Пространства модулей кривых в теории струн и топологических теориях поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение «Государственный научный центр Российской Федерации —

Институт Теоретической и Экспериментальной Физики» Национального исследовательского центра «Курчатовский

институт»

На правах рукописи

«ч

Дунин-Барковский Петр Игоревич

Пространства модулей кривых

в теории струн и топологических теориях поля

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 НАП 2СМ

Москва 2014

005549528

005549528

УДК 530.145+514.745.82

Работа выполнена в ФГБУ 'ТНЦ РФ ИТЭФ" НИЦ "КИ", г. Москва Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, г.н.с. Морозов АЛО.

ФГБУ ТНЦ РФ ИТЭФ" НИЦ "КИ", г. Москва

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, в.н.с. Кричевер И.М.

Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, г.Черноголовка

доктор физ.-мат. наук, с.н.с. Фейгин Е.Б. Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН,

г. Москва

Ведущая организация: Математический институт

им. В.А.Стеклова РАН, г. Москва

Защита состоится "24" июня 2014 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 ФГБУ ТНЦ РФ ИТЭФ" НИЦ "КИ" по адресу: 117218, Москва, ул. Б.Чсрсмушкииская, 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУ ТНЦ РФ ИТЭФ" НИЦ "КИ".

Автореферат разослан "23" мая 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

.В. Васильев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Теория сунерсгрун была создана для решения таких фундаментальных проблем физики, как проблема построения квантовой теории гравитации, проблема иерархий и проблема объединения взаимодействий. Многие идеи из теории суперструн оказали значительное влияние не только на развитие физики, но и на развитие различных областей математики.

Основная идея теории струн состоит в замене точечных частиц на одномерные объекты, называемые струнами. Различают открытую и замкнутую теории струн, рассматривающие, соответственно, случаи одномерных объектов с двумя концами и замкнутых нетель. Различные наблюдаемые типы частиц при этом происходят из различных квантовых состояний струны. Таким образом, в теории струн, в отличие от Стандартной Модели, имеется ровно один тип фундаментальных объектов. При этом (для случая теории суперструн) струнные состояния естественным образом включают в себя не только все тины частиц, имеющиеся в Стандартной Модели, но и гравитоны, попытки добавления которых в саму Стандартную Модель так и не увенчались успехом. Помимо гипотетической роли теории струн как теории всего, которая бы описывала все наблюдаемые частицы н фундаментальные взаимодействия, теория струн также важна как инструмент, с помощью которого были получены различные интересные результаты в квантовой теории ноля и других областях теоретической физики и математики. В частности, идеи, происходящие из теории струн, легли

в основу голографических моделей в КХД, которые являются на данный момент одним из самых перспективных непертурбативных подходов к КХД.

Однако даже пертурбативная теория суперструн на данный момент полностью не построена. При записи амплитуд в теории струн используется переход от бесконечномерного интеграла фейнмановского тина но всевозможным вложениям мировых поверхностей к конечномерному интегралу но пространству модулей римановых поверхностей. Для случая суперструн получается интеграл по пространству модулей супер-рнмаповых поверхностей. Для порядков теории возмущений вплоть до второго включительно было выведено из нервоиринципов, что можно в общем случае взять интеграл по нечетным переменным и перейти к интегралу по набору мер, пронумерованных спин-структурами (называемыми также тэта-характеристиками), па обычном пространстве модулей римановых поверхностей. При этом, для случаев нулевого и первого порядка этот факт был понятен с самого начала, а для случая второго порядка это заняло 20 лет, на протяжении которых Э.Д'Окер и Д.Фонг выпустили длинную серию работ, в которых доказали этот факт, и нашли выражения для суперструнных мер через римановы тэта-константы. Можно ожидать, что аналогичное утверждение верно и в более старших порядках теории возмущений. К сожалению, доказать его и вывести из иервонрннципов выражения для суиерструнных мер не представляется возможным уже для третьего порядка, поскольку даже случай второго порядка был чрезвычайно сложен, хотя использовались специфичные для второго порядка серьезные упрощения, которые не работают, начиная с третьего порядка. Можно подойти к этой проблеме с другой стороны и попытаться найти суперструнные меры в старших порядках, исходя из свойств, которыми они обладают. Именно этому вопросу и посвящена существенная часть диссертации. В частности, в диссертации явным образом показано, что два известных ранее анзаца (т.е. предлагавшихся в рамках вышеописанного подхода ответа) для суперструнных мер совпадают вплоть до четвертого порядка, а в пятом порядке

отличаются. Также в диссертации предложен новый анзац для пятого порядка, который, в отличие от ранее известных анзацев для пятого порядка, удовлетворяет всем условиям, накладываемым па супсрструпные меры.

Кроме этого, в диссертации рассматриваются вопросы, связанные с происходящими из теории струп топологическими теориями поля. Топологические теории поля интересны и важны тем, что из-за отсутствия локальных степеней свободы их проще изучать, но, тем не менее, они сохраняют определенные свойства, имеющиеся у связанных с ними теорий с локальными степенями свободы. В диссертации рассматриваются теории Громова-Виттена, соответсвующие пертурба-тивному разложению топологической теории струн типа А, и обобщающие их когомологические теории поля. Интересно, что у этих теорий есть связь с другими областями науки, такими как теория интегрируемых систем. В частности, когомологические теории ноля можно использовать для классификации бига-мильтоновых иерархий гидродинамического типа. В диссертации изучается действие группы Гивенталя, лежащее в основе большинства последних результатов в этой области. В предлагаемой работе получено выражение для одной из нетривиальных дискретных симметрии когомологических теорий поля, происходящей из симметрии уравнения Виттена-Дайкхраафа-Верлпнде-Верлинде (ВДВВ), через действие группы Гнненталя.

Цель и задачи диссертационного исследования

Целью диссертационной работы является решение различных вопросов, связанных с построением пертурбативных амплитуд в теории суперструн и относящихся к ним математических проблем, а также исследование действия группы Гивенталя на когомологических теориях ноля и нетривиальных симметрии фро-бениусовых многообразий.

В рамках поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

• определение соотношений между решеточными тэта-рядами для шестнадца-

тимёрных самодуальных решеток и тэта-константами Римана;

• явное сравнение анзацев Грушевского и Оуры-Пура-Салвати Манни-Юэна для суперструпных мер;

• получение анзаца для суиерструнных мер в роде 5, который бы удовлетворял всем условиям, накладываемым на суперструнные меры;

• представление действия группы Гшзенталя на когомологических теориях поля в виде суммы но графам:

• нахождение выражения для симметрии обращения для фробениусовых многообразий через действие группы Гивенталя на когомологических теориях поля.

Научная новизна

Все представленные к защите результаты являются оригинальными разработками автора диссертации. По теме представляемого диссертационного материала опубликованы статьи в ведущих международных реферируемых журналах, сделаны доклады на международных конференциях. Работы известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов (по данным SLAC SPIRES, на текущий момент имеется более двух десятков цитирований основных публикаций автора по теме диссертации в статьях других авторов, из них 14 в уже опубликованных в реферируемых журналах работах).

Практическая и научная ценность

Полученные в работе результаты имеют большую значимость для построения пертурбативной теории сунсрструн и для исследования топологической теории струн и различных топологических теорий поля, а также интегрируемых систем.

Кроме того, полученные результаты важны для таких областей математики, как теория чисел и алгебраическая геометрия.

Результаты, выносимые на защиту диссертации

• Явным образом продемонстрировано совпадение двух известных анзацсв для суперструнных мер, анзаца Грушевского и анзапа Оуры-Пура-Салвати Ман-ни-Юэна (ОПСМЮ), вплоть до четвертого порядка теории возмущений. Для этого найден способ выражения решеточных тэга-констант для 16-мерных самодуальных решеток через римановы тэта-константы.

• Показано, что анзацы Грушевского и ОПСМЮ не совпадают в пятом порядке теории возмущений.

• Предложен новый анзац для суперструнных мер в пятом порядке теории возмущений, удовлетворяющий (в отличие от ранее известных анзацев) всем условиям, накладываемым на суперструнные меры, в том числе условию обращения в ноль двухточечной функции.

• Показано, что с использованием известных на данный момент модулярных форм невозможно построить анзац для сунерструнных мер в шестом порядке теории возмущений, который бы удовлетворял всем условиям.

• Получено выражение для симметрии обращения, имеющей место для определенного класса топологических теорий поля, связанных с теорией суперструн, через действие элемента группы Гивенталя.

• Найдены выражения для гамильтонианов ассоциированной главной интегрируемой иерархии, получаемых в результате действия элемента

группы Гивенталя, соответствующего симметрии обращения. Также установлена связь с преобразованиями Шлезингера.

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации были доложены на теоретических семинарах ИТЭФ, института Кортсвега-де Фриза (Амстердам) и следующих международных конференциях: 38-я Зимняя Школа ИТЭФ (Москва, 2010); VII, IX, X, XI международные школы ИТФ-ИТЭФ но теоретической и математической физике (Киев, 2009г., и Севастополь. 2010, 2012, 2013 гг.); II, III, V Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Триест, Италия, 2009,2010,2012 гг.); 2nd Workshop on Combinatorics of Moduli Spaces. Cluster Algebras and Symplectic Invariants (Москва, 2010); I, III Workshop on synthesis of integrabilities arising from gauge-string dualty (Москва, 2010 г., и Осака, Япония, 2012 г.); 48th, 49th International School of Subnuclear Physics (Эриче, Сицилия, Италия, 2011,2012 гг.); I Workshop oil Aspects of Non-Associative and Non-Commutative Geometries in String Theory (Стамбул, Турция, 2012 г.); 2nd Northeast String Meeting: Strings, Knots and Related Aspects (Натал, Бразилия, 2013 г.);

По материалам диссертации опубликованы 3 научные работы в ведущих международных реферируемых журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения (Глава 1), трех глав основного текста и Заключения (Глава 5). Общий объем диссертации составляет 96 страниц, включая 1 рисунок и 2 таблицы. Список литературы содержит 110 наименований.

Содержание диссертации

Во Введении (Глава 1) дана общая характеристика работы: актуальность, значимость, поставленные цель и задачи исследования.

В Главе 2 рассматривается вопрос построения пертурбатнвных амплитуд в теории сунерструп в формализме Нсвё-Шварца-Рамона для порядков теории возмущения д < 4 (которые соответствует родам мировых поверхностей струн). Рассматривается подход, в котором сгатсумма представляется в виде интеграла по пространству модулей рпмановых поверхностей

(1)

где т - матрица периодов мировой поверхности. Меры ¿//¿[гп] нумеруются тэта-

характеристиками тп = £ Р™ , которые соответствуют выбору граничных

<5

условий для нолей на мировой поверхности струны и представляются в виде произведения меры Мамфорда для критической бозонной струны ё/1 и функций на локусе якобианов в полупространстве Зигеля Нд (пространстве комплексных симметрических д х д матриц с положительно определенной мнимой частью).

Условия, которым должна удовлетворять мера, следующие:

1. Функции Е[т] являются модулярными формами веса 8 относительно подгруппы Г[тп] модулярной группы при ограничении на локус якобианов (подмножество полупространства Зигеля, образованное матрицами периодов).

2. Формы Е\т] должны удовлетворять следующим условиям факторизации на блочно-диагональных матрицах:

! = (тЧ-Ч) (г{к]) • (2)

3. След суперструнной меры (космологическая постоянная) должен обращаться в ноль, т.е.

Х>«]=0. (3)

Кроме того, след 1,2,3-точечных функции ^тАк[т] должен также обращаться в ноль.

4. В роде 1 анзац должен давать ранее известный ответ.

Основным результатом Главы 2 является то, что явным образом показано, что два известных на данный момент анзаца для суперструнных мер - анзацы Грушевского и Оуры-Пура-Салвати Манни-Юэна (ОПСМЮ) - совпадают вплоть до четвертого порядка теории возмущений (т.е. вплоть до рода д = 4). Для этого найдены ранее неизвестные соотношения между решеточными тэта-рядами для шестнадцатимерных самодуальных решеток и римановыми тэта-константами.

Анзац Грушевского определяется через тэта-константы Римана, которые являются следующими функциями на полупространстве Зигеля:

Для построения анзаца Грушевского используются следующие комбинации тэта-констант:

-/" V \24~г

П вe-^e,+eJ+rk 1 ' ■ • ■ ' 0е+е1+...+е, Г ! (5)

\К]<}.; / )

через которые анзац выражается следующим образом:

=&>[0] = £ (-1)" • . (п -1) П (2г -х)) (6)

г>=0 \г=1 г=1 /

Также анзац Грушевского можно записать через другие комбинации тэта-констант, обозначаемые (называемые в совокупности базисом Грушевского), которые определяются следующим образом. Пусть V С - некоторый набор

характеристик рода д, тогда определим:

Р(У):= Цвш. (7)

Введем обозначение для множества всех р-мерных линейных подпространств Определим:

:= £ Р[У)*". (8)

Выражения для 2(я)[0] можно записать и терминах базиса Грушевского как

ЕЫ[0] = £ (-1)" • С|?)[0], (9)

Р=о

Вторым известным на данный момент анзацем для суперструнных мер является анзац ОПСМЮ, который определяется через решеточные тэта-ряды для шестнадцатимерных самопальных решеток.

Решетка Л размерности к определяется как подмножество порождаемое линейными комбинациями с целочисленными коэффициентами некоторого набора из Н линейно независим),тх векторов. Этот набор называется базисом решетки.

Для данной решетки Л и данного рода д соответствующий решеточный тэта-ряд, являющийся функцией па пространстве Зигеля Н, определяется как

£ ехр ИЙ'ЙЫ, (10)

где иод (р-р*) понимается обычное Евклидово скалярное произведение векторов из ЕЛ. Для шестнадцатимерных самодуальных решеток такой тэта-ряд является модулярной формой веса 8. Всего имеется 8 таких решеток: Ж16,Z4фL>;t2, Ъг Ф (Е7 ® Е7)+, Ъ © А$ь, (П„ ® Дз)+. Е?, ф Ев и Г>+с; соответствующие им тэта-ряды будем обозначать Аь ■ ■ ■ ,¿7 соответственно. Введем обозначение М для

следующей матрицы 6x6. индексы в которой меняются от 0 до 5:

Мг} = 2Я1~(\ г = 0..4, з = 1..5, (И)

Мг0 = 1, г = 0..5, (12)

Мы = О, ] = 1-5 (13)

Функции 5[0] из анзаца ОПСМЮ для родов д < 5 определяются следующим образом:

5=1- 5 (14)

к=0

В Главе 2 диссертации впервые найдены выражения для всех решеточных тэта-рядов для шестнадпатимерных самодуальных решеток, кроме одного ($5), через римановы тэта-константы во всех родах. Доказано, что

= р = 0...4 (15)

для любого рода д.

Для оставшегося тэта-ряда доказано, что

= д< 4 (16)

Символ J под знаком равенства соответствует тому, что оно выполняется только на локусе якобианов. Выражения для последних двух тэта-рядов были известны ранее:

= , (17)

4<а) = 2-я^о16[е] (18)

е

С использованием новых соотношений между решеточными тэта-рядами и римановыми тэта-константами явным образом показано совпадение анзацев Грушевского и ОПСМЮ для д < 4:

-(я) _ ~(<?) п < 4

-Сг — -орэму " —

В Главе 3 рассматриваются суперструнные меры в пятом порядке теории возмущений. Доказано, что формы Gj1' и которые в роде 5 используются при построении анзацев Грушевского и ОПСМЮ соответственно, не совпадают тождественно на локусе якобианов (хотя в случае всех более низких родов совпадение Gg^ и $5 на локусе якобианов имеет место). Из этого результата делается вывод о том, что анзацы Грушевского и ОПСМЮ не совпадают для д = 5. Предложен новый анзац для рода 5, который, в отличие от анзацев Грушевского и ОПСМЮ, удовлетворяет не только условию факторизации и обращения в ноль космологической постоянной, но п условию обращения в ноль двухточечной функции в роде 4, которое должно иметь место согласно теоремам о ненеренормируемости.

Несовпадение и G^ доказывается следующим образом. Введем следующие обозначения:

f(g) := ^(я) _ д(а) (20)

J<d := - (21)

Также будем обозначать ш; г-й голоморфный дифференциал на римановой поверхности в базисе, соответствующем ее матрице периодов. Кроме того, будем использовать отображение Абеля-Якоби А, получаемое с использованием того же базиса, и введем следующее обозначение: Ап := А(р) — Л(д). Рассмотрим такое семейство поверхностей Cs (где s - вещественный параметр), что их матрицы периодов т3 имеют следующий вид:

_(Xz\-( lns + d+c-26- A<ply + i.sMp) - ы{р')У

tJ + J.s(w(p) - w(p')) тц + scr

для некоторых констант ci и c2, где r0 матрица периодов Со, р и р' -- особые точки на Со, возникающие при перетягивании ручки, а

(ГЦ := \ Ыр) - и,(р')) К(р) - , i,j< 4. (23)

В Главе 3 диссертации проделаны соответствующие вычисления и показано, что

первые члены разложения выглядят следующим образом:

/W(r.)=^>(ro) +

о,, д 7(4)

+ Т -Т— (56™(1 + + % + 0(к4)) + 0(s2), (24)

l<j J

где и := ж(р) — х^), для некоторой локальной координаты х, а

_ и2 du)j (р) duj (р) и3 d2uit (р) dujj (р) 'J 4 Ох Ох + 2 дх* дх ' [ '

При этом член формулы (24) с (^¿(р)а^(р) обращается в ноль, а не

может быть везде тождественно равна нулю, т.к. является формой Шоттки. Таким образом, /-°'(тч) не обращается в ноль тождественно. Из этого следует,

что

(26)

при ограничении на

Из этого утверждения сделан вывод о том, что анзацы Грушевского и ОП-СМЮ не совпадают для д = 5.

Из работы М. Матоне и Р. Вольпато следует, что анзацы ОПСМЮ и Грушевского для рода 5 не удовлетворяют условию обращения в ноль двухточечной функции в роде 4, которое должно иметь место согласно теоремам о неперенор-мируемости.

В Главе 3 диссертации предложен новый анзац для суперструнных мер в роде 5, который удовлетворяет этому условию. Он имеет следующий вид:

,(3) _ _(5) _ 222617008 (5) 77245568 (5) - --OFSMY 217 17 1

(27)

Кроме этого, доказано, что из модулярных форм, используемых для построения анзацев Грушевского и ОПСМЮ, невозможно построить анзац для суперструнных мер в роде 6, который удовлетворял бы всем условиям.

В Главе 4 рассматривается действие группы Гивенталя на когомологи- чес-ких теориях поля. Представлена формулировка данного действия в виде суммы по графам. Найдено представление для симметрии обращения для фробениусо-вых многообразий через действие определенного элемента группы Гивенталя.

Свободную энергию для когомологической теории ноля можно представить в следующем виде:

эс

Х'~хТд, (28)

9=0

,Aut(M)Ui ' ( j

Корреляторы (^(«^^(аг) ■•-^.(ад.)) выражаются через числа пересечений на пространстве модулей римановых поверхностей, a td'a - формальные переменные.

Рассмотрим последовательность операторов г; G Hon^V, V), l > 1, такую, что операторы с четными индексами симметрические, а с нечетными индексами - кососимметрические. Будем использовать обозначение (riг?)" для следующего дифференциального оператора:

(п*Т == - (''Oï^wl + £

а—0

-b^D-i (30)

¿=0

Действие группы Гивенталя на формальных рядах определяется через действие следующего дифференциального оператора:

ос

R := ехр(^(7-,сг)") (31)

;=1

Преобразование обращения определяется следующим образом. Пусть имеется фробениусово многообразие M с плоскими координатами (tl,...,tn) и потенциалом F. Потенциал F фробениус-ова многообразия связан со свободной энергией

Т соответствующей когомологической теории поля следующим образом: Р(1\...,П = д.™ <ы>

где произведено отождествление := 1°'''. Преобразование обращения состоит

из следующей замены координат:

п _ 1 М^ 2 V '

= — ДЛЯ Л ^ 1, п, 1п

р=

V

вместе со следующим изменением потенциала и метрики:

(32)

F(i) = (i")"

Vав = ~Цав-

т - \tlt*t°

(i'nfF +

(33)

В Главе 4 диссертации доказано, что преобразование обращения представлено следующим преобразованием Гивенталя II = ехр (л> 1 (?7;Л';)"), где

t 0 ... О 1 ^ О ... О О

Г\

О о

г, = 0, к > 1.

(34)

(35)

Более точно, если F(i) - результат преобразования обращения от F(t), то локальное разложение F(t) в точке (0,... ,0, -1) совпадает с составляющей рода 0 без потомков Д-преобразовапиого потенциала когомологической теории поля, соответствующей локальному разложению F(t) в точке (0,..., 0,1).

Также показано, что данное преобразование Гивенталя соответствует преобразованию Шлезингера для специального дифференциального оператора

A = dz-U--{r(u),U],

z

где II - матрица канонических координат, а Г - матрица Дарбу-Егорова.

Кроме того, найдены выражения для деформации гамильтонианов ассоциированной главной интегрируемой иерархии:

к,Р (и) = (ехр (и («)) ва„ (у) + 5° ехр (II (у)) (у)) . (37)

В Заключении (глава 5) представлены полученные в работе результаты, и описано возможное направление дальнейших исследований.

Основные публикации по теме диссертации

1. P. Dunin-Barkowski, A. Morozov and A. Sleptsov, "Lattice theta constants vs

Riemann theta constants and NSR superstring measures," JHEP 0910 (2009) 072;

2. P. Dunin-Barkowski, A. Sleptsov and A. Stern, "NSR superstring measures in genus

5," Nucl.Phys.B 872 (2013) 106-126;

3. P. Dunin-Barkowski, S. Shadrin and L. Spitz, "Givental graphs and inversion

symmetry," Lett.Math.Phys. 103 (2013) 533-557.

Подписано к печати 07.05.14 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 1,25 Уч.-изд. л. 0,9 Тираж 100 экз. Заказ 597

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

Федеральное государственное бюджетное учреждение «Государственный научный центр Российской Федерации -

Институт Теоретической и Экспериментальной Физики» Национального исследовательского центра «Курчатовский

институт»

Пространства модулей кривых в теории струн и топологических теориях поля

04201459643

На правах рукописи

Дунин-Барковский Петр Игоревич

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ. мат. наук А.Ю. Морозов

Москва 2014

Оглавление

1 Введение 4

1.1 Суперструнные меры на пространстве модулей римановых поверхностей . 8

1.2 Топологическая теория струн и фробениусовы многообразия................12

1.3 Цель и задачи......................................................................17

1.4 Краткое содержание диссертации................................................17

1.5 Результаты, выносимые на защиту диссертации................................19

2 Суперструнные меры в родах д < 4 21

2.1 Модулярные формы................................................................21

2.2 Задача нахождения суперструпных мер ........................................23

2.3 Тэта-функции Римана и анзац Грушевского....................................24

2.4 Решеточные тэта-константы и анзац ОПСМЮ..................................29

2.5 Связь решеточных и римановых тэта-констант................................35

2.6 Странная решетка..................................................................40

2.7 Связь анзацев Грушевского и ОПСМЮ ........................................41

2.8 Выводы..............................................................................41

3 Суперструнные меры в роде 5 42

3.1 Вырождение........................................................................42

3.1.1 Разложение ............................................................44

3.1.2 Разложение ............................................................48

3.1.3 Окончательное выражение................................................49

3.2 След ............................................................................51

3.3 Различие между и №........................................................52

3.4 Двухточечная функция в роде 4..................................................54

3.5 Случай рода б......................................................................59

3.6 Выводы..............................................................................59

4 Симметрия обращения для когомологических теорий поля 61

4.1 Представление действия группы Гивенталя в виде суммы по графам ... 61

4.1.1 Когомологические теории поля и фробениусовы многообразия ... 61

4.1.2 Дифференциальные операторы..........................................62

4.1.3 Выражение в терминах графов ..........................................63

4.1.4 Эквивалентность описаний................................................71

4.2 Преобразование обращения........................................................73

4.3 Связь с преобразованиями Шлезингера..........................................82

4.4 Следствия для интегрируемых иерархий........................................84

4.5 Выводы....................................... 85

5 Заключение 86

Глава 1 Введение

Теория сунсрструн была создана для решения таких фундаментальных проблем физики, как проблема построения квантовой теории гравитации, проблема иерархий и проблема объединения взаимодействий. Многие идеи из теории супсрструп оказали значительное влияние на различные области математики.

В диссертации рассматривается вопрос построения пертурбативных амплитуд в теории сунсрструн и связанные с этим математические вопросы, а также определенные вопросы, возникающие при изучении топологических теорий поля, связанных с теорией струп.

Основная идея теории струн состоит в замене точечных частиц на одномерные объекты, называемые струнами. Различают открытую и замкнутую теории струн, рассматривающие, соответственно, случаи одномерных объектов с двумя концами и замкнутых петель. Различные наблюдаемые типы частиц при этом происходят из различных квантовых состояний струны. Таким образом, в теории струн, в отличие от Стандартной Модели, имеется ровно один тип фундаментальных объектов. При этом (для случая теории сунсрструн), струнные состояния естественным образом включают в себя не только все типы частиц, имеющиеся в Стандартной Модели, но и гравитоны, попытки добавления которых в саму Стандартную Модель так и не увенчались успехом. Помимо гипотетической роли теории струн как теории всего, которая бы описывала вес наблюдаемые частицы и фундаментальные взаимодействия, теория струн также важна как инструмент, с помощью которого были получены различные интересные результаты в квантовой теории поля и других областях теоретической физики и математики.

Для самосогласованности в теории струп требуется наличие большого числа измерений пространства-времени (26 для бозонной теории струн, и 10 для теории сунсрструн).

В теории струн отсутствуют вершинные вклады и нет ультрафиолетовых расходимостей. При введении супсрспммстрии явным образом исчезают инфракрасные расходимости. Теория струн рассматривается в первично-квантованном формализме; были определенные попытки разработки вторично-квантованного формализма для теории струп (т.н. струнной теории поля) [5,12,80,98,110], по на данный момент построение такого формализма не закончено.

Вместо мировых линий у частиц, для струп имеем мировые поверхности. В первично-квантованном формализме рассматриваются вложения мировых поверхностей в пространство-время (также называемое таргет-пространством). Можно рассматривать отображения, осуществляющие вложение, как двумерные поля на мировой поверхности.

Бозоиные струны. Сначала напомним некоторые факты о бозониой теории струн.

В бозонноп теории струн рассматриваются вложения римановых поверхностей в пространство-время.

Действием для струны является просто площадь се поверхности. В подходе Полякова (см. [97]) оно записывается следующим образом:

Здесь Т - натяжение струны, о - координаты па мировой поверхности, haß - внутренняя метрика па мировой поверхности, r)ßll - метрика на таргет-пространстве, - отображение, вкладывающее мировую поверхность в таргст-нространство, также воспринимаемое, как поле на мировой поверхности. Таким образом, индексы а и ß - двумерные индексы на мировой поверхности, т.е. принимают значения 0, 1, а индексы ц и и - индексы в таргет-пространстве, т.е. принимают значения 0,..., D — 1, где D - размерность таргет-ирострапства.

Можно рассматривать получающуюся теорию как двумерную гравитацию на пространствах с различной топологией (т.е. различным количеством ручек). Количество ручек, т.е. род поверхности, соответствует рассматриваемому порядку теории возмущений по константе связи. Далее, также и в случае суперструн, будем иногда говорить "в роде димея в виду соответствующий порядок теории возмущений. Струнная амплитуда в порядке д

(1.1)

имеет следующий вид:

Р т

Ад (Л! Лт, кт) = хт+°~2 / , и1) е~8 [] Уфд

^'pOДg ¿ = 1

(1.2)

Здесь х - константа связи; Л,- соответствуют типам входящих или исходящих частиц, а - их импульсы; Улг - операторы, соответствующие частицам, имеющие вид

УА(к) = I с12ал/Т1ША(а°,(т1)е1кх (1.3)

И^л специфично для конкретного типа частиц, например для гравитона IV имеет следующий вид:

И^" = дах»дпх1/ (1.4)

Заметим, что действие инвариантно относительно общекоординатных и вейлевских преобразований. Это позволяет перейти от бесконечномерного интеграла в (1.2) к конечномерному интегралу по пространству модулей ри-мановых поверхностей М.д. Это было проделано А. Бславиным и В. Книжником [9,71]. Статсумму в результате можно переписать следующим образом:

7 = Г 5 ./мч (сЬПшт)13 '

где с/// - определенная голоморфная (3д — 3,0)-форма (для д > 1; в случае д — 1 это (1,0)-форма), которая не обращается в ноль нигде на ЛЛд и имеет полюса второго порядка на границе М.д по Делиню-Мамфорду, связанные с наличием тахиона; т - матрица периодов. Явные формулы для ¿¡1 известны только для небольших д, для общего случая известен только факт существования и единственности [8]. Приведем формулы для младших родов (см., например, [90]). Для рода 1 имеем:

= / — ]Мх (1т г)

13

й-т

(Пе^И(г))'

с1т

Т.е. ^ = Д8 (1-5)

Здесь и далее е - четные тэта-характеристики, в[е](т) - тэта-константы Ри-мана, см. главу 2.

Для рода 2 имеем: 1

г2= [

Зм

м2 (det (1т г))13 Для рода 3 имеем:

(1ТП(1Т12(1Т22

(П 1°0[е]{г

т.е.

п

г<3 ' г3

п2

(1.6)

гя

■1м

м-л (с1е1 (1т г))

13

<1т\ 1 (¿Г12(/г13А(Г22С/Г23^Гзз

(Пе6%](г))

1/2

т.е.

(1[1 =

у

у/а

(1.7)

В роде 4 матрицы периодов уже не заполняют полностью пространство комплексных симметрических д х д матриц с положительно определенной мнимой частью (известное также как полупространство Зигсля Т-Сд), а образуют в нем некоторое подмногообразие, называемое локусом якобианов Выделение локуса якобианов в полупространстве Зигсля является сложной проблемой, называемой проблемой Шоттпки. Она была решена в общем виде в результате работ И. Кричсвсра, С. Новикова, Т. Шиоты и других (обзор см., например, в [64,73]). В роде 4 локус якобианов ^ выделяется как множество нулей формы Шоттки Для струпной меры ¿¡л тогда имеем (см. [84,90]):

=

1

\7| (скМ; (1т г))

13

П4У<,- Лтн

т.е.

¿¡1 —

г3

Л*)

(1.8)

Здесь

М ){т)

понимается как дельта-функция па локусс якобианов.

Суперструны. Теория суперструн получается из теории бозонных струн добавлением дополнительных фермпонных полей сг1) на мировой поверхности таким образом, чтобы было выполнено условие суперсимметрии. При этом берется £)-мультиилст майорановекпх фермионов, преобразующихся по векторному представлению группы Лоренца 30(0 — 1,1). Заметим, что здесь и далее рассматривается подход Нсве-Шварца-Рамона (N811) к описанию супсрструп. Существуют также такие подходы к описанию су-иерструн, как подход Грина-Шварца и подход Бсрковица.

В конформной калибровке действие дополняется членом

■/1 (£>УаФ,Ф-

(1.9)

Здесь д = рада, где ра - двумерные матрицы Дирака. Заметим, что у фер-миоиов ф индекс а - двумерный спипорный индекс, а индекс ¡.i - /2-мерный векторный индекс, нумерующий компоненты мультиплста.

Удобно записывать действие и статсумму через суперполя, рассматривая также в качестве мировой поверхности супсрповерхность с двумя дополнительными нечетными координатами (см., например, [26]):

Z= j DEmaDÜm5{T) J DXfle~s: (1.10)

где

5 = — / А , Е = Емл (1.11)

47Г 7

Здесь X" = х>1 + + вф- + /х = 0,1, • • • , 9, где в и в - нечет-

ные грассмановы переменные на супсрповерхностп. Интеграл по метрикам представлен через супсрдиады ЕмА и суперсвязности Пм. 5(Т) соответствует наложению условия обращения в ноль кручения.

Фиксацией калибровки можно привести статсумму к виду интеграла по пространству модулей супсрповсрхностей [26]:

2

Zg= í \Y[dmA\2 í D{DDCCX J sMg A J

-s-s9h

Sgh = — / S2z E ( BV-C + BV+C ), (1.13)

Поля супердухов В — ¡3 + вЪ, С = с 4- #7 имеют £/( 1) всса 3/2 и —1 соответственно, с действием

а На = (На)-2 - супердифференциалы Бельтрами

{НА)-Я = (1-14)

1.1 Суперструнные меры на пространстве модулей ри-мановых поверхностей

Имеется гипотеза (историю данного вопроса см. в [90]), состоящая в том, что в пертурбативной статсумме для суисрструн (1.12) от интеграла по пространству модулей супсрповсрхностей можно перейти к интегралу по обычному пространству модулей римановых поверхностей относительно некоторой меры.

На данный момент строго доказано, что так можно сделать, для случаев родов 0, 1 и 2. Для случаев рода 0 и 1 с самого начала [61,62] было известно, что эта мера может быть представлена в виде набора модулярных форм па пространстве модулей рпмановых поверхностей. В серии фундаментальных работ [26-34] Э. Д'Окер и Д. Фонг показали, что это верно и для случая рода 2, а также получили явные выражения для мер через тэта-константы.

Нахождение способа взять в общем виде интеграл по нечетным модулям оказалось очень сложным уже в случае рода 2, как можно видеть из того факта, что Д'Оксру и Фонгу потребовалось 20 лет на то, чтобы провести всс необходимые вычисления для данного случая. Поэтому был предложен альтернативный подход [4,9-11,16,17,23,24,71,87-89], в котором вместо явных вычислений были предложены анзацы, основанные на предполагаемых требованиях, которым должна удовлетворять мера.

Если супсрструнную меру можно записать в виде меры на пространстве модулей рпмановых поверхностей то в д-м порядке теории возмущений формула для статсуммы должна иметь следующий вид [29]:

Zg= [ (detlm(r^))-5|^)|2 (1-15)

JMy

(Нт) = Х/^НО")-

Til

где г - матрица периодов для рнмановой поверхности, а сумма берется по четным спин-структурам m на рнмановой поверхности, или, что то же самое, по четным тэта-характеристикам [6]. Множитель (detlm(r))-5 возникает при взятии интеграла по внутренним импульсам, причем степень в нем соответствует половине критической размерности, как и в случае бозопных струн [25]. d/i[m] - меры па пространстве модулей Мд.

Была выдвинута гипотеза (обсуждение истории данного вопроса см. в [17]), что НСР-меры dfi[m] могут быть представлены через модулярные формы на полупространстве Знгеля, как произведение меры Мамфорда dfx, рассматриваемой как мера на локусе якобианов, и некоторых модулярных форм для каждой характеристики т:

df.i[m] = E[m]df.i. (1-16)

Пространство модулей Л4д можно рассматривать как факторизацию локу-са якобианов Jg по действию модулярной группы Sp(2(/,Z) (определение действия модулярной группы и определение модулярных форм различного веса см. в разделе 2.1). Если представлять dfi через модулярные формы на полупространстве Зигсля, то, чтобы правая часть формулы (1.15)

была корректно определенным интегралом по Мд = Jgj Sp(2g, Z), полная мера (определенная на Jg) должна быть инвариантна относительно действия модулярной группы Sp(2(/,Z). Поскольку detlm(r) преобразуется как модулярная форма веса —2, легко видеть, что все dß[m] должны преобразовываться как модулярные формы веса —5 относительно подгрупп Г[га], сопряженных Г(1,2) С Sp(2<7,Z), подгруппе, которая фиксирует нулевую тэта-характеристику (см. раздел 2.1). Поскольку мера Мамфорда для критической бозонной струны d[i имеет вес —13, то, таким образом, модулярные формы Щгп] должны иметь вес 8.

Условия, которым мера должна удовлетворять, если гипотеза верна, следующие:

1. Функции Н[77?] являются модулярными формами веса 8 относительно Г[га] при ограничении па локус якобианов (подмножество полупространства Зигсля, образованное матрицами периодов).

2. Формы Е[т] должны удовлетворять следующим условиям факторизации па блочно-диагональных матрицах:

Ш (т{а~к) 0 \ _ Ыд_к) / {д_к)\ „{к) / (,Л

-тхп I q Т(к) J ~ -m [J \ ) '

3. След суиерструнной меры (космологическая постоянная) должен обращаться в ноль, т.е.

EsN = o.

m

Кроме того, слсд 1,2,3-точсчпых функции Ак[т] должен также обращаться в ноль1, см. [82,83].

4. В роде 1 анзац должен давать ранее известный ответ.

Для родов д < 3 известно [22], что имеется единственный способ удовлетворить данные условия, но в общем случае неизвестно, существуют ли подходящие модулярные формы на полупространстве Зигеля. Отношение d(-i[m] к dß может оказаться голоморфно только на локусс якобианов, и быть мероморфным в остальных точках. Локус якобианов имеет положительную

'Конечно, обращение и ноль следа 2,3-точсчпых функций даст условие на Н[ш] только в случае, если известно, как получать двух- и трехточечные функции из меры. Однако, Матоне и Вольпато недавно предложили, как это делать по крайней мере в некоторых случаях; результаты про двухточечные функции см. [8G|. В [85] они показали, что связная часть трехточечной функции для анзаца Грушевского в роде 3 не обрщается в ноль, и привели доподы в пользу того, что она сокращается за счет нсвязной части.

коразмерность, наминая с рода 4. Размерность пространства модулярных (относительно интересующих нас подгрупп) форм на локусе якобианов неизвестна для старших родов, поэтому не ясно, приводят ли вышеописанные условия к однозначному ответу для форм £[т]. Ниже, в разделе 3.5, будет показано, что из известных на данный момент форм невозможно построить анзац, удовлетворяющий всем условиям, начиная с рода 6.

Было предложено два типа анзацев. Сначала С.Л. Каччиатори, Ф. Далла Пьяцца и Б. ван Хсемсн предложили в работе [17] анзац для Р°Да 3. Затем, он был замечательным образом обобщен па случаи рода 4 и выше (в предположении, что используемые в нем модулярные формы корректно определены) С. Грушевским в статье [65]. После этого Р. Салватп Мании доказал, что анзац Грушевского корректно определен по крайней мере вплоть до рода 5 в работе [100], после чего Салватп Мании и Грушевский модифицировали исходный анзац для того, чтобы получить обращающуюся в ноль космологическую постоянную в роде 5 в работе ¡66]. Однако для случая рода 6 на данный момент нет причин полагать, что данный анзац корректно определен, и, кроме того, модификация для обращения в ноль космологической постоянной, аналогичная примененной в роде 5, в случае рода 6 нарушает условие факторизации. Анзац Грушевского строится из функций (также его можно определять через другие функции являющимися многочленами по корням тэта-констант (определения данных функций см. в разделе 2.3).

После этого М. Оура, К. Пур, Р Салватп Манни и Д. Юэп (ОПСМЮ) предложили в работе [95] новый анзац, записываемый в терминах решеточных тэта-констант для 16-мерных самодуальных решеток (определения см. в разделе 2.4). Этот второй анзац, однако, определен только для родов 9< 5.

Оба анзаца в своих окончательных версиях удовлетворяют требованиям 1, 2 и 4, и имеют обращающуюся в ноль космологическую постоянную в родах 1,... ,5. Однако, М. Матонс и Р. Вольпато в работе [86] пок