Комбинированный метод конечных элементов-интегрального уравнения для решения некоторых задач электродинамики и электроники

Елисеев, Максим Валерьевич

Комбинированный метод конечных элементов-интегрального уравнения для решения некоторых задач электродинамики и электроники тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Елисеев, Максим Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Комбинированный метод конечных элементов-интегрального уравнения для решения некоторых задач электродинамики и электроники»

Автореферат диссертации на тему "Комбинированный метод конечных элементов-интегрального уравнения для решения некоторых задач электродинамики и электроники"

На правах рукописи

Елисеев Максим Валерьевич

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ -ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ (ОТКРЫТЫЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ, СИСТЕМЫ ВАКУУМНОЙ МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ)

01.04.03. - Радиофизика 01.04.04. — Физическая электроника

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Саратов—2004

Работа выполнена на кафедре нелинейной физики Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского.

Научные руководители:

член-корр. РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Трубецков Д.И.

ст. научный сотрудник Рожнев А.Г.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Нефедов И.С.

кандидат физико-математических наук, доцент Жбанов А.И.

Московский технический университет связи и информатики

Зашита состоится 24 июня 2004 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 по специальностям 01.04.03 — радиофизика и 01.04.04 — физическая электроника в Саратовском государственном университете (410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского госуниверситета.

Автореферат разослан Ь2. мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.—мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Совершенствование элементной базы современных ЭВМ, а также разработка новых методов численного решения уравнений в частных производных, позволяет в настоящее время решать широкий класс электродинамических задач, таких, как расчет СВЧ резонаторов и волноведу-щих структур, устройств интегральной оптики, замедляющих систем для СВЧ усилителей и генераторов, элементов электронных ускорителей, антенных систем, и так далее, без каких—либо дополнительных предположений и упрощений, исходя непосредственно из уравнений Максвелла и материальных уравнений, описывающих свойства заполняющих систему сред. Среди большого числа численных методов, используемых для этого, следует особенно выделить 3 метода, обладающих особой мощностью и универсальностью и, по этой причине, наиболее популярных. Это метод конечных разностей (в последнее время особенно бурно развивается вариант этого метода во временном представлении), метод конечных элементов (МКЭ) и метод интегрального уравнения (МИУ).

Тем не менее, в электродинамике существует значительное число задач, которые не поддаются адекватному рассмотрению с помощью стандартных вариантов упомянутых методик. Это обстоятельство связано, главным образом, с появлением все новых устройств и систем, как в СВЧ, так и в оптическом диапазоне, которые, во-первых, могут обладать достаточно сложной геометрической формой, и, во-вторых, работать в новых, ранее не используемых режимах и областях управляющих параметров.

В частности, во многих СВЧ устройствах, представляющих собой неоднородные в поперечном сечении линии передачи (микрополосковые антенны, диэлектрические волноводы (ДВ) различного типа, щелевые линии и т.д.) в качестве рабочих мод используются направляемые волны (в частности, в ДВ — поверхностные моды), которые формально могут распространяться без затухания, если не учитывать потери в среде. Однако в ряде случаев эти системы работают в диапазоне частот, непосредственно примыкающем к критической частоте направляемой моды, при этом размер области, занимаемой полем моды в поперечном направлении, значительно возрастает и может превышать поперечные размеры самой сердцевины волновода во много раз. Точно на частоте отсечки можно считать, что поперечный размер поля становится бесконечным. Отметим, что задача определения критических частот направляемых мод ДВ сама по себе является чрезвычайно важной, так как этим определяется, например, область одномодового режима работы волновода. Для решения этой задачи также необходимо учитывать бесконечный, по сути, размер поля в поперечном сечении, то есть то обстоятельство, что ДВ является открытой электродинамической структурой. Ниже

БИБЛИОТЕКА

емая

мода ДВ перестает существовать и распространение волны вдоль системы сопровождается излучением ее энергии через боковые стенки волновода. Таким образом, можно выделить две особенности рассматриваемых электродинамических систем, которые существенно затрудняют их теоретический анализ и практический расчет:

1. Эти системы имеют сложную геометрическую форму в поперечном сечении и сложный закон распределения диэлектрической проницаемости по поперечному сечению.

2. Эти системы являются "открытыми" электродинамическими структурами, что приводит к необходимости учитывать значительную протяженность полей собственных и несобственных мод в поперечном сечении, а также возможное излучение энергии из волновода через его боковую поверхность.

Похожие проблемы возникают и при исследовании таких новых оптических систем, как фотонные кристаллы, полые и микроструктурированные волокна, представляющих собой кварцевую или стеклянную микроструктуру с периодическими повторяющимися воздушными капиллярами, многослойные (брэгговские) волоконные световоды. Важным обстоятельством является то, что они всегда обладают конечными (хотя и малыми) потерями на излучение, даже если считать, что материал, из которого изготовлен световод, имеет нулевой тангенс потерь. Следовательно, эти системы также являются принципиально "открытыми", то есть их электродинамические характеристики определяются частичным излучением электромагнитных волн через боковую поверхность волновода при одновременной канализации основной энергии волны вдоль его оси.

Таким образом, актуальной является задача расчета собственных и несобственных (вытекающих) мод открытых электродинамических систем (диэлектрических волноводов и оптических волоконных световодов), имеющих сложную форму поперечного сечения с неоднородным в сечении распределением диэлектрической проницаемости.

Основными методами, используемыми в данной работе для решения этой задачи, являются метод конечных элементов и метод интегрального уравнения. Для обоих этих методов характерна высокая универсальность, то есть возможность решать широкий класс задач с помощью единого подхода.

Стандартный вариант МК.Э описывает распределение поля только внутри ограниченной области. Разработаны его модификации, позволяющие учитывать поля в открытом пространстве, например, применяя бесконечные элементы или импедансные граничные условия. Существенным ограничением таких подходов является использование аппроксимаций, описывающих затухание поля с удалением от волновода, с помощью параметров, которые необходимо подбирать отдельно. К сильным сторонам МКЭ можно отнести простоту и эффективность описания сложной геометрии системы и свойств материалов.

В МИ У для описания поля в открытой части пространства используются только его значения на некотором контуре или в некоторой конечной области. Таким образом, МИУ позволяет рассчитывать широкий класс открытых волноводов вне зависимости от поперечного размера поля. Однако описание сложного распределения диэлектрической проницаемости и диэлектрических потерь в данном случае оказывается сложной задачей.

Проведенный анализ показывает, что объединение методов МКЭ и МИУ для расчета открытых структур может позволить использовать их сильные стороны и обойти недостатки. Комбинированный метод конечных элементов — интегрального уравнения способен эффективно описывать как распределение полей в открытом пространстве, так и сложную структуру сердцевины ДВ.

Следует отметить, что комбинированный метод используется в электродинамике уже достаточно давно, однако объектом подобных исследований являлись, главным образом, задачи рассеяния электромагнитных волн на неод-нородностях сложной формы. Применительно к задачам расчета собственных направляемых мод открытых ДВ подобный подход развивался только в рабо-те1 , однако развиваемый в ней вариант МКЭ не учитывает трудности, возникающие в конечно-разностных методиках при моделировании векторных полей, в частности, возможность появления паразитных решений. Кроме того, используемые в данной работе алгоритмы позволяют практически исследовать только системы с достаточно простой геометрией.

Что касается использования комбинированного метода для расчета несобственных (в частности, вытекающих) волн открытых ДВ СВЧ и оптического диапазона, то такие работы до настоящего времени отсутствовали.

Комбинированный метод КЭ-ИУ оказался плодотворным подходом также при решении другой актуальной проблемы, возникающей в современной физической электронике — разработке методов моделирования электрических полей в автоэмиссионных устройствах вакуумной микроэлектроники. При расчете автоэмиссионных катодов возникают следующие сложности:

1. Большой диапазон масштабов. Если расстояние катод-анод в таких системах имеет порядок 10~3м, то радиус скругления острия эмиттера может составлять порядка 10~8 м. При этом неоднородности и микроструктура поверхности на острие эмиттера, сильно влияющие на эмиссионные свойства системы, еще на 1-2 порядка меньше.

2. Максимальная точность расчета электрического поля необходима именно на микроостриях, имеющих минимальный размер.

В отличие от задачи расчета открытых волноводов, в данном случае МИУ используется не для описания полей в открытой части пространства, а для высокоточного описания поля на эмитирующих остриях.

'Su.C.-C.//IEEE Tгans.—1986— Vol.MTT-34— №°11.—Р.! 140-1146.

Несмотря на существенные отличия в характере задачи и необходимость использовать несколько отличные модификации МКЭ и МИУ, идеи и алгоритмы сопряжения используемых методов близки как для задачи расчета собственных мод открытых волноводов, так и при расчете устройств вакуумной микроэлектроники. Это обстоятельство позволяет в рамках данной работы получать решения обеих перечисленных задач с использованием единой численной методики.

Целью настоящей диссертации является исследование направляемых и вытекающих мод открытых диэлектрических волноводов со сложной формой поперечного сечения и сложным распределением диэлектрической проницаемости в поперечном сечении а также автоэмиссионных систем вакуумной микроэлектроники, имеющих многомасштабную структуру.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи.

1. Разрабатывается комбинированный метод конечных элементов — интегрального уравнения для расчета направляемых мод открытых диэлектрических волноводов с неоднородной сердцевиной сложной формы, в том числе возле частоты отсечки и непосредственно на критической частоте.

2. Комбинированный метод обобщается для расчета вытекающих мод открытых диэлектрических волноводов с неоднородной сердцевиной сложной формы, с учетом потерь или усиления в среде.

3. На основе предложенных алгоритмов разрабатывается и тестируется комплекс программ для ЭВМ, предназначенных для расчета электродинамических параметров (дисперсии, затухания за счет излучения, распределения полей собственных и несобственных мод) открытых диэлектрических волноводов и оптических световодов.

4. С использованием созданных программ проводятся расчеты дисперсионных характеристик и полей собственных поверхностных мод ДВ со сложной формой поперечного сечения. Особое внимание уделяется исследованию указанных величин вблизи критических частот и точно на критических частотах направляемых мод.

5. Проводится исследование диэлектрических волноводов с вытянутой формой поперечного сечения (с большим отношением поперечных размеров в двух перпендикулярных направлениях).

6. Изучается влияние разнообразных дефектов на дисперсию и потери практически значимых систем оптического диапазона (трехслойных брэгговских волокон), работающих на вытекающих модах.

7. Развивается вариант комбинированного метода для расчета автоэмиссионных устройств вакуумной микроэлектроники.

8. Проводится проверка пределов применимости приближенной аналитической модели, используемой для оперативных расчетов параметров ячеек матричных автоэмиссионных катодов.

9. Решается задача расчета напряженности поля на поверхности эмиссионных центров пористого кремния, поверхность которого представляет собой упорядоченную структуру периодически расположенных высоких острий.

10. Проводятся исследования многомасштабной микроструктуры поверхности эмиттера, аппроксимируемой фрактальным множеством Жюлиа.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

1. Развит новый универсальный численный метод для расчета направляемых мод, в том числе на критической частоте, а также вытекающих мод широкого класса открытых диэлектрических волноводов и волоконных световодов, имеющих сложную форму поперечного сечения, неоднородный профиль диэлектрической проницаемости в сердцевине волновода и, возможно, потери или усиление в среде.

2. Впервые проведено исследование трансформации электродинамических параметров диэлектрических волноводов и многослойных брэгговских волокон с вытянутой формой поперечного сечения при постепенном увеличении параметра формата.

4. Комбинированный метод конечных элементов - интегрального уравнения впервые применен для расчета устройств вакуумной микроэлектроники, что позволило обеспечить высокую точность расчета напряженности электрического поля на поверхности эмитирующего острия.

Практическая значимость работы. Развитые в диссертационной работе методы расчета открытых диэлектрических волноводов могут быть использованы при разработке новых СВЧ - устройств (диэлектрических антенн, сенсорных датчиков, направленных ответвителей на связанных диэлектрических волноводах). Разработанные методики применимы также для расчета ряда перспективных устройств волоконной оптики, таких как фотонные кристаллы, микроструктурированные и брэгговские волоконные световоды. Предложенные методики допускают обобщение на более сложный класс открытых электродинамических систем, в частности, ДВ с большим относительным изменением показателя преломления по сечению, волноводов с оболочкой в виде плоско-слоистой среды и т.д.

Результаты исследования эффектов усиления электрического поля на

эмитирующих поверхностях в присутствии микронеоднородностей представляют интерес для создания перспективных устройств вакуумной микроэлектроники, использующих новые материалы для автоэмиссионных катодов (пористый кремный, углеродные пленки).

В диссертации разработаны следующие программные комплексы для решения практически важных задач на основе комбинированного метода:

1. Пакет прикладных программ для расчета направляемых и вытекающих мод диэлектрических волноводов и оптических световодов в приближении слабо-направляемых мод. Программы обладают значительной универсальностью по отношению к геометрической форме исследуемых систем, распределению относительной диэлектрической проницаемости и потерь в сердцевине, позволяют учитывать бесконечный размер полей в открытом пространстве и обеспечивают расчет параметров волноводов во всем диапазоне частот.

2. Пакет прикладных программ для расчета распределения полей в устройствах вакуумной микроэлектроники. Программы обладают универсальностью по отношению к геометрической форме исследуемых систем; распределению относительной диэлектрической проницаемости в пределах ячейки автоэмиссионного катода, позволяют добиться значительной точности в определении напряженности поля на поверхности эмиттера.

Программы использовались при выполнении исследований по г/б НИР ТОР, проводимых в 2001-2004 гг. в Саратовском государственном университете, грантов РФФИ №02-02-17317 и №03-02-16161.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Комбинированный метод конечных элементов — интегрального уравнения позволяет проводить эффективный расчет собственных (направляемых) и несобственных (вытекающих) мод открытых электродинамических систем - диэлектрических волноводов и оптических световодов - во всем диапазоне частот, включая малую окрестность критической частоты, вблизи которой поля мод неограниченны в пространстве.

2. Для диэлектрических волноводов с сильно вытянутой формой поперечного сечения существуют две области частот с различным характерным поведением направляемых собственных волн. Для частот, больших некоторого граничного значения, дисперсионные характеристики и пространственные распределения полей мод близки к характеристикам и распределениям полей, свойственным двумерным (плоским) диэлектрическим структурам. Для частот, меньших граничного значения, дисперсия и структура полей вытянутых волноводов соответствуют этим характеристикам в трехмерных системах. Граничное значение частоты зависит от параметра формата волновода (соотношения поперечных размеров по двум перпендикулярным направлениям).

3. Геометрические дефекты трехслойных брэгговских волокон в виде продольной щели или неконцентрического смещения слоев оказывают незначительное

влияние на дисперсию и потери на излучение вытекающих мод из волокон, в широком диапазоне изменения параметров дефектов. В то же время, эллиптическая деформация волокна в поперечном сечении приводит к заметному снижению потерь на излучение.

4. Для автоэмиссионного катода, состоящего из упорядоченной структуры периодически расположенных высоких острий, при фиксированном расстоянии между ними, существует оптимальное расстояние катод-анод, для которого коэффициент усиления поля на поверхности эмиттера достигает максимального значения.

Личный вклад соискателя В работах [1 — 10] автору диссертации принадлежит вывод соотношений, разработка алгоритмов и программ, реализующих комбинированный метод КЭ — ИУ, проведение расчетов, участие в анализе и интерпретации результатов. В работах [11-17] вклад автора заключается в разработке алгоритмов и программ расчета потенциала* создаваемого проводником, в форме множества Жюлиа, напряженности поля и плотности тока эмиссии вдоль заданной эквипотенциали, а также в проведении расчетов при помощи этих программ.

Достоверность работы подтверждается соответствием расчетов тестовых примеров по созданным методикам и программам с известными из литературы данными, использованием теоретически обоснованных методов для моделирования электромагнитных полей, адекватным выбором параметров численных схем в компьютерных расчетах.

Апробация работы и публикации Материалы диссертационной работы докладывались на 5-й Международной школе по хаотическим колебаниям CHAOS'98 (Саратов, 1998г), на школе-семинаре "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 1998г), на XI-й и ХП-й зимних школах по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 1999 и 2003 г.п), на Международной конференции "Электроника и радиофизика СВЧ (иНР'99", Ст.-Петербург, 1999 г.), на 12-й Международной конференции по вакуумной микроэлектронике (Дармштадт, Германия, 1999 г.), на 5-м и 7-м рабочих семинарах IEEE Saratov-Penza Chapter (Саратов, 2000 и 2002 гг.), на Международной межвузовской конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 2001 г.), на 4-й Международной конференции IEEE по вакуумным источникам электронов (IVECS-2002), (Саратов, 2002 г.), на 6-м Международном симпозиуме по электрическим и магнитным полям (EMF-2003) (Аахен, Германия, 2003 г.).

Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедр электроники, колебаний и волн и нелинейной физики СГУ. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в научных журналах, 6 статей в трудах научных конференций и 8 тезисов докладов.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Диссертация содержит 226 страниц текста, включая 67 рисунков и графиков и список литературы из 172 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, указана ее научная новизна и практическая ценность. Сформулирована цель и основные задачи диссертации, положения и результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена решению актуальных задач радиофизики, касающихся расчета свойств направляемых мод диэлектрических волноводов, в том числе вблизи и на частоте отсечки. Рассматривается модель волновода, состоящего из сердцевины с меняющейся по сечению отностительной диэлектрической проницаемостью е(х, у) и оболочки с постоянным значением диэлектрической проницаемости ее (см. рис.1)

В приближении слабой волноводности формулируется двумерная внешняя скалярная краевая задача расчета направляемых мод открытых диэлектрических волноводов, которая состоит из уравнения Гельмгольца (1), условий спадания поля на бесконечности (2) и условий на границе раздела среде разными значениями относительной диэлектрической проницаемости (3):

Здесь к = а>/с • волновое число в вакууме, с — скорость света в вакууме, и) — — к2ее — поперечное волновое число в оболочке волновода, /3 — продольная постоянная распространения, ее — относительная диэлектрическая проницаемость оболочки, Е(х,у) — скалярная функция, описывающая пространственное распределение существенной компоненты электромагнитного поля собственной моды.

Краевая задача (1 )-(3) описывает собственные моды открытых ДВ и волоконных световодов в приближении слабой волноводности, которое справедливо при выполнении условия шах|е(х,у)/£е — 1| 1.

Для решения краевой задачи (1 )-(3) развивается комбинированный метод конечных элементов — интегрального уравнения (МКЭ-ИУ). Основная идея метода состоит в следующем. Поперечное сечение волновода разбивается на

Рис. 1

Рис.2

две непересекающиеся смежные подобласти Q.+ и й_, разделенные границей сопряжения Г (см.рис. 1). Во внутренней подобласти П_, включающей в себя сердцевину ДВ пе, для дискретизации уравнений (1), (3) используем метод конечных элементов, во внешней области п+ используем метод интегрального уравнения по контуру. На границе Г поле Е(ху) и его нормальная производная сшиваются.

Алгебраические уравнения, получаемые в результате дискретизации уравнений М КЭ, МИУ и уравнений сопряжения на контуре Г, образуют линейную обобщенную алгебраическую задачу на собственные значения:

где А - действительная квадратная несимметричная частично разреженная матрица большого порядка со сложной блочной структурой, В - действительная квадратная симметричная разреженная матрица, вектор-столбец X содержит неизвестные величины поля в узлах конечноэлементной сетки и неизвестные значения поля и его нормальной производной на границе Г. Решение уравнения (4) позволяет рассчитать собственные частоты и поля собственных мод в любой точке пространства. Поля во внутренней области П_ выражаются через значения в узлах конечноэлементной сетки. Поля во внешней области П+ можно рассчитать с помощью формулы Грина, зная распределение поля и его нормальной производной на границе сопряжения Г:

где С(х,1/,х',у') = .К'о(гигх)/(27г) — функция Грина интегрального уравне ния, гх = у/(х -1')2 + (У ~ У1)2' е Г.

Описаны особенности программной реализации комбинированного метода. Разработанный программный комплекс обладает универсальностью по от-

АХ = к2ВХ

(4)

Ж*,»)» I [дЕмУ>) С[х,у,х',у'\ — Е(х',у')

дС[х;у;х',у'У дп'

*Г(5)

ношению к геометрической форме исследуемых систем, распределению диэлектрической проницаемости в сердцевине, удобен в освоении и использовании, доступен для пользователя, не обладающего специальными знаниями в области численных методов.

Представлены результаты тестовых расчетов для критических частот ДВ с круглой, эллиптической и прямоугольной сердцевиной, в том числе с сильно вытянутым сечением (отношение сторон до 1:100). Сравнение результатов с данными работ2'3дало относительную ошибку расчета критических частот порядка 0.01 %, что говорит о высокой точности комбинированного метода.

В первой главе проведено исследование трансформации дисперсионных характеристик поверхностных мод открытых ДВ с вытянутым поперечным сечением вблизи критической частоты при постепенном увеличении отношения поперечных размеров волновода в двух перпендикулярных направлениях.

Показано, что для ДВ с сильно вытянутой формой поперечного сечения существуют две области частот с различным характерным поведением направляемых собственных волн. Для частот, больших некоторого граничного значения,'дисперсионные характеристики и пространственные распределения полей мод близки к характеристикам и распределениям полей, свойственным двумерным (плоским) диэлектрическим структурам. Для частот, меньших граничного значения, дисперсия и структура полей вытянутых волноводов соответствуют этим характеристикам в трехмерных системах.

В качестве иллюстрации на рис.2 приведены дисперсионные зависимости для ДВ с отношением поперечных размеров 5.0, 10.0,50.0 (линии 1,2,3). Форма и характерные размеры волновода показаны на врезке к рис.2. Линия 4 соответствует круглому ДВ, линия 5 — планарному ДВ. Здесь V = kdy/ei - ее — безразмерная частота.

Получена и подтверждена численно оценка граничного значения безразмерной частоты, разделяющей области различного- поведения направляемых мод:

1 • Vm~y/2/(flnf), f = L/d • (6)

(эти значения показаны на рис. 2 кружками). Данная оценка позволяет определить, можно ли использовать для описания конкретного ДВ модель планар-ного волновода, либо необходимо использовать трехмерную модель ДВ.

Для высших направляемых мод ДВ с сильно вытянутой формой поперечного сечения исследована применимость планарного приближения непосредственно на частоте отсечки.

Рассчитаны критические частоты ДВ с поперечным сечением невыпуклой формы (в форме двулистника). Подобная геометрия хорошо моделирует по-

2 Wang Y Н. // Opt. and Quant. Electr—2000,—Vol.32.—№ 1.—P.31 -42.

'Manenkov A.B.. Rozhnev A.G // Opt. and Quant. Electr. — 1998 — Vol.30. — P61 -70

перечное сечение направленного ответвителя, широко используемого в интегральной оптике.

Во второй главе рассматриваются вопросы расчета вытекающих мод диэлектрических волноводов, для чего обобщается комбинированный метод конечных элементов — интегрального уравнения, развитый в первой главе диссертации.

Формулируется внешняя краевая задача с учетом специфических свойств вытекающих мод (затухание напряженности поля моды вдоль оси ДВ и ее рост в поперечном направлении). В отличие от краевой задачи, сформулированной для направляемых мод, в случае вытекающих мод полевые функции и параметры краевой задачи являются комплексными величинами. Решение задачи в комплексных числах позволяет расширить область применимости метода для учета диэлектрических потерь или усиления в среде.

Проведен обзор универсальных численных методов, применяемых для расчета вытекающих мод диэлектрических волноводов, показавший потребность в разработке комбинированного метода КЭ-ИУ.

Производится модификация комбинированного метода для случая вытекающих мод. Изменения в уравнениях метода сводятся к определению вида функции Грина, входящей в интегральное уравнение и удовлетворяющей условиям нарастания поля на бесконечности. Возникшая проблема выбора необходимой ветви функции Макдональда комплексного аргумента решена при помощи методики, предложенной в работе4. В отличие от случая направляемых мод, обобщенная алгебраическая задача на собственные значения (4) является нелинейной и решается итерациями. Описаны изменения в программной реализации метода.

Проведены тестовые расчеты дисперсии и потерь на излучение для вытекающих мод круглого ДВ и ДВ типа "канал" (диэлектрическая проницаемость в сердцевине меньше, чем в оболочке, нет направляемых мод). Результаты тестов сравнивались с данными, полученными путем численного решения дисперсионного уравнения. Относительная погрешность расчета поперечного волнового числа в оболочке при расчетах комбинированным методом составляет менее 0.1 %. Приведены результаты расчетов дисперсии и потерь на излучение для эллиптического ДВ и эллиптического ДВ типа "канал".

Проведены исследования практически важных оптических устройств, работающих на вытекающих модах — трехслойных брэгговских волокон. Рассчитаны дисперсионная зависимость и потери на излучение для трехслойного брэгговского волокна (см.рис.З). Впервые проведено исследование влияния геометрических дефектов трехслойных брэгговских оптических волокон на дисперсионные характеристики и параметры затухания вытекающих мод.

4 Соте ка я Л.И., Сотский А.Б. //Журнал технической физики,—2002.—Т.72—№12,—С.1-8.

" б

п>пI

Рис.З

Рис.4

Изучено влияние дефектов "неконцентричность", "щель", эллиптической деформации (их характерный вид показан на рис.4 а., б. и в.).

Показано, что дефекты типа "щель" и "неконцентричность" оказывают незначительное влияние на свойства волокон (в частности, на дисперсию и потери на излучение) в широком диапазоне изменения параметров дефектов.

Эллиптическая деформация трехслойного брэгговского волокна оказывает слабое влияние на дисперсию, но приводит к заметному уменьшению потерь на излучение (см. рис. 5 и 6). Здесь / = а/Ь — отношение полуосей эллиптического контура сердцевины. Качественное объяснение этому эффекту состоит втом, что коэффициент затухания волны пропорционален отношению излучаемой и переносимой мощности. В свою очередь, излучаемая мощность пропорциональна периметру границы сердцевины, а переносимая мощность — площади поперечного сечения сердцевины. При увеличении параметра / отношение периметра к площади поперечного сечения уменьшается, что приводит к снижению потерь на излучение.

Третья глава посвящена решению актуальных задач физической электроники — расчету и моделированию ряда автоэмиссионных устройств, применяемых в вакуумной микроэлектронике.

При расчете таких устройств, например, матричных автоэмиссионных катодов (МАЭК), возникает ряд специфических сложностей. Плотность автоэмиссионного тока экспоненциально зависит от напряженности поля на поверхности эмиттера, поэтому последняя должна быть рассчитана с большой точностью. Острие эмиттера на 3-4 порядка меньше других характерных размеров системы. Решающее влияние на эмиссионный ток имеет многомасштабная микроструктура поверхности эмиттера, элементы которой еще на 1-2 порядка меньше. С учетом этих специфических особенностей производится обзор универсальных численных методов, применяемых для решения данной задачи. Анализ показал, что с комбинируя МКЭ и МИУ, можно достичь большей точности и универсальности, чем с применением существующих методов.

8.0

0 012.Г ^0.008

•о

Е 0.004

-о

7.2 -

2 3 4 f=aJb Рис.5

2 3 4 f—a!b Рис.6

В отличие от первых двух глав, в данной главе использование МИУ связано не с необходимостью рассчитывать поля в открытой области пространства, а с наличием в системе элементов с геометрическими размерами, отличающимися на несколько порядков, причем наибольшая точность решения должна достигаться вблизи эмиттера, где поля меняются наиболее быстро. Для этого в небольшой части системы возле острия эмиттера применяется высокоточный вариант МИУ. В остальной части системы, которая имеет более сложную форму, переменные свойства заполняющих материалов, но в которой относительная точность расчетов может быть не столь большой, применяется МК.Э.

Формулируется внутренняя краевая задача для уравнения Лапласа в декартовой системе координат, описывающая распределение электрического поля в ячейке автокатода. Совместно уравнения дискретизации МКЭ, МИУ и уравнения сопряжения образуют систему линейных алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов в виде действительной квадратной несимметричной частично разреженной матрицы большого порядка. Решение этой системы дает значения потенциала поля внутри рассчитываемой области и напряженности поля на ее границе.

С использованием разработанной программы расчета МАЭК определена область применимости приближенной аналитической модели ячейки матричного автоэмиссионного катода, предложенной в работе5 для оперативных расчетов напряженности поля на острие эмиттера, в зависимости от параметров ячеек. Получены пределы изменения параметров модели для каждого из использованных параметров при сохранении точности расчета напряженности поля на острие эмиттера не хуже 5%. Чувствительность модели к изменению разных геометрических размеров катода существенно различна. В частности, расстояние эмиттер-анод может изменяться примерно в 500 раз при сохранении указанной точности расчета, в то время как высота острия может изменяться только в 4 раза.

Развитый метод расчета устройств вакуумной микроэлектроники применен к задаче определения напряженности поля на поверхности эмиссионных центров пористого кремния, представляющих собой плотно упакованную пе-

5Sokolov D.V., Rozhnev A.G., Trubezkov D.i. Eight Int.Vacuum Microelectronics Conf. Techn Digest. Portland, USA. 1995, P359-362.

катод 100 1000 Н,„

Рис.7 Рнс.8

риодическую структуру близко расположенных высоких острий (рис. 7). Получены зависимости поля и коэффициента усиления поля 0 = EJ{HV) на эмитирующих остриях от геометрических параметров микроструктуры поверхности (Ет — напряженность поля на вершие острия, Нт — расстояние и V — напряжение между анодом и катодом). Показано, что данной системы возможно так подобрать геометрические параметры чтобы достичь максимального значения коэффициента усиления поля на поверхности острия (см. рис.8).

Проведено исследование автоэлектронной эмиссии с самоподобной (фрактальной) поверхности. Для этого использована модель поверхности в форме двумерного фрактального объекта, границей которого является множество Жюлиа, так как в этом случае потенциал можно рассчитать аналитически. Обнаружено, что эмиссия концентрируется главным образом на мелкомасштабных самоподобных неоднородностях, где происходит многократное усиление поля. Выявлена связь эмиссионных свойств с фрактальной размерностью поверхности. Фрактальная размерность эмитирующей поверхности определяет эффективную величину коэффициента усиления поля на микронеоднородно-стях, в то время как полный ток эмиссии определяется, в основном, геометрией микронеоднородностей.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе с использованием комбинированного метода конечных элементов — интегрального уравнения исследованы направляемые и вытекающие моды открытых диэлектрических волноводов со сложной формой поперечного сечения и сложным распределением диэлектрической проницаемости в поперечном сечении, а также автоэмиссионные системы вакуумной микроэлектроники, имеющие многомасштабную структуру.

Основные результаты работы состоят в следующем. 1. Разработан метод расчета направляемых мод диэлектрических волноводов в скалярном приближении. Метод обеспечивает расчет ДВ с произвольной формой сердцевины и произвольным распределением диэлектрической проницаемости по сечению волновода. Метод обеспечивает расчет свойств направ-

ляяемых мод во всем частотном диапазоне, где они существуют, включая область вблизи и точно на частоте отсечки. Предлагаемая методика может быть обобщена для исследования диэлектрических волноводов более сложных конструкций: состоящих из материалов с комплексной диэлектрической проницаемостью (потери или активная среда), имеющих оболочку в виде плоско -слоистой среды и т.д.

2. Комбинированный метод конечных элементов — интегрального уравнения обобщен для случая расчета вытекающих мод ДВ с произвольным сечением сердцевины и произвольным распределением диэлектрической проницаемости в сердцевине, в том числе с диэлектрическими потерями или с усилением. Оба метода (расчета направляемых и вытекающих мод), образуют единую методику, обеспечивающую моделирование свойств диэлектрических волноводов во всем диапазоне частот, как выше, так и ниже частоты отсечки.

3. Комбинированный метод конечных элементов — интегрального уравнения, развитый в первых двух главах для расчета ДВ, модифицирован для расчета устройств вакуумной микроэлектроники, содержащих конструктивные элементы с размерами, отличающимися на несколько порядков.

4. На основе развитых в диссертационной работе алгоритмов разработаны следующие комплексы программ:

- пакет прикладных программ для расчета направляемых и вытекающих мод диэлектрических волноводов сложной формы в скалярном приближении;

- пакет прикладных программ для расчета распределения полей в устройствах вакуумной микроэлектроники;

- программа для моделирования эмиссионных свойств фрактальной поверхности множества Жюлиа.

5. С использованием созданных программ проведено исследование дисперсии направляемых мод и критических частот для диэлектрических волноводов со сложной формой сердцевины (эллиптической, прямоугольный ДВ, волновод в форме двулистника). Исследована трансформация дисперсии направляемых мод и их собственных полей при изменении параметра формата в диапазоне 1.0 - 100.0. Рассчитаны дисперсия и потери вытекающих мод для круглого и эллиптического ДВ, рассчитаны характеристики ДВ типа "трубка" (брэггов-ских волокон), в том числе с разнообразными дефектами и модификациями.

6. Для диэлектрических волноводов большого формата, работающих вблизи критической частоты, получена и подтверждена оценка граничного значения частоты, выше которой ДВ ведет себя как двумерная, а ниже — как трехмерная структура. Граничное значение зависит от отношения поперечных размеров сечения сердцевины волновода в двух перпендикулярных направлениях. Эта оценка позволяет определить, можно ли использовать для описания конкретного ДВ модель планарного волновода, либо необходимо использовать трехмерную модель ДВ.

7. Проведенные расчеты трехслойных брэгговских волокон с дефектами показали, что дефекты "щель" и "неконцентричность" оказывают незначительное влияние на свойства волокон (в частности, на дисперсию и потери на излучение) в широком диапазоне изменения параметров дефектов. Эллиптическая деформация трехслойного брэгговского волокна оказывает слабое влияние на дисперсию, но приводит к заметному уменьшению потерь на излучение.

8. Развитый метод расчета устройств вакуумной микроэлектроники применен к задаче определения напряженности поля на поверхности эмиссионных центров пористого кремния. Показано, что для автоэмиссионного катода, состоящего из периодически расположенных высоких острий, возможно так подобрать геометрические параметры, чтобы достичь максимального значения коэффициента усиления поля на поверхности острия.

9. Определена область применимости приближенной аналитической модели ячейки матричного автоэмиссионного катода.

10. Проведенное моделирование автоэлектронной эмиссии с поверхности двумерного фрактального объекта, границей которого является множество Жю-лиа позволило объяснить известные несоответствия между численными расчетами и экспериментальными данными, которые предсказывали большое значение коэффициента усиления.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Елисеев М.В., Рожнев А.Г., Расчет свойств направляемых мод диэлектрических волноводов вблизи частоты отсечки // Машинное проектирование в прикладной электродинамике и электронике. Сб. научн. трудов 7-го рабочего семинара IEEE Saratov-Penza Chapter, Саратов: "Колледж", 2002, С.30-36.

2. Елисеев М.В., Рожнев А.Г. Расчет диэлектрических волноводов вблизи от частоты отсечки//Материалы XII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике. Саратов, 28 января- 3 февраля 2003г., С.39-40.

3. Eliseev M.V.,Rozhnev A.G. Combined IEM-FEM method of calculation of optical dielectric waveguides' properties near the cutoff // Proc. 5th Int. Workshop on Lasers&Fiber-Optical Networks Modeling (LFNM'2003). Alushta, Ukraine, 19-20 September 2003., C.233-235.

4. Eliseev M. V.,Rozhnev A.G. The combined IEM-FEM method of calculation of optical dielectric waveguides properties near the cutoff// Sixth Int. Symposium on Electric and Magnetic Fields (EMF 2003). Symposium reports. (Aachen, Germany), 6-9 October 2003., C.87-90.

5. Елисеев М.В., Рожнев А.Г., Маненков А.Б. Расчет диэлектрических волноводов с вытянутым поперечным сечением. // Радиотехника и электроника.— 2004.—Т. 49.—№6. — С.656-664.

6. Eliseev M.V., Rozhnev A.G., Manenkov А.В. The leaky modes calculation of weak guidance optical waveguides with complex transverse section // Optical

Waveguide Theory and Numerical Modeling Int. Workshop, March 22-23, 2004, Ghent, Belgium, C. 83.

7. Eliseev M.V., Rozhnev A.G. The calculation of emission properties of diode structures on the basis of porous silicon // Машинное проектирование в прикладной электродинамике и электронике. Сб. научн. трудов 5-го рабочего семинара IEEE Saratov-Penza Chapter, Саратов: СГТУ, 2001, С. 9-15.

8. Елисеев М.В., Рожнев А.Г. Моделирование приборов вакуумной микроэлектроники комбинированным методом конечных элементов — интегрального уравнения // Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ. Материалы межд. межвузовской конф. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2001, С. 3-55.

9. Елисеев М.В., Рожнев А.Г. Применение комбинированного метода конечных элементов — интегрального уравнения для решения задач вакуумной микроэлектроники // Седьмая Всероссийская научная конференция студентов

— физиков и молодых ученых (ВНКСФ — 7). Санкт-Петербург, 4-11 апреля 2001 года, С. 150-152.

10. EliseevM.V, Rozhnev A.G. The Combined method of Calculation of Emission Properties of some Perspective Materials // Proc. of the Fourth IEEE Int. Vacuum Electron Sources Conf. (Saratov, July 15-19, 2002). C. 388-390.

11. Елисеев М.В., Исаева О.Б., Рожнев А.Г, Рыскин Н.М. Исследование автоэлектронной эмиссии с фрактальной поверхности // Book of abstract. 5-th Int. School on Chaotic Oscillation and Pattern Formation (CHAOS'98). Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 1998, С. 88.

12. Елисеев М.В., Исаева О.Б., Рожнев А.Г, Рыскин Н.М. Моделирование автоэлектронной эмиссии с фрактальной поверхности // Изв.ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 1999. —Т.7. —№ 5.— С.33-43.

13. Eliseev M.V., Isaeva О.В., Rozhnev A.G., Ryskin N.M. Numerical simulation of electron field emission from fractal surface // Proc. of Int. University Conference "Electronics and Radiophysics of Ultra-Hight Frequencies". May 24-28, 1999, St. Peterburg, Russia, C.309-312.

14. Eliseev M.V., Isaeva O.B., Rozhnev A.G., Ryskin N.M. Simulation of field emission from fractal surface // 12th Int. Vacuum Microelectronics Conf., Darmstadt, Germany, 1999, С199-200.

15. Eliseev M.V, Isaeva O.B., Rozhnev A.G., Ryskin N.M. Properties of electron field emission from a fractal surface. // Solid-State Electronics.—2001.— Vol.45.

— C.871-877.

16. Eliseev M.V, Isaeva O.B., Rozhnev A.G., Ryskin N.M. Numerical Simulation of Field Emission from Fractal Cathode // Proceedings of the Fourth IEEE Int. Vacuum Electron Sources Conf. (Saratov, July 15-19, 2002), C.385-387.

17. Елисеев М.В., Исаева О.Б., Рожнев А.Г, Рыскин Н.М. Численное моделирование автоэлектронной эмиссии с фрактального катода // Материалы XII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2003, С.34-35.

04-1465 7

Елисеев Максим Валерьевич

Автореферат

Ответственный за выпуск • — к.ф.-м.н., ст. научн. сотр. Соколов Д.В.

Заказ № 335. Подписано к печати 11.05.04. Объем 1.16ус.печ.л. Тираж 100 экз. Изд-во ГосУНЦ "Колледж", ЛР № 020773 от 15.05.98

Отпечатано на ризографе изд-ва ГосУНЦ "Колледж" 410012, Саратов, Астраханская, 83 тел.: (845-2) 52-38-64

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Елисеев, Максим Валерьевич

Содержание

Введение

Глава 1. Комбинированный метод конечных элементов - интегрального уравнения для расчета свойств диэлектрических волноводов вблизи критических частот

1.1. Постановка задачи

1.1.1. Внешняя краевая задача

1.1.2. Численные методы для расчета направляемых мод ДВ в приближении слабой волноводности

1.2. Основы метода

1.2.1. Метод конечных элементов

1.2.2. Метод интегрального уравнения

1.2.3. Объединенное матричное уравнение

1.3. Программная реализация метода

1.3.1. Задание геометрии системы

1.3.2. Разбиение области определения решения на элементы (триангуляция)

1.3.3. Формирований матриц и решение проблемы собственных значений

1.3.4. Вывод и оценка результатов

1.4. Тестовые расчеты

1.4.1. Круглые и эллиптические волноводы

1.4.2. Волноводы прямоугольного сечения

1.5. Расчет диэлектрических волноводов с вытянутым поперечным сече

1.5.1. Дисперсионные зависимости ДВ с вытянутым поперечным сечением

1.5.2. Критические частоты ДВ с вытянутым поперечным сечением

1.6. Расчет волноводов с поперечным сечением невыпуклой формы

1.7. Выводы к главе

Глава 2. Исследование вытекающих мод диэлектрических волноводов сложного поперечного сечения

2.1. Постановка задачи

2.1.1. Свойства вытекающих мод ДВ

2.1.2. Идентификация направляемых и вытекающих мод ДВ с потерями или активной средой

2.1.3. Внешняя краевая задача

2.1.4. Обзор существующих численных методов

2.2. Модификация метода для случая вытекающих мод

2.2.1. Модификация уравнений метода

2.2.2. Определение вида функции Грина

2.2.3. Итерационная процедура

2.2.4. Особенности программной реализации метода

2.3. Результаты тестовых расчетов

2.3.1. Вытекающие моды круглого ДВ

2.3.2. Вытекающие моды эллиптического ДВ

2.3.3. Расчет вытекающих мод ДВ типа «канал»

2.3.4. Расчет вытекающих мод эллиптического ДВ типа «канал»

2.4. Исследование вытекающих мод многослойного ДВ типа «трубка»

2.4.1. Многослойный ДВ типа «трубка» (брэгговское волокно)

2.4.2. Влияние дефекта типа «щель» на свойства основной вытекающей моды многослойного ДВ типа «трубка»

2.4.3. Влияние дефекта в виде неконцентричности

2.4.4. Влияние эллиптической деформации многослойного ДВ типа «трубка» на свойства основной вытекающей моды

2.5. Выводы к главе

Глава 3. Развитие методов расчета устройств вакуумной микроэлектроники, содержащих конструктивные элементы с сильно различающимися масштабами

3.1. Постановка задачи

3.1.1. Внутренняя краевая задача

3.1.2. Обзор существующих численных методов для расчета МАЭК

3.2. Основы метода

3.2.1. Метод конечных элементов

3.2.2. Метод интегрального уравнения

3.2.3. Объединенное матричное уравнение

3.3. Результаты тестовых расчетов

3.4. Расчет матричного автоэмиссионного катода

3.5. Расчет эмиссионных свойств пористого кремния

3.6. Моделирование автоэлектронной эмиссии с многомасштабной (фрактальной) поверхности

3.6.1. Множество Жюлиа как модель фрактальной поверхности

3.6.2. Методика численного моделирования автоэлектронной эмиссии с фрактальной поверхности

3.6.3. Расчет вольтамперных характеристик

3.6.4. Влияние фрактальной размерности на эмиссионные характеристики

3.7. Выводы к главе

Введение диссертация по физике, на тему "Комбинированный метод конечных элементов-интегрального уравнения для решения некоторых задач электродинамики и электроники"

Одним из наиболее интенсивно развивающихся в последние два десятилетия разделов радиофизики является вычислительная электродинамика -наука, занимающаяся разработкой алгоритмов и методик моделирования электромагнитных полей [1-9].

Совершенствование элементной базы современных ЭВМ, а также разработка новых методов численного решения уравнений в частных производных, позволяет в настоящее время решать широкий класс электродинамических задач, таких, как расчет СВЧ резонаторов и волноведущих структур, устройств интегральной оптики, замедляющих систем для СВЧ усилителей и генераторов, элементов электронных ускорителей, антенных систем, и так далее, без каких-либо дополнительных предположений и упрощений, исходя непосредственно из уравнений Максвелла и материальных уравнений, описывающих свойства заполняющих систему сред.

Среди большого числа численных методов, используемых для этого, следует особенно выделить 3 метода, обладающих особой мощностью и универсальностью и, по этой причине, наиболее популярных. Это метод конечных разностей (в последнее время особенно бурно развивается вариант этого метода во временном представлении — Finite Difference Time Domain method [1-3]), метод конечных элементов (МКЭ) [4,5] и метод интегрального уравнения (МИУ) [7,8]. Последний метод в электродинамике также часто называют методом граничных элементов.

В частности, во многих СВЧ устройствах, представляющих собой неоднородные в поперечном сечении линии передачи (микрополосковые антенны, диэлектрические волноводы (ДВ) различного типа, щелевые линии и т.д. [10-13]) в качестве рабочих мод используются направляемые волны (в частности, в ДВ - поверхностные моды), которые формально могут распространяться без затухания, если не учитывать потери в среде. Однако в ряде случаев эти системы работают в диапазоне частот, непосредственно примыкающем к критической частоте направляемой моды, при этом размер области, занимаемой полем моды в поперечном направлении, значительно возрастает и может превышать поперечные размеры самой сердцевины волновода во много раз. Точно на частоте отсечки можно считать, что поперечный размер поля становится бесконечным. Отметим, что задача определения критических частот направляемых мод ДВ сама по себе является чрезвычайно важной, так как этим определяется, например, область одномодового режима работы волновода. Для решения этой задачи также необходимо учитывать бесконечный, по сути, размер поля в поперечном сечении, то есть то обстоятельство, что ДВ является открытой электродинамической структурой. Ниже критической частоты направляемая мода ДВ перестает существовать и распространение волны вдоль системы сопровождается излучением ее энергии через боковые стенки волновода. Таким образом, можно выделить две особенности рассматриваемых электродинамических систем, которые существенно затрудняют их теоретический анализ и практический расчет:

Похожие проблемы возникают и при исследовании таких новых оптических систем, как фотонные кристаллы [14-16], полые и микроструктурированные волокна [17-20], представляющих собой кварцевую или стеклянную микроструктуру с периодическими повторяющимися воздушными капиллярами, многослойные (брэгговские) волоконные световоды.

Наличие периодичности в направлении, поперечном к направлению распространения волны, приводит к тому, что такая структура представляет собой, фактически, многомерную периодическую систему [21]. Дефект структуры, соответствующий отсутствию одного или нескольких воздушных отверстий, играет роль, аналогичную роли сердцевины в обычных волоконных световодах. В этом случае возникает область с повышенным значением эффективного показателя преломления, и в результате интерференции падающих и отраженных от такой неоднородности волн формируется направляемая мода микроструктурированного волокна.

Другим механизмом, обеспечивающим канализацию энергии вдоль волокон рассматриваемого типа, является наличие фотонных запрещенных зон (photonic gap), или, на языке высокочастотной электродинамики, зон непропускания [22]. Фотонная запрещенная зона обеспечивает высоких коэффициент отражения для излучения, распространяющегося вдоль полой сердцевины волокна, что позволяет существенно уменьшить оптические потери, присущие модам полых волноводов [19,20]. По существу, на том же самом принципе работают многослойные (брэгговские) волоконные световоды [23,24].

Важным обстоятельством, отличающим как микроструктурированные волокна с полой сердцевиной, так и брэгговские волокна, является то, что они всегда обладают конечными (хотя и малыми) потерями на излучение, даже если считать, что материал, из которого изготовлен световод, имеет нулевой тангенс потерь. Это излучение объясняется просачиванием энергии волны через запрещенные области за счет туннельного эффекта, так как в реальных системах периодическая структура всегда конечна в поперечном направлении. Тем не менее, за счет выбора подходящих значений параметров, эти потери могут быть сделаны чрезвычайно малыми. Следовательно, эти системы являются принципиально «открытыми», то есть их электродинамические характеристики определяются частичным излучением электромагнитных волн через боковую поверхность волновода при одновременной канализации основной энергии волны вдоль его оси.

Таким образом, актуальной является задача расчета собственных и несобственных (вытекающих) мод открытых электродинамических волноводов (диэлектрических волноводов и оптических волоконных световодов), имеющих сложную форму поперечного сечения с неоднородным в этом сечении распределением диэлектрической проницаемости.

Основными методами, используемыми в данной диссертационной работе для решения этой задачи, являются метод конечных элементов и метод интегрального уравнения1. Для обоих этих методов характерна высокая универсальность, то есть возможность решать широкий класс задач с помощью единого подхода. Оба метода позволяют использовать относительно гладкую аппроксимацию границ расчетных областей и учитывать сложное распределение диэлектрической проницаемости.

Стандартный вариант МКЭ [4,5,25,26] описывает распределение поля только внутри ограниченной области. Разработаны его модификации, позволяющие учитывать поля в открытом пространстве [4], например, применяя бесконечные элементы или импедансные граничные условия. Существенным ограничением таких подходов является использование аппроксимаций, описывающих затухание поля с удалением от волновода, с помощью параметров, которые необходимо подбирать отдельно. К сильным сторонам МКЭ можно отнести простоту и эффективность описания сложной геометрии системы и свойств материалов.

1 В работе не рассматривается метод конечных разностей, главным образом, из-за существенных технических трудностей, возникающих в пом методе при его компьютерной реализации, применительно к расчету систем со сложной криволинейной формой границы.

В МИУ для описания поля в открытой части пространства используется только его значения на некотором контуре или в некоторой конечной области. Таким образом, МИУ позволяет рассчитывать широкий класс открытых волноводов вне зависимости от поперечного размера поля. Однако, описание сложного распределения диэлектрической проницаемости и диэлектрических потерь в данном случае оказывается сложной задачей.

Проведенный анализ показывает, что объединение методов МКЭ и МИУ для расчета открытых структур может позволить использовать их сильные стороны и обойти недостатки. Комбинированный метод конечных элементов - интегрального уравнения способен эффективно описывать как распределение полей в открытом пространстве, так и сложную структуру сердцевины волновода или волоконного световода.

Следует отметить, что комбинированный метод конечных элементов -интегрального уравнения используется в электродинамике уже достаточно давно [см. например, 4, гл. 9 и 27], однако объектом подобных исследований являлись, главным образом, задачи рассеяния электромагнитных волн на не-однородностях сложной формы. Применительно к задачам расчета собственных направляемых мод открытых диэлектрических волноводов комбинированный метод развивался только в работе [28], однако развиваемый в ней вариант МКЭ не учитывает трудности, возникающие в конечно-разностных методиках при моделировании векторных полей, в частности, возможность появления паразитных решений [29]. Кроме того, используемые в работе [28] алгоритмы позволяют практически исследовать только системы с достаточно простой геометрией.

Что касается использования комбинированного метода для расчета несобственных (в частности, вытекающих) волн открытых диэлектрических волноводов СВЧ и оптического диапазона, то такие работы до настоящего времени отсутствовали.

Комбинированный метод КЭ-ИУ оказался плодотворным подходом также при решении другой актуальной проблемы, возникающей в современной физической электронике разработке методов моделирования электрических полей в автоэмиссионных устройствах вакуумной микроэлектроники [30,311- При расчете автоэмиссионных катодов возникают следующие сложности:

1. Большой диапазон масштабов. Если расстояние катод-анод в таких системах имеет порядок 10 Зм, то радиус скругления острия эмиттера может составлять порядка Ю-8 м. При этом неоднородности и микроструктура поверхности на острие эмиттера, сильно влияющие на эмиссионные свойства системы, еще на 1 -2 порядка меньше.

2. Максимальная точность расчета необходима именно на микроостриях, имеющих минимальный размер.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи.

1. Разрабатывается комбинированный метод конечных элементов -интегрального уравнения для расчета направляемых мод открытых диэлектрических волноводов с неоднородной сердцевиной сложной формы, в том числе возле частоты отсечки и непосредственно на критической частоте.

4. С использованием созданных программ проводятся расчеты дисперсионных характеристик и полей собственных поверхностных мод диэлектрических волноводов со сложной формой поперечного сечения. Особое внимание уделяется исследованию указанных величин вблизи критических частот и точно на критических частотах направляемых мод.

7. Развивается вариант комбинированного метода конечных элементов-интегрального уравнения для расчета автоэмиссионных устройств вакуумной микроэлектроники.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

2. Впервые проведено исследование трансформации электродинамических параметров диэлектрических волноводов и многослойных брэг-говских волокон с вытянутой формой поперечного сечения при постепенном увеличении параметра формата.

3. Впервые проведено исследование влияния геометрических дефектов трехслойных брэгговских оптических волокон на дисперсионные характеристики и параметры затухания вытекающих мод. Результаты расчетов показывают, что дефекты типа "щель" и "неконцентричность" оказывают незначительное влияние на свойства волокон (в частности, на дисперсию и потери на излучение) в широком диапазоне изменения параметров дефектов. Эллиптическая деформация трехслойного брэгговского волокна оказывает незначительное влияние на дисперсию, но приводит к значительному уменьшению потерь на излучение. 4. Комбинированный метод конечных элементов - интегрального уравнения впервые применен для расчета устройств вакуумной микроэлектроники, что позволило обеспечить высокую точность расчета напряженности электрического поля на поверхности эмитирующего острия.

Практическая значимость работы. Развитые в диссертационной работе методы расчета открытых диэлектрических волноводов могут быть использованы при разработке новых СВЧ - устройств (диэлектрических антенн, сенсорных датчиков, направленных ответвителей на связанных диэлектрических волноводах). Разработанные методики применимы также для расчета ряда перспективных устройств волоконной оптики, таких как фотонные кристаллы, микроструктурированные и брэгговские волоконные световоды. Предложенные методики допускают обобщение на более сложный класс открытых электродинамических систем, в частности, диэлекрических волноводов с большим относительным изменением показателя преломления по сечению, волноводов с оболочкой в виде плоско-слоистой среды и т.д.

Результаты исследования эффектов усиления электрического поля на эмитирующих поверхностях в присутствии микронеоднородностей представляют интерес для создания перспективных устройств вакуумной микроэлектроники, использующих новые материалы для автоэмиссионных катодов (пористый кремний, углеродные пленки).

В диссертации разработаны следующие программные комплексы для решения практически важных задач при помощи комбинированного метода: 1. Пакет прикладных программ для расчета направляемых и вытекающих мод диэлектрических волноводов и оптических световодов в приближении слабонаправляемых мод. Программы обладают значительной универсальностью по отношению к геометрической форме исследуемых систем, распределению относительной диэлектрической проницаемости и диэлектрических потерь в сердцевине, позволяют учитывать бесконечный размер полей в открытом пространстве и обеспечивают расчет параметров волноводов во всем диапазоне частот. 2. Пакет прикладных программ для расчета распределения полей в устройствах вакуумной микроэлектроники. Программы обладают универсальностью по отношению к геометрической форме исследуемых систем, распределению относительной диэлектрической проницаемости в пределах ячейки автоэмиссионного катода, позволяют добиться значительной точности в определении напряженности поля на поверхности эмиттера.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Комбинированный метод конечных элементов - интегрального уравнения позволяет проводить эффективный расчет собственных (направляемых) и несобственных (вытекающих) мод открытых электродинамических систем - диэлектрических волноводов и оптических световодов - во всем диапазоне частот, включая малую окрестность критической частоты, вблизи которой поля мод неограниченны в пространстве.

3. Геометрические дефекты трехслойных брэгговских волокон в виде продольной щели или неконцентрического смещения слоев оказывают незначительное влияние на дисперсию и потери на излучение вытекающих мод из волокон, в широком диапазоне изменения параметров дефектов. В то же время, эллиптическая деформация волокна в поперечном сечении приводит к заметному снижению потерь на излучение.

Личный вклад соискателя.

В работах [160-162,165-167,169-172] автору принадлежит вывод соотношений, разработка алгоритмов и программ, реализующих комбинированный метод КЭ - ИУ, проведение расчетов, участие в анализе и интерпретации результатов.

В работах [156-159,163,164,168] вклад автора заключается в разработке алгоритмов и программ расчета потенциала, создаваемого проводником, в форме множества Жюлиа, напряженности поля и плотности тока эмиссии вдоль заданной эквипотенциали, а также в проведении расчетов при помощи этих программ.

Апробация работы и публикации.

Материалы диссертационной работы докладывались на 5-й Международной школе по хаотическим колебаниям CHAOS'98 (Саратов, 1998г), на школе-семинаре «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 1998г), на ХТ-й и XII-й зимних школах по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 1999 и 2003 г.г.), на Международной конференции «Электроника и радиофизика СВЧ UHF'99» (С.-Петербург, 1999 г.), на 12-й Международной конференции по вакуумной микроэлектронике (Дармштадт, Германия, 1999 г.), на 5-м и 7-м рабочих семинарах IEEE Penza-Saratov Chapter (Саратов, 2000 и 2002 г.г.), на Международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ (Саратов, 2001 г.), на 7-й Всероссийской конференции студентов-физиков ВНКСФ-7 (С.Петербург, 2001 г.), на 4-й Международной конференции IEEE по вакуумным источникам электронов (IVECS-2002), (Саратов, 2002 г.), на 6-м Международном симпозиуме по электрическим и магнитным полям (EMF-2003) (Аахен, Германия, 2003 г.).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 226 страниц текста, 67 рисунков и графиков и список литературы из 172 наименований.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Разработан метод расчета направляемых мод диэлектрических волноводов в скалярном приближении. Метод обеспечивает расчет диэлектрических волноводов с произвольной формой сердцевины и произвольным распределением диэлектрической проницаемости по сечению волновода. Метод обеспечивает расчет свойств направляемых мод во всем частотном диапазоне, где они существуют, включая область вблизи и точно на частоте отсечки. Предлагаемая методика может быть обобщена для исследования диэлектрических волноводов более сложных конструкций: состоящих из материалов с комплексной диэлектрической проницаемостью (потери или активная среда), имеющих оболочку в виде плоско-слоистой среды и т.д.

2. Комбинированный метод конечных элементов - интегрального уравнения обобщен для случая расчета вытекающих мод диэлектрических волноводов с произвольным сечением сердцевины и произвольным распределением диэлектрической проницаемости в сердцевине, в том числе с диэлектрическими потерями или с усилением. Оба метода (расчета направляемых и вытекающих мод открытых диэлектрических волноводов), образуют единую методику, обеспечивающую моделирование свойств диэлектрических волноводов во всем диапазоне частот, как выше, так и ниже критической частоты .

3. Комбинированный метод конечных элементов - интегрального уравнения, развитый в первых двух главах для расчета диэлектрических волноводов, модифицирован для расчета устройств вакуумной микроэлектроники, содержащих конструктивные элементы с размерами, отличающимися на несколько порядков.

4. На основе развитых в диссертационной работе алгоритмов разработаны следующие комплексы программ:

- пакет прикладных программ для расчета распределения полей в устройствах вакуумной микроэлектроники;

- программа для моделирования эмиссионных свойств фрактальной поверхности множества Жюлиа.

5. С использованием созданных программ проведено исследование дисперсии направляемых мод и критических частот для диэлектрических волноводов со сложной формой сердцевины (эллиптической, прямоугольный ДВ, волновод в форме двулистника). Исследована трансформация дисперсии направляемых мод и их собственных полей при изменении параметра формата в диапазоне 1.0-100.0. Рассчитаны дисперсия и потери вытекающих мод для круглого и эллиптического диэлектрических волноводов, рассчитаны характеристики ДВ типа «трубка» (брэгговских волокон), в том числе с разнообразными дефектами и модификациями.

6. Для диэлектрических волноводов большого формата, работающих вблизи критической частоты, получена и подтверждена оценка граничного значения частоты, выше которой диэлектрический волновод ведет себя как двумерная, а ниже - как трехмерная структура. Граничное значение зависит от отношения поперечных размеров сечения сердцевины волновода в двух перпендикулярных направлениях. Эта оценка позволяет определить, следует ли использовать для описания конкретного ДВ модель планарного волновода, либо необходимо использовать трехмерную модель диэлектрического волновода.

8. Развитый метод расчета устройств вакуумной микроэлектроники применен к задаче определения поля на поверхности эмиссионных центров пористого кремния. Показано, что для автоэмиссионного катода, состоящего из периодически расположенных высоких автоэмиссионных острий, возможно так подобрать геометрические параметры, чтобы достичь максимальное значение коэффициента усиления поля на поверхности острия.

10. Проведенное моделирование автоэлектронной эмиссии с поверхности двумерного фрактального объекта, границей которого является множество Жюлиа, позволило объяснить известные несоответствия между численными расчетами и экспериментальными данными, которые предсказывали большое значение коэффициента усиления.

Заключение

В диссертационной работе с использованием комбинированного метода конечных элементов - интегрального уравнения исследованы направляемые и вытекающие моды открытых диэлектрических волноводов со сложной формой поперечного сечения и сложным распределением диэлектрической проницаемости в поперечном сечении, а также автоэмиссионные системы вакуумной микроэлектроники, имеющие многомасштабную структуру.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Елисеев, Максим Валерьевич, Саратов

1. Computational Electrodynamics: the finite difference time-domain method. —London: Artech House, 1995.

2. Григорьев А.Д., Янкевич В.Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы СВЧ. — М.: Радио и связь, 1984.

3. Weiland Т. On the numerical solution of Maxwell's equations and application in the field of accelerator physics. // Particle Accel. —1984. —Vol.15. — P. 242-294.

4. Jin J.M. The Finite Element methods in Electromagnetics. —NY: Wiley, 1993.

5. Сильвестер П., Феррари P. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. —М.: Мир, 1986.

6. Harrington R.F. Field Computation by moment methods. —NY: Macmillan, 1968.

7. Aliabadi M.H.,Wrobel L.C. The Boundary Element Method. —NY:Wiley, 2002

8. Steel S.W. Numerical computational of electric and magnetic fields. —NY: Van Nostrand Reinhold, 1987.

9. Antonsen T.M., Mondelli A.A., Levush B. ,Verboncueur J.P., Birdsall C.K. Advances in Modeling and Simulation of Vacuum Electonic Devices // Proceedings of the IEEE. —1999. —Vol. 87.— № 5 p. 804-839.

10. Вайнштейн JI. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. —М.: Сов. радио, 1966.

11. Интегральная оптика. Сб-к статей под ред. Тамира Т.— М.: Мир, 1978.

12. Rozzi Т., Mongiardo M. Open electromagnetic waveguides // IEEE Electro magnetic wave series. —1997.—V.43.

13. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах.—М.:Наука, 1969.

14. Yablonovitch Е. Inhebited spontaneous emission in solid-state physics and electronics. // Phys. Rev.Lett.—1987.—Vol.58. — P.2059-2062.

15. John S. Strong localization of photons in certain disordered dielectric super-lattices. // Phys.Rev.Lett.—1987.—Vol.58.—P.2486-2489.

16. Joannopoulos J.D., Meade R.D., Winn J.N. Photonic Crystals. —Princeton: Princeton University Press, 1995.

17. Birks T. A., Knight J. C., Russell P. St.J. Endlessly single-mode photonic crystal fiber. // Opt. Lett.— 1997.— Vol.22.— P.961-963.

18. Knight J.C., Birks T.A., Russell P.St. J., Atkin D.M. All-silica single-mode optical fiber with photonic crystal cladding // Opt. Lett.—1996.—Vol.21.— P. 1547

19. Желтиков A.M. Дырчатые волноводы. // Успехи физических наук.— 2000.—Т. 170.—№ 11.—С. 1203-1215.

20. Желтиков A.M. Нелинейная оптика микроструктурированных волокон. // Успехи физических наук.—2004.—Т.174.—№1.—С.73-105.

21. Силин Р.А. Необычные законы преломления и отражения-М.: Фазис, 1998.

22. Силин Р. А. Периодические волноводы. —М.: Фазис, 2002.

23. Маненков А.Б., Мелехин В.Н. Расчет квазиодномодовых оптических волокон с селективно отражающим многослойным покрытием. // Радиотехника и электроника.— 1979.—№7.—С. 1282- 1289

24. Johnson S.G. et al. Low-loss asymptotically single-mode propagation in large-core OmniGuide fibers. // Optics Express.-2001.-Vol. 9.-№.13-P.748-779.

25. Бате К., Вилсон E. Численные методы анализа и метод конечных элементов.— М.:Стройиздат,1982.

26. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.— М.:Мир,1986.

27. Jin J.M., Volakis J.L., Collins J.D. A finite element- boundary integral method for scattering and radiation by two and three dimentional structures // IEEE Antennas Propagat. Mag., 1991.— Vol. 33.— P.22-32.

28. Su.C.-C. A Combined Method for Dielectric Waveguides Using the Finite-Element Technique and the Surface Integral Equations Method. // IEEE Trans.—1986.—Vol.MTT-34.—№11 .—P. 1140-1146.

29. Клеев А.И.,Маненков А.Б,Рожнев А.Г. Численные методы расчета диэлектрических волноводов (волоконных световодов). Универсальные методики // Радиотехника и электроника.—1993.—Т.38.—№11.— С.1938-1969.

30. Brodie I., Spindt С.А. Vacuum microelectronics. // Advances in electronics and electron physics. —1992.—Vol.83.—P.2-105.

31. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г., Соколов Д.В. Лекции по сверхвысокочастотной вакуумной микроэлектронике.— Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1996.

32. Вайнштейн J1.A. Электромагнитные волны.— М.:Радио и связь,1988.

33. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. —М.:Мир,1984.

34. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов.— М.:Радио и связь, 1987.

35. Гауэр Дж. Оптические системы связи.— М.:Радио и связь, 1989.

36. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. — М.:Изд-во физ.-мат. литературы, 2001.

37. Клеев А.И., Маненков А.Б. Расчет диэлектрических волноводов методом коллокации. // Изв.вузов. Радиофизика.-1988.-Т31.-№1.-С.93-102.

38. Маненков А.Б. Сравнение приближенных методов расчета диэлектрических прямоугольных волноводов. // Изв.вузов.Радиофизика.—1990.—ТЗ 3.—№ 1 .—С .93-97.

39. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина.— М.:Мир,1988.

40. Клеев А.И., Маненков А.Б. Метод адаптивной коллокации в двумерных задачах дифракции. // Изв.вузов. Радиофизика. —1986. —Т.29.— №5. — С.557-565.

41. Клеев А.И., Маненков А.Б., Рожнев А.Г. Численные методы расчета диэлектрических волноводов (волоконных световодов).Частные мето ды //Радиотехника и электроника,—1993.—Т.38.—№5.— С.769-788.

42. Уилкинсон Дж. Х.,Райнш Р. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра.— М.:Машиностроение,1976.

43. Yeh С. Optical waveguide theory. // IEEE Trans. —1979.—Vol.CAS-26.— № 12.—P.1011-1019.

44. Рожнев А.Г., Маненков А.Б. Расчет диэлектрических волноводов вблизи критических частот //Радиотехника и электроника.— 1997.—Т.42.—№7.—С.785-792.

45. Manenkov А.В., Rozhnev A.G. Optical dielectric waveguide analysis, based on the modified finite element and integral equation methods. // Optical and Quantum Electronics.—1998.—Vol.30.—P.61-70.

46. Eyges I., Gianino P., Wintersteiner P. Modes of dielectric waveguides of ar bitrary cross sectional shape. // J.Opt.Soc.America.—1979.—Vol.69.— №9.—PI 226.

47. Bagby J.S.,Nyquist D.P., Drachman B.C. Integral Formulation for Analysis of Integrated Dielectric Waveguides. // IEEE Trans.—1985.—Vol.MTT-33—№10.—P. 906-915.

48. Хзмалян А.Д., Чаплин А.Ф. Возбуждение неоднородного тела. // Радиотехника и электроника.—1991.—Т.36.—№.117.—С.2072-2079.

49. Сотская Л.И., Сотский А.Б. Метод интегрального уравнения в теории слабонаправляющих неоднородных оптических волноводов // Журнал технической физики.—2002.—Т.72.—№ 12.—С. 1 -8.

50. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов— М.:Мир,1981.

51. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов-М.:Мир, 1977.

52. Williams С .G., Сambrell G .К. Numerical s olution о f surface waveguide modes using transverse field components // IEEE Trans.—1974.— Vol.MTT-22.—№3.—P.329-330.

53. Yeh С., Ha K., Dong S.B., Brown W.P. Arbitrarily shaped inhomogeneous optical fiber of integrated optical waveguides // Appl.Optics.—1979.— Vol.18.—№18.—P.1490-1504.

54. Mabaya N., Lagasse P.E., Vandenbucke P. Finite element analysis of optical waveguides //IEEE Trans.—1981.—Vol.MTT-29. —№6.—P.600-605.

55. Жбанов А.И., Маненков А.Б., Рожнев А.Г.Связанные диэлектрические волноводы // Радиотехника и электроника.—1989.—Т.34.—№12.— С.2492-2497.

56. Ikeuchi М., Sawami Н., Niki Н. Analysis of open-type dielectric waveguides by the finite-element interative method. // IEEE Trans.— 1981.—Vol. MTT- 29.—№3.—P.234-239.

57. Wu R.-B., Chen C.H. A Variational Analysis of Dielectric Waveguides by the Conformal Mapping Technique.//IEEE Trans.—1985.—Vol.MTT-33.—№8.—P681-689.

58. Wu R.-B., Chen C.H. A scalar variational conformal mapping technique for weakly guiding dielectric waveguides. // IEEE J.Quantum Electron. — 1986.—Vol.22.—№5.—P.603-609.

59. Chang C.N., Wong Y.-C., Chen C.H. Full-Wave Analysis of Coplanar Waveguides by Variational Conformal Mapping Technique. // IEEE Trans.—1990.—Vol.MTT-38.—№9.—P. 1339-1344.

60. Hayata K., Eguchi M., Koshiba M. Self-Consistent Finite/Infinite Element Scheme for Unbounded Guided Wave Problems. // IEEE Trans.— 1988.—Vol.MTT-36.—№3.—P.614-616.

61. McDougall M.J., Webb J.P. Infinite elements for the analysis of open dielectric waveguides. // IEEE Trans.—1989.—Vol.MTT-37.—№11.— P. 1724-1731.

62. Svedin J.A.M. A Modified Finite-Element Method for Dielectric Waveguides using and Asymptotically Correct Approximation on Infinite Elements. // IEEE Trans.—1991.—Vol.MTT-39.—№2.—P.258-263.

63. Rahman B.M.A., Davies J.B. Finite-Element Analysis of Optical and Mi crowave Waveguide Problems. // IEEE Trans.—1984.—Vol.MTT-32.— №1.—P.20-28.

64. Koshiba M., Hayato K., Suzuki M. Approximate scalar finite-element analy sis of anysotropic optical waveguides. // Electron.Letters.— 1982.— Vol.18.—№10.—P.411-412.

65. Koshiba M., Hayato K., Suzuki M. Approximate scalar finite-element analysis of anisotropic optical waveguides with off-diagonal elements in a permittivity tensor. // IEEE Trans.-1984.-Vol.MTT-32.-№6.-P.587-593.

66. Боголюбов A.H., Лопушенко B.B. Расчет дисперсионных характери стик градиентных оптических волокон методом конечных разностей. // Радиотехника и электроника.— 1988.—Т.ЗЗ.—№11.—С.2296-2300.

67. Schweig Е., Bridges W.B. Computer Analysis of Dielectric Waveguides. A Finite-Difference Method. // IEEE Trans.—1984.—Vol.MTT-32.— №5.—P.531-541.

68. Bierwirth K., Sholz N., Arndt F. Finite-Difference Analysis of Rectangular Dielectric Waveguide Structures. // IEEE Trans.—1986.—Vol.MTT-34.— №10.—P. 1104-1114.

69. Schulz N., Bierwirth K., Arndt F., Koster V. Finite-Difference Method Without Spurious Solutions for the Hybrid-Mode Analysis of Diffused Channel Waveguides. // IEEE Trans.-1990.-Vol.MTT-38.-№6.-P.722-729.

70. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.:Наука,1989.

71. Годунов С.К,. Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.:Наука,1977.

72. Шевченко В.В. Методы формул сдвига в теории диэлектрических вол новодов и волоконных световодов (обзор). // Радиотехника и элек троника.—1986.—Т.31 .—№5.— С.849-864.

73. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. — М.:Наука,1967.

74. Wang Y.H. Calculation of cutoff frequency of arbitrary weak guidance optical waveguides by extended boundary condition method //Optical Quantum Electronics.—2000.—Vol.32.—№1 .—P.31 -42.

75. Matsuhara M. Analysis of ТЕМ modes in dielectric waveguides, by a varia tional method //J.Opt.Soc.America.—1973.—Vol.63.—№12.—P. 1514.

76. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.:Наука,1968.

77. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 1967.78 http://www-2.cs.cmu.edu/~quake/triangle.html79 www.netlib.org

78. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. — М.: Мир, 1988.

79. D. Sorensen D. Implicit Aplication of Polynomial Filters in a k-Step Arnoldi Method // SI AM J. Matrix Anal. Appl. —1992. —Vol. 13.— P. 357-385.

80. ARPACK Users' Guide: Solution of Large Scale Eigenvalue Problems with Implicitly Restarted Arnoldi Methods. http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/83 http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/

81. Хансперджер Р. Интегральная оптика (теория и технология). М.: Мир, 1985.

82. Маненков А.Б. Влияние размерности на решение задач дифракции задач в открытых волноводах. // Изв.вузов.Радиофизика.—2000.— Т.43.—№2.-С.115-125.

83. Ouyang G., Xu Y., Yariv A. Theoretical study on dispersion compensation in air-core Bragg fibers.//Opt.Express—2002.—Vol.10.—No. 17.—P.899-908.

84. Cregan R.F. et al. Single-mode Photonic Band Gap Guidance of Light in Air. // SCIENCE.—1999.— Vol 285.—P. 1537-1539. Статья доступна через Интернет: http://www.bath.ас.uk/physics/groups/opto/documents/cregan.pdf

85. Issa N.A., Poladian L. Vector Wave Expansion Method for Leaky Modes of Mi-crostructured Optical Fibers. // J. Lightwave technol.—2003.—Vol.21.— N.4.—P. 1005-1012.

86. Issa N.A. et al. Identifying hollow waveguide guidance in air-cored micro structured optical fibres.// Optics Express.—2003.—Vol.l 1.—N.9.—P.996-1001.

87. Шевченко В.В. Наглядная классификация волн, направляемых регулярными открытыми волноводами. // Радиотехника и электроника.— 1969.— №10.— С.1768-1772.

88. ArnbakJ. Leaky Waves on a Dielectric Rod. // Electronics Letters.—1969.— Vol.5.—N.3.—P.41-42.

89. Шевченко В.В. О поведении волновых чисел волн диэлектрических волно водов за критическим значением (среды с потерями). // Радиотехника и электроника.—1972.—Т. 15.—№2.—С.257-265.

90. Zepparelli F. et al. Rigorous analysis of 3D optical and optoelectronic devices by the compact-2D-FDTD method. //Opt. and Quantum Electron.—1999.— Vol.31. —P. 827-841

91. Gedney S. D. An anisotropic perfectly matched layer-absorbing medium for the truncation of FDTD lattices. // IEEE Trans. Antennas Propag. — 1996.— Vol.44.—P. 1630-1639.

92. Obayya S.S.A., Rahman B.M.A., El-Mikati H.A. New full-vectorial numerically efficient propagation algorithm based on the finite element method. // J.Lightwave Technol. — 2000.—Vol. 18.— N.3.—P.409-415.

93. Steel M.J., Osgood R.M. Jr. Polarization and dispersive properties of elliptical-hole photonic crystal fibers. // J. Lightwave Technol.—2001.— Vol. 19.— N.4.—P. 495-503.

94. Giorgio A., Perri A.G., Armenise N.M. Very Fast and Accurate Modeling of Multilayer Waveguiding Photonic Bandgap Structures // J. Lightwave Technol.— 2001.—Vol. 19.—No. 10.

95. Perri A. G. Modelling of 1-D Multilayer Periodic Structure Deeply or Fully Etched using the Leaky Mode Propagation Method.// Proceedings of EuMC 2001 Conference, London, 24-28 September 2001—Vol.2.—N. 10.— P. 169172.

96. Poladian L., Issa N.A., Monro Т. M. Fourier decomposition algorithm for leaky modes of fibers with arbitrary geometry. // Opt. Express.— 2002.—Vol.10.— N.10.—P.449-454.

97. Абрамович М.,Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.:Наука,1979.

98. Amos D. Е. Algorythm 644, A Portable Package For Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order. // ACM Transactions on Mathematical Software.— 1986.—Vol.12.—№.3.—P.265-273.

99. Amos D. E. Remark on Algorithm 644 // ACM Transactions on Mathematical Software.—1990.—Vol.l 6,—№.4.—P.404.

100. Amos D. E. Remark on Algorithm 644 (Improvements in Algorithm 644) // ACM Transactions on Mathematical Software.—1995.—V.21.—№4.— P.388.106 http://www.omni-guide.com107 http://www.omni-guide.com/Pages/tech.html

101. Engeness T. D. et al. Dispersion Tailoring and Compensation by modal interac tions in Omniguide fibers. // Opt. Express.—2003.— Vol. 11—N.10.— P.l 175-1196 .

102. Hasegawa T. et al. Hole-assisted lightguide fiber for large anomalous dispersion and low optical loss. // Optics Express. — 2001. — Vol.9. — No.3. — P.681-686.

103. Dellemann G., Engeness T.D., Skorobogatiy M., Kolodny U. Perfect Mirrors Extend Hollow-Core Fiber Applications. Статья доступна через Интернет: http://www.omni-guide.com/Pages/TechPapers/OmniFeature.pdf

104. Temelkuran В., Hart D.S., Benoit G., Joannopoulos J.D., Fink Y. Wavelengthлscalable hollow optical fibres with large photonic bandgaps for CO laser transmission//Nature. — 2002—Vol. 420.— P. 650-653.

105. Golowich S.E., Weinstein M.I., Resonances of Microstructured Photonic Waveguides and Higher Order Homogenization Expansion. // Physica B.— 2003.— Vol.338.—P.l36-142 .

106. Маненков А.Б. Распространение и излучение волн в прямоугольных волно водах со слоистыми стенками. // Изв.вузов. Радиофизика.— 1979.— Т.22.— №11.—С.1365-1376.

107. Spindt С.A., Brodie I., Humphrey L., Westernberg E.R. Physical Properties of thin-film field emission cathodes with molybdenum cones // Journal of Applied Physics.—1976.—Vol.47.—N. 12.—P.5248-5263.

108. Jensen L.K. Field Emitter Arrays for plasma and microwave source applications. // Phys.Plasmas.—1999.—Vol.6.—P.2241-2253.

109. Whaley D.R. et al. Application of Field Emitter Arrays to Microwave Power Amplifiers. // IEEE Trans. Plasma Sc. —2000.—Vol.28.—№3.—P.727-747.

110. Gulyaev Yu.V., Sinitsyn N.I., Torgashov G.V., Saveliev S.G. Fundamental and applied directions of field emission electronics using nanocluster carbon materials. //Applied Surface Science.—Vol.215.—N.l-4.—P.141-148.

111. Colleen М.М. Compatibility of field emission cathode and electric propulsion technologies. — Диссертация. — The University of Michigan,US A —1999. Текст доступен через Интернет:www.engin.umich.edu/dept/aero/spacelab/pdf/1999 Marrese thesis.pdf

112. Grigoriev Yu.A. et al. Experimental study of matrix carbon field-emission cathodes and computer aided design of electron guns for microwave power devices, exploring these cathodes. // J.Vac.Sci.Technol.B.—1997.— Vol. 15.—No.2.—P.503-506.

113. Ryskin N.M., Rozhnev A.G., Trubezkov D.I. Theoretical study of field emission from non-uniform emitters. В сб.: «Tech Digest of IVMC'97. Kyongju, Korea».—1997.—P.310-314.

114. Jaeger D.L., Hren J.J., Zhirnov V.V. Local electrostatic effects of surface structure on field emission. // Journal of Applied Physics.—2003.— Vol.93.—N. 1 .—P.691 -697.

115. Hong D., Aslam D.M. Simulation Study of Microtip Field Emitter Arrays in Triode Configuration. В сб.: "10th Int.Vacuum Microelctronics Conf. Technical Digest. Kyongju, Korea, August, 17-21".—1997.—P.336-340.

116. Jung J., Kim Y.-H., Lee В., Lee J.D. Optimal Design of FEA (Field Emitter Array) using an Evolution Strategy. В сб.: "10th Int.Vacuum Microelectron ics Conf. Technical Digest. Kyongju, Korea, August, 17- 21".—1997.— P.341-345.

117. Ahn H.Y., Lee C.G., Lee J.D. Numerical analysis on field emission for the effects of the gate insulators // J. Vac. Sci. Technol.—1995.—Vol.13.— N.2—P.540-544.

118. Lee В., Min S.-W., Bang J.-H., Hwang D.-S., Kwon T.-J. Modeling of Tunneling Current at Field Emission Display Tips. В сб.: «9th Int.Vacuum Microelectronics Conf. Technical Digest. July 7-12,1996, S t.-Petersburg, Russia.»—1996.—P.97-101.

119. Herrmannsfeldt W.B., Becker R., Brodie I., Rosengreen A., Spindt C. High-resolution simulation of field emission. // Nucl.Instrum.Methods.—1990.— Vol.A298.—P.39-44.

120. Глухова O.E., Жбанов A.M., Синицын Н.И., Торгашов Г.В. Вычисление тока матричных автоэмиссионных катодов. // Радиотехника и электроника.—1999.—Т.44.—№4.—С.493-498.

121. Glukhova О.Е., Zhbanov A.I., Torgashov I.G., Sinitsyn N.I., Torgashov G.V. Ponderomotive forces effect on the field emission of carbon nanotube films. // Applied Surface Science.—2003.—V.215.—N.1-4.—P.149-159.

122. Корка P., Ermert H. Analysis of Vacuum Microelectronic Components by the Use of Special Finite Elements. В c6.:"10th Int.Vacuum Microelectronics Conf. Technical Digest. Kyongju, Korea, August, 17-21".—1997.— P.247-250.

123. Goplen В., Ludeking L.,Smithe D.,Warren G. MAGIC User's Manual.— Mission Research Corp.,MRC/WDC-R-409,1997.

124. Goplen В., Ludeking L., Smithe D., Warren G. User-Configurable MAGIC for electromagnetic PIC calculations. // Computer Physics Communications. —1995,—Vol.87.—P.54-86.

125. Lan Y. C., Lai J. Т., Chen S. H., Wang W. C., Tsai, С. H., Tsai K. L., Sheu C.Y. Simulation of focusing field emission devices. // Journal of Vacuum Science & Technology B: Microelectronics and Nanometer Structures.—2000.—Vol. 18.—N. 2.—P.9 11-913.

126. Clemens M., Weiland T. Discrete Electromagnetism with the Finite Integration Technique // Progress in Electromagnetics Research.—2001.— Vol.PIER-32.—P.65-87. Статья доступна через Интернет: http://ceta.mit.edu/PIER/pier32/03.clemens.pdf

127. Camp C.V., Fontesa L.R.C., Allmen P., Ramprasad R. Numerical simulation of the tunneling current and ballistic electron effects in field emission devices. // Journal of Applied Physics.—Vol.87.—№5.—p.2533-2541.

128. Tsai T.-H., Tang H.-K., Yang Y.-J. A Methodology of Field-Emission Modeling with Space-Charge Effects. В сб.: «Technical Proceedings of 2003 Nanotechnology Conference and Trade Show, Vol.2»—2003.—P.32-35.

129. Хокс П., Каспер Э. Основы электронной оптики: Т.1 — М: Мир, 1993.

130. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. — М.: Мир, 1974.

131. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн функций.— М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980.

132. Brodie I. Vacuum Microelectronics the next ten years. В сб.: "10th Int. Vacuum Microelectronics Conf. Technical Digest. Kyongju, Korea, August, 17-21".—1997.—P.l-6.

133. Jensen K.L. An analytical model of an emission-gated Twystrode using a field emitter array. // J.Appl.Phys.—1998.—Vol.83.—№12.—P.7982-7992.

134. Sokolov D.V., Rozhnev A.G., Trubetskov D.I. Approximate calculation of fields in thin-film field-emission (TFFE) triodes. В сб.: "Eight Int.Vacuum Microelectronics Conf. Techical Digest. Portland, USA, July, 30".— 1995.— P.359—362.

135. Geis M.W. et. al. Diamond field-emission cathodes В сб. " VI Int. Vacuum Microelectronics Conf. Tech. Digest.Newport, Rhode Island".-1993.-P.160.

136. Gulyaev Yu.V. et. al. Work function estimate for electrons emitted from nanotube carbon cluster films // J. Vac. Sci. Technol. B.—1997.—Vol.15.— № 2.- P. 422.

137. Wilshaw R.P., Boswell E.C. Field emission from pyramidal cathodes covered in porous silicon // J. Vac. Sci. Technol. B. -1994.- Vol.12.- № 2. -P. 662.

138. Shoushan Fan et al. Self-Oriented Regular Arrays of Carbon Nanotubes and Their Field Emission Properties. // Science 283.—1999. -№ 1.—P.512.

139. Jessing J.R., Parker D.L., Weichold M.H. Porous Silicon field emission cathode development.// J. Vac. Sci. Technol. B.—1996.—Vol.14.—№3.— P.1899.

140. Солнцев B.A. Нелинейные явления в вакуумных микроэлектронных структурах. // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 1998. — Т. 6.—№ 1.—С. 54.

141. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

142. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993.

143. Елисеев M.B., Исаева О.Б., Рожнев А.Г., Рыскин Н.М. Моделирование автоэлектронной эмиссии с фрактальной поверхности. // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 1999. —Т.7. —№ 5.— С. 33-43.

144. Eliseev M.V., Isaeva O.B., Rozhnev A.G., Ryskin N.M. Simulation of field emission from fractal surface. В сб." 12th Int. Vacuum Microelectronics Conference, Darmstadt, Germany, 1999."—1999.— P. 199-200.

145. Eliseev M.V, Isaeva О.В., Rozhnev A.G., Ryskin N.M. Properties of electron field emission from a fractal surface. // Solid-State Electronics.— 2001.— Vol.45.— P.871 -877.

146. Eliseev M.V, Isaeva O.B., Rozhnev A.G., Ryskin N.M. Numerical Simulation of Field Emission from Fractal Cathode. В сб.-."Proceedings of the Fourth IEEE International Vacuum Electron Sources Conference (Saratov, July 15-19, 2002)".— 2002—C. 385-387.

147. Eliseev M.V, Rozhnev A.G. The Combined method of Calculation of Emission P roperties of some P erspective Materials. В с 6.:"Proceedings of the Fourth IEEE International Vacuum Electron Sources Conference (Saratov, July 15-19, 2002)".—2002—C. 388-390.

148. Елисеев М.В., Рожнев А.Г. Расчет диэлектрических волноводов вблизи от частоты отсечки. В сб.:"Материалы XII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике. Саратов, 28 января- 3 февраля 2003г". —2003.—Стр.39-40.

149. Елисеев М.В., Исаева О.Б., Рожнев А.Г., Рыскин Н.М. Численное моделирование автоэлектронной эмиссии с фрактального катода. В сб.: «Материалы XII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике.28 января- 3 февраля 2003 г».—2003.—С.34-35.

150. Eliseev M.V.,Rozhnev A.G. Combined IEM-FEM method of calculation of optical dielectric waveguides" properties near the cutoff. В сб." Proceedings LFNM'2003 (5th International Workshop on Lasers&Fiber-Optical

151. Networks Modeling) Alushta, Crimea, Ukraine, 19-20 September 2003".— 2003.—P.233-235.

152. Елисеев M.B., Рожнев А.Г., Маненков А.Б. Расчет диэлектрических волноводов с вытянутым поперечным сечением. // Радиотехника и электроника.—2004—Т.49—№6.—С.656-664.