Конечные группы с несвязным графом простых чисел, имеющим небольшое число вершин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Храмцов Игорь Владимирович

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С НЕСВЯЗНЫМ ГРАФОМ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, ИМЕЮЩИМ НЕБОЛЬШОЕ ЧИСЛО ВЕРШИН

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Авторе фер а I

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

6 ноя 2014

Екатеринбург — 2014 005554604

Работа выполнена i¡ Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Института математики п механики им. H.H. Красов-ского Уральского отделения Российской академии наук (ИММ УрО РАН).

Hay ч и ы й ру ко водител ь:

доктор физико-математических наук, профессор, Кондратьев Анатолий Семенович

Официальные оппоненты: Заварницин Андрей Витальевич,

доктор физико-математических наук.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, ведущий научный сотрудник.

Алексеева Оксана Алексеевна.

кандидат физико-математических наук.

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Русско-Британский Институт Управления», проректор по научной работе.

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова»

Защита состоится 18 ноября 2014 года в заседании диссерта-

ционного совета Д 004.006.03 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики и механики им. H.H. Красовско-го Уральского отделения Российской академии наук (ИММ УрО РАН) по адресу: ул. Софьи Ковалевской, 16. г. Екатеринбург, 620990.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики и механики им. H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук (ИММ УрО РАН), http://www.iinm.uran.ru/. Автореферат разослан -/¿"октября 2014 года.

Ученый секрета])i. диссертационного совета кандитат фпз.-мат. наук

И.Н. Белоусов

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Одним из наиболее важных результатов математики 20 века является классификация конечных простых групп [2]. В постклассификационной теории конечных групп интерес многих исследователей вызывают различные проблемы распознаваемости. Для набора параметров некоторой конечной группы естественным является вопрос, насколько этот набор определяет данную группу с точностью до изоморфизма. Примером этого служит проблема распознаваемости конечных групп по спектру или по графу простых чисел (также известному, как граф Грюнберга—Кегеля).

Пусть G — конечная группа. Обозначим через 7r(G) множество простых делителей порядка группы G, а через uj(G) — спектр группы G, т.е. множество всех порядков ее элементов. Множество cj(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) Г(С) группы G, в котором множество вершин есть ir(G) и две различные вершины р и q соединены ребром тогда и только тогда, когда pq 6 ui(G). Обозначим число компонент связности графа T(G) через s(G), а множество его связных компонент — через {■7t¿(G) | 1 < i < s(G)}; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 6 7Ti(G).

Группа G называется распознаваемой (по спектру), если любая конечная группа Я с условием ш(Н) = uj(G) изоморфна G. С уже устоявшимся направлением исследований распознаваемости конечных групп по спектру (см. обзор В.Д.Мазурова [10]) тесно связано новое перспективное направление исследований распознаваемости конечных групп по графу простых чисел. Группа G называется распознаваемой по графу простых чисел, если для любой конечной группы Я равенство Г(Я) = T(G) графов влечет изоморфизм Я = G групп. Здесь под равенством графов Г(Я) и T(G) понимается совпадение их множеств вершин и множеств ребер соответственно. Ясно, что из распознаваемости конечной группы по графу простых чисел следует ее распознаваемость по спектру.

Напомним некоторые понятия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Группа G называется п-примарной. если |7t(G)| = п. Группа G называется 2-фробепиусовой, если в G существуют такие подгруппы А, В и С, что G = ABC, А и АВ — нормальные подгруппы в G, АВ и ВС — группы Фробениуса с ядрами А и В и дополнениями В и С соответственно.

Изучение распознаваемости конечных групп но графу простых чисел имеет совсем недолгую историю. В 2003 г. в работе М. Хаги [17| были даны первые примеры конечных групп, распознаваемых по графу простых чисел, а

именно группы Ji, Л/22, Л/оу. Л/24 11 Со2. и также нолучсно некоторое описание (но не полная классификация) конечных групп G таких, что T(G) = Г(5), где S — спорадическая простая группа. В дальнейшем рядом авторов были получены другие результаты в этом направлении, например, в работах [5, 7,11,12,20 23] была установлена распознаваемость по графу простых чисел групп Jj, ^2(7), 2Gi{q), ¿2(5) и E$(q) для некоторых q.

Задача распознаваемости конечных групп по графу простых чисел является частным случаем общей задачи изучения конечных групп по свойствам их графов простых чисел. В рамках этой общей задачи прежде всего привлекает внимание более подробное изучение класса конечных групп с несвязным графом простых чисел. Это объясняется тем, что указанный класс широко обобщает класс конечных групп Фробениуса, что сразу видно из структурной теоремы Грюнберга—Кегеля (см. [33, теорема А]). Роль же групп Фробениуса в теории конечных групп совершенно исключительна.

Заметим также, что класс конечных групп с несвязным графом простых чисел совпадает с классом конечных групп, имеющих изолированную подгруппу (т. с. собственную подгруппу, содержащую централизатор каждого своего нсединичного элемента), который изучался многими известными алгебраистами (Ф.Г. Фробениус, М. Судзуки, У. Фейт, Дж. Томпсон, Г. Хигмен, В.М. Бусаркин, Ю.М. Горчаков, Н.Д. Подуфалов и др.).

Конечные простые группы с несвязным графом простых чисел описаны в работах Уильямса [33] и A.C. Кондратьева [8]. Они составляют довольно узкий подкласс всех конечных простых групп, однако включают многие "малые" в различных смыслах группы, часто возникающие в исследованиях. Например, все конечные простые группы исключительного лиева типа, кроме групп E7(q) при q > 3, а также все простые группы из известного "Атласа конечных групп" [14], кроме группы Лщ, имеют несвязный граф простых чисел. Классификация компонент связности графа простых чисел для конечных простых групп, полученная в работах [33] и [8], была применена Луч идо [24[ для получения аналогичной классификации для всех конечных почти простых групп, т.е. групп с простым неабелевым цоколем.

При изучении групп с несвязным графом простых чисел возникают нетривиальные проблемы, связанные с модулярными представлениями конечных почти простых групп. Рассмотрим одну такую проблему. Пусть G — конечная группа с несвязным графом простых чисел, не изоморфная ни группе Фробениуса, ни 2-фробениусовой группе. Тогда по теореме

Грюнберга— Кегеля и отмеченным в предыдущем абзаце результатам группа G := G/F(G) почти проста и известна. Предположим, что F(G) ^ 1. Каждой связной компоненте 7r,(G) графа T(G) для г > 1 соответствует ниль-потентная изолированная 7г,(С)-холлова подгруппа Xj(G) группы G. Любой неединичный элемент х из X'¡(G) (г > 1) действует без неподвижных точек (свободно) на F(G), т.е. CF(G){x) = 1- Пусть К и L — два соседних члена главного ряда группы G, причем К < L < F(G). Тогда (главный) фактор V = L/K является элементарной абелевой р-группой для некоторого простого числа р, называется р-главным фактором группы G, и его можно рассматривать как точный неприводимый G Р(р)С-модулъ, причем каждый неединичный элемент из Xj(G) (г > 1) действует без неподвижных точек на V. Поэтому задача изучения строения группы G во многом сводится к имеющей самостоятельный интерес проблеме описания неприводимых модулей, на которых элемент некоторого простого порядка действует без неподвижных точек. Расширяя и уточняя эту проблему, мы приходим к следующей общей постановке.

Проблема 1. Пусть G — конечная группа, Q — нетривиальная нормальная подгруппа в G, G := G/Q — известная группа и элемент некоторого простого порядка из G\Q действует на Q без неподвижных точек. Естественными являются следующие вопросы:

1) Каковы главные факторы группы G. входящие в Q1

2) Каково строение группы Q7

3) Если Q элементарная абелева, то будет ли действие G на Q вполне, приводимо?

4) Будет ли расширение G над Q расщепляемым?

По классической теореме Томпсона [32] подгруппа Q в условиях проблемы 1 нилыютентна.

Результаты по пункту 1) проблемы 1 используются для решения остальных пунктов этой проблемы и полезны для исследования распознаваемости конечных простых групп по спектру или графу простых чисел (см., например, результаты Р. Гуралышка и П. Тьепа (1С], И.Д. Супрунснко и А.Е. Залесского [30], A.B. Заварницина [0,34]. A.C. Кондратьева, A.A. Осиновской и И.Д. Супруненко [9]).

Несмотря на важность этой проблематики, по ней имеется не так много результатов. Первой работой, в которой исследовался случай, когда G -

простая неабелева группа, была классическая работа Г. Хигмена [18]. Если

ö

группа С изоморфна ¿2(2'"), т > 2 и элемент порядка 3 из (3 действует на <5 без неподвижных точек, то Хигмсн дал положительные ответы на пункты 1)-3) проблемы 1. В частности, О — элементарная абелева 2-группа, действие С на С} вполне приводимо и каждый 2-главный фактор группы (3 изоморфен естественному С Р(2"1) Б ¿2(2"')-модулю. Позже Мартнно [25,26] получил аналогичный результат для случая, когда группа (3 изоморфна Зг(2") и элемент порядка 5 из в действует на <2 без неподвижных точек. Продолжая работу Хигмена, Стюарт [29] показал, что С} = 1 в случае, когда группа б изоморфна ¿2(<?), <7 нечетно, ц > 5 и элемент порядка 3 из б действует на С} без неподвижных точек. Работы Принса [27], Цурека [35], Холта и Плеске-на [19] были посвящены случаю, когда С} = Ог(С?), группа (3 изоморфна и элемент порядка 5 из (3 действует на без неподвижных точек. Этот случай оказался трудным, поскольку в этом случае С} уже может не быть абелевой группой. Принс и Цурек дали полные (положительные) ответы на вопросы 1), 3) и 4). В частности, <5 есть произведение С-инвариантных подгрупп (¿¡, изоморфных либо гомоциклической 2-группе ранга 4, либо специальной 2-группе порядка 28 с центром порядка 24 (изоморфной унипотентному радикалу некоторой параболический максимальной подгруппы в [/□(2)). Причем в первом случае каждый 2-главный фактор группы (3, входящий в изоморфен ортогональному (подстановочному) (3^(2)Лз-модулю, а во втором случае группа Z(Qi) изоморфна ортогональному С^(2)Д5-мод.улю, а<3;/.£((3;) — естественному С^(4)5Ьз(4)-модулю. По раннему результату Г. Хигмена теоретической верхней оценкой для ступени нильпотентности группы была 6. Цурек [35] предположил, что такой оценкой будет 2. Однако в дальнейшем Холт и Плес-кен [19] доказали, что ступень нильпотентности группы <5 не превосходит 3, и построили пример группы <5 порядка 228, когда эта граница достигается. Используя компьютер, они также показали, что примера меньшего порядка не существует. Принс [28] показал, что в случае, когда <5 = 02(С), группа (3 изоморфна и элемент порядка 5 из (3 действует на С] без неподвижных точек, вопросы 1)-4) решаются положительно. В работе Дольфи, Джабара, Лючидо [3] доказано, что в случае, когда 0((3) ф 1, группа (3 изоморфна А6 и элемент порядка 5 из (3 действует на О без неподвижных точек, то группа 0(<3) есть абелева 3-группа и 3-главныс факторы группы (3 изоморфны 4-мерному неприводимому подстановочному GF(3)G-мoдyлю. Позже в работе [1] были исправлены ошибки, допущенные в работе [3].

Граф простых чисел конечной группы (7 можно рассматривать как некоторый граф на |7г(С?)| вершинах, все вершины которого помечены различными простыми числами из тг(С) так, что две вершины, помеченные простыми числами р и д, смежны тогда и только тогда, когдард £ С связи с такой интерпретаций графа простых чисел возникает следующее определение. Будем говорить, что граф Г реализуется как граф простых чисел некоторой группы, если вершины графа Г можно разметить различными простыми числами так, чтобы он стал графом простых чисел некоторой конечной группы. Можно сформулировать следующую проблему.

Проблема 2. Пусть Г — граф с конечным числом вершин. Реализуется ли Г как граф) простых чисел некоторой конечной группы?

На данный момент существует совсем не много работ, посвященных проблеме 2. В неопубликованной бакалаврской работе И.Н. Жаркова [4], студента В.Д. Мазурова, было доказано, что цепь реализуется как граф простых чисел некоторой группы тогда и только тогда, когда его длина не более чем 4.

Аналогичные проблема рассматривались Тонг—Вистом [31] для графа Д(С). который строится по группе С1 по следующим правилам: множеством его вершин являются простые числа, делящие степени неприводимых характеров группы (3, и две различные вершины р и </ соединены ребром в Д(С), тогда и только тогда, когда рд делит степень некоторого неприводимого характера группы С7.

Диссертация посвящена в основном исследованию проблемы 1 для групп С, для которых граф Г(С) несвязен и имеет 3 или 4 вершины, а фактор-группа 6^(6) является почти простой группой. Кроме того, целью диссертации было решение проблемы 2 для графов с небольшим числом вершин.

Основные результаты диссертации.

1. Для 3-примарной группы (7 с несвязным графом простых чисел, не являющейся ни группой Фробениуса. ни 2-фробениусовой группой описаны главные факторы, входящие в F(G) (теоремы 2.1 и 2.2). Как следствие этого описания, получен точный список конечных 3-примарных групп с несвязным графом простых чисел, распознаваемых по графу простых чисел (следствие 2.1).

2. Для большинства 4-примарных групп С с несвязным графом простых чисел, появляющихся ни группой Фробениуса, ни 2-фробениусовой груп-

поп описаны главные факторы, входящие в F(G) (теоремы 3.2-3.12). Как следствие этого описания, получен точный список конечных 4-примарных групп с несвязным графом простых чисел, распознаваемых по графу простых чисел (следствие 2.2).

3. Положительно решена проблема 1 для случая, когда Q = 02(G) ф 1, G/Q = A-j и элемент порядка 5 из G действует на Q без неподвижных точек (теорема 3.13).

4. Доказано, что граф с числом вершин 5 или менее не реализуется как граф простых чисел некоторой группы тогда и только тогда, когда он является 5-кокликой (теорема 4.1).

Теоремы 2.1, 2.2, 3.2-3.10, 3.13 получены автором в нераздельном соавторстве с научным руководителем A.C. Кондратьевым, Теорема 4,1 получена в нераздельном соавторстве с А.Л. Гаврилюком, Н.В. Масловой и A.C. Кондратьевым. Теоремы 3.11 и 3.12 получены автором лично.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [36]-[58]. Работы [36]- [40], [43]- [48], [50], [52]- [54], и [57] выполнены в нераздельном соавторстве с А.С.Кондратьевым. Работы [41], [49], [51] [55,56] выполнены в нераздельном соавторстве с А.Л.Гаврилюком, Н.В.Масловой и А.С.Кондратьевым. Работы [37]— [42] опубликованы в печатных и электронных изданиях входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук. Работа [36] опубликована в трудах международной конференции. Работы [43]- [58] опубликованы в тезисах международных конференций.

Новизна и научная значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. Основными методами исследований являются методы теории конечных групп, методы теории модулярных представлений конечных групп. Также в работе существенно используются вычисления в системе компьютерной алгебры GAP [15].

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на41-п, 42-й, 43-й, 44-й и 45-й Всероссийских (международных) молодежных школах-конференциях ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2010-2014 гг.), на

8

международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2011 2013 гг.), на международной конференции "Алгебра и геометрия", посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011 г.), на международной конференции "Алгебра и линейная оптимизация", посвященной 100-летию со дня рождения С.Н. Черникова (Екатеринбург, 2012 г.), на международной школе-конференции по теории групп, посвященной 90-летию со дня рождения З.И. Боревича (Владикавказ, 2012 г.), на международной конференции "Алгебра и комбинаторика", посвященной 60-летию со дня рождения A.A. Махнева (Екатеринбург, 2013 г.), на международной конференции по теории групп, посвященной 70-летию со дня рождения В.Д. Мазурова (Новосибирск, 2013 г.), на международной конференции "Алгебра и логика: теория и приложения", посвященной 80-летию со дня рождения В.П. Шункова (Красноярск, 2013 г.), на международной конференции "Алгебра и математическая логика", посвященной 70-летию со дня рождения М.М. Арсланова (Казань, 2014 г.), на международной конференции "Алгебра и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения Л.А. Калужнина (Нальчик, 2014 г.), а также на международной конференции "Groups St Andrews 2013" (Сент-Андрус, Великобритания, 2013 г.).

Результаты работы докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН и на семинаре 'Теория групп" в ИМ СО РАН.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 96 страницах, состоит из введения, 4 глав, списка литературы и приложения. Библиография содержит 82 наименования.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. В начале некоторых глав приведены вспомогательные результаты, используемые лишь в этих главах. Вспомогательные утверждения (леммы) и таблицы имеют тройную нумерацию: первая цифра — номе]) главы, вторая — номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе. Теоремы и следствия из них имеют двойную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер теоремы в главе. Проблемы имеют сквозную нумерацию.

Глава 1. В главе 1 даны необходимые определения и предварительные результаты. Приведен список используемых обозначений. Даны известные утверждения, которые необходимы для доказательства теорем.

Глава 2. В этой главе рассматривается случай 3-примарной группы G с несвязным графом простых чисел, не являющейся ни группой Фробсниуса, ни 2-фробениус.овой группой. Описаны главные факторы такой группы G. Результаты этой главы представлены в теоремах 2.1 и 2.2. Из этих теорем получается

Следствие 2.1 Конечная 3-примарная почти простая группа с несвязным графом простых чисел распознаваема по этому графу тогда и только, когда она изоморфна £г(17).

Глава 3. В главе 3 рассматривается случай 4-примарной группы с несвязным графом простых чисел, не являющейся ни группой Фробениуса, ни 2-фробениусовой группой. Описаны главные факторы для большинства таких групп. Это описание представлено в теоремах 3.2-3.12. Из этих теорем получается

Следствие 3.1 Конечная А-примарпая простая группа распознаваема по графу простых чисел тогда и только, когда она изоморфна одной из следующих групп: Л8, Ь3(А) и L2(q), где \ir(q2 — 1)| = 3, q > 17 и либо q = 3"г и т — простое нечетное число, либо q — простое число и q ^ 1 (mod 12), либо q е {97,577}.

Кроме того, в теореме 3.13 главы 3 полностью решена проблема 1 для случая, когда Q = 02(G) 1, G/Q = Л 7 и элемент порядка 5 из G действует на Q без неподвижных точек. Этот результат является продолжением упомянутых выше работ Принса, Цурека, Холта и Плескена. Доказана следующая теорема.

Теорема 3.12 Пусть G — конечная группа с нетривиальной нормальной 2-подгруппой Q такой, что G/Q = A-j. Предположим, что элемент порядка 5 из G действует без неподвижных точек на Q. Тогда расширение G над Q расщепляемо, Q элементарная абелева и Q есть прямое произведение минимальных нормальных подгрупп группы G, каждая из которых как GF(2)G/Q-модуль изоморфна одному из двух 4-мерных неприводимых GF(2)Aj-модулей, сопряженных относительно внешнего автоморфизма группы А?.

Глава 4. Последняя глава посвящена решению проблемы 2 для графов с числом вершин не более, чем 5. Доказана следующая теорема.

Теорема 4.1 Пусть Г — граф с числом вершин 5 'или менее. Тогда Г реализуется, как граф) простых чисел конечной группы тогда и только тогда, когда он ие является Ъ-кокликой.

Я выражаю глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Семеновичу Кондратьеву за постановку задачи, всестороннюю помощь и поддержку во время работы над диссертацией. Также я хотел бы поблагодарить сотрудников отдела алгебры и топологии Института математики и механики им. H.H. Красовского УрО РАН за полезные обсуждения результатов диссертации. В особенности хочу поблагодарить кандидата физико-математических наук Наталью Владимировну Маслову за поддержку в процессе работы над диссертацией.

Литература

1. Астилл, С. О группах, в которых централизаторы элементов порядка 5 являются 5-группами / С. Астилл, К. Паркер , Р. Валдекср // Сиб. мат. журн. - 2012. Vol 53, №3. - С. 967-977.

2. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию / Д.Горенстейн. - М.:Мир, 1985.-352 с.

3. Дольфи, С. С55-группы / С. Дольфи, Э. Джабара, М.С. Лючидо /7 Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 6. - С. 1285-1298.

4. Жарков, И.Н. О группах, чей граф простых чисел является цепью: бакалаврская работа /7 И.Н. Жарков / Новосибирский гос. ун-т — 2008 — (не опубликовано).

5. Заварницин, A.B. О распознавании конечных простых групп по графу простых чисел / A.B. Заварницин /7 Алгебра и логика. — 2006. — Т. 45, № 4. - С. 390-408.

6. Заварницин, A.B. Свойства порядков элементов в накрытиях групп Ln(q) и U„(q) / A.B. Заварницин 7 Сиб. матем. журн.-2008.-Т. 49. К"-. 2-С. 308-321.

7. Заварницин, А.В. Конечные группы с пятикомпонентным графом простых чисел / А.В. Заварницин // Сиб. мат. жури. — 2013. — Т. 54, N- 1. - С. 57-G4.

8. Кондратьев, А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп / А.С. Кондратьев /7 Мат. сб. - 1989. - Т. 180, № 6. - С. 787-797.

9. Кондратьев, А.С. О поведении элементов простого порядка из цикла зингера в представлениях специальной линейной группы / А.С. Кондратьев, А.А. Осиновская, И.Д. Супруненко // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН - 2013. - Т. 19, jV° 3. - С. 179-186.

10. Мазуров, В.Д. Группы с заданным спектром / В.Д. Мазуров // Изв. Урал, гос. ун-та. - 2005. - № 36 - С. 119-138.

11. Хосрави, А. Квазираспознавание простой группы 2G2{q) по графу простых чисел / А. Хосрави. Б. Хосрави // Сиб. мат. журн. — 2007. — Т. 48, № 3. - С. 707-715.

12. Хосрави, А. 2-распознаваемость PSL(2,p2) по графу простых чисел / А. Хосрави, Б. Хосрави // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, № 4. - С. 934-944.

13. Arad, Z. Classification of finite groups with a CC-subgroup / Z. Arad, W. Herford // Comm. Algebra. - 2004. - Vol. 32, № 0. - C. 2087-2098.

14. Conway, J.H. Atlas of finite groups / J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson. - Oxford: Clarendon Press, - 1985. - 252 c.

15. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Ver. 4.7.4. 2014. URL: http://www.gap-system.org.

1С. Guralnik, R.M. Finite simple unisingular groups of Lie type / R.M. Guralnik, P.H. Tiep ,/,/ J. Group Theory. - 2003. - Vol. G, Ж 3. - C. 271-310.

17. Hagic, M. The prime graph of a sporadic simple group / M. Hagie // Comm. Algebra. - 2003. - Vol. 31. № 9. - C. 4405-4424.

18. Higman, G. Odd characterizations of finite simple groups: lecture notes / Higman G. — Michigan: University Michigan, —■ 1968. — 77 c.

19. Holt, D.F. /Is-invariant 2-groups with 110 trivial sections / D.F. Holt, W. Plesken ,// Quart. J. Math. Oxford. Ser. 2. - 198C. - V. 37, № 145. - C. 3947.

20. Kliosravi. B. Groups with the same prime graph as L2(q) where q = p" < 100 / B. Kliosravi. S.S.S. Amiri /,/ Hadronic J. - 2007. - Vol. 30. 3. - C. 343354.

21. Kliosravi, B. On the prime graph of PSL(2, p) where p > 3 is a prime number / Bahmaii Kliosravi, Belmain Kliosravi, Behrooz Kliosravi /7 Acta Math. Hungar. - 2007. - Vol. 110, №. 4. - C. 295-307.

22. Kliosravi, B. Groups with the same prime graph as a CIT simple group / Balmian Kliosravi, Belinam Kliosravi, Behrooz Kliosravi / /' Houston J. Math.

- 2007. - Vol. 33, №. 4. - C. 967-977 (electronic).

23. Kliosravi, B. n-recognition by prime graph of the simple group PSL(2,q) /

B. Kliosravi /./ J. Algebra Appl. - 2008. - Vol. 7, 110. 6. - C. 735-748.

24. Lucido, M.S. Prime graph components of finite almost simple groups / M.S. Lucido /7 Scm. Mat. Univ. Padova. - 2002. - Vol. 107. - C. 1-22; addendum /,/ Rend. Sein. Mat. Univ. Padova. - 2002. - Vol. 107. - C. 189-190.

25. Martincau, P. On representations of the Suzuki groups over fields of odd characteristic / P. Martincau // J. London Math. Soc. — 1972. — V. 6. —

C. 153-160.

26. Martincau, P. On 2-modular representations of the Suzuki groups / P. Martincau /7 Amer. J. Math. - 1972. - V. 94. - C. 55-72.

27. Prince, A.R. On 2-groups admitting An or Aq with an element of order 5 acting fixed point freely / A.R. Prince /7 J. Algebra. - 1977. - V. 49, № 2.

- C. 374-386.

28. Prince, A.R. An analogue of Maschke's theorem for certain representations of Aa over GF(2) / A.R. Prince /7 Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect A. - 1982.

- V. 91, №. 3-4. - C. 175-177.

29. Stewart, W.B. Groups having strongly self-centralizing 3-ccntralizers / W.B. Stewart H Proc. London Math. Soc. - 1973. - V. 426, № 4. - C. 653-680.

30. Supruncnko, I.D. Fixed vectors for elements in modules for algebraic groups / I.D. Supruncnko, A.E. Zalcsski /7 Intern. J. Algebra Comput. — 2007. — Vol 17 №5-6 - C. 1249-1261.

31. Tong-Vict, H.P. Groups whose prime graphs have 110 triangles / H. P. Tong-Vict // J. Algebra - 2013 - 378 - C. 196-20G.

32. Thompson, J. Finite groups with fixed-point-frce automorphisms of prime order / J. Thompson. // Proc. Nat. Acad. Sci. - 1959. - V. 45. - C. 578581.

33. Williams, J.S. Prime graph components of finite groups /' J.S. Williams. // J. Algebra. - 1981. - Vol. 69, №. 2. - C. 487-513.

34. Zavarnitsine, A.V. Fixed points of large prime-order elements in the equicharacteristic action of linear and unitary groups / A.V. Zavarnitsine // Сиб. электрон, матем. изв. — 2011. — Т. 8. — С. 333-340.

35. Zurek, G. Uber Лз-invariante 2-Gruppen / G. Zurek /7 Mitt. Math. Sem. Giessen. - 1982. - H. 155. - 92 c.

Работы автора по теме диссертации

36. Храмцов, И.В. О конечных трипримарных группах / А.С. Кондратьев, И.В. Храмцов // Теория групп и ее прил: Тр. 8-й Междунар. шк.-конф., посвящ. 75-летию В.А. Белоногова,— 2010. — С.141-148.

37. Храмцов, И.В. О конечных трипримарных группах / А.С. Кондратьев, И.В. Храмцов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН — 2010. — Т.16, №3. - С 150-158.

38. Храмцов, И.В. О конечных четырепримарных группах / А.С. Кондратьев, И.В. Храмцов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2011. — Т. 17 №4. - С. 142-159.

39. Храмцов, И.В. Вполне приводимость некоторых С^(2)Л7-модулей / А.С. Кондратьев, И.В. Храмцов /7 Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2012. - Т. 18 №3. - 139-143.

40. Храмцов, И.В. О конечных непростых трипримарных группах / А.С. Кондратьев, И.В. Храмцов /7 Сиб. электрон, матем. Изв. — 2012. №9. —С. 472-477.

41. Khramtsov, I.V. On realizability of a graph as the prime graph of a finite

group. / A.L.Gavrilyuk, I.V.Khramtsov, A.S.Kondrat'ev, N.V.Maslova /'/

Сиб. электрон, матем. Изв. — 2014. -№11. - С. 246-257.

14

42. Храмцов, И.В. О коночных непростых 4-прнмарных группах / II.В. Храм-цов /,' Сиб. электрон, матсм. изв. — 2014. — .№11. — С. 695-708.

43. Храмцов, И.В. О конечных группах, граф простых чисел которых имеет точно три вершины / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Современные проблемы математики. Тез. 41-й Всероссийской молод, школы-конф. Екатеринбург: Ин-т математики и механики УрО РАН. — 2010. — С. 212-214.

44. Храмцов, И.В. О конечных четырепримарных группах с несвязным графом простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Современные проблемы математики. Тез. 42-й Всероссийской молод, школы-конф. Екатеринбург: Инт математики и механики УрО РАН. — 2011. — С. 212-214.

45. Храмцов, И.В. О конечных четырепримарных группах с несвязным графом простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Алгебра и геометрия. Тез. Межд. конф., посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина. Екатеринбург, "УМЦ-УПИ". - 2011. - С. 86-89.

46. Храмцов, И.В. О распознаваемости конечных простых четырепримарных групп по графу простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов /7 Межд. конф. "Мальцевские чтения". Тез. докл. Новосибирск: ИМ и НГУ. — 2011. - С. 42.

47. Храмцов, И.В. Распознаваемость конечных простых четырепримарных групп по графу простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов /7 Соврем, проблемы математики: Тез. Междунар. 43-н Всерос. мол. шк.-конф.-Екатсринбург:ИММ УрО РАН. - 2012. - С.46-48.

48. Храмцов, И.В. Вполне приводимость некоторых С^(2)Л7-модулей / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов /7 Алгебра и линейная оптимизация: Тез. Междунар. конф., посвящ. 100-летию С.Н. Черникова.-Екатеринбург:УМЦ-УПИ. - 2012. - С. 99-101.

49. Храмцов, И.В. О реализуемости заданого конечного графа как графа Грюнберга—Кегеля некоторой конечной группы / АЛ. Гаврплюк, Н.В. Маслова. Н.В. Храмцов /7 Теория групп и ее прил.: Тез. 9-й Междунар. шк.-конф.. посвящ. 90-летню проф. З.И. Боревича.-Владикавказ: Изд-во СОГУ. - 2012. -С. 38-40.

50. Храмцов, И.В. О конечных непростых трипримарных группах с несвязным графом простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов /7 Между-нар. конф. "Мальцсвские чтения": Тез. докл. Новосибирск — 2012. — С. 61.

51. Храмцов, И.В. О реализуемости конечного графа с небольшим числом вершин как графа Грюнберга—Кегеля подходящей конечной группы /

A.Л. Гаврилюк, A.C. Кондратьев, Н.В. Маслова, И.В. Храмцов /7 Соврем. проблемы математики: Тез. Междунар. (44-й Всерос.) молодеж. шк.-конф.-Екатсринбург:ИММ УрО РАН. - 2013. - С.12-14.

52. Храмцов, И.В. О конечных неразрешимых непростых 4-примарных группах / А.С.Кондратьев, И.В.Храмцов // Алгебра и комбинаторика: Тез. докл. Междунар. конф., посвящ.й 60-летию A.A. Махнева. Екатеринбург : изд-во "УМЦ УПИ". - 2013. - С. 81-83.

53. Храмцов, И.В. О конечных непростых 4-примарных группах с несвязным графом простых чисел / A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов // Алгебра и логика: теория и приложения: Тез. докл. Междунар. конф., посвящ. памяти

B.П. Шункова. Красноярск: Сиб. федер. ун-т. — 2013. — С. 69-70.

54. Khramtsov, I.V. On finite groups with small prime spectrum / I.V.Khraintsov, A.S.Kondratiev //' Groups St Andrews 2013: Inter, conf., Univ. St Andrews, Scotland: Abstracts. St Andrews. - 2013. - C. 19-20.

55. Храмцов, И.В. О реализуемости заданного графа как графа простых чисел подходящей конечной группы / А.Л. Гаврилюк, A.C. Кондратьев, Н.В. Маслова, И.В. Храмцов // Междунар. конф. "Мальцевские чтения": Тез. докл. Новосибирск: ИМ и НГУ. - 2013. - С. 84.

56. Храмцов, И.В. О реализуемости заданного конечного графа как графа Грюнберга—Кегеля некоторой группы // А.Л. Гаврилюк, A.C. Кондратьев, Н.В. Маслова. И.В. Храмцов /7 Соврем, проблемы математики: Тез. Междунар. (45-й Всерос.) молодеж. шк.-конф.-Екатеринбург:ИММ УрО РАН. - 2014. - С.19-22.

57. Храмцов, И.В. О конечных группах, которые имеют несвязный граф простых чисел и композиционный фактор, изоморфный группе ¿з(17) / А.С.Кондратьев, И.В.Храмцов .// Материалы конф. Алгебра и матема-

тическая логика: теория и приложения. Казань. Изд-во Казан, ун-та. — 2014. - С. 81-82.

58. Храмцов, И.В. О конечных группах, которые имеют несвязный граф простых чисел и композиционный фактор, изоморфный группе ¿2(81) / И.В.Храмцов /7 Труды международной школы-конф. по теории групп. Нальчик. Издательство КБГУ. - 2014. - С. 50-58.