Компактные линейные группы с факторпространством, гомеоморфным клетке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.815.1, 512.816.2

4851иг■

Стырт Олег Григорьевич ^^

Компактные линейные группы

с факторпространством, гомеоморфным

клетке

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2011

4851021

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Винберг Эрнест Борисович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Шварцман Осип Владимирович кандидат физико-математических наук Шмелькин Дмитрий Альфредович Ведущая организация: Ярославский государственный

университет им. П. Г. Демидова

Защита диссертации состоится 8 апреля 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 8 марта 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Работа относится к теории групп Ли. Она посвящена описанию компактных линейных групп с факторпространством, гомеоморфным векторному пространству (клетке).

Поводом к исследованию данной проблемы послужила задача нахождения комплексных редуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов, подробно изучавшаяся с середины XX века. Первый результат в этой области описывает случай конечной группы и был получен Шепар-дом и Тоддом1 и Шевалле2. Прежде чем сформулировать его, потребуется дать определение отражения и псевдоотражения.

Определение. Линейный оператор в векторном пространстве над некоторым полем называется отражением (соотв. псевдоотражением), если подпространство его неподвижных точек имеет коразмерность 1 (соотв. 2).

Теорема 1 (Шепард—Тодд—Шевалле). Для конечной линейной группы G, действующей в комплексном векторном пространстве V, следующие условия эквивалентны:

1) алгебра инвариантов группы G свободна]

2) группа G порождена отражениями.

Известно также, что при выполнении условий 1) и 2) теоремы 1 фактор V/G является комплексным многообразием, изоморфным V.

Позднее, в течение последних трёх десятилетий XX в., были перечислены комплексные редуктивные линейные группы со свободной алгеброй инвариантов в ряде важных классов групп: в классе связных простых неприводимых групп — В. Г. Кацем, В. Л. Поповым и Э. Б. Винбергом3; в классе связных простых приводимых групп — О. М. Адамович и Е. О. Головиной4 и Шварцем5; в классе связных полупростых неприводимых групп — Лит-

¡G.C. Shephard, J. A. Tbdd, Finite unitary reflection groups, Cañad. J. Math., vol. 6, №2, pp. 274—304

(1954).

2C. Chsvalley, Invariants of finite groups generated by reflections, Amer. J. Math., vol. 77, pp. 778—782

(1955).

3V. G. Kac, V. L. Popov, E. B. Vinberg, Sur les groupes algébriques dont l'algèbre des invariants est libre, С. r. Acad. sei. Paris, vol. 283, ser. A, pp. 875-878 (1976).

40. M. Адамович, E. О. Головина, Об инвариантах пари билинейных форм, Вестн. МГУ, Сер. мат., мех., №2, pp. 15-18 (1977).

5G. W. Schwarz, Representations of simple Lie.groups with regular rings invariants, Inv. Math., vol. 49, pp. 167-191 (1978).

Тельманом6; в классе несвязных простых групп — Д. А. Шмелькиным7.

Описание вещественных редуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов сводится к комплексному случаю путём перехода к комплексификации группы и пространства представления. Так, для вещественного векторного пространства V и конечной группы G С GL(V) остаются эквивалентными условия 1) и 2) теоремы 1, однако из них не следует, что фактор V/G является (вещественным) многообразием, изоморфным V, Дело в том, что над полем К неверна теорема Гильберта о нулях, и, как следствие, каноническое отображение V —> SpecR[V]G не сюръективно (неравенства, задающие его образ, получены Прочези и Шварцем8). К примеру, фактор любой конечной группы отражений гомеоморфен (замкнутой) камере Вейля и потому не гомеоморфен векторному пространству, в то время как факторпространство линейной группы {iE} С GI^QR), не содержащей отражений, гомеоморфно R2.

В связи с этим возникла проблема описания компактных (вещественных) линейных групп с факторпространством, гомеоморфным векторному пространству. Рассмотрение только компактных групп обусловлено тем, что их факторпространства хаусдорфовы.

По ряду причин в работе изучаются также другие «хорошие» свойства, которыми могут обладать компактные линейные группы. Для понимания этих свойств и формулировки ранее полученных результатов понадобятся следующие определения.

Определение. Непрерывное отображение С°°-гладких многообразий назовём кусочно-гладким, если оно переводит любое относительно компактное гладкое подмногообразие в конечное объединение гладких подмногообразий.

В частности, всякое гладкое отображение является кусочно-гладким.

Рассмотрим непрерывное действие компактной топологической группы G на гладком многообразии М.

Определение. Будем говорить, что фактор действия G: М сильно диффеоморфен (диффеоморфен) гладкому многообразию М', если топологический фактор M/G гомеоморфен М', причём гомеоморфизм можно построить так, чтобы в соответствии с ним отображение факторизации М —► М' было гладким (кусочно-гладким).

5Р. Littelraaim, Kureguläre 'und äquidimertsiunale Darstellungen, J. Algebra, vol. 123, pp. 193—222

(1989).

7Д. А. Шмелькин, О несвязных простых линейных группах со свободной алгеброй инвариантов, Изв. РАН, Сер. мат., т.60, №4, pp. 159-204 (1996).

8С. Procesi, G.W. Schwarz, Inequalities defining orbit spaces, Inv. Math., vol. 81, pp. 539—554 (1985).

Определение. Будем говорить, что фактор действия (7: М является гладким многообразием, если он диффеоморфен некоторому гладкому многообразию.

Пусть имеется точное линейное представление компактной группы Ли £ в вещественном векторном пространстве V. В работе изучается вопрос о том, является ли фактор У/С? этого действия топологическим многообразием, а также является ли он гладким многообразием. Для краткости будем в дальнейшем называть топологическое многообразие просто «многообразием».

Исследования в этой области были начаты с конечных групп. Именно, в 1984 г. М.А.Михайлова показала, что, во-первых, факторпространство конечной линейной группы, порождённой псевдоотражениями, гомеоморф-но пространству представления, а во-вторых, что если факторпространство конечной линейной группы сильно диффеоморфно пространству представления, то данная линейная группа порождена псевдоотражениями9.

В диссертации рассматриваются группы с коммутативной связной компонентой и трёхмерные группы.

Основным методом является сведение проблемы к более «простым» представлениям (с меньшей размерностью группы либо пространства представления) при помощи перехода к слайс-представлениям, подобно тому, как это делается в задаче описания комплексных редуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов. В качестве ключевого факта здесь выступает теорема о слайсе для компактных групп преобразований10.

Цель работы

• Решить задачу нахождения всех компактных линейных групп с коммутативной связной компонентой, факторпространство которых гомео-морфно клетке.

• Найти все трёхмерные простые компактные линейные группы с фактор-пространством, гомеоморфным клетке.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

®М. А. Михайлова, О факторпространстве по действию конечной группы, порождённой псевдо- ■ отражениями, Изв. АН СССР, Сер. мат., т.48, №1, рр. 104—125 (1984).

'°Г. Бредов, Введение в теорию компактных групп преобразований, М.: Наука, 1980.

1) Найдены все компактные линейные группы с коммутативной связной компонентой, факторпространство которых диффеоморфно клетке.

2) Показано, что размерность представления трёхмерной компактной группы Ли, фактор которого диффеоморфен клетке, не превосходит девяти.

3) Для связной трёхмерной компактной группы, действующей в пространстве размерности не выше 9, во всех случаях, кроме двух, выяснено, является ли фактор представления многообразием, диффеоморфным клетке.

Основные методы исследования

В работе применяются методы линейной алгебры, теории групп Ли и их представлений, алгебраической топологии, в частности, теорема о слайсе.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут найти применение в теории групп Ли и топологии.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• на конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, МГУ, 2008 г.);

• на семинаре «Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика» (Москва, НМУ, 2010 г.);

• на научно-исследовательском семинаре по алгебре под руководством порф. В. Н. Латышева и др. (Москва, МГУ, 2010 г.).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в двух работах. Список работ приводится в конце автореферата [1—2].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 4 глав (первая из которых является вводной). Список литературы включает 15 наименований. Общий объем диссертации составляет 54 страницы.

Краткое содержание работы

Первая глава является введением. В ней обсуждается история изучаемых вопросов, дается обзор ранее известных результатов и формулируются основные утверждения, доказанные в диссертации.

Во второй главе мы напоминаем необходимые для доказательства основных результатов диссертации известные понятия и утверждения, принадлежащие другим авторам, из теории групп преобразований. Также мы устанавливаем соглашения относительно обозначений и понятий, используемых в диссертации.

В третьей главе описываются все компактные линейные группы с коммутативной связной компонентой, факторпространство которых гомео-морфно клетке.

Через б0 будем обозначать связную компоненту единицы компактной линейной группы С С СЬ(У), через д — её касательную алгебру.

Предположим, что группа коммутативна.

Все неприводимые представления группы имеют размерность 1 или 2. Каждому из её двумерных неприводимых представлений соответствует вес — нетривиальная линейная функция Л: д —» Ж, А 6 0*; одномерным же представлениям естественно сопоставить нулевые веса А = 0 € д*.

Классы изоморфных неприводимых представлений группы С0 характеризуются весами А е д', определёнными с точностью до знака. Множество Р С д* весов Л, соответствующее разложению V в прямую сумму неприводимых компонент (с учётом кратностей последних), не зависит от разложения.

Разложением множества векторов конечномерного линейного пространства на компоненты будем называть его представление в виде объединения своих подмножеств, линейные оболочки которых линейно независимы. Если среди этих линейных оболочек по крайней мере две нетривиальны, то такое разложение назовём собственным. Будем говорить, что множество неразложимо, если оно не допускает ни одного собственного разложения на компоненты.

Конечное множество векторов конечномерного пространства, рассматриваемое с учётом кратностей своих элементов, назовём д-устойчивым (д ^ 0), если его линейная оболочка не меняется при удалении из него любых векторов в количестве не более д (с учётом кратностей).

Теорема 2. Если У/С — многообразие, то множество Р с д* является 1-устойчшым.

В §3.7 диссертации вопрос о том, является ли фактор представления с 1-устойчивым множеством весов (гладким) многообразием, сводится к аналогичному вопросу для представления с 2-устойчивым множеством весов. В свою очередь, случай 2-устойчивого множества весов сводится к случаю неразложимого 2-устойчивого множества весов (§ 3.4).

Прежде чем сформулировать основные результаты для представления с неразложимым 2-устойчивым множеством весов, введём следующие обозначения. Пусть т — размерность группы С?, а (1 с б - подмножество всех элементов д € б, таких что гк(£ - д) - гк(Е - Ас%)) е {0; 2}. Будем считать число т положительным, поскольку все нуждающиеся в исследовании компактные линейные группы бесконечны.

Теорема 3. Предположим, что множество весов Р неразложимо, 2-устойчиво и не содержит нулей.

1) Если т > 1, а УД? — гладкое многообразие, то выполняются четыре условия:

(1) множество Р содержит ровно т + 2 ненулевых веса; (И) пространство V разлагается в прямую сумму двумерных С0-инвариантных подпространств 1У\,..., 1¥т+2, переставляемых группой й, причём последняя переводит в себя подпространство Т¥х Ф Ф ... ф ]¥т, а при т > 2 — все г = 1,..., т 4- 2; (ш) найдётся элемент д е б, переводящий в себя все для которого М{д) = —Е;

(¡.у) для любого вектора V £ V с конечным стабилизатором имеет место равенство в» = {С» П Л).

2) Если условия (¡) —(¡V) выполнены, то — многообразие.

3) Если выполнены условия (¡)— (111) и группа б переводит в себя все подпространства ..., 1¥т+2, то У/в — многообразие.

В четвёртой главе описываются все трёхмерные простые компактные линейные группы с факторпространством, гомеоморфным клетке. Допустим, что группа (?° изоморфна БИг либо ЭОз. Обозначим через щ,..., п^ размерности неприводимых компонент представления д: V (с учётом кратностей). Будем считать, что щ ^ ... ^ > гц > 1 = п;+1 = • • ■ = т, I = 1,.. -, N. Число является натуральным

ь I

при щ > 1 и равно нулю при щ = 1. Положим q{y) := X) И И € N.

¡=1 ¿=1

Теорема 4. Если V/б — гладкое многообразие, то д(У) < 4. Теорема 5. Если У/С — многообразие, то д(У) > 2.

Следствие 1. Если V/G — гладкое многообразие, то q(V) € {3;4}. Теорема 6. Если G = G°, V/G — гладкое многообразие, а среди чисел , i = l,... ,1, хотя бы одно нечётно, то q(V) = 3. Согласно следствию 1 и теореме 6, если G — G°, a V/G — гладкое многообразие, то (конечная) последовательность (nj,. ..,ni) совпадает с одной из девяти последовательностей (4,4), (4,3), (3,3,3), (5,4), (7), (8), (5,3), (5,5), (9). Для этих случаев получены следующие результаты.

Теорема 7. Если G = G0, а последовательность (щ,..., щ) совпадает с одной из последовательностей (4,4), (4,3), (3,3,3), (7), (8) к (5,3), то фактор V/G гомеоморфен вещественному векторному пространству размерности dim V - 3.

Теорема 8. Если G = G° и (щ,... ,щ) = (5,4), то фактор V/G не является гладким многообразием.

Если последовательность (щ,...,П|) совпадает с одной из последовав тельностей (5,5) и (9), то вопрос о том, является ли фактор V/G (гладким) многообразием, остаётся открытым.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Эрнесту Борисовичу Винбергу за постановку задачи, постоянное внимание к научной работе и многолетнюю поддержку.

Автор также благодарит участников семинара «Группы Ли и теория инвариантов» и весь аспирантско-иреподавательский состав кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ за благоприятную доброжелательную обстановку, позволяющую заниматься научной par ботой.

Работы автора по теме диссертации

[1] О. Г. Стырт, 0 пространстве орбит компактной линейной группы Ли с коммутативной связной компонентой, Труды ММО, т. 70, стр. 235-287 (2009).

[2] О. Г. Стырт, О пространстве орбит трехмерной простой компактной линейной группы Ли, Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1, Математика. Механика, № б, стр. 55—56 (2010).

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (СО экз. Заказ N° //

Глава 1. Введение

§1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Формулировка результатов.

§1.3. Общие замечания.

Глава 2. Вспомогательные факты

§2.1. Локальные свойства.

§ 2.2. Стратификация Луны.

Глава 3. Коммутативный случай

§3.1. Вспомогательные факты.

§3.2. Базовые примеры. • • •

§ 3.3. Системы векторов конечномерного пространства

§ 3.4. Представление с 2-устойчивым множеством весов.

§ 3.5. Доказательство основной теоремы.

§3.6. Случай одномерной группы.

§3.7. «Упрощение» представлений.

Глава 4. Представление трёхмерной группы

§4.1. Вспомогательные факты.

§ 4.2. Представления трёхмерных групп.

§ 4.3. Доказательства основных результатов.

§ 4.4. Разбор частных случаев.

§ 1.1. Постановка задачи i

Настоящая работа посвящена описанию компактных линейных групп с факторпространством, гомеоморфным векторному пространству (клетке).

Поводом к исследованию данной проблемы послужила задача нахождения комплексных редуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов, подробно изучавшаяся с середины XX века. Первый результат в этой области описывает случай конечной группы и был получен Шепардом и Тоддом [1] и Шевалле [2]. Прежде чем сформулировать его, потребуется дать определение отраэ/сения и псевдоотражения.

Определение. Линейный оператор в векторном пространстве над некоторым полем называется отражением (соотв. псевдоотражением), если подпространство его неподвижных точек имеет коразмерность 1 (соотв. 2).

Теорема 1.1.1 (Шепард—Тодд—Шевалле). Для конечной линейной группы С, действующей в комплексном векторном пространстве V, следующие условия эквивалентны:

1) алгебра инвариантов группы С? свободна;

2) группа С? порождена отражениями.

Известно также, что при выполнении условий 1) и 2) теоремы 1.1.1 фактор является комплексным многообразием, изоморфным V.

Позднее, в 70—80-х гг. XX в., были перечислены линейные группы со свободной алгеброй инвариантов в ряде важных классов групп: в классе связных простых неприводимых групп — В.Г.Кацем, В.Л.Поповым и Э.Б.Вин-бергом [3]; в классе связных простых приводимых групп — О.М.Адамович и Е.О.Головиной [4] и, независимо, Шварцем [5]; в классе связных полупростых неприводимых групп — Литтельманом [6].

Подробный обзор результатов на эту тему имеется в [7, §8].

Описание вещественных редуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов сводится к комплексному случаю путём перехода к комплексификации представления. Так, для вещественного векторного пространства V и конечной группы G С GL(V) остаются эквивалентными условия 1) и 2) теоремы 1.1.1, однако из них не следует, что фактор V/G является (вещественным) многообразием, изоморфным У. Дело в том, что над полем R неверна теорема Гильберта о нулях,, и, как следствие, каноническое отображение V —> SpecM[V]G не сюръективно (неравенства, задающие его образ, найдены в [8]). К примеру, фактор любой конечной группы отражений гомеоморфен (замкнутой) камере Вейля и потому не гомеоморфен векторному пространству, в то время как факторпространство линейной группы {i-E1} С GI/2(®L), не содержащей отражений, есть двумерное аффинное пространство.

В связи с этим возникла проблема описания компактных (вещественных) линейных групп с факторпространством, гомеоморфным векторному про-, странству. Рассмотрение только компактных групп обусловлено тем, что их факторпространства хаусдорфовы.

По ряду причин в работе изучаются также другие «хорошие» свойства, которыми могут обладать компактные линейные группы. Для понимания этих свойств и формулировки ранее полученных результатов понадобятся следующие определения.

Определение. Непрерывное отображение гладких многообразий назовём кусочно-гладким, если оно переводит любое относительно компактное гладкое подмногообразие в конечное объединение гладких подмногообразий.

В частности, всякое гладкое отображение гладких многообразий является кусочно-гладким.

Рассмотрим непрерывное действие компактной топологической группы G на гладком многообразии М.

Определение.Будем говорить, что фактор действия G: M сильно диф-феоморфен (диффеоморфен) гладкому многообразию М', если топологический фактор M/G гомеоморфен М', причём гомеоморфизм можно построить так, чтобы в соответствии с ним отображение факторизации M —» M' было гладким (кусочно-гладким).

Замечание. Если фактор действия G : M диффеоморфен гладкому многообразию М', то при надлежащем построении гомеоморфизма.топологических пространств M/G и М' отображение факторизации M —> M' переводит любое (:необязательно относительно компактное) гладкое подмногообразие в конечное объединение гладких подмногообразий, поскольку для всякого непрерывного'действия компактной группы отображение факторизации собственное [10, гл. I, § 3].

Определение. Будем говорить, что фактор действия G: M является гладким многообразием, если он диффеоморфен некоторому гладкому многообразию.

Пусть имеется точное линейное представление компактной группы Ли (2 в вещественном векторном пространстве У. В диссертации изучается вопрос о том, является ли фактор У/О этого действия топологическим многообразием, а также является ли он гладким многообразием. Для краткости будем в дальнейшем называть топологическое многообразие просто «многообразием». . ' - , ■ . . :

Для представления О: V, где < оо, М.А.Михайловой в 1984 г. был получен следующий результат [9].

Теорема 1.1.2 (Михайлова). Если фактор V/О сильно диффеоморфен пространству V, то группа О порождена псевдоотражениями, а если О порождена псевдоотражениями, то фактор У/О гомеоморфен У, в частности, • является многообразием. , . .

В настоящей работе рассматриваются случаи группы с коммутативной связной компонентой:и трёхмерной группы.

Основным методом является сведение проблемы к более «простым» представлениям (с меньшей размерностью! группы либо пространства представле- ■ ния) при ломощи перехода к слайс-представлециям;/подобно переходу, кслайс-представлениям полупростых векторов в задаче описания комплексных ре-дуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов. В качестве ключевого, факта здесь выступает теорема о слайсс для компактных групп преобразований [10] . ■ '

1. G. С. Shephard, J.A.Todd, Finite unitary reflection groups, Canad. J. Math., 1954, v. 6, №2, 274-304.

2. C. Chevalley, Invariants of finite groups generated by reflections, Amer. J. Math., 1955, v. 77, 778-782.

3. V. G. Kac, V. L. Popov, E. B. Vinberg, Sur les groupes algébriques dont l'algèbre des invariants est libre, С. r. Acad. sci. Paris, 1976, v. 283, ser. A, 875—878.

4. О.М.Адамович, Е.О.Головина, Об инвариантах пары билинейных форм, Вести. МГУ, Сер. мат., мех., 1977, №2, 15-18.

5. G. W. Schwarz, Representations of simple Lie groups with regular rings invariants, Inv. Math., 1978, v. 49, 167—191.

6. P. Littelmann, Koregulâre und aquidimensionale Darstellungen, J. Algebra, 1989, v. 123, 193-222.

7. Э.Б.Винберг, В.Л.Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техн., Соврем. проблемы матем., Фундам. напр., ВИНИТИ, 1989, т. 55, 137—309.

8. С. Procesi, G. W. Schwarz, Inequalities defining orbit spaces, Inv. Math., 1985, v. 81, 539-554.

9. M. А. Михайлова, О факторпространстве no действию конечной группы, порождённой псевдоотражениями, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1984, т. 48, №1, 104-126.

10. Г. Бредон, Введение в теорию компактных групп преобразований, М.: Наука, 1980.

11. А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, М.: Наука, 1989.

12. H. F. Blichfeldt, Finite collineation groups, Univ. of Chicago Press, 1917.

13. Ж.-П. Cepp, Линейные представления конечных групп, М.: Мир, 1970.

14. О. Г. Стырт, О пространстве орбит компактной линейной группы Ли с коммутативной связной компонентой, Труды ММО, 2009, т. 70, 235—287.

15. О. Г. Стырт, О пространстве орбит трёхмерной компактной линейной группы Ли, МГУ имени М.В.Ломоносова, М.: 2010, 32 е., Библиогр.: 1 назв., Рус., Деп. в ВИНИТИ 22.03.10, №169-В2010.