась. В рефератах РЖ "Математика"на статьи американских и японских ученых, в которых это соответствие рассматривалось, Л.И.Кострикин и П.Гресь использовали термин "фрейм-форма", который мы и будем применять.
Возникающие здесь q - ряды при специализации являются разложениями Фурье для модулярных форм. Поэтому это соответствие можно понимать как соответствие между конечными группами и семействами параболических форм. Точное описание этого принципа приводится при описании содержания диссертации.
В первой главе разрабатывается удобный подход к систематическому изучению семейств, ассоциированных с группами с помощью фрейм - формы. Исследуются возникающие категории. Для возникающих семейств модулярных форм вводятся понятия G—связанности и С?—зависимости. Рассматривается проблема описания групп, которым соответствуют q - ряды с мультипликативными коэффициентами. Подгруппы такого типа содержатся в любой группе.
Вводится и изучается понятие модулярного аналога генетического кода конечной группы. Также исследуется новый тип арифметических сумм, возникших при изучении г?—произведений. Более подробно результаты изложены в реферате далее.
С точки зрения теории групп эти исследования тесно связаны с непростыми задачами определения групп по классическим спектрам ее представлений. С точки зрения теории модулярных форм полученные результаты отвечают часто высказываемой идее о том, что "модулярные формы живут в семействах".
В работе разрабатывается программа дальнейших исследований : формулируют^ и обсуждаются открытые проблемы, решение которых будет способствовать дальнейшему систематическому развитию изучаемой теории.
Цель работы.
Основная цель работы - разработка раздела теории представлений, в которой изучаются связи между конечными группами и <7—рядами, которые при специализации становятся модулярными формами - теории фрейм-соответствия (теории фрейм-форм). В рамках этой задачи следует ввести и изучить ряд новых понятий, разработать методы исследований. Следует подробно изучить соответствие между конечными группами и рядами с мультипликативными коэффициентами, дать определение групп, со всеми элементами которых ассоциируются мультипликативные т]-произведения - Мт]Р— групп, показать, что подгруппы такого типа содержатся в любой группе. Ставится задача классификации Л/г/Р— групп различных типов. Также ставится задача изучения параболических форм, ассоциированных с элементами конечного порядка в 5£(5. С) с помощью присоединенного представления, нахождения взаимосвязей между характерами модулярных форм и характерами Вейля. В рассматриваемом контексте очень интересно определить и исследовать модулярный аналог генетического кода. Также интересно изучить новые арифметические суммы - суммы Шимуры, которые возникают попутно в некоторых рассматриваемых задачах, изучить их для различных арифметических функций.
Методы исследований.
В работе используются методы теории представлений, теории групп и теории модулярных форм. Выработаны некоторые новые понятия для проведения исследований в теории фрейм-форм.
Научная новизна.
В диссертации получены следующие новые научные результаты:
• предложены подходы к систематическому изучению теории фрейм-форм - одному из новых разделов теории представлений; па основе соответствия между элементами конечных групп и модулярными формами с помощью некоторых представлений вводится и изучается категория (С. Ф)— множеств модулярных форм, предлагается программа дальнейшего изучения;
• изучаются понятие редуцированного (С,Ф)— множества, понятия С—зависимости и С-связанности множеств параболических форм, задания семейств групп множествами модулярных форм;
• подробно исследуется один специальный класс модулярных форм с
мультипликативными коэффициентами - мультипликативные ^—произведения,
дается несколько описаний этого класса, показывается, что эти функции могут определяться условиями па дивизор; дается арифметическая интерпретация коэффициентов некоторых форм;
• получены существенные результаты по проблеме классификации
Мт]Р—групп - таких конечных групп, что все модулярные формы , ассоциированные с элементами группы с помощью некоторого точного представления , являются мультипликативными г;—произведениями: описаны абелевы, метациклические Мг]Р—группы, конечные Л/г/Р— подгруппы в БЬ(5, С), Мт]Р—группы порядков 24, 21. I < 5, описаны все Мг)Р—группы нечетных порядков; доказано,что группы
л4 х г6, л4 х лъ х г3, л5 х г4, л6 х л6 х 56
являются МцР-группами; при этом детально описываются соответствия между элементами групп и модулярными формами;
• доказывается, что простая группа является МцР—группой тогда и только тогда, когда она - подгруппа в Л/24!
• доказывается, ч то не существует такой разрешимой конечной группы, что с се элементами можно связать все мультипликативные ^—произведения и только их с помощью некоторого точного представления;
• полностью описываются такие параболические формы, ассоциированные с элементами конечного порядка в 5, С) с помощью присоединенного представления , что характеристический многочлен оператора Лс!,(д) имеет
= ПО*"'- «i-ij-eN; j
• вводится и изучается понятие модулярного аналога генетического кода группы;
• найдены взаимосвязи между характерами модулярных форм и характерами некоторых представлений;
• в диссертации также изучаются новые арифметические суммы -суммы Шимуры. Они возникают попутно в некоторых рассматриваемых задачах. Эти суммы изучаются для различных арифметических функции. Получены некоторые арифметические тождества.
Теоретическая и практическая ценность.
Диссертация имеет теоретический характер. Введенные в ней понятия, развитые методы и полученные результаты могут найти применение в теории групп, теории представлений и теории модулярных форм. Материал, изложенный в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по теории представлений и теории модулярных форм.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на международных конференциях по алгебре в Барнауле (19D1), Туле (2003), Москве (2004), Санкт - Петербурге ( 1997,2002, 2007 ), Самаре (2007), международной конференции по теории чисел Joumccs Arithmetic ( Лимож,1997; Рим 1999; Грац 2003; Марсель 2005; Эдинбург 2007), международной конференции по теории чисел в Москве (2007), школе - конференции по теории групп Ли в Самаре (2009), на семинаре по теории чисел в Институте Макса-Планка в Бонне в 200G году, а также на городском алгебраическом семинаре имени Д.К.Фаддева города Санкт-Петербурга и семинаре кафедры высшей алгебры Московского государственного университета.
Публикации.
Все результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 19 работах
без соавторов, среди них 14 статей опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы.
Диссертационная работа состоит из введения, семи глав и списка литературы, насчитывающего 92 названий. Общий объем работы составляет 169 страниц текста.
Содержание диссертации
Опишем теперь краткое содержание работы но главадг. В главе 1 предлагаются подходы к систематическому изучению теории фрейм-соответствия. Вводятся некоторые новые понятия, полезные для такого изучения.
В пункте 1.1. приводится описание принципа соответствия между элементами конечных групп и q—рядами с помощью фрейм-формы. Он состоит в следующем.
Пусть Ф— такое линейное представление G в пространстве V. 24 \dimV, что для любого элемента j G G характеристический многочлен Рд(х) имеет вид
П(*"'-1)«Л aj, tj G N, 24|£О^,
.¡=i j=i
Тогда каждому элементу д можно сопоставить функцию
= П v(ajz)1'. i=1
Функция ?)9(2)является параболической формой из пространства Sk(N, х), где
1 ' }=1
минимальный уровень N определяется из условия
,Ntj
24|£:
i=i "J
характер характер Дирихле по модулю N,
'и;.«'/
Если (1— четно, то х(Л) определяется как + №} = = 1-
Символ П,'=1а/ называется фрейм - формой . Описанное выше соответствие называется соответствием с помощью фрейм-формы (Ргате-вЬаре - соответствие).
Такое соответствие можно рассмотреть для любой группы. Например, можно подобрать представление в виде суммы регулярного и нескольких тривиальных.
Далее вводится и изучается новое понятие (О, Ф) - множества модулярных форм:
(С. Ф)— множеством называется множество параболических форм т1д{г). ассоциированных с элементами группы й по правилу, описанному выше, с помощью некоторого представления.
Можно определить некоторые категории, объектами которых являются эти множества.
Во многих задачах удобно рассматривать множества, получающиеся из (й, Ф)-множеств удалением повторяющихся параболических форм. Мы будем называть такие множества редуцированными. Здесь возникают очень интересные для изучения понятия С— связанности и С—зависимости множеств модулярных форм. Определяются пересечения и объединения редуцированных (С, Ф)-множеств. В пункте 1.9. мы формулируем некоторые открытые проблемы.
Практически интересно изучать ситуации , когда с элементами конечных групп связаны д—ряды с какими-то особыми естествеными свойствами. Мы рассмотрим возникающие здесь ряды с мультипликативными коэффициентами.
Подробному изучению этой проблематики посвящены вторая, третья и четвертая главы диссертации.
Ряды с мультипликативными коэффициентами могут возникать только из представлений размерности 24, список этих эта-произведений известен. Он состоит из 28 параболических форм целого веса и двух праболических форм полуцелого веса. Эти функции были открыты в 1985 году американскими учеными Дж.МакКеем, Д.Даммитом и Н.Кисилевски. Они называются мультипликативные г)—произведениями. Очень интересно получить различные описания этого класса форм.
В пункте 2.1. мы доказываем теорему о том, что мультипликативные Г]—произведения целого веса определяются условиями на дивизор.
Теорема 1.
Существует в точности 28 функций, определенных следующими условиями:
1) они являются параболическими формами целого веса с характерами некоторого уровня;
2) все их пули сосредоточены, в параболических вершинах, и порядок каждого пуля равен 1.
Эти 28 функций и есть мультипликативные г/—произведения целого
веса.
Выпишем все мультипликативные г/-произведения явно в следующей таблице.
Я*) £ Лт х(<0
4(23 г)ф) 1 23 / -23\ \ и <
П( 22гМ2г) 1 44 /-11 \ 1 </ )
Ч(21г)Ч(Зг) 1 03
г,(2()2)Г,(4 г) 1 80
Ч(18г)Ч(б2) 1 108
Ч(1бг)Ч(8г) 1 128 №
1 144
ПЧ 6г) 2 30 1
Чг(82)772(4г) 2 32 1
2 20 1
ч(12г)ч(б2)ч(42)|г(2г) 2 24 1
2 15 1
Ч(142)Ч(7г)»}(2г)1}(2) 2 14 1
?г(92)Ч2(Зг) 2 27 1
^(112)^(2) 2 11 1
43(б2)г,3(22) 3 12
Г/6 (42) 3 1С
7,2(82)^(4г)»7(22)г)2(г) 3 8 \~Т 1
•?3(7г)ч3(2) 3 7
^(бг^Зг^гг)»^) 4 б 1
»»4(52)|}«(2) 4 5 1
4 9 1
г/4(4г)г/4(22) 4 8 1
Г^(42)Г,2(22)Г,4(2) 5 4 (*)
|?в(32)|7в(г) 6 3 1
,»(22) 0 4 1
■ц8(2г)г)аг) 8 2 1
Ц*(2) 12 1 , 1
Г/3(8г) 3 2 4 Ц)
Ч(24г) г 2 570 №
В пункте 2.2. мы определяем Мг)Р—группы.
Определение.
МщР—группа - это такая конечная группа, что все модулярные формы, ассоциированные с элементами группы с помощью некоторого точного представления, являются мультипликативными г]—произведениями.
Название - э то фактически сокращение фразы "группа, ассоциированная с мультипликативными ^—произведениями".
Такого типа подгруппы содержатся в любой группе. Единичная группа является Л/т/Р—группой. Исследование таких групп было стимулировано открытием Дж.Мейсоном того интересного факта, что группа Матье Л/24 является Мт}Р—группой. Однако, легко видеть, что не все такие группы являются подгруппами в М-ц. Кроме того, для одной и той же группы часто возможны различные варианты соответствия.
Исследования групп проведены тщательно,явно указываются используемые точные представления и соответствующие элементам группы параболические формы.
Во второй главе получена полная классификация абелевых М»/Р—групп. Доказана следующая теорема.
Теорема 2.
Пусть С —такая абелева группа, что существует некоторое точное представление Т такое, что для любого элемента д этой группы модулярная форма Г1д(г),ассоциированная с д с помощью Т, является мультипликативным г]— произведением.
Тогда С является подгруппой в одной из следующих групп:
^16: ^18- г10 х 2г- Яц-
2п х х 2г х 22.
В третьей главе исследуются метациклические МГ)Р—группы. Основной результат сформулирован в следующей теореме.
Теорема 3.
Метациклические М^Р—группы вида
< а.Ь : а'п = е, Ь' = е,Ь~гаЬ = ог >, где пересечение подгрупп < а > и < Ь > тривиально, описываются следующим списком, параметров:
m = 3, s — 2,4,6,8,12,18, r ^ 2. m = 4, s = 2,4,6,8,10,24, r - 3. m = 5, s = 4,8,12, r 2; s - 2,4,6,8, r - 4. m = 6, s = 2,4,6, г 5.
m = 7, s = 3,0, r = 2; s - 6, 12, r - 3; s = 2, 4, 6, г - 6. m = 8, s = 2,4, r = 3; s ---- 2, 4, r - 5; s ^ 2, 4, г - 7. m = 9, s = 2, r = 8; s - 4, r - 8. m — 10, s = 4,8, r =-- 3; s - 2, 4, r -= 9.
m - 11, s 2,4, r 10; s 5, г 5; s 10, 20, r 2; s 10, r 4. m = 12, s = 2, r = 5, 7, 11.
m = 14, s = 2, r — 13; s - 3, r ^ 9; s = 4, r =-.- 3; s - G, г 3. m = 15, s = 2, r = 4, 14; s 4, r ^ 2. ш = 1G, s — 2, r — 7, 9, 15. m - 18, s 2, r 17. m = 20, s = 2, r = 9, 19; s = 4, r = 17. m = 21, s = 2, г = 8, 20; s == 3, г 4; s = 6, r == 2. m = 22, s = 2, r - 21; s 5, r 3; s - 10. г = 7. m — 23, s = 2, r = 22; s -- 11, r = 10; s = 22, r = 5. m = 24, s 2, r 17.
В четвертой главе исследуются некоторые другие Mт^Р-группы. В пункте 4.1. доказывается теорема о возможной структуре силовских р— подгрупп Мт/Р—групп при нечетном р.
Теорема 4.
Пусть G— конечная группа, для которой существует такое точное представление Т, что для каждого g 6 G характеристический .многочлен оператора Т(д) имеет вид Ря(х) = nj=i(j;aj — и соответствующая параболическая форма jjg(z) = Щ=1 iî'J(aj2) является мультипликативным //— произведением.
Тогда для силовских подгрупп 3ylp. р / 2, группы G существуют лишь следующие возможности:
Syk = Z-i, Syk = Z3x Z3, Syk S Z9,
Syk =< a.b,c : a'1 = e, 63 = e, ci = e.ab = bac, ac = ca, bc = cb >.
Syk = Z5, Syk = Z-, Syln = Zu. Доказан также следующий факт.
Теорема 5.
Не существует такой конечной разрешимой группы G, что со всеми ее элементами с помощью некоторого точного представления можно ассоциировать все мультипликативные г)— произведения и только их.
В пункте 4.2. подробно изучается соответствие между мультипликативными ^—произведения и элементами групп порядка 24.
В пункте 4.3. изучаются М^Р-группы порядков 10 и 32, которые не были рассмотрены ранее.
В пункте 4.4. мы докажем теорему, описывающую все Мг]Р— группы нечетного порядка.
Теорема 0.
Мг)Р— группы нечетного порядка являются подгруппами, в одной ия следующих групп:
С1 =< а,Ь,с : а3 = Ь3 = с3 = е, аЬ = бас, ас = са, Ьс = сЬ >,
С2 — < и, Ь : а2' = Ь3 ^ е, Ь~'аЬ - а4 >,
в3 =< а.Ь: а2:1 = Ь11 = е, Ь^аЬ = а10 >,
С4=<а,Ь : а11 = Ь5 = е. Ь^аЬ = а5 >,
С*5 =
В пункте 4.5. мы опишем все простые Мг/Р—группы. Теорема 7.
Конечная простая группа О является простой МщР— группой тогда и только тогда, когда й - подгруппа в М24-
Результаты пунктов 4.0. - 4.8. описываются следующей теоремой.
Теорема 8.
Группы
л4 х гъ. а4 х г6, ль х г3. лъ х г4, лй х лй х г3, зй
являются МТ]Р—группами.
Понятно, что все подгруппы этих групп - также Л/г/Р—группы. Подробно разобраны различные, часто все возможные, варианты соответствия между элементами групп и мультипликтивными т]— произведениями.
В пятой главе мы изучаем появление г]— произведений при рассмотрении представлений групп Ли.
Получено следующее интересное свойство, описанное в теореме 9.
Пусть Лй— присоединенное представление группы 5Х(5, С), и д 6 ЭЦЬ.С), огй{д) ф 3,6,9.21, таков, что характеристический многочлен оператора А(!{д) имеет вид
!>,;,<:) = и; -.(^ - 1)''. п, С N. I, 6 N.
Тогда соответствующая параболическая форма Г)я{г) = г},'{а12) является. мультипликативным Г]—произведениел1 веса. к(д) > 1, и на: мультипликативные г}—произведения веса к{д) > 1 можно получить этим, путем.
Если ог(1(д) = 3, б, 9,21, то этим, путем можно получить все мультипликативные г)—произведения веса к(д) > 1. Кроме этого, в этом соответствии возникают пять людулярньи: форм, ыуторис. ш: лв^ьямни.я мул1>тш^ш.катаышм:и ту— произведениями:
ту4(3г)т,12(4 г/(Зг)г,3(2), г,2(бг),,6(2г), ^(Эг^Зг)^), г/(2П)г,\г).
Конечные подгруппы в 5, С), элементы которых могут быть ассоциированы с мультипликативными г;—произведениями с помощью присоединенного представления описываются следующей теоремой
Теорема 10.
Максимальные конечные Мг}Р-подгруппы в ЗЦ5, С), с элементами которых мультипликативные ту—произведения ассоциируются через фрейм-форму с помотаю присоединенного представления являются прямыми ироияти)г.ниями группы ( которая п/цю-жднется скалярной матрицей) и одной из следующих групп:
Яц, СЗ»,х7;(. ОцхТч, бинарная группа тетраэдра, метациклическая
группа порядка порядка 21, Дь метациклическая группа порядка 12: < 5, Т : 53 = Т2 = (5Г)'2 >, все группы порядка 16, 2з X Й14, ги, йю, ■
Собственные значения элементов, соответствующих модулярным формам, находятся однозначно с точностью до перестановки и замены первообразных корней. В следующей таблице мы их выпишем.
собственные значения параболические формы
1,1,1,1,1
-1,-1,-1,-1,1
-1,-1,1,1,1 z)
Сз.Сз-Сз, 1,1 V6(3z)V«(z)
С|,С|,Сз,Сз,1 rf(3z)
CbCl:CbCl:C4 r,\4z)r,\2z)ri\z)
C4.Ci.C4. Ci,1 rf(4z)rf42z)
rf{4z)
C5.CS,CS: 1,1 4*(5z)n*(z)
Сб. Ce i Сб. Cci Сб r,'\6z)ri2(ZzW(2z)rnz)
Сб.Сб.Сб.Сб'! i?(6z)rf(2z)
(!, (С, Cl: (б,1 TI1(6Z)
с«., сг, Се: 6.1 V2(8ZW(4Z)
Cs.Cg.Cl.Cl.Cs, 772(82)7?(4Z)7?(2 ZW{Z)
Cí-CÍ.CÍ-Cí.l rnazWiSz)
Сю. Сю. Cío, Сю,1 ,I2(10ZW(2Z)
Cii, Cíi, Cíi. C?i> Си V2(n z)if{z)
Ci2,Cl2,Cl2,Cl2,Cl2, П{12г)т)((>г)о{Ь),,{2г)
CÍ|,C?4,CH,Ci4.CI4, T)(UzM7z)r,(2z)ri(z)
Cl5 . Cl5. Cl5. Cl5,l Ti(l5z)t}(5z)ri(3z)ii(z)
В пункте 5.2. изучается связь между характерами Рамануджана, которые мы можем определить для модулярных форм и которые для форм, собственных относительно всех операторов Гекке, фигурируют в формулах для эйлеровых произведений, и характерами Вейля.
Для эта-произведений по фрейм-форме характеры Рамануджана определяются формулой
J рк^~1х9(р), (0г%),р) = 1, W> ~ 1 0, (ord(g),p) = р.
Здесь ord[g)— порядок модулярной формы t]g(z); к(д). XgÎP)~ всс и характер rig(z).
Рассмотрим простую группу Ли Go и се алгебру Ли Lie(Gо) четного ранга. Пусть G— такая конечная подгруппа этой группы Ли, что каждый ее элемент g имеет в присоединенном представлении характеристический многочлен вида Ylji^11' ■ с которым ассоциируется функция П7 vi11]2)*'-Обозначим через c/i.(p_i)p— характер Вейля неприводимого представления группы Ли G0 о старшим весом {р — \)р, где р— полусумма положительных корней алгебры Ли Lie{Ga).
Для любого элемента д £ (3 и любого нечетного простого числа р, взаимно простого с порядком элемента д. и.мсет место
¿чпСр
где г— ранг алгебры Ли Ые(Оо).
МцР—группы содержатся в тобой группе.
Интересной является следующая проблема:
Пусть Н— иссдииичная М г/Р-подгруппа группы О. Описать все представления группы С, ограничения которых на Н являются XI г)Р—представлениями.
МцР— представление группы Н - это представление, с помощью которого каждый элемент из Н ассоциируется с мультипликативными у— произведениями. В доказательствах мы эти представления для удобства называем допустимыми.
В пункте 5.4. мы доказываем, что, если в некоторой группе С. содержащей по крайней мере две собственные Мт)Р— группы, ограничения некоторого точного представления на все собственные неедипичпые подгруппы являются Мт/Р — представлениями, то сама группа С является Мг/Р—группой.
В пункте 5.5. мы изучаем связи между представлениями групп и ц-рядими с коэффициентами, близкими к мультипликативным.
Далее мы оиисывсм общий алгоритмический подход к изучению фрейм-соотвстствия.
В шестой главе мы изучаем понятие модулярного аналога генетического кода, то есть такого явления, когда наборы г)— произведений однозначно определяют группу. В некотором смысле это - "пшфр"группы.
Мы вычисляем такой код для групп порядков от 1 до 8. Эти примеры показывают, что нахождение такого кода непросто даже для малых порядков.
Множества параболических форм, указанное в следующей таблице, однозначно определяют соответствующие группы.
группа модулярный генетический код
{е} {./"(*)}
г2 П12(2г)}А {№), г]»(2г)П\г)}
г.
г2 х гг {Чм(2), г)12(2г)} Д
Я, ^(Аг), т)и{2г)}/\ {^{г), г/5(4г)/,2(22), ?/10(2г)г/4(г)}
{^(г), ^(62)^(2)}
я« {^(г), ^(62), ^12(22)}Л {г,м(г): т3(6г)^(г), чв(Зг)т/!(2)1 т,9(22)т,е(г)}
{^(2), г/>(Ъг) Т712(2г)} Д {г/24(г), ?/6(Зг)г/6(2), г;и(2г)г;2(2)}
г-,
{ггм(г). ,т)ь(4г), »?12(2г)}
2ц х {^(г), ^(4г), т)12(2г)} А {■^(г), г,6(4г), ч»(2г), г/8(2г)г18(г).
2г х х {^(г), »)12(2г)} А {Чм(г). 7712(2г), ^(22)^(2), г/6(22)г;12(2), ^(2г)^(г)}
О, г,е(4г), г/12(22)} А {^(г), ^(42), №), г?8(2г)^(2), »,10(22)^(г)}
Я* {Чм(г): г/6(42): г,12(2г)}Л {гг24(2): ^(42)^(22)^(2), ^(42)^(2), г]4(4г)т]4(2г), г,8(2г)^(г)
Далее находятся коды для циклических групп порядка р1. групп порядка р2, рд, диэдрнльных групп Вр. групп порядка 24.
Пусть р - нечетное простое число, р / 3,7.
Тогда диэдралъпая группа О,, однозначно определяется множеством
г,12"( 22)}.
Группы Р3 и 07 определяются наборами из двух множеств:
Теорема 14.
Любая группа порядка 24 может быть однозначно определена одним или двумя множествами г/— произведашй. Все эти множества состоят из мультипликативны.х r¡— произведений, кроме случаев Zi2 х Z2, Zg х Z2 х Это соответствие указано в следующей таблице.
Здесь группы, стоящие в левом столбце - это
Gt = S4,
G2 =< a,b : а6 = b4 = е. b'lab = а5 >; С3 а, /".'i1 -• >/ - (ab)2 - (a-'i)2 - е >; С,^<а,Ь-.а* = b6 = (яй)4 = р, а3 = Ь3 = (аЬ)2 >;
G3 = £>6 х G6 = А4 х Z2; G7 ^ D4 х Z3; Gg = S3 x Z4; G9 = Q8 x Z3; G10 = O12;
Gn =< а, 6 : а6 = Ь2 = (аЬ)2 >;
Gi2 =< a.b : а3 = bs = e, b'lab = а2 >;
G13
Gl4 = Z]2 x ¿?2i G15 = Z2i-
группа модулярный генетический код
с, {Ч«(42), Ч8(32); Г?12(2Л),
{т/4(6г), Ч6(42), т/8(32). |,»(2г), 7/24(2)}Л {г,2(62)т;2(32)г,2(22)г,2(2). 7/3(6г)т?(2г). 7/4(42)т74(22). ?г4(42)г;2(22)??4(2), г)а(2г)^(г), т/12(22), 7/24(2)}
{^(62), т/б(42), тДЗг), т/12(22), т/24(г)}Л {^(62), т/8(32), ^(42)^(22), Ч8(22)Чв(2)! т/12(22), ^(2)}
с4 {т/4(62), Чв(42), ,"(32), т/12(22), Т/24(2)}Д {^(62)^(22), 7?С(42), 7/С(32)чв(2), т/12^), т/24(г)}
65 {1/462), Чи(22), Л {т/2(б2)г;2(32)г;2(22)г,2(2). ^(62)^(22). 7)6(32)т/6(2), г)8(2г)т)8(г): П12(2г), П24(*)}
с6 {»,ЧС2), 7/8(32), ,,'2(22), /,24(2)}Л {^(б2),г(32)Чг(22)»7г(2), 7/6( 32)Ч«(32), г/^тДг), Г,2-"(2)}
С7 {т?2(122), т/4(62), чв(4г), 7/8(32), г/12(22), т/24(2)}Д {7,(12г)г/(02)^(42)г/(22), Г/2(62)^2(32)^2(22)Г/2(2). г13(6г)г13(2г), г)\Ьг)т]\2г), т?6{3г)г?е(г).Г78(22)т?8(г). 7712(22), 7/24(2)}
С3 {^(Ш), 77"(62), Ч«(4г), 778(3г), г?1г(2г), 77м (г)} Д {^(122), т/4(62), г/8(3г), т/с(4г),Т)8(22)ч8(г), т,12(2г), т/24(2)}
С9 {т?2(122): г/4(6г), Ч«(42), Т/8(32), г/12(2г), ^(2)} Л {7/(122)77(62)77(42)7/(22), ^(бг^ЦЗг)^^,2^). г)3(6г}г13(2г), 7/4(42)??4(22), ^т/^)^^), 7/24(2)}
Сю {Г/2(122), Т/4(6г), т/е(42), ^(Зг), 7/12(22), 7?24(2)}Д {7/(122)7/(62)7/(42)7/(22). 7/2(62)7/2(32)7/2(22)Т/2(2). 7/3(б2)7/3(22), г/4(42)г/4(22), г/6(32)г/в(2).г/8(22)т/8(2), 7/12(2г), г/24^)}
<?п {7/2(122): 7/4(62), 7/°(42), 7/8(32), 7/12(22), 7/24(2)}Л {7/(122)77(62)7,(42)7/(22). 772(б2)772(32)т72(22)7/2(2): 7/4(42)774(22), Г/4(42)772(22)7/4(2), 7/6(32)776(2), Г/»(22)778(2), Т/24(2)}
Си {т/2(12г). 7/4(62).7/3(82), т/6(42). т/°(32). Т712(2г). ?724(2)}
Счз {Г/4(62), Т/8(32), г/12(2г), ?724(г)}Л {7/2(б2)т/4(32). 7?3(62)?72(32). 774(62). г/8(3г), 7/6(22)„12(2), 7/9(22)Г/6(2), т/12(2г), 7/24(2)}
Сн {т/2(122); 7/4(б2), ^(42), 7?8(32), 7712(2г), 7724(2)}Д {Т/2(122). Т/2(62)774(32). 7/4(б2). 77®(4г), 7/8(32). 7/6(22)7712(2). 7712(22), Т/24(2)}
с15 {7/(242), 7/2(122), 7/4(62), 7/3(82). 776(42), Т/8(32), Г,12(22), 7/24(2)}
Глава 7 посвящена изучению новых арифметических сумм, которые привлекли внимание математиков при исследовании г/—произведений. Они называются суммами Шимуры . Определение их дано Кеном Оно в 1994 году. Мы показываем, что эти суммы можно и очень интересно изучать для любых арифметических функций, даже не связанных с теорией модулярных форм. Получены новые формулы. Доказаны некоторые арифметические тождества, содержащие суммы Шимуры. Далее мы приведем для примера две теоремы.
Лрпфмг.птче.скоа ф/уикцией называется комплскснозначная функция, определенная на множестве натуральных чисел.
Пусть а(п)~ арифметическая функция, доопределим эту функцию до функции, определенной на множестве неотрицательных рациональных чисел, положив значение этой функции равным пулю,если ее аргумент не является натуральным числом.
Определение.
Пусть а(п)- функция, описанная выше, с - положительное целое число.
Тогда для т > 1 сумма Шимуры Sh{m, а, с) определяется формулой:
Sh(l,a, с) = 0. Иногда эту сумму удобно формально добавлять.
Теорема 15.
Пусть
f(z) = ^(Ш) = $>(п)9» 6 5,(144, *).
1) Если р инертно в К = Q(\/—3), то
р = -2Sh(p\ а, 1) - 1.
2) Если р расщепляется в К — Q(\/—3), то р = I2 + 3т2, и
(|) I = Sh(p,a, 1) + 2,
р = (25Л(р, а, 1) + а2(р))2 - 2Sh(p2, a, 1) - az(p2) - 2Sh(p, a, 1).
Пусть р— нечетное, простое число, и
оо
ш = ф2г)фг)ч(Аг)г,(2г) =
ОО
№ = ?[8г)т,г(4г) = 6(п)<Д
П = 1
ОО
Л(^) = = c(n)q"
I! = l
тогда
2Sh(p. а, 1) + а2(р) = 5Л(2р, 6,3) + р = 5Л(Зр, с, 8) + р.
Автор выражаег глубокую благодарность своему научному руководителю профессору H.A. Вавилову за постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и поддержку.
Публикации автора по теме диссертации Статьи п журналах, рекомендованных ВАК
[1) Г.В. Воскресенская, Модулярные, формы и представления групп , Матем.заметки, 52 (1992), 25 - 31.
|2| Г.В. Воскресенская, Параболические (формы и конечные подгруппы в SL{5, С), ФАН и его прил., 29, N 2, (1995), 71 - 73.
|3| Г.В. Воскресенская, Модулярные формы и регулярные представления групп порядка 24, Матем. заметки , 60, N 2, (1996), 292 - 294.
(4| Г.В. Воскресенская, Модулярные формы и представления диэдральных групп, Матем. заметки , 63, N , (1998), 130 - 133.
[5] Г.В. Воскресенская, Метациклическис группы и модулярные фюрмы, Матем. заметки , 67, N 2, (2000), 163 - 173.
[0| Г.В. Воскресенская, Конечные группы и мультипликативные эта
- произведения, Вестник СамГУ, 16, N 2, (2000), 18 - 25.
[7| Г.В. Воскресенская, Абелевы группы и м.одулярпые формы, Вестник СамГУ, 28, N 2. (2003), 21 - 35 .
[8| Г.В. Воскресенская, Мультипликативные произведения эта-ф>ункций Дедекинда и представления групп, Матем. заметки , 73, N 4 , (2003), 482
- 495 .
(9] Г.В. Воскресенская, Модулярные фюрмы и группы порядка 2" , Вестник СамГУ , 34 , N 4 , (2004), 18 - 38.
[10] Г.В. Воскресенская, О проблеме классификации конечных групп, ассоциированных с мультипликативными эта-произведепиями, Фунд. и приклад, математика , 10 , N 4 , (2004), 43 - 64 .
[11| Г.В. Воскресенская, Расширения групп и многочлены Холла, Матем. заметки , 78, N 2 , (2005), 180 - 185 .
(12] Г.В. Воскресенская, Модулярные фюрмы с мулътипликишиьншми коэффициентами и группы, порядка 24, Вестник СамГУ, 46 , N 6 , (200G), 19 - 32.
[13| Г.В. Воскресенская, Суммы Шимуры для арифметических функций, Вестник СамГУ , 57, N 7 , (2007),25 - 34.
(14) Г.В. Воскресенская, О теории соответствия между конечными группами и модулярными формами, Вестник СамГУ , 65 , N 6 , (2008), 71 - 82.
Другие публикации
[1] Г.В. Воскресенская, Гиперкомплексные числа, системы корней и модулярные формы, Сб."Арифметика и геометрия многообразий", Самара, (1992), 48 - 59.
|2| G.V. Voskresenskaya, One special class of modular forms and group representations, Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 11 ( 1999), 247 - 262.
[3| G.V. Voskresenskaya, Multiplicative Dedekind r/—functions arid representations of finite groups, Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 17 (2005), 359 - 380.
|4| G.V. Voskresenskaya, Modular forms, Slumura sums and arithmetic of quadratic fields , MPI - preprint, 95 ( 2006), 15 pp.
[5] G.V. Voskresenskaya, Finite groups associated to multiplicative r/—products , MPI - preprint, 96 ( 2006), 22 pp.
Подписано в печать 11.01.2010 г Формат 84 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 2,0 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ 4593.
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр. 26
Введение
0.1 Предмет и цели исследований.
0.2 Объекты и методы исследовании.G
0.3.Содержание работы.
1. Конечные группы и ассоциированыые с ними семества q - рядов
1.1 Основные принципы соответствия с помощью фрейм - формы
1.2 Категория G-MF - SET.
1.3 Категория GR-MF - SET.
1.4 (G, Ф) —множества как элементы полугруппы.
1.5 Редуцированные (G, Ф)—множества.
1.6 Вложения групповых алгебр в прямые суммы пространств модулярных форм.
1.7 Модулярные формы, независимые относительно группы.
1.8 "Уровень"группы.
1.9 Открытые проблемы и перспективы исследований.
2. Группы и q - ряды с мультипликативными коэффицентами : абелев случай
2.1 Мультипликативные i)— произведения.
2.2 Определение Mi)P - группы.
2.3 Циклические Мг\Р - группы.
2.4 Абелевы М7/Р - группы, содержащие элементы порядков 5,7, 11, 23.
2.5 Абелевы МцР - группы порядка 2".
2.6 Абелевы Мг)Р - группы с элементами порядка 3.
3. Метациклические группы и q - ряды с мультипликативными коэффицентами
3.1 Формулировка теоремы.
3.2 Диэдральные группы и мультипликативные г)— произведения.
3.3 Метациклические Л///Р— группы при т = 3,4,5,7,11,23.
3.4 Метациклические Мт]Р—группы при ш = 10, 14, 15, 20, 21, 22.
3.5 Метациклические Л///Р—группы при т = 6,8,9,12,16,18, 24.
4. Другие Мт]Р—группы
4.1 Силовскис подгруппы нечетного порядка Л///Р— групп.
4.2 МцР— группы порядка 24.
4.3 Мг)Р— группы порядка 16 и 32.
4.4 Мт]Р— группы нечетного порядка.
4.5 Простые Л/г/Р— группы.
4.6 МцР— группы вида Атп х ??? = 4, 5, 6.
4.7 Группа
4.8 Группа бе.
5. Роль мультипликативных т\— произведений в некоторых общих ситуациях
5.1 Мультипликативные //—произведения и присоединенное представление />(5. С).
5.2 Мт)Р- подгруппы в С).
5.3 Характеры Рамануджапа и характеры Вейля.
5.4 Ограничения представлений на Л/т/Р - подгруппы.
5.5 Регулярные представления и коэффициенты д— рядов.
5.6 Алгоритмический подход.
6. Модулярный аналог генетического кода
6.1 Модулярный генетический код для групп порядков от 1 до
6.2 Код для циклических групп порядка р1 (р. 6) = 1.
6.3 Коды для групп порядков р2, щ.
6.4 Коды для групп Б,,.
6.5 Коды для групп порядка 24.
7. Суммы Шимуры
7.1 Определение и исторические замечания.
7.2 Явные вычисления сумм Шимуры.
7.3 Связь с другими арифметическими суммами.
7.4 Суммы Шимуры для коэффициентов q— рядов.
7.5 Суммы Шимуры и мультипликативные т]— произведения.
7.6 Арифметика квадратичных полей и суммы Шимуры.
0.1. Предмет и цели исследований.
Диссертационная работа относится к актуальному направлению современных алгебры и теории чисел - изучению связей между модулярными формами и представлениями групп. В последние 30 лет появилось много работ, посвященных этим вопросам. Значительную стимулирующую роль сыграла статья Дж.Конвея и С.Нортона "Monstrous moonshine" [48], в которой изучались связи между представлениями группы Монстр Фишера-Грисса и коэффициентами модулярного j - инварианта. В работах Джеффри Мейсона и его учеников (Ива Мартина ,У. Раджи и других) рассматривались связи между конечными группами и модулярными формами ненулевого веса. Возникающие в этом контексте q - ряды также изучались в работах американцев Д.Цагира. Дж. Гордона, Синора , К. Оно, Д.Даммита, X. Кпсилевски, Дж.МакКея и японских математиков М.Койке, Т.Кондо, Т.Тасака, М.-М. Ланга, Т.Хиромацу. И. Нобуро. итальянца А.Биаджиоли , грека Я.Антониднаса и других ученых.
Проводимые исследования показывают, что эта тематика полна разнообразных задач и является объектом интенсивного изучения. Однако до сих пор исследования велись достаточно разрозненно. Настоятельной необходимостью сегодня является развитие системного подхода к построению теории.
Основной задача - внести вклад в разработку теории, изучающей связи между конечными группами и семействами q - рядов (г/—произведений), которые с ними ассоциированы с помощью принципа соответствия, основанного на применении комбинаторного символа обобщенной подстановки. Этот символ называется "Frame - shape"(каркас, рамочный шаблон).
Развиваемую теорию .можно назвать теорией фрейм-форм или теорией фрейм - соответствия . Русская терминология не устоялась. В рефератах РЖ "Математика"на статьи американских и японских ученых, в которых это соответствие рассматривалось, А.И.Кострикип и П.Гресь использовали термин "фрейм-форма", который мы и будем применять.
Возникающие здесь q- ряды при специализации являются разложениями Фурье для модулярных форм. Поэтому это соответствие можно понимать как соответствие между конечными группами и семействами параболических форм. Точное описание этого принципа приводится в 1.1.
В диссертации разрабатывается удобный подход к систематическому изучению семейств, ассоциированных с группами с помощью фрейм - формы. Исследуются возникающие категории. Для возникающих семейств модулярных форм вводятся понятия G—связанности и G—зависимости. Рассматривается проблема описания групп, которым соответствуют q - ряды с мультипликативиыми коэффициентами. Подгруппы такого типа содержатся в любой группе. Вводится и изучается понятие модулярного аналога генетического кода конечной группы. Также исследуется новый тип арифметических сумм, возникших при изучении //—произведений. Более подробно результаты изложены в третьей части введения.
С точки зрения теории групп эти исследования тесно связаны с непростыми задачами определения групп по классическим спектрам ее представлений. С точки зрения теории модулярных форм полученные результаты отвечают часто высказываемой идее о том . что "модулярные формы живут в семействах".
В работе разрабатывается программа дальнейших исследований : формулируются н обсуждаются открытые проблемы, решение которых будет способствовать дальнейшему систематическому развитию изучаемой теории.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору H.A. Вавилову за постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и поддержку.
За полезные обсуждения в ходе работы над диссертацией автор выражает глубокую благодарность профессорам Б.Б.Веикову, Ю.В.Нестеренко, А.А.Клячко, И.А.Чубарову, Джеффри Мсйсону, Дону Цагиру. Кену Оно, Херши Кисилевски, Джереми Лавджою, Янису Антонидиасу, Такешп Хиромацу.
0.2. Основные объекты и методы исследований.
В диссертации изучаются связи между конечными группами и q—рядами, которые при специализации становятся разложениями Фурье для некоторых модулярных параболических форм. Основной объект изучения - конечные группы. Теория фрейм - форм может пониматься как раздел теории представлений.
Основные понятия теории конечных групп можно найти в монографии М.Холла "Теория групп" [36], свойства q—рядов - в книге Г.Эндрюса "Теория разбиений "[39].
Приведем здесь несколько основных определений из теории модулярных форм, используемых в диссертации.
Пусть Н = {z е С, Im{z) > 0}— верхняя комплексная полуплоскость,
Г = 5L2(Z)—полная линейная группа,
Опишем две важные подгруппы в Г.
Г (.V)—главная конгруэнц-иодгруипа,
Пусть T{N) С Г С Г— некоторая подгруппа.
Множество Q U оо— называется множеством параболических точек. Параболической вершиной называется класс параболических точек, эквивалентных относительно группы Г.
В теории модулярных форм очень удобно использовать так называемый "слэш оператор ( "Slash оператор ). Его действие задается следующим образом : и ы - <«+-г - (- ") е ад
Пусть й) - характер Дирихле по молу.'по N. Определение 0.2.1.
Функция /(г) называется модулярной формой с характером относительно Г на Н, если
1)/1И7]=х(<*)/(г),У7€Г;
2)/(-) голоморфна на Я и в параболических вершинах. Условие 2 понимается следующим образом:
Для функции ¡(г) существует разложение в ряд Фурье оо г) = £ а{п)Я\ д = е2™
П = П0 в силу условия /(с + 1) = /(-)■ Оно называется разложением Фурье в бесконечно удаленной точке оо.
Если п0 > 0, то /(г) называется голоморфной в оо. Объясним теперь, как понимается условие 2 в других параболических точках. Пусть в € С^, 5 = о (оо).
Ряд Фурье для /(г) в .ч - это по определению оо
И*])(-)= Е = п=по
Число ог<1в(/) = По = {тпгт? п : а(п) ф 0} называется порядком функции /(г) в точке 5.
Если 5 = р^г), [3 Е Г, то огс?,(/) = оЫХ1{/).
Если 7*0 > О, то говорят, что /(г) голоморфна В 5.
Если щ > 0 для всех параболических точек , то ¡{г) называется параболической формой.
Модулярные и параболические формы образуют линейные пространства, которые обозначаются А^(Г,\). 6\.(Г,х)
На этих пространствах действуют операторы Гекке. Их действие описывается следующими формулами: Если оо п=О то оо
ОД I Тр,к,х = ^/(а(р^+х{р)рк-1а(п/р))яп. п-О
Если (р, п) = 1, а(п./р) = 0. | Тт,к,х = п=0 <1\(т,а)
Характер xin) — Ot если (N, п) Ф 1 Если т > 2, то № I ттА,х е Mk(r0(N). х). Если f(z) е Sk(T0(N).x): то f(z)\Tm,k.xeSk(r0(N),x).
Если f(z) является собственной функцией для всех то а(?пп) — а(п)а(т), при условии (гп,п) = 1.
В нашей теории важную роль играет ^/-функция Дедекинда, определяемая формулой оо
Ф) = 71/24П(1-9"). <7 = е2™, леЯ. /i=i г]— частное - это функция вида f(z) = ]Jvh(aJz). cij G N, tjEZ. j
Если Lj G N Vy, то J (z) называется 7/—произведением.
Если
24 | £f,a„ j то f(z) e Sk(l\r,x) Для некоторых Дт и д;. Здесь Sk(N,\) = Sk(T(N),x)
Для т?—частного порядок в параболической точке определяется по следующей формуле: пусть s = ™ , (m, п) = 1, тогда
N IT* (aJ>n)2t3
Методы исследований.
В работе используются методы теории представлений, теории групп и теории модулярных форм. Выработаны некоторые новые понятия для проведения исследований в теории фрейм-форм.
Аппробация работы.
Результаты работы докладывались на международных конференциях но алгебре в Барнауле (1991), Туле ( 2003), Москве (2004), Санкт- Петербурге ( 1997,2002, 2007 ), Самаре (2007), международной конференции по теории чисел Journees Arithmetic ( Лимож,1997; Рим 1999; Грац 2003; Марсель 2005; Эдинбург 2007), международной конференции но теории чисел в
Москве (2007), международной конференции по теории групп Ли в г.Самаре (2009); на семинаре по теории чисел в Институте Макса-Планка в Бонне в 2006 году, а также на городском алгебраическом семинаре имени Д.К.Фаддева города Санкт-Петербурга и семинаре кафедры высшей алгебры Московского государственного университета.
0.3. Содержание работы.
Научная новизна.
В диссертации получены следующие новые научные результаты:
1) предложены подходы к систематическому изучению теории фрейм-форм - одному из новых разделов теории представлений; на основе соответствия между элементами конечных групп и модулярными формами с помощью некоторых представлений вводится и систематически изучается категория
С, Ф)— множеств модулярных форм, предлагается программа дальнейшего изучения;
2) изучаются понятие редуцированного (С,Ф)— множества, понятия С—зависимости и (7—связанности множеств параболических форм, задания семейств групп множествами модулярных форм:
3) подробно исследуется один специальный класс модулярных форм с мультипликативными коэффициентами - мультипликативные //—произведения, дается несколько описаний этого класса, показывается, что эти функции могут определяться условиями на дивизор; дается арифметическая интерпретация коэффициентов некоторых форм;
4) получены существенные результаты по проблеме классификации Мг]Р—групп - таких конечных групп , что все модулярные формы , ассоциированные с элементами группы с помощью некоторого точного представления , являются мультипликативными ц—произведениями: описаны абелевы, метацикличсские Мг]Р—группы, конечные МцР— подгруппы в БЬ(р, С), Л////-*—группы порядков
24, 2г, I < 5, описаны все Мг/Р—группы нечетных порядков; доказано,что группы а4 х л4 х г8, а5 х г3. л5 х г4, х л6 х в6 являются Л !()Р—группами; при этом детально описываются соответствия между элементами групп и модулярными формами;
5) доказано, что простая группа является Мт]Р—группой тогда и только тогда, когда она является подгруппой в М24',
6) доказывается, ч то не существуе т такой разрешимой конечной группы, что с ее элементами можно связать все мультипликативные г)—произведения и только их с помощью некоторого точного представления;
7) полностью описываются такие параболические формы, ассоциированные с элементами конечного порядка в ЭЬ{5, С) с помощью присоединенного представления , что характеристический многочлен оператора Ай(д) имеет вид
Рд(х) = э
8) вводится и изучается понятие модулярного аналога генетического кода группы;
9) найдены взаимосвязи между характерами модулярных форм и характерами некоторых представлений:
10) в диссертации также изучаются новые арифметические суммы -суммы Шимуры. Они возникают попутно в некоторых рассматриваемых задачах. Эти суммы изучаются для различных арифметических функций. Получены некоторые арифметические тождества.
Опишем теперь краткое содержание работы по главам. Нумерация теорем совпадает с нумерацией их в основном тексте. В главе 1 предлагаются подходы к систематическом}' изучению теории фрсйм-соотвстствия. Вводятся некоторые новые понятия, полезные для такого изучения.
В пункте 1.1. приводится описание принципа соответствия между элементами конечных групп и д—рядами с помощью фрейм-формы. Он состоит в следующем.
Пусть Ф— такое линейное представление С в пространстве V, 24 \div~tV, что для любого элемента д € О характеристический многочлен Рд{х) имеет вид
Тогда каждому элементу д можно сопоставить функцию щ{г)= Г
7 = 1
Функция 77£,(г)является параболической формой из пространства х), где
1 * минимальный уровень N определяется из условия
5 Л7/
24| характер х~ характер Дирихле по модулю Лг, х('0 а/
Если <}— четно, то определяется как + = х№), =
1. [85]. Символ Щ=1 а/ называется фрейм - формой . Описанное выше соответствие называется соответствием с помощью фрейм-формы (Frame-shape - соответствие).
Такое соответствие можно рассмотреть для любой группы. Например, можно подобрать представление в виде суммы регулярного и нескольких тривиальных.
Далее вводится и изучается новое понятие (G\ Ф)— множества модулярных форм:
G, Ф)— множеством называется множество параболических форм tjy(z), ассоциированных с элементами группы G по правилу, описанному выше, с помощью некоторого представления.
Можно определить некоторые категории, объектами которых являются эти множества.
Во многих задачах удобно рассматривать множества, получающиеся из (G, Ф)—множеств удалением повторяющихся параболических форм. Мы будем называть такие множества редуцированными. Здесь возникают очень интересные для изучения понятия G— связанности и G—зависимости множеств модулярных форм.
В пункте 1.9. мы формулируем некоторые открытые проблемы.
Практически интересно изучать ситуации . когда с элементами конечных групп связаны q—ряды с какими-то особыми естествеными свойствами. Мы рассмотрим возникающие здесь ряды с мультипликативными коэффициентами.
Подробному изучению этой проблематики посвящены вторая, третья и четвертая главы диссертации.
Ряды с мультипликативными коэффициентами могут возникать только из представлений размерности 24, список этих эта-произведепий известен. Он состоит из 28 параболических форм целого веса и двух праболичсских форм полуцелого веса. Эти функции были открыты в 1985 год,у американскими учеными Дж.МакКеем, Д.Даммитом и Н.Кисилевски. Они называются мультипликативные rj—произведениями. Очень интересно получить различные описания этого класса форм.
В пункте 2.1. мы доказываем теорему о том, что мультипликативные произведения целого веса определяются условиями па дивизор.
Теорема 2.1.2.
Существует в точности 28 функций, определенных следующими условиями:
1) они являются параболическими формами целого веса с характерами некоторого уровгья;
2) все. иг, нули сосредоточены в парабола нес л иг вершинах, и порядок каждого нуля равен 1.
Эти 28 функций и есть мультипликативные 7/—произведения целого веса.
Выпишем их явно в следующей таблице.
Аг /V т]{23z)т](z) 1 23 Ж
Г7(22г)//(2г) 1 44
1 63 ( л ) г/(2(к)//(4с) 1 80 { —5 \ \ и )
7/(18г)//(6г) 1 108 1 а У г}(Ш)г){Ъг) 1 128 / 2\ \ а ) т]2(12г) 1 144 \1т)
ЧА{<ог) 2 36 1 т?(8г)г?(4г) 2 32 1
2 20 1 г/(12г)7/(6л)?/(4л)г/(2с) 2 24 1
2 15 1 г,(14г),,(7ф(2г)ф) 2 14 1
7?(9г№(3г) 2 27 1
2 11 1 т]3{6г)г]3(2г) 3 12 (?) г/6(42) 3 16 г)ц{Аг)ц{2г)п\г) 3 8 N
3 7 (?)
7/2(6г)т/2(Зг)//2(2г)//2(2) 4 6 1
7/4(5г)7/4(г) 4 5 1
ПЧ Зг) 4 9 1
74(4г)г74(2г) 4 8 1
5 4 т/в(3г)т/в(г) 6 3 1
7/Г2(22) 6 4 1
8 2 1
12 1 1
3(8.) 3 о 4
24г) 1 2 576
В пункте 2.2. мы определяем Мт]Р—группы.
Определение. Мт]Р—группа - это такая конечная группа, что все модулярные формы, ассоциированные с элементами группы с помощью некоторого точного представления, являются мультипликативными '//—произведениями.
Название - это фактически сокращение фразы "группа, ассоциированная с мультипликативными //—произведениями".
Такого типа подгруппы содержатся в любой группе. Единичная группа является MrjP—группой. Исследование таких групп было стимулировано открытием Дж.Мейсоном того интересного факта, что группа Матье М24 является Aíi]P—группой [77]. Однако, легко видеть, что не все такие группы являются подгруппами в М24. Кроме того, для одной и той же группы часто возможны различные варианты соответствия.
Исследования групп проведены тщательно,явно указываются используемые точные представления и соответствующие элементам группы параболические формы.
Во второй главе получена полная классификация абелевых MrjP—групп. Доказана следующая теорема.
Теорема 2.2.2.
Пусть G—такая абелева группа, что существует- некоторое точное представление Т такое, что для любого элемента g этой группы модулярная форма r¡g(z) .ассоциированная с g с помощью Т, является мультипликативным r¡—произведением.
Тогда С является подгруппой в одной из следующих групп:
Z3xZ3, Zu, Zia, Z2xZ2xZ2xZ2xZ2, Z4xZ2xZ2, Z4xZ4, Z8xZ2, 2i6i z10 x Z2, Z20, Z21, Z22, Z23,
Zl2 X Z% x Z2 x Z2.
В третьей главе исследуются метациклические Mr¡P—группы. Основной результат сформулирован в следующей теореме.
Теорема 3.1.1.
Метациклинеские М1]Р—группы вида а,Ь : а'" = е. Ь® = е.Ь"1аЬ = а1' >, где пересечение подгрупп < а > и < Ъ > тривиально, описываются следующим списком параметров: ш = 3, в 2,4,6,8,12.18, г 2. т = 4, в = 2,4,6,8,10,24, г = 3. ш = 5, в = 4,8,12, г = 2; Б = 2,4,6,8, г = 4. т = 6, 8 = 2,4,6, г = 5. т = 7, б = 3,6, г = 2; в - 6, 12, г = 3; б = 2, 4, 6, г = 6. т = 8, в = 2,4, г = 3; в = 2, 4, г = 5; Б = 2, 4, г = 7. Ш = 9, 8 = 2, Г = 8; Б = 4, г = 8. т = 10, б = 4,8, г = 3; з = 2, 4, г = 9. т = 11, 8 = 2,4, г = 10; в = 5, г = 5; б = 10. 20, г = 2; в = 10, г = 4. ш = 12, э = 2, г = 5, 7, 11. т = 14, 8 2, г 13; 8 3, г 9; 8 4, г = 3; 8 6, г 3. т = 15, б = 2, г = 4, 14; б = 4, г = 2. ш = 16, б = 2, г = 7, 9, 15. т = 18, 8 = 2, г = 17. т = 20, б = 2, г = 9, 19; б = 4, г = 17. ш = 21, б = 2, г = 8, 20; б = 3, г = 4; б = 6, г = 2. т = 22, 8 = 2, г = 21; 8 = 5, г = 3; б = 10, г == 7. ш = 23, 8 - 2, г = 22; 8 И, г - 10; н - 22, г 5. т = 24, б = 2, г= 17.
В четвертой главе исследуются некоторые другие Мг\Р—группы. В пункте 4.1. доказывается теорема о возможной структуре силовских р— подгрупп Мт)Р—групп при нечетном р.
Теорема 4.1.1.
Пусть С— конечная группа, для которой существует такое точное представление Т, что для каждого д € С характеристический многочлен оператора Т(д) имеет вид Ру(х) = — и соответствующая параболическая форма г}д(г) — Пу=1 является мультипликативным про изведа тем.
Тогда для силовских подгрупп Бу1р, р Ф 2, группы С существуют лишь следующие возможности:
Бу1 з^з, 5-///з = ^зх2Г3, ¿Уз = ^9,
Зу1з — < о, Ь, с : а3 = е, Ь3 = е, с3 = е, аЬ - Ьас, ас — са, Ьс = сЬ >, 5^5 = ^5, = ЭуЬх^г и.
Доказан также следующий факт.
Теорема 4.1.2.
Не существует, такой конечной разрешимой группы С, что со всеми ее элементами с помощью некоторого точного представления можно ассоциировать все мультипликативные q—произведения и только их.
В пупкте 4.3. изучаются МцР—группы порядков 16 и 32, которые- пе были рассмотрены ранее.
В пункте 4.4. мы докажем теорему, описывающую все МцР— группы нечетного порядка.
Теорема 4.4.1.
M-qP— группы нечетного порядка являются подгруппами в одной из следующих групп:
G\ =< а, Ь, с : «3 = ЬА = с3 = е, ab = bac, ас - са, bc = cb >,
2=<а,Ь:а21 = Ь3 = с. b~lab = a4 >,
G3 =< a, h : а23 = bu = е, i;"1ai» = а10 >. G4 —< a, b : а11 = lf = е\ b~lab = о5 >. G 5 = Zg,
6'б = Zl5
В пункте 4.5. мы докажем теорему, описывающую все простые MqP— группы.
Теорема 4.5.1.
Конечная простая группа G является МцР—группой тогда и только тогда, когда G - подгруппа в М24.
Результаты пунктов 4.6. - 4.8. описываются следующей теоремой.
Теорема 4.6.1.
Группы
А4 х Z6, Л4 х Z8, А5 х Z3, Аъ х Z4. Л6 х Z2, Лб х Z3, S6 являются M i)P—группами.
Понятно, что все подгруппы этих групп - также MqP—группы. Подробно разобраны различные, часто все возможные, варианты соответствия между элементами групп и мультииликтивными q— произведениями.
В пятой главе мы изучаем появление г\— произведений при рассмотрении представлений групп Ли.
Получено следующее интересное свойство, описанное в теореме 5.1.1.
Теорема 5.1.1.
Пусть Ай— присоединенное представление группы 5Х(5,С), и д € 5Ь(5,С), огй{д) ф 3,6,9,21. таков, что характеристический многочлен оператора Ай(д) имеет, вид
Ру{х) = П;=1(^ - I)4'. о, £ 14, ^ € N.
Тогда соответствующая параболическая форма = Т11=1 г11к является мультипликативным I)—произведением веса к(д) > 1, и все мультипликативные г\—произведения веса к{д) > 1 можно получить этим путем.
Если огс1(д) = 3,6,9,21, то этим путем можно получить все мультипликативные Т]—произведения веса к(д) > 1. Кроме этого, в этом соответствии возникают пять модулярных форм, которые не являются мультипликативными })—произ ведениями:
Конечные подгруппы в 5, С), элементы которых могут быть ассоциированы с мультипликативными г/—произведениями с помощью присоединенного представления описываются следующей теоремой
Теорема 5.2.2.
Максимальные конечные МцР—подгруппы в БЬ(5, С), с элементами которых мультипликативные г/— произведения ассоциируются через фрейм-форму с помощью присоединенного представления являются прямыми произведениями группы Z5 ( которая порождается скалярной матрицей) и одной из следующих групп:
5*4. А4 х 7*2- бинарная группа тетраэдра, мет ациклическая группа порядка порядка 21. О^, метациклическая группа порядка 12: 5, Т : 53 = Т2 ~ (6Т)2 >, все группы порядка 16, з х 2з, Z^5, Ъц, Z1ь ^чо, Яу ■
В пункте 5.2. изучается связь между характерами Рамапуджана, которые мы можем определить для модулярных форм и которые для форм, собственных относительно всех операторов Гекке, фигурируют в формулах дня эйлеровых произведений, и характерами Вейля.
Для эта-произведений по фрейм-форме характеры Рамануджана определяются формулой
ФР(д) = pfc(s)-1 о,
Xs(p). (ord{g),p) = 1: (ord(p),p) = p.
Здесь огс1(д) — порядок модулярной формы к(д), Хч(рвес и характер
Рассмотрим простую группу Ли С о и ее алгебру Ли /у?г-((70) четного ранга. Пусть С— такая конечная подгруппа этой группы Ли. что каждый ее элемент д имеет в присоединенном представлении характеристический многочлен видаП/(-'£и'5~1)4''- с которым ассоциируется функция П7 Обозначим через сН^-^р— характер Вейлн неприводимого представления группы Ли Со о старшим весом {р—1)р, где р— полусумма положительных корней алгебры Ли 1яе[Со).
Теорема 5.3.2.1.
Для любого элемента д Е С и любого нечетного простого числа р. взаимно простого с порядком элемента д, имеет место где г— ранг алгебры Ли Lie(Go).
Мт)Р—группы содержатся в любой группе.
Интересной является следующая проблема:
Пусть Н— неединичная MrjP—подгруппа группы G.
Описатг> все представления группы G, ограниченгт которым на Н являются М i)P—представлениями.
МцР— представление группы II - это представление, с помощью которого каждый элемент из Н ассоциируется с мультипликативными 77— произведениями. В доказательствах мы эти представления для удобства называем допустимыми.
В пункте 5 4. мы доказываем, что. если в некоторой группе G, содержащей по крайней мере две нетривиальные Мг\Р—подгруппы, ограничения некоторого точного представления на все собственные иеединичпые подгруппы являются М'цР— представлениями, то сама группа G является МцР—группой,
В пункте 5.5. мы изучаем связи между представлениями групп и су-рядами с коэффициентами, близкими к мультипликативным.
Далее мы описывем общий алгоритмический подход к изучению фрейм-соответствия.
В шестой главе мы изучаем понятие модулярного аналога генетического кода, то есть такого явления , когда наборы г;— произведений однозначно определяют группу. В некотором смысле это - "шифр"группы.
Мы вычисляем такой код для групп порядков от 1 до 8. Эти примеры показывают, что нахождение такого кода непросто даже для малых порядков.
Далее находятся коды для циклических групп порядка /У, групп порядка р2, рц, диэдральных групп £)р, грзтгп порядка 24.
Глава 7 посвящена изучению новых арифметических сумм, которые привлекли внимание математиков при исследовании 77—произведений. Они называются суммами Шимуры . Определение их дано Кеном Оно в 1994 году. Мы показываем, что эти суммы можно и очень интересно изучать для любых арифметических функций, даже не связанных с теорией модулярных форм. Получены новые формулы. Доказаны некоторые арифметические тождества, содержащие суммы Шимуры.
1. К. Айерлэнд, М.Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел, М., Мир, 1987.
2. Ю.А. Бахтурин. Основные структуры современной алгебры, М., Наука, 1990.
3. В.А. Белоногов, Представления и характеры в теории конечных групп, Свердловск , 1990.
4. В.А. Белоногов, А.Н. Фомин, Матричные представления в теории конечных групп, М., Наука , 1976.
5. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли. Системы корней, М., Мир, 1972.
6. Б.А. Венков, Избранные труды, Л., Наука, 1981.
7. Э.Б. Винберг, Линейные представления групп, М., Мир, 1985.
8. Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, М., Наука , 1988.
9. Г.В. Воскресенская, Модулярные формы и представления групп , Матем.заметки, 52 (1992), 25 31.
10. Г.В. Воскресенская, Гиперкомплексные числа, системы корней и модулярные формы, Сб."Арифметика и геометрия многообразий", Самара, (1992), 48 59.
11. Г.В. Воскресенская, Параболические формы и конечные подгруппы в 5Ь(5, С), ФАН и его прил., 29, N 2, (1995), 71 73.
12. Г.В. Воскресенская, Модулярные формы и регулярные представления групп порядка 24, Матем. заметки , 60, N 2, (1996), 292 294.
13. Г.В. Воскресенская, Модулярные формы и представления диэдральиых групп, Матем. заметки , 63, N 1, (1998), 130 133.
14. Г.В. Воскресенская, Мет ациклические группы и модулярные формы, Матем. заметки , 67, N 2, (2000), 163 173.
15. Г.В. Воскресенская, Конечные группы и мультипликативные эта- произведения, Вестник СамГУ, 16, N 2, (2000), 18 25.
16. Г.В. Воскресенская, Абелевы группы и модулярные формы, Вестник СамГУ, 28, N 2, (2003), 21 35 .
17. Г.В. Воскресенская, Мультипликативные произведения эта-фупкций Дедекинда и представления групп, Матем. заметки , 73. N 4 , (2003), 482- 495 .
18. Г.В. Воскресенская, Модулярные формы и группы порядка 2" , Вестник СамГУ , 34 , N 4 , (2004), 18 38.
19. Г.В. Воскресенская, О проблеме классификации конечных групп, ассоциированных с мультипликативными эта-произведениями, Фунд. и приклад, математика ,10 , N 4 , (2004), 43 64 .
20. Г.В. Воскресенская, Расширения групп и многочлены Холла, Матем. заметки , 78, N 2 , (2005), 180 185 .
21. Г.В. Воскресенская, Модулярные формы с мультипликативными коэффициентами и группы порядка 24, Вестник СамГУ , 46 , N 6 , (2006), 19 32.
22. Г.В. Воскресенская, Суммы Шимуры для арифметических функций, Вестник СамГУ , 57, X 7 , (2007),25 34.
23. Г.В. Воскресенская, О теории соответствия между конечными группами и модулярными формами, Всстник СамГУ , 65 , N 6 , (2008), 71 82.
24. И.М. Гельфанд, AI.И. Граев, И.И. Пятецкий Шапиро, Теория представлений и автоморфные функции, М., Наука, 1966.
25. Д. Горенстейн, Конечные простые группы. Введение в их классификацию, М., Мир, 1985.
26. Д.П. Желобенко, Основные структуры и методы теории представлений, М., МЦНМО, 2004.
27. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1972.
28. A.A. Кириллов, Элементы теории представлений, М., Наука, 1978.
29. Э. Кнэпп, Эллиптические кривые, М., Факториал Пресс, 2004.
30. Н. Коблиц, Введение в эллиптические кривые и модулярные формы, М., Мир, 1988.
31. Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж.М. Мозер, Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, М., Наука, 1980.
32. А.И. Кострикин , Введение в алгебру, М., Наука, 1977.32| Ч.Кэртис, И.Райнер, Теория представлений конечных групп, и ассоциативных алгебр, М., Наука, 1969.
33. С.Ленг, Введение в теорию модулярных форм, М., Мир , 1977.
34. С.Ленг, Эллиптические функции, М., Наука, 1984.
35. Ж.- П. Серр, Курс арифметики, М., Мир, 1972.
36. М. Холл , Теория групп, М., ИЛ, 1962.
37. К. Чандрасекхаран , Арифметические функции, М., Наука, 1972.
38. Г. Шимура, Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, М., Мир , 1972.
39. Г. Эндрюс, Теория разбиений, М., Наука, 1982.
40. A.G.van Asch, Modular forms and root, systems, Math.Ann., 222 (1976), 145 170.
41. A.O.L. Atkin, J.Lehner, Hecke operators on Г0(п?) , Math. Ann. 185 (1970), 134 160.
42. A.J.F. Biagioli, The construction of modular forms as products of transforms of the Dedekind eta-function, Acta Arithm., LIY.4 (1990), 273 300.
43. K.Bringmann, K.Ono, Identities for traces of singular moduli, 119.4 (2005), 317 327.
44. J.H. Bruiner, K.Ono, The arithmetic of Borcherds exponents, Math. Ann. 327 (2003), 293 303.
45. J.P.Buhler, Icosahedral Galois representations, LNM., 654 (1978).
46. B. Cipra, On the Shimura lift,apres Selberg , J.Number Th. 32 (1989), 58 64.
47. H. Cohen, J. Ocstcrle, Dimensions des espaces de formes modulaires, LNM, 627 (1976), 69 -78.
48. J. Conway, S. Norton, Monstrous Moonshine, Bull.London Math. Soe. 11 (1979), 308 339
49. J. Conway et, al. Atlas of simple groups, C.U.P., 1985.
50. D. Cox, Primes of the forms x2 + ny2, Fermat, class field theory and complex multiplication, Willey Publ.,New York, 1989.
51. B.Gross, D.Zagier, On singular moduli, J. reine angew. Math. 355 (1985), 191 220.
52. J.E. Cremona, Algorithms for modular elliptic curves, C.U.P., 1997.
53. P. Deligne, J.-P. Serre, Formes modulaires de poids 1, Ann. Sci.Ecole Normale Sup.7, (1974), 507 530.
54. D. Dummit, H. Kisilevsky, J. McKay, Multiplicative products of 77— functions, Contemp.Math. 45 (1985), 89 98.
55. S. Fukuhara, Dedekind symbols with polynomial reciprocity laws 329 (2004), 315 324.
56. B. Gordon, D. Sinor, Multiplicative properties of 7/—products, L.N.M., 1395 (1987), 173 200.
57. B. Gordon, S. Robins, Lacunariiy of Dedekind 77—products, Glasgow Math.J., 1395 (1995), 1 14.
58. B. Gordon, K. Hughes , Multiplicative properties of rj—products,II, Contemp.Math. 143 (1993), 415 430.
59. T. Hiramatsu, Higher reciprocity law and modular forms of weight one, Comm.Math.Univ.St.Paul. 31 (1982), 75 85.
60. T.Hiramatsu, Y. Mimura, The modular equation and modular forms of weight one, 100 (1985), 145 162.
61. T. Hiramatsu, Theory of automorphic forms of weight 1, Adv. Stud, in Pure Math., bf 13 (1988), 503 584.
62. T. Hiramatsu, M.Sato, I.Takada On S3—type modular forms of weight 1, Math.Japonica, 32, N 6, (1987), 915 925.
63. N. Ishii, Cusp forms of weight one, quartic reciprocity and elliptic curves, Nagoya Math. J.,98 (1985), 117 137.
64. M. Knopp, G. Mason, Generalized modular forms, J.Number Th. 99 (2003), 1 18.
65. M. Koike, On McKay's conjecture. Nagoya Math. J.,95 (1984), 85 89.
66. M. Koike, Higher reciprocity law, modular forms of weight 1 and elliptic curves, Nagoya Math. J.,98 (1985), 109 115.
67. M. Koike, Mathieu group M24 and modular forms , Nagoya Math. J. ,99 (1985), 147 157.
68. M. Koike, Modular forms and the automorphism group of Leech lattice , Nagoya Math. J., 112 (1988), 63 79.
69. T. Kondo, Examples of multiplicative ?/— functions, J.Fac.Sci.Univ.Tokyo.Sect 1A Math. 153 (1987), 133 149.
70. T. Kondo, The automorphism group of the Leech lattice and elliptic modular functions, J.Math.Soc.Japan, 37 (1985), 337 362.
71. T. Kondo, T. Tasaka, The theta functions of sublattice of the Leech lattice, Nagoya Math. J., 101 (1986), 151 179.
72. G. Ligozat, Courbes modulaires de gendre I, Bull.Soc.Math. Franco, 43, (1972), 1 80.
73. I.G. Macdonald, Affine root systems and Dedekind's q—function, In-vent.Math., 15, (1972), 91 143.
74. Y.Martin , Multiplicative eta-quotients, Trans. Amer. Math. Soc., 348, (1996), 4825 4856.
75. Y.Martin , On Hecke operators and products of the Dedekind r\—function, C.R.Acad.Paris, 322, (1996),307 312.
76. G. Mason, Frame shapes and rational characters of finite groups, J.Algebra 89 (1984), 236 246.
77. G. Mason. M24 and certain automorphic forms, Contemp.Math. 45 (1985), 223 244.
78. G. Mason, Finite groups and modular functions, Proceedings of Symposia in Pure Math., 47 (1987), 181 207.
79. G. Mason, Finite groups and Hecke operators, Math.Ann, 283 (1989), 381 409.
80. G. Mason, On a system. of elliptic modular forms attached to the large Mathieu group, Nagoya Math. J., 118 (1990), 177 193.
81. M. Newman, Construction and application of a certain class of modular forms, Proc. L.M.S., 7, (1956), 334 350.
82. M. Newman, Construction and application of a certain class of modular forms, II, Proc. L.M.S., 9, (1959), 373 387.
83. W. Raji, Generalized modular forms representable as eta products, Acta Arithm., 129 (2007), 41 51.
84. K. Ono, Shimura sums related to imaginary quadratic fields, Proc. Japan Acad.70(A) (1994), 146 151.
85. K. Ono, The web of modularity : Arithmetic of the coefficients of modular forms and q series, A.M.S., Providence, 2004, 228 pp.
86. J.-P. Serre, H. Stark, Modular forms of weight A, LNM, G27 (1977), 27 67.
87. G. Shimura, On modular forms of half integral weight, bf 97 (1973), 440 - 481.
88. J. Thompson, Finite groups and modular functions, Bull. L.M.S., 11 (1979), 347 351.
89. G.V. Voskrcsenskaya, One special class of modular forms and group representations, Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 11 ( 1999),247 262.
90. G.V. Voskresenskaya, Multiplicative Dedekind tj—functions and representations of finite groups, Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux. 17 ( 2005), 359 380.
91. G.V. Voskresenskaya, Modular forms, Shimura sums and arithmetic of quadratic fields , MPI preprint, 95 ( 2006), 15 pp.
92. G.V. Voskresenskaya, Finite groups associated to multiplicative r/—products , MPI preprint, 96 ( 2006), 22 pp.
