Алгебро-геометрическое квантование взаимодействующих струн и суперструн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО, КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СТРУН И СУПЕРСТРУН

01.04.02 - ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

АВТОРЕФЕРАТ

На правах рукописи УДК 517.9

ПЕЛЬЦ Григорий Абрамович

ЛЕНИНГРАД 1ЭЭ0

/

Работа выполнена на кафедре высшей математики Ленинградского института Точной Механики и Оптики1.

Научный руководитель: доктор физ.- мат.наук, .

профессор В.Н.Попов

Официальные оппоненты: доктор физ.-матем.наук

Ведущая организация: Ленинградский Технический Университет.

по присуждению ученой степени кандидата физико-ыатематичесхих наук в Ленинградском Государственном Университете по адресу: 199034, Ленинград, Университетская наб., д.7/9

С диссертацией ыагно ознакомиться в библиотеке ЛГУ.

З.А.Франке,

кандидат физ.-матем.наук Е.В. ДамаскинокиЙ

Занята состоится % 8 <К».уГй. 199Г г. в \ 5 часов ¿0 мин.на заседании специализированного совета К 053.57.17

Автореферат разослан 'г —( . т=с1 11

Ученый секретарь специализированного

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В низкоэнергетическом пределе (супер-) струнные поля ведут себя аналогично полям (супер-) Янга-Милса и (супер-) гравитации. Поэтому в настоящее время эти модели интенсивно исследуются в рамках создания Теории Великого Объединения. В диссертации разработан метод вычисления многопетлевых диаграмм для теории струн и суперструн,, основанный на ис-

пользовании методов алгебраической геометрии в рамках опер ¿торного формализма.

ЦЕЛЬ РАБОШ состоит в разработке метода ковариантного операторного квантования взаимодействующих систем-со связями и применение его к теориям взаимодействующих струн и суперструн. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются осцилляторная формулировка Фубини-Венециано для теории свободной струны,метод Зигеля определения ВЮТ-инвариантного эффективного действия, а также теория (супер-) риыановых поверхностей и пространства, их

(супер-) модулей. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Разработан метод алгебро-геометрического квантования взаимодействующих систем со связями.

2. Найдена в явном виде мера в пространстве (супер-) модулей для диаграмм всех возможных типов, включающих открыто - и замкнуто-струнные линии, с мировой поверхностью произвольной ориентируемости.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Её методы могут быть применены для квантования различных (супер-) конформных теорий и других теорий взаимодействующих систем со

связями. Результаты работы могут быть использованы для дальнейшего изучения процессов взаимодействия и вакуумных структур (супер-) струнных моделей, включая рассмотрение связанных состояний, когда род мировой поверхности становится бесконечным. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинарах лаборатории математических проблем статистической физики ЛШИ,на семинаре кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета ЛГУ и на семинаре кафедры теоретической физики Ленинградского Технического Университета. По гмф'ериалам диссертации опубликовано две статьи. 0БШ11 СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация объемом iИ страниц машинописного текста состоит из Введения й четырех глав. Библиография содержит ШО наименований.

СОДЕШАНИЕ РАБОТЫ.

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор достикений и проблем в теориях струн и суперструн, а также излажены причины, приведшие к использованию этих теорий в рамках создания Теории Великого Объединения. Далее сформулиррваны цели и основные задачи диссертации и приведен обзор литературы, связанной с данной работой по предмету и методу исследования.

Требование (супер-) конформной инвариантности практически однозначно фиксируют возможные вершины супер- струнного взаимодействия. В связи с этим А.М.Поляковым, был предложен подход к описанию (супер-) струнного взаимодействия,в рамках которого рассмотрение всевозможных процессов рассеяния суперструн сводится к рассмотрению двумерной теории поля,отличной

от теории свободной (супер-) струны только тем, что топология мировой поверхности нетривиальна.

Подход Полякова позволяет привлечь для вычисления многопетлевых (супер-) струнных амплитуд математический аппарат (супер-) римановых поверхностей и пространств их (супер-) модулей. Использование при этом техники функционального интеграла приводит к представлению амплитуд в виде конечномерных интегралов по пространству (супер-) модулей, мера интегрирования для которых выражается через определители Фредгольма от дифференциальных операторов на (супер-) римановых поверхностях. Технике вычисления таких определителей посвящены работы А.А.Белавина,В.Г.Книжни-ка, Ю.Й.Манина, А.Д.Бейлинсона, В.В.Шехтиана, Л.Алвареца-Гоме, Е.Мартиника и др.

Однако метод функционального интеграла не дает явной информации о структуре пространства (супер-) струнных состояний и алгебры действующих на это пространство операторов. Поэтому ранее наряду с применением этого метода квантование свободных (супер-) струн проводилось также и в операторном формализме. Главной целью диссертации является проведение в рамках операторного формализма ковариантного квантования процесса (супер-.) струнного взаимодействия, мировая поверхность которого нетривиальна и получение на этой базе результатов для многопетлевых амплитуд.

В главе I с помощью операторного метода получены формулы для многопетлевых амплитуд струнного рассеяния при фиксированной структуре мировой поверхности и , ббобщающие аналогичные формулы Венициано- и Шапиро-Виросоро. Эти формулы одинаково применимы как к ориентируемым, так и неориентируемым поверхностям. Действие Полякова

5 = (4«Г4 I ^^Г еь аах ^ ьхг'. <12х

(I)

инвариантно относительно преобразований Вейля

( Ш И В.)

и, следовательно, фактически зависит только от конформной структуры мировой поверхности. Конформные классы мировой поверхности образуют конечномерное многообразие - пространство модулей.

Здесь осуществляется первый этап квантования действия I , при котором конформная структура рассматривается в качестве классической переменной. На мировой поверхности системы взаимодействующих струн понятие собственного времени теряет физический

Для того, чтобы обойти связанные с этим трудности, процедура задания операторных функций Фубини-Венициано модифицируется здесь таким образом, что отпадает необходимость вводить временной параметр. Благодаря этому вся процедура квантования, включая процедуру определения операторов координат центра струны, производится конформно-ковариантно и приводит к конформно ковариантным

конечным формулам. Полученные в главе результаты применимы для мировых поверхностей произвольного рода с произвольным количеством компонент границы, а также для всех топологических типов неориентируемых поверхностей.

В главе 2 разработаны процедуры построения когомологических комплексов локальных и обобщенных локальных коцепей алгебр Атьи. На основе использования этих процедур сформулирован метод алгебро--геометрического квантования взаимодействующих систем со связями Далее метод применяется к теории взаимодействующих струн.

В ковариантном операторном формализме пространство (.супер-) струнных состояний является пространством предоставления координатных операторных функций Фубини-Венециано,а также духовых и

смысл.

А

антидуховых операторов Фадеева-Попова. Состояния из этого пространства' можно интерпретировать как обобщенные коцепи (супер-) алгебры Ли (супер-) конформных преобразований. При этом оказывается, что квантовый ВКЗТ-оператор действует на такие состояния как кограничный оператор. Такая интерпритация является общей для многих систем со связями. На ее основе разработан метод кова-риантного квантования таких систем Баталина- Фрадкина -Вилковиц-кого. Метод алгебро-геометрического квантования взаимодействующих систем со связями основан на следующем обобщении этого подхода:

- Алгебра Ли связей заменяется Алгеброй Атьи на базе пространства модулей, которое представляет собой многообразие классов эквивалентности калибровок.

3 теории (супер-) струн пространством модулей является пространство конформных классов (сугшр-) римановых поверхностей.

- Рассеиваемые состояния определяются как обобщенные локальные коцепи алгебры Атьи.

- Квантовый вк>Т-оператор определяется как кограничный оператор комплекса обобщенных локальных коцепей.

В Главе 3 с помощью метода алгебро-геометрического квантования многопетлевые амплитуды рассеяния (супер-) струн представлены в виде конечномерных интегралов, подынтегральное выражение для которых явно определено. Полученные здесь результаты являются новыми и составляют основное содержание работы. Метод их получения состоит в следующем:

I. Задается безаномальное представление (супер -) алгебры Атьи (супер-) квазиконформных преобразований в пространствах состояний рассеиваемых (супер-) струн, определенных согласно методу алгебро-геонетрического квантования. Это оказывается возможным только в случае, когда размерность пространства-времени критическая: 26 для струн, 11= 10 для суперструн.

2. На амплитуды рассеяния накладывается условие (супер-) квазиконформной инвариантности. Это приводит к линейному дифференциальному уравнении первого порядка на меру1ц в пространстве модулей М, решение которого единственно с точностью до постоянного мнсшгаеля. Уравнение на меру ц представлено в виде

V,, Ц = Ц*с1177

где 7 - произвольное векторное поле на А , а <11у - некоторый линейный дифференциальный морфизм первого порядка из пучка т голоморфных векторных полей на Л в пучок О голоморфных функций на л . Для того, чтобы уравнение 2 было, ло крайней мере локально, разрешимо, морфизм должен удовлетворять условию коцикличности

аМУ^; У ] = у «ШУ, - <и.тУ1 2 1 *

Здесь \ и - сечения Т, [*,»]- лиев коммутатор векторных

полей. Морфизм определяется условием коммутативности диаграммы

Здесь ш"1 - пучок - I- ^супер-) дифференциалов на универсальной (супер-) кривой Е, а ец о (езо) - соответственно открытое и замкнутое множества в Е . Слои пучка 1 представляют собой пучки инфинитозимальных диффеоморфизмов римановых поверхностей Ет (т е Л). Переклейка областей римановых поверхностей и с помощью диффеоморфизма, опреде-

ленного на .бя\с„ , деформирует риманову поверхность,вследствие чего ее конформный класс изменяется. Таким образом задается морфизм * диаграммы 3 . Морфизм К явно выражается через функцию Грина (супер-) струнных координат.

3. Действующий в пространствах состояний рассеивающихся струн ВКЗТ-оператор определяется как кограничный оператор для обобщенных локальных коцепей (супер-) алгабры Атьи [супер-) квазиконформных преобразований. Вследствие сокращения (супер-) квазико-конформных аномалий этот оператор удается задать (супер-) ква-зикоконформно инвариантным и нильпотентным.

4. Пространство физических состояний распеваемых струн рассматривается как пространство когоыологий описанного выше комплекса. Как нетрудно убедиться, структура пространства физических состояний, определенного таким образом, фактически не зависит от топологии мировой поверхности, и оно оказывается эквивалентным пространству состояний в модели свободной (супер-) струны. В результате сЕоей (супер-) квазиконформной инвариантности амплитуды оказываются также ВИЗТ-инвариантными и, вследствие этого корректно сужаются на пространство когомологий.

В Главе 4 проведены вычисления для однопетлевых суперструнных диаграмм. Получены следующие формулы для меры в пространстве модулей:

Ориентируемая открытоетрунная петля, лента Мебиуса и бутылка Клейна

И = Ч'ЧР/1 -

Ориентируемая замкнутострунная петля

и = |ч .^р/! - |г. а -

Ориентируемая петля открытых суперструн тип I , супераналог бутылки Клейна тип I

Ц = гг.вр((. - Г2Т'(« - г1""1)*.^

го

Ориентируемая петля открытых суперструн тип П .супераналог бутылки Клейна тип П , супераналог ленты Мебиуса

Приведенные здесь формулы для ориентируемых мировых поверхностей совпадают с результатами, полученными ранее методом функционалЬного интеграла.

Автор благодарен В.Н.Попову за руководство работой.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Пельц Г.А. Пространство состояний и волновое уравнение для бозонной струны с нетривиальной топологией мировой поверхности.

Зал.научн.семин.ЛСЬМ, 1988, т.169, с.107-121.

2. Пельц Г.А. Ковариантное квантование релятивистской струны с нетривиальной топологией мировой поверхности. Зал.научн. семин.ЛСМИ 1990, т.160, с.142-160.

^ = Ч-.-Ли + <1Т(1 -

00

Ориентируемая петля замкнутых суперструн

Здесь ЬЛ-^О) - эллиптический параметр, г = е

,1с1А. ч = г1. 1