Когерентные вихри и некогерентные пульсации в структуре турбулентного потока тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГ6 од

- я ли? да

ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 532. 517.4

Кузьккн Геннадий Андреевич

КОГЕРЕНТНЫЕ ВИХРИ И НЕКОГЕРЕНТНЫЕ ПУЛЬСАЦИИ В СТРУКТУРЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат . диссертации на'соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в Институте теплофязики СО РАЯ

Официальные оппоненты:

Доктор физико-иатехатичесхнх наук Моисеев С. С.

Доктор физжхо-хатехатических наук профессор Мумер с. Л. Доктор физико-катеиатических наук Ненировский С. X.

Ведущая организация - Институт проблей механики РАН

Згщхта состоятся г.

в часов на заседании специализированного совета Д 002.65.01 по защите диссертаций на соискание учено! степени доктора наук в Институте, теплофизики СО РАН (630090, г. Новосжбярск-90, проспект Акаденяка Лаврентьева, 1)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики СО РАН.

Автореферат разослав " $ Ме-^мл 1яяз г.

Ученый секретарь специализированного совета

д. ф.-м. н. ■!, Р. Г. Варафутдинов

К( у

1. Актуальность темы.

Сходство реализаций турбулентных течений со случайными функциями делает естественным широкое применение статистического метода. Наиболее простые статистические характеристики турбулентных полей - их пространственно - временные корреляционные функции. Келлер и Фрядкаи (1924) вывели бесконечную цепочку уравнений для корреляционных функций П!дродилзнг!ческих полей.

В последующие годы были затрачены большие усилия, чтобы из бесконечной цепочки уравнений Фрнднана-Келлера получить систеиу уравнений для ограниченного количества статкстэтесккх характеристик. Были получены относительно простые математические модели турбулентных течений- системы уравнений в частных производных для низших корреляционных функций турбулентиых полек.

Эти модели соответствовали состоянии научных исследований и удовлетворяла многим ярекнин практическим требованиям, но сейчас стала очевидной их недостаточность. Слабо обоснованы способы получения таких моделей. Часто это- весьма произвольный обрыз цепочки уравнений Фрядкана-Келлера для корреляционных функций, который эквивалентен пряблткогаиэ по числу Рейнольдса Я»1. Введение в теорию подгоночных полуэмпкрических псстояяньк лишь частично поправляет полояеяяе. Теории с малый количеством полузмпк-рических постоянных кэуниверсальны, а введение большого количества постоянных ведет к произволу, поскольку позволяет описывать различные процессы, па сообразуясь с их фязическикя механизмами. Учет корреляционных функций высших порядков также не спасает положения. Несколько больная универсальность кодеяк не окупается сильным усложнением системы уравнений.

Лшпь в последнее время стала (до некоторой степени) ясна причина больших трудностей в построении тзорна турбулентности. В физике известны случаи, в которых взаимодействие степеней свободы -сильное, а теория вознущений -неприменима. Примеры таких систем -плотные газы и жидкости, снстемл, Еспшывазощка фазоиый переход второго рода, сильно взаккодействующие элементарггые частицы. К таким систенак относится к гидродннаническая турбулентность, с так отлнчкек, что имеется ряд факторов, дополнительно усложняющих постановку н решение задачи.

Наиболее развитым методом анализа задач и области фаз яки сильных взаимодействий, служит аппарат квантовой теория поля. Возможность работать с любыкн порядканя тооркя возмущений, выполнять пересукннросанкя бесконечных рядов и наглядность методов

3

теории поля делают весьма перспективный его использование и в теории турбулентности. Уравнения, полученные для турбулентных течений этими кетодами (Крейчнан (1959), Уайлд (1961), Татарский (1962) и др.) выгодно отличаются от цепочки Фридмана -Келлера. Для конечного количества статистических характеристик получается точно такое же число уравнений. Проблема замыкания формулируется теперь иначе, а ее решеняе уже не выглядит столь безнадежным делом. Правые части уравнений имеют вид рядов по искомым функциям. Требуется найти условия возможности обрыва этих рядов и решить полученные уравнения.

Применение методов теории поля в теории турбулентности осложняется рядом специфических эффектов. Энергия развитого турбулентного движения генерируется в крупномасштабных вихрях из-за их взаимодействия со среднян профилем, передается вихрям меньшего масштаба а диссипируется в тепло. В течение долгого времени такое описание неханизна генерации я диссипации энергии турбулентности считалось достаточным. Не было попыток, детального описания вихрей, участвующих в каскаде энергии, а также описания их взаимодействий и разрушения. При построении математических моделей турбулентности использовались интуитивные представления о вихрях, как о «молях», «глобулах», и т. п. . Предполагалось, что кх взаимодеЁсвие аналогично столкновениям квазичастиц в кинетической теории.

Л. Д. Дандау (1943), А. Н. Колмогоров (1962), A.M. Обухов (1962), А. И. Яглом (1966), Е. А. Новиков (1971) и др. показали, что свойства подобия мелкомасштабных турбулентных пульсаций оказываются нарушенными эффектами перемежаемости. Анализ свойств подобия затрудняется фиктивными взаимодействиями турбулентных пульсаций, связанными с простым переносом вихрей малого масштаба большими вихрями (Кадомцев (1964), Крейчнан (1964)). Сама схема дробления крупных вихрей на мелкие подвергается сомнению, поскольку не подтверждается результатами прямых численных эксперз-

v

центов. Вместо этого наблюдается образование областей с повызен-ной завихренностью, либо ее резких градиентов под воздействием непосредственного окружения. Ландгрен (1982) показал, что спектр Колмогорова- Обухова получается в результате эволюция единичной спиральной вихревой структуры. Необходимость детализации описания актов взаимодействия иллюстрирует сложность проблены турбулентности я выделяет её среди других подобных задач.

■С настоящему времени сложилось вполне удовлетворительное

4

понимание наиболее важных проблем, которые подлежат решению. К числу таких проблем относится развитие методов теории поля для решения задач гидродинамической турбулентности. Другая проблема - выявление свойств вихревых организованных структур и их учет в статистических теориях турбулентных течений.

2. Цель работы заключается в развитии методов исследования вихревых когерентных структур, а также в обосновании и развитии нетодов теории поля для описания некогерентной турбулентности.

3. Научная новизна. В исследованиях последнего времени получены убедительные свидетельства, что за простыни корреляционными характеристиками турбулентных потоков скрывается обширный круг явлений, связанный с вихревыми квазиорганизованныкн (когерентными) структурами. Выявлена их существенная роль в механизмах зарождения и развития турбулентности. С другой стороны, для решения задач статистической гидромеханики успешно применялись методы квантовой теории поля.

Исходным пунктом настоящей работы служит описание течения жидкости в терминах полей, обладающих калибровочной свободой. Преимущества новой формы уравнений гидродинамики реализуются при построении математических моделей вихревых квазиорганнзованных структур, и при решении задач статистической гидромеханики.

На защиту выносятся следующие новые результаты.

Определена плотность импульса Ламба идеальной и вязкой жидкости, а также стратифицированной и проводящей жидкости в присутствии магнитного поля. Для плотности импульса Ламба выведены уравнения движения, математически эквивалентные уравнениям классической гидродинамики. Выявлены основные преимущества новой формы уравнений гидродинамики.

Показано,- что эволюция плотности импульса Ланба тесно связана с геоиетркческини свойствами деформирующейся сплошной среды. Для идеальной жидкости яз полученных уравнений найден набор лагран-жевых инвариантов, которые определяют топологические свойства организованных структур. Показано, что плотность импульса Лакба обладает определенной калибровочной свободой, что позволило определить ее так, чтобы она была отлична от нуля только внутри организованных структур. Теи самым удается отделить организованные структуры от потенциальных полей, которые они индуцируют в окружающем пространстве.

В инерционном интервале калибровочная свобода позволила 1 расширить масштабную инвариантность до конформной а решить за-

5

дачу об определении трехточечных корреляционных функций с точностью до констант. Для стратифицированной жидкости плотность импульса Ланба разделена на компоненты, соответствующие различным формам движения. На этой основе построена простая модель движения стратифицированной жидкости, в которой локализованные структуры взаимодействуют с волнами.

Для статистически равновесной турбулентности новая формулировка уравнений позволяет учесть дополнительные инварианты и снизить степень произвола, связанный с введенной конечнонерной аппроксимации при построении ансамбля Гнббса.

РепС21а задача об эволюции диффузного ламинарного а турбулентного вихревого облака в вязкой жидкости. Использование пространственных моментов плотности имульса Ламба в качестве колк-чествениых характеристик вихря позволило получить модель, которая трабует весьма ограниченных ресурсов ЭВК. В то же время, решения уравнений вполне сопоставимы с результатами громоздких численных эксперимэнгов.

Решена задача об эволвции ввхря в высокотемпературной плазме. Показано, что вкхрк могут существенно повлиять на баланс энергии плазжл при ее адиабатическом сжатии. Выявлено влияние вращения на рэник нагрева н остывания плазнемного зихря.

Сформулирована гипотеза маептабиой и конформной симметрии локальной структуры турбулентности. Найдены масштабно симметричные корреляционные функции а функции отклика. Рзшекы уравнения для конформно сиинетркчноВ трехточечной корреляционной функции. Определена зависимость от вреиенл излкоиасштабных корреляций.

Построено представление взаимодействия для пульсаций скалярной пассивной примеси н для скорости из иаерцконного интервала масштабов. Показано, что с представлении взаимодействия задача о спектре турбулентности приобретает универсальный вад я имеет колиогоровское релхэкие в инерционном интервале. Построена форма уравиеш£, подобная условию унитарности квантовой теории поля, которая применена для решения задачи о спектре энергии в интервала диссипации. Выведено уравнение для среднего отклика скорости в турбулентной жидкости. Получено новью тождества типа тождеств Уорда.

Выявлен эффективный параметр разложения рядов для полных функция Грана. Изучен резни слабой а сильной связи пульсаций в интервале дзссипавдш энергии. Найдено универсальное анизотропное решение для спектра дкеенпативных гармоник. Выявлена хаотязаняя

6

фаз диссипативных гармоник. Тем самым, обоснована модель турбулентности в интервале диссипации, как суперпозиции когерентных структур и некогерентных пульсаций.

Изучен особый вид турбулентности, в которой пульсации статистически равновесны. Построен равновесный ансакбль для двумерной и геострофической турбулентности. В этом ансамбле учтены инварианты движения, которые ранее упускались из виду. Показано их существенное влияние на вид равновесного распределения. С использованием формы уравнений гидродинамики в терминах плотности импульса Ламба метод построения ансамблей обобщен на трех-нерные течения.

В ранках простой модели статистически равновесных вихрей изучена эволюция свободного сдвигового слоя к автомодельному режи-ну. Показано существенное влияние дальнодействия вихрей на форму автокодэльных вихрей. Изучено установление автомодельного режима в цепочке кластеров из статистически равновесных вихрей.

Научная и практическая ценность работы состоит в возможности применения разработанных в ней методов для математического моделирования развитых турбулентных течений.

Новая формулировка уравнений гядродннаники может служить эффективным инструментом исследования свободных и пристенных течений жидкости, генерации волн вихревыми структурами, применяться для численного моделирования вихревых когерентных структур. Пространственные моменты плотности импульса Ламба можно использовать для идентификации вихревых структур.

Переход в представление взаимодействия необходим для обоснования колмогороаских зависимостей. Формулировка гипотезы подобия в терминах алгебры флуктуирующих полей и гипотеза конформной инвариантности могут стимулировать новые направления экспериментального исследования локальной структуры турбулентности.

Выявление физического смысла параметра разложения диаграммных рядов, оценка влияния следующих за главным членов разложения служат основанием возможности применения методов теории поля в широком круге задач свободной и пристенной турбулентности.

Полученные результаты могут послужить исходным пунктом исследований перенежаекоста в области малых масштабов. Обнаруженная хаотизация фаз гармовяк Фурье в днеенпатквной области стимулируют исследования аналогичных эффектов в инерционной области масштабов. ,

Методы равновесной статистической механики можно использовать

7

для моделирования организованных вихрей в свободных течениях, а также крупномасштабных зихрэй в атмосфере ■ в океане (циклонов к синоптических знхрей в океане).

Достоверность полученных результатов. Левая форма уравнений гидродинамики получена на основе ясных физических предположений, а затаи выведена строгими математическими- преобразованиями пз систеяы уравнений классической гадродинакккк. Уровень строгости решения задач нэтодани теории поля типичен для такого круга задач в других областях физики. Дополнительной проверкой достоверности результатов служит ах сравнение с экспериментальными данными. Результаты численных расчетов вихрей в вязкой исндкостг сопоставлялись с имеющимися данкыиг лабораторных и численных экспораконтов. Аналитические вьиздадкн проверялись на ЭВМ, с помощью систо;ш аналитических вычислений REDDC3. Точность расчета плазменного еахря контролировалась сравнениями с результата!«! расчетов других авторов для п-паззщ без вращения, а такие по вы-нопнетога закопав сохранения различных величин.

Аляр&бацля работы. Результаты работы докладывались х:з сешша-рах под руков. академика П. Л. Дсснтовича (Яосква 1970); академика Г. Л. Петрова, (НИИ 11ЕХ ИГУ, Москва 1981) ; академика Н. И. Кненко (Новосибирск 1983); акаденкка Л. В. Овсянзгекова (Но-вссаб::рск 1933), некинстятутско.ч секинаро по проблене -еТурбу-лсштнссть> под руководство:! академика С. С. 1Сутателадзо (Повое:;-блрек 1982), а тшс,т;э на конференциях -ка Скипозкулэ «Погрангчгтае сдо;< в гь-офхз;:ке>. Ленинград, 1970; Екало «Числошыв лотоды п механике спложых сред;-. Кахадкола 1979; -Еколе «Нелшшйиие задачи те ории гидродинамической устойчивости:». ( Иосква 1982, 1933) ; -Ехоле -¿Пэтоды гидрофизических ясследованиа». Солпочцо-гсрск 19S6. - 1к <3 Всесоюзной копферекзцяя по проблемам турбулентных течении» Жданов 1986; - ка Всесоюзной конференции «Проблемы стратифицированных течений», шрнала 1986; - ка Кездународ-Hoii с:»шозну.че «Латенатпчвское ноделироватаэ процессов в энаргэ-ткческах установках (Mathematical Modelling and Computer Sinrala-tion of Processes in Enargy Syotsias)> Сараево, Югославия 19SS; -на Всесоюзной школе-семинаре но гидродинамической устойчивости к турбулентности. Новосибирск 1988; -ка Пятой конференция Европейского физического общества по иадкону состоянию (5-th EPS Liquid State Conference (on turbulence)), Москва, 1989; - на Лепдународнок совещании -гРэноригругша-Э!» Дубна 1991; -па Международном сякпозкуне «Генерация крупнокасштабкых структур в

8

сплошных средах», Периь-Москва 1990; -на Третьей Европейской конферонцяк по турбулентности. Стокгольн, Швеция, 1990; -на Четвертой Европейской конференции по турбулентности. Делфт, Нидерланды, 1992; -на Совкесгнон по СИГ семинаре «Гидродинамическая устойчивость и турбулентность». Ална-Ата, 1992.

публикации. Содержанке диссертации изложено з работах Кузьнина (1971-1993), Кузьнина к Лихачева (19Т9), Кузьмина, Лихачева к Паташинского (1983), Кузьнина и Паташинского (1972 -1992).

Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из предисловия, 6 глав, заключения к списка цитируемой литературы из 175 названий. Объем диссертации составляет 193 страниц, в тон число 175 страниц основного текста, 19 рисунков ка 8 страняцах и 19 страниц списка литературы.

СОДНРКАНЯП ДИССЕРТАЦИИ

В предг.сяовнк анкотнроваиа цель работы к основные полононая, которые выносятся из. зещату.

Во введении содоркктся краткий обзор литературы н иотлекровка исследований по каждой нз глав, Вяхревыэ структура т-гндуцирутэт в окружающем пространства пеля скорости, которые лесть стспэнкхк образок спадают прл удалении от зяхряй. Одна яз цело? диссертации - вывод более локального оппсэяяя двкиения ^идкостп, котороз было бы какеккалыю приспособлено дяи исследования ЗЕхровьк: структур к их ззаячодзйствий с другими форнакп дпюхекяк ккдкос-те. Во вводвшш выполнено прэдварцтольное обсукдонко форнулкров-ics гидродинамики о Теркина:: плотнзетк кнпульса Лпнба.

ir.aii известно, в^зфа^о сгусткп пнепт иктаграпыгвгэ сохраняющиеся характеристики- внпульс Ланба ¡3 и нононт зкпульег 3

$ •» ^ d¥(£), (1) 3 - i JrxrxsS dvfr) , (2}

Импульс Ланба опродгляется иак импульс скяы. Koxopid: пеобходгн для мгновенной генерации данного вихря. Он соше.даат с интегралом от плотности обычного кипудьса pi, если яз кзго вычесть некоторую бесконечную константу. Естественно возлпкавт запрос о введении ппоатосаи икпупъса Ясмба, для которого ?ai:oo гьгейташт выполнять на требуется. В работе рассматривается насколько способна ввэденяя такого поля а уравнений движения для него. Во

9

введении рассмотрен газ малых вихрей. Уравнения для инпульсов Ламба вихрей получены ранее Ладиковьш-Роевым (1971), Робертсом (1972), Яненко, Веретенцевым и Григорьевым (1973). Во введении выполнено сглаживание полей для газа вихрей и получено уравнение

для плотности импульса Ланба <|

dq вq aq Зи

аг- - те- + и1 азг - ш; - <3>

где )сЮ(2') (4)

сглаженная скорость.

Уравнение (3) полностью определяет коллективные движения системы вихрей. Для двух векторных полей <|, 2 инеется два векторных уравнения (3). (4). Одно иг уравнений - (4) - есть кинематическое условие. Оно показывает, что поле скорости - есть соленоидальная проекция плотности импульса Ламба.

<11V ^=0 , (3)

где Ф - некоторое скалярное поле.

Непосредственная проверка показывает, что система уравнений (3), (4) эквивалентна уравнению Эйлера. Поэтому (3),(4) дает альтернативную формулировку уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Уравнение (3) показывает, что поле <| меняется вдоль лагранжевых траекторий частиц жидкости подобно дифференциальному элементу площади. С другой стороны, завихренность ы эволюционирует подобно дифференциальному элементу^длины. Их скалярное произведение (<|. Й) подобно должно быть инвариантным вдоль лагракаевых траакторий. Действительно, простая проверка показывает, что с1(с|.Й}/сИ: ■= 0, то есть плотность спаральностк (<|.Й) = (<|.го^) - есть лаграннев инвариант. Для поля скорости, как известно, выполняется болов слабое свойство; интегральная спиральность инвариантна во времени. Другие свойства новой переменной и уравнений для нее рассмотрены в главе 2.

Во введений выполнено также предварительное обсуждение спосо-. бов сокращенного описания вихревых структур, применения нотодоз теоряи поля в статистической гидромохашке а статистически рав-новасной турбулентности!

В главе 2 излагается формулировка гидродинамики однородной а стратифицированной жидкости а терминах плотности импульса Лайба,

а также рассмотрен учет вязкости и магнитного поля (если жидкость электропроводная). Приведена схема поиска лагранжевых инвариантов и получена ганильтонова форма уравнений идеальной неоднородной жидкости.

Движение вязкой жидкости описывается уравнением (3), к правой части которого добавляется слагаемое i>Aq, а поле ф в (5) удовлетворяет уравнению

d^/dt = V/p - uz/2 + vitj>.

Плотность импульса Ланба стратифицированной жидкости полагается равной плотностя силового импульса, который требуется для мгновенной генерации заданного эдвиженяя. Связь с полок скорости дается равенством рЙ а-Чф +<|. Уравнение для нее содержит слагаемое, учитывающее стратификацию

dq' = „ auJ * fe* du 1 Aap

HF" ° аЗГ + ap ~7U Jaf

Здесь П -функция плотности, которая выбирается так, чтобы покой являлся тривиальным решением уравнений движения. Полная плотность импульса Ланба разбивается на компоненты, соответствующие волнам и другим формам движения жидкости

5 =AVp + <|' рЙ— VA + AVp + q', (6)

dir tt=di г [ () p ] =0 Скалярные потенциалы ф, А удовлетворяют уравнениям, которые ранее былк получены Гончаровым, Павловым и Красильнековын, а также Всроновичем для поверхностных и внутренних волн

^ =P+pf2- \ риг+П(р) (7)

dAdt =-uz/2 +dn/dp +qi (8)

Кроме того, в систему уравнений входит компонента <!'• которая описывает неволновые формы движения жидкости

dq' Эи

at1 - 3xf (9>

В неоднородной жидкости завихренность не является вкорогенным полек, но существуют другие поля такого типа, например, поля rotef'. В главе выводятся другие вмороженные поля и лагранжевы инварианты. Полученные инварианты родственны инвариантам Холкана, Схена их поиска ранее использовалась Холлманон, а также Моисеевым, СагдОавын, Туром в Яновскнн. Включение в эту схему поля делает ее более сикметргчной.

В главе 2 также получена неканоническая гамильтонова форма

уравнений двиненкя неоднородной жидкости. В лагранжевых переменных возможна каноническая форма уравнений. Обсуждается связь уравнений для полей ч'.А,ф с известным представлением Вебера. Представление Вобора отвечает такой калибровке потенциалов, в которой начальное поле плотности импульса Ламба совпадает с плотностью обычного импульса. При такой калибровке невозможно определить локализованные организованна структуры, поэтому она не является оптимальной.

В главе 3 рассмотрена эволюция п взаимодействие организованных структур, а такае их идентификация. Каждая из структур должна быть описана максимально зконо.чнын образом. За количественные характеристики структур приняты пространственные номенты плотности ямпульса Ламба. Простейыие такие характеристики - импульс л угловой момент импульса (1),(2). Другие моменты описываэт внутренние степени свободы вихрей, такие как нульткполызые деформации, скрутки, к тому подобное.

В главе выведены уравнения эволюции для моментов низкого порядка набора малых структур в однородной зз стратлфлцзрозапяой жидкости. В задаче имеется малый параметр - отношение характерного размера структур к расстояние исжду нини и длине волн. В силу малости размеров структур можно таю;:о пренебречь в высокими производными индуцируемой скорости. В низшем пряблтшэнли получается система уравнении

¿р^'/йъ г-.уех, (Ю)

которая по форме совпадает с полученной ранее в однородной жидкости. Отлэтие состоит в ток, что п скорость да»т теперь вклад внутренние волны, оаолхцая которых описывается уравнением (8). Систему уравнении (7)-(10) необходимо дополнять уразнзкп.чки озогоздии ксорданат иогеренньпс структур

сй^/аЬ +\У •',

где и' - компонента скорости, индуцируемая другшга когерентный;; структурами п волнаия, а V/'саяоЕиду'цкрованная скорость.

Саиоиндуцнроэаиния скорость выражается через пространственные моменты, которые удовлетворяют систег.е обыкновенных дифференциальных уравнений. Наряду со стацкскэ.рныг;;! репенаяни в работе кзучош численные нестационарные резаная для равлэтких начальных услоаяй к значений чксла Рейкольдса. При низкхаг числах Рейпольд-са начальные дофориацки вкхреаого сгустка апераодгпшски. При больких числах Рейиольяса наблздаэтся затухшоцис комобашш. Ргхс-

12

смотрены колебания турбулентного вихревого облака и сброс вихревого импульса в след. Рассмотренная модель вихрэвого облака допускает возможность неограниченного уточнения списания эволюции вихря. В то жо вреня, уже в низших приближениях она приводит к правильным качественный результатам, которые известны по результатам громоздкого численного счета вихрей.

В данной главе рассмотрена таюкэ идентификация простейших вихревых структур по ¡;х пространственным моментам, для заданных конфигураций завихренности вычислены пространственные моменты и проанализированы .характерные признаки, соответствующие заданным конфигурациям. Моменты также моино использовать для изучения локальной организации течения в окрестности лобой точки. Это. может оказаться полезным при поиске "ключевых структур" в потоке (Кузькин п Патапмнскнй (1991)). Клшчзвыхя структурами были названы такие конфигурации течания", в которых с наибольшей верояткостьо гензр;:руэтся движения малого масштаба. Для их выявления необходимо знать локальную организацию тзчення в окрестности каждой точки потока. Корреляционный анализ тензорных номентов с полем диссипация энергии кокет дать необходимую информации о ключевых структурах.

В главе 3 рассмотрено влияние вихревого движения на тепловой баланс горячей плазмы. Высокотемпературная плазма обычно турбулентна, то ость в ней возбужден большой набор разлггакых степеней свободы. Хаотическое вяхрезое двзконие сосуществует с кагнятогидродянакхческиии (КГД) волнам::. В квазкстационарнои состоянии иге совокупное воздействие состоят в значительной интенсификации процессов тенлоизссообкека. Представляет опродэпбн-ный интерес влиянке вихревых органазованкдг структур на нагрев плазмы пря её адиабатическом сжатия.

В турбулентной плазме возможны различные виды вкхревьс: орга-нкзозанЕЫх движений. Некоторые кз них могут походять на набор стецЕонарных решений Иафракова (1957). Чандрасекара (1961) Соловьёва (1963). В зтях течениях плазка движется вдоль силовых линий кагиатного поля. Патвиашвили, Похотэлов я Чуд-jii (1982) нашли стационарные решения МГД уравнений в е?!до различных тороидальных внзерай. В одном из рассмотренных ккп течений скорость плазмы имеет только полоидальиуа коюзоненту, а кагнатноо поле - как полоидзльную, так й тороядалънутэ конпоиэиты. Авторы отпотк.та, что ксследэвагшьт пни вкхревыэ структуры могут быть сущ зстсеккда кокпонэнтси 21ГД т у р бул е кт по с т п нотщагх квазнма-

13

ционарных плазмостатических и плазмодинамических ловушках.

Сжатие плазмы является одним из возможных способов создания плазмы, в которой могут протекать реакции термоядерного синтеза. Влияние вихревого движения на режим нагрева плазмы иллюстрируется. простыи примером цилиндрического плазменного вихря. При адиабатическом сжатии цилиндрического плазменного шнура тенпера-тура растет с уменьшением радиуса системы как г_1/3. При адиабатическом сжатии цилиндрического плазменного вихря циркуляция 2пги^ сохраняется а энергия вихревого движения растет как г"2, то есть быстрее, чек тепловая энергия. После завершения сжатия эта энергия переходит в тепловую из-за процессов диссипации. Поэтому наличие вихревых структур позволяет вложить в плазму при заданной скорости и степени сжатия больше энергии, что облегчает достижение высоких температур.

Другой эффект вращения может наблюдаться в ловушках с изоляцией плазмы от стенки газовой прослойкой - бланкетом (Сахаров (1958), Альфвен к Смарс (1960), Врандт а Браанс (1974)). Магнитное поле в таких ловушках ислользуется для подавления теплопроводности. К их числу относятся так называемые "лайнерные системы", в которых конечное высокотемпературное распределение достигается адиабатическим сжатием металлической стенкой - лайнером (Велихов (1972)).

Как показали ВекштеЗн, Рютов и Спвктор (1974); Алиханов в Глушков (1976), в зависимости от величины /3=1блпТ/Н2, (п - плотность частиц, Т - температура плазмы, Н - напряженность кагнкт-ного поля) регшм остывания плазмы, которая касается стенки, различен. При остывание плазкы происходит при фиксированной плотности. В другом случае газокинетвческое давление постоянно по сечению, а коэффициент класрической теплопроводности и излучение максимальны вблизи стенки. Поэтому пристенные слон плазмы остывают и сжимаются. Возникающее адиабатическое расширение остальной част* плазкы понижает температуру задолго до того, как гуда дойдёт волна остывания. Время жизни горячей плазмы оказывается калым по сравнению с даффуззонным временем.

Численный расчет, выполненный Кузьминым и Лихачевым (1979), сн. также п. 3. 5. X, 3. 5. 2 диссертацая, показывает, что достаточно быстрое враденне приводит к смене реиима нагрева а остывания плазменного вкхря. При Р0»1 нагрев остывание плазменного вихря отличаются рядом особенностей. В процессе гаатпя ьршцахцейся

плазмы интенсивность азимутального вращения растет и возрастающая центробежная сила оттесняет плазму к периферии вихря. Поэтому и температура плазмы при адиабатическом сжатии растёт быстрее на периферии вихря. Радиальный отток частиц при сжатии уменьшает возможный вклад энергии в плазму. При Р0<<:1 этот эффект отсутствует, так как возрастающая центробежная сила компенсируется наг-нитнын давлением. Вращение влияет на радиальный поток и на стадии остывания при Э0»1. При £о»1 без вращения контакт с холодной стенкой вызывает конвективный отток частиц из горячей зоны, что в свою очередь приводит к более быстрому остыванию плазмы. Тепло подводится к пристенным областям потоком частиц, откуда отводится теплопроводностью и излучением.

Этот результат находится а согласии с данными работ Векш-тейна, Иирнова, Рютова и Чеботаева (1977), а также Ллиханова и Глушкова (1976). Вращение плазмы подавляет этот конвективный поток тепла и даже обращает его на стадии остывания. Механизн обращения потока частиц связан с тем, что вязкая диссипация вихревого движения вызывает поток плазмы к центру, замедляя остывание плазмы в ядре. При остывании плазмы её вязкость растёт и, как показывают расчёты, интенсивность потока частиц в течение длительного времени растёт.

Гидродинамическая турбулентность - есть продукт сочетания сильной нелинейности и сильной иеравновесности. В совокупности они приводят к противоречивой и запутанной картине турбулентности как суперпозиции когерентных вихрей и некогерентных пульсаций в условиях воздействия эффектов чистой конвекции и самоусиления. Роль нелинейности столь велика, что делает возможным и некоторое упрощение ситуация. Некоторые свойства турбулентных течений перестают зависеть от многих частных деталей реализации потока, а определяются самим сильным взаимодействием пульсаций. А.Н. Колмогоровым (1941) приведены убедительные аргументы, что статистический режим мелкомасштабных пульсаций при больших числах Рей-ольдса универсален и не зависит от глобальной геометрии потока.

В-4 главе диссертации излагается гипотеза подобия локальной структуры турбулентности. Система уравнений теории поля для статистических характеристик турбулентности включает не только корреляционные функции, но и функции отклика. Не всо показатели степени убывания корреляций определяются из соображений размерности. например, квадраты полей не обязательно обладают удвоек-

ными масштабными размерностями. Поэтому возникает необходимость развития самой схемы Колмогорова. В частности, в нее надо включить функции отклика.

Масштабно инвариантным полям к=1,2,..., приписывается

некоторое значение масштабной размерности Дк- Оператору функфионального дифференцирования корреляционных функций по внешней силе приписывается масштабная размерность г- Последнее означает, что корреляционные функции (кумулянты) полей и их функциональные производные (тензоры отклика) инвариантны относительно замены

Д Д

?к —> х?к, тк —> а —> х -*\г8/а€

где Дт - масштабная размерность времени. Тензор отклика

определяется формулой

V л <г«'тг

5h, (i .х J.....5h. (2 ,т ) -

J * п +1 n +1 J 1 n + ш n»»'

(11)

Масштабно инвариантные функции отклика являются однородными функциями своих аргукентов

-пА -Ш7 fi. т. ? X

^ . т - 111 П + Ш П + »|

Vj^VV-'W*»«^ g<.,j>l?7'-S rT'irJ

1 г v I

1 n + в

(12)

В частном случае m=0 из (12) следуют выражения для кумулянтов.

В п. 4.2 диссертация рассмотрены свойства масштабно инвариантных функций, если сближаются их какие- либо аргументы. Как и в теории критических явлений, (Поляков (1369); Паташинский, Покровский и Хохлачев (1972)), можно предположить, что существует набор базисных полей , такой, что любое поле A(i), не входящее в этот набор, может быть представлено в виде разложения

где С - некоторые константы. Представление (13) имеет следущий смысл: для расстояний 3?к> лежащих в инерционном интервале, любые кумулянты вида

«А(з?) ,В(?),...» выражаются через средние базисного набора по формулам, получаю-

16

щнмся применением (13).

Парный кумулянт инеет вид «А(?),В(?)» = £ С^С^«**" &) &+2)>> »

-Л-Д

я У С С с г (14)

4 II Ь 1а ' '

Нетривиален вопрос о ток, каков член суммы (14) является доминирующим. В теории есть два характерных масштаба задачи - основной масштаб турбулентности Ь и вязкий масштаб задача 17. Если основной масштаб задачи Ь несущественен, и единственным характерным масштабом задачи является вязкий масштаб ц, то главный вклад в (14) дадут члены с наименьшими масштабными размерностями. Остальные слагаемые будут малы по параметру т)/г. Может оказаться, что в силу каких - либо причин, например, из-за эффектов перемежаемости характерным будет основной масштаб Ь. В этом случае доминируют члены с максимальной размерностью а остальные члены налы по параметру г/Ь.

Если из-за дополнительной симметрия момент или кумулянт с полем доминирующей размерности обращается в нуль, то необходимо учитывать следующий член в разложении (13). Предположение о том, что степени полей выражаются через сукну полей из базисного набора, известно под названием гипотезы алгебры.

В п. 4. 3 рассмотрена конформная симметрия локальной структуры турбулентности. Гипотеза подобия - есть предположение о существования синмерии по отношению к группе преобразований трехмерного пространства, которая включает сдвиги, повороты и однородные растяжения. В некоторых конкретных случаях теории сильно взаимодействующих полей показано, что из масштабной симметрии следует симметрия по отношению к более широкой конформной группе преобразований (Махк и Сапам (1969); Гросс и Весс (1970); Поляков (1970)). Требование масштабной симметрии определяет одновременные вторые корреляционные функции с точностью до констант. Моменты высшего порядка определяются с точностью до однородных функций. Если симметрия повышается до конформной, возникают более жесткие ограничения вида корреляторов.

Физическим основанием для предположения о взаимосвязи масштабной и конформной симнетрий служит тот факт, что в окрестности каждой точки конформные преобразования сводятся к масштабным. Кроме преобразований насштабной группы полная конформная группа включает преобразование инверсии относительно единичной сферы

2 _> = З/х2 (15)

Вектор близкий к 5?, 5=з£+3, где 3 - мало, преобразуется

согласно

х +с1 х . г х х

у —* у' ■= 1 ' в -I + I- (5 -2 .

' \Ш\г хг хг I " хг 1 >

Отсюда

X X

(16)

то есть преобразование вектора, соединяющего две близкие точки, сводится к повороту с помощью матрицы

V3» -К -2 <17)

и к растяжению в 1/х2 раз.

В работе определен вид конформно сиккетричных кумулянтов второго к третьего порядков векторных полей. Парные кумулянты не могут, вообще говоря, обладать свойством соленоидальности или потенциальности. Преобразование инверсии не оставляет инвариантными подпространства соленоидальиых и потенциальных нолей. Отсюда следует, что свойством конформной инвариантности ногут обладать лишь поля типа плотности импульса Ламба, калибровка которых не фиксируется.

Конформно симметричный кумулянт третьего порядка запишется в виде

Д -А -Д Д -Д -Д Д -А -Д « «Л,(2)В^?)С|(4)» =Г 4 в с в в с * Ъ с * в £ск 8«,

(18)

где ? - - в = 3 - % •• 3 - с - произвольные постояные,

•1« 1а2 г2 J 1еа tг J к2 в2 } 8"> _ » о («, + I» 1,

и» 4 л1 ' Цг гг )'

Б»> „ (й + М

1Л в и1 1 [гг ь2 J'

8«« - О (?) (Ь. + Ъ. 1.

«Л * «г ' вг J

Легко проверять, что симметричный по перестановках кумулянт (18) обращается в нуль, поэтому при разложении физических нолей по базису надо учитывать следующие за старшим члены.

В п. 4.4 рассмотрена зависимость от времени мелкомасштабных

18

корреляций. Гипотеза подобия формулируется в систоме отсчета, которая движется вместе с крупномасштабными - пульсациями. Экспериментальные измерения выполняются в лабораторной системе отсчёта. При этом происходит автоматическое осреднение по случайной скорости крупномасштабных пульсаций. Чтобы получить следствия гипотезы подобия в лабораторной системе отсчеты, в п. 4. 4 выполнено подобное осреднение полученных форнул. Показано, что временная зависимость мелкомасштабных корреляций определяется эффектом переноса. Статистическая связь мелких масштабов на далеких расстояниях описывается характеристическими функциями крупномасштабных пульсаций.

Цель главы 5 состоит в развитии аппарата теории поля для решения задач статистической гидромеханики в области коротких длин волн. При сопоставлении выводов гипотезы подобия с урвнениями статистической гидромеханики возникает специфическая трудность, которая состоит в том, что гипотезы подобия формулруются в системе отсчета, движущейся со случайной скоростью вместе с крупномасштабными пульсациями. Уравнения статистзческой гидромеханики выводятся в лабораторной системе отсчета. Поэтому необходим аппарат, позволяющий исключать эффекты случайных конвективных переносов мелках пульсаций крупными.

В п. 5. 1 'рассмотрено представление взаимодействия в теории турбулентности, которое является промежуточным относительно лаг-ратсева а эйлерова способов описания турбулентности. Перенос вихря как целого описывается в переменных, лагранжевых лишь относительно двяженаЯ больших касптабов. Основные идея а предположения формулируются для простого случая переноса пассивной примаса. Показано, что переход в представление взаимодействия выполняется с помощью оператора Т-экспоненты квантовой тоорлг поля. Этот пряеи лспользован для уравнения Иавье- Стокса в представлении Фурье по пространственным аргументам. Если в показателе Т-экспоненты оставить крупнонаситабную компоненту скорости (по отношению к обратному волновому числу данной гарк ошекн Оурье), то яз уравнения для этой гармоники исчезнет еа взаимодействие с пульсациями значительно более крупного масштаба. Зта операции в уравнениях для всех гарноняк, н ликвидируются фиктяв-кыэ взапнодойствяя, связанные со взаимными переносами вихрей. Прп это:-: поясняется возможность автомодельной формулировки статистической тоорзл локальной структуры турбулентности.

3 я. 5.2 пзлагаотся диаграммный метод для пслулагранктевоЛ

13

скорости. Наряду с известными соотношениями, приводится система соотношений, подобная условию унитарности квантовой теоркв поля. Получено нелинейное уравнение для внешнего вознущенкя, распространяющегося в турбулентной среде и тождества Уорда, которые связывают производные по вязкости от "массовых операторов" с вершинными функциями.

В п. 5.3 рассмотрены способы согласования гипотезы подобия с системой диаграммных уравнений. Предполагается, что тензоры Т, в,Г являются однородными функциями своих аргументов

= к"5 (19)

Си(Й,о) = к^С'^и/к*), (20)

г;-;; <Й,= ктй,)г;^(ы/ка,ы'/дв^/к), (21)

где т=1,2,3; а,(3,у(о)- покоторые числа.

Функции (13)-(21) подставляются в систену уравнений п выполняется сравнение порядка величины общего члэна ряда с левыми частями уравнений. В соответствии с выполненный переходом в представление взаимодействия, предполагается, что в интегралы основной вклад вносит область, гдэ переменные интегрирования имеют порядок величины аргументов внешних линий. Роль эффективного параметра разложения рядов диаграмм играет величина

ц « РСгГ(тк\, с у^-гр-ггпи^а = сош?с. (22)

Это условие даёт следующую связь кекду показателяки степени

-о-2(3+2г(1)+й+о: = 0, (23)

а из уравнения Дайсока следует индекс однородности верякннок Функции у(1) «= 1.

Тензор Грина С описывает затухание во времени внесешзьк возмущений

1/^,1:) = (24)

При равенство (24) должно превратиться в тождество, то

есть, индекс однородности тензора Грнна в к^ представлена« должен быть рааен нулю. Это условпе может быть выполнено, если 0=а. Такан образок, все показатели степенк выраяаются через одкк из них - а.

/3 «= а, В = <1+2-а,

7(1) = 1,7(2) = 2« - с* - 1, г(3) = 4а - 2й - 3.

Дополнительное соотношение следует из форкулы Колиогорсвй, которая связывает структурою функции второго н третьего коряк-ков (Понхк к Ягкои (1867), формула (22.2))

20

Ош_(г) - бусШ^(г)/с1г < -(4/5)<е>г. В этой форнулв Р[[,Р , - одновременные средние от квадрата и

куба проекции относительной скорости на вектор В силу соотношений неразрывности Р,,/Р,м полностью определяют структурные фушщпа второго и третьего порядков (г). В инерцион-

ном ,интервале второе слагаемое в левой части формулы, несущественно, и Оцх(г)0' г, то есть масштабная размерность куба относительной скорости фиксирована а равна единице.

Если предположить, что осуществляется тривиальное слияние корреляций, то есть куб скорости обладает утроенной размерностью, то ото приводит к колкогоровскому соотношении степеней

1/3 , . 2 2/3 „ , _

v(r)~r , .'/(г) - г , это соответствует значении а=2/3.

Для анализа стуацик, которая возникает уравнениях теории при колмогоровском соотношении степеней полезно рассмотреть баланс энергия слабого возлугдения турбулентной среды. Из линеаризованного уравнения для отклика в к-ы представления следует ¿(к) = ^(^о) |гс?.(а =

Чтобы спектральная функция Х(к) менялась как к~2/3~<1, необходяио, чтобы мощность подкачки

менялась как к"*1. Это означает, что пакеты воли, занлк&кцпе в пространстве волновых чисел область порядка к'1 тратят ::а преодоление турбулентной вязкости мощность, на зазпсязцую от зеллчхкы к.

Схсазанное наводит на лысль о возноаностя несколько ивой интерпретация параметра <е>, фцгурпругщэго в тооряз подобия Колмогорова. Как уне отмечалось, едяняцапг, из которых состоит турбулентная среда, следует считать золиовыэ пакеты. Возникая за счёт квяикзаиой подкр.чкз энергии, они тратят энергии ка преодолен:^ турбулентной вязкости я запэняются нсеъмм. Случай <х-2/3 соответствует, такня образом, тс>!у, что пакеты волк всех масштабов устроены подобный обрдзон я тратят одинаковую нопность на преодолеете турбулентной вязкости.

Аналогичную знтерпротащто допускает уравнение для спэктраль-ного тензора , эсли эго переписать я виде

Видно, что £;г>С описыиает накачку аьоргик за счёт ноланайЕьс:

21

взаимодействий. Член £lllF описывает переработку энергии гармоники К,to в энергию всех других гармоник. Условие ос =2/3 совпадает с условием

к

Г e"'f - const,

Jo

что кожно интерпретировать, как независимость кодности, требуемой на преодоление турбулентной вязкости, от размера пакета.

Роль эффективного параметра разложения играет величина ц (см. (22)). Величина Vk«=Fkdu есть квадрат характерной скорости масштаба -к" . Если ввести турбулентную вязкость v =Z то параметр разложения приобретает вид

(1- VVf.2 = Re 2 - const,

k t lc '

то есть число Рейнольдса пульсаций масштаба 1/k, определённое по турбулентной вязкости, не зависит от величины масштаба.

Проведенный анализ не претендует на строгое доказательство свойств подобия локальной структуры турбулентности и колмого-ровского соотношения степеней, но он показывает, что эти свойства весьма естественный образок согласуются с обшей системой диаграммных уравнений. К настоящему времени проведены многие другие исследования, в которых получен тот же результат: при весьма общих предположениях получаются законы Колмогорова.

С другой стороны, экспериментальные исследования я теоретически е аргументы показывают, что колмогоровское подобие оказывается нарушенным эффектами перемежаемости и может быть лишь приближённым. Источником нарушения свойств подобия могут быть поправки к низшеку приближению представления взаимодействия. ДругоЁ возможный источник - далекие члены рядов. Заметная перемежаемость означает сильную корреляцию фаз гармоник Фурье поля скорости. Возможно, что такую корреляцию фаз трудно описать в терминах корреляционных характеристик низкого порядка, которые входят в систему диаграммных уравнений. В силу сложности задачи целесообразно рассмотреть аналогичную проблему в более простой ситуации сильного взаимодействия пульсаций в диссипативнок интервале.

В п. 5.4. рассматривается слабая и сильная связь в интервале диссипации энергии Энергия турбулентности передается через инерционный интервал вихряк колмогоровского масштаба т), где она диссвпкруотся. Часть турбулентной энергин прокккьет в вязкий

интервал к»7)-1, образуя быстро спадающий хвост турбулентного спектра. Спектр, турбулентности в вязком интервале определяется вихрями с очень калым числом Рейнольдса. Тем не менее, в ряде случаев собственной нелинейностью дисснпативных гармоник пренебречь нельзя, и связь остается сильной.

В системе диаграммных уравнений в вязком интервале возникают два существенных упрощения. Поскольку турбулентные пульсации весьма слабы, то внешнее возмущение с очень короткой длиной волны затухает так же, как я в покоящейся жидкости. Это означает, что все функции отклика совпадают с затравочными. Время затухания возмущения за счет действия вязкости равно (рк2)'1. Время его переноса движениями крупных масштабов на расстояние порядка ого размера равно (З^)"1. Если волновое число достаточно велико, то за время вязкого затухания возмущений область размера к'1 можно считать покоящейся по отношению к основному масштабу турбулентности. Поэтому эффекты переноса, которые затрудняют анализ задачи об инерцноннон интервале, в диссипативном интервале несу-• щественны. Как показывается в п. 5.4, интервале кт7»1 осуществляется каскад энергии в область малых масштабов, а спектр равен

Е(к)=сИк(т)к)2 ехр<-1}к), (25)

где величина постоянной С зависит от числа учитываемых диаграмм. О степени этой зависимости см. ниже. Хотя при кт)»1 амплитуды пульсаций экспоненциально малы, ях связь остается сильной, то есть существует бесконечная последовательность диаграмм, порядок величины которых совпадает.

В этих условиях малость, есля ока вообще имеется, может быть только численной. Действительно, учет диаграммы следующего порядка не слвгакон сильно вля.чат на результат. Таким образом, нокно надеяться, что диаграммный метод имеет асимптотическую точность.

Интересная информация о локальной структуре турбулентности получена в тщательных численных расчетах двумерных течений. Расчеты Бензя, Паладина и др. (1986) дают основания полагать, что турбулентность з области малых масштабов состоит из двух компонент. Одна из них - некогерентная турбулентность, а другая -когерентные структуры. "Вычитание" когерентных структур оставляет масштабно инвариантную некогерэнтную компоненту.

Влияние каскадных взаимодействий на когерентную нонпонэнту прд т)к»1 завтхсят от фаз гармоняк Фурье. Как показывает_зх яс-

следованно (Кузькин и Паташинский (1991)), сн также п. 5.4.4, при продвижении в диссипативную область фазы хаотизкруются. то есть каскадные взаимодействия не влияют на когерентную компоненту. Напротив, спектр некогеректной компоненты полностью определяется каскадными взаимодействиями, причем вклад в спектр кеко-геренткоЕ компоненты доминирует.

В отличие от инерционного интервала, каскадный поток энергии в интервале диссипации не приводит к полкой потере информации об ориентации крупномасштабных движений. В п. 5.4.5. получена формула для спектра при rjk»l. которая содержит обобщенную информацию об анизотропии крупных вкхрей

F ^^[-^(Й/к)]30-^^?"1^''2 -Д (£)А Д (й)

U ' 11 2 (3d-5)]-d я<ч-1)/г m1 ' «m ajv '

(26)

гдо й = rS + —i Л »—• Если тЦЙ/к) не зависит от направления

на en 2Г OG се

Т} ю п

Й, то е (26) сводится К решению для изотропное турбулент-

ности.

Нодель турбулентности как суперпозиции когерентных структур н некогерентной турбулентности требует дополнительного исследование к обоснования. Если она справедлива, то для исследования некогорентнок турбулентность когут применяться обычные методы квантовой теории поля, в частности, метода реиоркализаднонной группы (ДеДокннисвс к Картин (1S79), Яхот к Оржог (1966), Васильев (1SS7), Теодоровкч (1938,1990),).

Когерентные структуры к кz эволюция требует совсек другого аппарата- аналитического г численного исследования частных конфигурации для последующего ех кснользованкя в качестве квазп-частыц. Эволоцея квазичастиц б он&чктельноь степени ограничивается кх нэеязкими интегралами движения. В связи с этик, привлекательна формулировка гвдродинамвки в терккиах платности импульса Лакба.

Суперпозкцаонная модель несколько шире упекЕиавшейск вишэ картигы турбулентности как хаоса когерентных структур: добавляется еще одна кокпонента - некогероцткгя турбулентность. Такдл; образок, оба успешно развиввдакиеся направлений - статистическое к дзтернинпстскоо дают фрагменты обцей карткЕы p&scETofi г:;х~>о~ дккаккчбской турбуяентностЕ.

В глава 6 рассматривается особый вид турбуяектшгк теченкй, в

24

которых пульсации статистически равновесны. Теория таких течений гораздо прощэ, чем теория сильно неравновесной турбулентности. В отдельных случаях задача решается аналитически, в других- все сводится к решению «еслокных уравнений.

Нетривиален зопрос о выборе степеней свободы вихревого движения (Петвнашвялн л Яньков (1S85)). Весьма распространено моделирование напязхях двумерных течений большим, но конечным час-лом Я точечных захрей. Используется такяе аппроксимация течения конечным количеством Н гармоник Фурье. Применекяо обоях отих методов имеет определенные основания, поскольку при расчете эволюция реализаций гидродинамических полей в течение некоторого конечного промежутка времени можно ожидать сходимости при II -> к>. Для статистически равновесных распределений оаидать такой сходимости, вообще говоря, нельзя, поскольку статистическое равновесие устанавливается за бесконечное время. В пределе t » выбор аппроксимация лсгсет сильно повлиять на статистическое распределение.

Степень произвола зависят от количества той информация, которая используется при построении разновесного ансамбля. В частности, необходимо учитывать, по возможности, нанбольиее количество янтзгралоэ сохранения. Кузьмин (1S82), развивая пдеи работы Позикоза (1874} для разяозэсвьсс ансамблей двулоркых течений, лепельзозал зппрсксгмацта завихренности конечными элементами. Поскольку дзуиерноэ уравненлз для завзхренностг: подобно ура-энонгет Власова, з птой работе бьш воспро;:звгздзн яотод Лпнден-Бэлла (19G7).

Преимуществом метода слуяят возможность учета бесконечной сз-р::к яптагралоа двяяекяя, помимо обыЧпьпЕ интегралов знзргял, пн-яуяьса я хенепта хмпульса. Несущественность других интегралов мотивируется пногдч те:-:, что все они (:сроке перечисленных яитог-ралоз и энстрофяя) разрушается при аппроксимации точения коночным члелок гариенлк Оурьэ (Крейчиаи я Лонтгонери !1эао}). Цейтлин (1991) показал, что ложно построить такую (Пх"й) аштрок-сняаци» двумерных течекаЯ идеальной жидкости, что о пай имеется i! лнтегралов созфанения. Таким образом, учет другш: интегралов движения оправдан. Полно ожидать, что таким образом удастся унэньаять произвол, связанный с конечномерной аппроксимацией ТЗТЭНЯЯ.

3 я. о. 1 рассматривается двумерные статистически разковэсные зл:фп. Строится равновесный ансамбль для двумерного распределе-

25

ния завихренности в неограниченной области и в ограниченном объеме. Рассматриваются вопросы универсальности построенных ансамблей и способы распространения метода на трехмерные течения.

При построении статистически равновесных состоянний используется принцип равновероятности всех никросостояний. Предполагается, что все распределения завихренности равновероятны при условии, что интегралы движения фиксированы.

Для лычисления равновесного распределения удобно применить конечномерную аппроксимацию континуального поля завихренности. Всв пространство разбивается на «ящики> площади е. Каждый ящик делится на р ячеек площади ев/р. Размер ячеек предполагается столь калым, что каждую ячейку можно считать либо пустой, либо полностью занятой завихренностью, причем в процессе эволюции число занятых ячеек сохраняется. Размер ящиков не столь мал и прв Ь—х» часть ячеек каждого ящика оказывается занятой. Цель такого разбиения - огрубить описание и вывести распределение вероятности для сглаженной по ящику завихренности. Если в начальный момент времени завихренность постоянна в области полоща-ди А, то сглаженная завихренность равновесного распределения удовлетворяет уравнению

Л2п[(ПА/Ьг)/(1-0а/Ьг)] = - у£1 -4д. Здесь Д - оператор Лапласа. Получены частные решения этого уравнения, которые демонстрируют существенное влияние инварианта А на вид равновесного распределения завихренности. Построен статистический ансамбль для произвольного начального распределения завихренности. Рассмотрено также построение статистического ансамбля в трехмерном пространстве.

Как было упомянуто выше, найденные равновесные решения не-уннверсальны, поскольку они зависят от способа конечномеризации начального распределения П. Неясно также, как распространить метод построения равновесных ансамблей на трехмерные течения. Чтобы преодолеть эти трудности, используется формулировка уравнений гидродинамики в терминах плотности импульса Ламба.

Уравнение Власова для газа точечных вихрей совпадает с уравнением для завихренности. Уравнению для плотности импульса Ламба

Л^/Л—дви^/Эх^ также можно сопоставить уравнение Власова

+ - рв^/эх^(Й,?)/ар1-о, (27)

где ^-вихревой импульс элементов жидкости. Уравнение (27)

26

напоминает уравнение Власова для газа вихревьгх колец (см., например, Григорьев (1389)) (в двумерном пространстве - для газа вихревых пар) . В отлнчяе от вихревых колец, саноиндуцярованная скорость элементов аядкости должна быть положена равной нулю. Уравнение Власова (27) показывает, что плотность £ фазовой жидкости не меняется вдоль траекторий в фазовок пространство. Это свойство подобно сохранению завихренности в двумерном пространство и может быть использовано при построении статистически равновесных состояний. При этом нояно учесть дополнительные лагран-~<евы инварианты, которые следуют аз уравнения для плотности импульса Ламба.

В п. 6.2 рассмотрены статистически равновесные вихри. Поскольку уравнение для потенциальной завихренности з квазнгеостро-фзческон приближении похоже на двумерное уравнение для завихренности, все рассмотренае аналогично выполненному в п 6. 1.

В п. 0.3. рассматривается возникновение автомодельксстя э "одэлн свободного сдвигового слоя - в цепочке статистически равновесных структур Как известно, при достаточно большой удаления от асточника свободного турбулентного течения, оно забывает иногда детали своэго образования. Часто полагают, что оно приобретает некоторые автомодельный вид (Иллхтинг (1356)). С другой стороны, кненно в свободных турбулентных течениях получены наиболее убедительные свядетельстза существования квазиорганнзован-лых структур на всех расстояниях, на которых проводились наблюдения. 3 связи с этим, естественен зопрос, в чем состоят стремление тачания к автомодельной форме? В частности, стремятся лл к автомодельному виду организованные зяхрл? В п. б. 3 демонстрируется возникновение свойств автомодэльности в простой код-эли свободного сдвигового слоя - цепочке статпстяческя равиозесных двумерных вихрей.

Полагается, что в начальный момент времени сдвиговый слой представляет собой линейную цепочку бесконечного числа одинаковых вихрей циркуляции Со, причём начальный радиус вксрей равен ¡¡0, а расстояние иелду ниия - П . Величина паранотра парзмезхаа-

ности 0/(2£) считается большой. В соответствии с эксперииен-о 1 о'

талыа«ш даннынз!, естественно рассмотреть модель, в которой структуры сливаются парапн, образуя лянайную цепочку структур радиуса I , с расстоянием между нинп циркуляции С^-ЗС^,

л так далеа. В процессе к-того каскада слияняЯ пола захря пред-

полагается периодическим с периодом 2Dk. Для определения размеров и формы структур используются законы сохранения кинетической энергии невязкой жидкости к циркуляции, а также идеи равновесной статистической механики, сформулированные в п. 6. 1. Показывается, что в процессе слияний уснанавливается автомодельный режик. В этом режиме размер структур увеличивается в каждом слиянии в два раза, а форна вихрей автомодельна. Рассмотрено также установление автомодельного режима в более сложной модели - цепочке кластеров из статистически равновесных структур.

Таким образом, равновесная статистическая механика позволяет строить простые математические модели турбулентных течений, в которых проявляются некоторые важные механизмы, управляющие вихревыми структурами. Анализ этих моделей помогает понять тенденции развития течений, не решая громоздких систем уравнений.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в работе.

ЛИТЕРАТУРА

Кузьмин Г.А.

Спектр турбулентности в области больших волновых чисел // Ж. Прикл. Меж. Техн. iaa. -1971. - N 4. - с. 63-71.

Масштабное подобие и гидродинамическое описание турбулентности. Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.гм.н. Новосибирск. -1974. -97 с.

Интервал диссипации энергии d-нерной турбулентности: Новосибирск. (Препринт / АН СССР Сибирское отд-ние. -Н 39-79) -1979. - 17 с.

Статистическая механика завнхренностки в двумерной когерентной структуре // Структурная турбулентность. -Новосибирск. -1982. - С. 103-115.

Ideal incompressible hydrodynamics in terms of the vortex momentum density // Phys. Lett, A. -1983. - T.96. - И 2. -P. P. 88-90.

Гидродинамика стратифицированной жидкости в терминах плотности импульса Ламба // Ж. Прикл. Hex. Техн. «из. -1984. - N 4, - С. 25-31.

Nonlinear evolution of vortex cloud // Proc. of the 5-th EPS Liquid State Conference. - Moscow: -1989. - P. 164-167.

Nonlinear Langevin model for large scale vortex structures

28

in free turbulent flows // Proc., Int. Symp. "Generation of Large-scale Structures in Continuous Hedia". - Perm-Moscow: -1990 - P. 156-157,

Модель Робертса для стратифицированной жидкости // Лабораторное моделирование динамических процессов в океане. -Новосибирск. -1990 -С. 102-105.

Эволюция и взаимодействие трехмерных вихревых сгустков // Ж. Прикп. Hex. Техн. 2из. -1991. - N 2. - С. 44-48.

Waves and turbulence in terms of the Lamb momentum density // The Fourth European Turbulence Conference. Abstracts. Delft University of Technology> -1992. -P. 87.

Coherent structures and waves in terms of the Lamb momentum density // Appl. Sci Res. -1993. - February, (in Press).

Кузьмин г.Д., Лихачев О.А.

Динамика нагрева и остывания плазменного вихря // Физика плазны. -1979. - Т. 5. - N 4. -С. 312-818.

Сжатие плазменного вихря лайнерон // ЯГГг. -1979. - Т. 49, -N8. " С. 1748-1750.

Кузьмин Г.А., Лихачев О.А.,Наташинский А.З.

Структуры и их эволюция в турбулентной сдвиговой слое // 3. Прикл. Мех. Техн. SU3. -1983. - H 5. - С. 74-80.

Кузьмин Г.Д., Паташкнсхий Д.З.

Гипотеза подобия и гидродинамическое описание турбулентности // ЖЭТЗ. -1972. - Т. Б2. - Н. 3. - С. 1175-1184.

Масштабная и конформная симметрия локальной структуры турбулентности. - Новосибирск. (Препринт / АН СССР. - N 2). -1974. - 10 с.

The time dependence of small scale correlations in turbulence // Phys. Letters A. -1976. -V. 56. - H 3. - P. 163164.

Представление взаимодействия в теории турбулентности // Ж. Прихп. Мех. Техн. §из. -1978. - H 1. - С. 62-72.

Коротковолновая асимптотика спектра турбулентности // ЖЭТ5. -1979. - Т. 76. - N 6. -С. . 2075-2083.

Order parameters of the turbulent flows // Phys. Letters A. -1905. - V. 113. - N 5. -P. 256-268.

Тонзорные характеристики когерентных вихревых структур //

29

Ж. Прикп. Мех. Техн. 2из. -1986. - N 5. - С. 112-116.

Small scale chaos at low Reynolds numbers // Journal of Physics Л. -1991. -v. 24. -No. 24. -P. 5763-5773.

Reduced description of turbulent vortex structures. Новосибирск. (Нрвприит / АН СССР Сибирское отд-ние КЯФ. И 91-21). -1991. - 27 С.

Energy cascade in the dissipative range of the fluid turbulence. Kenormalization Group -91. Singapore.: World Scientific Press -1992. (в печати).

Подписано к печати 2 марта 1993 г. Формат 60x84/16 Уч.-изд.л. 2. Тирах ПО экз. Заказ й 187

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630030, г.Новосибирск, пр.Академика Лаврентьева, I