Конформные продолжения в скалярно-тензорных и нелинейных теориях гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Чернакова Марина Сергеевна

КОНФОРМНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ В СКАЛЯРНО-ТЕНЗОРНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003060974

Работа выполнена в Учебно-научном институте гравитации и космологии Российского университета дружбы народов

Научный руководитель д ф.-м н Бронников Кирилл Александрович

Официальные оппоненты д.ф -м.н , проф. Владимиров Юрий Сергеевич,

д.ф -м н , проф Рубин Сергей Георгиевич.

Ведущая организация Ульяновский государственный университет

Защита состоится "■£?11 слшпйЩмгт г в /У^час на иседании диссертационного Совета К 308 001 01 при Всероссийском научно-исследовательском институте метрологической службы (ВНИ-ИМС) по адресу 119361, г Москва, ул. Озерная, д 46.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВНИИМС по адресу 119361,г Москва, ул Озерная, д 46

Автореферат разослан " 6 » ШСНЛ 2007 г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелинейные по кривизие теории гравитации с лагранжианом вида L = f(R), где / — некоторая функция скалярной кривизны R, и екалярно-теизорные теории (СТТ) являются хорошо известными и важными альтернативами общей теории относительности Эйнштейна (ОТО) Они широко используются, в частности, для описания инфляции в ранней Вселенной, для объяснения ускоренного расширения Вселенной в современную эпоху, а также во многих других приложениях Нелинейные по кривизне поправки к лагранжиану ОТО возникают в полуклассической гравитации при учете квантовых эффектов материальных полей

Как известно, существует конформное преобразование от многообразия Mj с метрикой д^у, в котором теория (СТТ или /(Д)-теория) изначально задана (называемого йордановской конформной калибровкой, или йордановской картиной), к многообразию Ме с метрикой gßl, — giil//F(x) (картине Эйнштейна), где уравнения исходной теории превращаются в уран-нения ОТО со скалярным полем ф с некоторым потенциалом У(ф) Если конформный множитель F(x) всюду регулярен, то основные геометрические и физические свойства многообразий Mj и Ме совпадают, гак как при таких преобразованиях плоская асимптотика в Mj переходит в плоскую асимптотику в Ме, горизонт в горизонт, центр в центр Однако особый интерес представляют случаи, когда сингулярность в Mg соответствует (в силу свойств F(x)) регулярной поверхности в Mj, тогда Mj может быть регулярно продолжено через эту поверхность (это явление называется кон

формным продолжением), и глобальные свойства многообразия Mj могут быть значительно богаче, чем у Ме В новой области может, например, оказаться горизонт или другая пространственная бесконечность Возможна и обратная ситуация — конформное продолжение из картины Йордана в картину Эйнштейна.

Различные конформные картины связаны с различным выбором единиц измерения (атомных, гравитационных и тд ) В связи с этим, с общей точки зрения, существование конформных продолжений может означать, что доступная нашему наблюдению Вселенная является лишь частью реальной, намного большей Вселенной, которую следует описывать с помощью другой, более фундаментальной конформной картины

Целью диссертации является выяснение необходимых и достаточных условий существования конформных продолжений в статическом сферически с имметричном пространстве-времени произвольной размерности D > 3 ii СТТ и /(й)-теориях, как для электронейтральных конфигураций, так и в присутствии электромагнитного поля, нахождение примеров точных решений уравнений поля, допускающих конформные продолжения, исследование возможности существования решений с черными дырами в ОТО со скалярным полем (картина Эйнштейна) и изучение их свойств при конформном преобразовании в картину Йордана, где задана произвольная СТТ, в частности, поиск решений в виде дважды асимптотически плоских кротовых нор в картине Йордана

Научная новизна. В работах, лежащих в основе диссертации, впервые описаны различные типы конформных продолжений в СТТ и f(R)~

теориях,

впервые доказан ряд теорем, описывающих необходимые и достаточные условия существования конформных продолжений из картины Эйнштейна, где задана ОТО с минимально связанным скалярным полем, к картине Йордана, где задана СТТ или /(Д)-теория,

впервые найден ряд примеров точных решений уравнений поля, допускающих конформные продолжения,

впервые найдены примеры точных решений с заряженными асимптотически плоскими черными дырами в теории Эйнштейна со скалярным и электромагнитным полями, взаимодействующими только через гравитацию,

впервые на примере точного решения уравнений поля показана возможность конформного продолжения решения с заряженной черной дырой в теории Эйнштейна с фантомным скалярным полем в дважды асимптотически плоскую кротовую нору в картине Йордана, где задана некоторая СТТ

Научная и практическая ценность. Многие результаты найден ные необходимые и достаточные условия и свойства конформных продолжений, — не связаны с частными теоретическими моделями, a. относятся к обобщенным теориям, содержащим произвольные функции, характеризующие СТТ или f(R) теории и наборы произвольных параметров, таких как размерность пространства-времени и константа связи

Доказанные теоремы и описанные свойства конформных продолжений показывают, каким условиям должны удовлетворять метрические функ ции, конформный множитель, скалярное поле, потенциал скалярного поля

и другие характеристики теории, чтобы могло иметь место конформное продолжение через некоторую поверхность перехода Straus Таким образом, выясняется, каких свойств можно ожидать в некоторых классах теорий гравитации от еще не найденных решений полевых уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па Международной конференции "Физические интерпретации теории относительности" (Москва, 4-7 июля 2005 г.), на Международной конференции но гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике (Москва, 1-6 марта 2006 г), на научных семинарах в МГУ, ВНИИМС

Публикации. Диссертация написана на основе 5 работ автора, указанных в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения (гл 1), четырех глав основного текста, заключения (гл 6) и списка цитируемой литературы, включающего 111 наименований Объем диссертации с оставляет 104 страниц текста, набранного в издательской системе LaTeX

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 — введение — содержит обзор литературы по теме диссертации, мотивировку исследований, и описание структуры диссертации

В главе 2 рассматриваются условия существования и с во йети я конформных продолжений в статических сферически-симметричных скалярно-вакуумных конфигурациях пространства-времени произвольной размерности D > 3 в СТТ и /(й)-теориях Отдельно рассматриваются случаи, когда поверхность перехода Strans — обычная сфера (такое конформное продолжение названо конформным продолжением первого типа — КП-1), и когда она является горизонтом Киллинга (такое конформное продолжение названо конформным продолжением второго типа — КП-Н) В разделе 2.1 приводятся уравнения поля СТТ и f(R)-теории в картине Йордана В разделе 2 2 рассматриваются необходимые условия и свойства, конформных продолжений, общие для СТТ и f(R)~теорий В разделе 2 3 рассматриваются особенности конформных продолжений в f(R)-теориях, доказывается теорема, описывающая необходимые и достаточные условия существования конформных продолжений В разделе 2 4 приводя тся два примера точных решений уравнений поля в /(Я) теории, допускающих конформное продолжение к картине Эйнштейна, где задана теория относительности с минимально связанным скалярным полем В разделе 2 5 рассматриваются особенности конформных продолжений в случае, koi да в картине Йордана задана СТТ, доказываются две теоремы о необходимых и достаточных свойствах конформных продолжений В разделе 2 6 свойства конформных продолжений иллюстрируются па примере известного

решения с безмассовым конформным скалярным полем в ОТО

В главе 3 рассматриваются условия существования и свойства конформных продолжений первого и второго типов (КП-I и КП-И) в статических сферически симметричных конфигурациях в СТТ и f(R)~теориях при наличии электромагнитного поля Рассмотрение ограничивается случаем четырех измерений пространства-времени, так как при большем числе измерений электромагнитное поле не является конформно инвариант-иым Полученные результаты сравниваются с вакуумным случаем, рассмотренным в главе 2 В разделе 3 1 приводятся уравнения псяя СТТ и /(й)-теории в присутствии электрического заряда в картине Йордана В разделе 3 2 рассматриваются необходимые условия и свойства конформных продолжений, общие для СТТ и f(R) теорий с электромагнитным полем В разделах 3 3 и 3 4 рассматриваются особенности конформных продолжений соответственно в f(R) теориях и в СТТ при наличии электромагнитного поля, доказываются теоремы, описывающие необходимые и достаточные условия существования конформных продолжений в соответствующих теориях В разделе 3 5 свойства конформных продолжений и СТТ с электрическим полем иллюстрируются на примере решения с безмассовым конформным скалярным полем и электрическим зарядом в ОТО

В главе 4 рассматриваются решения с так называемыми холодными черными дырами (в которых горизонт имеет бесконечную площадь) в теории относительности Эйнштейна с минимально связанным скалярным полем Изучаются свойства конформных преобразований этих решений в картину Йордана, где задана QTT общего вида В разделе 4 1 описываются основные свойства статических, сферически симметричных решений

в теории Эйнштейна с безмассовым скалярным полем Особое внимание уделяется семейству решений с холодными черными дырами В разделе 4 2 сравниваются решения с холодными черными дырами в эйнштейновской и йордановской конформных картинах, при этом в качестве примера рассматривается теория Бранса-Дикке Обсуждается новый (третий) тйп конформных продолжений (КП-Ш), возникающий в этом контексте это продолжения через горизонт бесконечной площади Отмечаются также некоторые термодинамические свойства холодных черных дыр В разделе 4 3 рассматриваются общие свойства решений теории Эйнштейна со скалярным полем, обладающим ненулевым потенциалом У(ф) Показывается, что свойства горизонтов холодных черных дыр при У(ф) ^ 0 в основном те же, что и при нулевом потенциале Приводится конкретный пример такого решения

В главе 5 рассматриваются статические сферически-симметричные конфигурации в ОТО и в СТТ с электрическим зарядом В картине Эйнштейна с помощью метода обратной задачи находится четырехпараметри-ческое семейство решений (включающее решения с деситтеровской, плоской и антидеситтеровской асимптотиками), среди которых имеются решения с голыми сингулярностями, с экстремальными и неэкстремальными заряженными черными дырами Найденные решения с черными дырами конформным преобразованием отображаются в решения с заряженными черными дырами в картине Йордана (где задана СТТ общего вида) при условии, что функция неминимальной связи /(ф) всюду положительна С другой стороны, в предположении, что при некотором значении скалярного поля ф функция /(ф) равна нулю, получаются варианты СТТ, в которых

решение с черной дырой в картине Эйнштейна конформно отображается в дважды асимптотически плоскую кротовую нору.

В главе 6 — заключении — формулируются основные результаты, выносимые на защиту

Основные результаты, полученные в диссертации:

1 Даны определения трех различных типов конформных продолжений (КП-1, КП-П и КП-Ш), различающихся видом поверхности §кгапз, через которую имеет место продолжение одного из рассматриваемых многообразий

2 Доказаны теоремы, описывающие необходимые и достаточные условия существования конформных продолжений первого (КП-1) и второго (КП-Н) типов для статических сферически-симметричных конфигураций в СТТ и f(R)-теориях, как для электронейтральных, так и для электрически заряженных конфигураций

3 Показано, что, независимо от присутствия электрического заряда Q, конформные продолжения КП-1 и КП-И имеют место при одних и тех же требованиях на функции f(<j>) (в СТТ) или f(R) (в f(R) теориях), однако важное отличие между электрически заряженными и нейтральными конфигурациями заключается в том, что при Q ф О КП-И может иметь место только при простом горизонте (типа швардшиль-довского), а при <3 = 0- только при двойном горизонте, разделяющем две Т-области

4 Показано, что КП-Н не может иметь место при размерности пространства-времени D — 3

5 Для размерностей пространства-времени £) = 3и£) = 4в /(Д)-теории найдены примеры точных решений уравнений поля с конформными продолжениями первого типа (КП-1)

6 Доказана возможность существования в теории Эйнштейна с безмассовым фантомным скалярным полем решений с холодными черными дырами, горизонт которых имеет бесконечную площадь и нулевую температуру Хокинга Показано, что условия существования холодных черных дыр различны для йордановской (с неминимально связанным скалярным полем) и эйнштейновской (с минимально связанным скалярным полем) конформных картин, что приводит к новому (третьему) типу конформных продолжений (КП-Ш) в эйнштейновской и йордановской картинах

7 Найдено семейство решений с асимптотически плоскими черными дырами в теории Эйнштейна со скалярным и электромагнитным полями На примере теории Бранса-Дикке показана возможность конформного продолжения такого решения в решение с дважды асимптотически плоской кротовой норой в картине Йордана, при этом двойной горизонт экстремальной черной дыры конформно отображается во вторую пространственную бесконечность в решении с кротовой норой

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1 К A Bronnikov and М S Chernakova, Конформные продолжения в теории гравитации с Лагранжианом f(R), Izv Vuzov, Ftz, No 9, 46 (2005), Russ Phys J 48 940 (2005)

2 К A Bronnikov and M S Chernakova, Generalized theories of gravity and conformal continuations, Grav & Cosmol 11, 305 (2005)

3 К A Bronnikov and M S Chernakova, Generalized theories of gravity and conformal continuations electrically charged systems, Grav & Cosmol 12,109 (2006)

4 К A Bronnikov and M S Chernakova, Charged black holes and unusual wormholes in scalar-tensor gravity, Grav & Cosmol 13, 51 (2007)

5 К A Bronnikov, M S Chernakova, J С Fabns, N Pmto-Neto and M E Rodrigues, Cold black holes and conformal continuations, it gr-qc/0609084

ООО «Лаванда», Моек обл , г Павловский Посад, ул Кирова, !2 Заказ 278 Тираж 70 ж« 2007 1

1 Введение

2 Конформные продолжения в СТТ и f(R)~теориях. Скалярно-вакуумные конфигурации

2.1 Уравнения поля.

2.1.1 /(Л)-теория в картинах Йордана и Эйнштейна

2.1.2 СТТ в картине Иордана .1G

2.2 Общие условия конформных продолжений.

2.3 Конформные продолжения в /(Л)-теориях.

2.3.1 Необходимые условия и свойства конформных продолжений

2.3.2 КП-1: достаточные условия.

2.3.3 КП-И: достаточные условия

2.4 Примеры точных решений с конформными продолжениями

2.4.1 Трехмерный пример.

2.4.2 Четырехмерный пример

2.5 Конформные продолжения в СТТ.

2.5.1 Продолжение через обычную сферу (КП-1)

2.5.2 Продолжение через горизонт в Mj (КП-II).

2.6 Пример: конформное скалярное поле в ОТО.

3 Конформные продолжения в СТТ и /(7?)-теориях при наличии электромагнитного поля

3.1 Уравнения поля.

3.1.1 f(R) теория в картинах Иордана и Эйнштейна

3.1.2 СТТ в картине Йордана

3.2 Общие условия конформных продолжений.

3.3 Конформные продолжения в /(/?)-теориях.

3.4 Конформные продолжения в СТТ.

3.5 Пример.

4 Черные дыры и конформные продолжения

4.1 Решение анти-Фишера.

4.2 Картина Йордана в теории Бранса-Дикке.7G

4.3 Конформные продолжения-Ш.

4.4 Термодинамические свойства скалярных чёрных дыр.

4.5 Холодные чёрные дыры с Уф 0: поведение решений вблизи горизонта.

4.6 Пример с V ф

5 Скалярные чёрные дыры и необычные кротовые норы в СТТ

5.1 Заряженные чёрные дыры в картине Эйнштейна.

5.2 Заряженные чёрные дыры и кротовые норы в картине Йордана

Нелинейиые ио кривизие теории гравитации с лаграижианом вида L =f{R), где / — иекоторая функция скалярной кривизны R, и скаляриотеизорные теории (СТТ) являются хорошо известными и важными альтернативами общей теории относительности Эйнштейна (ОТО).Указанные теории исиользуются, в частиости, для онисания инфляциив ранней Вселенной, а также для объяснения ускоренного расширения Вселенной в современную эиоху. Так, иредлагается нелинейная ио кривизнетеория гравитации, которая содержит ноложнтельиые и отрицательныестеиени кривизны, то есть лагранжнан нмеет внд L — R + R™ + 1/i?",где тип- ноложительиые (ио ие обязательно целые) чнсла. При большой кривизне до\ншируют члены вида /?"*, ответственные за инфляциюиа очень ранней стадии развития Вселеииой. Если ири этом 1 < m < 2,то имеет место инфляция но степенному закону; если же m = 2, то имеет место аномальная нн(1)ляцня (ннфляция Старобииского). При с[)ед[П1хВ1)еменах развития Вселеииой даиная /(Л)-тео1)ня совнадает с эйнштейновой гравитацией. В настоящее время, нри низкой кривизне, доминируютчлены внда 1/Л", вызывающие космическое ускорение. Примененне /(i?)теорий для реи1еиия космологических гцюблем см. и работах [92-98].Важиое значение имеют также возможные эффекты /(Л)-теорий длялокальных конфигураций, таких, нанриме[), как галактики и черные дыры. Имеются нонытки использовать моди{})икации закона Ньютона в f{R)теориях для объяснения кривых вpaн^eния галактик [27] и исследованиясвойств чериых дьц) в этом классе теорш"! [29] (см. также приведенные тамссылки).Сун],ествуют обобн1,еппя хорошо известпых решений ОТО, онисываюн1,их чёрные дыры (это реигения Шварцшильда, Райсиера-Нордстрема,Керра, Керра-Ньюмана), на СТТ и /(Д)-теории [65]. Необычиые свойствачёрнодырных решений в СТТ и /(Я)-теориях поднимают вонрос о расширении самого понятия чёрной дыры, которое в обычном случае нредполагает иространственно-врсмеиную сингулярность, скрытую за горизонтомсобытий; посчедпий представляет собой гинерноверхность, отделяющуювпешпюю область, соде1)жащ,ую пространствепную бесконечность, от внутренней областн, невидимой для внеиигего наблюдателя. Так, в статических сферически-симметричных рен1еи1[ях в теории Бранса-Дикке обнаружен большой класс об1)ектов, обладаюш;их свойствалп! чёрных дыр [66-68].Однако не все из этих решений имеют сингуля1)11ость за горизонтом, но уних у всех горизонт имеет бесконечную нлош,адь, а также нулевую поверхностную гравитацию, а, следовательно, и нулевую температуру Хокпнга.Поэтому такне объекты были названы "холодными чёрными дырами".Отметим, что ренюння с холодными чёрными дырами в СТТ сун1,ествуют только в случае аиомальных (или фантомных) теорий, в которыхкинетический член имеет "ненравильный"знак, н энергия скалярного поля является отрицательной. В частности, в теории Бранса-Дикке энергияскаля1)ного ноля положительна, если константа связи ш > -3/2, и отрицательна, если ы < —3/2. В носледние годы фантомные СТТ сталн широкоиспользоваться как в теоретических исследованиях (наиример, И1)и изучении тахионных полей, являющихся следствием теорий струн [69,70]), таки для объясиения эксне{)нментальных данных (например, для объясненияданных но сверхновым тнна 1а и космическому микроволновому фоновомуизлучению [71-74]).Была также нсследоваиа возможность существовання кротовых нор внекотором классе СТТ [49], в частности, в тех теориях, которые, будучи нефантомными ио характеру (то ость с ноложительной кинетической энергией скалярного ноля), снособны привести к фантомиоподобпому поведениюв космологии в определённую эпоху [50]. Было показано [49], что, даже внрисутствни электрического или магнитного ноля, ecjni функция неминнмальной связи /(Ф) везде ноложительна, то решения с кротовыми норамиотсутствуют. Тем не менее было также обна1)ужено [49], что если функция/(Ф) остаётся неотрицательиой, но может об|)аш,аться в нуль нри некотором значеннн скалярного поля Ф, то кротовые по1)ы могут суш;ествовать,хотя только в очень снецифнческом виде СТТ. В историческом илаие, питерес к конформным П1)еобразованиям возник иосле создания Вейлем в 1919 году теории, нытаюн1,ейся объединитьгравитацию н элект[)омагнетизм [59], особеино иосле её нереформулироваиия Дираком в 1973 году [60]. Более того, была сформулирована конформно ннва1)иантиая версия специальной теорин относнтельности [G1-63], однако кои({)ормная инвариантность в этом случае была признана физическибессмысленной [44].Конформные нреобразования широко исиользуются в общей отиосительности, особенно в теории асимптотической плоскостности и при формулировании начальных значений [87], а также П1)н изученни распространеипя безмассовых полей, включая приицин Ферма [12,15], гравитациои7ное лиизироваиие в (копформно-нлоской) вселенной Фридмана-РобертсонаУокера [12,15], волновых уравнений [13,16], онтнческой геометрии вблизи горизонтов чёрных дыр [14,17-19], точных ренюний [6-11] и в другихконтекстах. Конформные преобразования имеют также важное значе1И1ев квантовой теории ноля в нскргшлённых пространствах [20], в статистической мехаиике и в струнных теорнях [21]. Кон<})О1)мное нреобразованиечасто используется в качестве математического инст1)умента для преобразования уравнений движения физических систем в математически эквивалеитные системы уравнений, которые более удобны для изучения. Необходимость этого существует главным образом li следующих трёх областяхгравитационной физики: в альтернативных (в том числе нелинейных) теориях гравитащги, в многомер1н>1х теорнях объединения взаимодействий ипри изучении скалярных нолей, немииимальпо связанных с гравитацней.Прн рассмотренни конформных нреобразованнй особый инте1)ес нредставляют случаи, когда сингулярность в миогообразнн М^ (картина Эйнштейна) соответствует (в силу того, что коиформный \п1ожитель F{x)в данной точке обращается в бесконечность или в нуль) регулярной пове1)хиости в многообразии Mj (картина Йо1)да11а). Тогда многообразие Mjможет быть регулярно продолжено через эту новерхиость (это явлениеназывается конформным продолженнем), и глобальные свойства многообразия MJ могут быть значительно богаче, чем у ME. В повой областиможет, иаи1)имер, оказаться горизонт или другая прост1)аиственная бесконечность. Возможна и обратная ситуация — коп<])ормное нродолжение изкартины Иордана в картину Эйннпейна.Различные конформные картины связаны с различн1)1м выбором едргниц измерения (атохнгых, Г1)авитациопных и т.д.). В связи с этим, с общейточки зрения, сун1,ествованне конформных нродолжепий может означать,что доступная наншму наблюдению Вселенная является лннп> частью реальной, намного большей Вселенной, которую следует оннсывать с помощью другой, более фундаментальной конфор\п1Ой картины.8Цели данной работы состоят в следующем:- выяспепнс необходнмых и достаточных условнй сун1,ествовання конформных продолжений в статнческом сфернческн симметрнчном нространствевременн П1)онзвольной размерностн D > 3 в СТТ н /(Д)-тео1)нях, как дляэлектронейтральпых конфигураций, так н в прнсутствни электромагнитного ноля;- нахождепне нрнмеров точных решеннй уравненнй поля, допускающнхконфо1)М11ые продолження;- исследопанне возможности существовання решений с чёрными дырахмнв ОТО со скалярным нолем (каргнна Эйннпейна) и пзученне их свойствпри конформном нреобразованин в картнну Иордана, где задана произвольная СТТ, в частностн, поиск решеннй в виде дважды асимнтотнческиплоских кротовых пор в картине Иордана.Диссертация написаиа на основе пяти работ anToj)a [1, 2, 3, 4, 5], выН1едип1Х в рецензирируемых пзданнях.Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались иа- междуиародиой конференции "Физические иптернретации теории относительностп" (Москва, 4-7 июля 2005 года);- международно!'! конференции по гравитации, космологии, астрофизикеи пестациоиарной газодниамике (Москва, 1-6 марта 2006 года);- на научных семниарах в МГУ, ВИИИМС. Основную часть диссертации составляют главы 2, 3, 4 и 5.В главе 2 рассматриваются условия сун;ествовання и свойства конформных продолжений в статических сферически-симметричных скалярновaкyy^н^ыx конфигурациях иространства-времепи произвольной размерности D > 3 в СТТ и /(Л)-теорнях. Отдельно рассматриваются случаи,когда пове1)хиость перехода Strans обычная с{})ера (такое конфорлпшеН1юдолжепне названо конформным нродолженнем nej)i!oro тина — КИ-1), икогда она является горнзонтом Ки.иппп'а (такое коиформтн) нродолжение9названо конформным продолжением второго тина — КП-П). В разделе 2.1нрнводятся уравнения ноля СТТ и f (R)-Teo])im в картине Йордана. В разделе 2.2 рассматрнваются необходимые условия и свойства конформныхпродолжений, общие для СТТ и /(Я)-теорнй. В 1)азделе 2.3 1)ассматриваются особенности конформных н[)одолженнй в /(Я)-теориях; доказывается теорема, онисываклцая необходимые н достаточные усшония сун1,ествования конформных продолжений. В разделе 2.4 нрнводятся два примераточных решений уравнений поля в /(/?)-теорнн, допускающих конформноепродолжение к картнне Эйнштейна, где задана теорня относнтельностн смииима.11Ы10 связанным скалярным нолем. В разделе 2.5 рассматриваютсяособенностн конформных продолжений в случае, когда в картнне Иордана задана СТТ; доказываются дне тео1)емы о необходилИ)1х и достаточныхсвойствах конформных продолженшТ. В разделе 2.6 свойства конформныхнродолженнй иллюстрируются на нрнме]:)е нзвестного решения с безмассовым конформным скалярным нолем в ОТО. В главе 3 рассматрнваются условия существования и свойства конформных продолженнй первого н второго тннов (КП-1 и КП-П) в статических сферически симметричных конфнгурацнях в СТТ и /(Л)-теорияхнрн наличии электромагннтного ноля. Рассмотрение ограничивается случаем четырёх измерений пространства-времени, так как при большем числе измерений электромагнитное поле не является конформно ннвариантным. Полученные резульгаты сравниваются с вакуумиым случаем, i)acсмотрени1>1м в главе 2. В {)азделе 3.1 Н1)иводятся уравне1И1я ноля СТТ и/(Я)-теорни в нрнсутствни электрического заряда в картние 1"1ордана. Вразделе 3.2 рассматриваются иеобходимые уаювия и свойства конформных продолжений, общие для СТТ и f{R) теорий с электромагнитнымнолем. В разделах 3.3 и 3.4 рассматриваются особеииости конформныхпродолжений соответственно в f{R) тео1)иях и в СТТ нри наличии электромагннтного поля; доказываются теоремы, оннсывающие необходимыеи достаточные условия существоваиия коифо1).\11и>1х продолжений в соот10ветствующнх теориях. В разделе 3.5 свойства ко11фо1)М11ых 11{)одолже1шнв СТТ с электрическим иолем иллюст1)иру1отся па iipHMei)e ретеиия сбезмассовым коиформиым скаля1)иым иолем и элект1)ическим зарядом вОТО. В главе 4 рассматриваются решения с холодными чёрными дырамив теории относительности Эйнштейна с минимально связанным скалярным нолем. Изучаются свойства ко1к1)О[)лпп>1х нреобразованнй этих решеннй в ка1)тину Иордана, где задана СТТ обш,его вида. В разделе 4.1оннсываются основные свойства статических сферически симметричныхрешен1н"1 в теории Эйиштейна с безмассовым скалярным нолем. Особоевнимание уделяется семейству решений с холодными чёрными дырами. Вразделе 4.2 сравннваются решения с холодными чёрнымн дырамн в эйнштейновской и йордановской конформных ка1)тннах, нрн этом в качественримера рассматрнвается теория Б1)анса-Дикке. В разделе 4.3 обсуждается новый (третий) тин конформных нродолженнй (КП-Ш), возннкаюш,нйв этом контексте: это нродолжения через горизонт бесконечной нлош;ади.В раздала 4.4 рассхматриваются некоторые термоднналшческне свойствахолодных чёрных дыр. В разделе 4.5 расСлматрнваются обш;ие свойства решеннй теорин Эйнштейна со скалярным 1ю.пем, обладаюнщм ненулевымнотенцналом У{ф). Иоказьп!ается, что свойства горнзонтов холодных чёрных дыр нри У{ф) ^ О и основном те же, что и при нулевом потенциале.В разделе 4.6 приводится конкретный пример решения с холодными чёрными дырами нрн У{ф) Ф 0.В главе 5 рассматриваются статические С(})ер11чески-снмметричные конфигурации и ОТО и в СТТ с электрическим за[)ядом. В картине Эйнштейна с номош,ью метода обратной задачи находится четырёхпараметрическоесемейство решений, включаюш,ее решення с деситтеровской, нлоской и антидеситтеровской аси\нггогнка.\н1, средн которых нмеются ])ен[ения с голыми сингуляриостями, с экстремальными и неэкстремальнымн заряженнымн чё1)ными дырами. Иайденные решения с чёрныхш дырамн конформ11ным нреобразованнем отображаются в рентення с заряженнымн чернымиды1)али1 в ка1)тние Иордана в СТТ обн;его внда, нрн условин, что функция номннималыюй связн /{ф) всю т^^ ' положительна. С другой стороны,в нредноложенни, что нрн некотором значении ф функция /(</>) = О, нолучаются варианты СТТ, в которых 1)ен1еиие с черной дырой в картинеЭйнштейна конформно отображается в дважды асимитотическн нлоскуюкротовую нору.Автор выражает благодарность руководителю диссертацноииой работы нрофессору К.А. Бропннкову. Автор также вы[)ажает благодарностьвсем участникам семииаров, нрнннмавшнм участне в обсуждеини результатов работы.12Глава 2Конформные нродолжения вСТТ н /(Д)-теориях.Вакуумные уравнеиия гголя в теории (2.1) 11\геют вид(R; I v^^v -б;п )fn - is'iJiR) - о, (2.2)где П = g'"^VjiSIv ^ оие1)атор д'Аламбета.13Занишем явный вид уравнений поля для статической сферически-симметричной метрикиi , (2.3)A{q)где q - радиальная координата, выбранная в соответствии с условиемОиОрр = 1 ; dQ,^^ — линейный элемент на сфере S^ едииичиого радиуса,d = D-2.При заппси метрпки (2.15) исиользовалось координатное условие '^i^pp =- 1 .Три независимые комбинации уравнений Эйнштейна для метрики (2.15)можно записать в видеК; (2.16)(2.17)- 1); (2.18)где индекс р означает d/dp. Уравнение для скалярного поля{ArUy = г% (2.19)следует пз уравненпй Эйнштейна.При заданном нотенциале V уравнення (2.1б)-(2.18) образуют онределенную спстему уравнений для неизвестных г. Л, ф.Величины в йордановской (2.3) н эйнштейновской (2.15) метриках связаны следующими соотнонюниями:A{q) = FA{p), u^q) = Fr\p), dq = ±Fdp. (2.20)Отметим, что в обоих метриках (2.3) и (2.15) выбраиы "квазиглобальные" радиальные координаты [51] (соответствеипо, р и q), удобпые для15оиисания горизонтов Киллинга: вблизи горизонта р = рн функция А{р)ведет себя как {р — PhY, где к — иорядок горизонта: к = \ соответствуетпростому горизонту тина Шварцшильда, к — 2 — двойному, как у экстремальной черной ды1)ы Райснера-Нордстрема и т.д. Аналогичную роль вметрике (2.3) играет (})уикция A{q).Отметим также, что горизоит Киллинга, соответствующий значениюр = /Э/i, допускает продолжение к другим прострапствеино-времениымобластям тогда и только тогда, когда А; G N. Это ограиичеиие следует изособой роли координаты р: вблизи значения р = Ph она изменяется (с точностью до ноложнтельного постояииого множителя) точио так же, как явио хоротио себя вед}'щне крускалоиодобные коордииаты, используемые дляаналитического иродолжеиия метрики [67,68]. Следовательно,используяэту коордииату (которая иоэтому и была иазваиа квазиглобальной [76]),можно "нересекать горизонты", сохраняя формально статическое выражение для метрики. В случае, когда иоказатель степени к является дробнымчислом, пространство-время не может быть продолжено в связи с неаналитичностью метрики в терминах XOI)OIHO себя ведущих координат. Геодезические также не могут быть нродолжешл за соответствуюн1,ие зиачения ихкаиоиических па1)аметров. Сфера р = р^ является тогда сингулярностью,даже если все ииварианты кривизны на пей конечны. Такие сферы можноназвать сингулярными горизонтами, чтобы отличать их от регулярныхгоризонтов (или просто горизоитов) и сиигулярностей кривизиы.Из трёх функций от •0, входящих 15 действие (2.21), только две иезависимы, так как существует свобода иреобразоваипя ф = '^ (•i/'new)- Предполагая, что /г > О, и псиользуя указапиую свободу, положим h{^) = 1.Вакуумные (то есть для случая Lm — 0) уравиепия поля, следующиеиз действия (2.21), имеют вид(2.22)•Г;(ш), (2.23)где D = V"V(j - оператор д'Аламберта, R'j^ тепзор Риччи, Т^{т) - тензорэнергии-импульса материи.В рассматриваемом в данной работе случае сферической симметрииповерхность Strans ^ Ml может быть либо обычной сферой, на которойметрические функции rj^ м Л конечны (назовём такое продолжение конформным продолженнем первого типа - КИ-1), либо горизоитом Кнллнига, на котором радиус г* коисчеи, но Д = О (назовём такое продолжениекоиформиым иродолжсиием второго тина - КП-П).Без задаиия нотенциала У{ф) нельзя определить поведепие фупкцпйВ{р) и г(р), известно лишь соотношение между иими, даваемое уравпением (2.34).Необходимо потребовать, чтобыF^iy = o{l/p), (2.37)ипаче из соотношений (2.20) получим бесконечное значение q нри /9 = 0.Получим теперь некоторые обш,ие ограпичения.Рассмотрим сначала трсхмериый случай, £) = 3. Тогда из уравнения(2.34) получаемCi/r^, c i = const. (2.39)19Следовательно, нри Ci = О функция В — const, что согласуется с (2.36).2.3 Конформные продолжения в /(Я)-теорнях2.3.1 Необходимые условия и свойства конформныхпродолженийПолучим теперь более точные условия КП для /(Л)-теории с действиемвида (2.1).Поэтому можно заключить, что КП возможно только П1)п таких зпачеппяхR, прп которых функция f{R) имеет экстремум с fnn ф 0.2.3.2 КП-1: достаточные условияПокажем тенерь, что для КП-1 сформулированные в Теореме 1 необходимые условия являются также и достаточными. Другими словами, в теории(2.1) с гладкой функцией /(/?), такой что её первая производная /;j = О, вто время как вторая нроизводная /яд ф О при некотором значении скалярной кривизны R = i?o, суш;ествует такое реиюпне уравнений ноля, котороеявляется гладким в окрестности сферы Strans {R — FIQ).23Достаточно показать, что существует решеиие уравиений ноля (2.G),(2.7) в виде разло>ке}1ий в 1)яды Тейлора вблизи q = 0.Кривизна R является известной функцией от В, s и их И1)оизводных:1)- B"s^ -(d + 2)B'ss' - (d + l)Bss" - \d(d + l)Bs'^. (2.55)Удобно, однако, рассматрнвать R{q) как пензвестную (})упкцню и нспользовать выражение для скалярной крнвнзны (2.55) как ен1,ё одно уравнение.1. Общий случай: D > 3, /о ^ 0.Подставляя разложения (2.56), (2.60), (2.61) и (2.62) в уравиеиия ноля вкартине Иордана (2.6), (2.7) и в уравнение для скалярной кривизны (2.55),в нулевом порядке величины 0{q'^) нолучаем:(2.6) [0] : выполняется автоматически;(2.7) [0]: f2RM+l)Bos, = fo;(2.55) [0] : Roso + Bisl + (d+ l)BoSoS2 = d(d - 1) - \d(dИз (2.7)[0] выражаем ,s'i че[)ез известные постоянные, в то Г51)емя как (2.55) [0]даёт связь В2 н ,ь'2 с известнымн постоянными, включая найденное Si.Далее, в нервом порядке велнчииы 0{q^) находим(2.6) [1]:(2.7) [1]:(2.55) [1]:25где точки в (2.55)[1] означают комбинацию известных ностоянных, включая 1?2 " ^2. Заметим, что авгоматнчески нолучается В2 < 0.Из (2.7)[0] следует Si Ф О, ноэтому (2.7)[1| нрнводит к равеиствуhRl + f2R2 = 0, (2.64)так что i?2 вы1)ажается через Ях, /2 и /з. Это также означает, что /д = Оири (7 = 0 (см.(2.б1)).В дальиеГипих норядках 0(д"), п > 1 уравнения дают:(2.6) [п]: {n +(2.7) [п] : [п - (п - l){d+(2.55) [п] : soBn+2 + (^где, как и ирежде, точки означают комбинации уже известных величин.Тенерь можно сформулнровать алгоритм иоследовательного нахождения всех исизвестных коэффициентов Б„, 5„, Л„. Из четырех уравнений(2.7)[0]-(2.7)[1] иаходятся четыре искомых коэффициента до номера 2. Тенерь, иолагая, что этн коэффнциеиты известны до номера п, находим коэффициенты с номером п+1: Bn+i выражается из уравнення (2.6)[n], затемSn+i нз уравнения (2.55)[п — 1] и, наконец, Rn+i нз уравнения (2.7)fn].Суи1,ест15оваиие этого алгоритма доказывает существование гладкогореишния у1)авиений ноля (2.5)-(2.7), то есть конформного нродолжеиия.2. D > 3, /о = 0. В этом случае и иорядках 0(1) и 0{q) нолучаем те жевыражения, что и в случае 1, с тем лишь от^и1чием, что уравненне (2.7)[0]тенерь нриводит к значению si — 0. Из у1)авиеиня (2.G)[1] находится коэффициент ^2, и носле этого из уравнения (2.55)[0] находится S2; уравнениеже (2.7) [1] вынолняется тривиально.Если выражение (2.65) равно пулю, система уравнений в обн1,ем случае несовместна. Следовательно, можно заключить, что искомое решениесуществует во всех случаях, кроме указанного.3. £) = 3, /о ^ 0. В этом случае необходимым условием для существования КП является В = BQ = const, что значительно упрощает уравнення.Уравнение (2.6) тенерь выполняется тривнально, а другие у1)авнелия ведут к иоаюдовательному определению всех Sn и Л„ точио так же, как вслучае 1.4. D = 3, /о = 0. В этом случае ситуация подобна случаю 2, но несколько проще. Уравнение (2.6) выполняется тривиально; из уравнения (2.7) [0]иаходим S] = О, затем ,S2 Ф О из уравнения (2.55) [0] и i?2 нз уравнения(2.5)[0] (которое даёт {J2R2 + /3^i)so = 0). Уравнение (2.7)[1] выполпяется автоматически. Из уравнення (2.55)[1] находим ,53, а затем для п > 2,зная Rn-i и Sn, находим Sn+i из уравиення (2.55)[u — 1] и Я„ из уравненияТаким об1)азом, КП-1 существует во всех случаях, описанных необходимыл\н1 условиями И1)едыдущего раздела, кроме случая D > 3, /о = О,27когда величипа (2.65) равпа пулю.Из уравиеннй (2.55)[0] и (2.6)[1] иолучаем связь между коэф(})ициентамн5о и Ro:RoSo =2^ -1. (2.68)Из последнего выраженпя очевидно, что RQ > 0. Уравиенне (2.6)[0] онределяет зпачепие /о. Из уравпення (2.55)[0| или (2.6)[1] находится коэффициент Бг.Заметим, что, как уже было иоказано, КП-П существует только дляD > 3 . Кроме того, КП-П, очевидно, носнт весьма снециальный xaj)aKTepпо сравнению с КП-1, так как двойной горизонт — специальиый случайсферы в сферически-симметричном нространстие-времени.Строго гово1)я, приведенные доказательспиг обеснечивают существование решений в виде асимитотических рядов, исследование сходимостикоторых в общем виде затрудиительио. Заметим, одиако, что решеииямиуравнений с аналитическими коэффициеитами являются, вообще говоря,аналнтнчсские функцни, соответствующие которым тейлоровские разложения около регуля1)ных точек имеют иеиулевой радиус сходимости.292.4 Примеры точиых решений с коиформиыми продолжениямиРассмотрим два простых примера точных решений уравнений поля (2.6),(2.7), (2.55) с конформным нродолжением КП-1 для случаев Z? = 3 и D = 4.Метрнка в картинах Йордана н Эйнштейна имеет видТаким образом, йордаиовская метрика имеет вид, близкий к шварцшильдовскому, она сингулярна в центре (д — 0) и содержит горизонт нриq = 2/3. Ее асимнтотика отличается от плоской дефицитом телесного угла,равным 27Г, то есть подобна асимнтотике глобального монополя (в этомлегко убедиться, нерсходя от t ш q к координатам i — t/\/2 ii q = q\f2).32Скалярное поле и его потепциал в ME имеют следующий вид:i | , - l | , (2.93)Отметим, что рассмотренные иримсры иосят методический характер идемоистрируют существеииые различия между оннсаннями теории в картинах Йордана и Эйнштейна в условиях конформного нродолжения.2.5 Конформные нродолжения в СТТ

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. Даны определения трёх различных типов конформных продолжений (КП-1, КП-Н и КП-Ш), различающихся видом поверхности Strans, через которую имеет место продолжение одного из рассматриваемых многообразий.

2. Доказаны теоремы, описывающие необходимые и достаточные условия существования конформных продолжений первого (КП-1) и второго (КП-Н) типов для статических сферически-симметричных конфигураций в СТТ и /(Я)-теориях, как для электронейтральных, так и для электрически заряженных конфигураций.

3. Показано, что, независимо от присутствия электрического заряда Q, конформные продолжения КП-1 и КП-И имеют место при одних и тех же требованиях на функции /(ф) (в СТТ) или f(R) (в f(R)-теориях); однако важное отличие между электрически заряженными и нейтральными конфигурациями заключается в том, что при <2^0 КП-П может иметь место только при простом горизонте (типа шварцшильдовского), а при Q — 0 - только при двойном горизонте, разделяющем две Т-области.

4. Показано, что КП-II не может иметь место при размерности пространства-времени D = 3.

5. Для размерностей пространства-времени D = 3 и D = 4 в теории найдены примеры точных решений уравнений поля с конформными продолжениями первого типа (КП-1).

6. Доказана возможность существования в теории Эйнштейна с безмассовым фантомным скалярным полем решений с холодными чёрными дырами, горизонт которых имеет бесконечную площадь и нулевую температуру Хокинга. Показано, что условия существования холодных чёрных дыр различны для йордановской (с неминимально связанным скалярным полем) и эйнштейновской (с минимально связанным скалярным полем) конформных картин, что приводит к новому (третьему) типу конформных продолжений (КП-Ш) в эйнштейновской и йордановской картинах.

7. Найдено семейство решений с асимптотически плоскими чёрными дырами в теории Эйнштейна со скалярным и электромагнитным полями. На примере теории Бранса-Дикке показана возможность конформного продолжения такого решения в решение с дважды асимптотически плоской кротовой норой в картине Йордана; при этом двойной горизонт экстремальной чёрной дыры конформно отображается во вторую пространственную бесконечность в решении с кротовой норой.

1. К.A. Bronnikov and M.S. Chernakova, Конформные продолжения в теории гравитации с Лагранжианом f(R), 1.v. Vuzov, Fiz., 9, 46 (2005); Russ. Phys. J. 48 940 (2005).

2. K.A. Bronnikov and M.S. Chernakova, Generalized theories of gravity and conformal continuations, Grav. & Cosmol. 11, 305 (2005).

3. K.A. Bronnikov and M.S. Chernakova, Generalized theories of gravity and conformal continuations: electrically charged systems, Grav. & Cosmol. 12, 109 (2006).

4. K.A. Bronnikov and M.S. Chernakova, Charged black holes and unusual wormholes in scalar-tensor gravity, Grav. & Cosmol. 13, 51 (2007).

5. K.A. Bronnikov, M.S. Chernakova, J.C. Fabris, N.Pinto-Neto and M.E. Rodrigues, Cold black holes and conformal continuations, gr-qc/0609084.

6. G. N. Van den Bergh, J. Math. Phys. 27, 1076 (1986).

7. N. Van den Bergh, Lett. Math. Phys. 11, 141 (1986).

8. N. Van den Bergh, Gen. Rel. Grav. 18, 649 (1986).

9. N. Van den Bergh, Gen. Rel. Grav. 18, 1105 (1986).

10. N. Van den Bergh, Lett. Math. Phys. 12, 43 (1986).

11. N. Van den Bergh, J. Math. Phys. 29, 1451 (1988).

12. P. Schneider, J. Ehlers and E.E. Falco, Gravitational Lenses, Springer, Berlin (1992).

13. S. Sonego and V. Faraoni, J. Math. Phys. 33, 625 (1992).

14. S. Sonego and M. Massar, Mon. Not. R. Astr. Soc. 281, 659 (1996).

15. V. Perlick, Class. Quant. Grav. 7, 1849 (1990).

16. T.W. Noonan, Class. Quant. Grav. 12, 1087 (1995).

17. M.A. Abramowicz, B. Carter and J.P. Lasota, Gen. Rel. Grav. 20, 1173 (1988).

18. M.A. Abramowicz, A. Lanza, J.С. Miller and S. Soncgo, Gen. Rel. Grav. 29, 1585 (1997).

19. M.A. Abramowicz, N. Andcrsson, M. Brum, P. Gosh and S. Sonego, Class. Quant. Grav. 14, L189 (1997).

20. N.D. Birrell and P.C. Davies, Quantum Fields in Curved Space, Cambridge University Press, Cambridge (1982).

21. P. Dita and V. Georgescu, Conformal Invariance and String Theory, Proceedings, Poiana Brasov, Romania 1987, Academic Press, Boston (1989).

22. A.A. Гриб, С.Г. Мамаев, В.М. Мостепаненко, Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях, Атомиздат, М. (1980).

23. N.D. Birrell and P.C.W. Davies, Quantum Fields in Curved Space, Cambridge University Press, Cambridge (1982).

24. A.A. Starobinskii, Phys. Lett. В 50, 99 (1980).

25. S.M. Carroll, V. Duvvuri, M. Trodden and M.S. Turner, Phys. Rev. D 70, 043528 (2004); astro-ph/0306438.2G. S. Capozziello, S. Carloni and A. Troisi, astro-ph/0303041.

26. S. Capozziello, V.F. Cardone, S. Carloni and A. Troisi Phys. Lett. A 326, 292 (2004); gr-qc/0404114.

27. T. Jacobson, Gungwon Kang and R.C. Myers Phys. Rev. D 52, 3518 (1995); gr-qc/9503020.

28. G. Magnano and L.M. Sokolovvski Phys. Rev. D 50, 5039 (1994).

29. R.M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, Chicago (1984).

30. U. Alam, V. Sahni and A.A. Starobinsky, JCAP 040G, 008 (2004).

31. D. Hutcrcr and A. Cooray, Phys. Rev. D 71, 02350G (2005).

32. Y. Gong, Class. Qu. Grav. 22, 2121 (2005).

33. D.A. Dicus and WAV. Repko, Phys. Rev. D 70, 083527 (2004).

34. S. Hannestad and E. Mortsell, JCAP 0409, 001 (2004).

35. V. Sahni and A.A. Starobinsky, astro-ph/0610026.

36. E.J. Copeland, M. Sami and S. Tsujikawa, Int. J. Mod. Phys. D 15, 1753 (2006); hep-th/0603057.

37. N.S. Kardashev, I.D. Novikov and A.A. Shatskiy, astro-ph/0G10441 (2006).

38. K.A. Bronnikov, Acta Phys. Pol. В 4, 251 (1973).

39. H.G. Ellis, J. Math. Phys. 14, 104 (1973).

40. K.A. Bronnikov and J.C. Fabris, Phys. Rev. Lett. 96, 251101 (2006); gr-qc/0511109.

41. D. Hochbcrg, A.A. Popov and S.V. Sushkov, Phys. Rev. Lett. 78, 2050 (1997); gr-qc/9701064.

42. S. Krasnikov, Phys. Rev. D 62, 084028 (2000); gr-qc/9909016.

43. W. Pauli, Theory of Relativity, Pergamon Press, New York (1958).

44. G. Clement, Gen. Rel. Grav. 16, 131-138; 477-489; 491-493 (1984).

45. K.A. Bronnikov and Sung-Won Kim, Phys. Rev. D 67, 064027 (2003); gr-qc/0212112.

46. J.P.S. Lemos, F.S.N. Lobo and S.Q. de Oliveira, Phys. Rev. D 68, 064004 (2003).

47. S.V. Sushkov, Phys. Rev. D 71, 043520 (2005).

48. K.A. Bronnikov and A.A. Starobinsky, JETP Letters 85, 1 (2007); gr-qc/0612032.

49. R. Gannouji, D. Polarski, A. Ranquet and A.A. Starobinsky, JCAP 0609, 016 (2006).

50. K.A. Bronnikov, Phys. Rev. D 64, 064013 (2001).

51. K.A. Bronnikov and G.N. Shikin, Izv. Vuzov, Fiz. 9, 25 (1977).

52. S.S. Gubser, Class. Qu. Grav. 22, 5121 (2005).

53. C. Martinez and R. Troncoso, Phys. Rev. D 74, 064007 (2006).

54. A.E. Mayo and J.D. Bekenstein, Phys. Rev. D 54, 5059 (1996).

55. K.A. Bronnikov and G.N. Shikin, Grav. & Cosmol. 8, 107 (2002).

56. K.A. Bronnikov, Acta Phys. Pol. В 32, 3571 (2001).

57. A. Vilenkin and E.P.S. Shellard, Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1994).

58. H. Weyl, Ann. Phys. (Leipzig) 59, 101 (1919).

59. P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. Lond. A 333, 403 (1973).

60. L. Page, Phys. Rev. 49, 254 (1936).

61. L. Page, Phys. Rev. 49, 946 (1936).

62. L. Page and N.I. Adams, Phys. Rev. 49, 466 (1936).

63. C.W. Misner, K.S. Thornc, and J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman, San Francisco (1973).65 66 [676869 70 [7172 7374 75 [76 [7778

64. J.P.S. Lemos, Black holes and fundamental physics, gr-qc/0507101.

65. M. Campanelli and C.O. Lousto, Int. J. Mod. Phys. D2, 451 (1993).

66. K.A.Bronnikov, G. Clement, C.P. Constantindis and J.C. Fabris, Grav. & Cosmol, 4, 128 (1998).

67. K.A. Bronnikov, G. Clement, C.P. Constantinidis and J.C. Fabris, Phys. Lett. 243A, 121 (1998).

68. F. Piazza and S. Tsujikawa, J CAP 0407, 004 (2004).

69. J.S. Bagla, ILK. Jassal and T. Padmanabhan, Phys. Rev. D 67, 063504 (2003).

70. R.R. Caldwell, M. Kainionkowski and N.N. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 91, 071301 (2003).

71. S. Hannestad and E. Mortsell, JCAP 0409, 001 (2004).

72. U. Alam, V. Sahni, T.D. Saini and A.A. Starobinsky, Mont. Not. R. Astron. Soc. 354, 274 (2004).

73. S.W. Allen ct al., Mont. Not. R. Astron. Soc. 353, 457 (2005). B.C. Xanthopoulos and T. Zannias, Phys. Rev. D 40, 2564 (1989). K.A. Bronnikov, J. Math. Phys. 43, 6096 (2002).

74. Ed.G.T. Gillies, V.N. Melnikov and V. de Sabbata, Kluwcr, Dordrecht/Boston/London, 39-64 (2004); gr-qc/0310112.

75. V. Faraoni, E. Gunzig and P. Nardone, Fundamentals of Cosmic Physics 20, 121 (1999).

76. K.A. Bronnikov and V.N. Melnikov, in: Proceedings of the 18th Course of the School on Cosmology and Gravitation: The Gravitational Constant. Generalized Gravitational Theories and Experiments (30 April-10 May 2003, Erice).

77. R. Wagoner, Phys. Rev. D 1, 3209 (1970).

78. Z. Fisher, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 18, 636 (1948); gr-qc/9911008.

79. O. Bergmann and R. Leipnik, Phys. Rev. 107, 1157 (1957).

80. K.A. Bronnikov, Acta Phys. Pol. B4, 251 (1973).

81. R. Penney, Phys. Rev. 182, 1383 (1969).

82. H.G. Ellis, J. Math. Phys. 14, 104 (1973).

83. C. Barcelo and M. Visscr, Class. Qu. Grav. 17, 3843 (2000); gr-qc/0003025.

84. R.M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, Chicago (1984).

85. K.A. Bronnikov, C.P. Constantinidis, R.L. Evangelista and J.C. Fabris, Int. J. Mod. Phys. D8, 481 (1999).

86. T. Jacobson and G. Kang, Conformal invariance of black hole temperature, gr-qc/9307022.

87. O.B. Zaslavskii, Class. Qu. Grav. 19, 3783 (2002).

88. F.G. Alvarenga, A.B. Batista, J.C. Fabris and G.T. Marques, Grav. & Cosmol. 10, 184 (2004).

89. J.D. Barrow and A.C. Ottewill, J. Phys. A 16, 2757 (1983). J.D. Barrow and S. Cotsakis, Phys. Lett. В 214, 515 (1988). J.D. Barrow and S. Cotsakis, Phys. Lett. В 258, 299 (1991).

90. G. Magnano and L.M. Sokolowski, On Physical Equivalence Between Nonlinear Gravity Theories And A General Relativistic Self gravitating Scalar Field, Phys. Rev. D 50, 5039 (1994).

91. A. Dobado and A.L. Maroto, Phys. Rev. D 52, 1895 (1995).

92. H.J. Schmidt, New Exact Solutions For Power-Law Inflation Friedmann Models, Astron. Nachr. 311, 165 (1990).

93. S. Capozziello, S. Carloni and A. Troisi, Quintessence without scalar fields, astro-ph/0303041.

94. K.A. Bronnikov, Scalar-tensor theory and scalar charge, Acta Phys. Polon. B4, 251— 273 (1973).

95. I.Z. Fisher, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 18, 636 (1948).

96. C. Barcelo and M. Visser, Phys. Lett. 466B, 127 (1999).

97. C. Barcelo and M. Visscr, Class. Qu. Grav. 17, 3843 (2000).

98. N.M. Bocharova, K.A. Bronnikov and V.N. Melnikov, Vestn. Most Univ., Fiz. Astron. 6, 706 (1970).

99. J.D. Bekenstein, Ann. Phys. (USA) 82, 535 (1974).

100. K.A. Bronnikov and S.V. Grinyok, Grav. & Cosmol. 10, 237 (2004), gr-qc/0411063.

101. K.A. Bronnikov and S.V. Grinyok, Grav. & Cosmol. 11, 75 (2005).

102. K.A. Bronnikov and S.V. Grinyok, Grav. & Cosmol. 7, 297 (2001).

103. A.A. Starobinsky, Pis'ma v Astron. Zh. 7, 67 (1981).

104. A.A. Starobinsky, Sov. Astron. Lett. 7, 361 (1981).

105. K.A. Bronnikov and Yu.N. Kireyev, Phys. Lett. 67A, 95 (1978).

106. H.B. Мицкевич, Физические поля в теории гравитации, Наука, Москва (1970).