Комплекс обучающих и исследовательскихпрограммных средств по разделу "Теория колебаний" теоретической механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 531.1

г ГБ ОД

НЕЧАЕВА Елена Сергеевна

I к* г i 200;:

Комплекс обучающих и исследовательских программных средств по разделу "Теория колебаний" теоретической механики

Специальность 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н. Павловский В. Е.

Москва — 2000

U^cttlb

Работа выполена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

д.ф.-м.н.

В. Е. Павловский

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор

В. В. Лапшин

к.ф.-м.н.

М. А. Кокарев

Ведущая организация:

Московский энергетический институт (Технический университет)

Защита диссертации состоится " 2. " 2000 г. в 16.00 на

заседании Специализированного совета Д 053.05.01 № 1 по механике при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, сектор "А", ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан ¿Ъуг?^ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н., профессор Д. В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Быстрое развитие современных компьютерных технологий позволяет включать в классические методы обучения визуализацию объектов изучения, анимацию, средства мультимедиа. Соответственное использование компьютера приобретает особенное значение для естественнонаучных дисциплин, так как такое включение позволяет лучше представить изучаемый объект и, как следствие, лучше понять законы его изменения. Изучение теории колебаний при помощи компьютера имеет большое значение, так как с одной стороны это важная наука для многих студентов, изучающих дисциплины естественнонаучного цикла, в особенности — технические науки, а с другой стороны современные возможности компьютера позволяют привлечь внимание студента к объектам изучения при помощи яркого изложения материала, множественных иллюстраций и звукового сопровождения, заостряющего внимание на важных вопросах. Использование таких возможностей способно значительно обогатить классический процесс обучения.

При помощи компьютерных средств обучения может быть эффективно решена проблема факультативных дополнительных занятий и осуществлена помощь при тестировании знаний. Компьютерные средства обучения позволяют студенту следовать своему собственному темпу усвоения знаний и позволяют повторять пройденный материал любое требуемое число раз. Тестирование при помощи компьютера может быть использовано как для самопроверки, так и как элемент работы на семинаре. Использование таких возможностей может значительно обогатить традиционный процесс изучения теории колебаний.

Цель работы. Целью работы является создание интегрированной мультимедиа обучающей и исследовательской среды по теории колебаний, содержащей такне компьютерные приложения, как практикум, учебник н задачник, работающие на компьютерах Intel-платформы под управлением Windows 95/98. Для нормального функционирования всех частей среды необходим IBM-совместимый компьютер с процессором не ниже 486 н монитором SVGA.

Методы исследования. В работе используются общие методы механики, методы теории колебаний, методы компьютерного моделирования, численного интегрирования систем дифференциальных уравнений, информационные технологии.

Научная новизна. Разработана информационная модель курса теории колебаний, позволяющая построить для него компьютерное обучающее пособие, элементы которого осуществляют функции компьютерного практикума, учебника и задачника.

Теоретическая и практическая ценность. В работе введена рас-ширеная концепция реализации компьютерной обучающей среды и на ее основе построен пакет обучающих приложений по теории колебаний. Реализованная интегрированная среда может быть использована в традиционном процессе обучения или как новый элемент обучения, самообразования, а также для тестирования знаний и самопроверки. Компьютерный практикум может быть использован для исследования движения механических систем. Компьютерный задачник, входящий в среду, может быть использован при проведении контрольных работ и оценке знаний студентов.

Апробация диссертации. Результаты работы докладывались в МГУ на конференции "Ломоносовские чтения" (1998 г), на Н-ом Всесоюзном семинаре-совещании заведующих кафедрами теоретической механики (1999 г), на Х-ой международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" в Переслав-ле-Залесском (1999 г), на семинаре "Компьютеры в математическом образовании инженеров" в Московском Энергетическом институте (Техническом университете), на семинаре кафедры теоретической механики в Московском Энергетическом институте (Техническом университете).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. В приложении приведены задачи созданной базы задач по теории колебаний. Список литературы содержит 62 наименования. Общий объем диссертации составляет 106 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении анализируется актуальность темы диссертации и кратко излагается содержание работы.

Первая глава содержит два параграфа.

Первый параграф посвящен детальному анализу направленности и методов реализации существующих компьютерных средств обучения. Делается обоснованный вывод о необходимости и целесообразности создания обучающей среды, совмещающей под одной оболочкой разные методы преподавания одной дисциплины и поддерживающей разные стороны учебного процесса.

Второй параграф первой главы содержит формулировку концепции интегрированной обучающей и исследовательской среды и общее описание се реализации на примере обучающей среды по теории колебаний.

Обучающая и исследовательская среда содержит в качестве ядра такие приложения, как компьютерные практикум, учебник и задачник. Эти части взаимодействуют между собой с использованием оболочки Windows. Каждая часть представляет собой независимый программный продукт, работающий в среде Windows'95/98. На экране компьютера могут одновременно работать как одна, так и все части среды.

Вторая глава посвящена компьютерному практикуму по теории колебаний. Система экспериментальных исследований "Практикум" предназначена для исследования поведения механических систем и визуализации их движения в зависимости от параметров и начальных условий.

В первом параграфе второй главы описана общая структура практикума, круг задач, которые можно исследовать с его помощью и его возможности в области визуализации результата исследования.

Во втором параграфе приведены методы построения моделей для работы в этом приложении. Модель описывается во внешнем по отношению к системе "Практикум" текстовом файле. База моделей может пополняться пользователем.

Модель можно представить как набор, каждый элемент которого содержит информацию определенного типа:

М = (e1,e2,fi3,e4,e5,efi,e7,e8,e9,eio).

где Л/ — модель. С] — текст с описанием механической системы; е > — имя файла, в котором находится чертеж модели; е3 — уравнения движения, записанные в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (число уравнений в реализации практикума должно быть не больше двадцати, то есть механическая система может иметь до десяти степеней свободы); е\ — список обобщенных координат н скоростей; — перечень параметров с указанием их исходных значений; e.Q — перечень начальных условий; e-j — начальные значения шага интегрирования и шага вывода значений фазовых переменных и функций от фазовых переменных на экран; е§ — описание анимации, демонстрирующей движение механической системы (изображение механической системы задается набором линий и окружностей; для каждой линии указываются координаты ее начала и конца как функции текущих значений фазовых переменных, параметров и начальных данных; для окружностей указываются координаты ее центра и радиус в зависимости от текущего положения системы; в процессе интегрирования уравнений движения, линии и окружности изменяют свое положение в соответствии с текущими значениями обобщенных координат и скоростей; в результате во время работы практикума можно наблюдать движение механической системы);

ед — текст с постановкой задачи для работы в режиме практикума и описанием метода выполнения работы; е10 — критерий выполнения задания при работе в режиме практикума.

Если модель содержит больше одного задания для работы в режиме практикума, элементы ед и ею повторяются несколько раз, по числу заданий:

М - (еь е2, е3, е4,е5, е6,е7, е8, е9Л, ею.ь е9.2, е10.2, •••)•

Модель может и не содержать заданий для работы в режиме практикума. Тогда последние два элемента в описании модели отсутствуют.

Если же в модель входит задание для практикума, то при подготовке модели необходимо не только составить уравнения движения, но и провести их исследование, чтобы получить критерии выполнения задания. Если исследование полных уравнений движения провести невозможно или слишком трудоемко, рассматриваются уравнения, полученные из полных с учетом каких-либо упрощающих предположений. Далее можно строить модель, основанную на упрощенных уравнениях движения. Иногда критерии, полученные на основании упрощенных уравнениях движения могут быть использованы в модели, основанной на полных уравнениях, при каких-либо ограничениях на значения параметров и начальных условий. В каждом таком случае необходимо провести исследование, устанавливающее корректность использования этого критерия, диапазоны изменения параметров и начальных условий в том случае, если такое использование возможно, и оценить порядок отклонения реального результата компьютерного эксперимента от результатов, полученных в следствии упрощающих предположений.

В третьем, четвертом , пятом и шестом параграфах приводятся примеры построения моделей для практикума. Всего в работе исследовано шесть моделей.

В третьем параграфе проведено построение компьютерной модели механической системы, двигающейся под действием силы тяжести и состоящей из двух одинаковых математических маятников длины I и массы ш, связанных невесомой пружиной жесткости к. Эта система называется системой связанных маятников.

В первой части третьего параграфа проводится исследование движения системы в случае свободных колебаний. В этом разделе приводятся полные и линеаризованные уравнения движения связанных маятников и исследование границ применимости результатов, полученных для линеаризованной системы уравнений к полной системе уравнений движения. С помощью метода последовательных приближений, получено, что при

учете в уравнениях движения членов не выше четвертого порядка малости, поправки к собственным частотам колебаний зависят от квадратов амплитуд

и2

где Ах и А2 — амплитуды колебаний маятников; и — собственные частоты колебаний в линейном приближении.

Поправки же к обобщенным координатам завися от кубов амплитуд. Далее подробно описывается построение моделей для изучения свободных колебаний связанных маятников в линейной и полной постановках.

Во второй части третьего параграфа проводится исследование движения связанных маятников в случае, когда один из маятников совершает гармонические колебания по закону ф = а соз(7^). Получены полные и линеаризованные уравнения движения системы. Из линеаризованного уравнения найдена частота собственных колебаний свободного маятника. Показана возможность использования формулы для частоты собственных колебаний, полученной при анализе линеаризованного уравнения движения, для исследования резонанса в системе, описанной полным уравнением движения. Поправка к собственной частоте колебаний, возникающая из-за учета высших членов в уравнениях движения, пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

/2) = 1 дт + 4Ы л2 16 дт + Ы

где А — амплитуда колебаний маятника. При малой начальной ампле-туде колебаний маятника, резонансная частота вынужденных колебаний будет близка к собственной частоте колебаний системы, найденной из линеаризованного уравнения движения. Далее описано построение модели движения связанных маятников в случае управления углом отклонения одного из них от вертикали, основанной на полном уравнении движения.

В четвертом параграфе рассматривается построение моделей для задачи о движении двойного маятника под действием силы тяжести.

В первой части параграфа приводится исследование свободных колебаний двойного маятника и построение модели этой задачи, основанной на линеаризованных уравнениях движения.

Во второй части параграфа рассматривается движение двойного маятника, в случае, когда угол отклонения нижнего звена двойного маятника от вертикали изменяется по закону ф = ас05(у1). Для построения модели этой системы выписаны уравнение ее движения, найдена резонансная частота колебания нижнего звена маятника из линеаризованного уравнения движения. С помощбю метода последовательных приближений получено, что поправка к собственной частоте колебаний верхнего звена, обусловленная учетом в уравнении движения членов до четвертого порядка малости, пропорциональна квадрату амплитуды колебаний А:

При малой начальной амплитуде колебаний верхнего звена маятника и малой амплитуде колебаний нижнего звена при определении резонансной частоты колебаний с помощью практикума можно использовать значение резонансной частоты линеаризованного уравнения в качестве критерия для модели, основанной на полном уравнении движения.

В пятом параграфе второй главы приведен пример задачи для компьютерного практикума из небесной механики. Компьютерные модели, описанные в этом и следующем параграфах, включены в диссертацию для демонстрации универсальности компьютерного практикума. С его помощью можно исследовать поведение любой механической системы, если ее движение описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Построена модель для исследования движения малого тела в окрестности треугольной точки либрации в ограниченной плоской круговой задаче трех тел. Целью задания является изучение характера устойчивости и неустойчивости точки либрации в зависимости от соотношения масс больших притягивающих тел. Компьютерные эксперименты с этой моделью наглядно подтвердили, что треугольная точка либрации устойчива, если масса одного тяжелого тела больше массы другого в 27 и более раз. Этот результат согласуется с критерием устойчивости треугольных точек либрации, известном из небесной механики:

где тих и тп2 — массы тяжелых тел.

Для построения модели были использованы уравнения движения системы и критерий устойчивости треугольной точки либрации.

В шестом параграфе демонстрируются возможности системы "практикум" на примере исследования движения планеты в поле сил тяготения

27

ТП\ТП2

<1,

(тх + т2)2

двойной звезды. Будем считать, что масса планеты мала по сравнению с массами звезд и не влияет на их движение. Считаем, что движение планеты и звезд можно моделировать как ограниченную круговую задачу трех тел. В отличие от предыдущей модели, здесь отсутствует ограничение движения малого тела плоскостью движения притягивающих центров.

Пусть массы звезд гп! и гщ таковы, что треугольные точки либрации неустойчивы, то есть

тлтпо

27_^_i_> 1

(т1+ттг2)2

С помощью практикума в этой области значений параметров рассмотрены получающиеся орбиты малого тела. В результате работы с моделью исследован широкий класс орбит данной задачи, показано, что все они неустойчивы. Исследован характер движения малого тела по данным орбитам. В ходе этого исследования не удалось обнаружить стационарных орбит движения малого тела не только в окрестности треугольных точек либрации, но и в какой-либо ограниченной окрестности центра масс системы.

Третья глава посвящена компьютерному учебнику по теории колебаний.

В первом параграфе изложена структура компьютерного учебника. Здесь использована разработанная ранее на кафедре теоретической механики технология подготовки компьютерных учебников и метода структуризации теоретического материала. Согласно этой технологии, в работе введена система элементов знаний (ЭЗ) для базового курса по теории колебаний, содержащая 15 элементов, построен граф ЭЗ.

В настоящей работе система элементов знаний использована как общий базис информационных моделей разных модулей обучающей среды. Для удобства изложения материала н работы с ним любой теоретический материал обычно разделяется на главы и уроки так, чтобы уроки были отграничены друг от друга и могли быть расположены по возрастанию сложности. Отобразив этот принцип на графе ЭЗ получим, что уроками являются подмножества множества элементов знаний. Выбор подмножеств предпочтительно делать таким образом, чтобы они были непересекающимися.

Итак, каждый урок курса определяется подмножеством множества ЭЗ модели. Представляется целесообразным, чтобы при обучении теории колебаний студент сначала изучал теоретический материал, относящийся

к выбранному разделу курса, затем знакомился с методами решения характерных для этого раздела задач и, наконец, мог бы проверить самостоятельно степень усвоения материала. Таким образом, каждый урок разделяется на три части: теоретический раздел, примеры решения задач и контрольные вопросы.

Во втором параграфе третьей главы предложен сценарий компьютерного учебника по теории колебаний. Учебник содержит две главы и четыре урока. Этот сценарий таков:

Глава 1. Одномерные осцилляторы.

Урок 1. Свободные колебания осциллятора.

1. Уравнение свободных колебаний одномерного осциллятора;

2. Исследование решения уравнения движения, фазовые портреты;

3. Влияние сухого трения на движение одномерного осциллятора;

4. Влияние вязкого трения на движение одномерного осциллятора.

Урок 2. Вынужденные колебания.

5. Уравнения вынужденных колебаний одномерного осциллятора;

6. Вынужденные колебания в случае периодической возмущающей силы;

7. Биения в системе с одной степенью свободы.

8. Резонанс в системе с одной степенью свободы.

Глава 2. Малые колебания систем с конечным числом степеней свободы.

Урок 3. Свободные колебания.

1. Положения равновесия;

2. Устойчивость положения равновесия;

3. Линеаризация дифференциального уравнения;

4. Линеаризация лагранжевой системы;

5. Малые колебания;

6. Задача о паре форм (приведение к диагональному виду);

7. Собственные колебания;

8. Разложение по собственным колебаниям, собственные вектора.

Урок 4. Свойства собственных частот.

9. Экстремальные свойства собственных частот.

10. Поведение собственных частот при изменении жесткости;

11. Поведение собственных частот при наложении связи.

В третьем параграфе содержится конспект компьютерного учебника по теории колебаний, подробно описывающий каждый пункт сценария, примеры решения задач и контрольные вопросы к каждому уроку.

В четвертом параграфе предложен сценарий расширенного курса по теории колебаний. Помимо материала базового курса в нем содержатся методы решения ряда распространенных технических задач (определение частот свободных колебаний шарнирных ферм, крутильные колебания валов).

В пятом параграфе третьей главы излагаются методы компьютерной реализации курса как компьютерной программы. Описано создание приложения компьютерного учебника.

Четвертая глава диссертации посвящена компьютерному задачнику. Компьютерный задачник по теории колебаний представляет собой систему тестирования знаний, основанную на принципе анализа знания обучаемыми элементов знаний в теории колебаний.

В первом параграфе четвертой главы предложено использование для предметной области теории колебаний метода тестирования знаний, основанного на анализе решения контрольных работ, разработанного ранее на кафедре теоретической механики МГУ. В соответствии с ним для оценки знаний учащихся используются специальные пакеты тестовых задач.

Во втором параграфе предложена структура пакета тестовых задач по теории колебаний, его характеристики. Пакет тестовых задач является новой разработкой. Он описывается набором числовых величин

я = (и, И', \Ут, ТУд/, £, Ме, М(,р(Н),г(Н))

где и - вектор покрытия, 1У - средняя степень покрытия, \¥т - минимальная степень покрытия, 1Уд/ - максимальная степень покрытия, е -равномерность покрытия, Ые - мощность подмножества элементов знания, на котором производится тестирование, ДГ( - число задач в пакете, р(Н) - полнота покрытия, г(Н) - ранг покрытия.

С учетом сложности задач характеристику пакета можно расширить

Я = Я + {с,у,ут,ум).

где С ~ вектор сложности, У - средняя сложность задач пакета, Ута -минимальная сложность и Уд/ - максимальная сложность.

В третьем параграфе выполнено наполнение пакета тестовых задач по теории колебаний — создана база тестовых задач и описаны ее характеристики. Из системы ЭЗ по теме "Колебания" выбрано подмножество базовых ЭЗ, по которому производится тестирование.

1. Гармонические колебания одномерного осциллятора;

2. Свободные колебания одномерного осциллятора при наличии дополнительных сил;

3. Вынужденные колебания одномерного осциллятора;

4. Резонанс;

5. Положение равновесия;

6. Устойчивость положения равновесия;

7. Условия устойчивости положения равновесия;

8. Характеристическое уравнение;

9. Собственные частоты;

Для покрытия этого множества элементов знаний был разработан пакет из 50 тестовых задач.

Пакет имеет следующие характеристики

17 = (16,6,15.5,33,21,16,17,35);

IV = 19,22;

\ут = 5;

\УЛ1 = 35;

е = 9,61;

Ме = 9;

Дг, = 50;

р(Н) = 1;

г(Н) = 9.

Из характеристики пакета видно, что средняя степень покрытия множества элементов знаний пакетом тестовых задач равна 19,22 (это означает, что каждый элемент знания используется в среднем в 19 задачах), степень равномерности покрытия равна 9,61, задачи пакета покрывают все выбранное множество элементов знаний. Тем самым эти характеристики свидетельствуют о достаточно хорошем качестве созданного пакета тестовых задач.

В четвертом параграфе четвертой главы описана структура системы "Контрольная работа". Приведены методы формирования контрольных работ из задач пакета и алгоритм анализа уровня знании студента на основании решения предложенного ему набора тестовых задач.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и .вытекающие из них направления развития обучающих средств по теории колебаний.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертации, состоят в следующем:

1. Разработана структура обучающей лабораторной системы по теоретической механике — программного приложения для исследования механических моделей методом компьютерного моделирования, и методика включения ее в общую интегрированную обучающую среду. Созданная программа реализована в виде компьютерного приложения под \Утс1о'№з'95/98.

2. Подготовлен пакет компьютерных моделей и заданий по теории колебаний для работы с практикумом. Подготовленный пакет включает 6 классов моделей и 7 основанных на них типовых заданий практикума.

3. Разработана информационная модель компьютерного учебника по теории колебаний. На основе этой модели подготовлено его содержательное наполнение, реализовано приложение "компьютерный учебник", состоящее из двух глав и четырех уроков.

4 . Для системы "Контрольная работа" разработан пакет задач по теории колебаний, включающий 50 задач и проведен его анализ. Определены характеристики, свидетельствующие о его достаточно высоком качестве.

Проведенные в диссертации исследования открывают возможности для дальнейшего развития разработанного компьютерного обучающего комплекса.

Перспективным направлением дальнейшего развития может стать расширение обучающей и исследовательской среды до системы дистанционного обучения.

Список работ автора по теме диссертации

1. Голубев Ю. Ф., Павловский В. Е., Голубева Е. Ю., Нечаева Е. С., Компьютерные обучающие средства по теоретической механике. Ломоносовские чтения-98, Тезисы докладов, ч. 1. Секция "Методические проблемы непрерывного образования и современные информационные технологии." Подсекция "Компьютерные технологии в образовании" с. 75-78

2. Голубев Ю.Ф., Голубева Е.Ю., Жаркова А.Ю., Нечаева Е.С., Павловский В.Е., Павловский В.В. Интегрированная мультимедиа среда обучающих компьютерных средств по теоретической механике. II Всесоюзный семинар-совещание заведующих кафедрами теоретической механики, Тезисы докладов, с. 15-16, Москва 1999 г.

3. Голубев Ю. Ф., Павловский В. Е., Голубева Е.Ю., Жаркова А. Ю., Нечаева Е. С., Павловский В. В. "Интегрированная мультимедиа обучающая среда по небесной механике"//

a) Математическое моделирование, N 5, 2000 г. (в печати);

b) Депонировано в ВИНИТИ

4. Павловский В. Е., Нечаева Е. С., Попова Ю. Н., Методы тестирования знаний в компьютерной обучающей системе. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН N25" 2000 г.