Классификация дискретных интегрируемых уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

004603727

Учреждение Российской академии наук Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

на правах рукописи

Адлер Всеволод Эдуардович

Классификация дискретных интегрируемых

уравнений

Специальность 01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

1 0 мюн 2010

Черноголовка 2010

004603727

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Игорь Моисеевич Кричевер, доктор физико-математических наук Александр Васильевич Михайлов, доктор физико-математических наук Сергей Петрович Царёв

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт математики им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 24 июня 2010 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау РАН, расположенном по адресу: 142432, Московская обл., г. Черноголовка, ул. Институтская, д. 2, Институт физики твёрдого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау.

Автореферат разослан 21 мая 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

П.Г. Гриневич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование дифференциально-разностных и дискретных нелинейных уравнений представляет значительный теоретический и прикладной интерес. В частности, одной из важных задач в этой области является выделение и классификация интегрируемых случаев. Для уравнений в частных производных имеется довольно много классификационных результатов; наиболее важные из них получены в рамках симметрийного подхода разработанного школой А.Б. Шабата, см. например [Sokolov-Sliabat, Mikhailov-Shabat-Yamilov, Mikhailov-Shabat-Sokolov, Heredero-Sokolov-Svinolupov, Habibullin-Sokolov-Yamilov]. Для дифференциально-разностных уравнений, или цепочек, результатов существенно меньше (практически все они представлены в обзоре [Yamilov 2006]), а для дискретных уравнений их почти нет, поэтому развитие методов классификации является здесь актуальной задачей.

В основе симметрийного подхода лежит свойство совместности, или коммутативности потоков, образующих интегрируемую иерархию. При этом непрерывные потоки отвечают высшим симметриям, а дискретные преобразованиям Дарбу-Бэклунда, см. напр. [Levi, Шабат-Ямилов, 23]. Это означает, что преобразование Бэклунда можно рассматривать как самостоятельный объект, интерпретируя его как сдвиг по дискретной переменной в дифференциально-разностном уравнении. На следующем шаге, коммутативность преобразований Бэклунда (теорема Бьянки) приводит к уравнениям с двумя дискретными независимыми переменными. Наоборот, любое дискретное уравнение, обладающее высшими симметриями, можно интерпретировать как принцип суперпозиции для некоторого преобразования Бэклунда.

В целом, содержание диссертации можно охарактеризовать как развитие этой темы о связи дискретного и непрерывного. Некоторый уклон в дискретную сторону оправдывается тем, что во многих случаях дискретная часть иерархии представляется более фундаментальной и прозрачной. Особенно это проявляется в приложениях к геометрии, которые переживают за последние 10-15 лет настоящий ренессанс, именно благодаря переходу к дискретной части картины, см. напр. [Bobenko-Suris 2009]. Концептуально, условия совместности в дискретном случае проще чем в непрерывном. В то же время, с вычислительной точки зрения, они труднее поддаются анализу, что и объясняет отставание в классификации дискретных уравнений.

Характерным примером служит свойство SD-совместности, или совместности вокруг куба [Nijhoff-Walker, Bobenko-Suris 2002], относящееся

Рис. 1. ЗБ-совместность, или совместность вокруг куба. Тождество (Д/сД/с-!-!)3 = 1с1

к квад-уравнениям, то есть уравнениям вида

«12 = /(и,И1,и2), (1) 1

где индекс обозначает сдвиг по дискретной переменной на квадратной решётке. Это свойство означает, что имеются ещё два уравнения такого типа, заданные на ортогональных плоскостях кубической решётки,

«13 = д{и,Щ,и3), и2з = /1(и,Ы2,Ыз),

такие, что значения «123; вычисленные тремя возможными способами, тождественно совпадают, то есть, выполняются равенства

«123 = Киъ 1{и,и1,и2), д{и,их,из))

= 9{и2,1{и,иъщ),Ь(и,и2,иг)) (2) г-

тождественно по начальным данным и,щ, 112,113. Комбинаторная структура этих тождеств поясняется рис. 1 слева, где штриховка граней по- ! казывает один из трёх возможных способов осуществления отображений. Разумеется, данное определение не взято с потолка. Уравнения вида (1) возникают из принципа нелинейной суперпозиции преобразований Бэк-лунда (каждая грань куба интерпретируется как диаграмма Бьянки) и тождество (2) отражает их важное групповое свойство. :

Альтернативно, это свойство описывается тождествами [1, 3, 4, 28]

Я2к = {ЯкЯк+1)3 = (ЯкЩ? = 3 ф к ± 1, (3)

определяющими нелинейное представление группы перестановок преобразованиями вида

^ _ а'к_1=ак, а'к=ак-1, а'п = ап, пфк-\,к, и'к = Е{ик+1,ик,ик-1,ак,ак-1), и'п = ип, тг^к,

действующими на последовательности переменных ип и параметров а„, тг ЕЪ (рис. 1 справа). Тождества (3) означают, что преобразования, оставляющие на месте ап, действуют тривиально и на ип\ это доказывается из единственности разложения преобразования Дарбу на элементарные.

Оба определения ЗО-совместности работают и в случае, когда поля ассоциированы с рёбрами решётки, что отвечает отображениям Янга-Бакстера [Бухштабер, УеэеЬу].

Свойство ЗО-совместности является весьма специальным и можно гарантировать интегрируемость уравнений, для которых оно выполняется. Однако, использовать это свойство для классификации не так-то просто, поскольку условия совместности (2) являются функциональными уравнениями. Для сравнения, легко видеть, что если бы индекс в (1) обозначал частную производную, то вместо (2) возникла бы система дифференциальных уравнений относительно /, д, ¡г. Для условий в форме (3) ситуация ещё хуже, поскольку здесь приходится рассматривать двукратную композицию функций. В наиболее общей постановке задача описания ЗБ-совместных уравнений до сих пор остаётся открытой. Приведённая в диссертации классификация получена при ряде дополнительных предположений, сводящих (2) к алгебраическим уравнениям.

Основные цели работы. Целью работы является изучение и классификация некоторых типов разностных и дифференциально-разностных интегрируемых уравнений, и установление взаимосвязей между ними. Помимо квад-уравнений и отображений Янга-Бакстера, в диссертации рассматриваются также дискретные уравнения типа Тоды. Все эти уравнения можно задавать не только на квадратной решётке, но и на достаточно произвольных плоских графах — черта, которой трудно подобрать аналог в непрерывном случае. Такие системы стали изучаться лишь недавно. Обсуждаются некоторые их общие свойства. Приводятся также результаты, относящиеся к дифференциально-разностным уравнениям типа цепочек Тоды, Тоды-Руйзенарса, Абловица-Ладика и Вольтерра. В двух последних главах идея совместности используется для классификации трёхмерных дискретных уравнений типа ДКР.

Методы исследования. В диссертации применяется симметрийный подход к исследованию интегрируемых нелинейных уравнений. Обычно, для эффективной классификации дифференциальных уравнений в частных производных и цепочек, используют, в рамках этого метода, технику основанную на понятиях формальной симметрии и канонических законов сохранения. Гл. 8, посвящённая векторным цепочкам Вольтерра, представляет собой довольно типичный пример применения этой техники. В остальных классификационных задачах оказывается достаточным ограничиться вульгарной версией симметрийного подхода, приняв в качестве определяющего свойства наличие всего одной симметрии специального вида. Такое концептуальное упрощение объясняется тем, что наличие у уравнения нетривиальной дискретной симметрии (преобразования Бэк-лунда) является очень сильным свойством, обеспечивающим интегрируемость. Фактически, преобразование Бэклунда часто можно интерпретировать, как нелинейную версию представления нулевой кривизны. В результате, оказывается возможным получать всю информацию, нужную для решения классификационной задачи, непосредственно из условий совместности (например, в случае квад-уравнений, из условий (2)).

Научная новизна. В работе представлены следующие результаты.

1) Получена классификация ЗБ-совместных квад-уравнений. Основным примером является уравнение ($4), определяющее принцип нелинейной суперпозиции для уравнения Кричевера-Новикова.

2) Исследован вопрос о постановке корректной задачи Коши для уравнений на квад-графе.

3) Получена классификация скалярных квадрирациональных отображений Янга-Бакстера. Показано, что все они удовлетворяют свойству ЗБ-совместности.

4) Построены примеры интегрируемых дискретных уравнений типа Тоды на плоских графах. Они связаны с квад-уравнениями на двудольном квад-графе посредством ограничения на вершины одного типа. В случае треугольной решётки и в полунепрерывном случае (отвечающем цепочкам типа Тоды-Руйзенарса) получена классификация уравнений инвариантных относительно сдвига.

5) Получена классификация одного класса совместных цепочек, связанных с цепочками типа Тоды, Руйзенарса-Тоды и Абловица-Ладика. Эти цепочки определяют авто-преобразования Бэклунда для систем типа Полмайера-Лунда-Редже и типа НШ (нелинейного Шрёдингера).

6) Изучены дискретные аналоги уравнения Ландау-Лифшица: установлена связь между цепочками Склянина и Шабата-Ямилова, исследо-

ваны дискретные уравнения типа Тоды, связанные с уравнением (Q.\)-

7) Получена классификация интегрируемых изотропных уравнений типа цепочки Вольтерра на сфере.

8) Предложено обобщение понятия ЗБ-совместности для некоторых трёхмерных уравнений и его геометрическая иллюстрация при помощи тангенциального отображения, заданного на плоских кривых. На основе этого понятия получена классификация трёхмерных дискретных уравнений типа АКР (Кадомцева-Петвиашвили).

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут иметь применения в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау, Математического Института им. В.А. Стеклова, Института математики Уфимского НЦ РАН, RIMS (Киото), Technische Universität Berlin, Loughborough University, Imperial College (Лондон), Leeds University, а также на конференциях: International Workshop on Solitons, Collapses, Turbulence: Developments and Perspectives (1999, ИТФ, Черноголовка); IV International Conference on Symmetries and Integrability of Difference Equations (2000, Tokyo University); Discrete Systems and Integrability (2001, Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge); Classification Problems in the Theory of Integrable Systems (2002, SISSA, Trieste); Discrete differential geometry (2007, TU Berlin); Всероссийская школа молодых ученых по функциональному анализу, математической физике и информатике (2007, Карачаево-Черкесский ГУ, Теберда); Geometry and integrability (2008, Obergurgl, Austria); Geometrie Aspects of Discrete and Ultra-Discrete Integrable Systems (2009, Glasgow University) в рамках программы Discrete Integrable Systems (2009, INI, Cambridge); Conformal Field Theory, Integrable Models and Liou-ville Gravity (2009, ИТФ, Черноголовка).

Публикации. Диссертация выполнена на основе работ [1]-[28], опубликованных в ведущих российских и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Часть работ написана совместно. Вклад автора в приведённые в диссертации результаты является основным.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения и десяти глав. Список литературы содержит 196 наименований. Общий объём 289 страниц.

Содержание работы

Введение содержит описание полученных в диссертации результатов и оценку их значения для теории нелинейных интегрируемых систем.

Гл. 1, Преобразования Дарбу-Бэклунда, носит обзорный характер. Приведённые в ней основные сведения о преобразованиях Бэклунда служат мотивировкой и иллюстрацией для значительной части дальнейших глав. В качестве примеров используются некоторые результаты из работ [1, 4, 5, 24], но в основном изложение стандартное. Преобразованием Дарбу называется авто-преобразование линейного дифференциального или разностного уравнения с переменными коэффициентами, строящееся по его частному решению. При этом коэффициенты исходного и преобразованного уравнения связаны некоторыми нелинейными соотношениями. В случае, когда преобразование Дарбу применяется к паре вспомогательных линейных задач для нелинейного интегрируемого уравнения, эти соотношения интерпретируются как преобразования Бэклунда. Преобразования Дарбу-Бэклунда служат важнейшим источником интегрируемых уравнений с дискретными независимыми переменными. Итерации преобразований Бэклунда порождают нелинейные дифференциально-разностные уравнения, или цепочки. Свойство перестановочности преобразований Дарбу приводит к чисто разностным уравнениям удовлетворяющим описанному выше свойству ЗБ-совместности: так называемым квад-урав-нениям и отображениям Янга-Бакстера.

Гл. 2, ЗО-совместные квад-уравнения [13, 15], посвящена задаче классификации интегрируемых квад-уравнений

(¿(и,^,^^^;!*1,^) = 0 (4)

на основе свойства ЗБ-совместности. Основным результатом данной главы является следующая классификационная теорема, полученная при ряде дополнительных предположений: 1) аффинно-линейность (С? является многочленом первой степени по каждой переменной); 2) трансляционная инвариантность (уравнения на противоположных гранях куба совпадают); 3) уравнение допускает группу симметрий квадрата; 4) свойство тет-раэдральности (значение «123 не зависит от и).

Теорема 2.3. ЗБ-совместные квад-уравнения удовлетворяющие перечисленным свойствам исчерпываются списком 2.1, с точностью до дробно-линейных преобразований, одних и тех же во всех узлах решётки.

Основное уравнение в списке, ((?4), определяет принцип нелинейной суперпозиции для уравнения Кричевера-Новикова [Кричевер-Новиков, 5].

аг(и — — Uij) — a3(u — Ui)(uj — utj) + Sala3(al — a3) — 0, (Qf)

аг(и — uj)(ui — u^) — a3(u — ui)(uj - иу) + a1 a3 (a1 — a3)(u + щ + Uj + Uy)

- a*a3(a* - - aW + {a3)2) = 0, (Q2) - ^ (ищ + Uj Uij) - - (uuj + щи^)

- £)<««- ««> - ii - ¿) «®

8п(аг) sn(a3) sn(a* — a3)(k2uUiUjUij + 1) + sn(аг)(ищ + UjUij)

— sn (a3)(uuj + UiUij) — sn(a® — a3)(uuij + UiUj) — 0, (Q4)

(и - Uij){ui — Uj) + a3 - аг = 0, (Hi)

{и - иц)(щ - Uj) + (a3 - а1){и + щ + щ + иц) + (a3)2 - (a*)2 = 0, (#2)

а\ищ + UjU^) - a3(uuj + щщ5) + ¿((a*)2 - {a3)2) = 0, (#f)

al(u + щ)(щ + u^) - a3(u + щ)(щ + - 62а1а3(аг - a3) = 0, (Л^)

((a3)2 - (о?)2)(ищи^щ + 1) + a3((a1)2 - 1 )(uuj + щи^)

- a\{a3)2 - 1 ){ищ + щи^) = 0. (A2)

Список 2.1. ЗО-совместные квад-уравнения

Остальные уравнения могут быть выведены из него посредством вырождения эллиптической кривой и предельных переходов [25, Atkinson]. Все они также задают принцип нелинейной суперпозиции для уравнений типа КдФ или sine-Гордон.

Техника, применяемая при решении классификационной задачи, использует некоторые свойства отображений

Q(u, и, w, z) н-> h(u, v) - QWQZ - QQWZ, h(u, v) н-> r(u) = h2- 2hhvv, переводящих аффинно-линейные многочлены в биквадратичные, а би-

квадратичные в многочлены четвёртой степени от одной переменной. Анализ условия ЗБ-совместности позволяет установить следующее ключевое свойство: биквадратичные многочлены Л,(и, и), приходящие на ребро (и, у) куба с двух смежных граней, совпадают с точностью до множителя. Отсюда следует, что совпадают также три многочлена г (и), приходящие в вершину куба с содержащих её граней, а с учётом свойства симметрии получается, что вообще всем вершинам отвечает один и тот же многочлен. Дробно-линейное преобразование позволяет привести его к одной из 6-ти канонических форм, в зависимости от кратности корней, после чего задача сводится к восстановлению соответствующих многочленов /г и С}. При этом важную роль играют их инварианты относительно группы дробно-линейных преобразований. Параметры аг,а^, а также модуль к эллиптической кривой в случае (<24) как раз оказываются такими инвариантами.

Следует отметить, что биквадратичные многочлены весьма часто возникают в теории интегрируемых уравнений (например, далее в диссертации они встречаются в гл. 6 при рассмотрении цепочек типа Тоды и в гл. 7 при дискретизации уравнения Ландау-Лифшица). Их роль в теории квад-уравнений становится особенно прозрачной при анализе сингулярных решений, проведённом в разделе 2.4. Результаты этого раздела позволяют несколько ослабить сделанные выше предположения о виде квад-уравнений, что, однако, не приводит к расширению списка. Несколько примеров с нарушенным свойством симметрии приведено в разделе 2.8; все они являются, в определённом смысле, вырожденными.

В разделе 2.9 рассматривается трёхногая форма квад-уравнений. Так называется уравнение вида

Р(и, щу,аг,ос>) = С(и,щ-,аг) — 0(и,иу,а?)

эквивалентное уравнению (4). Например, для уравнения ((/[) трёхногая форма имеет вид

аг — аэ аг а? ...

-=---. (5)

и — и^ и — щ и — иj

Аналогичное представление имеется для каждого уравнения из списка (но, вообще говоря, функции ^ и С не являются рациональными). Трёхногая форма является неочевидным, но весьма замечательным свойством квад-уравнений: само свойство ЗБ-совместности следует из факта её существования [25]. Кроме того, она осуществляет связь теории квад-уравнений с теорией дискретных цепочек Тоды (гл. 5).

Гл. 3, Уравнения на квад-графах [27]. Свойство ЗБ-совместности позволяет определить для квад-уравпения преобразование Бэклунда и представление нулевой кривизны. По существу, эти понятия оказываются эквивалентными ЗБ-совместности. Более того, так как эти понятия локальны, то есть связаны лишь с элементарными ячейками решётки, то они допускают непосредственное обобщение на случай, когда уравнение задано не на квадратной решётке, а на произвольном квад-графе, то есть плоском графе с четырёхугольными гранями. Таким образом, возникает огромное количество двумерных дискретных систем, обладающих этими двумя атрибутами интегрируемости. Возникает естественный вопрос, в какой мере их действительно можно считать интегрируемыми. В данной главе изучаются некоторые глобальные свойства решений таких систем. В первую очередь, рассматривается проблема выбора начальных данных, которая является, в отличие от случая квадратной решётки, довольно нетривиальной.

В частности, показано, что корректность задачи Коши может зависеть не только от комбинаторики квад-графа, но и от того, является ли уравнение ЗБ-совместным, то есть интегрируемым в локальном смысле. Предполагается выполненным свойство симметрии, благодаря чему такая система однозначно определяется набором параметров, ассоциированных с рёбрами графа, причём противоположным рёбрам любой грани отвечает один и тот же параметр. Набор параметров, удовлетворяющий этому свойству, называется разметкой квад-графа. Последовательность граней, примыкающих друг к другу по противоположным рёбрам (несущим один и тот же параметр), называется полосой; роль полос для уравнения на квад-графе сопоставима с ролью характеристик непрерывных гиперболических уравнений. Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 3.10 Рассмотрим задачу Коши для 3Б-совместного уравнения на конечном односвязном квад-графе Г без самопересекающихся полос, с начальными данными общего положения заданными на простом пути Р. Тогда:

1) если каждая полоса в Г пересекает Р в точности по одному ребру, то решение задачи Коши существует и единственно;

2) если некоторая полоса пересекает Р более одного раза, то задача Коши переопределена (для начальных данных общего положения решения нет);

3) если некоторая полоса не пересекает Р, то задача Коши недоопре-делена (если решение существует, то оно неединственно).

Рассматривается также вопрос о распространении решений на квад-

графе, отличающемся от регулярной квадратной решётки лишь в некоторой конечной области (локальном дефекте). В частности, доказывается, что если все полосы, проходящие через дефект, продолжаются в том же направлении (возможно, меняя взаимный порядок), то такой дефект вообще не оказывает влияния на решение уравнения с постоянными параметрами.

В гл. 4, Квадрирациональные отображения [14], рассматриваются ЗБ-совместные уравнения с переменными на рёбрах решётки, то есть отображения

(«V") u) = r№,vP), ¿,¿ = 1,2,3,

удовлетворяющие тождеству

Основное внимание уделено простейшему скалярному случаю и G СР1. Правда, он довольно беден: оказывается, что все такие отображения получаются редукцией из квад-уравнений. С другой стороны, в таких отображениях проявляется некоторая новая структура, позволяющая получить их эффективную классификацию. Этой структурой является квадрира-ционалъность. Бирациональное отображение (и, v) ь-> (û,v) называется квадрирациональным, если его график является также графиком некоторого бирационального отображения (и, v) н-> (й, v). Все такие отображения на СР1 х СР1 можно проклассифицировать, и оказывается, что все они удовлетворяют свойству ЗБ-совместности. Список 4.1 содержит основную часть ответа (имеется ещё несколько вырожденных отображений, см. раздел 4.4). Для отображений из этого списка имеется красивая геометрическая интерпретация в виде одной теоремы инцидентности на линейном пучке коник. Рассмотрим пару невырожденных различных коник Q\, Q2 на плоскости СР2. Для точек U (г. Q\ и V <£ Q2 определим Û 6 Qi и V е Q-2, как дополнительные точки пересечения прямой UV с кониками. Тем самым задано отображение Ф : (U, V) (Û, V). Теорема 4.5. Отображения Фц, действующие на парах невырожденных коник Q1 х из линейного пучка, ЗБ-совместны.

Всего имеется пять проективных типов пересечения двух коник [Berger], которым и отвечают отображения (F\)-(Fy), при подходящей рациональной параметризации. Отображения отвечают той же самой геометрической картине, но переменные иг и и® отвечают теперь двум разным параметризациям одной и той же коники Qi.

№) (Рт) №и)

(¿V) (Ру)

Список 4.1. Квадрирациональные отображения (неполный список)

Рис. 2. ЗО-совместность на линейном пучке коник

а

■и о =

V ((а4 - 1)и' - (а* - 1)и4 + а» - а4)

=

ил —

V, А —

ил =

аг(а3 — — — 1)иг + (а* — а3)и3ь? а1 (а? — 1)и3 - а3(аг - 1)иг + (а' - а3)и3и1

и3 ((а' - 1)и3 - (а? - 1 + о? - а*) и3(агиг — а3 и3 + — аг)

аг(иг — м-7) (1 — и3)(агиг - а3и3)

аг(иг — г^') и3(агиг - а3 и3) а>(иi - гР) и1 — и3

и,- =

и3 (аг и1 — а3 и3) \ и* - Ы /

и

= и-7

^ + -т-

II1 — и3

аг — а3

и\ — -и3

иг — и3 а1 - а3 иг — и3

Гл. 5, Уравнения типа цепочки Тоды [19, 6, 7, 9, 25]. В разделе 5.1 рассматриваются уравнения типа дискретной цепочки Тоды на плоских графах. Они возникают из квад-уравнений на двудольных квад-графах при ограничении на вершины одного типа, что возможно благодаря трёхногой формой квад-уравнений. Например, суммируя уравнения вида (5) вокруг некоторой вершины квад-графа, мы получим уравнение

'' и — иу

где суммирование ведётся по всем вершинам (¿7), связанным с данной вершиной по диагонали элементарной ячейки. Это ограничение даёт также конструкцию преообразований Бэклунда и представлений нулевой кривизны для дискретных цепочек Тоды.

В разделе 5.2 рассматривается специальный случай дискретных цепочек Тоды на треугольной решётке, инвариантных относительно сдвига и—*и + а:

(Г1 - 1)/(и - и_1,0) + № -1)<7(«-«0,-1) + (Т1Т2 - 1)Л(«-«_1,_1) - 0. (6)

Этот класс уравнений заслуживает отдельного рассмотрения по двум причинам. Во-первых, в этом случае преобразование Бэклунда имеет особенно простой вид (в этой главе оно называется преобразованием дуальности и определяется в терминах законов сохранения уравнения (6)), и не представляет труда получить список цепочек, для которых оно определено. Во-вторых, в этом случае возникают несколько уравнений, которые нельзя определить на произвольном плоском графе (это объясняется

"12

Рис. 3. Ограничение на подрешётку квад-графа

д{у) Кг)

м V А

X У г

р соЛ X V соШ у А со^ г

1 . Х + ц О 1ой 2 х — р 1 У + 1> 2 у-р 1, г + А 2 2 — А

log у 1о§(1 - 1/г)

— ех — 1 е~у 1 1 + е2

Ыех - 1) 1о8(е» - 1) -1о§(е2-1)

- 1оё(е~х - 1) Ыеу ~ 1) — 2

1о§(А-1(еж + 1)) 1оё(е-у _ 1) , ег + А г , 1 е2 + 1

, рех + 1 х . ех + р , уеу + 1 юг- еУ + р , Аег + 1 е2 + А

(A)

(B)

(C)

(0) (Е)

(Р) (С)

(Н)

(1)

Список 5.1. Дискретные цепочки Тоды (6) на треугольной решётке, допускающие преобразование дуальности

тем, что связанные с ними квад-уравнения несимметричны; подробно это обсуждается в недавней работе [ВоЦ-Эипв]). Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 5.7 Нелинейные уравнения (6), допускающие преобразование дуальности, исчерпываются списком 5.1, с точностью до замен йт<п — сит!П — агп — /Зп и перестановки осей решётки. В формулах (А), (В), (С) параметры связаны соотношением А + /х + V — 0, а в (I) соотношением А Ц1У = — 1.

В качестве побочного продукта при этом возникает и список интегрируемых дискретных цепочек Тоды на квадратной решётке. В непрерывном пределе столь же просто возникают списки релятивистских и обычных цепочек Тоды (раздел 5.3). Следует подчеркнуть, что все эти списки не являются исчерпывающими, так как содержат только уравнения, инвариантные относительно сдвига. В частности, они не содержат дискретных уравнений Ландау-Лифшица, являющихся, в определённом

й = щеУ1 - й-хеу - е У1 + е2у, (а)

и = и ( — - ~ + У1 - у ) , (Ь)

42/1 У )

й = й( --, "-1 + 1/(еУ1 - е»)) , (с)

V1 + 1 + к )

й = й(й + 1)(^-Н=1.У (<1)

V 2/1 У )

й = й(й — и) { ——---| , (е)

^ + ц + еУ)'

и = {и* + Ц)[ -5---5- , (г)

ЧМ + Ух М +

и — -(и +1 - /г) -:---5- . (g)

2 ^ у \/х + совЬ?/! ц + созЪу /

Список 5.2. Цепочки типа Руйзенарса-Тоды (7) допускающие преобразования дуальности (у = и — 11-1)

смысле, основными примерами цепочек типа Тоды и связанными с квад-уравнением (С^)- Эти дискретизации рассматриваются отдельно в гл. 7. Теорема 5.12. Нелинейные цепочки

й = г(й)(/(и1 - и)щ - /(и - и- 1>й_1 + д(щ - и)- д(и - к_1)), (7)

допускающие преобразования дуальности исчерпываются списком 5.2, с точностью до преобразований (¡п —> ацп + рЬ + 7п, Ь 5Ь.

В гл. 6, Двухкомпонентные гиперболические системы [21], решается задача классификации совместных пар цепочек

их = Р(щ,и,у), ьх = С(и,ь,У-1), (8)

иу = Р(и- 1,и,ь), уу=<Э(и,у,ы). (9)

Классификация интегрируемых цепочек (8) была получена ранее Р.И. Ями-ловым [Ямилов 2000]. В его работе в качестве основного определения было принято существование, вместо (9), симметрий достаточно высокого порядка и, кроме того, цепочка предполагалась гамильтоновой. Здесь свойство гамильтоновости выводится.

к к н ни . .

их —---7Г Ъх = - + — (Хх)

V — щ 2 У-1 — и 2

Ь . К К ни

■ + ЬУ = 7~,Г--7Г (у1)

и_1 - V 2 и-VI 2

/г = а\и2у2 + иу(и + и) + аз(и2 + -у2) + а^ш; + аб(и + у) + ао

■иж = (и - их) (и - у) ух = (и_х - и) (и - и) (Х2)

и - гг_х г»1 — V , .

% =--иу =-

у - и_х г>1 - и

их = (1 + еи1-и)(1 + е«-г') г;ж = (1+е^-1)(1 + е"-г') (Х3)

1 + еи~1~и 1 + еу~у1

— ---уу = ---(1з

х

иу = е"~1_и + еи~1~у уу — е"~щ + еи~У1 (У4)

их = + е"-" ух = еи~у~1 + е""" (Х5)

иу = + е"~и уу = еУ1~и + еу~и (У5)

их — еи1~и + еи~у ух = еу~у~1 + еи~у (Х6)

е

,и-\—и рУ — У 1

иу = -7 Уу ~ --(^б)

У еи_1— V _ ^ У _ ^ V о/

Список 6.1. Совместные пары цепочек (8), (9)

Теорема 6.1. Совместные цепочки вида (8), (9), нелинейные, неприводимые и удовлетворяющие условию невырожденности

РуРи\ РуРи—1 ЯчЯУ, ф О,

точечно эквивалентны одной из пар, перечисленных в списке 6.1.

Все цепочки из списка 6.1 имеют гамильтонову структуру общего вида

их = Ци,у)5ьн, Ух = -И(и,у)5ин, Н — К(щ, у) + Ь(и, у), иу = к(и,ь)5у11, ух =-к(и,у)8иВ., И — М(и,у{) + И(и,у),

где 5UH = ди Yin Тп(Н) обозначает разностную вариационную производную.

Рассматриваемые цепочки тесно связаны с ещё несколькими важными классами нелинейных цепочек: типа Тоды, Руйзенарса-Тоды и Абловица-Ладика, а также с двухкомпонентными системами в частных производных, для которых они определяют авто-преобразования Бэклунда: гиперболическими типа Полмайера-Лунда-Редже и эволюционными типа НШ. Исследованию этих взаимосвязей посвящены работы [18, 19, 20, Ямилов 2000, 23, Марихин-Шабат, 17, Yamilov 2006]. Подход, основанный на исследовании пар (8), (9) позволяет воспроизвести некоторые результаты в более общем и прозрачном виде.

В гл. 7, Дискретизация уравнения Ландау-Лифшица [18, 8, 25], устанавливается связь между двумя известными интегрируемыми дискретизациями уравнения Ландау-Лифшица

S( = [s, sxx + Js], sG®3, (s,s) = 1, J = diag(Ji,J2,J3). (10)

Первая из них, введенная Е.К. Скляниным [Склянин], характеризуется тем, что фундаментальные скобки Пуассона для нее и для (10) обслуживаются одной и той же r-матрицей, а матрица Ln из представления нулевой кривизны аппроксимирует, в пределе х = en, е —+ 0, матрицу монодромии для (10). Эти свойства можно принять в качестве определения «правильного» дискретного аналога данной непрерывной модели [Тахтаджян-Фаддеев, Suris]. Вторая дискретизация, введенная А.Б. Ша-батом и Р.И. Ямиловым [Шабат-Ямилов], см. также [Krichever], есть не что иное, как цепочка (A"i). Она определяет преобразования Бэклунда для системы типа НШ, связанной с (10) комплексифицированной стереографической проекцией.

Обе модели тесно связаны, несмотря на различное происхождение. Показано, что цепочка Склянина точечно эквивалентна сумме цепочки (Ai) и её симметрии (Yí). Иными словами, обе модели принадлежат одной и той же иерархии интегрируемых уравнений. В качестве дополнительного результата возникают интегрируемое гиперболическое уравнение на сфере и цепочки типа Тоды и релятивистской цепочки Тоды, также принадлежащие этой иерархии.

В разделе 7.6 рассматриваются дискретные цепочки Тоды на квадратной и треугольной решётках, связанные с цепочками (Xj), (У"х) и квад-уравнением (Qi). Эти результаты дополняют результаты главы 5. В разделе 7.7 рассматриваются некоторые векторные обобщения.

В гл. 8, Интегрируемые изотропные цепочки Вольтерра на сфере [11, 26], рассматриваются цепочки общего вида

Vn,x — fnVn+i + 9пУп + hnVn-i,

где Vn векторы, a fn,9n,hn скалярные функции от Ki+ъ Vn, Vn-\- Такие цепочки служат векторными аналогами цепочки Вольтерра, являющейся одной из наиболее фундаментальных дифференциально-разностных моделей [Манаков, Тахтаджян-Фаддеев, Suris]. Интегрируемость понимается, как существование высших симметрий аналогичного вида, и ставится задача выделения интегрируемых случаев при следующих предположениях:

1) цепочка и её симметрии изотропны и сдвигово-инвариантны, то есть их коэффициенты зависят лишь от скалярных произведений vrn¡n := (Vm, Vn) = {Vn, Vm), причём эта зависимость одна и та же в каждом узле цепочки;

2) симметрия существует независимо от размерности векторного пространства и природы скалярного произведения;

3) все Vn имеют единичную длину, то есть vritTl — 1.

Эта задача решается в рамках стандартного симметрийного подхода, основанного на анализе необходимых условий интегрируемости в виде так называемых канонических законов сохранения. Скалярные цепочки типа Вольтерра x = f(vn+i. un_i) были проклассифицированы Р.И. Ями-ловым [Ямилов 1983, Yamilov 2006]. Векторный случай имеет, разумеется, свои особенности, но в целом применяемый метод весьма близок. Это обусловлено тем, что необходимые условия интегрируемости формально совпадают со скалярными (различие заключается в наборах динамических переменных: vm,n вместо vn). В непрерывном случае общий подход и ряд важных результатов, основанных на этом простом наблюдении, принадлежат В.В. Соколову, А.Г. Мешкову, Т. Wolf'y и др. (см. напр. [Meshkov-Sokolov]).

Полученный список состоит в основном из новых цепочек. В соответствии с общей идеологией, их можно интерпретировать как преобразования Бэклунда для уравнений в частных производных: двумерных векторных систем типа НШ и трёхмерных типа Дэви-Стюартсона.

Теорема 8.1. Если изотропная цепочка Вольтерра на сфере (V, V) = 1 удовлетворяет трём первым необходимым условиям интегрируемости, то она совпадает с одной из цепочек списка 8.1, с точностью до растяжения х. Все цепочки из этого списка имеют высшую симметрию второго порядка.

Vx =-, a = v0<-1--; (Vi)

«1,-1 - «1,0«0,-1 «0,-1

y = a{Vi - vifiV) + ai(vo,-iV ~ V-i)

vi_i - vi,0«o,-i + aai a2 - 2kv0rlo + wg -1 = 0; (V2)

тr («0,-1 + e)(VÍ + eV) - (vi,o + e){V-1 + elQ .

Vr =---:-; (V3J

«1,-1 -1

y = K,_1 + g)(Ví + eV) - Ко + е){У-1 + eV)

«1,-1 - «i,o«o,-i + (vi,0 + e){vo,-i +s){k + pp{) ' y «0,-1

«1,-1 + ф1,0 + «О,—1) + 1 + A-^Wi.o + Sy/VQ-1 + £

±1

«1,0+ ¿ «0,-1 + <?

Список 8.1. Интегрируемые цепочки Вольтерра на сфере (<V,V) = 1, vm,n = {Vm,Vn}, £ = ±1).

Гл. 9, Дискретное уравнение Кадомцева-Петвиашвили (ДКР),

носит вспомогательный характер и служит мотивировкой для классификационной задачи, рассматриваемой в главе 10. В основном, в ней приводятся некоторые достаточно хорошо известные факты о дискретном уравнении КР: вывод из линейных задач, связь с каскадным методом Лапласа и некоторые геометрические интерпретации (см. напр. [ЕЦгсЛа, Bogdanov-Konopelchenko, КопорекЬепко-БсЫеГ, 24]). Исключением является раздел 9.4, содержащий новую геометрическую конструкцию для полудискретного уравнения КР [12]. В её основе лежит следующее ЗБ-совместное отображение на множестве гладких плоских кривых (тангенциальное отображение).

Пусть даны гладкие плоские кривые С, С\ и Через произвольную точку г на кривой С проведём касательную, и пусть она пересекает С\ в

Рис. 4. ЗО-совместность тангенциального отображения в простейшем случае концентрических окружностей

точке т\ и С2 в точке г2- Пусть касательные, проведённые через эти точки к соответствующим кривым пересекаются в точке г 12. При движении точки г по С точка г12 опишет новую кривую С12- Тем самым определено локальное (то есть, определённое не для всех троек кривых или не всегда однозначное) отображение

(С,СиС2) ~ С12-

Оказывается, что оно достаточно просто связано с факторизацией дифференциальных операторов. В свою очередь, это позволяет установить связь с полудискретной цепочкой Тоды, и после редукции, уравнением Хироты. Одна из модификаций дискретного уравнения КР возникает при рассмотрении дискретной версии тангенциального отображения.

Основным свойством отображения Р является ЗО-совместность: если стартовать с кривых С,С\,С2,С^ и построить кривые Сг] — то кривая С123, построенная по тройке C¿, С^, Сбудет одна и та же для любой перестановки (см. рис. 1 и 4). Рис. 5 иллюстрирует краси-

вое свойство логарифмической спирали, являющейся неподвижной точкой тангенциального отображения.

На уровне формул (возникающих при факторизации дифференциальных операторов), тангенциальное отображение сводится к отображению

/ : Уц,

УгУ4 ЩЬ4 - УгУ]

Щ] = —~ + —--

У V] — У г

где точка обозначает дифференцирование по параметру на кривой. Это отображение является трёхмерным аналогом квад-уравнений из гл. 2. В

Рис. 5. Надгробная надпись Якоба I Бернулли "еас!ет mutata resurgo" означает, что логарифмическая спираль инвариантна по отношению к целому ряду геометрических преобразований. Тангенциальное отображение также сохраняет эту кривую.

переменных а% возникает отображение {аг, а3) н-> (а*-, а?),

< (а* - а')а4

а) = —.-^-гт4-гт-7,

3 аг — а] + а'а-? — ага3

являющееся трёхмерным аналогом отображений из гл. 3. В обоих случаях определение ЗБ-совместности формально не меняется. Всё же, по сравнению с двумерной ситуацией, имеется важное отличие, которое заключается в том, что роли участвующих в отображении кривых различны. В частности, если построение Сц по С, С{, С) описывается дифференциальным рациональным отображением, то построение С^ по С, Сг, С^ требует квадратуры. Приспосабливая к данному примеру терминологию гл. 4, можно сказать, что тангенциальное отображение не квадрирацио-нально.

Гл. 10, Классификация интегрируемых уравнений типа АКР [16]. В классификации трёхмерных интегрируемых уравнений до сих пор имеется множество нерешённых задач. Обзор некоторых результатов в непрерывном случае имеется в [23], в дискретном же случае результаты практически отсутствуют, поэтому представляет определённый интерес применить для целей классификации трёхмерных дискретных уравнений свойство 4Б-совместности.

С логической точки зрения, 4Б-совместность проще всего определить, как совместность уравнений, заданных на трёхмерных гранях гиперкуба,

и^щ - ЩкЩ + щкгч =0 (х0

(Щк ~ иц)щ + (и^ - и5к)щ + [щк - Щк)ик = 0 (хг)

Щк ~ Щ] ^ 'UJij ~ 'U^jk ^ Щк %1гк _ ^ ^

Щ из ик

(и^ - Щк)(щк - ик)(и.) - Щ) _ (щк ~ и^к)(ик - щ)(щ ~ иц)

ИЦс Нук

ик

(Х4)

Список 10.1. 4Б-совместные уравнения типа ДКР

см. напр. [Ганжа-Царёв] и [ВоН\уа-8апиш], где это свойство было сформулировано геометрически. В работе [13] отмечалось, что оно выполняется для уравнения АВКР [М1\та] и уравнения двойного отношения. Однако, классификация уравнений этого типа представляет собой слишком технически сложную задачу (или требует привлечения других идей). В данной главе рассматривается более простой случай уравнений типа ДКР

¡(щ,щ,ик,и^,щк,щк) — 0 (11)

(по сравнению с АВКР нет зависимости от переменных и и ицк)- При этом 4Б-совместность понимается в смысле предыдущей главы, то есть одна (любая) из дискретных переменных считается выделенной (в случае тангенциального отображения это параметр на кривой), а для остальных должно выполняться свойство ЗБ-совместности. В непрерывном случае похожие примеры рассматривались в [РегароЕЛоу-КЬившйсЦпоуа-Твагеу, 22]. Подробный анализ показывает, что для уравнений (11) именно такое определение 4Б-совместности является естественным. Основным результатом является следующая теорема (в Теореме 10.23 приводится более точная формулировка, в которой перечислены все возможные совместные тройки).

Теорема 10.2. Любое уравнение вида (11) из 4В-совместной тройки сводится, точечными заменами ей4, к одному из уравнений списка 10.1.

Все уравнения из списка 10.1 хорошо известны (фактически, они эквивалентны одному уравнению). Однако, отсутствие новых примеров не следует расценивать, как неудачу. Действительно, этот ответ получен зато в весьма общей постановке: в отличие от гл. 2 не накладывается каких-либо дополнительных предположений о виде уравнений, и анализ условий совместности представляет собой элементарные выкладки (хотя и довольно длинные). Это отражает тот общий факт, что трёхмерные уравнения являются фундаментальными, а условия интегрируемости для них переопределены гораздо сильнее, чем для двумерных.

Литература

[Atkinson] J. Atkinson. Bácklund transformations for integrable lattice equations. J. Phys. A 41 (2008) 135202. 9

[Berger] M. Berger. Geometry. Springer-Verlag, Berlin 1987. 12

[Bobenko-Suris 2002] A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Integrable systems on quad-graphs. Int. Math. Res. Notes (2002) 573-611. 3

[Bobenko-Suris 2009] A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Discrete differential geometry: integrable structure. AMS, Providence, 2009. 3

[Bogdanov-Konopelchenko] L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko. Lattice and indifference Darboux-Zakharov-Manakov systems via 9-dressing method. J. Phys. A 28:5 (1995) LI73-178. 20

[Boll-Suris] R. Boll, Yu.B. Suris. Non-symmetric discrete Toda systems from quad-graphs. arXiv:0908.2822vl. 15

[Бухштабер] B.M. Бухштабер. Отображения Янга-Бакстера. Успехи Мат. Наук 53:6 (1998) 241-242. 5

[Doliwa-Santini] A. Doliwa, P.M. Santini. Multidimensional quadrilateral lattices are integrable. Phys. Lett A 233:4-6 (1997) 365-372. 23

[Ferapontov-Khusnutdinova-Tsarev] E.V. Ferapontov, K.R. Khusnutdinova, S.P. Tsarev. On a class of three-dimensional integrable Lagrangians. Comm. Math. Phys. 261:1 (2006) 225-243. 23

[Ганжа-Царёв] Е.И. Ганжа, С.П. Царёв. Алгебраическая формула суперпозиции и полнота преобразований Бэклунда (2 + 1)-мерных интегрируемых систем. Успехи Мат. Наук 51:6 (1996) 197-198. 23

[Habibullin-Sokolov-Yamilov] I.T. Habibullin, V.V. Sokolov, R.I. Yamilov. Multi-component integrable systems and nonassociative structures, pp. 139-168 in: Nonlinear Physics: Theory and Experiment, Lecce'95 (E. Alfinito, M. Boiti, L. Martina, F. Pempinelli eds). Singapore: World Scientific, 1996. 3

[HerederoSokolov-Svinolupov] R. Hernández Heredero, V.V. Sokolov, S.I. Svinolupov. Classification of third order integrable evolution equations. Physica D 87:1-4 (1995) 32-36. . 3

[Hirota] R. Hirota. Discrete analog of a generalized Toda equation. J. Phys. Soc.

Japan 50:11 (1981) 3785-3791. 20

[Konopelchenko-Schief] B.G. Konopelchenko, W.K. Schief. Menelaus' theorem, Clifford configurations and inversive geometry of the Schwarzian KP hierarchy. J. Phys. A 35:29 (2002) 6125-6144. 20

[Krichever] I.M. Krichever. Elliptic analog of the Toda lattice. Int. Math. Res.

Notices 2000:8 383-412. 18

[Кричевер-Новиков] И.М. Кричевер, С.П. Новиков. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. Успехи Мат. Наук 35:6 (1980) 47-68. 8 [Levi] D. Levi. Nonlinear differential difference equations as Bácklund transformations. J. Phys. A 14:5 (1981) 1083-1098. 3 [Манаков] С.В. Манаков. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. ЖЭТФ 67:2 (1974) 543-555. 19 [Марихин-Шабат] В.Г. Марихин, А.Б. Шабат. Интегрируемые решетки. Теор.

Мат. Физ. 118:2 (1999) 217-228. 18

[Meshkov-Sokolov] A.G. Meshkov, V.V. Sokolov. Integrable evolution equations on the Af-dimensional sphere. Comm. Math. Phys. 232:1 (2002) 1-18. 19

[Mikhailov-Shabat-Sokolov] A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, V.V. Sokolov. The symmetry approach to classification of integrable equations. In What is integrability?, ed. V.E. Zakharov, Berlin: Springer-Verlag, 1991. 3

[Mikhailov-Shabat-Yamilov] A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, R.I. Yamilov. The symmetry approach to classification of nonlinear equations. Complete lists of integrable systems. Russ. Math. Surveys 4%:4 (1987) 1-63. 3

[Miwa] T. Miwa. On Hirota's difference equations. Proc. Japan Acad., Ser. A: Math. Sci. 58:1 (1982) 9-12. 23

[Nijhoff-Walker] F.W. Nijhoff, A.J. Walker. The discrete and continuous Painlevé hierarchy and the Gamier system. Glasgow Math. J. 43A (2001) 109-123. 3 [Склянин] E.K. Склянин. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. Функц. анализ и прилож. 16:4 (1982) 27-34. 18

[Suris] Yu.B. Suris. The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach.

Basel: Birkhauser, 2003. 18, 19

[Шабат-Ямилов] А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов. Симметрии нелинейных цепочек.

Алгебра и анализ 2:2 (1990) 183-208. 3, 18

[Sokolov-Shabat] V.V. Sokolov, A.B. Shabat. Classification of integrable evolution equations. Sov. Sci. Rev. С / Math. Phys. Rev. 4 (1984) 221-280. 3

[Тахтаджян-Фаддеев] Jl.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. 18, 19

[Veselov] А.P. Veselov. Yang-Baxter maps and integrable dynamics. Phys. Lett A 314:3 (2003) 214-221. 5

[Ямилов 1983] Р.И. Ямилов. О классификации дискретных эволюционных уравнений. УМЕ 38:6 (1983) 155-156. 19

[Ямилов 2000] Р.И. Ямилов. Симметрийный подход к классификации с точки зрения интегрируемых дифференциально-разностных уравнений. Теория преобразований. Диссертация д.ф.-м.н., Уфа, 2000. 16, 18

[Yamilov 2006] R.I. Yamilov. Symmetries as integrability criteria for differential-difference equations. J. Phys. A 39 (2006) R541-623. 3, 18, 19

Публикации автора по теме диссертации

[1] В.Э. Адлер. Перекройка многоугольников. Функц. анализ и прилож. 27:2 (1993) 79-82. 4, 7, 8

[2] V.E. Adler. Nonlinear superposition formula for Jordan NLS equations. Phys. Lett A 190 (1994) 53-58.

[3] V.E. Adler. Nonlinear chains and Painlevé equations. Physica D 73Ц (1994) 335-351. 4

[4] V.E. Adler. Integrable deformations of a polygon. Physica D 87:1~4 (1995) 52-57. 4, 8

[5] V.E. Adler. Backlund transformation for the Krichever-Novikov equation. Int. Math. Res. Not. (1998) 1-4. 8

[6] В.Э. Адлер. Преобразования Лежандра на треугольной решетке. Функц. анализ и прилож. 34:1 (2000) 1-11. 14

[7] V.E. Adler. On the structure of the Backlund transformations for the relativistic lattices. J. Nonl. Math. Phys. 7:1 (2000) 34-56. 14

[8] В.Э. Адлер. О дискретизациях уравнения Ландау-Лифшица. Теор. Мат. Физ. 124:1 (2000) 48-61. 18

[9] V.E. Adler. Discrete equations on planar graphs, J. Phys. A 34 (2001) 1045310460. 14

[10] V.E. Adler. Some incidence theorems and integrable discrete equations. Discrete Comput. Geom. 36 (2006) 489 498.

[11] V.E. Adler. Classification of integrable Volterra type lattices on the sphere. Isotropic case. J. Phys. A 41 (2008) 145201. 19

[12] V.E. Adler. The tangential map and associated integrable equations. J. Phys. A 42 (2009) 332004. 20

[13] V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classification of integrable equations on quad-graphs. The consistency approach. Comm. Math. Phys. 233 (2003) 513- 543. 8, 23

[14] V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Geometry of Yang-Baxter maps: pencils of conics and quadrirational mappings. Comm. Anal, and Geom. 12:5 (2004) 967-1007. 12

[15] В.Э. Адлер, А.И. Бобенко, Ю.Б. Сурис. Дискретные нелинейные гиперболические уравнения. Классификация интегрируемых случаев. Func. Anal. Appl. 43:1 (2009) 3-21. 8

[16] V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. The classification of integrable discrete equations of octahedron type. Подано в печать. 22

[17] В.Э. Адлер, В.Г. Марихин, А.Б. Шабат. Лагранжевы цепочки и канонические преобразования Бэклунда. Теор. Мат. Физ. 129:2 (2001) 163-183. 18

[18] В.Э. Адлер, А.Б. Шабат. Об одном классе цепочек Тоды. Теор. Мат. Физ. 111:3 {1997) 323-334. 18

[19] В.Э. Адлер, А.Б. Шабат. Обобщенные преобразования Лежандра. Теор. Мат. Физ. 112:2 (1997) 179-194. 14, 18

[20] В.Э. Адлер, А.Б. Шабат. Первые интегралы обобщенных цепочек Тоды. Theor. Math. Phys. 115:3 (1998) 349-357. 18

[21] V.E. Adler, A.B. Shabat. On the one class of hyperbolic systems. SIGMA 2 (2006) 093. 16

[22] В.Э. Адлер, А.Б. Шабат. Модельное уравнение теории солитонов. Теор. Мат. Физ. 153:1 (2007) 29-45. 23

[23] В.Э. Адлер, А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости. Теор. Мат. Физ. 125:3 (2000) 355-424. 3, 18, 22

[24] В.Э. Адлер, С.Я. Старцев. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля. Теор. Мат. Физ. 121:2 (1999) 271-284. 8, 20

[25] V.E. Adler, Yu.B. Suris. Q4: Integrable master equation related to an elliptic curve. Int. Math. Res. Not. (2004) 2523-2553. 9, 10, 14, 18

[26] V.E. Adler, S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. Multi-component Volterra and Toda type equations. Phys. Lett A 254 (1999) 24-36. 19

[27] V.E. Adler, A.P. Veselov. Cauchy problem for integrable discrete equations on quad-graphs. Acta Appl. Math. 84:2 (2004) 237-262. 11

[28] V.E. Adler, R.I. Yamilov. Auto-transformations of integrable chains. J. Phys. A 21 (1994) 477-492. 4, 7

Адлер Всеволод Эдуардович

Классификация дискретных интегрируемых уравнений

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 15.04.2010. Формат 60 х 84уг. Тираж 100 экз.

Введение

1 Преобразования Дарбу-Бэклунда

1.1 Преобразование Дарбу для уравнения Шрёдингера.

1.2 Группа перестановок, ЗБ-совместность, отображения Янга-Бакстера.

1.3 Представление нулевой кривизны.

1.4 Преобразования Дарбу для уравнения Дирака.

1.5 Преобразование Дарбу для дискретного уравнения Шрёдингера

1.5.1 Цепочка Вольтерра.

1.5.2 Модифицированная цепочка Вольтерра.

1.6 Векторный пример

Комментарии к главе 1.

2 ЗО-совместные квад-уравнения

2.1 Обсуждение постановки и основной результат

2.2 Доказательство классификационной теоремы.

2.2.1 Анализ условий совместности.

2.2.2 Восстановление квад-уравнений.

2.3 Трёхногая форма квад-уравнений.

2.4 Преобразования Бэклунда для уравнений тина КдФ.

2.5 Уравнения с невырожденными биквадратиками

2.5.1 Анализ сингулярных решений.

2.5.2 Инварианты дробно-линейных преобразований.

2.5.3 Классификация невырожденных систем.

2.6 Примеры асимметричных систем.

Комментарии к главе 2.

3 Уравнения на квад-графах

3.1 Основные понятия.

3.2 Задача Коши.

3.3 Квадратная решётка с локальным дефектом.

3.4 Солитоны на квад-графах.

Комментарии к х'лавс 3.

4 Квадрирациональные отображения

4.1 Основные определения.

4.1.1 3D-coBMecTHocrb и отображения Янга-Бакстера.

4.1.2 Квадрирациональные отображения.

4.2 ЗП-совместные отображения на кониках.

4.3 Редукция квад-уравнений

4.4 Структура квадрирациональных отображений.

4.5 Многополевые обобщения

Комментарии к главе 4.

5 Уравнения типа Тоды

5.1 Дискретные уравнения типа Тоды на графе.

5.2 Связь с уравнениями на квад-графах.

5.3 Уравнения типа Тоды на треугольной решётке.

5.4 Преобразования дуальности на треугольной решётке

5.4.1 Преобразования дуальности.

5.4.2 Доказательство классификационной теоремы.

5.4.3 Вложение в кубическую решётку.

5.5 Цепочки Рудженарса-Тоды.

5.5.1 Преобразование дуальности.

5.5.2 Доказательство классификационной теоремы.

5.5.3 Цепочки Тоды.

5.6 Вариационные симметрии.

Комментарии к главе 5.

6 Двухкомпонентные гиперболические системы

6.1 Пары совместных цепочек.

6.2 Классификация.

6.2.1 Анализ условия совместности.

6.2.2 Цепочки с a(u, и) ф ai(u)a,2(v).

6.2.3 Цепочки с a(u,v) — ai(u)a2(v).

6.2.4 Исключительные цепочки.

6.3 Ассоциированные уравнения.

6.3.1 Гиперболические системы.

6.3.2 Цепочки Рудженарса-Тоды.

6.3.3 Дискретные цепочки Тоды.

Комментарии к главе 6.

7 Дискретизация уравнения Ландау-Лифшица

7.1 Цепочка Скляпина

7.2 Уравнения в частных производных.

7.3 Представления нулевой кривизны.

7.4 Стационарная цепочка.

7.5 Дискретное уравнение Ландау-Лпфшица

Комментарии к главе 7.

8 Интегрируемые изотропные цепочки Вольтерра на сфере

8.1 Постановка классификационной задачи.

8.2 Список интегрируемых цепочек.

8.3 Необходимые условия интегрируемости.

8.4 Анализ условий интегрируемости.

8.4.1 Первый шаг.

8.4.2 Случай 1: ^ О.

8.4.3 Случай 2: /„/^ = 0.

8.5 Ассоциированные уравнения в частных производных.

8.6 Прсдсимплектическая структура.

Комментарии к главе 8.

9 Дискретное уравнение Кадомцева-Петвиашвили (АКР)

9.1 Вывод ДКР из линейных задач.

9.2 Уравнения, связанные с ДКР.

9.3 Решётка Менелая.

9.4 Тангенциальное отображение.

9.4.1 Определение и ЗБ-совместность.

9.4.2 Факторизация дифференциальных операторов.

9.4.3 Локсодромическая редукция.

9.4.4 Редукция к преобразованию Дарбу.

9.4.5 Дискретное тангенциальное отображение.

9.4.6 Отображения высших порядков.

Комментарии к главе 9.

10 Классификация интегрируемых уравнений типа ДКР

10.1 4D-coBMecTHocrb.

10.1.1 Классификационный результат.

10.1.2 Предел из ДВКР.

10.1.3 Совместные тройки бсздисперсионных уравнений

10.2 Анализ условий совместности.

10.2.1 Следствия из условий совместности

10.2.2 От троек к пятёркам.

10.2.3 Сведение к функциям от трёх неременных.

10.3 Трехногая форма уравнений.

10.3.1 Определения и обозначения.

10.3.2 Классификация трёхногих уравнений.

10.3.3 Сведение к функциям от двух переменных.

10.3.4 Случай I.

10.3.5 Случай II.

10.3.6 Случай III.

10.4 Классификация совместных пятёрок.

10.4.1 Отделение несовместных уравнений

10.4.2 Завершение классификации.

Комментарии к главе 10.

Уравнения с дискретными независимыми переменными но нраву занимают важное место в современной теории нелинейных интегрируемых систем. Дифференциально-разностные уравнения, или цепочки, возникают во многих задачах математической физики. Ряд моделей, определивших дальнейшее направление исследований, был введён и проинтегрирован, в рамках метода обратной задачи рассеяния, в основополагающих работах Тоды [176], Флашки [68], Манакова [114], Каца, ван Мёрбске [91] и Абловида, Ладика [2]. Следует упомянуть также ещё более ранние работы Шрёдингера [153] и Инфельда, Халла [90], связанные с приложениями в квантовой механике; эта тема получила дальнейшее развитие в работе Шабата, Веселова [183]. Полностью дискретные уравнения изучались в работах Хироты [85, 86, 87, 88], Мивы [128), Матвеева [116], Куиспела, Найхофа, Капела, ван дер Линдена [143], Найхофа [130] и многих других.

Несмотря на разнообразие дискретных уравнений, оправдана общая точка зрения, согласно которой все интегрируемые цепочки интерпретируются как преобразования Дарбу-Бэклунда для непрерывных уравнений (см., в частности, работы Леви [108] и Шабата, Ямилова [156], где этот принцип чётко сформулирован и подкреплен целым рядом типичных примеров). На следующем шаге, коммутативность преобразований Бэклунда приводит к уравнениям с двумя дискретными независимыми переменными. Наоборот, любое дискретное уравнение, обладающее инфинигезимальными высшими симметриями, допускает интерпретацию, как принцип нелинейной суперпозиции для некоторого преобразования Бэклунда.

Таким образом, дискретные и непрерывные уравнения рассматриваются как равноправные части общей иерархии интегрируемых уравнений. Эта картина привлекательна не только с философской точки зрения, но и подсказывает пути решения классификационных задач, которым посвящена данная диссертация.

Напомним, что для уравнений в частных производных имеется уже довольно много классификационных результатов; наиболее важные из них получены в рамках симметрийного подхода, в котором определяющим является свойство совместности, или коммутативности потоков, образующих интегрируемую иерархию. Этот подход, в основном, разработан школой Шабата, см. например обзоры Соколова, Шабата [158], Михайлова, Шабата, Ямилова [126],

Михайлова, Шабата, Соколова [125] и Хабибуллина, Соколова, Ямилова [80]. Для дифференциально-разностных уравнений классификационных результатов существенно меньше (практически все они получены Ямиловым и представлены в обзоре [193]), а для дискретных уравнений их практически нет, поэтому разработка подходящих методов является здесь актуальной задачей.

В целом, содержание диссертации можно охарактеризовать как развитие темы о связи дискретного и непрерывного. Некоторый уклон в дискретную сторону объясняется двумя обстоятельствами. Во-первых, во многих случаях дискретная часть иерархии представляется более фундаментальной и прозрачной. Особенно это проявляется в приложениях к геометрии, которые переживают за последние 10-15 лет настоящий ренессанс, именно благодаря переходу к дискретной части картины, см. напр. книги Роджерса, Шифа [147] и Бобенко, Суриса [45]. Во-вторых, сам выбор задач обусловлен уже отмеченным отставанием в классификации дискретных уравнений. Вообще, если проследить историю открытий в той или иной иерархии интегрируемых уравнений, то можно убедиться, что они, как правило, начинаются с непрерывной части. Например, сначала было открыто уравнение эт-Гордона (Боур, 1862 [50]), затем преобразование Бэклунда для него (Бэклунд, 1883 [36]), затем свойство перестановочности для последнего (Бьянки, 1892 [40]) и, наконец, лишь совсем недавно было осознано, что сами соотношения перестановочности обладают замечательной групповой структурой. Это можно объяснить тем, что хотя условия совместности для дискретных уравнений более элементарны, зато для непрерывных они проще и для понимания, и для вычислений.

Соотношения перестановочности, или принцип нелинейной суперпозиции преобразований Бэклунда, можно рассматривать как самостоятельное дискретное уравнение. Роль групповой структуры заключается в том, что при изучении таких уравнений она позволяет оставаться на чисто дискретном уровне. Переходя ближе к содержанию диссертации, отметим, что в работах Адлера [3, 5, 6] и Адлера, Ямилова [30] эта структура описывается тождествами определяющими нелинейное представление группы перестановок. Преобразования Як имеют вид и действуют на последовательности переменных ип и параметров преобразования Бэклунда ап (рис. 0.1 слева). Тождества (0.1) означают, что преобразования, оставляющие на месте параметры, действуют тривиально и на переменных ип; это доказывается из единственности разложения преобразований Дарбу-Бэклунда на элементарные.

Альтернативно, эта же групповая структура описывается при помощи свойства ЗБ-совместности, или совместности вокруг куба, введённого в работах

-(ад^)3-(вд-)2 = и, зфк± 1,

0.1)

Як: а'^ = ак, а'к = <*к-1, а'п = ап, пфк- 1, к, и'к = Р{ик+ъик,ик-ъак,<Хк-\), «п —"п, пфк

Рис. 0.1. Тождество (RkRk , ,)3 = id. ЗВ-совместность, или совместность вокруг куба.

Найхофа, Уокера [133] и Бобенко, Суриса [43]. Оно относится к квад-уравнениям, то есть уравнениям вида

U12 = f(u,ui,u2), (0.2) где индекс обозначает сдвиг по дискретной переменной на квадратной решётке. Это свойство означает, что имеются ещё два уравнения такого типа, заданные на ортогональных плоскостях кубической решётки,

Urs = g(u, Iii, it3), и2з = h(u, и2, и3), и такие, что значения um, вычисленные отсюда тремя возможными способами, тождественно совпадают. Это равносильно тому, что равенства

U123 = h(u1,f(u,ui,u2),g(u, щ,и3)) 5(u2,/(u,ui,u2),/i(u,tt2,u3)) (0.3) f(u3,g(u,ui,u3),h(u, u2,u3)), должны выполняться тождественно по начальным данным и, щ, и2, щ. Комбинаторная структура этих тождеств поясняется рис. 0.1 справа, где штриховка граней показывает один из трёх возможных способов осуществления отображений. При этом каждая грань куба интерпретируется как диаграмма Бьянки.

Оба определения 3D-совместности работают и в случае, когда поля ассоциированы с рёбрами решётки, что отвечает так называемым отображениям Янга-Бакстера, ещё одному важному классу интегрируемых систем, см. в частности работы Дринфельда [63], Бухштабера [53] и Веселова [183].

Свойство ЗБ-совместности является весьма специальным и можно гарантировать интегрируемость уравнений, для которых оно выполняется. Однако, использовать ех-о для классификации не так-то просто, поскольку условия (0.3) являются функциональными уравнениями относительно /, д, h. Для сравнения, легко видеть, что если бы индекс в (0.2) обозначал частную производную, то вместо (0.3) возникла бы система дифференциальных уравнений, выражающая равенство смешанных производных. Это и имелось в виду, когда говорилось, что условия совместности для непрерывных уравнений проще. Для условий совместности в форме (0.1) ситуация ещё хуже, поскольку здесь приходится рассматривать двукратную композицию функций.

В наиболее общей постановке задача описания ЗО-совместных уравнений до сих пор остаётся открытой. Приведённая в диссертации классификация получена при ряде дополнительных предположений, сводящих (0.3) к алгебраическим уравнениям.

Помимо квад-уравнений и отображений с переменными на рёбрах решётки, в диссертации рассматриваются также дискретные уравнения типа Тоды. Все эти уравнения можно задавать не только на квадратной решётке, но и на достаточно произвольных плоских графах — черта, которой трудно подобрать аналог в непрерывном случае. Такие системы стали изучаться лишь недавно. Обсуждаются некоторые их общие свойства.

Приводятся также результаты, относящиеся к дифференциально-разностным уравнениям типа цепочек Тоды, Руджснарса-Тоды, Абловица-Ладика и Вольтерра.

В двух последних главах свойство совместности на четырёхмерной решётке используется для классификации трёхмерных дискретных уравнений типа АКР.

Методы исследования. В диссертации применяется симметрийный подход к исследованию интегрируемых нелинейных уравнений. Обычно, для эффективной классификации дифференциальных уравнений в частных производных и цепочек, используют, в рамках этого метода, технику основанную на понятиях формальной симметрии и канонических законов сохранения. Глава 8, посвящённая векторным цепочкам Вольтерра, представляет собой довольно типичный пример применения этой техники. В остальных классификационных задачах оказывается достаточным ограничиться вульгарной версией симметрийного подхода, приняв в качестве определяющего свойства наличие всего одной симметрии специального вида. Такое концептуальное упрощение объясняется тем, что наличие у уравнения нетривиальной дискретной симметрии (преобразования Бэклунда) является очень сильным свойством, обеспечивающим интегрируемость. Фактически, преобразование Бэклунда можно интерпретировать, как нелинейную версию представления нулевой кривизны. В результате, оказывается возможным получать всю информацию, нужную для решения классификационной задачи, непосредственно из условий совместности (например, в случае квад-уравнений, из условий (0.3)).

Научная новизна. В работе представлены следующие результаты.

1) Получена классификация ЗБ-совместных квад-уравнений. Основным примером является уравнение (<54), определяющее принцип нелинейной суперпозиции для уравнения Кричевера-Новикова.

2) Исследован вопрос о постановке корректной задачи Коши для уравнений на квад-графе.

3) Дана геометрическая конструкция скалярных квадрирациональных отображений с полями на рёбрах, удовлетворяющих свойству ЗО-совместности.

4) Построены примеры интегрируемых дискретных уравнений типа Тоды на плоских графах. Они связаны с квад-уравнениями на двудольном квад-графе посредством ограничения на вершины одного типа. В случае треугольной решетки и в полунепрерывном случае (отвечающем цепочкам типа Руджс-нарса-Тоды) получена классификация уравнений инвариантных относительно сдвига.

5) Получена классификация одного класса совместных цепочек, связанных с цепочками типа Тоды, Рудженарса-Тоды и Абловица-Ладика. Эти цепочки определяют авто-преобразования Бэклунда для систем типа Полмайера-Лунда-Редже и типа НУШ (нелинейного Шрёдингера).

6) Изучены дискретные аналоги уравнения Ландау-Лифшица: установлена связь между цепочками Склянина и Шабата-Ямилова, исследованы дискретные уравнения типа Тоды, связанные с уравнением ((З4).

7) Получена классификация интегрируемых изотропных уравнений типа цепочки Вольтерра на сфере.

8) Предложено обобщение понятия .'Ш-совмсстности для некоторых трёхмерных уравнений и его геометрическая иллюстрация при помощи тангенциального отображения, заданного на плоских кривых. На основе этого понятия получена классификация трёхмерных дискретных уравнений типа АКР (Кадомцева-Петвиашвили).

Диссертация состоит из десяти глав. Опишем кратко их содержание.

1. V.E. Adler. The tangential map and associated integrable equations. J. Phys. A 42 (2009) 332004. 17, 229

2. V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classification of integrable equations on quad-graphs. The consistency approach. Comm. Math. Phys. 233 (2003) 513-543. 12, 17, 83, 84, 85, 270

3. V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Geometry of Yang-Baxter maps: pencils of conics and quadrirational mappings. Comm. Anal, and Geom. 12:5 (2004) 967-1007. 14, 128, 129

4. В.Э. Адлер, А.И. Бобенко, Ю.Б. Сурис. Дискретные нелинейные гиперболические уравнения. Классификация интегрируемых случаев. Фупкц. анализ 43:1 (2009) 3-21. 12, 83

5. V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. The classification of integrable discrete equations of octahedron type. Подаио в печать. 17, 270

6. В.Э. Адлер, А.Б. Шабат. Обобщенные преобразования Лежандра. Теор. Мат. Физ. 112:2 (1997) 179-194. 14, 156, 157, 177

7. В.Э. Адлер, А.Б. Шабат. Первые интегралы обобщенных цепочек Тоды. Теор. Мат. Физ. 115:3 (1998) 349-357. 177, 178

8. V.E. Adler, А.В. Shabat. On the one class of hyperbolic systems. SIGMA 2 (2006) 093. 15, 177

9. В.Э. Адлер, А.Б. Шабат. Модельное уравнение теории солитонов. Теор. Мат. Физ. 153:1 (2007) 29-45. 18, 270, 271

10. В.Э. Адлер, А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости. Теор. Мат. Физ. 125:3 (2000) 355-424. 17, 177, 178, 206, 271

11. В.Э. Адлер, С.Я. Старцев. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля. Теор. Мат. Физ. 121:2 (1999) 271-284. 17, 230

12. V.E. Adler, Yu.B. Suris. Q4: Integrable master equation related to an elliptic curve. Int. Math. Res. Notices (2004) 2523-2553. 12, 13, 156

13. A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Discrete differential geometry: integrable structure. AMS, Providence, 2009. 8, 47, 230

14. L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko. Lattice and ^-difference Darboux-Zakharov-Manakov systems via 3-dressing method. J. Phys. A 28:5 (1995) L173-178. 17, 229

15. L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko. Analytic-bilinear approach to integrable hierarchies. I. Generalized KP hierarchy; II. Multicomponent KP and 2D Toda lattice equations. J. Math. Phys. 39:9 (1998) 4683-4700; 47014728. 17, 229

16. L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko. Mobius invariant integrable lattice equations associated with KP and 2DTL hierarchies. Phys. Lett. A 256:1 (1999) 39-46. 17, 229

17. R. Boll, Yu.B. Suris. Non-symmetric discrete Toda systems from quad-graphs. arXiv:0908.2822vl. 14, 157

18. E. Bour. Theorie de la deformation des surfaces. J. I'Ecole Imp. Poly tech. 19:39 (1862) 1-48 . 8

19. M. Bruschi, O. Ragnisco. On a new integrable Hamiltonian system with nearest-neighbour interaction. Inverse Problems 5:6 (1989) 983-998. 177

20. M. Bruschi, O. Ragnisco, P.M. Santini, T.G. Zhang. Integrable symplectic maps. Physica D 49:3 (1991) 273-294. 189

21. B.M. Бухштабер. Отображения Янга-Бакстера. Успехи Mam. Наук 53:6 (1998) 241-242. 9

22. H.W. Capel, F.W. Nijhoff, V.G. Papageorgiou. Complete integrability of Lagrangian mappings and lattices of KdV type. Phys. Lett. A 155:6-7 (1991) 377-387. 108

23. A. Doliwa. Geometric discretization of the Toda system. Phys. Lett. A 234 (1997) 187-192. 230

24. A. Doliwa, P. Grinevich, M. Nieszporski, P.M. Santini. Integrable lattices and their sublattices: Prom the discrete Moutard (discrete Cauchy-Riemann) 4-point equation to the self-adjoint 5-point scheme. J. Math. Phys. 48 (2007) 013513. 157

25. A. Doliwa, М. Nicszporski, P.M. Santini. Integrable lattices and their sublattices. II. From the B-quadrilateral lattice to the self-adjoint schemes on the triangular and the honeycomb lattices. J. Math. Phys. 4& (2007) 113506. 157

26. A. Doliwa, P.M. Santini. An elementary geometric characterization of the integrable motions of a curve. Phys. Lett. A 185:4 (1994) 373-384. 48, 188

27. A. Doliwa, P.M. Santini. Multidimensional quadrilateral lattices are integrable. Phys. Lett. A 233:4~6 (1997) 365-372. 17, 230

28. V.G. Drinfeld. On some unsolved problems in quantum group theory. In "Quantum groups" (Leningrad, 1990), Lecture Notes in Math., 1510, Springer, 1992, p. 1-8. 9, 128

29. B.C. Дрюма. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега-де Вриза (КДВ). Письма в ЖЭТФ 19:12 (1973) 753-755. 229

30. И.А. Дышгаков, С.П. Новиков. Преобразования Лапласа и симплициаль-ные связности. Успехи Мат. Наук 52:6 (1997) 157-158. 108

31. P. Etingof. Geometric crystals and set-theoretical solutions to the quantum Yang-Baxter equation. Comm. in Algebra 31:4 (2003) 1961-1973. 128, 129

32. P. Etingof, T. Schedler, A. Soloviev. Set-theoretical solutions to the quantum Yang-Baxter equation. Duke Math. J. 100:2 (1999) 169-209. 128

33. H. Flaschka. On the Toda lattice. I. Existence of integrals. II. Inverse scattering solution. Phys. Rev. В 9:4 (1974) 1924-1925; Progr. Theor. Phys. 51:3 (1974) 703-716 . 7

34. E.V. Ferapontov, K.R. Khusnutdinova, S.P. Tsarev. On a class of three-dimensional integrable Lagrangians. Comm. Math. Phys. 261:1 (2006) 225243. 18, 271

35. A.S. Fokas. A symmetry approach to exactly solvable evolution equations. J. Math. Phys. 21:6 (1980) 1318-1325. 206

36. A.S. Fokas, B. Fuchssteiner. Symplectic structures, their Backhand transformations, and hereditary symmetries. Physica D 4-'l (1981) 47-66. 207

37. A.P. Fordy. Derivative nonlinear Schrodinger equations and Hermitian symmetric spaces. J. Phys. A 17:6 (1984) 1235-1245. 207

38. А.P. Fordy, P.P. Kulish. Nonlinear Schrodinger equations and simple Lie algebras. Comm. Math. Phys. 89:3 (1983) 427-443. 207

39. B. Fuchssteiner. Master symmetries, higher order time-dependent symmetries and conserved densities of nonlinear evolution equations. Progr. Theor. Phys. 70:6 (1983) 1508-1522. 178

40. Е.И. Ганжа, С.П. Царёв. Алгебраическая формула суперпозиции и полнота преобразований Бэклунда (2 + 1)-мерных интегрируемых систем. Успехи Mam. Наук 51:6 (1996) 197-198. 17, 270

41. R.E. Goldstein, D.M. Petrich. The Kortewcg-de Vries hierarchy as dynamics of closed curves in the plane. Phys. Rev. Lett. 67:23 (1991) 3203-3206. 48

42. И.З. Голубчик, В.В. Соколов. Многокомпонентное обобщение иерархии уравнения Ландау-Лифшица. Теор. Мат. Физ. 124:1 (2000) 62-71. 189

43. V.M. Goncharenko, А.P. Veselov. Yang-Baxter maps and matrix solitons. In: New trends in integrability and partial solvability. NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. 132, pp. 191-197. Kluwer, Bordrecht, 2004. arXiv:math-ph/0303032vl. 129

44. Я.И. Грановский, A.C. Жеданов. Решения доменного типа в анизотропных доменных цепочках. Теор. Мат. Физ. 71:1 (1987) 143-153. 189

45. J. Hietarinta. Permutation-type solutions to the Yang-Baxter and other n-simplcx equations. J. Phys. A 30:13 (1997) 4757-4771. 128

46. J. Hietarinta. A new two-dimensional lattice model that is "consistent around a cube". J. Phys. A 37:6 (2004) L67-73. 83

47. J. Hietarinta. Searching for СAC-maps. J. Nonl. Math. Phys. 12:2 suppl. (2005) 223-230. 84

48. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. ОНТИ 1936. 230

49. R. Hirota. Nonlinear partial difference equations. I. A difference analog of the Korteweg-de Vries equation. J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 1424-1433. 7, 84

50. R. Hirota. Nonlinear partial difference equations. II. Discrete-time Toda equation. J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2074-2078. 7, 156

51. R. Hirota. Nonlinear partial difference equations. III. Discrete sine-Gordon equation. J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2079-2086. 7, 84

52. R. Hirota. Discrete analog of a generalized Toda equation. J. Phys. Soc. Japan 50:11 (1981) 3785-3791. 7, 17, 22989| А. Гурвиц, P. Курант. Теория функций. M.: Наука, 1968. 84

53. L. Infeld, Т.Е. Hull. The factorization method. Rev. Mod. Phys. 23:1 (1951) 21-68. 7, 47

54. M. Kac, P. van Moerbeke. On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices. Adv. in Math. 16:2 (1975) 160-169. '7, 16, 47

55. B.B. Kadomtsev, V.I. Petviashvili. On the stability of the solitary waves in the weak-dispersive media. Dokl. Akad. Nauk SSSR 192 (1970) 753-756.229

56. R.M. Kashaev. On discrete three-dimensional equation associated with the local Yang-Baxter relation. Lett. Math. Phys. 38 (1996) 389-397. 270

57. P.M. Катаев, И.Г. Корепанов, C.M. Сергеев. Функциональное уравнение тетраэдров. Теор. Mam. Физ. 117:3 (1998) 370-384. 270

58. A. King, W. Schief. Tetrahedra, octahedra and cubo-octahedra: integrable geometry of multi-ratios. J. Phys. A 36:3 (2003) 785-802. 230

59. I.G. Korepanov. Algebraic integrable dynamical systems, 2 + 1-dimensional models in wholly discrete space-time, and inhomogeneous models in 2-dimensional statistical physics. arXiv:solv-int/9506003vl. 271

60. I.M. Krichevcr. Elliptic analog of the Toda lattice. Int. Math. Res. Notices 20 00:8 383-412. 16, 190

61. I. Krichever, O. Lipan, P. Wiegmann, A. Zabrodin. Quantum integrable models and discrete classical Hirota equations. Comm. Math. Phys. 188:2 (1997) 267-304. 230

62. И.М. Кричевер, С.П. Новиков. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. Успехи Mam. Наук 35:6 (1980) 47-68. 12, 84

63. В.A. Kupershmidt. Discrete Lax equations and differential-difference calculus. Paris: Asterisque, 1985. 47

64. G.L. Lamb, jr. Analytical descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium. Rev. Mod. Phys. 43:2 (1971) 99-124. 47

65. G.L. Lamb, jr. Backlund transformations for certain nonlinear evolution equations. J. Math. Phys. 15:12 (1974) 2157-2165. 47

66. G.L. Lamb, jr. Backlund transformations at the turn of the century. In: Backlund transformations, the Inverse Scattering Method, solitons, and their applications. Lect. Notes in Math. 515, pp. 69-79. Springer-Verlag, 1976.47

67. G.L. Lamb, jr. Elements of soliton theory. New York: J. Wiley, 1980. 47

68. P.D. Lax. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968) 467-490. 47

69. D. Levi. Nonlinear differential difference equations as Backlund transformations. J. Phys. A 14:5 (1981) 1083-1098. 7, 177

70. D. Levi, L. Pilloni, P.M. Santini. Integrable three-dimensional lattices. J. Phys. A 14:7(1981) 1567 1575. 230

71. D. Levi, R.I. Yamilov. Conditions for the existence of higher symmetries of evolutionary equations on the lattice. J. Math. Phys. 38:12 (1997) 66486674. 206

72. J.-H. Lu, M. Yan, Y.-Ch. Zhu. On the set-theoretical Yang-Baxter equation. Duke Math. J. 104:1 (2000) 1-18. 128

73. J.M. Maillet, F.W. Nijhoff. Integrability for multidimensional lattice models. Phys. Lett. В 224:4 (1989) 389-396. 270

74. S.V. Manakov. On the theory of two-dimensional stationary self-focusing of electromagnetic waves. Sov. Phys. JETP 38:2 (1974) 248-253. 207

75. C.B. Манаков. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. ЖЭТФ 67:2 (1974) 543-555. 7, 16, 47

76. В.Г. Марихин, А.Б. Шабат. Интегрируемые решетки. Теор. Mam. Физ. 118:2 (1999) 217-228. 177

77. V.B. Matveev. БагЬоих transformation and the explicit solutions of differential-difference and difference-difference evolution equations. I. Lett. Math. Phys. 3:3 (1979) 217-222. 7

78. V. Matveev, M. Salle. Barboux transformations and solitons. Springer, 1991. 47, 229

79. I. Merola, 0. Ragnisco, Т. Gui-Zhang. A novel hierarchy of integrable lattices. Inverse Problems 10:6 (1994) 1315-1334. 178

80. A.G. Meshkov, M.Ju. Balakhnev. Integrable anisotropic evolution equations on a sphere. SIGMA 1 (2005) 027. 48, 207

81. A.G. Meshkov, V.V. Sokolov. Integrable evolution equations on the N-dimensional sphere. Comm. Math. Phys. 232:1 (2002) 1-18. 16, 207

82. А.Г. Мешков, В.В. Соколов. Классификация интегрируемых дивергентных ÍV-компонентных эволюционных систем. Теор. Mam. Физ. 139:2 (2004) 192 208. 207

83. А.В. Михайлов. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки То-да. Письма в ЖЭТФ 30:7 (1979) 443-448. 229

84. A.V. Mikhailov, V.S. Novikov. Perturbative symmetry approach. J. Phys. A 35:22 (2002) 4775-4790. 271

85. A.V. Mikhailov, A.B. Shabat. Integrable deformations of the Heisenberg model. Phys. Lett. A 116:4 (1986) 191-194. 189

86. A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, V.V. Sokolov. The symmetry approach to classification of integrable equations. In What is integrability?, ed. V.E. Zakharov, Berlin: Springer-Verlag, 1991. 8

87. A.B. Михайлов, A.B. Шабат, Р.И. Ямилов. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем. Успехи Мат. Наук 42:4 (1987) 3-53. 7, 206

88. A.V. Mikhailov, R.I. Yamilov. Towards classification of (2+l)-dimensional integrable equations. Integrability conditions I. J. Phys. A 31:31 (1998) 6707-6715. 271

89. T. Miwa. On Hirota's difference equations. Proc. Japan Acad., Ser. A: Math. Sci. 58:1 (1982) 9-12. 7, 17, 270

90. J. Moscr, A.P. Veselov. Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials. Comm. Math. Phys. 139 (1991) 217-243. 189

91. F.W. Nijhoff. Theory of integrable three-dimensional nonlinear lattice equations. Lett. Math. Phys. 9:3 (1985) 235-241. 7

92. F.W. Nijhoff. Lax pair for the Adler (lattice Krichever-Novikov) system. Phys. Lett. A 297:1-2 (2002) 49-58. 47, 84

93. F.W. Nijhoff, H.W. Capel. The discrete Korteweg-de Vries equation. Acta Appl. Math. 39:1-3 (1995) 133-158. 84

94. F.W. Nijhoff, А.Л. Walker. The discrete and continuous Painleve hierarchy and the Garnier system. Glasgow Math. J. 43A (2001) 109-123. 9, 47

95. J.J.C. Niramo. Darboux transformations and the discrete KP equation. J. Phys. A 30 (1997) 8693-8704. 229

96. J.J.C. Nimmo, W.K. Schief. Superposition principles associated with the Moutard transformation: an integrable discretization of a (2+l)-dimensional sine-Gordon system, Proc. Roy. Soc. London A 453 (1997) 255-279. 270

97. J.J.C. Nimmo, W.K. Schief. An integrable discretization of a 2 -I- 1-dimen-sional sine-Gordon equation. Stud. Appl. Math. 100:3 (1998) 295-309. 270

98. С.П. Новиков, И.А. Дынников. Дискретные спектральные симметрии маломерных дифференциальных операторов и разностных операторов на правильных решетках и двумерных многообразиях. Успехи Mam. Наук 52:5 (1997) 175-234. 108, 230

99. С.П. Новиков. Оператор Шрёдингсра на графах и топология. Успехи Мат. Наук 52:6 (1997) 177-178. 108

100. W. Oevel, В. Fuchssteiner, Н. Zhang, О. Ragnisco. Mastersymmetries, angle variables and recursion operator of the relativistic Toda lattice. J. Math. Phys. 30:11 (1989) 2664-2670. 157, 178

101. V.G. Papageorgiou, F.W. Nijhoff, H.W. Capel. Integrable mappings and nonlinear integrable lattice equations. Phys. Lett. A 147:2-3 (1990) 106114. 108

102. V. Papageorgiou, A. Tongas, A. Veselov. Yang-Baxter maps and symmetries of integrable equations on quad-graphs. J. Math. Phys. 47:8 (2006) 083502. 128, 129

103. V.G. Papageorgiou, A.G. Tongas. Yang-Baxter maps and multi-field integrable lattice equations. J. Phys. A 40 (2007) 12677-12690. 48, 129

104. G.R.W. Quispel, F.W. Nijhoff, H.W. Capel, J. van der Linden. Linear integral equations and nonlinear difference-difference equations. Physica A 125:2-3 (1984) 344-380. 7, 84

105. O. Ragnisco. A discrete Neumann system. Phys. Lett. A 167:2 (1992) 165171. 189145. 0. Ragnisco, P.M. Santini. A unified algebraic approach to integral and discrete evolution equations. Inverse Problems 6:3 (1990) 441-452. 177, 188, 207

106. A. Ramani, N. Joshi, B. Grammaticos, T. Tamizhmani. Deconstructing an integrable lattice equation. J. Phys. A 39:8 (2006) L145-L149. 83

107. S.N.M. Ruijsenaars. Relativistic Toda system. Preprint Stichting Centre for Math, and Сотр. Sciences, Amsterdam, 1986. 156, 177

108. S.N.M. Ruijsenaars. Rclativistic Toda systems. Comm. Math. Phys. 133:2 (1990) 217-247. 156, 177

109. W.K. Schief. Isothermic surfaces in spaccs of arbitrary dimension: integrability, discretization and Backlund transformations. A discrete Calapso equation. Stud. Appl. Math. 106:1 (2001) 85-137. 48

110. W.K. Schief. Lattice geometry of the discrete Darboux, KP, BKP and CKP equations. Menelaus' and Carnot's theorems. J. Nonl. Math. Phys. 10:2 suppl. (2003) 194 208. 230, 270

111. E. Schrodinger. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proc. Roy. Irish Acad. A Jt6 (1940/1941) 9-16. 7

112. M. Senechal. Quasicrystals and geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. 107

113. A.B. Shabat, R.I. Yamilov. Lattice representations of integrable systems. Phys. Lett. A 130:4,5 (1988) 271-275. 177

114. A.B. Шабат, Р.И. Ямилов. Симметрии нелинейных цепочек. Алгебра и анализ 2:2 (1990) 183-208. 7, 16, 177, 188

115. С.И. Свинолупов, В.В. Соколов. Векторно-матричные обобщения классических интегрируемых уравнений. Теор. Мат. Физ. 100:2 (1994) 214218. 48, 207

116. V.V. Sokolov, Т. Wolf. Classification of integrable polynomial vector evolution equations. J. Phys. А 34Ц9 (2001) 11139-11148. 207

117. V.V. Sokolov, A.V. Zhiber. On the Darboux integrable hyperbolic equations. Phys. Lett. A 208:4-6 (1995) 303- 308. 177

118. Ю.В. Сурис. Обобщенные цепочки Тоды в дискретном времени. Алгебра и анализ 2:2 (1990) 141-157. 156

119. Yu.B. Suris. Discrete time generalized Toda lattices: complete integrability and relation with relativistic Toda lattices. Phys. Lett. A 145:2-3 (1990) 113-119. 156, 177

120. Yu.B. Suris. Bi-IIamiltonian structure of the qd algorithm and new discretizations of the Toda lattice. Phys. Lett. A 206:3-4 (1995) 153-161. 156

121. Yu.B. Suris. A discrete-time relativistic Toda lattice. J. Phys. A 29:2 (1996) 451-465. 156

122. Yu.B. Suris. On some integrable systems related to the Toda lattice. J. Phys. A 30:6 (1997) 2235-2249. 156

123. Yu.B. Suris. Integrability of V. Adler's discretization of the Neumann system. Phys. Lett. A 279:5-6 (2001) 327 332. 190

124. Yu.B. Suris. The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach. Basel: Birkhauser, 2003. 16, 177, 188, 189, 207

125. Yu.B. Suris, A.P. Vcselov. Lax matrices for Yang-Baxter maps. J. Nonl. Math. Phys. 10:2 suppl. (2003) 223-230. 128

126. S.I. Svinolupov. Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs. Comm. Math. Phys. 143:3 (1992) 559-575. 189, 207

127. S.I. Svinolupov, V.V. Sokolov, R.I. Yamilov. Backlund transformations for integrable evolution equations. Sov. Math. Dokl. 28 (1983) 165-168. 84

128. S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. The multi-field Schrodinger lattices. Phys. Lett. A 160:6 (1991) 548-552. 178

129. С.И. Свинолупов, Р.И. Ямилов. Явные автопреобразования для многополевых уравнений Шредингера и йордановы обобщения цепочки Тоды. Теор. Мат. Физ. 98:2 (1994) 207-219. 207

130. JI. А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. 15, 47, 188, 189, 207

131. М. Toda. One dimensional dual transformation. J. Phys. Soc. Japan 20 (1965) 2095A. 157

132. M. Toda. Vibration of a chain with nonlinear interaction. J. Phys. Soc. Japan 22 (1967) 431-436. 7, 156

133. M. Toda. Theory of nonlinear lattices. Springer-Verlag, 1981. 48, 157

134. Т. Tsuchida, Т. Wolf. Classification of polynomial integrable systems of mixed scalar and vector evolution equations. I. J. Phys. A 38:35 (2005) 7691-7733. 207

135. А.П. Веселов. Уравнение Ландау-Лифшица и интегрируемые системы классической механики. Докл. Акад. Наук СССР 270:5 (1983) 1094-1096. 189

136. А.П. Веселов. Интегрирование стационарной задачи для классической спиновой цепочки. Теор. Мат. Физ. 71:1 (1987) 154-159. 189

137. А.П. Веселов. Интегрируемые системы с дискретным временем и разностные операторы. Функц. анализ 22:2 (1988) 1-13. 189

138. А.П. Веселов. Интегрируемые отображения. Успехи Мат. Наук 46:5 (1991) 3-45. 189

139. А.P. Veselov. Yang-Baxter maps and integrable dynamics. Phys. Lett. A 314:3 (2003) 214-221. 9, 128, 129

140. A.P. Veselov. Yang-Baxter maps: dynamical point of view. arXiv:math/0612814vl. 128

141. А.П. Веселов, А.Б. Шабат. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шрёдингера. Функц. анализ 27:2 (1993) 1-21. 7, 47

142. С.М. Viallet. Integrable lattice maps: Qs, a rational version of Q\. arXiv:0802.0294vl. 83

143. H.D. Wahlquist, F.B. Estabrook. Backlund transformations for solutions of the Korteweg-de Vries equation. Phys. Rev. Let. 31:23 (1973) 1386-1390. 47

144. J.P. Wang. On the structure of (2 + l)-dimensional commutative and noncommutative integrable equations. J. Math. Phys. 47:11 (2006) 113508. 271

145. Р.И. Ямилов. О классификации дискретных эволюционных уравнений. Успехи Мат. Паук 38:6 (1983) 155-156. 16, 206

146. R.I. Yamilov. Classification of Toda type scalar lattices. Proc. NEEDS'93, World Scientific Publ., Singapore, 1993, 423-431. 157, 190

147. R.I. Yamilov. On the construction of Miura type transformations by others of this kind. Phys. Lett. A 173:1 (1993) 53-57. 129

148. Р.И. Ямилов. Симметрийный подход к классификации с точки зрения интегрируемых дифференциально-разностных уравнений. Теория преобразований. Диссертация д.ф.-м.н. Уфа, 2000. 15, 172, 177

149. R.I. Yamilov. Symmetries as integrability criteria for differential-difference equations. J. Phys. A 39 (2006) R541-623. 8, 16, 206, 207

150. B.E. Захаров, А.Б. Шабат. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ 61:1 (1971) 118-134. 47

151. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассения. I. Фупкц. анализ 8:3 (1974) 43-53. 47, 229