Квазираспознаваемость конечных простых групп по множеству порядков элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

АЛЕКСЕЕВА Оксана Алексеевна

КВАЗИРАСПОЗНАВАЕМОСТЬ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП ПО МНОЖЕСТВУ ПОРЯДКОВ ЭЛЕМЕНТОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2005

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кондратьев Анатолий Семенович

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Мазуров Виктор Данилович

кандидат физико-математических наук, доцент Ситников Владимир Михайлович

Ведущая организация: Уральский государственный педагогический университет

Защита состоится 28 июня 2005 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан № мая 2005 г

В.В. Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение конечных групп по свойствам порядков их элементов — известная и актуальная задача теории групп. Необходимость изучения изменения множества порядков элементов конечной группы при её расширении впервые возникла в 1956 г. в классической работе Ф. Холла и Г. Хигмана [10].

Пусть G — конечная группа. Обозпачим через lü{G) множество всех порядков элементов группы G. Конечная группа G называется распознаваемой (по множеству порядков элементов), если для любой конечной группы Н с ш{Н) = u(G) имеем Н = G.

В 1984 г. Ши [13] доказал распознаваемость группы Р5Ьг(7). Этот результат положил начало широкому направлению исследований распознаваемости групп. Так как конечная группа с нетривиальной разрешимой нормальной подгруппой пераспо-знаваема, то проблема распознаваемости во многом сводится к случаю почти простых групп. К настоящему времени по этой проблеме получено большое количество результатов (см. обзор В.Д. Мазурова [11]).

Множество lo(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга-Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины р и q соединены ребром тогда и только тогда, когда G содержит элемент порядка рд. Множество üj(G) частично упорядочено относительно делимости и однозначно определяется подмножеством fi(G) своих максимальных по делимости элементов. Обозначим через fi, = /í,(G) множество тех п € ¡i(G), для которых каждый простой делитель числа п принадлежит 7Г,. Обозначим число компонент связности графа GK[G) через t(G), а множество его связных компонент — через {k,(G) | 1 < г < £(£?)}; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 е TTi (G).

Грюнберг и Кегель доказали следующую структурную теорему для конечных групп с несвязным графом простых чисел.

Теорема Грюнберга-Кегеля [14, теорема А]. Если G — конечная группа с несвязным графом GK(G), то верно одно ив следующих утверждений:

(а) G — группа Фробениуса;

(б) в = ABC, где А и АВ — нормальные подгруппы группы G, АВ и ВС ~ группы Фробениуса с ядрами А и В и дополнениями В и С соответственно;

(в) G является расширением нилыютентной ix\{G)-группы посредством группы А, где 1пп(Р) < А < Aut(P), Р — простая неабелева группа с t(G) < t{P) и А/Р — ■Ki(G)-группа.

Из этого результата следует, что если G - неразрешимая группа с несвязным графом GK(G), не изоморфная группе Фробениуса, то G имеет единственный неабелев композиционный фактор Р, для которого t(G) < t(P).

В 1981 г. Уильяме, ученик Грюнберга, в работе [14] получил явное описание связных компонент графа GK{G) для всех известных конечных простых неабелевых групп G, кроме групп лиева типа четной характеристики.

В 1989 г. А.С. Кондратьев в работе [4] получил описание связных компонент графа GK{G) для оставшегося неисследованным случая, когда G — конечная простая группа лиева типа четной характеристики

В работе [5] было показано, что для любой конечной простой группы Р с t(P) > 1 справедливо равенство |/i,(P)| = 1 при г > 1; пусть щ = п,(Р) обозначает единственный элемент из ßi{P) для г > 1. Отсюда и из упомянутой выше работы У иль ямса следует, что если G — конечная группа с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, для которой выполняется случай (в) теоремы ГрюнбергагКегеля, и Р — неабелев композиционный фактор в G, то {nj(G) 11 > 1} С {nj(P) |t > 1}.

Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга-Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по множеству порядков элементов (см. [11]). До последнего времени большинство групп, для которых был решен вопрос распознаваемости, имели несвязный граф простых чисел.

Первый этап решения вопроса распознаваемости конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга-Кегеля заключается в доказательстве условия ква-зираспозиаваемости, более слабого, чем распознаваемость. Конечная простая неа-белева группа Р называется квазираспознаваемой, если любая конечная группа G с w(G) = и>(Р) имеет композиционный фактор, изоморфный Р. Это понятие было введено A.C. Кондратьевым в [17].

Отметим, что из квазираспознаваемости конкретной конечной простой группы Р для неё следует положительный ответ на вопрос Ши [12], записанный в "Коуровскую тетрадь" [7] под номером 12.39: если G — конечная группа такая, что ш((7) = ш(Р) и |G| = |Р|, то G изоморфна Р.

Свойство квазираспознаваемости простой группы имеет также и самостоятельное значение, потому что существуют примеры квазираспознаваемых, но не распознаваемых простых групп (см. [11]). I

Цель работы. Диссертационная работа посвящена доказательству квазираспознаваемости по множеству порядков элементов конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности, и конечных простых исключительных групп лиева типа Fi(q) (q нечетно) и 3Di[q), граф ^ ГрюнбергагКегеля которых имеет точно две компоненты связности.

Основной метод исследования. Основными методами исследования являются методы теории конечных групп и их представлений, теоретико-числовые методы.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами. Основные результаты диссертационной работы:

I. Доказано, что конечные простые группы, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности, квазираспознаваемы, за исключением группы Лб-

II. Доказано, что если L — одна из простых групп 3А»(?) или F4(g), a G — конечная группа с w(G) = то коммутант группы G/F{G) изоморфен L, а фактор-группа G/G' есть циклическая {2,3}-группа, в частности, группа L квазираспознаваема.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в теории групп. Методы данной диссертационной работы могут быть использованы для исследования квазираспознаваемости других конечных простых групп.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на 32-36 региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Кунгурка, 2001-2005 гг.), на международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация" (Екатеринбург, 2002 г.), на Всероссийской научной

молодежной конференции "Под знаком "Сигма" (Омск, 2003 г.), на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2003-2004 гг.), на международной алгебраической конференции (Москва, 2004 г.) и на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15]-(26].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Ссылка на утверждение ¡о .к означает, что оно находится под номером к в параграфе j главы 1. Объем диссертации составляет 60 страниц, библиография содержит 40 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика и содержание работы.

Первая глава носит вспомогательный характер, в ней приводятся необходимые обозначения, определения и предварительные результаты.

Во второй главе исследуется вопрос квазираспознаваемости конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности. Доказывается следующая

Теорема А [19], [22]. Конечные простые группы, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности, квазираспознаваемы, за исключением группы

»1 Группа Ад не квазираспознаваема, так как она имеет то же множество порядков

' элементов, что и расщепляемое расширение элементарной абелевой группы Е поряд-

' ка 16 посредством группы Лц, действующей транзитивно на Е \ {1}. Существование

р' такого расширения хорошо известно, в качестве него можно взять полупрямое про-

изведение группы Е на группу А5, где А5 индуцирует на Е естественный 2-мерный С?^(4)512(4)-модуль.

Заметим, что результат о квазираспознаваемости групп -р4(2т) (графы Грюнберга-Кегеля этих групп имеют три компоненты связности), который следует из теоремы А, недавно был использован в [3] для доказательства распознаваемости этих групп.

В третьей главе исследуется вопрос квазираспознаваемости конечных простых исключительных групп лиева типа ^4(9) (<? нечетно) и 3£>4(<?) (графы Грюнберга-Кегеля этих групп имеют две компоненты связности). Доказываются следующие две теоремы.

Теорема В [24], [26]. Если Ь — одна из простых групп или где q

нечетно, а С? — конечная группа с ш(<7) = ш(Ь), то коммутант группы С/Е(С) изоморфен Ь, а фактор-группа й/С есть циклическая {2,3}-группа.

Теорема С [16]. Если в — конечная группа с множеством порядков элементов как у простой группы 32?4(д), где q четно, то коммутант группы 0/Р(0) изоморфен 31?4(?), а фактор-группа в/С есть циклическая {2,3}-группа.

Доказательство теорем А, В и С проведено с использованием теоремы Грюнберга-Кегеля, классификации конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, отмеченного выше результата [5], результата М.Р. Зиновьевой (Алеевой) [1]

и теоретико-числовых методов. В теоремах В и С привлекалась также информация о порядках максимальных торов групп F4(q) и sDi(q) (см. [8], [9]).

В теореме В квазираспознаваемость групп 3D4(q) доказывается аналогично квазираспознаваемости группы F4(q).

Распознаваемость группы 3£>4(2) доказана в работе В.Д. Мазурова [6J и была использована при доказательстве теоремы С.

Необходимо сказать, что исследование квазираспознаваемости простой группы зависит от количества связных компонент графа простых чисел этой группы. При доказательстве квазираспознаваемости конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности, в нашем распоряжении была система из двух уравнений, которая возникает из упомянутого выше включения {"•(<?) (г > 1} С {n,(P) | i > 1}, где G — конечная группа с <(£?) > 1, для которой выполняется случай (в) теоремы Грюнберга-Кегеля, и Р — неабелев композиционный фактор в G. В случае групп с двумя компонентами связности получается только одно уравнение, и поэтому нужна дополнительная информация.

Заметим, что в недавней работе A.B. Васильева и М.А. Гречкосеевой [2] доказана квазираспознаваемость копечных простых групп 2Г>2™(2*), 2£>2m+i(2) (ш > 1) и С2т(2к) (т > 2) и их распознаваемость при к = 1.

Теоремы А и В доказаны в нераздельном соавторстве с научным руководителем. Теорема С получена автором самостоятельно.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Анатолию Семеновичу Кондратьеву за постаповку задачи, постоянное внимание, всестороннюю помощь и поддержку. Автор выражает также благодарность профессору Виктору Даниловичу Мазурову за полезные обсуждения результатов работы, профессору Вячеславу Александровичу Велоногову за ценные критические замечания, которые помогли сделать рассуждения более понятными, кандидату физико-математических наук Зиновьевой Марианне Рифхатовне и аспиранту Носову Виталию Валерьевичу за дружескую помощь на различных этапах работы над диссертацией.

Список литературы

[1] М.Р. Алеева, О конечных простых группах с множеством порядков элементов как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Матем. заметки, 73, N 3 (2003), С. 323-339.

[2] А.В Васильев, М.А. Гречкосеева, О распознаваемости конечных простых ортогональных групп размерности 2m, 2m + 1 и 2т + 2 // Сиб. матем. ж., 45, N 3 (2004), С. 510-526.

[3] A.B. Васильев, М.А. Гречкосеева, В.Д.Мазуров, Х.П.Чао, Г.Ю.Чен.В.Дж. Ши, Распознавание конечных простых групп F4(2m) по спектру // Сиб. матем. ж., 45, N 6 (2004), С. 1256-1262.

[4] A.C. Кондратьев, О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб., 180, N 6 (1989), С. 787-797.

[5] А.С. Кондратьев, В Д Мазуров, Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. матем. ж., 41, N 2 (2000), С. 359-369.

[6] В.Д. Мазуров, Распознавание конечных простых групп Si(g) по порядкам их элементов // Алгебра и логика, 41, N 2 (2002), С. 166-198.

[7] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. 15-е изд. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2002.

[8] Семинар по алгебраическим группам Москва: Мир, 1973.

[9j D.I. Deriziotis, G.O. Michier, Character table and blocks of finite simple triality groups 3D4(q) // Trans. Amer. Math. Soc., 303, N 1 (1987), P. 39-70.

[10] P. Hall, G Higman, The p-length of ^-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc., (3) 6 (1956), P. 1-42

[11] V.D. Mazurov, Characterizations of groups by arithmetic properties // Algebra Colloquium, 11 (1)(2004), P. 129-140.

[12] W.J. Shi, A new characterization of the sporadic simple groups // Group theory. Proc. Conf., Singapore 1987 (1989), P. 531-540.

[13] W.J. Shi, A characteristic property of PSL2{7) // J. Austral Math. Soc. (Ser. A), 36, N 3 (1984), P. 354-356.

[14] J.S. Williams, Prime graph components of finite groups //J. Algebra, 69, N 2 (1981), P. 487-513.

Работы автора по теме диссертации

[15] О.А. Алексеева, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3Г>4(д), q четно // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 3-4.

[16] О.А. Алексеева, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп aDi(q), q четно // Челяб. гуманит. ип-т., Челябинск, 2005. - 15 с. Виб-лиогр.: 18 назв., Рус., депонирована в ВИНИТИ 29.03.05 № 417 — В2005.

[17] О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, Квазираспознаваемость некоторых конечных простых групп по множеству порядков элементов // Укр. матем. конгр.-2001. Алгебра i теор. чисел. Секши. 1. Тез. доп. Киев, 2001. С. 4.

[18] О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О распознаваемости группы Es(q) по множеству порядков элементов // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 5-6.

[19] О.А. Алексеева. А.С. Кондратьев, О распознаваемости группы Eg(q) по множеству порядков элементов // Укр. матем. ж., 54, N 7 (2002), С. 1003-1008.

ознаваемость одного к

[20] O.A. Алексеева, A.C. Кондратьев, Квазираспознаваемость однош класса конечных простых групп по множеству порядков элементов // Алгебра и линейная оптимизация: Труды международного семинара, посвященного 90-летию со дня рождения С.Н. Черникова. Екатеринбург- " *тт

(21] O.A. Алексеева, A.C. Кондратьев, О р

ству порядков элементов, II // Пробле Рх/ггкгиЙ (ЬоНД

тики: Труды 33-й Региональной молод РНЬ Г/ССКИИ ipu м

РАН, 2002. С. 7-8.

[22] O.A. Алексеева, A.C. Кондратьев, Кваэ ных простых групп по множеству поря; 2 (2003),С. 241-255.

2006^4 14205

[23] O.A. Алексеева, A.C. Кондратьев, О къ ____«ши.липл'ву порядков элементов групп Fi{q), q нечетно // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма.", ОНЦ СО РАН, Омск: Полиграфический центр КАН, 2003. С. 3-4.

[24] O.A. Алексеева, A.C. Кондратьев, О квазираспознаваемости по множеству порядков элементов групп Fi{q), q нечетно // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2004. С. 3-8.

[25] O.A. Алексеева, A.C. Кондратьев, О квазираспознаваемости по множеству порядков элементов групп F4(q), q нечетно // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. Тезисы докладов, М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ. 2004 С 3-4.

[26] O.A. Алексеева, A.C. Кондратьев, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3Г|4(?) и Fi(q), Ч нечетно // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды Зб-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 5-6.

Подписано в печать 19.05.05 Формат 60x84 1/16 Бумага писчая

Плоская печать Тираж 70 экз. Заказ 80

Ризография научно-исследовательской части ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира 19

Введение

1 Обозначения, определения и предварительные результаты

1.1 Обозначения и определения

1.2 Предварительные результаты.

2 Квазираспознаваемость конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности

2.1 Доказательство теоремы 2.1.1.

2.2 Доказательство теоремы А.

3 Квазираспознаваемость конечных простых групп

3£>4(<7) и F4(q)

3.1 Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп и q нечетно доказательство теоремы В).

3.2 Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп q четно доказательство теоремы С).

Изучение конечных групп по свойствам порядков их элементов — известная и актуальная задача теории групп. Необходимость изучения изменения множества порядков элементов конечной группы при её расширении впервые возникла в 1956 г. в классической работе Ф. Холла и Г. Хигмана [29].

Пусть G — конечная группа. Обозначим через o;(G) множество всех порядков элементов группы G. Конечная группа G называется распознаваемой (по множеству порядков элементов), если для любой конечной группы Н с ш(Н) — u{G) имеем Н = G.

В 1984 г. Ши [37] доказал распознаваемость группы PSL2 (7). Этот результат положил начало широкому направлению исследований распознаваемости групп. Так как конечная группа с нетривиальной разрешимой нормальной подгруппой нераспознаваема, то проблема распознаваемости во многом сводится к случаю почти простых групп. К настоящему времени по этой проблеме получено большое количество результатов (см. обзор В.Д. Мазурова [33]).

Множество cj(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга-Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины р и q соединены ребром тогда и только тогда, когда G содержит элемент порядка pq. Множество uj{G) частично упорядочено относительно делимости и однозначно определяется подмножеством n(G) своих максимальных по делимости элементов. Обозначим через щ = Hi{G) множество тех п £ f-i{G), для которых каждый простой делитель числа п принадлежит 7Г,. Обозначим число компонент связности графа GK(G) через t(G), а множество его связных компонент — через {^(G) | 1 < i < t(G)}; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 £ щ(G).

Грюнберг и Кегель доказали следующую структурную теорему для конечных групп с несвязным графом простых чисел.

Теорема Грюнберга-Кегеля [39, теорема А]. Если G — конечная группа с несвязным графом GK(G), то верно одно из следующих утверждений: а) G — группа Фробениуса; б) G = ABC, где А и АВ — нормальные подгруппы группы G, АВ Щ и ВС — группы Фробениуса с ядрами А и В и дополнениями В и С соответственно; в) G является расширением нильпотентной tvi{G)-группы посредством группы А, где 1пп(Р) < А < Aut(P), Р — простая неабелева группа с t(G) < t(P) и А/Р — tti(G)-группа.

Из этого результата следует, что если G - неразрешимая группа с несвязным графом GK(G), не изоморфная группе Фробениуса, то G имеет единственный неабелев композиционный фактор Р, для которого t(G) <t(P).

В 1981 г. Уильяме, ученик Грюнберга, в работе [39] получил явное описание связных компонент графа GK(G) для всех известных конечных простых неабелевых групп G, кроме групп лиева типа четной характеристики.

В 1989 г. А.С. Кондратьев в работе [18] получил описание связных компонент графа GK(G) для оставшегося неисследованным случая, когда G — конечная простая группа лиева типа четной характеристики.

В работе.[19] было показано, что для любой конечной простой группы Р с t(P) > 1 справедливо равенство |дг(Р)| = 1 при г > 1; пусть Щ = П{(Р) обозначает единственный элемент из ^i(P) для i > 1. Отсюда и из упомянутой выше работы Уильямса следует, что если G — конечная группа с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, для которой выполняется случай (в) теоремы Грюнберга-Кегеля, и Р — неабелев композиционный фактор в G, то {ni(G) | г > 1} С {щ(Р) | i > 1}.

Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга-Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по множеству порядков элементов (см. [33]). До последнего времени большинство групп, для которых был решен вопрос распознаваемости, имели несвязный граф простых чисел.

Первый этап решения вопроса распознаваемости конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга-Кегеля заключается в доказательстве условия квазираспознаваемости, более слабого, чем распознаваемость. Конечная простая неабелева группа Р называется квазираспознаваемой, если любая конечная группа G с co(G) = uj(P) имеет композиционный фактор, изоморфный Р. Это понятие было введено А.С. Кондратьевым в [5].

Отметим, что из квазираспознаваемости конкретной конечной простой группы Р для неё следует положительный ответ на вопрос Ши [36], записанный в "Коуровскую тетрадь" [21] под номером 12.39: если G — конечная группа такая, что lo{G) = со(Р) и \G\ = |Р|, то G изоморфна Р.

Свойство квазираспознаваемости простой группы имеет также и самостоятельное значение, потому что существуют примеры квазираспознаваемых, но не распознаваемых простых групп (см. [33]).

Диссертационная работа посвящена доказательству квазираспознаваемости по множеству порядков элементов конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности, и конечных простых исключительных групп лиева типа F±(q) (q нечетно) и граф Грюнберга-Кегеля которых имеет точно две компоненты связности.

Основными методами исследования являются методы теории конечных групп и их представлений, теоретико-числовые методы.

Методы данной диссертационной работы могут быть использованы для исследования квазираспознаваемости других конечных простых групп.

Результаты диссертации докладывались на 32-36 региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Кунгурка, 2001-2005 гг.), на международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация" (Екатеринбург, 2002 г.), на Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма" (Омск, 2003 г.), на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2003-2004 гг.), на международной алгебраической конференции (Москва, 2004 г.) и на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2]-[15].

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Ссылка на утверждение i.j.k означает, что оно находится под номером к в параграфе j главы i. Объем диссертации составляет 60 страниц, библиография содержит 40 наименований.

1. М.Р. Алеева, О конечных простых группах с множеством порядков элементов как у группы Фробениуса или двойной группы Фробени-уса // Матем. заметки, 73, N 3 (2003), С. 323-339.

2. О.А. Алексеева, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп q четно // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 3-4.

3. О.А. Алексеева, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3D4(q), q четно // Челяб. гуманит. ин-т., Челябинск, 2005. 15 с. Библиогр.: 18 назв., Рус., депонирована в ВИНИТИ 29.03.05 № 417 - В2005.

4. О.А. Алексеева, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3£>4(д), q четно, Алгебра и логика, в печати.

5. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, Квазираспознаваемость некоторых конечных простых групп по множеству порядков элементов / / Укр. матем. конгр.-2001. Алгебра i теор. чисел. Секщя. 1. Тез. доп. Киев, 2001. С. 4.

6. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О распознаваемости группы Eg(q) по множеству порядков элементов / / Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 5-6.

7. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О распознаваемости группы Es(q) по множеству порядков элементов // Укр. матем. ж., 54, N 7 (2002), С. 1003-1008.

8. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О распознаваемости группы E$(q) по множеству порядков элементов, II // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 33-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2002. С. 7-8.

9. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов // Сиб. матем. ж., 44, N 2 (2003), С. 241-255.

10. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О квазираспознаваемости по множеству порядков элементов групп F^q), q нечетно // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма.", ОНЦ СО РАН, Омск: Полиграфический центр КАН, 2003. С. 3-4.

11. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О квазираспознаваемости по множеству порядков элементов групп F^q), q нечетно // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2004. С. 3-8.

12. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп zD±(q) и F\(q), q нечетно, Алгебра и логика, в печати.

13. А.В. Васильев, М.А. Гречкосеева, О распознаваемости конечных простых ортогональных групп размерности 2m, 2т + 1 и 2т + 2 // Сиб. матем. ж., 45, N 3 (2004), С. 510-526.

14. А.В. Васильев, М.А. Гречкосеева, В.Д.Мазуров, Х.П. Чао, Г.Ю. Чен, В.Дж. Ши, Распознавание конечных простых групп F±(2m) по спектру // Сиб. матем.ж., 45, N 6 (2004), С. 1256-1262.

15. А.С. Кондратьев, О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб., 180, N 6 (1989), С. 787-797.

16. А.С. Кондратьев, В.Д. Мазуров, Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. матем. ж., 41, N 2 (2000), С. 359-369.

17. В.Д. Мазуров, Распознавание конечных простых групп S±(q) по порядкам их элементов // Алгебра и логика, 41, N 2 (2002), С. 166-198.

18. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. 15-е изд. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2002.

19. Семинар по алгебраическим группам. Москва: Мир, 1973.

20. Р. Стейнберг, Лекции о группах Шевалле, М: Мир, 1975.

21. М. Aschbacher, Finite group theory, Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

22. R.W. Carter, Finite simple groups of lie type, London:Wiley, 1972.

23. J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson, Atlas of finite groups, Oxford: Clarendon Press, 1985.

24. D.I. Deriziotis, G.O. Michler, Character table and blocks of finite simple triality groups 3D4(q) // Trans. Amer. Math. Soc., 303, N 1 (1987), P. 39-70.

25. D. Gorenstein, R. Lyons, The local structure of finite groups of characteristic 2 type, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1983 (Mem. Amer. Math. Soc., 42, N 276).

26. P. Hall, G. Higman, The p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc., (3) 6 (1956), P. 1-42

27. P. Kleidman, M. Liebeck, The subgroup structure of the finite classical groups, Cambridge, Cambridge University Press, 1990 (London Math. Soc. Lect. Note Ser., 129).

28. M.S. Lucido, Prime graph components of finite almost simple groups // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 102 (1999), P. 1-22.

29. V.D. Mazurov, Characterizations of groups by arithmetic properties // Algebra Colloquium, 11 (1) (2004), P. 129-140.

30. V.D. Mazurov, W. Shi, Groups whose elements have given orders // London Math. Soc. Lecture Note Ser. 261 (1999), P. 532-537.

31. Pham Huu Tiep, p-Steinberg characters of finite simple groups // J. Algebra, 187, N 1 (1997), P. 304-319.

32. W.J. Shi, A new characterization of the sporadic simple groups // Group theory. Proc. Conf. Singapore 1987, 1989. P. 531-540.

33. W.J. Shi, A characteristic property of PSL2(J) //J. Austral. Math. Soc. (Ser. A), 36, N 3 (1984), P. 354-356.

34. E. Stensholt, Certain embeddings among finite groups of Lie type //J. Algebra, 53, N 1 (1978), P. 136-187.

35. J.S. Williams, Prime graph components of finite groups // J. Algebra, 69, N 2 (1981), P. 487-513.

36. K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys., 3, (1892), P. 265-284.