Конечные группы с заданным набором порядков элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Порядки элементов в накрытиях групп Ап и 5П

§1.1. Предварительные результаты.

§1.2. Случай р =

§1.3. Случайр =

§1.4. Случай р >

§1.5. Доказательство основной теоремы

2 Распознаваемость групп Аг+\ и Лг+2 для простого г

§2.1. Доказательство теоремы.

3 Распознаваемость знакопеременной группы А^

§3.1. Доказательство теоремы.

4 Группы

§4.1. Вспомогательные результаты

§4.2. Формулировка основных результатов.

Множество порядков элементов конечной группы несет богатую информацию о самой группе. Подтверждением этого является факт существования групп, которые восстанавливаются с точностью до изоморфизма по своему множеству порядков элементов. Характер изменения этого множества при расширениях является популярным предметом изучения. Классическим примером служит известная работа Ф.Холла и Г.Хигмэна [1], в которой в связи с ослабленной проблемой Бернсайда изучаются порядки р-элементов в накрытии р-разрешимой группы Н = О/М для случая, когда N — элементарная абелева р-группа и Н действует точно на ./V при сопряжении в О. Холл и Хигмэн доказали, что при таких условиях G, как правило, содержит р-элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента группы Н. Упомянем еще работу [2], в которой доказывается, что в случае, когда N — прямое произведение простых групп, = 1 и Я = — циклическая 2-группа, всегда существует 2-элемент, порождающий по модулю ТУ, порядок которого больше порядка группы Н.

Обозначим через ш{Н) множество порядков элементов конечной группы Н. Скажем, что группа Н распознаваема по множеству ш(Н), если из равенства и(Н) = следует изоморфизм Н и О для любой конечной группы Ст. Нетрудно показать, что любая группа, содержащая нетривиальную разрешимую нормальную подгруппу, не является распознаваемой. Поэтому проблема распознаваемости представляется естественной для конечных почти простых и, в частности, простых групп. Существует обширная литература, посвященная вопросам распознаваемости таких групп. Последние результаты и обзор можно найти в [3].

Очевидно, что любая распознаваемая группа Н обладает следующим свойством: ш{Н) ф ^(Ст) для любого собственного накрытия С? группы Н. (*)

Это свойство слабее распознаваемости по множеству порядков элементов. В качестве подтверждения можно привести знакопеременную группу Аб, для которой выполнено (*) и которая не распознаваема. Но даже проверка этого более слабого свойства для многих групп является трудоемкой.

В первой главе свойство (*) доказывается для любой неразрешимой группы Н, изоморфной симметрической или знакопеременной группе. А именно, доказывается следующая теорема.

Теорема А. (1.5.1) Пусть фактор-группа Н — Ст/ЛГ конечной группы С изоморфна симметрической или знакопеременной группе степени т, где т > 5 и N ф 1. Тогда в С есть элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента из Н.

Результаты первой главы опубликованы в [17] и [18], докладывались на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория групп" в НГУ, на алгебраической конференции в Санкт-Петербурге в 1997 г. (см. [23]) и на студенческой конференции в Новосибирске в 1997 г. (см. [26])

Отметим, что для произвольных почти простых (и даже простых) групп Н аналогичную теорему доказать невозможно. Например, существует расщепляемое расширение элементарной абелевой группы порядка 242 посредством простой группы Н = Щ{7), в котором порядок любого элемента равен порядку некоторого элемента группы Я.

Напомним, что множество и (О) конечной группы С определяет граф Грюнберга-Кегеля С К (О), вершинами которого служат простые делители порядка группы и два простых числа р, д соединены ребром, если О содержит элемент порядка рд.

В работе [4] доказывается, что знакоперемнная група Аг простой степени г ^ 5 распознаваема по своему множеству порядков элементов. Это доказательство опирается на тот факт, что граф GK(Ar) несвязный и простое число г составляет его компоненту связности. Этим же свойством обладает граф Грюнберга-Кегеля знакопеременной группы АП1 где п = г + 1 или г + 2 для простого г, что позволяет перенести доказательство распознаваемости из [4] на случай таких групп. А именно, во второй главе доказана следующая теорема.

Теорема В. (2.1.1). Пусть G - конечная группа такая, что uj(G) = си(Ап), где Ап - знакопеременная группа степени п = г + 1 или г + 2 для простого г > 5. Тогда G изоморфна Ап.

Результаты второй главы опубликованы в [19], докладывались на алгебраической конференции в г. Супрашль (Польша) в 1999 г. (см. [21]), на студенческой конференции в Новосибирске в 1999 г. (см. [25]), а также на семинаре "Алгебра и Логика" в НГУ.

Среди простых знакопеременных групп степень которых не является числом вида г, г+1, г+2 (т.е. групп со связным графом Грюнберга-Кегеля) Аю, Aie, А22, • • • лишь про группу Аю было известно, что она не является распознаваемой (см.[3]). В.Д.Мазуров высказал гипотезу, что все остальные группы из этого списка распознаваемы. В третьей главе доказывается, что группа Aiq распознается по своему множеству порядков элементов. Доказана следующая теорема.

Теорема С. (3.1.1) Пусть G - конечная группа такая, что w(G) = (¿(Aie), тогда G изоморфна А\§.

Значимость этого примера состоит в том, что А\g - первая известная простая распознаваемая группа со связным графом Грюнберга-Кегеля.

Четвертая глава посвящена изучению свойства (*) для проективных специальных линейных групп Ln(q) и установлено, что некоторые серии таких групп им обладают. А именно, доказана следующая теорема.

Теорема D. (4.2.1) Пусть G — полупрямое произведение элементарной абелевой г-группы V на группу Ln(q), q = рт, р — простое, п > 3. Тогда u(G) % u(Ln(q)) в каждом из следующих случаев: a) Ln(q) действует на V неточно, б) Г Ф р, в) 71 = рк ы д > 2, г) п = 3 и либо ц ф 1(тос1 36) либо д = р — простое.

В частности, свойство (*) выполнено для групп где р простое, и для групп Ьп(д), где п — степень р, и д ф 2.

Результаты глав 3 и 4 опубликованы в [20], докладывались на алгебраической конференции в Москве в 1998 г. (см. [22]) и были анонсированы в тезисах научно-технической конференции в Красноярске в 1999 г. (см. [24]).

В работе используются следующие обозначения. Через Ат и Бт обозначается знакопеременная и, соответственно, симметричеческая группу степени т и через ^р — циклическая группа порядка р. Порядок элемента д группы обозначается через \д\. Через А.В будем обозначать группу с нормальной подгруппой А, факторгруппа по которой изоморфна В. Для конечной группы через Эос((7) обозначается произведение минимальных нормальных подгрупп в С. Через /¿((?) обозначается множество максимальных по делимости элементов из и>(О). Множество и;(С?) однозначно восстанавливается по ¡л{0) и наоборот. Через 8 {О) будем обозначать число связных компонент в ОК{С)1 а через ^¿(^О множество тех п Е /¿(Сх), каждый простой делитель которых лежит в г-й компоненте связности графа С К (О), обозначаемой Для группы £ четного порядка положим 2 € Через 0Ж(0) обозначается наибольшая нормальная 7г-подгруппа в С?, а через 0 я" (С?) — наименьшая нормальная подгруппа в С, факторгруппа по которой есть 7г-группа. Для целых чисел а и Ъ факт делимости (неделимости) Ь на а обозначается через а\Ь (а /6).

Результаты второй, третьей и четвертой глав диссертации получены соискателем лично. Результаты первой главы получены в соавторстве с В.Д.Мазуровым.

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю В.Д.Мазурову за постановку задачи, всестороннюю помощь в работе и внимание с его стороны.

1. P.Hall, G.Higman, The p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem, Proc. London Math. Soc., 1.I. Ser., 6 (1956), 1-42.

2. M.Aschbacher, P.B.Kleidman, M.W.Liebeck, Exponents of almost simple groups and an application to the restricted Burnside problem, Math. Z., 208 (1991), 401-409.

3. В.Д.Мазуров, Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов, Алгебра и логика, 37, N6 (1998), 651-666.

4. А.С.Кондратьев, В.Д.Мазуров, Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов Сиб. матем. ж., 31, N2 (2000), 80-91.

5. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4b5; Aachen, St Andrews, 1998. (http://www-gap.dcs.stand.ac.uk/ ~gap).

6. В.Д.Мазуров, О множестве порядков элементов конечной группы, Алгебра и логика, 33, N1 (1994), 81-89.

7. J.H.Conway, R.T.Curtis, S.P.Norton, R.A.Parker, R.A.Wilson, Atlas of finite groups, Oxford: Clarendon Press, 1985.

8. D.Hanson, On a theorem of Sylvester and Schur, Canad. Math. Bull., 16, N1 (1973), 195-199.

9. J.S.Williams, Prime graph components of finite groups, J.Algebra, 69, N 2 (1981), 487-513.

10. K.Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzrestei, Monatsh. fur Math. u. Phys., 3 (1892), 256-284.

11. H.Rohrbach, J.Weis, Zum finiten Fall des Bertrandschen Postulates. J. Reine Angew. Math., 214/5 (1964), 432-440.

12. А.С.Кондратьев. О компонентах графа простых чисел для конечных простых групп, Мат. сборник, 180, N 6 (1989), 787-797.

13. G.M.Seitz, Generation of finite groups of Lie type, Trans. Amer. Math. Soc., 271, N 2 (1982), 351-407.

14. D.Gorenstein, Finite groups, Harper &; Row, New York, 1968.

15. R.Brauer, C.Nesbitt, On the modular characters of groups, Ann. Math., 42 (1941), 556-590.

16. R.Brandl, W.Shi, The characterization of PSL(2,q) by its element orders, J. Algebra, 163, N1 (1994), 109-114.Работы автора по теме диссертации

17. А.В.Заварницин, В.Д.Мазуров, О порядках элементов в накрытиях симметрических и знакопеременных групп, Алгебра и логика,, 38, N3 (1999), 296-315.

18. A.V.Zavarnitsin, V.D.Mazurov, Element orders in coverings of symmetric and alternating groups, Algebra and, Logic, 38, N3 (1999), 159-170.

19. А.В.Заварницин, Распознавание по множеству порядков элементов знакопеременных групп степени г +1 и г + 2 для простого г, Новосибирск, ИДМИ, 2000 (Препринт №47).

20. А.В.Заварницин, Порядки элементов в накрытиях групп Ln(q) и распознаваемость знакопеременной группы A\q Новосибирск, ИДМИ, 2000 (Препринт №48).

21. A.V.Zavarnitsin, Recognition of finite almost simple groups and its connection with modular representation of almost simple groups, The Seventh International Conference " Groups and group rings", abstracts of talks, Suprasl, Poland, 1999 (p.VII)

22. А.В.Заварницин, О порядках элементов в накрытиях проективных специальных линейных групп, Международная Алгебраическая Конференция памяти А.Г.Куроша, сб.тезисов, Москва, 1998. (с. 170)

23. А.В.Заварницин, В.Д.Мазуров, О порядках элементов в расширениях знакопеременных групп, Международная Алгебраическая Конференция памяти Д.К.Фаддеева, сб.тезисов, Санкт-Петербург, 1997. (с.200)

24. А.В.Заварницин, В.Д.Мазуров, О порядках элементов в расширениях почти простых групп, XV Межрегиональная Научно-Техническая Конференция, сб. тезисов, Красноярск, 1997. (с.4)

25. А.В.Заварницин, Распознавание по множеству порядков элементов знакопеременных групп степени г + 1 и г + 2 для простого г, XXXVII Международная Научная Студенческая Конференция, сб.тезисов, Новосибирск, 1999. (с.5)

26. А.В.Заварницин, О порядках элементов в накрытиях симметрических и знакопеременных групп, XXXV Международная Научная Студенческая Конференция, сб.тезисов, Новосибирск, 1997. (с.4)