Классификация замкнутых односвязных шестимерных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Редукция классификационных задач

§1.1. Спинорные структуры на неспинорных многообразиях.

Группы /) и /).

§1.2. Предварительные классификационные теоремы (классификация в терминах бордизмов). Инварианты О и 0.

Глава 2. Вычисления

§2.1. Необходимые сведения о гомологиях пространств А"^, 2)

§2.2. Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха для функторов 0^Л'Л(Х; /) и ШЛЛЛ"(Х; /): вычисление члена

А и дифференциала.

§2.3. Группы 0*РЛ'л^,2; ад) и тУ""'^,2^): вычисление члена £Л спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха в размерностях до 6 и некоторые следствия.

§2.4. Спектры и главные расслоения спектров — несколько технических утверждений.

§2.5. Спектры и их когомологии.

§2.6. Вычисление групп ПбРЛ"(22п, 2).

§2.7. Вычисление групп ^лрлм^2-,2; р2) :.

§2.8. Вычисление групп 0лрл'л(г2п|г2т,2; р2).

§2.9. Вычисление групп QIЛ"4G,2; ад) и ШЛ''Щ2; ад).

Глава 3. Классификационные теоремы и применения

§3.1. Топологическая классификация.

§3.2. Гомотопическая классификация.

§3.3. Некоторые примеры.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ СОДЕРЖАНИЯ)

Мощные средства топологии многообразий, появившиеся в конце 50-х — начале 60-х годов, такие как теоремы об /г-кобордизме и «-кобордизме, методы вычисления групп бордизмов и хирургия, сделали возможным решение многих классификационных задач для многообразий тех или других типов. Среди этих последних можно выделить как принципиальные, сыгравшие большую роль в дальнейшем развитии теории как, например, классификация гомотопических сфер (Кервер-Милнор) или гомотопических торов (Кассон-Сян-Шейнсон-Уолл), так и более частные, однако тем не менее представляющие интерес как примеры применения общих методов и как "экспериментальный материал". К этому разряду можно отнести и задачу классификации всех односвязных замкнутых многообразий в "стабильных" (т. е. начиная с 5) размерностях. С ростом размерности эта задача очень быстро усложняется, так что рассчитывать на сколько-нибудь окончательные результаты можно, видимо, лишь в размерностях 5 и 6. Следует заметить, что попытки применения подхода, основанного на классификации "гладких структур на заданном гомотопическом типе" (теория Браудера-Новикова), для получения такого рода результатов вызывают весьма труднопреодолимые проблемы (см. по этому поводу ниже, в частности §3.3).

Первый результат, относящийся к указанной задаче и дающий частичное решение для размерности 5, был получен Смейлом в статье [47], появившейся сразу вслед за его работами [48, 49] о разложениях на ручки и об /г-кобордизме и представляющей собой приложение результатов этих работ. В [47] приводится классификация замкнутых односвязных 5-мерных гладких многообразий М, удовлетворяющих дополнительному условию Ш2{М) = О (иначе говоря, спинорных). Инвариантом, определяющим дифференциально-топологический тип многообразия, оказывается его двумерная группа гомологии, рассматриваемая с точностью до изоморфизма. Для каждого к 2 в работе Смейла явно указывается некоторое многообразие Мк с Н2{Мк) 5А 2А © Ък] основная теорема (теорема А) утверждает, что произвольное многообразие рассматриваемого типа диффеоморфно связной сумме вида

3'фм,,ф.#м,лф3-'х3'#.#3лх3л , (1) где каждое к{ делит УГ+х (и где слагаемые каждого из видов могут отсутствовать). Из существования разложения (1) очевидным образом следует не только единственность многообразия М с заданной группой (М), но и описание "множества значений" инварианта Н2{М) (а именно, это может быть любая конечно порожденная абелева группа с периодической частью вида Т © Т). Доказательство теоремы основано на представлении многообразия М как края "тела с ручками" — многообразия ИА, получаемого приклеиванием к шару набора ручек индекса 3 вдоль некоторого 2-мерного зацепления в сфере 5А (здесь Смейл ссылается на результаты своей работы [48]). Дальнейшие рассуждения опираются на работу Хе-флигера [21], из результатов которой следует, что изотопический класс 2-мерного зацепления в 5А (и, тем самым, дифференциально-топологический тип многообразий W и М) определяется коэффициентами зацеплений его компонент, совпадающими с индексами пересечений соответствующих образующих группы Нз(1¥). Дело завершает ссылка на известную теорему о каноническом виде кососимметрической формы над 2 и еще одна ссылка на 48' относительно перегруппировки ручек одного индекса. Заметим, что, вследствие этих результатов, хорошо известный мультипликативный инвариант многообразия М — форма зацеплений

1м : Тог8Я2(М) О Тог8Я2(М) а (а/2 (2) приводится к стандартному виду и, следовательно, не несет дополнительной информацр1Р1. Конечно, наличие формы (2) налагает очевидное условие на изоморфизмы Я2(М) Я2(М'), которые индуцируются диффеоморфизмами М М'; этот вопрос, однако, в работе [47] не рассматривается (см. по этому поводу ниже).

Классификация Смейла была завершена Барденом [13], снявшим условие спинорности ги2{М) = 0. В работе [13] строится серия "простейших" многообразий Xj с ненулевым классом гУ2, где индекс ] пробегает все натуральные значения 1, 2, ., а также —1 и оо. Многообразие Х-х имеет двумерную группу гомологии 22 и совпадает с известным "многообразием Ву"; многообразие Хоо имеет двумерную группу гомологии 2 и представляет собой "косое произведение" сферы 5А на сферу 5А. Остальные Xj имеют двумерную группу гомологии 22л © 22А и строятся с использованием результатов Уолла [56] о диффеоморфизмах 4-мерных многообразий. Барден доказывает [13, теорема 2.3], что односвязное замкнутое 5-мерное гладкое многообразие М диффеоморфно связной сумме вида где, как и в разложении (1), каждое /ТЛ делит ^+1 и слагаемые каждого из видов могут отсутствовать); это, очевидно, является прямым обобщением теоремы А работы [47], о которой шла речь выше. Из существования разложения (3) непосредственным образом следует, что дифференциально-гомотопический тип многообразия М определяется двумя инвариантами — группой С = Н2{М) и элементом г = г(М) множества {О, 1, сю}, характеризующим класс Ш2{М) "с точностью до изоморфизма" и задаваемым правилом: если Ш2{М) = О, то и г = 0; если же гю2{М) ф О, то г — наибольший элемент множества {1, 2, ., оо}, для которого найдется класс когомологий и Е Н'Л(М] Ъ2з) с /)2(Л) = W2{M\ где р2 обозначает приведение по модулю 2 (таким образом, инвариант г — это "степень целочисленности" класса УС12{МУ). Отсюда же получается и описание "множества значений" пары (С, г), а именно: группа TorsG должна иметь вид Т © Т, или же Т ф Т © Z2, причем в последнем случае обязательно г =1. Эти результаты являются непосредственным обобщением результатов работы [47]. В то же время следует заметить, что метод Бар-дена существенно отличается от метода Смейла. Если представление (1) получается в результате более или менее прямого "хирургического" рассуждения, то его обобщение (3) оказывается следствием некоторой "промежуточной" классификационной теоремы [13, теорема 2.2], представляющей не меньший интерес, чем "окончательная" теорема 2.3. Эта теорема 2.2 утверждает, что изоморфизм Н2(М) -> Н2{М') тогда и только тогда индуцируется некоторым диффеоморфизмом М —)• М' степени +1, когда он сохраняет форму (2) и класс . Тем самым доказательство существования представления (3) сводится к построению требуемого изоморфизма, т. е. в конечном счете к некоторой довольно элементарной алгебре. Доказательство самой теоремы 2.2 также заслуживает внимания. Ключевой момент этого доказательства (лемма 4.4) — перестройка некоторого ко-бордизма в /г-кобордизм. При этом, в отличие от [27^ [37 и 58 не предполагается существования отображения, индуцирующего гомотопическую эквивалентность на каждой из компонент края — вместо этого делается гораздо более слабое предположение. Это рассуждение Бардена может расматриваться как первый пример некоторого варианта (не сформулированного явно) стандартной хирургии, который был затем (уже в более или менее явном виде) успешно применен к размерности шесть в работах [1]-[5] и к другим размерностям [19, 31] (см. ниже).

Результаты Смейла и Бардена решают, таким образом, задачу классификации 5-мерных многообразий максимально удовлетворительным образом: имеется не только явное и вполне конструктивное описание всех возможных дифференциально-топологических типов, но и для каждого типа (или, иначе, для каждого допустимого набора инвариантов) предъявлено конкретное "модельное" многообразие. Заметим также, что, ввиду гомотопической природы инвариантов Н2{М) и г(М), классификация Смей-ла-Бардена совпадает со всеми другими возможными классификациями — комбинаторной, топологической и гомотопической. В связи с этим уместно добавить, что вследствие 7-связности канонического отображения БО —) BPL (и в силу теории сглаживания PL-многообразий [25]) всякое PL-многообразие размерности А б обладает единственной (с точностью до изотопии) гладкой структурой, так что задачи классификации многообразий в категориях DIFF и PL в этих размерностях заведомо совпадают. В частности, классификация Смейла-Бардена является одновременно и классификацией PL-многообразий, что и отмечено в работе Бардена [13, следствия 2.3.1 и 2.3.2]. Далее, полученные позднее результаты о PL-структурах на топологических многообразиях [52, 28] позволяют утверждать, что всякое односвязное замкнутое 5-мерное многообразие М обладает PL-структурой (ввиду НЛ(М; Ъл) ~ Н\{М) — 0), так что классификация Смейла-Бардена переносится в том же виде и на топологические многообразия (другой способ убедиться в этом — просто перенести в категорию Тор все рассуждения из [47, 13], используя топологический вариант хирургии [28, Essay Ш]). Наконец, заметим, что совпадение в ситуации Смейла-Бардена гладкой классификации с топологической следует также из общей теоремы о Hauptvermutung для односвязных многообразий ([52, 28], см. также [42]) — ввиду Тог8Яз(М) « TorsFi(M) = 0.

Переходя к размерности б, следует начать опять-таки со Смейла: как следствие его 5-мерной классификации получается утверждение [47, теорема В] о том, что замкнутое 2-связное б-мерное гладкое многообразе гомеоморфно связной сумме

5Ах5А #.#5Ах5А (4)

Впрочем, этот результат легко получается и непосредственно из следующего элементарно доказываемого утверждения: любое замкнутое односвяз-ное 6-мерное гладкое многообразие М диффеоморфно связной сумме

Мо# 5Ах5а # .#5Ах5а (5) с Ь2,{М) = о (см. [57, теорема 1], а также п. 1.2.4 основного текста диссертации). Если многообразие М при этом 2-связно, то Мо оказывается гомотопической сферой; согласно [48], Мо в этом случае гомеоморфно сфере 5А, а, следовательно, М — связной сумме (4) (в действительности, здесь, конечно, имеет место диффеоморфизм, ввиду Эе = О [27]).

Следующий шаг — это работа Уолла [57], в которой дается классификация односвязных замкнутых б-мерных гладких многообразий М, удовлетворяющих двум дополнительным условиям Ш2{М) = О и То18Н2{М) = 0. Уолл показал [57, теорема 5], что удовлетворяющее этим условиям и снабженное ориентацией многообразие М определяется, с точностью до сохраняющего ориентацию диффеоморфизма, следующим набором инвариантов:

1) неотрицательное целое число г = |бз(М);

2) конечно порожденная свободная абелева группа Н = Н'Л[М)\

3) кубическая форма ц : Н 11{х) = {хл, [-ЛА]);

4) линейная форма р : Н р{х) = {рхлМ) • х, [М]}; иначе говоря, многообразие М определяется своим кольцом когомологий Н*{М) и своим 4-мерным классом Понтрягина р1{М)). Заметим, что кубической форме р соответствует ее "поляризация" — симметрическая 3-линейная функция /2 : НхНхН 2, связанная с когомологическим умножением в М формулой

11{х,у,г) = {хуг,[М]) собственно говоря, Уолл берет в качестве инварианта и обозначает через ¡1 именно эту поляризацию, что, конечно, не меняет дела). Таким образом, тройка инвариантов (г,Н,р) содержит всю информацию о кольце Н*(М). Точный смысл теоремы 5 работы [57] состоит в том, что если наборы инвариантов (г,Н,р,р) и (r',Я',АL¿',У) соответствуют описанным выше образом многообразиям Ми М', то изоморфизм (р : Н л Н' в том и только том случае индуцируется некоторым сохраняющим ориентацию диффеоморфизмом / : М' М, если выполняются условия г = г , (6)

1 о (р — ц (7) И р о (р = р . (8)

Эта же теорема содержит и описание "множества значений" инвариантов: набор {г,Н,11,р) изоморфен набору инвариантов некоторого многообразия в том и только том случае, если выполнено условие р — Ар {m.od24)

А) что может быть записано и как pi(M), х) = (4:гл [М]> , VxeHAiM- Z24) •

В частности, здесь содержится утверждение о том, что класс Понтрягина Pi{M) определяется по модулю 24 кольцом когомологий многообразия М и, следовательно, гомотопически инвариантен по модулю 24. По этому поводу можно заметить, что "в два раза более грубое" сравнение рг (М), х) = {4х\ [М]) , Vx е НМ- Z12) (10) имеет место для любых замкнутых 6-мерных гладких многообразий М с W2 (М) = О И является простейп1им случаем "формул By mod 3" [59] и "формул By mod 4" [60]; вообще же из этих формул By следует гомотопическая инвариантность по модулю 12 всех классов Понтрягина на любых замкнутых гладких многообразиях (см. [60]).

Теорема 5 работы [57] решает задачу классификации односвязных замкнутых 6-мерных гладких многообразий в том смысле, что сводит ее к алгебраической задаче классификации наборов вида {r,H,ii,p) (представляющей собой нечто близкое к задаче классификации целочисленных кубических форм). Мы вряд ли можем рассчитывать на решение последней задачи в самом общем случае (см., впрочем, [43]). Таким образом, 6-мерная классификация Уолла (как и ее обобщения, о которых будет идти речь ниже) имеет — по необходимости — менее "завершенный" характер, чем 5-мерная классификация Смейла-Бардена. Доказательство теоремы 5 основано на том простом наблюдении, что всякое односвязное замкнутое 6-мерное гладкое многообразие М с W2{M) = О, Тог8Я2(М) = О и Нз{М) = О может быть получено как результат перестройки сферы вдоль некоторого 3-мерного оснащенного зацепления [57, теорема 2]; это зацепление задает базис группы Н2{М) и, обратно, однозначно определяется таким базисом. Таким образом, для получения гладкой классификации достаточно воспользоваться результатами Хефлигера [22, 23, 24] и установить связь между инвариантами зацепления и инвариантами соответствующего многообразия. Получение на этом пути гомотопической классификации ставит довольно трудные проблемы, разрешить которые в работе [57] не вполне удалось (см. об этом ниже).

Из результатов Уолла, вместе с теоремой о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина, следует, что его топологическая классификация совпадает с дифференциальной (это утверждение, точно так же, как и соответствующее утверждение для размерности 5, можно рассматривать как специальный случай теоремы Салливэна о Hauptvermutung). Для гомотопической классификации это уже не так. В самом деле, согласно описанным выше результатам [57], для любого целого к существует многообразие Мк с г,Я,Ах,р) = (0,2,1,4-Ь24А;) т. е. с НЛ(М) = О, Я2(М) = 2, /х(1) = 1 и р(1) = 4 + Щ. Очевидно, что многообразия М/. попарно недиффеоморфны; в то же время нетрудно убедиться (сравнивая значения инвариантов), что многообразие Мо — не что иное как СР(3) и, следовательно, для любого к существует отображение -> Мо, индуцирующее изоморфизм ЯА(Мо) — 1ГА(Мк): А значит (ввиду совпадения умножений) и изоморфизм Я*(Мо) Н*(Мк) (заметим, что подобные примеры — гомотопически эквивалентных б-мерных многообразий, различающихся своими классами Понтрягина, в частности многообразий гомотопического типа 5А х 5'* — были известны ранее, см. [39, 41] и п. 3.3.4 ниже). В работе [57] имеется формулировка гомотопической классификационной теоремы (теорема 7). Эта формулировка, однако, ошибочна: утверждается, что изоморфизм (р : Н Н' (обозначения те же, что и при обсуждении теоремы 5 выше) в том и только том случае индуцируется сохраняющей ориентацию гомотопической эквивалентностью / : М' -> М, если выполняются условия (6) и (7), а вместо условия (8) выполняется более слабое р' о (р^р (mod48) . (11)

В частности, здесь утверждается (необходимость условия (И)), что класс Р1(М) гомотопически инвариантен по модулю 48, что опровергается вышеприведенным примером с многообразиями Мк (по поводу ошибки в доказательстве Уолла см. [3, 5]). В действительности, в работе [57] корректно доказана лишь достаточность условия (11) и (о чем уже упоминалось на стр. 9) необходимость более слабого условия р' оср =р (шod 24) . (12)

Таким образом, правильный вариант формулировки гомотопической классификационной теоремы должен содержать нечто промежуточное между достаточным условием (11) и необходимым (12). Таким необходимым и достаточным условием оказывается: р' о (р(х) = р(х) + 24р(х, у, у) (mod48) (13) для некоторого у ЕН и для всех ж 6Я (это, как мы увидим, специальный случай гомотопической классификационной теоремы из [3]).

Описанные выше результаты Уолла были обобщены, примерно в одно и то же время, в двух направлениях: в работе [26] было снято условие А2 = О, а также, благодаря развитой к этому времени "топологической хирургии", и условие гладкости; в работах [2, 3] было снято условие свободности группы НА(М) = О (при сохранении условий на гладкость и на класс адг)

Работа [26] является прямым продолжением работы [57 как в смысле формулировок, так и в смысле применяемых методов (а также и в смысле допущенных ошибок, о чем см. ниже). Основная теорема 1 этой работы утверждает, что односвязное замкнутое 6-мерное ориентированное многообразие М с Тот8Н2{М) = о определяется, с точностью до сохраняющего ориентацию гомеоморфизма, набором инвариантов г,Я,//,р,ад,А) , (14) который получается добавлением к четырем инвариантам Уолла еще двух:

1) элемента и) = Ш2{М) группы Н л2,2]

2) линейной формы А : Я -> Жз, А(ж) = (А(М) • ж, [М]) где А(М) — класс Кирби-Зибенмана многообразия М, т. е. препятствие к РЬ-редукции касательного ТоР-расслоения). Теорема 1 работы [26] утверждает также, что набор вида (14) изоморфен набору инвариантов некоторого многообразия в том и только том случае, если выполнено условие: р(ш) = р(со) -Ь 24А(а;) (тоа48) (15) для всех и ЕН с р2(о;) = ги (через р2 опять обозначается приведение по модулю 2). Из доказательства в [26] этой теоремы (или, если угодно, из теоремы о Hauptvermutung, как ив случае Уолла) следует, что первые пять инвариантов набора (14) (т. е. все кроме А) дают классификацию гладких многообразий рассматриваемого типа с точностью до диффеоморфизма (что доказывает гипотезу, высказанную в [57]). Заметим, что при А = О и ад = О (т. е. в случае Уолла) соотношение (15) равносильно соотношению (9) — достаточно взять (1 = 0ии = 2хс произвольным ж 6 Я (и разделить все на 2).

Доказательство соотношения (15) в работе [26] содержит пробел: оно опирается (при А 7А 0) на то же самое ошибочное рассуждение, посредством которого в [57] "доказывается" соотношение (11) (по аналогичной причине ошибочной является и гомотопическая классификационная теорема 26, теорема 2]). Тем не менее, соотношение (15) действительно имеет место (см. п. 3.1.6 основного текста).

В работах [2, 3] рассматривается следующий набор инвариантов одно-связных замкнутых ориентированных 6-мерных гладких многообразий М сад2(М) = 0:

1) неотрицательное целое число г = |Ьз(М);

2) конечно порожденная абелева группа G = Н2{М);

3) класс гомологии А О Не2) — образ фундаментального класса при каноническом гомоморфизме HQ{M) HQ{G,2);

4) элемент 7 группы Н'Л{М) = Н2{М) = G (о котором см. ниже).

Очевидно, что всякий класс гомологии AEHQ (G, 2) определяет кубическую форму на группе Н = Нот(О,7) = ^(О,2). Это позволяет в случае То^О = О отождествить класс ¡1 с одноименной формой из [57, 26 . Наибольший интерес представляет последний из перечисленных выше инвариантов 7 (в [3] этот инвариант обозначался через р). Заметим, что из сравнения (10) следует делимость класса р^М) на 4 для любых многообразий рассматриваемого типа, так что всегда найдется такой 7 О ЯЛ(М) = С, для которого выполнено соотношение

В том случае, если группа G не имеет элементов порядка 2, элемент 7 определен соотношением (16) (и не содержит, следовательно, никакой новой информации, по отношению к известным инвариантам). Оказывается, что можно в обпдем случае так определить инвариант 7(М), что будет выполняться следуюп];ее условие "инвариантности относительно кобордизма":

Пусть W — компактное ориентированное 1-мерное гладкое многообразие, удовлетворяющее условию W2{W) = О и осуществляющее кобор-дизм между односвязными многообразиями М1 и М2 {соответствующим образом ориентированными). Тогда имеет место равенство где ik : H2{Mk) —> H2{W) — гомоморфизмы, индуцированные включениями.

Это свойство инварианта 7 (не сформулированное в [3] явно, но прямо вытекаюш;ее из содержап];ихся там определений), вместе с равенством (16), как нетрудно видеть, однозначно его определяет (в самом деле, равенство (17), плюс простейшая хирургия, сводят дело к случаю Tors Н2{М) — О и, тем самым, к соотношению (16)). Можно показать, тем не менее (см. 3.1.8, 3.3.8), что для конкретного М инвариант 7(М), вообш;е говоря, не определяется не только классом (М), но даже и нормальным (или тангенциальным) гомотопическим типом.

Теорема 1 работы [3] утверждает, что набор инвариантов (г, G, fi, 7) является полным (в том же смысле, что и выше), а "множество значений"

47 = Pi(M).

16) ii7(Mi) — Z27(M2) ,

17) описывается условием х, 7> = {х\ fi) ,Ухе H\G, 2; Ze) . (18)

Эта теорема непосредственно обобщает обсуждавшуюся выше теорему 5 работы [57]; в частности соотношение (18) дает (после умножения его на 4) как раз условие Уолла (9). В работах [2, 3] ничего не говорится о соотношении гладкой и топологической классификаций (которые в действительности продолжают совпадать — см. ниже). Гомотопическая классификационная теорема [3, теорема 2] утверждает, что для многообразий М и с инвариантами, соответственно, [rAGAji,A) и р'А') изоморфизм ip : G' -> G индуцируется сохраняющей ориентацию гомотопической эквивалентностью М' М в том и только том случае, если, наряду с очевидными необходимыми условиями на г и на выполняется еще следующее условие:

Р4Ш)-1) ei2 (prASqAH\G,2- Z2)) , (19) где через р4 : G G/AG обозначается приведение по модулю 4, а через ¿2 : H2{G,2; Z2) = G/2G — G/4G — стандартное вложение ("умножение на 2"). В случае Уолла (т. е. когда TorsG = 0) условие (19) может быть записано в виде: p{j') =А + 211Глул (mod 4) (20) для некоторого уЕН = Hom(G,Z) = H'a(G,2). Учитывая, что из (18) (или, если угодно, из (16), плюс гомотопическая инвариантность класса Понтрягина по модулю 12) следует равенство а(У) = 7 (mod3) , условие (20) можно также записать в виде ф') = a + брглуА (mod 12) , что после умножения на 4 дает — с учетом (16) — указанный выше "исправленный" вариант гомотопической классификационной теоремы Уолла (равенство (13)).

Метод доказательства классификационных теорем в работах [2, 3] существенно отличается от метода [57]. Он основан на следующем "предварительном" варианте классификационной теоремы. Пусть G — конечно порожденная абелева группа, и пусть M{G) обозначает множество классов ориентированно диффеоморфных пар {М,(р), где М — односвязное замкнутое ориентированное 6-мерное гладкое многообразие с W2{M) = О, а (р : Я2(М) С — некоторый изоморфизм. Пусть Жг{р) — подмножество множества М^), выделенное условием Ьз(М) = 2г. Имеется очевидное отображение

Л:М(Л)Л11ЛРЛ"(С,2) , (21) где 0?лл'л^,2) обозначает группу г-мерных спинорных бордизмов пространства Эйленберга-Маклейна К^,2), и справедлива следующая

Теорема А [3, теорема 3]. Сужение отображения в на ЗУСо(С) биективно для любой (конечно порожденной абелевой) группы С

Из этой теоремы немедленно следует, что (для многообразий рассматриваемого типа) разложение (5) единственно (в том смысле, что Мо однозначно определено, с точностью до диффеоморфизма, многообразием М); в самом деле, очевидно, что образы многообразий М и Мо в группе Пзллл [С, 2) совпадают (конечно, эта единственность разложения (5) следует, для многообразий соответствующих классов, и из результатов [57 и [26]). Таким образом, многообразие М определяется двумя независимыми инвариантами 9{М) и г(М), и проблема классификации редуцируется к гомотопической — к вычислению групп ОзЛЛ"(С,2). В действительности, теорема о единственности разложения (5) имеет место для любых одно-связных замкнутых 6-мерных многообразий, что было впервые доказано (в гладком случае) в работе [1] тем же методом, что и теорема А. Центральный момент обоих доказательств — следующее утверждение:

Теорема В [1, теорема 2]. Пусть W — односвязный гладкий кобор-дизм между односвязными многообразиями Мх и М 2. Если включения Мг —) }¥ индуцируют изоморфизмы Н2{М{) -> Я2(ИЛ); и если 63(Л1) = = 63 (М2) = О, то ]У можно превратить в Н-кобордизм между Мх и М2 последовательностью перестроек индекса 4.

Теорема В доказывается в [1] посредством некоторой модификации рассуждения из [27, §6] (доказательство тривиальности группы ЬР2к+1 для нечетных к). Из теоремы В следует на самом деле несколько более сильное утверждение, чем вышеупомянутая теорема единственности, а именно:

Теорема С. Пусть даны разложения М = Мо # 5Л х 5Л # . # 5Л х 5Л и М' = МЛ #53 X 5Л #.#5ЛХ5Л с Ьз(Мо) = Ьз(МЛ) = 0. Для любого диффеоморфизма / : М —М' найдется такой диффеоморфизм /о : Мо Мо; что / ^ /о индуцируют один и тот же гомоморфизм Я2(Мо) — Я2(МЛ) и имеют одну и ту же степень.

Теорема С была позднее обобщена (совсем другим способом) на другие размерности в работе [36] (приведенная там формулировка не содержит гомологического условия на диффеоморфизм /о; из доказательства, однако, нетрудно усмотреть, что это условие выполняется). Обратно, из теоремы С почти немедленно следует теорема А (так что, по существу, это одна и та же теорема, если "забыть" об условии спинорности в формулировке теоремы А). Имеется, таким образом, альтернативное (как представляется, более "прозрачное") доказательство обеих теорем. Отметим, что теорема С (по крайней мере, в "слабом" варианте, т. е. без гомологического условия) может быть получена и из результатов работы [19] (см. также препринт [31], теорема 3.1 и предложение 3.2]). Оказывается, что, следуя доказательству теоремы 3.1 из [31], можно получить совсем элементарное доказательство теорем А и С (детали см. ниже в разделе введения, посвященном содержанию диссертации, и в §1.2).

Отметим, что отображение (21) ассоциируется с отображением ${Х) -> ЩХ) множества "гомотопических сглаживаний" в множество "нормальных бор-дизмов" — основным инструментом и объектом изучения в теории Брау-дера-Новикова. Как об этом уже говорилось, применение результатов теории Браудера-Новикова к задаче классификации односвязных многообразий заданной размерности связано с нетривиальными проблемами, среди которых, помимо вычисления множеств Х(Х) и препятствий к перестройкам, в первую очередь можно назвать проблему перечисления всех возможных гомотопических типов X, а также проблему "депараметризации" — вычисления фактормножеств >1"(Х)/Ли1(Х). В этом смысле теорему А можно рассматривать как некоторую "деформацию" теории Браудера-Новикова, в которой информация о гомотопическом типе многообразия М "редуцируется" к Н2{М) = О и Ьз(М) = 2г (иначе говоря, к аддитивной структуре гомологии). При этом множество §(Х) превращается в М(А), а 3\Г(Х) — в А7дААО(0,2); нетривиальная проблема перечисления гомотопических типов заменяется вполне тривиальной задачей перечисления пар {г,С), а препятствие к перестройке отсутствует (последнее как раз и составляет содержание теоремы А). Что касается "депараметризации", то есть факторизации 1А3А'°(с, 2) по Ли1(0), то, хотя эта проблема остается нетривиальной, но, во всяком случае, она становится чисто алгебраической. Формулировка теоремы А подсказана леммой 4.4 работы [13], которую нетрудно переформулировать подобным же образом — как утверждение о биективности некоторого отображения, аналогичного отображению (21). Барден не использует такой вариант формулировки, и вообще в его работе нет упоминания о бордизмах (за исключением бордизмов точки); интересно, однако, что такая интерпретация леммы 4.4 цитированной работы Бардена дает возможность получить главные результаты этой работы в качестве "побочного продукта" — как моментальное следствие "легкой части" вычислений, требующихся для нашей б-мерной классификации (см. [12]).

Наконец, заметим, что описанная выше "деформация" теории Брауде-ра-Новикова была впоследствии обобщена (независимо от [3]) в работах 19] и [31] на другие размерности и успешно применена к решению некоторых классификационных задач. Вышеупомянутая "деформация" состоит, коротко говоря, в том, что, определяя множество нормальных бордиз-мов 3\Г(Х), мы уже не требуем, чтобы X было многообразием, или даже комплексом Пуанкаре (соответственно, отпадает и условие, чтобы отображение М X, представляющее нормальный бордизм, имело степень -Ь1); аналогично, определяя "множество гладких структур" §(Х), мы не требуем, чтобы отображение М А X, представляющее "гладкую структуру", было гомотопической эквивалентностью — это условие заменяется более слабым условием Ге-связности отображения с к |ё1шМ (детали см. в [19, 31]). * *

Настоящая диссертация содержит полное решение задачи классификации — как дифференциальной и топологической, так и гомотопической — для односвязных замкнутых ориентированных 6-мерных многообразий. Результаты работ [1]-[3], о которых говорилось выше (и составившие содержание предыдущей диссертации — кандидатской) распространяются здесь на неспинорные многообразия и на топологическую категорию. Построенный там инвариант у обобщается здесь на все многообразия указанного типа в виде пары инвариантов (М) и 7А (М), зависящих от выбора некоторого класса когомологий и№Н'А(М\ Z2m), удовлетворяющего условию р2(оо) = Ж2(М), и принимающих значения соответственно в группах Z2m-i и 1ГА{М; Z2m-i). При замене класса ш другим классом, удовлетворяющим аналогичным условиям, а также при приведении его по модулю 2А с < т, значения инвариантов ГсА(М) и 7ш(М) изменяются "предсказуемым" образом, так что достаточно знать эти значения для какого-то одного Ш с наибольшим возможным т, допуская и случай т = оо (это наибольшее т можно назвать "степенью целочисленности" класса Ж2(М); в случае Ж2(М) ф О это то же, что инвариант % из работы [13]). Если Ж2(М) = О, ТО мы имеем канонический выбор т = оо и со = О, при этом инвариант Гаа(М) оказывается нулем, а инвариант 7и;(М) превращается в 7(М) из [3]. Основная классификационная теорема — теорема 3.1.3 — утверждает, что набор инвариантов

1) г = |бз(М)

2) G = H2{M)

3) w = W2{M) е НЛ{М; Z2) = Honi(G, Z2)

4) IJLEHQ(G,2) (фундаментальный класс многообразия М) ь) p = pi{M)eH'^{M) = G

6) А G Я4(М; Z2) = G/2G (класс Кирби-Зибенмана)

7) r,,GZ2m

8) 7ЛGЯ4(M; Z2m) = G/2"AG является полным, т. е. определяет М с точностью до сохраняющего ориентацию гомеоморфизма (диффеоморфизма при А = 0), и что указанный (в п. 3.1.2) набор соотношений между инвариантами также является полным, в том смысле, что "абстрактный" набор (r,G, ад,/2,р, А, ГЛ,7(Л), удовлетворяющий этим соотношениям, соответствует некоторому многообразию.

Из этой формулировки, очевидно, следует, что гомеоморфные гладкие многообразия являются диффеоморфными, т. е. что для замкнутых одно-связных 6-мерных многообразий имеет место Hauptvermutung (в действительности, дело обстоит несколько по-другому: доказательство Hauptvermutung предшествует доказательству теоремы 3.1.3, см. главу 2). Интересно, что описанные выше "экзотические" инварианты ТЛ(М) и 7w(M) становятся существенными (т. е. не сводятся к известным инвариантам) в точности тогда же, когда перестает действовать теорема Салливэна о Hauptvermutung, т. е. при наличии 2-кручений в группе Я*(М). Заметим еще по этому поводу, что "область истинности" Hauptvermutung в таком ее варианте (т. е. в смысле "гомеоморфизм влечет диффеоморфизм") в некотором смысле исчерпывается (в стабильных размерностях) как раз обсуждавшимися выше случаями — односвязными многообразиями размерности 5 и 6. В самом деле, начиная с размерности 7 роль контрпримеров играют "сферы Милнора" [27], а в неодносвязном случае — многообразия, гомеоморфные (но не PL-изоморфные) многообразиям 5Л хТ"л, п л 2 [28, Essay IV, Appendix В] (конечно, можно задать вопрос и об истинности "гладкой Hauptvermutung" для индивидуального многообразия, и здесь ситуация оказывается несколько другой, см. [29]). С другой стороны, более естественно спросить, какова "область истинности" Hauptvermutung в ее первоначальном смысле "гомеоморфизм влечет PL-изоморфизм" что в размерностях 5 и 6 означает то же самое), и в этом случае о наличии односБЯЗных контрпримеров в размерности 7 автору не известно (хотя имеются контрпримеры в более высоких размерностях [34]).

Методы диссертации представляют собой, в основном, дальнейшее развитие методов работ [1, 2, 3] — это "неспинорный" вариант теоремы А и изучение "неспинорных" аналогов групп 0ЛЛЛЛ(С,2) (представляюш;ее значительно большие проблемы, чем спинорный случай). Изложим теперь содержание диссертации более подробно.

Первая глава диссертации — "геометрическая". Она посвяп];ена упомянутой выше редукции классификационных проблем к гомотопическим. В §1.1 вводится понятие спинорного отображения ориентированного гладкого многообразия М в пространство Эйленберга-Маклейна К{Х2,2); при этом само многообразие М не предполагается спинорным. В случае, когда М односвязно, спинорное отображение можно определить просто как отображение / : М -> К{Ж2,2), удовлетворяюш;ее условию = ги2(М), где к, — универсальный (22, 2)-класс (для формулировок достаточен этот простейший случай, однако в вычислениях главы 2 понадобится общее определение.) Далее в §1.1 вводятся группы гладких бордизмов ПААА" (X; /) как гомологический функтор на категории отображений / : X -> К{Ъ2,2); в случае, когда X односвязно и г а 4, можно считать "аргументом" функтора пару (А:,ад€Я2(Х; 22)) и писать 0АрАА(А:; ад) вместо 0АрА"(Х;/). Важную роль в дальнейшем играет случай, когда X — это пространство Эйленберга-Маклейна К{С, 2); в этом случае мы пишем ГА^'А (с, 2; ад). Эти определения переносятся затем на топологические многообразия и вводятся группы топологических бордизмов шаа'" (х; /) и т. д. Наконец, в §1.1 указывается связь групп ЛУ,ЛЛ{Х\ /) с "(Я,/)-бордизмами", как они определены в книге Стонга [51, глава 2 .

В §1.2 вводятся множества М(0,ад) классов ориентированно диффео-морфных односвязных замкнутых 6-мерных гладких многообразий М с "заданными" Н2(М) = С и АД2(М) = ад и их аналоги 1Ж{0,м) в категории топологических многообразий, а также подмножества этих множеств Жг{С,ги) и Шг(С,ад), определенные условием Ьз{М) = 2г. Мы имеем естественные отображения

М(а,ад)А0АрА°(о,2; ад) и ад , которые обозначаются в обоих случаях , как и отображение (21) выше, через О, и теорема 1.2.3 (обобщение теоремы А) утверждает, что сужения этих отображений на Мг(0,'ш) (соответственно, на tЖr{G,w)) являются биекциями. Теорему 1.2.3 можно интерпретировать как утверждение о полноте набора инвариантов {г,0,'ш,в) (соответственно, для гладких или топологических многообразий), то есть как некоторую предварительную форму классификации; отметим, что в этот момент епде ничего не утверждается о соотношении гладкой и топологической классификаций. Доказательство теоремы 1.2.3 основано на совсем простой лемме 1.2.7, утверждающей, что для многообразия М вида 5А х 5А #. .#5А х /5А всякий автоморфизм Нз{М) Яз(М), сохраняющий форму пересечений, индуцируется диффеоморфизмом М М (доказательство этой леммы по существу совпадает с доказательством существования разложения (5)). Из этой леммы сразу же следует (посредством рассуждения, аналогичного использованному в [36] и в [31]) теорема С (в основном тексте это лемма 1.2.5); в свою очередь, из теоремы С без труда получается доказательство "предварительной" классификационной теоремы 1.2.3. Заметим теперь, что для всякого М £ 1Ж{С, гп) имеется естественный гомоморфизм

ШАрА"(М; т2{М)) ШАрАА(с,2; ад) .

Обозначим через 0(М) образ при этом гомоморфизме подмножества группы ШдАА'А(М; ад2(М)), составленного из отображений М' —)• М степени -(-1. Вторая "предварительная" классификационная теорема, доказываемая в главе 1 — теорема 1.2.26 — утверждает, что многообразия М1, М2 е 1Жг(С, ад) тогда и только тогда допускают ориентированную гомотопическую эквивалентность, согласованную с заданными изоморфизмами Н2{Мг) « G, когда е(М1) = 0(М2).

Вторая глава диссертации — наиболее объемная — посвящена вычислению групп аааа"а(а,2; ад) и шараа(а,2; ад) для любых Сити для г <6. Это вычисление подготавливает доказательство "окончательных" классификационных теорем в главе 3. Отметим, что уже первые этапы этого вычисления приводят к содержательному результату — утверждению о совпадении гладкой и топологической классификации для гладких многообразий рассматриваемого типа (т. е. Hauptvermutung для односвязных 6-мерных многообразий).

В §2.1 приводятся, в удобной для дальнейшего форме, необходимые (по существу, конечно, хорошо известные) результаты о гомологиях пространств Эйленберга-Маклейна типа (а, 2).

В §2.2 для любого СИА-комплекса X и его отображения / в пространство К{Ж2,2) строится "спектральная последовательность Атьи-Хирце-бруха" 1 Л = Щ(Х- ОАр-) ^(Х- /) , (22) а также аналогичная спектральная последовательность для категории топологических многообразий (таким образом, члены £А этих спектральных последовательностей не зависят от / и устроены так же, как для обычных спинорных бордизмов). Метод построения состоит, как обычно, в использовании стандартной фильтрации пространства X остовами; специфика ситуации (впрочем, не особенно серьезная) состоит в некоторой нестандартности категории, на которой определены функторы иааа"(х; /) и шааа'а(х; /) (не имеющей, например, факторобъектов). Дифференциал сР спектральной последовательности (22) удается вычислить "по модулю 2" (что в действительности дает точный ответ для интересующих нас размерностей) — оказывается, что гомоморфизм 1(1(22) •• Яр(Х; 0ара°) о 22 Яр2(Х; ПАр\") О 22 представляет собой некоторую комбинацию гомологической операции

Яр(Х; 22) -> Яр2(Х; 22) , алгебраически двойственной к т : ЯР-2(Х; 22) А нл(Х] 22) , где ад € Н'А(Х; ЪА) — гомотопический класс отображения /, и умножения а : оара° -л на образующую ос группы г2аа" = 22- Это теорема 2.2.6 — основной результат этого параграфа.

В §2.3 эта информация о дифференциале сАА, вместе с изложенными в §2.1 сведениями о гомологиях пространств К (С, 2), используется для вычисления члена £А спектральной последовательности (22) для X /<'(0, 2) в размерностях, не превосходящих б, и доказательства ключевого для последующих вычислений свойства аддитивности (в некотором уточняемом там смысле) ядра гомоморфизма ГУревича

2:ОАрА"(С,2;ад)АЯб(А,2) теорема 2.3.17). Эта аддитивность позволяет свести проблему вычисления групп ОеА''А (С, 2; ад) к рассмотрению некоторого набора специальных случаев, чему посвящены следующие параграфы этой главы. Что касается §2.3, то уже имеющейся здесь частичной информации о спектральной последовательности (22) оказывается достаточно для доказательства инъ-ективности естественного "забываюп];его" гомоморфизма

ОлрА"(а,2;и;)->ЮАрл'А(о,2;«;) п. 2.3.21), что ввиду теоремы 1.2.3 дает совпадение дифференциальной и топологической классификаций (Наир^егтиШ^) для многообразий рассматриваемого типа (теорема 2.3.22).

Дальнейшее вычисление групп UQЛЛЛ{G,2; Щ) И tQ.QAAA{G,2] упирается, в частности, в проблему вычисления образов дифференциалов dA, d'A и dA на диагонали {р-|- g = 6} спектральной последовательности (22). Как показывает несложный анализ, эта проблема является преимуп];ественно 2-примарной: "вне двойки" имеется (в интересующих нас размерностях) только один легко вычисляемый дифференциал

4 , , £?,о = HJÍG, 2) * Zs = G * Zs , почти совпадающий" с операцией Тома — одной из введенных в его работе [54] (см. п. 2.3.25). Кроме того, как нетрудно показать, достаточно решить эту проблему для гладкого случая (группы с q = 0,1,2, на которых определены интересующие нас дифференциалы, в топологическом случае те же, что и в гладком), а ввиду аддитивности, о которой говорилось выше, достаточно при этом ограничиться случаями, когда G — циклическая группа или прямая сумма двух циклических групп (подробности см. в п. 2.3.18). Следующие пять параграфов посвящены вычислению групп гigPЛ"(G, 2; w) для G = Ълт и О = Ф Z2". Это (довольно трудоемкое) вычисление основано на построении разложения Постникова (до размерности 6) для соответствующих спектров Тома (§§2.4, 2.5 содержат необходимую "когомологическую подготовку", а само вычисление изложено в §§2.6-2.8). В частности, это вычисление дает нам группы

NQ{G, Щ = Кег[/г : и1А>ААЮ, 2; w) Ив^, 2)] для G = Z2m и О = Z2m Ф Z2", а следовательно, с учетом сказанного выше, и для любых G. В §2.9, пользуясь результатами этих вычислений, мы в состоянии получить, наконец, окончательный ответ: для любой группы G построить некоторый мономорфизм

О, 2; w) -> Яб(С, 2) ф О ф G/2G ф ф G/2,ЛG и описать образ этого мономорфизма (теорема 2.9.24).

22

Глава 3 содержит главные классификационные теоремы: топологическую 3.1.3 и гомотопическую 3.2.5. §3.1 начинается с описания полного набора инвариантов (в том числе "экзотических" инвариантов ГАА(М) и 7и,(М')) и перечисления соотношений между ними. Доказательство теоремы 3.1.3 следует из приведенных выше результатов — теоремы редукции 1.2.3 и вычисления групп tQ,QAЛЛ(G,2] т) — более или менее непосредственно; основная же часть §3.1 представляет собой обсуждение ее (нужно сказать, весьма громоздкой) формулировки — соотношений между инвариантами, различных частных случаев теоремы и т. д. Доказательство гомотопической классификационной теоремы в §3.2 требует некоторой дополнительной работы по вычислению описанных выше множеств в(М)сОАрА"(А,2;ад), которое и занимает большую часть этого параграфа. Главу завершает §3.3, в котором полученные результаты применяются к изучению ряда примеров (в частности, демонстрируюш;их "непучковый" характер инварианта 7А(М)).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4]-[11], докладывались на семинарах в Москве (МГУ, МИАН), С.-Петербурге (СПО-МИ), Новосибирске (Институт математики СО РАН), на Международной топологической конференции в Баку (1987 г.), на 3-й Сибирской школе "Алгебра и анализ" (1989 г.), на семинарах в Стэнфордеком университете (1993 и 1999 г.), на "Летней школе по геометрической теории групп" (Варшава, 1997 г.), на Конференции по алгебраической топологии (Гданьск, 2001 г.).

1. Жубр A.В., Теорема о разложении для односвязных шестимерных многообразий. — Зап. научн. сем. ЛОМИ 36 (1973), 40-49

2. Жубр A.B., Классификация односвязных шестимерных спинорных многообразий. — Зап. научн. сем. ЛОМИ 45 (1974), 71-74

3. Жубр A.B., Классификация односвязных шестимерных спинорных многообразий. — Изв. АН СССР (сер.мат.) 39 (1975), 839-859

4. Жубр A.B., Классификация односвязных 6-мерных многообразий.Докл. АН СССР 255 (1980), 1312-1315

5. Zhubr A.v. Classification of simply-connected topological 6-manifolds.1.cture Notes in Math. 1346 (1988), 325-339

6. Жубр A.В., Вычисление групп спинорных бордизмов некоторых пространств Эйленберга-Маклейна. — Вестник Сыктывкарского ун-та, серия 1, вып.1 (1995), 24-46

7. Жубр A.B., Вычисление групп спинорных бордизмов некоторых пространств Эйленберга-Маклейна, II. — Вестник Сыктывкарского ун-та, серия 1, вып.2 (1996), 13-42

8. Zhubr A.v. On Hauptvermutung for simply-connected closed 6-manifolds. — Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), Тезисы докладов, часть 1, 111-112. Изд-во ИМ СО РАН, 1998

9. Жубр A.B., Группы бордизмов спинорных отображений и их применение к задаче классификации шестимерных многообразий. — Вестник Сыктывкарского ун-та, серия 1, вьш.З (1998), 39-80

10. Жубр A.B., Об одной работе Бардена. — Записки научных семинаров ПОМИ (геометрия и топология), т. 279 (2001), стр.70-88

11. Barden D., Simply connected 5-manifolds. — Ann. Math. 82 (1965), 365-385

12. Baues H.-J., The degree of maps between certain 6-manifolds. — Com-positio Math. 110 (1998), 51-64

13. Browder W., Homotopy type of differential manifolds. — Coll. on algebraic topology, Aarhus, 1962, 42-46

14. Браудер В., Перестройки односвязных многообразий. — M.: Наука, 1984

15. Cerf J., Sur les difîéomorphismes de la sphère de dimension trois (Г4 = 0). — Lecture Notes in Math. 53 (1968)

16. Дольд A., Лекции по алгебраической топологии. — M. : Мир, 1976

17. Freedman М.Н., Uniqueness theorems for taut submanifolds. — Pacific J. Math. 62 (1976), 379-387

18. Freedman M.H., The topology of four-dimensional manifolds. — J. Diff. Geom. 17 (1982), 357-453

19. Haefliger A., Plongements différentiables de variétés dans variétés. — Comm. Math. Helv. 36 (1961), 47-82

20. Haefliger A., Knotted ik 1-spheres in 6À;-space. — Ann. Math. 75 (1962), 452-466

21. Haefliger A., Difîerentiable Hnks. — Topology 1 (1962), 241-244

22. Haefliger A., Difîerentiable embeddingsb of S"" in 5A+« for g >2. — Ann. Math. 83 (1966), 402-436

23. Hirsch M.W., Mazur В., Obstruction theories for smoothings manifolds and maps. — Bull. AMS 69 (1963), 352-356

24. Jupp P.E., Classification of certain 6-manifolds. — Proc. Cambr. Phil. Soc. 73 (1973), 293-300

25. Kervaire M.A., Milnor J., Groups of homotopy spheres. — Ann. Math. 77 (1963), 504-537

26. Kirby R.C., Siebenmann L.C., Foundational essays on topological manifolds, smoothings and triangulations. — Princeton university, Princeton, New Jersey, 1977

27. Kreck M., Manifolds with unique differential structure. — Topology 23 (1984), 219-232

28. Kreck M., Schäfer J. A., Classification and stable classification of manifolds: some examples. — Comm. Math. Helv. 59 (1984), 12-38

29. Kreck M., Surgery and Duality. — Ann. Math. 149 (1999), 1-48

30. Маклейн С, Гомология. — М.: Мир, 1966

31. Мэй Дж.П., Общий алгебраический подход к операциям Стинрода.В кн: Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции.— М.: Мир, 1983

32. Morita S., Smoothability of PL-manifolds is not topologically invariant.Manifolds, Tokyo, 1973, Univ. of Tokyo Press, 1975, 51-56

33. Мошер P., Тангора M., Когомологические операции и их прилодения в теории гомотопий. — М.: Мир, 1970

34. Нецветаев Н.Ю., Диффеоморфность и стабильная диффеоморф-ность односвязных многообразий. — Алгебра и анализ 2 (1990), 112120

35. Новиков СП., О диффеоморфизме односвязных многообразий. — Докл. АН СССР 143 (1962), 1046-1049

36. Новиков СП., Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия. I. — Изв. АН СССР сер. матем. 28 (1964), 365-474

37. Новиков СП., О гомотопической и топологической инвариантности некоторых рациональных классов Понтрягина. — Докл. АН СССР 162 (1965), 1248-1251

38. Quinn F., Ends of maps HI. — J. Diff. Geom. 17 (1982), 503-521

39. Рохлин В.А., Класс Понтрягина-Хирцебруха коразмерности 2. — Изв. АН СССР (сер.мат.) 30 (1966), 705-718

40. Рудяк Ю.Б., Кусочно-линейные структуры на топологических многообразиях. — Добавление к кн.: Мадсен И., Милгрэм Р., Классифицирующие пространства для перестроек и кобордизмов многообразий. — М.: Мир, 1984

41. Schmitt А., On the classification of certain 6-manifolds and applications to algebraic geometry. — Topology 36 (1997), 1291-1315

42. Cepp Ж.-П., Курс арифметики. — M.: Мир, 1972

43. Serre J.-P., Groupes d'homotopie et classes de groupes abéliens. — Ann. Math. 58 (1953), 258-294

44. Siebenmann L.C., Topological manifolds. — Actes Congrès Intern. Math., 1970, t.2, 133-163

45. Smale S., On the structure of 5-manifolds. — Ann. Math. 75 (1962), 38-46

46. Smale S., Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. — Ann. Math. 74 (1961), 391-406

47. Smale S., On the structure of manifolds. — American J. Math. 84 (1962), 387-399

48. Спеньер Э., Алгебраическая топология. — M.: Мир, 1971

49. Стонг P., Заметки по теории кобордизмов. — М.: Мир, 1973

50. Sullivan D.P., On the hauptvermutung for manifolds. — Bull. AMS 63 (1967), 598-600

51. Свитцер P.M., Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — M.: Наука, 1985

52. Том Р., Некоторые свойства "в целом" дифференцируемых многообразий. — Сборник переводов "Расслоенные пространства". — М.: ИЛ, 1958

53. Wall С.Т.С, Killing the middle homotopy group of odd dimensional manifolds. — Trans. AMS 103 (1962), 421-433256

54. Wall C.T.C., Diffeomorphisms of 4-mamfolds. — J. London Math.Soc. 103 (1964), 131-140

55. Wall C.T.C., On certain 6-manifolds. — Inv. Math. 1 (1966), 355-374

56. Wall C.T.C., An extension of results of Novikov and Browder. — Amer. J. Math. 88 (1966), 20-32

57. Wu W.-T., On Pontrjagin classes IL — Acta Math. Sinica 4 (1954), 171-199

58. Wu W.-T., On Pontrjagin classes TIL — Acta Math. Sinica 4 (1954), 323-347

59. Yamaguchi K., On the homotopy type of CW-complexes with the form 52 U U — Kodai Math. J. 5 (1982), 303-312