Когерентные эффекты в мезо- и наноразмерных кольцах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П. Н. ЛЕБЕДЕВА РАН

На правах рукописи 804616891

СЕМЕНОВ Андрей Георгиевич

КОГЕРЕНТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В МЕЗО- И НАНОРАЗМЕРНЫХ КОЛЬЦАХ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- з ПЕК 2010

Москва — 2010

004616891

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Заикин Андрей Дмитриевич Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, г. Москва

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Куприянов Михаил Юрьевич Научно-Исследовательский Институт Ядерной Физики МГУ, г. Москва

доктор физико-математических наук, Мельников Александр Сергеевич Учреждение Российской академии наук Институт Физики Микроструктур, г. Нижний Новгород

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт Физических Проблем им. П.Л. Капицы РАН, г. Москва

Защита состоится 20 декабря 2010 года в IL* . на заседании диссертационного совета Д 002.023.02 при Физическом Институте им. П.Н. Лебедева РАН по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский проспект, д. 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического Института им. П.Н. Лебедева РАН или на сайте http://td.lpi.ru/.

С авторефератом диссертации можно ознакомиться на сайте http://www.lebedev.ru/.

Автореферат разослан « ¿к ноября 2010 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 002.023.02 / доктор физико-математических наук __Я.Н. Истомин

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию когерентных эффектов в различных металлических структурах.

Актуальность темы. Теоретическое и экспериментальное исследование транспортных свойств металлических мезо- и наноразмерных структур позволяет заглянуть в квантовый мир атомов и электронов. Электроны, движение которых обуславливает перенос заряда, или проще говоря, ток сквозь систему, имеют квантовую природу, а значит могут интерферировать, что приводит к возникновению таких необычных явлений как слабая локализация, осцилляциии Аронова-Бома, незатухающий ток.

Одной из простейших систем, которые могут быть исследованы экспериментально является металлическое кольцо, сквозь которое пропущен магнитный поток. При этом магнитное поле существует лишь внутри кольца, в то время как в самом металле поля нет. Если бы электроны были классическими объектами, то наличие магнитного потока никак бы не отразилось на сопротивлении этого кольца, поскольку никаких сил со стороны магнитного поля на электроны не действовало. Наш мир однако богаче и электроны имеют не классическую, но квантовую природу. Это проводит к тому, что волновая функция электрона приобретает дополнительную фазу, связанную с магнитным потоком, а кондактанс системы (коэффициент пропорциональности между током сквозь систему, и приложенным напряжением) становится периодической функцией потока. Данное явление экспериментально наблюдалось, например , в экспериментах Вебба с соавторами1. Однако способность электрона интерферировать подавляется множеством факторов, таких как взаимодействие с окружением, электрон-электронное и электрон-фононное взаимодействия, взаимодействия с магнитными примесями и др. В результате в системе возникает конкуренция между интерференцией и декогерентностью за счет взаимодействия, что приводит к появлению нового масштаба - длины декогерентности. Эта длина определяет, грубо говоря, расстояние, которое электрон проходит прежде чем забывает свою фазу. Если размер кольца больше длины декогерентности, то квантовых осцилляций кондактанса нет, поскольку интерфе-

'R. Л. Webb, S. Washburn, С. P. Umbach and R. P. Laibowitz, Observation of h/e Aharonov-Bohm oscillations in normal-metal rings, Phys. Rev. Lett., 54, 2696 (1985).

ренция подавлена взаимодействием. С практической точки зрения данная длина (которая безусловно зависит от температуры) определяет область температур и размеров кольца в которой на эксперименте могут наблюдаться интерференционные явления. Оказывается, что при низкой температуре основным фактором, определяющим длину декогерентности, является электрон-электронное взаимодействие, поэтому исследование влияния именно его представляет наибольший интерес .

Отметим еще одно необычайно интересное квантовое явление в металлических кольцах. Оказывается, что при наличии магнитного потока по кольцу течет ток (зависящий от потока). Этот ток является свойством равновесного состояния системы, а потому не приводит к диссипации энергии и не затухает. Теоретические2 и экспериментальные3 исследования незатухающего тока ведутся с 80-х годов прошлого века, однако, ясной физической картины до сих пор не существует. В некоторых экспериментах результаты измерений превышают теоретические расчеты (для системы невзаимодействующих электронов) на два порядка. В добавок к этому, направление тока, измеренное на эксперименте, не совпадает с теоретически предсказанным. По всей видимости, для корректного описания эксперимента следует учитывать электрон-электронное взаимодействие. Это еще одна демонстрация того факта, что детальное изучение конкуренции между электрон-электронным взаимодействием и квантовой интерференцией актуально в настоящий момент.

Целью работы явилось исследование влияния электрон-электронного взаимодействия на когерентные свойства систем в виде кольца, таких как осцилляции Аронова-Бома кондактанса и незатухающий ток. Помимо этого был поставлен фундаментальный вопрос о том, флуктуирует ли незатухающий ток и, если флуктуирует, то каким образом. Методы и подходы. В работе используются современные методы теоретической физики, такие как метод функционального интегрирования по полям, определенным на контуре Келдыша и непертурбативные вычисле-

2В качестве обзора см.: U. Eckern, Р. Schwab, Persistent Currents versus Phase Breaking in Mesoscopic Metallic Samples, JLTP 126, 1291 (2002).

3Один из недавних экспериментов: H. Bluhm, N.C. Koshnick, J.A. Bert, M.E. Huber and K.A. Moler, Persistent Currents in Normal Metal Rings, Phys. Rev. Lett. 102, 136802 (2009).

ния с использованием инстантонной техники.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.

Научная и практическая ценность диссертационной работы состоит в предсказаниях, которые могут быть проверены на эксперименте. Полученные результаты указывают область температур и размер колец в которых могут наблюдаться осцилляции кондактанса, как функции магнитного потока. Помимо этого предсказывается новое явление - шум незатухающего тока, которое может наблюдаться как в сверхпроводящих, так и в несверхпроводящих кольцах.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 6 статей в журналах из списка рекомендованных ВАК РФ, [1-6], а также одна статья послана в журнал.

Апробация работы. Результаты настоящего исследования были представлены на следующих научных конференциях и семинарах: VII Зимняя школа по теоретической физике, Дубна, 25 янв. - 5 февр., 2009; Международная конференция Quantum Phenomena at Nanoscale, Черногория, 30 авг. - 4 сент., 2009; XIV научная конференция молодых ученых и специалистов ОМУС-2010, Дубна, 1-6 февр., 2010; Международная конференция DUBNA-NAN02010, Дубна, 5-10 июля, 2010; семинары отделения теоретической физики Физического института им. П.Н. Лебедева РАН. Структура диссертации и объем работы. Диссертация содержит 148 страниц и состоит из введения, четырёх глав, заключения, библиографии, включающей 60 источников, и пяти приложений.

Краткое содержание работы

Во введении описана история вопроса и основные физические идеи, касающиеся квантовых когерентных явлений в металлических кольцах. Сформулированы задачи диссертации.

В первой главе рассматривается кольцо, состоящее из квантовых точек. Примеры таких систем изображены на Рисунках 1а и 2а. Сквозь кольцо проткнут магнитный поток таким образом, что внутри металла магнитное поле отсутствует. Основной интерес здесь представляет исследо-

вание осцилляций кондактанса системы как функции магнитного потока. Впервые подобное явление было предсказано в работе Альтшулера с соавторами4 и наблюдалось в экспериментах Шарвина и Шарвина5. Данный эффект тесно связан с явлением слабой локализации в неупорядоченном металле. Вначале рассматривается простейшая система, состоящая из двух квантовых точек, изображенная на Рисунке 1а. Гамильтониан данной системы имеет вид:

Я = £ +

+ £ Н,+ТЬ + ТЛ + Т, (1)

где Сц это матрица емкостей, Уь{К) - оператор электрического потенциала в левой (правой) квантовой точке,

/ ^„(гХЯи-е^^Ф^М,

Нм = Е / -

а=Т,4ЛГ/

- это Гамильтонианы для левого и правого берегов, УЬь.яь - электрические потенциалы берегов, которые зафиксированы внешним приложенным напряжением,

н3

= £ I <М^.(г)(Я,- - еЦ)Фа^г)

задает Гамильтонианы левой (] = Ь) и правой О' = й) квантовых точек и

А (РМ - ^М(Г))2 Я' =-2т--

- это одночастичный Гамильтониан в ^'-той квантовой точке с неупорядоченным потенциалом II(г). Перескоки электронов между левой и правой

4Б. Л. Альтшулер, А. Г. Аронов и Б. 3. Спивак, Эффект Ааронова - Бома в неупорядоченных проводниках, Письма в ЖЭТФ, 33, 101 (1981).

5 Д. Ю. Шарвин и Ю. В. Шарвин, Квантование магнитного потока в цилиндрической пленке из нормального металла, Письма в ЖЭТФ, 34, 285 (1981).

квантовыми точками описываются Гамильтонианом

Т= £ / ¿2г^(г)ФЦ(г)Фа,я(г) + с.с.].

Здесь интегрирование идет по всей площади обоих туннельных контактов Jl и ¿2- Гамильтонианы Тци), описывающие переходы электронов с берегов в квантовые точки и назад, определены аналогично. Отметим, что в нашем подходе электрон-электронное взаимодействие учитывается посредством операторов в эффективном Гамильтониане (1). Данный подход полностью эквивалентен подходу, в котором пишется стандартное выражение для Кулоновского взаимодействия в Гамильтониане системы. Операторы У^д, соответствующие флуктуирующим потенциалам в левой и правой квантовых точках, возникают в результате преобразования Хаббарда-Стратоновича. При помощи метода функционального интегрирования по полям, определенным на контуре Келдыша задача сводится к функциональному интегралу по разностям фаз на центральных барьерах, определенных как

<Рр,в№ = е/ с1т(у£в(т) - У['в(т)), (2)

В работе вычислено эффективное действие, зависящее от разностей фаз с точностью до второго порядка по кондактансам центральных барьеров. Этого достаточно для определения лидирующего вклада в осцилляции кондактанса. Ток сквозь систему вычисляется при помощи стандартной формулы:

/ = (3)

./ {ч

где классическая (р+ и квантовая <р~ компоненты определены следующим образом:

= + = (4)

В работе показано, что в рассматриваемом пределе,

9ь,5л » 1,да,да, (5)

данный функциональный интеграл достаточно вычислить в Гауссовом приближении. При этом оказывается, что существенный вклад в подавление

тока взаимодействием дают лишь флуктуации классической компоненты, в то время как флуктуации квантовой компоненты несущественны. В результате ответ для зависящей от потока поправки к кондактансу оказывается равен:

-<ав^\ _ е29п912^2 соэ(47гф/фо)

6GAB( Ф)

471*3

X Jdт1dт3в-I^-2,i'(Tl)-2,'(Ti)+ii'(T1-71,)+F(T1+TS)l (6)

о

где функция F(í) = — <р+(0))<р+(0)) есть коррелятор двух класси-

ческих компонент флуктуирующей фазы, 5 - расстояние между уровнями в квантовых точках, тд - время пролета сквозь квантовую точку. Зависимость амплитуды осцилляций кондактанса от температуры изображена на Рисунке 16.

а) б)

Рис. 1: а) Кольцеобразная система из двух квантовых точек, б) Отношение амплитуды осцилляций во взаимодействующем случае к невзаимодействующему результату как функция температуры при различных значениях безразмерного кондактанса квантовой точки д.

Далее рассматривается система, состоящая из многих квантовых точек, изображенная на Рисунке 2а. Для ее описания используется подход, разработанный Голубевым и Заикиным6. Они показали, что слаболокали-

eD.S.Golubev and A.D.Zaikin, Weak localization in arrays of metallic quantum dots: Combined scattering matrix formalism and nonlinear a model, Phys. Rev. В 74, 245329 (2006).

зационная поправка к кондактансу отдельного барьера имеет вид:

оо

= --^г ] + (1 - А)(С„,„(0 + Сп+1,п+1(0) +

о

где Ст>п.(^) - это куперон. Квантовая поправка к кондактансу всей системы может быть получена при помощи закона Киргхофа. Для случая Ыд < д^ рассматриваемого в диссертации, она дается выражением

КГ МЬ{М-Ь)д1 Ь{М-Ь)д\

Ю = (2Мд, + Ь(М-Ь)9у59 ~ -тЯ-"31' ^

В отсутствие электрон-электронного взаимодействия Ст<п(¿) удовлетворяет уравнению типа диффузии, которое имеет решение

С(о) (Л _ 2» е-^^-п)

га'п1) N ^У 2тг -што + е(д - 2Ф/Ф0)' 1У;

где е(д) — 1 — соэ В диссертации показано, что учет электрон-электронного взаимодействия приводит к следующей модификации купе-рона:

Ст,«(*) = (10)

Здесь - некоторая функция, выражающаяся через корреляторы флуктуирующих напряжений. Основной вклад в осцилляции кондактанса дают те траектории, которые хотя бы один раз обошли вокруг кольца. Характерное время, необходимое для такого обхода, порядка £ > Ы2та. Оказалось, что на таких временных масштабах взаимодействие приводит к экспоненциальному затуханию куперона со временем

С7т,„(*) « (11)

где

ТФ~\ Т»1/Мт0, [12)

- это эффективное время дефазировки в рассматриваемой задаче. Ее — е2/(2Сд). Ответ, полученный в первой главе диссертации для зависящей

от потока части кондактанса, может быть представлен в виде ряда Фурье:

оо

SGab = ^ №{к) cos (4тгА;Ф/Фо), (13)

где

fc=i

SGW = e*L(N-L)g4Pta + l-l3t)z_NM

(14)

В пределе Гф то имеем z « 1 + у/2тр/тф +..., следовательно 5GW ведет себя как

6GW <хе ""''V т* , (15)

т.е.при высокой температуре log \6G\ изменяется с N как TV3/2, в то время как при низкой температуре зависимость линейная. Зависимость от температуры первых трех гармоник изображена на Рисунке 26.

Тг„

а) б)

Рис. 2: а) Кольцеобразная система из N квантовых точек, б) Зависимость от температуры первых трех гармоник осцилляции кондактанса при дг = 500, д = 30 N = 10 Д = 1 и тв/тнс = 120.

Результаты, полученные в первой главе, позволяют сформулировать количественные предсказания относительно влияния электрон-электронного взаимодействия на осцилляции Аронова-Бома кондактанса для широкого класса неупорядоченных наноколец. Наиболее интересен случай большого числа квантовых точек N 1, который отражает все свойства наноколец из неупорядоченного металла. Для того, чтобы получить связь с этим важным случаем, в работе был введен коэффициент диффузии Б = (Р / (2т и определена электронная плотность состояний V = 1/(сРб), где с1 - это линейный размер квантовой точки. Это привело к следующему результату:

( е-\к\(£/£*) Г <£/(£<*),

е-\щс/сф)"> т ^ Г)/(£сг))

5G^

где периметр кольца £ = Nd, а эффективная длина декогерентности равна

Отметим, что в пределе высокой температуры Т D/(Cd) полученные выше результаты совпадают с результатами, полученными иным путем в работах Тексье и Монтамбу, Людвига и Мирлина7. Однако при низких температурах Т данные результаты отличаются. Это отличие вызвано насыщением Тф при низкой температуре, которое не было учтено ранее7. В данной главе был получен интересный результат, заключающийся в том, что в отличие от слабой локализации8 температура кроссовера между тепловым и квантовым режимами дефазировки зависит от длины кольца £. Это связано с тем, что только длинные электронные траектории, полностью огибающие кольцо, могут дать вклад в осциллирующую часть кондактанса.

Теория декогерентности электронов при низких температурах, подобная рассмотренной в первой главе, достаточно сложна. Основная проблема возникает из-за необходимости правильно учесть ферми-статистику для электронов. Однако, само явление декогерентности, по всей видимости, возникает и без подобных усложнений теории, а его физическая причина кроется во взаимодействии электрона с флуктуациями электромагнитного поля, созданного остальными электронами, движущимися в неупорядоченном потенциале.

Для того, чтобы качественно разобраться в физике данной системы Гинея9 предложил модель, которая отражает все основные свойства исходной проблемы за исключением принципа запрета Паули. Эта модель описывает квантовую частицу, движущуюся по кольцу с радиусом R и взаимодействующую с квантовым диссипативным окружением. Если в системе в

7Т. Ludwig and A.D. Mirlin, Interaction-induced dephasing of Aharonov-Bohm oscillations, Phys. Rev. В 69, 193306 (2004); С. Texier and G. Montambaux, Dephasing due to electron-electron interaction in a diffusive ring, Phys. Rev. В 72, 115327 (2005).

8D.S. Golubev and A.D. Zaikin, Quantum decoherence of interacting electrons in arrays of quantum dots and diffusive conductors, Physica E 40, 32 (2007).

eF. Guinea, Aharonov-Bohm oscillations of a particle coupled to dissipative environments, Phys. Rev. В 65, 205317 (2002).

T <£ D/(Cd), T » D/(£d).

термодинамическом равновесии присутствует декогерентность, которая не исчезает при температуре стремящейся к нулю, то должна существовать длина дефазировки Ь^, остающаяся конечной даже при нулевой температуре. При этом, все эффекты, чувствительные к квантовой когерентности, такие как, например, незатухающий ток будут подавлены, как только периметр кольца 2яЯ превысит Ь^.

Во второй главе диссертации рассматривается модель подобная той, что рассматривал Ф.Гинея, однако, с добавлением периодического потенциала для частицы. При этом исследуется незатухающий ток, который течет в кольце и зависимость данного тока от радиуса. Статистическая сумма системы представляется в виде одного функционального интеграла по угловой переменной в(т):

оо т= — оо

00 г2ж г2жт

= V / <190 Vвexp{2^timфx-S[в}). (16)

т—— оо ® ^

Здесь Р = 1/Г, фх — Фх/Ф0 и 2т - статистическая сумма с определенным числом намотки. 5[0] описывает эффективное действие для взаимодействующей частицы на кольце. Это действие состоит из двух частей,

= + (17)

Слагаемое

5О[0] = [ ¿г

■/о

1 /Э6>ч2

4ЕС \дт

— + Щ(1 - со5(кв))

(18)

представляет собой действие для частицы в отсутствие окружения. Член описывает эффект взаимодействия между частицей и окружением. Для модели, предложенной Ф.Гинея, он имеет вид:

Уо 7о 8иГ[7гТ(г-т')|

К{г) = 1 - 1 (20)

^ 4 г2 зт2(г/2) + 1

где а = 3/(8кр12) и г = Г{/1. Отметим, что интеграл, стоящий в уравнении (19) должен пониматься в смысле главного значения. В диссертации рассмотрен случай, наиболее соответствующий физической реальности 1/кр <С I С 2ттЯ/п. Первое неравенство в сущности показывает тот факт, что взаимодействие слабо (а -С 1), в то время как второе неравенство означает, что расстояние между соседними минимумами много больше чем I. Соответственно, параметр г = 11/1 удовлетворяет неравенству

г » К/2п. (21)

Отметим, что для вычислений оказалось удобно переписать функцию К (г) через ряд Фурье

ад = £>п5т2[^] (22)

п

со следующими коэффициентами: ап ~ (2/ят)1п(г/п) для 1 < п < г и ап и 0 - в остальных случаях. В диссертации рассматривается специальный случай внешнего потенциала

к2Ес « Щ. (23)

Физические выводы не зависят от этого предположения, однако, вычисления существенно упрощаются. Частица может двигаться по кругу лишь туннелируя между соседними минимумами в — 27гр/к и в = 2п(р± 1)/к периодического потенциала II(9). Каждое такое событие описывается хорошо известной инстантонной траекторией

4

<9(т) = - ап^ап(ехр(шт)) (24)

к

и соответствует частоте туннелирования А/2, где

1/2

А-о^) т

(25)

отсутствие взаимодействия инстантоны образуют практически невзаимодействующий газ, суммирование по всем конфигурациям которого привело к выражению для статистической суммы

^¿удсо (2б)

¿=1

откуда следует что при температуре Т Д ток равен

I = 1са{Т)81п(2пфх), (27)

где

еДк

1со(Т)= (2Т).-1к!1о(д/г)- (28)

Для низкой температуры Т Д/к2 ток сводится к простой формуле

-1/2 < фх < 1/2. (29)

/с ^ к у

Эта формула показывает, что при Т = О величина незатухающего тока пропорциональна Д, в то время как зависимость от потока сильно отличается от синусоидальной при всех к > 1. В частности в пределе к 1 эта зависимость превращается в пилообразную

I = 1саттп(фх - п), /со = 27геД/к2. (30)

В диссертации было показано, что значение действия на многоинстан-тонной траектории имеет вид:

к

¿¡„г[0(г)] = А-кагк/к -2а ^ »а^ъд&аь) 1п

а,6=1, а<6

где

д{ср) = + 2т:/к) + К((р - 2тг/к) - 2К(<р). (32)

Первый член описывает подавление туннелирования частицы между минимумами потенциала за счет взаимодействия. Он приводит к зависящей от радиуса перенормировке туннельной амплитуды

Д Дг = Ае~4™г/к. (33)

Оставшийся вклад в уравнении (31) описывает логарифмическое взаимодействие между инстантонами, которое возникает из-за наличия диссипа-тивного окружения. Это логарифмическое взаимодействие отсутствует при к = 1, когда д{ф) = 0. В диссертации данное взаимодействие было учтено в первом порядке по теории возмущений. Были получены следующие результаты.

8т[пТ(ть - та)}

, (31)

В случае одного минимума к = 1 логарифмическое взаимодействие между инстантонами отсутствует и ответ для тока оказался следующий:

/ = еАе~4паг в'тфтгфх). (34)

Этот результат применим при температуре Г С ш. Он показывает, что при к — 1 кулоновское взаимодействие дает экспоненциальное подавление незатухающего тока даже при нулевой температуре, если периметр кольца превышает эффективную длину дефазировки

Ьу ~ 1/а, (35)

которая определяется величиной взаимодействия а и не зависит от температуры. Отметим, что при отсутствии периодического потенциала получается точно такой же линейный масштаб10, на котором происходит дефази-ровка.

В случае к > 2 инстантоны взаимодействуют логарифмически. Ответ для тока следующий

/=/с(Г)8т(2тг^), (36)

где

1с(Т) = 1со(Т) 1~) е~4™г, (37)

а /со СО определено уравнением (28). Незатухающий ток экспоненциально подавляется при периметре кольца 2пЯ > Ь^ с независящей от температуры длиной дефазировки, определяемой уравнением (35). В то же самое время, предэкспонента в выражении для 1с зависит от температуры степенным образом 1с(Т) ос Т~^ с ц — к(1 — 2аК(2тт/к)) — 1. Отметим также, что качественно данное поведение при не очень низких температурах наблюдалось при численном моделировании системы без внешнего потенциала Щ — О10.

В пределе низкой температуры в диссертации получен ответ

10D.S. Golubev, C.P. Herrero and A.D. Zaikin, Interaction-Induced Quantum Dephasing in Mesoscopic Rings, Europhys. Lett. 63, 426 (2003).

где

2аК / и)

Дя = Аг

(39)

Данный результат позволяет сделать ряд наблюдений.

Во-первых, из зависимости Дд от г видно, что при Г = 0 и достаточно больших периметрах кольца незатухающий ток экспоненциально подавлен

В этом случае для любого заданного значения к можно ввести эффективную длину дефазировки при нулевой температуре:

Этот результат показывает, что в пределе малого взаимодействия (а <С 1) эффективная длина (41) оказывается приблизительно в к раз больше чем Ьф, то есть и 1/ак. Если же, однако, предположить, что к ос г, то никакой конечной длины дефазировки ввести нельзя, хотя незатухающий ток экспоненциально сильно подавлен взаимодействием даже при малых а благодаря условию (21).

Во-вторых, результат (38) показывает, что при температуре Г 0 влияние электрон-электронного взаимодействия сводится не только к перенормировке амплитуды туннелирования Д —>■ Ад. Заметим, что уравнение (38) также содержит дополнительные члены, вычисленные в диссертации в первом порядке по теории возмущений по а. Данный, зависящий от радиуса вклад первого порядка, оказывается сингулярным при значениях фх близких к ±1/2 и ко всем остальным полуцелым числам, что указывает на неприменимость теории возмущений, по крайней мере при этих значениях фх. Старшие порядки по теории возмущений могут содержать подобные (или даже более сильные) сингулярности, которые, вдобавок, могут расти с увеличением г. Следовательно, при Т —» 0 теория возмущений по а неприменима, в частности при больших г. Таким образом, в данном случае можно лишь констатировать тот факт, что взаимодействие способно привести к дополнительной зависимости незатухающего тока от радиуса г, вдобавок к получающейся из выражения для Дд. Вероятно, именно такая дополнительная зависимость наблюдалась в численном моделировании10

(40)

= Ь«рк(1 - 2аК(2тт/к)).

(41)

в случае JJq = 0. Кроме того, подобное поведение получается в точно решаемом случае, который рассмотрен в конце второй главы диссертации.

Хотя по своим свойствам незатухающий ток сильно отличается от дис-сипативного тока, протекающего в обычных проводниках при приложении напряжения, попробуем провести некоторые аналогии. Известно, что ток в проводнике шумит. В частности известен так называемый дробовой шум, связанный с дискретностью заряда переносчиков тока.

Третья глава посвящена исследованию вопроса о том, шумит ли незатухающий ток. Хотя конкретный вид зависимости мощности шума от частоты зависит от модели, общие свойства одинаковы. В качестве примеров в работе исследуются модель частицы на кольце во внешнем потенциале и модель частицы, взаимодействующей с диссипативным окружением. Гамильтониан частицы на кольце имеет вид:

я = + иф) + Нш(в, X) + Hbath(X). (42)

Здесь, помимо кинетической энергии и потенциала, в котором движется частица, мы добавили член взаимодействия с остальными степенями свободы Hint такими как, например, диссипативное окружение описываемое членом Hbath■ Отметим, что взаимодействие зависит лишь от оператора координаты, но не импульса. Оператор тока имеет стандартный вид:

i-i-j-^tbM- <«>

В диссертации исследуется шум незатухающего тока, который на языке формул описывается автокорреляционной функцией токов:

s(t) = \(тт+тНт = / ^„е-™. (44)

Здесь двойные скобки означают, что коррелятор приведенный, то есть {{AB)) = {AB) — {А){В). В начале третьей главы исследуются общие свойства данного коррелятора. В частности существенным является представление мощности шума через собственные состояния гамильтониана Н\п) = еп|п). Для мощности шума в диссертации получено выражение

= ¿ £ eit(e--e")|{m|J|n>|2(e-',e™ + е"*-) - (I)2, (45)

m,n

которое имеет следующий вид в частотном представлении:

= J Е l(Tn|i|n)|2(e-^ + + em - еп) - 2тгЦ>2%). (46)

m,n

В зависимости от того, какие собственные значения имеет гамильтониан, можно выделить два случая.

Первый случай соответствует системе с дискретным спектром гамильтониана. Тогда в выражении (46) можно выделить член пропорциональный 5(ш) и представить выражение для шума в следующем виде:

SL, = 2пР6(ш) + Su. (47)

Здесь используются обозначения:

Р = |][У'ет1Н/Н|2-(/>2, (48)

т

S* = I Е K»nU»l Vе" + + - еп). (49)

mjin

Подобная ситуация реализуется, если взаимодействие частицы с окружением пренебрежимо мало (Нш — 0). В этом случае спектр частицы на кольце дискретный и шум представляет собой сумму дельта-функций. Однако, на практике, невозможно реализовать одно единственное тонкое кольцо. В системах, на которых производят измерения, существует много каналов, по которым могут двигаться электроны. В каждом из каналов будут свои уровни энергии. Тогда, для шума всей системы, получим следующий ответ (< ... > обозначает усреднение по множеству каналов):

<Su>=2n<V> 6(и)+ <§ы>. (50)

После усреднения дельта-функциональная особенность на нулевой частоте остается, в то время как остальные дельта функции в сумме могут дать гладкую функцию < Su >. Данная ситуация проиллюстрирована в диссертации на примере модели частицы на кольце во внешнем поле.

Второй случай отвечает системе с непрерывным спектром. Такая ситуация реализуется, например, в системе, состоящей из частицы на кольце, взаимодействующей с баней из осцилляторов (Hint ф 0). В этом случае

дельта-функции расплываются, и мощность шума перестает быть сингулярной при нулевой частоте. В диссертации показано, что такое поведение связано с принципом расцепления корреляций. Иными словами, в такой системе </(<)/(0)> </(«)> </(0)> при I -» оо.

В случае нулевой температуры мощность шума имеет вид:

= тг 1Н-ФМ2 + - £ш) + + - ео)) • (51)

ш>0

Отсюда сразу следует, что на нулевой частоте (при нулевой температуре) шум равен нулю.

Первый пример, рассмотренный в диссертации отвечает частице на кольце в периодическом потенциале. В этом случае применяется метод функционального интегрирования в представлении Мацубары. Мощность шума находится при помощи аналитического продолжения с использованием флуктуационно-диссипативной теоремы:

вси -

=соШ ^уОЛ^о, (52)

где

оо

П(т) = (<Т/м(г)/м(0))) = Т £ (53)

п=—оо

- мацубаровский коррелятор. Для вычисления данного коррелятора в третьей главе вычисляется производящий функционал:

г. _, 0о+2тгто 13 - 2 ч

* £ е« / Ие-Н^"1"--"-^, (54)

т=-оо I

из которого все корреляторы находятся путем варьирования по источнику:

Как и во второй главе диссертации в третьей рассматривается случай глубокого потенциала такого, что частица движется перескакивая из одного минимума в другой. В приближении разреженного инстантонного газа производящий функционал оказывается следующим:

« А!<1тсов(:"'^Гк) + 1ап)кт-тг)4т1]

2[С]=Я>[С]5> V ° (56)

где Ло[С] - это производящий функционал для гармонического осциллятора. Из этого общего выражения в диссертации получено выражение для мощности шума

Su = 2TTP5(oj)

+ Е (8(Ы -П-ск)+6(Ш + П + е,)), (57)

к=1

где ек = (32U0A/Ü) cos (2тг(фх - к)/к) и е2Д2 fc=i

V

£ gin2 t~ 1 \ K /

k=1

е2д2 / £ sin (2sttj=a)

V fc=i /

(58)

Как уже указывалось выше в реальных экспериментах часто приходится иметь дело с кольцами, состоящими из множества каналов или ансамблями из колец, каждое из которых имеет свои параметры. На Рисунке За изображена зависимость мощности шума от частоты в случае ансамбля колец при нулевой температуре.

Далее в диссертации рассматривается система, состоящая из частицы на кольце взаимодействующей с диссипативным окружением. Диссипатив-ное окружение, имеет такой же вид, что и во второй главе. В этом случае оказалось более удобным использовать метод функционального интегрирования по полям хр(Ь) и хв(Ь), определенным на прямой и обратной частях контуре Келдыша. Функционал влияния11, полученный в диссертации имеет вид:

11 См., например, обзор: G. Schön, A.D. Zaikin, Quantum Coherent Effects, Phase Transitions, and The Dissipative Dynamics of Ultra Small Tunel Junctions, Phys. Rep. 198, 237 (1990).

а) б)

Рис. 3: а)Мощность шума как функция частоты для ансамбля колец. Частота измеряется в единицах Ее = 1/(2МЯ2). При этом {/о однородно распределено в интервале от 60Ее до 130Ее- На вставке показана зависимость производной по потоку от частоты, б) Мощность шума при нулевой температуре при различных значениях потока. Частота и измеряется в единицах Ее, а мощность шума в единицах е2 Ее / (4п2), константы а = 0.05, г = 5.

где

tf t,

00 Г Г 7гТ2

rt=1 ti ti " X cos(n(®c,(t) - xd(t'))) sin Sin (60)

и

t/

oo í

sg-cl[xcl{t),xq{t)\ + Sc¡-Ja:c'(t),xnt)] = -a]Ta„n / dtócí(t) sm(nxq(í)),

t¡

(61)

a xcí (t) и x4(t) - это линейные комбинации xF(t) и xB{t), определенные следующим образом:

xcl{t) = XF(t)+XB(t) = _

В работе рассматривается два возможных случае. Первый из этих случаев соответствует малым радиусам кольца, что позволяет использовать теорию возмущений по взаимодействию. В диссертации построена

диаграммная техника, из которой выводится уравнение на диагональную часть редуцированной матрицы плотности частицы (которая получается из полной матрицы плотности путем взятия следа про переменным окружения). Данное уравнение имеет вид:

г

д\V(t)) dt

j dt'S(t-t')\V(t')), (63)

где под |Vit')) подразумевается вектор-столбец, составленный из диагональных элементов редуцированной матрицы плотности частицы. Матрица S(t -1') определяется собственно-энергетической частью и в работе она была вычислена в первом порядке по константе связи. Это уравнение решается числено в частотном представлении откуда вычисляется мощность шума. Результат вычисления мощности шума при нулевой температуре приведен на Рисунке 36. Как и должно быть, при нулевой температуре мощность шума на нулевой частоте равна нулю. В диссертации также проведены расчеты при ненулевой температуре. В этом случае на нулевой частоте появляется пик, который с ростом температуры растет и становится все шире и шире. При высокой температуре есть лишь центральный широкий пик, который имеет форму лоренциана. Интересной особенностью является тот факт, что при низкой температуре мощность шума сильно зависит от потока, пронизывающего систему, что отражает наличие в системе квантовомеханической когерентности. Особенно сильно система шумит, когда поток становится близким к полуцелому значению, поскольку в этом случае в системе есть два близлежащих уровня, соответствующих разным значениям тока и частица быстро скачет между ними.

При высокой температуре или сильном взаимодействии с окружением в третьей главе используется квазиклассическое приближение. Незатухающий ток при этом экспоненциально подавлен. Результат для мощности шума следующий:

е27Ер , ш ,„..

С -wcoth—, (64)

ш 2тг2(ш2 + (^ЕсУ) 2 Т'

оо

где 7 = 2а апп2. В этом случае шум является некогерентным и поэтому

п=1

не зависит от потока. Также в конце третьей главы подробно проанализирован случай высокой температуры, который допускает точное решение.

Известно, что в сверхпроводящих кольцах, пронизанных магнитным потоком Ф течет незатухающий ток. Это явление есть следствие макроскопической фазовой когерентности, присутствующей в сверхпроводнике. И хотя причины возникновения тока в данной системе отличны от рассмотренных выше нормальных металлических колец, в задаче о сверпровод-нике можно поставить аналогичные вопросы. Например, шумит ли этот незатухающий ток, или как он подавляется за счет различных флуктуа-ционных эффектов? Если кольцо достаточно толстое, то флуктуационные эффекты несущественны. При уменьшении сечения кольца и близких к нулю температурах в кольце начинают возникать флуктуации, которыми, как известно, являются квантовые явления проскальзывания фазы. Именно эта область температур исследуется в четвертой главе диссертации. Низкая температура означает, что температура Т •С А, где А - это сверхпроводящая щель. В этом случае квазичастицы практически отсутствуют и поведение системы определяется динамикой фазы параметра порядка. В диссертации используется низкоэнергетическое описаниие в терминах фазы12, причем в тонком кольце фаза зависит лишь от координаты х вдоль кольца и от мнимого времени т. Эффективное действие в этом случае имеет вид:

S = JL J dxdr [v{dxyf + v-x{dTipf]. (65)

Здесь д = 7r2n!^0vDAs, где s-площадь поперечного сечения, А'о-плотность электронных состояний на уровне Ферми, D - коэффициент диффузии, а V = у - это скорость распространения низколежащей плазменной моды - моды Муи-Шона, а - проводимость металла в нормальном состоянии, С - удельная емкость провода. Для вычисления статистической суммы и различных корреляторов необходимо вычислить функциональный интеграл по переменной 93(1,г), имеющей смысл фазы волновой функции Куперовской пары. Поскольку фаза определена с точность до 2тгп, где п -целое, то и интегрирование необходимо производить по всем таким многозначным функциям. Таким образом, по временной переменной граничные условия ip(x, 0) = <р(х, ß) + 27Г7Л, где m - произвольное целое число. По пространственной переменной дополнительный набег фазы создает маг-

12См. обзор: K.Yu. Arutyunov, D.S. Golubev and A.D. Zaikin, Superconductivity in one dimension, I'hys. Rep. 464, 1 (2008).

нитное поле внутри кольца. Это приводит к тому, что граничные условия по оси х будут <р(Ь,т) = ,т) + 27Г(фх + п). Здесь фх = Ф/Ф^о, где Ф8с0 - сверхпроводящий квант магнитного потока, Ь = 27гЛ-периметр кольца. Как уже упоминалось, основную роль в данной системе играют квантовые явления проскальзывания фазы. Физически они отвечают процессу, при котором квант потока входит в кольцо или выходит из кольца. Математически это означает, что у классических уравнений движения существую решения типа квантовых вихрей. В диссертации строятся такие решения и показывается, что при учете всех возможных процессов со множеством явлений проскальзывания фазы, статистическая сумма равна

°° ЛТПП

2= £ е2™"^ / Vxe-S, (66)

т,п=—оо

где функциональный интеграл вычисляется по вспомогательной переменной х с граничными условиями

х(х,(8)-х(х,0) = 2тгп, х(Ь,т)-х(0,т)=2тгт. (67)

и действием

5=«к /+- к /-

/* , . . , 7г2Пе2^0РА5 Г , т2/ ч -7<№8 / ахат соэ(х)Ч--^- / ат^(т), (68)

в котором J(т) - это источник, варьирование по которому дает всевозможные корреляторы токов, а гучря - это частота явлений проскальзывания фазы, которая была вычислена в рассматриваемом нами случае грязного сверхпроводника Голубевым и Заикиным12.

Поле х определено на прямоугольнике в пространстве времени с размерами Ру х Ь. Если температура низкая, а размеры кольца малы, то этот прямоугольник сильно вытянут во временном направлении. Это означает, что эффективно теория становится нольмерной. В этом случае поле х практически не зависит от пространственной переменной, а значит производящий функционал будет иметь следующий вид:

°° ЛТП

■ ЗДг)]= £ е2*<т** / Vx(т)e-SoDWr)<J(т)] (69)

7П= — ОО

с действием

] <1т соз(х) +-^-] ¿г/2(г). (70)

Это есть действие для частицы на кольце в периодическом потенциале. Переменную х можно отождествить с флуктуирующим потоком. Эта задача была подробно исследована во второй и третьей главах диссертации в случае, когда член с косинусом является доминирующим. Необходимо лишь провести замену Ее ^ = ^^д0^ и [70 27гЛ7,ра, к н> 1. Отсюда сразу следует, что частота малых колебаний вблизи минимума потенциала Я = Пу/ШЩПА^у^ не зависит от радиуса. Из тождественности данной модели и модели, рассмотренной во второй и третьей главах в диссертации делается вывод, что сверхпроводящий незатухающий ток шумит. Причем этот шум когерентный, то есть зависит от потока. Далее в диссертации вычисляется мощность данного шума. В частности при нулевой температуре получен следующий ответ

е2тт2

^ = тг(1 + 2^ ~ Ен(1/2 + Фх)) + + 'Бл(1/2 + 0х)))

+ 7Г(1 е2-2фху {5{ш + ^ + ^(1/2 - *,))), (71)

при Uo ER и

с ^ ш ~ 2тг[/0

при С/0 > ER, где

(s(ui -ci-a cos(2tтфх)) + i (ы + fi + A cos(27t(jix))^ (72)

Un 8t/n

Д = 256y(73)

V 7Ш

В конце четвертой главы все параметры выражаются через = -

безразмерный кондактанс куска проволоки с длиной, равной длине когерентности

(74)

С/о =-£-е 4 , (75)

го

В заключении приведены основные результаты диссертации. В приложениях описаны полезные соотношения и приведены некоторые громоздкие выкладки.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Получены выражения для осцилляций кондактанса кольца, состоящего из металлических квантовых точек, как функции магнитного потока с учетом электрон-электронного взаимодействия. Оказалось, что электрон-электронное взаимодействие подавляет осцилляции даже при нулевой температуре. Показано, что существует два режима подавления в данной системе, классический и квантовый, причем температура кроссовера между этими двумя режимами зависит от радиуса кольца.

2. Изучено влияние электрон-электронного взаимодействия на незатухающий ток в модели частицы на кольце, взаимодействующей с диссипа-тивным окружением типа "неупорядоченный металл" во внешнем периодическом потенциале. При этом вычислена длина декогерентности и показано, что при низкой температуре взаимодействие приводит не только к перенормировке амплитуды незатухающего тока, но и к изменению формы зависимости незатухающего тока от потока.

3. Исследовано новое явление, флуктуации незатухающего тока. Мощность шума незатухающего тока вычислена в модели частицы на кольце в периодическом потенциале и в модели частицы на кольце, взаимодействующей с диссипативным окружением.

4. Показано, что мощность шума незатухающего тока зависит от потока в случае, когда в системе присутствует квантовомеханическая коге-рентость. При подавлении когерентности шум не исчезает, но перестает зависеть от потока.

5. Продемонстрировано, что эффективное действие, описывающее тонкое сверхпроводящее кольцо в котором существуют квантовые явления проскальзывания фазы, эквивалентно действию для частицы на кольце в периодическом потенциале. Вычислена мощность шума незатухающего тока в таком кольце.

Публикации по теме диссертации

[1] A.G. Semenov, D.S. Golubev and A.D. Zaikin, "Aharonov-Bohm oscillations in coupled quantum dots: Effect of electron-electron interactions" // Phys. Rev. B, 79, 115302 (2009).

[2] A.G. Semenov and A.D. Zaikin, "Persistent currents in nanorings and quantum decoherence by Coulomb interaction" // Phys. Rev. B, 80, 155312 (2009).

[3] A.G. Semenov and A.D. Zaikin, "Aharonov-Bohm oscillations in disordered nanorings with quantum dots: Effect of electron-electron interactions" // Physica E, 42, 600 (2010).

[4] D.S. Golubev, A.G. Semenov, A.D. Zaikin, "Weak localization, Aharonov-Bohm oscillations and decoherence in arrays of quantum dots" // Физика Низких Температур, 36, 1163 (2010).

[5] A.G. Semenov and A.D. Zaikin, "Fluctuations of persistent current" // принято к печати в J. Phys. Cond. Mat..

[6] A.G. Semenov and A.D. Zaikin, "Persistent current noise" // принято к печати в J. Phys. Conf. Series.

Подписано в печать {0{Х ( ""/О Формат 60x84/16. Заказ № 62 • Тираж^О экз. П. л. ^ Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 499 783 3640

Введение

1 Эффект Аронова-Бома в мезоскопическом кольце, состоящем из квантовых точек

1.1 Введение.

1.2 Система из двух квантовых точек.

1.2.1 Эффективное действие

1.2.2 Осцилляции тока.

1.3 Система, состоящая из N квантовых точек.

3.2 Общие свойства.71

3.3 Различные точные соотношения.73

3.4 Флуктуации в невзаимодействующей системе, вызванные внешним потенциалом .75

3.4.1 Корреляторы в представлении Мацубары.76

3.4.2 Производящая функция корреляторов.77

3.4.3 Коррелятор второго порядка.78

3.4.4 Мощность шума незатухающего тока .82

3.5 Флуктуации тока во взаимодействующей системе .84

3.5.1 Общий формализм.85

3.5.2 Теория возмущений .87

3.5.3 Квазиклассическое приближение.95

3.5.4 Точное решение в случае высокой температуры .99

3.6 Заключение.101

Флуктуации незатухающего тока в сверхпроводящих кольцах 103

4.1 Введение.104

4.2 Эффективное низкоэнергетическое описание.104

4.3 Квантовые явления проскальзывания фазы.105

4.4 Вычисление статистической суммы.109

4.5 Случай колец малого размера.111

4.6 Флуктуации незатухающего тока.113

4.7 Заключение.115

Заключение 116

Публикации Автора 119

А Усреднение по беспорядку произведения двух функций Грина 120

А.1 Диффузонный вклад.121

А.2 Куперонный вклад.124

А.З Вклад плотности состояний.125

А.4 Случай квантовой точки.126

В Квазиклассическое вычисление ширины нижних зон в периодическом потенциале 129

С Функционал влияния 132

D Корреляторы токов 136

Е Вычисления с сингулярными матрицами 139

Введение

Интерференция оказывает сильное влияние на транспорт электронов в мезо- и наноразмерных проводниках. В результате возникают такие необычные явления как слабая локализация, осцилляциии Аронова-Бома, незатухающий ток. Поскольку данная диссертация в основном посвящена исследованию систем, имеющих форму кольца, остановимся на их рассмотрении подробнее. Простейшей системой такого рода является одномерное кольцо. Электрон может двигаться по одному из двух каналов. Полная амплитуда перехода из точки А в точку В складывается из амплитуд движения по обоим каналам, а вероятность перехода есть квадрат модуля полной амплитуды. Допустим, что кольцо пронизано магнитным потоком. Это означает, что в самом кольце никакого магнитного поля нет, оно есть лишь внутри кольца. Если бы электрон описывался классической механикой, то такая конфигурация магнитного поля не оказывала бы на него никакого влияния, однако, кваптовомеханическая амплитуда перехода приобретает дополнительный фазовый фактор, где фаза связана с магнитным полем. В результате полная вероятность перехода начинает зависеть от потока, являясь периодической функцией с периодом, равным кванту потока Фо = Нс/е (везде в данной диссертации мы полагаем постоянную планка Н = 1, при этом Фо = 27гс/е). Это и есть эффект Аронова-Бома. Наличие примесей в кольце качественно не меняет картины. Возникает лишь ненулевая

-v 1 вероятность вернуться в исходную точку и дополнительный фазовый фактор связанный с конфигурацией примесей. С вероятностью перехода связана наблюдаемая величина, кондактанс, который есть коэффициент пропорциональности между током, текущим сквозь систему и приложенным напряжением. Таким образом, кондактанс рассмотренной выше системы оказывается периодической функцией с периодом, равным кванту потока. Это явление неоднократно исследовалось (см., например, работы [1, 9] и книгу [8]). Рассуждения, проведенные выше, относились к одномерному кольцу, однако, такую систему практически невозможно реализовать на практике. Попробуем разобраться, что же будет, если мы возьмем толстое металлическое кольцо. Качественно его можно представить как множество тонких колец-каналов, каждый из которых характеризуется своей конфигурацией примесей. Каждой конфигурации примесей соответствует свой фазовый множитель в амплитуде перехода. Это приводит к тому, что при рассмотрении кольца в целом все фазовые множители усредняются и полная амплитуда перехода перестает зависеть от потока. И действительно, осцилляции кондактанса с периодом Фо отсутствуют в толстых кольцах. Существуют, однако, осцилляции с периодом Фо/2. Для того, чтобы понять их происхождение вспомним, что кондактанс системы связан с вероятностью перехода из одной точки в другую. Согласно фейнмановской интерпретации квантовой механики амплитуда перехода дается суммой по всем траекториям от егБ, где б'-это действие на траектории. Тогда в вероятность перехода будут давать вклад пары траекторий. У большинства пар траекторий набег фаз совершенно случайный, что при суммировании дает ноль. Существует, однако, два класса пар траекторий, которые в сумме дают ненулевой вклад. Первый класс - это пары одинаковых траекторий, значения действия на которых одинаковы. При вычислении вероятности перехода фазовые факторы сокращаются. Суммирование по всем таким траекториям в квазиклассическом случае приводит к хорошо-известной формуле Друде. Второй класс пар траекторий - это пары обращенных по времени траекторий. Если траектория обошла один раз вокруг кольца, то помимо фазового фактора, связанного с движением в потенциале примесей, появляется фазовый фактор е27ггф/ф°, где Ф - это поток, пронизывающий кольцо. Обращенная по времени траектория содержит фазовый фактор е-27пф/фо. При подстановке данных выражений в вероятность перехода (которая суть квадрат модуля амплитуды) получается выражение ~ соз(47гФ/Фо), что означает наличие осцилляций кондактанса с периодом Фо/2. Данное явление тесно связано с явлением слабой локализации электронов в неупорядоченных проводниках. Именно обращенные по времени нары траекторий приводят в возникновению отрицательной (слаболока-лизационной) поправки к проводимости. Впервые дaннst (Фо/2) осцилляции кондактанса были предсказаны в работе [2] и наблюдены на эксперименте в работе [3]. Описанные выше качественные рассуждения, использующие фей-нмановскую интерпретацию квантовый механики, могут быть использованы для построения количественной теории. Впервые это было сделано в работе [12], где была рассмотрена наиболее интересная с экспериментальной точки зрения ситуация кр1 1, где кр - импульс ферми, а I - длина свободного пробега электрона. Для получения ответов авторы использовали квазиклассическое приближение. Описанные выше явления активно исследовались как теоретически, так и экспериментально во многих работах (смотри работу [11] и ссылки в ней).

Описанная выше физическая картина применима лишь в случае, когда в электронной системе отсутствуют взаимодействия. Примерами взаимодействий могут быть электрон-электронное, электрон-фононное и т.п. В данной диссертации мы рассматриваем случай низких температур, когда электрон-фононное взаимодействие практически не влияет на поведение системы в связи с отсутствием фононов. В этом случае основную роль играет электрон-электронное взаимодействие. Посмотрим, как оно влияет на осцилляции проводимости. Электрон-электронное взаимодействие при помощи преобразования Хаббарда-Стратоновича может быть стандартным образом превращено во флуктуирующее электрическое поле. Иными словами при наличии взаимодействия электрон движется во флуктуирующем поле, которое создается остальными электронами. За счет этого амплитуда перехода приобретает дополнительный случайный фазовый фактор. Полная вероятность перехода должна быть усреднена по данным случайным набегам фаз, что приводит к подавлению способности электронов интерферировать, а значит и уменьшаются все чувствительные к этому эффекты, в том числе и осцилляции кондактанса. Причем, чем длиннее траектория, тем сильнее вляние флуктуаций. Таким образом в системе возникает новый линейный масштаб Ьф - длина декоге-рентности. Траектории с длиной, большей Ьф не дают вклада в когерентные эффекты. *В случае кольца протяженность траекторий, дающих вклад в осцилляции кондактанса, ограничена снизу периметром кольца, поэтому, когда размер кольца превышает длину декогерентности Ьф, осцилляции кондактанса экспоненциально подавляются. Длина декогерентности зависит от температуры, поэтому, чем ниже температура, тем более явно будут проявляться эффекты когерентности. Однако, встает вопрос, о том, что происходит с длиной декогерентности при температуре, стремящейся к нулю. Если бы длина декогерентности бесконечно росла при уменьшении температуры, то для экспериментального наблюдения осцилляций достаточно было бы охладить систему до достаточно низкой температуры. Однако, теоретические [15, 23, 24, 25, 26] и экспериментальные (смотри работу [15] и ссылки в ней) исследования слабо-локализационной поправки к проводимости говорят о том, что длина декоге-рентности в данном случае остается конечной при температуре стремящейся к нулю. А это означает, что и Фо/2-периодические осцилляции кондактанса в металлическом кольце будут подавлены электрон-электронным взаимодействием, даже при нулевой температуре. В работах [30, 29] вопрос о влиянии взаимодействия исследовался при помощи подхода Альтшулера, Аронова и Хмельницкого [7]. Этот подход предполагает, что флуктуации электрического поля имеют Найквистовский вид. Это предположение верно лишь при высо1 ких температурах. В данной диссертации вопрос о поведении Арон-Бомовских осцилляций кондактанса будет исследован при всех температурах, включая нулевую, при помощи подхода, разработанного в работах [15, 14] для исследования явления слабой локализации в одномерных проводниках.

Другим интересным явлением в тонких кольцах является вознйкновение незатухающего тока. Эффект состоит в том, что среднее значение от оператора тока отлично от нуля и является функцией потока, пронизывающего систему. Таким образом в равновесном состоянии системы течет ток, являющийся бездиссипативным. Как и осцилляции кондактанса этот эффект является чисто квантовым. В силу калибровочной инвариантности ток в системе выражается через прозводную от гамильтониана по потоку I ~ Щ, а значит (I) ~ где Т - это свободная энергия системы. Таким образом, для того, чтобы существовал ненулевой ток необходимо, чтобы энергетические уровни системы зависели от магнитного потока, а значит этот эффект чувствителен к присутствию когерентности в системе. Рассуждения о влиянии взаимодействия, которые нами были применены выше к осцилляциям коидактанса работают и в этом случае. Из-за взаимодействия возникает линейный масштаб - длина декогерентности Ьф таким образом, что при периметре кольца большем этой длины ток экспоненциально подавлен. Теоретические [4, 5, 6, 49, 51, 52] и экспериментальные [46, 50, 53, 54, 551 исследования незатухающего тока ведутся с 90-х годов прошлого века, однако, ясной физической картины так до сих пор не было получено. В некоторых экспериментах результаты измерений превышают теоретические расчеты (для системы невзаимодействующих электронов) на два порядка. В добавок к этому, направление тока, измеренное на эксперименте не совпадает с теоретически предсказанным. По всей видимости, для корректного описания эксперимента следует учитывать электрон-электронное взаимодействие. В пользу этой гипотезы говорит тот факт, что поправка первого порядка по взаимодействию расходится, существенно увеличивая значение тока по сравнению с невзаимодействующим значением [5, 49]. Но в то же время это означает, что обычная теория возмущений по взаимодействию неприменима и необходимо искать другие способы для учета взаимодействия. Детальное описание реальной системы, учитывающее многочастичность, беспорядок и взаимодействие сложно, однако ключевые свойства взаимодействующей системы могут быть выявлены при исследовании различным моделей. Одной из таких моделей является модель частицы на кольце, взаимодействующей с диссипативным окружением, которое создается остальными электронами, движущимися в неупорядоченном потенциале. Данная модель впервые была предложена в работах [31], а исследование ее методом Монте-Карло было проведено в работе [35]. Однако, полного согласия относительно поведения данной модели при температурах близких к нулю нет до сих пор. В частности ренормгрупповое рассмотрение [31] предсказывает весьма слабое ~ 11~х подавление Арон-Бомовских осцилляций тока, где х ^ 1- В то же самое время моделирование методом Монте-Карло [35] дает ~ е~я/Ьф при не очень низкой температуре и ~ .й-1'8 при температуре стремящейся к нулю. В диссертации исследуется подобная модель, но с добавлением внешнего периодического потенциала. При этом потенциал выбирается в таком виде, что частица в нем движется в основном туииелируя между его минимумами.

При исследовании транспортных свойств различных проводников и квантовых контактов существенную информацию дает исследование не только кондактанса или проводимости образцов, но и изучение флуктуаций тока. Пожалуй самым известным примером таких флуктуаций является дробовой шум, который обусловлен дискретностью носителей заряда - электронов. Поэтому будет естественным поставить вопрос: "А флуктуирует ли незатухающий ток?". По крайней мере, при конечной температуре он должен флуктуировать, а вот вопрос о флуктуациях в пределе нулевой температуры требует детального исследования. С математической точки зрения исследование шума сводится к исследованию автокорреляционной функции токов £(£) = ^(/(¿)/(0) +/(0)/(£)) — (I)2. Ранее вопрос о флуктуациях незатухающего тока практически не ислледовался. В основном изучался средний квадрат тока, усредненный по реализациям беспорядка (см. например книгу [8]), из которого вычислялось типичное значение тока в ансамбле из множества колец, . в каждом из которых свой неупорядоченный потенциал. Нас же интересует поведение одного отдельного кольца, флуктуации в котором определяются динамикой системы. Такие флуктуации исследовались в работах [9, 32, 33], однако был исследован лишь случай высоких температур и совпадающих времен (то есть 5(0)). В Главе 3 будет показано, что флуктуации незатухающего тока отличны от нуля даже при нулевой температуре, если оператор тока не коммутирует с гамильтонианом. Такая ситуация реализуется практически в любой реальной системе. Существенное отличие флуктуаций незатухающего тока от флуктуаций диссипативного тока в проводнике состоит в том,, что они зависят от потока пронизывающего систему, а значит чувствительны к присутствию когерентности в системе. Когда когерентность в системе разрушается, зависимость от потока исчезает и флуктуации переходят в обычный пекогорентный шум, свойственный нормальным проводникам.

Рассмотренный выше незатухающий ток течет в несверхпроводящих кольцах. Однако, макроскопическая квантовая когерентность существует и в сверхпрводящих кольцах, в которых так же может существовать незатухающий ток. Если кольцо достаточно массивное, то флуктуациями фазы волновой функции куперовских пар можно пренебречь. В этом случае получается стандартное выражение для незатухающего тока, которое может быть'найдено во множестве книг I = е8п3тт(р + Ф/Ф5со), где 5-сечение провода, п3р сверхтекучая плотность и Ф5Со - сверхпроводящий квант потока, Ф6.со = Фо/2. При уменьшении толщины кольца флуктуации начинают играть все более существенную роль. Известно, что основными флуктуациями при температурах близких к нулю являются квантовые явления проскальзывания фазы. Они соответствуют событиям, при которых квант потока входит в кольцо или выходит из него. За счет этого незатухающий ток подавляется. Впервые влияние явлений проскальзывания фазы на незатухающий ток изучалось в работе [43] смотри также обзор [44]). В работе [10] были вычислены вероятности возникновения явления проскальзывания фазы. Как и в случае с незатухающим током в нормальных кольцах можно поставить вопрос о флуктуациях незатухающего тока в сверхпроводящем кольце. Насколько нам известно, до этого в литературе данный вопрос нигде не исследовался. Ему посвящена Глава 4 данной диссертации.

План диссертации следующий.

В первой главе диссертации исследуется влияние электрон-электронного взаимодействия на Фо/2 периодические Арон-Бомовские осцилляции кондак-станса в кольце, состоящем из квантовых точек. При помощи Келдышевской техники детально изучается случай двух квантовых точек. На данном примере можно проследить, что основной вклад в подавление осцилляций дают флуктуации классической компоненты стохастического электрического поля, возникающего в результате расцепления электрон-электронного взаимодействия при помощи преобразования Хаббарда-Стратоновича. Далее рассматривается случай многих квантовых точек. В результате получается, что существует два режима, причем температура кроссовера между этими режимами зависит от периметра кольца. Исходя из рассмотрения данной модели делаются предсказания о характере поведения осцилляций кондактанса, которые могут быть проверены на эксперименте.

Во второй главе диссертации рассматривается система, представляющая собой частицу на кольце в магнитном поле. Частица находится во внешнем периодичском потенциале с к минимумами и взаимодействует с окружением типа "неупорядоченный металл". Исследуется влияние взаимодействия на незатухающий ток. При этом внешний потенциал считается достаточно высоким, поэтому траектория частицы состоит из инстантонов - перескоков между ближайшими минимумами. За счет окружения инстантоны логарифмически взаимодействуют. При помощи теории возмущений по межинстантонному взаимодействию вычисляется незатухающий ток при различных температурах, исследуется декогерентность в данной системе.

Третья глава диссертации посвящена исследованию флуктуаций незатухающего тока. В начале главы исследуются общие свойства автокорреляционной функции токов и получаются различные точные соотношения для частных случаев. Затем, в качестве первого примера, рассматривается модель частицы на кольце в периодическом потенциале, аналогичная исследовавшейся во второй главе, но без взаимодействия с окружением. Далее рассматривается второй пример, частица на кольце, взаимодействующая с диссипативпым окружением типа "неупорядоченный металл". В обоих случаях вычисляется мощность шума, как функция частоты.

В четвертой главе диссертации рассматривается сверхпроводящее кольцо. Стартуя с эффективного низкоэнергетического действия для одномерного сверхпровдящего кольца и учитывая явления проскальзывания фазы задачу можно свести к исследованию теории синус-Гордон. В пределе малых колец она сводится к задаче о частице на кольце в потенциале ~ соб(^), то есть к задаче, исследовавшейся во второй и третьей главе диссертации. В заключение данной главы вычисляются флуктуации незатухающего тока в сверпроводя-щем кольце, вызванные квантовыми явлениями проскальзывания фазы.

Основные результаты данной диссертации заключаются в следующем.

1 Была исследована система, которая представляет собой кольцо состоящее из квантовых точек с магнитным потоком внутри. Были получены выражения для осцилляций кондактанса как функции магнитного потока с учетом электрон-электронного взаимодействия. Оказалось, что электрон-электронное взаимодействие подавляет осцилляции даже при нулевой температуре. Было показано, что существует два режима подавления в данной системе, классический и квантовый, причем температура кроссовера между этими двумя режимами зависит от радиуса кольца.

2 Было изучено влияние электрон-электронного взаимодействия на незатухающий ток в кольце в модели частицы на кольце, взаимодействующей с диссипативным окружением типа "неупорядоченный металл" во внешнем периодическом потенциале. Было получено выражение для тока при всех температурах включая нулевую. Было показано, что при низкой температуре взаимодействие приводит не только к перенормировке амплитуды незатухающего тока, но и к изменению формы зависимости незатухающего тока от потока.

3 Было исследовано новое явление, флуктуации незатухающего тока. Было показано, что ток шумит при всех температурах включая нулевую в случае, когда оператор тока не коммутирует с гамильтонианом. В качестве иллюстрации были рассмотрены невзаимодействующая частица на кольце в периодическом потенциале и частица, взаимодействующая с диссипативным окружением.

4 Было показано, что мощность шума незатухающего тока заивисит от потока в случае, когда в системе присутствует квантовомеханическая коге-рентость. При подавлении когерентности шум не исчезает но перестает зависеть от потока.

5 Было продемострировано, что эффективное действие, описывающее тонкое сверхпроводящее кольцо, в котором существуют квантовые явления проскальзывания фазы эквивалентно действию для частицы на кольце в периодическом потенциале. Это означает, что за счет квантовых явлений проскальзывания фазы незатухающий ток в сверхпроводящем кольце шумит. Мощность данного шума также была вычислена.

Благодарности

В заключение хочется выразить огромную признательность моему научному руководителю А.Д.Заикину за постановку интересных задач и за многочисленные обсуждения связанных с ними вопросов. Автор также признателен всем участникам семинара по теории твердого тела, проходящего в ОТФ ФИ АН за плодотворные обсуждения и полезную критику описанных выше результатов. Особенно важными для понимания были обсуждения с С.М. Апенко, В.В. Ло-сяковым, П.И. Арсеевым и Д.С. Голубевым. Ну и конечно же автор хотел бы отметить неоценимую помощь и поддержку со стороны родных и близких.

Публикации автора

1} A.G. Semenov, D.S. Golubev and A.D. Zaikin, "Aharonov-Bohm oscillations in coupled quantum dots: Effect of electron-electron interactions" // Phys. Rev. В, 79, 115302 (2009).

2} A.G. Semenov and A.D. Zaikin, "Persistent currents in nanorings and quantum decoherence by Coulomb interaction" // Phys. Rev. В, 80, 155312 (2009). {3} A.G. Semenov and A.D. Zaikin, "Aharonov-Bohm oscillations in disordered nanorings with quantum dots: Effect of electron-electron interactions" // Physica E, 42, 600 (2010).

4} D.S. Golubev, A.G. Semenov and A.D. Zaikin, "Weak localization, Aharonov-Bohm oscillations and decoherence in arrays of quantum dots" // Физика Низких Температур, 36, 1163 (2010).

5} A.G. Semenov and A.D. Zaikin, "Fluctuations of persistent current" // принято к печати в J. Phys. Cond. Mat.

6} A.G. Semenov and A.D. Zaikin, "Persistent current noise" // принято к печати в J. Phys. Conf. Series.

Заключение