Коллективные явления в магнитоактивных плазменных средах с учетом спина электронов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КИМ Наталья Енчуновна

Коллективные явления в магнитоактнвных плазменных средах с учетом спина электронов

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им M В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор П.А. Поляков

Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук, профессор Н.С. Ерохин доктор физико-математических наук М.А, Степович

Ведущая организация: Московский государственный институт

электроники и математики (технический университет)

Защита состоится « » fcO&SpSl- 2005 г. в час на заседании Диссертационного Совета К 501 001 17 при Московском государственном университете им. MB Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, г Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Автореферат разослан «_f_» окТЛб£А- 2005 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 501.001.17 д.ф.-м.н.

П.А. Поляков

гооь-А

¡54 IX

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации обусловлена повышенным интересом современной физики к гиромагнитным явлениям в плазменных и других средах, вызванным спином частиц. Эти исследования могут иметь большой интерес для понимания явлений, протекающих в сверхплотной фемтосекундной лазерной плазме, плазме астрофизических объектов (пульсары), а также могут бьггь полезными для современной спинтроники.

Цель работы. Данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию влияния собственного магнитного момента электронов на коллективные колебательные явления в классических магнитоактивных плазменных средах. Основной целью являлось построение непротиворечивой гидродинамической и кинетической теории с учетом спина электронов и исследование волн, распространяющихся в плазме при наличии внешнего поля.

Научная новизна. В диссертации впервые получены выражения для компонент тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы с учетом собственного аномального магнитного момента электрона в рамках гидродинамического и кинетического подхода. На основе анализа полученных дисперсионных уравнений обнаружена новая мода в окрестности циклотронной частоты, связанная с наличием у электрона собственного магнитного момента. Показано, что в случае распространения волны перпендикулярно внешнему магнитному полю в приближении имеется единственная мода в

окрестности циклотронной частоты, которая при малых температурах определяется спиновым вкладом (Кузьменков Л.С., Харабадзе Д.Э., 2004 г.), а при больших — вырождается в моду Бернстейна на циклотронной часто 1е.

Впервые получены выражения для компонент тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы с использованием двухтемпературной функции распределения электронов с нерелятивистским разбросом компонент скоростей, перпендикулярных внешнему магитному полю Показано, что при достижении продольной температурой релятивистских значений происходит вырождение циклотронных мод.

Впервые получены выражения для компонент тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной релятивистской одномерной плазмы с учетом спинового тока электронов. В случае волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, обнаружено релятивистское температурное вырождение спиновой моды в области больших длин волн

Результаты диссертации являются обоснованными и достоверными, так как они получены с помощью строгих математических методов в рамках достаточно полных и хорошо зарекомендовавших себя моделей макроскопической электродинамики и

согласуются в частных случаях с результатаму

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1 Обоснование наличия ветви, обусловленной наличием спина, в магнигоактивной плазме в рамках гидродинамического и кинетического подхода

2. Вырождение циклотронных мод в магнитоактивной плазме при релятивистских температурах.

3 Вырождение моды, обусловленной наличием спина, в магнитоактивной плазме в области больших длин волн при релятивистских температурах.

Научная и практическая значимость. Результаты настоящей диссертации могут быть использованы в экспериментальных и теоретических исследованиях плотных плазменных сред, например, плазмы, получаемой в результате воздействия фемтосекундных лазерных импульсов на вещество, а также плазменных сред различных астрофизических объектов, таких как пульсары.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 100 наименований. Общий объем текста - 102 машинописных страницы. Работа содержит 11 рисунков.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 4 статей и 8 тезисов докладов на конференциях, список которых приведен в конце автореферата.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на XXX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2003 г), Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003» (Москва, 2003 г.), XII и XIII Международных конференциях по спиновой электронике и гировекторной электродинамике (Фирсановка Московской обл., 2003 г., 2004 г.), XL Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2004 г.), Международной конференции МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность» (Москва, 2004 г.), X Всероссийской школе-семинаре по физике микроволн (Звенигород, 2005 г.), Moscow International Symposium on Magnetism (MISM-2005) (Москва, 2005 г.), Ill Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Казань, 2005 г.).

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется основная цель работы, представлен обзор современного состояния исследований по теме диссертации

В первой главе диссертации исследуется распространение продольных и поперечных волн в нерелятивистской магнитоактивной плазме в рамках гидродинамической теории с учетом собственного магнитного момента электронов в приближении Баргманна — Мишеля — Телегди Приведено обоснование формул, описывающих влияние спина электронов на дисперсионные свойства плазмы, выражающееся в наличии спинового тока и дополнительной пондеромоторной силы, обусловленной наличием собственного магнитного момента. Выводятся дисперсионные уравнения на основе стандартной процедуры линеаризации и преобразования Фурье Проводится тщательный численный и аналитический анализ распространения волн перпендикулярно и параллельно внешнему магнитному полю. Показано, что распространение поперечных волн параллельно внешнему магнитному полю описывается следующими дисперсионными уравнениями:

/ 7 \

ЛГ2 =

со±|П

ш±|(р-Оц)

<в(<а±П)

где <Вр = 4пе2п/т — плазменная частота, £1 = еН0/тс — циклотронная частота, Оц = 4ле10 /тс — характерная частота, обусловленная наличием спина, £ » 2(1 + — гиромагнитный коэффициент (фактор Ланде), а «1/137 — постоянная тонкой структуры. Приведенный далее анализ показывает наличие новой ветви электромагнитных волн в окрестности циклотронной частоты, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля Получено, что распространение волн перпендикулярно внешнему магнитному полю в

рамках гидродинамическои уравнениями:

/

Л^со4

-Лг2со2

теории описывается следующими дисперсионными

+((о2-Юр)2-ш2а2 = 0,

^2_±(о2-{*2Я2)(СО2-Ш2) ю2 ю2-^2(П2-ПцО) '

где V — тепловая скорость электронов. Анализ последнего уравнения показывает наличие ветви в окрестности циклотронной частоты, что было ранее отмечено в работе Кузьменкова и Харабадзе, однако учет влияния флуктуаций вакуума путем введения фактора Ланде корректирует положение данной моды.

Во второй главе диссертации рассмотрено распространение продольных и поперечных волн в нерелятивистской магнитоактивной плазме в рамках кинетической теории Власова с учетом собственного магнитного момента электронов. Выводятся дисперсионные уравнения на основе стандартной процедуры линеаризации и преобразования Фурье. Получено дисперсионное уравнение, описывающее распространение поперечных волн перпендикулярно внешнему магнитному полю:

(02 -(02р

со

1+

(0„

Д„П

V

со2-С12 тс2 4 Ш2_1Я2П2

Обнаружено, что в окрестности циклотронной частоты имеется две моды, описываемые данным уравнением (рис. 1): мода Бернстейна и мода, обусловленная наличием спина, отмеченная в первой главе. Показано, что в приближении g = 2 (то есть без учета влияния флуктуаций вакуума) указанные моды вырождаются в одну, которая при высоких температурах представляет собой моду Бернстейна, а при низких — моду, обусловленную спином (моду Кузьменкова — Харабадзе).

Рис. 1. Дисперсионные кривые для волн, распространяющихся перпендикулярно внешнему магнитному полю (П = 0.5шр, ПМ = 0.1П, Штс2 = Ю-6, % = 2.2). Штриховыми линиями показаны асимптоты.

Получено дисперсионное уравнение, описывающее распространение поперечных волн вдоль внешнего магнитного поля:

Показано, что в этом случае также имеется мода, обусловленная наличием собственного магнитного момента, расположенная в окрестности циклотронной частоты.

Третья глава диссертации посвящена исследованию свойств релятивистской магнитоактивной плазмы. В первом параграфе рассмотрена задача распространения циклотронных волн перпендикулярно внешнему магнитному полю в релятивистской магнитоактивной плазме с двухтемепературной функцией распределения:

скорости параллельно и перпендикулярно внешнему магнитному полю, соответственно; а»1, Р — температурные параметры, характеризующие поперечную и продольную температуры, соответственно.

Показано, что затухание циклотронных мод увеличивается с увеличением температуры, и в пределе ультрарелятивистских температур эти моды полностью вырождаются.

Второй параграф посвящен влиянию неволнового вклада на распространение электромагнитного возмущения в релятивистской одномерной магнитоактивной плазме, который обусловлен возникновением неаналитических особенностей компонент тензора диэлектрической проницаемости. Была рассмотрена начальная задача Ландау о распространении электромагнитного возмущения в плазме. Известно, что релятивистская зависимость массы частиц от скорости приводит к возникновению новых областей неаналитичности функции диэлектрического отклика на плоскости комплексных частот. Это обстоятельство в методе Ландау приводит к дополнительному неволновому вкладу, обусловленному наличием разрезов на римановой поверхности значений функции диэлектрического отклика.

компоненты

Для волн, распространяющихся перпендикулярно внешнему магнитному полю, в коротковолновом пределе показано, что при достаточно больших температурах амплитуда

неволнового вклада зависит от времени как е ' , где параметр а не зависит от времени и растет с температурой. Получено также, что начальная амплитуда неволнового вклада растет с увеличением температуры, в то время как начальная амплитуда волнового вклада убывает с ростом температуры. На основании указанных соотношений сделан вывод, что хотя амплитуда неволнового вклада быстро убывает со временем, на начальном этапе она может достигать или даже превосходить амплитуду волнового возмущения.

В третьем параграфе приведен анализ влияния собственного магнитного момента на распространение волн параллельно внешнему магнитному полю в релятивистской магнитоактивной одномерной плазме. Влияние спина учитывалось в виде спинового тока

= с гоп _ ] > где — усредненное значение спина электронов по скоростям:

I А

\feCWu

где С,и — среднее значение оператора спина по состоянию квазиклассическою волнового

пакета и по всем частицам со скоростью и — определяется уравнением Баргманна — Мишеля — Телегди-

Ля.. _ ......__

С учетом вида исходных уравнений тензор диэлектрической проницаемости

рассматриваемой плазменной среды был представлен в виде £ар = е^ + е„р, где е^ —

компонента тензора диэлектрической проницаемости, обусловленная током проводимости

электронов (которая определяется уравнениями без учета влияния спина), а —

компонента тензора, обусловленная учетом вклада собственного магнитного момента электронов. На основе анализа выражений для компонент тензора диэлектрической проницаемости получено, что в ультрарелятивистской плазме для волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля, в длинноволновом приближении

£){' ±¿6^' » е^,' ±¿£¡2* следовательно, описанная в первых двух главах мода,

обусловленная наличием собственного магнитного момента, вырождается при ультрарелятивистских температурах (по крайней мере в области длинных волн).

Выводы

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1 В рамках релятивистской кинетической теории Власова-Максвелла получено оригинальное представление для компонент тензора диэлектрической проницаемости релятивистской магнитоактивной плазмы с одномерным тепловым разбросом скоростей С помощью этого представления выявлены характерные особенности трансформации колебательных плазменных ветвей в зависимости от релятивистского температурного параметра и внешнего магнитного поля.

2. Установлено, что гибридный резонанс в релятивистской плазме может вырождаться при определенных значениях релятивистского температурного параметра и величины внешнего магнитного поля.

3. Обнаружено, что еще при нерелятивистских температурах плазмы на порядок меньше собственной энергии электрона из-за релятивистских температурных эффектов происходит качественное изменение закона распространения циклотронных волн в плазме вдоль внешнего магнитного поля (плазма теряет резонансные свойства в окрестности циклотронной частоты).

4. Получено общее выражение с учетом релятивистской неаналитичности для функции диэлектрического отклика магнитоактивной релятивистской плазмы как функции начальною тока возмущения и начального возмущения функции распределения частиц по скоростям.

5. Для случая свободной плазмы проведен сравнительный анализ неволновой и волновой части временной зависимости электромагнитного возмущения в плазме с учетом дополнительной продольной собственной моды. Установлено, что неволновое возмущение при определенных условиях может превосходить волновое возмущение рассматриваемой моды.

6. Проведен анализ временной зависимости пространственного фурье-образа неволнового возмущения, распространяющегося поперек внешнего магнитного поля. Обнаружено, что временная зависимость этой величины представляет собой электромагнитные осцилляции на электронной циклотронной частоте, не зависящие от пространственной структуры возмущения. Амплитуда этого неволнового возмущения может иметь порядок или даже превосходить амплитуду волнового возмущения.

7. В приближении Баргманна-Мишеля-Телегди исследовано влияние спиновой переменной электронов на коллективные колебательные свойства плотной магнитоактивной плазмы Показано, что при распространении электромагнитной волны перпендикулярно внешнему магнитному полю наличие у электронов собственного магнитного момента может приводить к возникновению окна прозрачности в запрещенной обласш частот в окрестности циклотронной частоты.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ким Н. Е., Поляков О. П., Поляков П. А., Русаков А. Е. Циклотронный резонанс, обусловленный собственным магнитным моментом электронов в магнитоактивной плазме // XXX Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС (24-28 февраля

2003 г ), сборник тезисов. — М., 2003. — С. 104

2. Ким Н. Е. Влияние собственных магнитных моментов электронов на дисперсию верхнегибридной электронной ветви// Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003» (15-18 апреля 2003 г , Москва), секция «Физика», сборник тезисов — М.' Изд МГУ им М В Ломоносова, 2003,—С 236-237

3 Ким Н. Е , Поляков П. А. Релятивистский тензор магнитоактивной плазмы с учетом спина электронов// Сборник статей по материалам XII Международной конференции по спиновой электронике и гировекторной электродипамике (19-21 декабря 2003 г., Фирсановка Московской обл.). — М.: изд-во МЭИ, 2003. — С. 348-361

4. Ким Н. Е., Поляков П. А. Влияние собственного магнитного момента электронов на верхнегибридный резонанс холодной магнитоактивной плазмы// XI- Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (19-23 апреля 2004 г, Москва), секция «Физика», тезисы докладов — М, Изд-во РУДН, 2004. — С. 59-62.

5. Вагин Д. В., Ким Н. Е., Поляков О П., Поляков П. А., Русаков А. Е. Циклотронные моды в релятивистской плазме с нерелятивистским поперечным разбросом температур // Труды ИЭИ. 2004. Вып. 4. — С. 496-502.

6. Ким Н. Е, Кирпичев С. Б., Поляков П. А., Русаков А. Е. Неволновые особенности релятивистской магнитоактивной плазмы // Международная конференция МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность» (23-25 ноября

2004 г., Москва) Сборник трудов. — М.' РОХОС, 2004. С. 55-60.

7. Н. Е. Ким, П. А. Поляков Влияние собственного магнитного момента электронов на линейный отклик плазменной среды // Международная конференция МСС-04

«Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность» (23-25 ноября 2004 г, Москва). Сборник трудов. — М : РОХОС, 2004, с. 61-66.

8. Ким Н. Е., Поляков П. А., Русаков А. Е. О гидродинамической модели магнитоактивной плазмы // Сборник статей по материалам XIII Международной конференции по спиновой электронике и гировекторной электродинамике (3-5 декабря 2004 г., Фирсановка Московской обл.). — М.: изд-во МЭИ, 2004. — С. 270280.

9. Д. В. Вагин, Н. Е Ким, П. А. Поляков, А. Е. Русаков. Особенности распространения электромагнитных волн в горячей магнитоактивной плазме с учетом спина электронов // X Всероссийская школа-семинар по физике микроволн (23-28 мая 2005, Звенигород), «Труды школы-семинара «Волны - 2005». — С. 35-37.

10. Ким Н. Е., Поляков П. А., Русаков А. Е. Коллективные спиновые эффекты в классических плазменных системах // Нелинейный мир, №3,2005. — С. 155-162.

11 М. L. Akimov, N. Е. Kim, P. A. Polyakov, А. Е. Rusakov and N. N. Usmanov. Domain structure screening of a local magnetic inhomogeneity // Moscow International Symposium on Magnetism (MISM-2005) (25-30 June 2005, Moscow). Book of Abstracts. — M.: Физический факультет МГУ, 2005. — P. 434

12. Ким H. Е., Поляков П. А., Русаков А. Е. Влияние собственного магнитного момента частиц на коллективные процессы в плотной плазме // III Межд. конф. «Фундаментальные проблемы физики» (13-18 июня 2005 г., Казань). Сборник тезисов. — Казань, 2005 С. 208.

ООП Фю ф-та МГУ Зак 149-100-05

р 17 2 9 1

РНБ Русский фонд

2006-4 15418

Введение.

Глава I. Влияние спина в гидродинамической модели плазменной среды.

§ 1.1. Квазиклассическое описание движения спина электронов.

§ 1.2. Уравнения гидродинамики сплошной среды с учетом спина.

§ 1.3. Тензор диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы в гидродинамическом приближении с учетом собственного магнитного момента электронов.

§ 1.4. Закон распространения волн в плазме вдоль внешнего магнитного поля в гидродинамическом приближении.

§ 1.5. Распространение волн в магнитоактивной плазме перпендикулярно внешнему магнитному полю в гидродинамическом приближении.

Глава II. Влияние спина в кинетической модели плазменной среды.

§ 2.1. Кинетическое уравнение Власова с учетом спина.

§ 2.2. Тензор диэлектрической проницаемости с учетом спина.

§ 2.3. Распространение волн перпендикулярно магнитному полю.

§ 2.4. Распространение волн параллельно магнитному полю.

Глава III. Дисперсионные свойства релятивистской плазменной среды.

§ 3.1. Спектр циклотронных мод релятивистской плазмы с двухтемпературной анизотропной функцией распределения.

§ 3.2. Оценка влияния неволнового вклада в релятивистской магнитоактивной плазме.

§ 3.3. Учет спина в релятивистской плазме.

Коллективные явления, происходящие в плазменных системах, представляют большой интерес как для фундаментальной физики, так и для многочисленных прикладных задач. Подавляющее количество экспериментальных и теоретических работ по физике плазмы посвящены исследованию газовых систем с нерелятивистской энергией частиц. Плот

1А ность частиц в лабораторной плазме обычно не превышает 10 см , то есть плотность таких сред на много порядков меньше плотности частиц в твердых телах. Существует понятие твердотельной плазмы в металлах и полупроводниках, в которой подвижной компонентой являются электроны, а неподвижной — ионы, находящиеся в узлах кристаллической решетки [1-4]. Начиная с середины 70-х гг. интерес к твердотельной плазме неизменно возрастал, и это обусловлено целым рядом причин [5]: во-первых, неустойчивые состояния электронно-дырочной плазмы в полупроводниках используются для генерации, усиления и преобразования электромагнитных волн в широком интервале длин волн — от радиочастотного диапазона до оптического; во-вторых, твердотельная плазма представляет собой удобный объект для моделирования процессов, происходящих в газовой плазме; и в третьих, плазменные эффекты в проводниках связаны со специфическими особенностями твердого тела и позволяют поэтому изучать энергетический спектр, кинетические свойства и взаимодействия электронов проводимости.

В случае металлов электронная компонента такой плазмы является вырожденной [1, 2], и рассмотрение поведения такой системы требует квантово-механического подхода. В случае полупроводниковых систем возможно и невырожденное состояние твердотельной плазмы, которую в определенном смысле можно рассматривать классически [1, 3], возможно гидродинамическое приближение. Плотность таких систем может быть близка к плотности твердого тела, но обычно всего на три порядка меньше плотности твердого тела [6, 7]. В случае высокотемпературных газовых плазменных систем [8] с температурой выше 106 К в квазистатическом состоянии плазма может удерживаться только посредством внешнего магнитного поля. Такую плазменную систему мы будем называть магнитоак-тивной плазмой.

В природе плазменное состояние является самым распространенным состоянием вещества: все звезды, звездный, солнечный ветер, ряд газовых туманностей также можно рассматривать как плазменные системы. Существуют уникальные астрофизические объекты — такие, как пульсары, которые по современным представлениям представляют собой нейтронную звезду, окруженную релятивистской плазменной атмосферой, пронизанной сильным магнитным полем. Плотность такой электрон-позитронной плазмы от центра к периферии может сильно изменяться (достигая величин порядка 1040 см~3), а магнитное поле может изменяться от 104Гс до 10,2Гс [9-11].

Как уже упоминалось, в лабораторных условиях на Земле энергия частиц в плазменных средах не достигает релятивистских энергий, за исключением устройств мощной релятивистской СВЧ-электроники [12-19]. В этих устройствах энергия электронов может достигать ультрарелятивистских энергий. Отметим, что эти значения энергий в релятивистском случае, как правило, представляют собой энергию направленного движения электронов, а не теплового или хаотического движения. Энергия хаотического движения, как правило, намного меньше ее релятивистских значений.

Относительно недавно в физике на стыке лазерной физики, физики плазмы и физики взаимодействия излучения с веществом было открыто новое направление: физика взаимодействий мощного фемтосекундного лазерного импульса (длительностью от десятков до сотен фемтосекунд и

1 о потоком энергии порядка 10 Вт/см или более) с веществом [20-31]. Напряженность электрического поля в таком импульсе на 1-2 порядка превосходит напряженность электрического поля в атомных веществах.

При взаимодействии такого импульса с веществом в лабораторных условиях возникает новое уникальное состояние вещества, когда под действием электрического поля почти мгновенно происходит полная ионизация электронов твердого тела (за счет туннельной ионизации) [32], при этом тяжелые ионы остаются фактически неподвижными. На короткое время возникает состояние вещества, когда электроны получают энергию, намного больше их энергии покоя и их концентрация может быть выше концентрации атомов в твердом теле (металлизированная ультрарелятивистская плазма). В настоящее время это направление активно изучается как экспериментально, так и теоретически. То есть можно сказать, что в настоящее время в лабораторных установках на короткое время моделируется состояние вещества, которое в природе может быть реализовано только в таких астрофизических объектах, как пульсары [33-35]. Это направление стимулирует интенсивное развитие физики релятивистской плазмы наряду с интересом к релятивистской плазме астрофизиков [36].

Прогресс в получении ультракоротких импульсов мощного лазерного излучения связан с потребностями фундаментальной и прикладной физики, в частности с необходимостью создания источников энергии для накачки рентгеновских и гамма лазеров, а также инерциального термоядерного синтеза [37,38]. Взаимодействие мощного ультракороткого лазерного излучения с веществом, в частности с металлами, сопровождается новыми физическими явлениями. Например, в полупроводниках обнаружены сверхбыстрые вибронные фазовые переходы [39], на поверхности металлических мишеней формируются периодические пространственные структуры [40], генерируются протоны с энергией до 18МэВ [41] и мягкое рентгеновское излучение [42]. При воздействии очень короткого и интенсивного лазерного импульса на дейтериевые микрокластеры наблюдаются реакции ядерного синтеза [43, 44]. Концентрация носителей заряда в твердотельной плазме, получаемой, при взаимодействии лазерного импульса с мишенью (например, из алюминиевой фольги) п0 =6-1012см~ъ при лабораторных условиях Г = 300ЛТ [45]. Высокоточные пучки быстрых протонов (с энергией до сотен мегаэлектронвольт и числом ускоренных частиц на лазерный импульс до 10П-1013 [46]), генерирующиеся при взаимодействии лазерного излучения с тонким слоем вещества находят свое применение не только в УТС, но и в целях адронной терапии в онкологии [47], для протонной диагностики плазмы с высоким пространственным и временным разрешением, в качестве инжекторов для обычных ускорителей заряженных частиц [48].

Практически во всех работах по моделированию плазменных систем исследования проводятся по аналогии с газовыми нерелятивистскими системами, то есть рассматривается движение заряженных частиц как точечных частиц, обладающих зарядом и массой, которые двигаются под воздействием внешнего электромагнитного поля и микроскопического электромагнитного поля, порожденного всеми частицами плазменной среды. Наиболее употребительной моделью учета самосогласованного поля является известная модель самосогласованного поля А. А. Власова [49, 50]. При этом движение частиц можно моделировать либо в рамках гидродинамической модели, либо в рамках кинетической теории (при этом в подавляющем большинстве моделей используют кинетическое уравнение Власова [51]). Отметим, что с точки зрения чисто классического подхода такое рассмотрение является правильным, однако с точки зрения квантовой теории электрон, кроме классических характеристик — как то значения координат и скоростей, заряда и массы, — обладает дополнительной степенью свободы, обусловленной наличием у него собственного магнитного момента (спина). Отметим, что спин — это существенно квантовый объект, и строгое рассмотрение возможно только в рамках квантовой теории [52, 53]. Влияние спиновой переменной обычно учитывается только при исследовании твердотельной плазмы [54, 55]. В частности, возможно такое состояние твердого тела, когда вещество (магнетик) состоит из атомов с некомпенсированным магнитным моментом у каждого атома, а магнитное поле, обусловленное токами проводимости, то есть направленным движением электронов в зоне проводимости, может быть порядка или меньше поля, порожденного намагниченностью вещества (орбитальным движением). Такое направление физики является весьма актуальным и хорошо разработанным — это физика магнитных явлений, которая отличается от физики плазмы тем, что при описании состояния вещества, учитывается собственный магнитный момент электронов и ионов [56—59]. Для обычной газовой плазмы с концентрацией носителей заряда, меньшей

1А Я

10 см , намагниченность, обусловленная собственным магнитным моментом электронов, как правило, намного меньше намагниченности, порожденной направленным движением электронов и токами проводимости; но для астрофизических объектов концентрация может быть значительно больше, что может порождать эффекты, обусловленные спином [60, 61]. С другой стороны, мощность современных компьютеров позволяет моделировать влияние спина даже для плазмы с лабораторными параметрами, для которой экспериментальное обнаружение спиновых эффектов невозможно в силу их малости [62].

Учет собственного магнитного момента приводит к изменению пон-деромоторной силы, действующей на частицы [63]. Однако, влияние этой силы обычно намного слабее, чем влияние силы Лоренца и сил, обусловленных наличием внешнего магнитного поля. Тем не менее, строгая последовательная теория колебательных явлений в плазме требует учета влияния собственного магнитного момента электронов на поведение таких систем, так как это может приводить к новым экспериментальным явлениям, которые могут быть измерены современными средствами, в частности, точной радиотехнической аппаратурой.

Целью данной диссертации является последовательный учет влияния собственного магнитного момента на коллективные явления в плазменных системах.

Как уже отмечалось, большинство исследований в этом направлении проводилось только для твердотельных плазменных систем, например, учет влияния магнонов на колебательный спектр металлов или полупроводников [54, 55, 64]. Однако, в этих системах влияние намагниченности являлось определяющим, а вклад, вносимый токами проводимости, — поправочным. В случае газовых систем, соотношение вкладов обратное, и для исследования таких систем требуется новый поход. Так как газовая система, в основном, хорошо описывается в рамках классической теории, то хотелось бы в таких системах учесть влияние такого квантового объекта, как спин, в рамках классической теории. Это можно сделать только приближенно.

Для случая одной частицы квазиклассическая теория учета влияния спина электронов была развита Баргманном, Мишелем и Телегди [65]. Во многих случаях этой теории достаточно, тем более для описания поправочных эффектов в плотных газовых системах. Исследование в рамках такого подхода проводилось в работах [66-68]. Однако, в работе [68] влияние спиновой переменной учитывалось только посредством учета спинового тока в уравнениях Максвелла, и не было учтено влияние пондеромо-торной силы, что справедливо только для определенного класса задач. В работах Кузьменкова, Харабадзе теория была существенно развита. Была построена последовательная гидродинамическая теория с учетом спина и пондеромоторной силы. Оказалось, что величина пондеромоторной силы, возникающей за счет собственного магнитного момента, отличается от силы, действующей на электрический диполь в неоднородном электрическом поле [66, 67].

Однако, в указанных работах не учитывалось взаимодействие собственного магнитного момента электронов с флюктуациями вакуума, приводящее к отличию гиромагнитного коэффициента для электронов от 2 [52, 69], наблюдаемого экспериментально [70, 71]. В ряде случаев это может приводить к результатам, отличным от тех, что приведены в работе [66].

Такая теория (с учетом аномального магнитного момента электронов) была развита в наших работах [72-81] и представлена в данной диссертации.

Одним из новых результатов, представленных в данной работе, является наличие новой узкой моды в колебательных спектрах такой магни-тоактивной плазмы. В диссертации также развита релятивистская кинетическая теория магнитоактивной плазмы с учетом спина электронов. Существенно новый результат — то, что влияние собственного магнитного момента на дисперсионные свойства плазмы и влияние тепловых температурных эффектов могут конкурировать друг с другом. В случае гиромагнитного коэффициента, равного 2, это будет приводить к появлению двух новых мод в одной и той же спектральной области. В зависимости от соотношения между плазменной частотой, температурным фактором и характерной частотой, обусловленной наличием спина, определяющую роль могут играть как температурные (мода Бернстейна), так и спиновые (мода Кузьменкова-Харабадзе) эффекты.

Для экспериментальной физики взаимодействия мощного фемтосе-кундного лазерного излучения с веществом большой интерес представляет плотная плазма с релятивистской электронной компонентой. Обычно, как показали эксперимент и теория, в таких плазменных средах возникают мощные электромагнитные поля с напряженностью магнитного поля до 108 Гс, и такую систему можно рассматривать как сильно замагниченную плазму. Одной из проблем современной физики плазмы является поведение таких систем в резонансных областях — в области гибридного и циклотронного резонанса. Исследование этих вопросов проводится на протяжении многих десятилетий, но не потеряло актуальности и поныне [33, 34, 82-84]. В нашей работе проведено исследование поведения плазмы в области верхнегибридного резонанса без учета релятивизма и установлены механизмы вырождения циклотронной и верхнегибридной моды в зависимости от релятивистского температурного фактора. Последовательный учет влияния собственного магнитного момента в релятивистской плазме на коллективные явления в настоящее время не проведен ввиду сложности описания такой системы, однако, учитывая результаты учета собственного магнитного момента в нерелятивистской плазме, можно предположить, что влияние пондеромоторной силы на дисперсию волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля, несущественно и влиянием этой силы можно пренебречь [66, 68].

Вариант такой теории был разработан в последней главе диссертации, когда влияние собственного магнитного момента на релятивистские колебательные явления учитывалось только посредством введения спинового тока. Было показано, что собственный магнитный момент может оказывать существенное влияние в релятивистской плазме, но при этом ветви, обусловленные наличием спина, рассмотренные в первых двух главах, вырождаются.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Получены выражения для компонент тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы с учетом собственного магнитного момента в гидродинамическом и кинетическом приближениях при нерелятивистских температурах.

2. В частных случаях распространения электромагнитных волн параллельно и перпендикулярно внешнему магнитному полю обнаружена новая ветвь в окрестности циклотронной частоты, связанная с наличием у электрона собственного магнитного момента.

3. Показано, что в случае распространения волны перпендикулярно внешнему магнитному полю в приближении ё = 2 имеется единственная мода в окрестности циклотронной частоты, которая при малых температурах определяется спиновым вкладом, а при больших — вырождается в моду Бернстейна на циклотронной частоте.

4. Показано, что в магнитоактивной плазме с релятивистским разбросом продольных компонент скоростей электронов для случая распространения волн перпендикулярно внешнему магнитному полю происходит вырождение циклотронных мод и пропадание соответствующих резонансов.

5. Получены оценки влияния неволнового вклада на дисперсионные свойства релятивистской магнитоактивной плазмы, связанного с наличием неаналитических особенностей тензора диэлектрической проницаемости. Показано, что при а = тс2/©<1 неволновой вклад играет существенную роль, а в ультрарелятивистском пределе может значительно превышать традиционный волновой вклад.

6. Получены выражения для компонент тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной релятивистской одномерной плазмы с учетом спинового тока электронов.

7. В случае волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, обнаружено релятивистское температурное вырождение спиновой моды в области больших длин волн.

1. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. — М.: Наука, 1967. — 492 с.

2. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 1 — М.: Мир, 1979. —399 с.

3. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 2 — М.: Мир, 1979. —422 с.

4. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела. — М.: Мир, 1975. — 438 с.

5. Канер Э. А., Яковенко В. М. Гидродинамические неустойчивости в твердотельной плазме // УФН. — 1975. — Т. 115, вып. 1. — С. 41-72.

6. Гаман В. И. Физика полупроводниковых приборов. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. —336 с.

7. Аллен Т. Ю., Полянская Т. А. Электрофизические свойства твердых растворов p-GaAsi-jrSbjc, легированных германием // ФТП. — 1997. — Т. 31, вып. 5. — С. 587-592.

8. Александров А. Ф., Богданкевич Л. С., Рухадзе А. А. Основы электродинамики плазмы. — М.: Высшая школа, 1978. — 407 с.

9. Бескин В. С. Радиопульсары. // УФН. — 1999. — Т. 169, № 11. — С. 1169-1196.

10. Ломинадзе Дж. Г. и др. Плазма магнитосферы пульсаров // Физ. плазмы. — 1986. — Т. 12, вып. 10. — С. 1233-1249.

11. Меликидзе Г. И., Патарая А. Д. Релятивистский ленгмюровский со-литон в магнитосфере пульсаров // Астрофизика. — 1980. — Т. 16, № 1. — С. 161-167.

12. ТрубецковД. И., Храмов А. Е. Лекции по СВЧ электронике для физиков. Т. 1. — М.: Физматлит, 2003. — 496 с.

13. ТрубецковД. И., Храмов А. Е. Лекции по СВЧ электронике для физиков. Т. 2. — М.: Физматлит, 2004. — 648 с.

14. Храмов А. Е. Сложные нелинейные процессы и управление ими в распределенных автоколебательных системах с электронными потоками: Автореф. дис. д. ф.-м. наук: 01.04.03. — Саратов, 2005. — 46 с.

15. Анфиногентов В. Г., Храмов А. Е. Исследование колебаний в электронном потоке с виртуальным катодом в виркаторе и виртоде // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1999. — Т. 7, № 2— 3. —С. 33-55.

16. Анфиногентов В. Г., Храмов А. Е. Численное исследование характеристик генерации виркатора-клистрона с внешней запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. — 2001. — Т. 46, №5. —С. 588-592.

17. Горбачев К. В., Коровин С. Д., Месяц Г. А. и др. Генерация мощных микроволновых импульсов резонансной релятивистской ЛОВ с системой питания на основе взрывных магнитокумулятивных генераторов // Письма в ЖТФ. — 2005. — Т. 31, вып. 18. — С. 22-29.

18. Бугаев С. П., Канавец В. И., Кошелев В. И., Черепенин В. А. Релятивистские многоволновые СВЧ-генераторы. — Новосибирск: Наука, 1991. —296 с.

19. Кузелев М. В., Лоза О. Т., Рухадзе А. А., Стрелков П. С., Шквару-нец А. Г. Плазменная релятивистская СВЧ электроника // Физика плазмы. —2001. —Т. 17.—С. 710-733.

20. Gamaly E. G. Ultrashort powerful laser matter interaction: Physical problems, models, and computations. // Laser and particle beams. — 1994. — V. 12, №2. —P. 185-208.

21. Kosarev I. N. Theory of the interaction of high-power short laser pulses with plasmas // Tech. Phys. — 2005. — V. 50, Issue 1. — P. 30-35.

22. Коротеев H. И., Шумай И. JJ. Физика моощного лазерного излучения. — М.: Наука, 1991. —312 с.

23. Гордиенко В. М. Твердотельная фемтосекундная лазерная система на CR:forsterite: перспективы использования в фундаментальных исследованиях и в создании критических фемтотехнологий: Препринт № 13/2000. — М.: Изд-во физ. ф-та МГУ, 2000.

24. Snavely R. A., Key М. Н., Hatchett S. P. et al. Intense high-energy proton beams from petawatt-laser irradiation of solids // Phys. Rev. Lett. — 2000. —V. 85, № 14. —P. 2945-2948.

25. Clayton С. E., Tzeng K.-C., Gordon D. et al. Plasma Wave Generation in a Self-Focused Channel of a Relativistically Intense Laser Pulse // Phys. Rev. Lett. —1998. —V. 81, № 1. —P. 100-103.

26. Norreys P. A., Lancaster K. L., Murphy C. D. et al. Integrated implosion/heating studies for advanced fast ignition // Physics of Plasmas. — 2004. —V. 11, No. 5. — P. 2746-2753.

27. Mendonqa J. Т., Norreys P., Bingham R., Davies J. R. Beam Instabilities in Laser-Plasma Interaction: Relevance to Preferential Ion Heating // Phys. Rev. Lett. — 2005. — V. 94, No. 24, 245002. — 4 p.

28. Habara H., Lancaster K. L., Karsch S. Ion acceleration from the shock front induced by hole boring in ultraintense laser-plasma interactions // Phys. Rev. E. — 2004. — V. 70, No. 4, 046414. — 4 p.

29. Haines M. G. Generation of an Axial Magnetic Field from Photon Spin // Phys. Rev. Lett. — 2001. — V. 87, No. 13, 135005. — 4 p.

30. Dubroca B., Tchong M., Charrier P., Tikhonchuk V. T., Morreeuw J.-P. Magnetic field generation in plasmas due to anisotropic laser heating // Phys. of Plasmas. — 2004. — V. 11, Issue 8. — P. 3830-3839.

31. Dalla S., Lontano M. Large amplitude wave excitation by means of sequences of short laser pulses // Phys. Rev. E. — 1994. — V. 49, No. 3. — P. R1819-R1822.

32. Hafizi B., Sprangle P., Penano J. R., Gordon D. F. Electron distribution function in short-pulse photoionization // Phys. Rev. E. — 2003. — V. 67, 056407. — 7 p.

33. Melrose D. B., Luo Q. Circular polarization in pulsar radio emission dus to intrinsically relativistic effects // Monthly Notices of the Royal Astron. Soc. — 2004. — V. 352, Issue 3. — P. 915-923.

34. Kennett M. P., Melrose D. B., Luo Q. Cyclotron effects on wave dispersion in pulsar plasmas I I J. Plasma Phys. — 2000. — V. 64, Issue 4. — P. 333-352.

35. Arons J., Barnard J. J. Wave propagation in pulsar magnetospheres — Dispersion relations and normal modes of plasmas in superstrong magnetic fields // The Astrophys. J. — 1986. — V. 302. — P. 120-137.

36. Hazeltine R. D. and Mahajan S. M. Closed description of relativistic, magnetized plasma interacting with radiation field // Phys. Rev. E. — 2004. — V. 70, No. 3, 036404. — 6 p.

37. Bloembergen N. From nanosecond to femtosecond science // Rev. Mod. Phys.—1999. — V. 71. — P. S283-S287.

38. Таджима Т. Рентгеновские лазеры на свободных электронах в фундаментальной физике // Физика плазмы. — 2003. — Т. 29, № 3. — С. 231-235.

39. Емельянов В. И., БабакД.В. Сверхбыстрые вибронные фазовые переходы в полупроводниках под действием фемтосекундных лазерных импульсов // ФТТ. — 1999. — Т. 41— С. 1462-1466.

40. Агранат М. Б., Анисимов С. И., Ашитков С. И. и др. Образование периодических поверхностных структур при воздействии сверхкоротких лазерных импульсов // ЖЭТФ.— 1999. — Т. 115, вып. 2.— С. 675-688.

41. Clark E.L., Kruschelnick К., Davies J. R. et al. Measurements of Energetic Proton Transport through Magnetized Plasma from Intense Laser Interactions with Solids // Phys. Rev. Lett. — 2000. — V. 84, No. 4. — P. 670-673.

42. Nichikawa Т., Nakano H., Versugi N., Nakao M., Matsuda H. Greatly enhanced soft x-ray generation from femtosecond-laser-produced plasma by using a nanohole-alumina target // Appl. Phys. Lett. — 1999. — V. 75. — P. 4079-4081.

43. Брейзман Б. H., Арефьев А. В. Электронный отклик в облучаемых лазером микрокластерах // Физика плазмы. — 2003. — Т. 29, № 7. — С. 642-647.

44. Zweiback J., Smith R. A., Cowan Т. E. et al. Nuclear Fusion Driven by Coulomb Explosions of Large Deuterium Clusters // Phys. Rev. Lett. — 2000. —V. 84, No. 12. —P. 2634-2637.

45. Волков H. Б. Скин-эффект, ионно-звуковая турбулентность и аномальный перенос в неизотермической твердотельной плазме, генерируемой мощным фемтосекундным лазером // Письма в ЖТФ. — 2001. — Т. 27, вып. 6. — С. 40^48.

46. Буланов С. В., Есиркепов Т. Ж, Каменец Ф. Ф. и др. О создании пучков с высоким качеством в процессе ускорения ионов мощным лазерным излучением // Физика плазмы. — 2002. — Т. 28, № 12. — С. 1059-1076.

47. Bulanov S. V., Esirkepov Т. Zh., Khoroshkov V. S., Kuznetsov A. V., Pe-goraro F. Oncological hadrontherapy with laser ion accelerator // Phys. Lett. A. — 2002. — V. 299. — P. 240-247.

48. Kruschelnick K., Clark E. L., Allott R., Beg F.N. et al. Ultrahigh-intensity laser-produced plasmas as a compact heavy ion injection source // IEEE Trans. Plasma Science. — 2000. — V. 28, Issue 4. — P. 1184-1189.

49. Власов А. А. О вибрационных свойствах электронного газа // ЖЭТФ. — 1938.—Т. 8, №3. — С. 291-297.

50. Власов А. А. Теория вибрационных свойств электронного газа. — М.: Изд-во МГУ, 1945. — 196 с. — (Ученые записки МГУ им. М. В. Ломоносова. Вып. 75. Физика. Книга 2, ч. 1).

51. Власов А. А. Теория многих частиц. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. — 348 с.

52. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. 77. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1989. — 728 с.

53. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Наука, 1989. — 768 с.

54. Mosko М., Moskova A. Exchange carrier-carrier scattering of spin-polarized two-dimensional electron-hole plasma: Monte Carlo study // Semicond. Sci. Technol. — 1994. — No. 9. — P. 478-481.

55. Chen Z. H., Sakurai H., Tomita T. et al. Subpicosecond dynamical re-normalization of spin-polarized electron-hole plasma in Cdi-хМпДе // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. — 2004. — V. 21, No. 2-4. — P. 1022-1026.

56. Вонсоеский С. В. Магнетизм. — М.: Паука, 1971. — 1032 с.

57. Эшенфелъдер А. Физика и техника цилиндрических магнитных доменов. — М.: Мир, 1983. — 496 с.

58. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1992. —664 с.

59. Oraevsky V. N., Semikoz V. B. Neutrino kinetics in a magnetized dense plasma // Astroparticle Physics. — 2002. — V. 18, No. 3. — P. 261-275.

60. Oraevsky V. N., Semikoz V. B. Neutrino-driven streaming instability of spin waves in dense magnetized plasma // Physics of Atomic Nuclei. — 2003. — V. 66, No. 3. — P. 466-468.

61. Vázquez de Aldana, J. R. and Luis Roso. Spin effects in the interaction of atoms with intense and high-frequency laser fields in the non-relativistic regime // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. — 2000. — V. 33. — P. 37013711.

62. Тамм И. E. Основы теории электричества. — М.: Физматлит, 2003. — 616с.

63. Yamaguchi К. Inelastic electron tunneling due to magnons and phonons of anti ferromagnetic layered MnPSe3 semiconductors // Physica Status Solidi (B) Basic Research. — 2003. — V. 236, No. 3. — P. 634-639.

64. Bargmann V., Michel L., Telegdi V. L. Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field // Phys. Rev. Lett. — 1959. —V. 2, Issue 10. —P. 435-436.

65. Кузьменков JI. С., Харабадзе Д. Э. Волны в системах частиц с собственным магнитным моментом (метод квантовой гидродинамики) // Изв. вузов. Физика. — 2004. — Т. 47, № 4. — С. 87-93.

66. Кузьменков Л. С., Максимов С. Г. Квантовая гидродинамика систем частиц с кулоновским взаимодействием и квантовый потенциал Бо-ма//ТМФ.— 1999.—Т. 118. —С. 287-304.

67. Поляков П. А. О гидродинамическом описании волн в плазме с учетом спинов электронов // Изв. вузов СССР. Физика. — 1979. — № 3. — С. 101-103.

68. Тернов И. М. Введение в физику спина релятивистских частиц. — М.: Изд-во МГУ, 1997. — 240 с.

69. Harber D. М, Obrecht J. М., McGuirkJ. М. and Cornell Е. A. Measurement of the Kazimir — Older force through center-of-mass oscillations of a Bose — Einstein condensate // Phys. Rev. A. — 2005. — V. 72, 033610. —6 p.

70. Sukenik C. /., Boshier M. G., Cho D., Sandoghdar V. and Sinds E. A. Measurement of the force // Phys. Rev. Lett. — 1993. — V. 70, No. 5 — P. 560-563.

71. Вагин Д. В., Ким Н. Е., Поляков О. П., Поляков П. А., Русаков А. Е. Циклотронные моды в релятивистской плазме с нерелятивистским поперечным разбросом температур // Труды ИЭИ. — 2004. — Вып. 4. —С. 496-502.

72. Ким H. Е., Поляков П. А., Русаков А. Е. Коллективные спиновые эффекты в классических плазменных системах // Нелинейный мир. —4 2005. —№3. —С. 155-162.

73. Malov I. F., Machabeli G. Z. The spectra of hard radiation from radio pulsars // Astronomy Reports. — 2002. — V. 46, Issue 8. — P. 684-690.

74. Lou Y.-Q. Radio puises through a magnetized relativistic plasma flow //

75. Astrophys. J. — 2002. — V. 572, Issue 1II. — P. L91-L94.

76. Беляев В. А., Костенко О. Ф., Лисица В. С. Циклотронный механизм ускорения электронов в субпикосекундной лазерной плазме // Письма в ЖЭТФ. — 2003. — Т. 77. — С. 784-787.

77. Bernstein I. В. Waves in a Plasma in a Magnetic Field // Phys. Rev. — 1958. —V. 109. —P. 10-21.

78. Балдвин Д., Бернстейн А., Вининк M. Кинетическая теория плазменных волн в магнитном поле // Достижения физики плазмы. — М.: Мир, 1974.

79. Поляков П. А. К теории волн в релятивистской магнитной плазме // Физика плазмы. — 1997. — Т. 23, №2. — С. 190-192.

80. Поляков П. А. Статистическая электродинамика релятивистской плазмы: Дис. д. ф.-м. наук: 01.04.02. — М., 1993. — 323 с.

81. Ахиезер А. И. Электродинамика плазмы. — М.: Наука, 1974. — 720 с.

82. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. — М.: Мир, 1975. — 528 с.

83. Godfrey В. В., Newberger В. S., Taggart К. A. The initial value problem in relativistic plasma // IEEE Trans. Plasma Sei. — 1975. — V. PS-3, No. 4. —P. 185-193.

84. Силин В. П., Урсов В. Н. Об окончании спектра ленгмюровских волн ультрарелятивистской плазмы // Краткие сообщения по физике -ФИАН. —1982. —№ 1. — С. 34-40.

85. Сплин В. П., Урсов В. Н. Об окончании спектра ленгмюровских волн ультрарелятивистской плазмы II // Краткие сообщения по физике ФИАН. — 1982. — № 12. — С. 53-59.

86. Болтасова Ю. В., Поляков П. А., Русаков А. Е. Релятивистское вырождение гибридного резонанса магнитоактивной плазмы // Изв. РАН, серия физическая. —2001. —Т. 65, № 12. —С. 1723-1725.

87. Поляков П. А. Новый вид колебаний в релятивистской плазме // ЖЭТФ. — 1983. —Т. 85, вып. 5 (11). —С. 1585-1589.

88. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Высшая школа, 1981. —584 с.

89. Weisstein Е. ¡V. Lambert ^-Function (from Math World — A Wolfram Web Resource). — 2005. —http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html.

90. Ландау JI. Д., Лифшиц E. M. Теория поля. — M.: Наука, 1967. — 460 с.