Свойства статических решений в скалярно-тензорных теориях гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Вступление

1 ВВЕДЕНИЕ

1. О скалярно-тензорных теориях.

2. Кротовые норы.

2.1. Первые работы.

2.2. Энергетические условия.

2.3. Кротовые норы - после книги Фиссера 1995 года

2.4. Устойчивость.

2.5. Кротовые норы как машины времени.

2.6. Связи между кротовыми норами и звёздами

2.7. Перспективы обнаружения.

3. Общие свойства кротовых нор.

3.1. Теоремы о горловинах.

2 Устойчивость незаряженных кротовых нор в СТТ

1. Предварительные замечания.

2. Общая скалярно-тензорная теория в представлении Йордана и в представлении Эйнштейна

3. Кротовые норы в теории / = 1 — £ф

3.1. Решения.

3.2. Скалярное поле ф как координата.

3.3. Кротовые норы с конформным скалярным полем

4. Кротовые норы с /(ф) общего вида.

5. Сферически-симметричные возмущения и калибровочная свобода.

6. Исследование устойчивости.

6.1. Постановка задачи.

6.2. Обзор решения.

6.3. Решение.

3 Заряженные кротовые норы в СТТ. Существование и устойчивость

1. Введение.

2. Решения типа заряженной кротовой норы.

2.1. Статическое решения общего вида.

2.2. Продолженные решения в йордановой картине

2.3. Решения типа кротовой норы.

3. Устойчивость.

3.1. Постановка задачи.

Заключение 69

Приложения 71

1. Некоторые определения и теоремы операторного анализа, использованные в работе.71

1.1. Принцип минимакса.71

1.2. Самосопряжённость, симметричность, замкнутость 72

1.3. Компактность оператора .72

1.4. Замечание по поводу пространств L\ и Li . 73

1.5. Спектральная теорема для неограниченных операторов .74

2. Листинг программы на Фортране Литература

Вступление

Тематика данной диссертационной работы связана с решением конкретных задач скалярно-тензорной теории гравитации с источниками в виде физических полей, в первую очередь скалярного поля; особое внимание уделяется проблеме устойчивости конфигураций.

Достижения современной астрофизики, связанные с наблюдением компактных космических объектов и анализом реликтового радиоизлучения — главного источника информации о свойствах ранней Вселенной, обусловливают актуальность теоретического анализа физических явлений в сильных гравитационных полях в различных теориях гравитации. Среди основных направлений такого анализа можно выделить: 1) поиск точных решений уравнений гравитационного поля с различными материальными источниками в различных теориях гравитации; 2) исследование метрических, причинных и топологических свойств точных решений, включая их устойчивость относительно малых или конечных возмущений; 3) исследование свойств квантовых полей, взаимодействующих с гравитацией, и 4) анализ квантовых свойств самого гравитационного поля. Первые три направления представлены в данной работе; особое внимание уделяется решениям в виде кротовых нор — предмету обсуждения многих статей, обзоров и монографий последних лет.

Одной из фундаментальных задач современной теоретической физики является объединение взаимодействий, включая гравитацию; современные теории объединения предполагают существование дополнительных измерений пространства-времени и различных физических полей, прежде всего скалярных и векторных, помимо метрического поля. Это, а также некоторые известные трудности, присущие общей теории относительности (ОТО) (проблема энергии гравитационного поля, неперенормируемость квантового варианта ОТО), привело к появлению целого ряда альтернативных ОТО теорий гравитации — многомерных, скалярно-тензорных, биметрических и т.д. Возникает необходимость получения точных решений в альтернативных теориях, а также сравнения свойств точных решений различных теорий и их наблюдательных предсказаний, включая прямые наблюдательные следствия многомерия. В данной диссертации рассматриваются гравитационные аспекты одной из наиболее известных и исследованных теорий — теории Бранса-Дикке и её обобщений (скалярно-тензорные теории гравитации — СТТ).

С задачей объединения взаимодействий тесно связана задача исследования роли гравитации в физике частиц; поскольку современные теории большого объединения предсказывают существование частиц с массами, близкими к планковской, в их структуре гравитация должна играть важную, если не основную, роль. Актуальность поиска и исследования частицеподобных решений (ЧПР) систем нелинейных и взаимодействующих полей с учётом гравитационного поля определяется его нелинейностью, универсальностью, принципиальной невозможностью введения точечных объектов в метрических теориях гравитации. Более того, как показывают результаты исследований, учёт гравитации принципиально важен независимо от её силы, поскольку меняет сами условия существования ЧПР уравнений поля по сравнению с теорией, формулируемой лишь в пространстве Минковского. Возникают как дополнительные ограничения на выбор лагранжианов взаимодействия, так и, наоборот, некоторые новые возможности получения ЧПР, например, с неевклидовой топологией.

Особый интерес представляет проблема устойчивости решений классических уравнений поля: с одной стороны, устойчивость относительно малых возмущений даёт критерий отбора модельных систем, способных описывать реально существующие астрофизические или микрофизические объекты; с другой стороны, анализ роста возмущений приводит к предсказанию характера и скорости эволюции реальных систем. Исследования устойчивости решений являются важной частью данной работы; рассмотрена устойчивость кротовых нор со скалярными полями, а также устойчивость кротовых нор с зарядом в скалярно-тензорных теориях.

Диссертация состоит из трёх глав и вступления.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Выяснен вид возможных калибровочных условий, способных фиксировать физическую систему координат в возмущенном пространстве-времени. Показано, что простейшим (и достаточным) выбором является "центральная" калибровка и ее аналоги.

2. Решена самосогласованная задача об устойчивости кротовой норы в классе скалярно-тензорных теорий гравитации. Доказано, что полученный результат не зависит от выбора системы координат. Получена зависимость скорости распада кротовой норы от радиуса горловины. Скорость распада кротовой норы оказывается порядка времени пролёта световым сигналом расстояния равного её радиусу, в частности кротовая нора радиуса порядка звёздного распадается за секунды. Наше рассмотрение всё же не исключает возможности существования кротовых нор космологического масштаба, т.к. для полученных результатов существенна статичность исходной метрики, автор надеется вернуться к этому вопросу в своих последующих работах. Вывод о неустойчивости кротовой норы не зависит от конкретного выбора скалярно-тензорной теории, допускающей существование кротовых нор рассматриваемого вида. Аналитическое доказательство подтверждается результатами численных расчётов с применением ЭВМ.

3. Исследованы сферически-симметричные возмущения заряженной кротовой норы в ОТО с неминимально связанным скалярным полем. Получены точные решения, описывающие заряженные кротовые норы с неминимально связанным скалярным полем, моделирующие ручки Уилера. Показано, что заряженная кротовая нора при малых значениях заряда неустойчива относительно сферически-симметричных возмущений метрики и поля, и инкремент роста возмущений близок к незаряженному случаю. Численные расчёты на ЭВМ, хотя и не являются надёжными в области больших значений заряда, указывают на возможную стабилизацию кротовых нор в этой области.

Как указывалось во введении, в последнее время появились работы, где делается попытка обосновать на основе идей полуклассической теории гравитации невозможность существования или неустойчивость кротовых нор, причём пока к какому-то согласию исследователи не пришли. В такой ситуации, подход на основе классической теории гравитации является единственным, в котором можно решать задачи на устойчивость.

Мы можем подвести некоторые итоги исследований сферически-симметричных решений в СТТ данного класса. В начале семидесятых годов были обнаружены кротовые норы и чёрные дыры в теории с конформно связанным скалярным полем [99, 31]. Затем, в работе [100], была показано, что найденные ранее чёрные дыры неустойчивы. В других работах [107] исследована неустойчивость сингулярностей и чёрных дыр с обычным и фантомным полями. На основании результатов этих и данной работы можно сделать общий вывод: в СТТ с нулевой массой скалярного поля, допускающих существование кротовых нор, не существует устойчивых статических сферически-симметричных решений, по крайней мере, если кинетический член в лагранжиане имеет нормальный знак.

1. Т. Kaluza, Zum Unitätsproblem der Physik Sitzungsber, Preuss. Akad. Wiss. Phys. Mat. Klasse, 966 (1921).2. 0. Klein, Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie Zeit. f. Phys. 37, 895 (1926), Nature 118, 516 (1926).

2. С. Brans, R.H. Dicke, Mach's principle and relativistic theory of gravitation , Physical Revew 124, 3 (1961).

3. С. Вайнберг, Гравитация и космология, "Платон", Волгоград, (2000).

4. L. Flamm, Phys. Z., 17, 48 (1916).

5. А. Einstein and N. Rosen, Phys. Rev. 48, 73 (1935).

6. J. A. Wheeler, Geometrodynamics , Academic Press, New York, 1962.

7. M. S. Morris and K. S. Thorne, Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching General Relativity , Am. J. Phys. 56, 395 (1988).

8. Ю.С. Владимиров, Метафизика , Москва (2002).

9. Ю.С. Владимиров, Реляционная теория пространств а-времени и взаимодействий. Часть 1 , Москва (1996).

10. M.S. Morris, K.S. Thorne and U. Yurtsever, Wormholes, Time machines, and the Weak Energy Condition , Phys. Rev. Lett, 61, 1446 (1988).

11. M. Visser, Lorentzian Wormholes: From Einstein to Hawking (American Institute of Physics, Woodbury, N.Y., 1995).

12. T. Appelquist, A. Chodos and P.G.O. Freund, Modern Kaluza-Klein Theories , Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, California (1987).

13. P. Jordan, Schwerkraft und Weltall, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1952).

14. S. Tsujikawa, K. Maeda, T. Torii, Preheating of the nonminimally coupled inflaton field , hep-ph/9910214

15. L. Kofman, A. Linde and A. Starobinsky, Towards the Theory of Reheating After Inflation , Phys. Rev. D 56, 3258 (1997); hep-ph/9704452.

16. D. Boyanovsky, D. Cormier, H. J. de Vega, R. Holman, and S.P. Kumar, Out of Equilibrium Fields in Inflationary Dynamics. Density Fluctuations , hep-ph/9801453.

17. S. W. Hawking, Wormholes in spacetime, Phys. Rev. D 37, 904 (1988).

18. R. P. Geroch, Topology in General Relativity, J. Math. Phys. 8, 782 (1967).

19. B. K. Harrison, K. S. Thorne, M. Wakano and J. A. Wheeler, Gravitational Theory and Gravitational Collapse , (University of Chicago Press, Chicago, 1965).

20. Ya. B. Zel'dovich and I. D. Novikov, Relativistic Astrophysics, Vol. I: Stars and Relativity, (University of Chicago Press, Chicago, 1971).

21. S. W. Hawking and G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Spacetime , (Cambridge University Press, Cambridge 1973).

22. G. Klinkhammer, Averaged energy conditions for free scalar fields in flat spacetime, Phys. Rev. D 43, 2542 (1991).

23. T. A. Roman, Quantum stress-energy tensors and the weak energy condition, Phys. Rev. D 33, 3526 (1986).

24. H. Ford and T. A. Roman, Averaged energy conditions and quantum inequalities, Phys. Rev. D 51, 4277 (1995).

25. H. Ford and T. A. Roman, Quantum field theory constrains traversable wormhole geometries, Phys. Rev. D 53, 5496 (1996).

26. H. Ford and T. A. Roman, The quantum interest conjecture, Phys. Rev. D 60, 104018 (1999).

27. C. Barcelo and M. Visser, Scalar fields, energy conditions and traversable wormholes, Class. Quantum Grav. 17, 3843 (2000).

28. B. Mclnnes, The Covariant Entropy Bound, Brane Cosmology, and the Null Energy Condition, JHEP 0212, 053 (2002)

29. H. G. Ellis, Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity, J. Math. Phys. 14, 104 (1973).

30. C. Barcelo and M. Visser, Traversable wormholes from massless con-formally coupled scalar fields, Phys. Lett. B466, 127 (1999).

31. K. A. Bronnikov, Scalar-tensor theory and scalar charge, Acta Phys. Pol. B 4, 251 (1973).

32. T. Kodama, General-relativistic nonlinear field: A kink solution in a generalized geometry, Phys. Rev. D 18, 3529 (1978).

33. G. Clément, Einstein-Yang-Mills-Higgs solitons, Gen. Rel. Grav. 13, 763 (1981).

34. G. Clément, The Ellis geometry, Am. J. Phys. 57, 967 (1989).

35. E. G. Harris, Wormhole connecting two Reissner-Nordstrom universes, Am. J. Phys. 61, 1140 (1993).

36. M. Visser, Traversable wormholes: Some simple examples, Phys. Rev. D 39, 3182 (1989).

37. M. Visser, Traversable wormholes: The Roman ring, Phys. Rev. D 55, 5212 (1997).

38. M. Visser and D. Hochberg, Generic wormhole throats, gr-qc/971001.

39. N. Dadhich, S. Kar, S. Mukherjee and M. Visser, R = 0 spacetimes and self-dual Lorentzian wormholes, Phys. Rev. D 65, 064004 (2002).

40. V. P. Frolov and I. D. Novikov, Wormhole as a device for studying a black hole interior, Phys. Rev. D 48, 1607 (1993).

41. P. F. González-Días, Ringholes and closed timelike curves, Phys. Rev. D 54, 6122 (1996).

42. G. Clément, Flat wormholes from cosmic strings, J. Math. Phys. 38, 5807 (1997).

43. R. O. Aros and N. Zamorano, Wormhole at the core of an infinite cosmic string, Phys. Rev. D 56, 6607 (1997).

44. F. Shein, P. C. Aichelburg and W. Israel, String-supported wormhole spacetimes containing closed timelike curves, Phys. Rev. D 54, 3800 (1996).

45. E. Teo, Rotating traversable wormholes, Phys. Rev. D 58, 024014 (1998).

46. S. Nojiri, 0. Obregon, S. D. Odintsov and K. E. Osetrin, Can primordial wormholes be induced by GUTs at the early Universe?, Phys. Lett. B458, 19 (1999).

47. A. Saa, Nonexistence theorems for traversable wormholes, Mod. Phys. Lett. A 14, 843 (1999).

48. S. Krasnikov, Traversable wormhole, Phys. Rev. D 62, 084028 (2002).

49. S. A. Hayward Wormholes supported by pure ghost radiation, Phys. Rev. D 65, 124016 (2002).

50. H. Koyama, S. A. Hayward and S. Kim, Construction and enlargement of dilatonic wormholes by impulsive radiation, gr-qc/0212106.

51. L. A. Gergely, Wormholes, naked singularities, and universes of ghost radiation, Phys. Rev. D 65, 127502 (2002).

52. P. K. Kuhfittig, A wormhole with a special shape function, Am. J. Phys. 67, 125 (1999).

53. D. Hochberg and M. Visser, Null energy condition in dynamic worm-holes, Phys. Rev. Lett. 81, 746 (1998).

54. D. Hochberg and M. Visser, Dynamic wormholes, antitrapped surfaces, and energy conditions, Phys. Rev. D 58, 044021 (1998).

55. M. Visser, S. Kar and N. Dadhich, Traversable wormholes with arbitrarily small energy condition violations, Phys. Rev. Lett. 90, 201102 (2003).

56. S. Kim, Schwarzschild-de Sitter type wormhole, Phys. Lett. A 166, 13 (1992).

57. T. A. Roman, Inflating Lorentzian wormholes, Phys. Rev. D 47, 1370 (1993).

58. M. S. R. Delgaty and R. B. Mann, Traversable wormholes in (2+1) and (3-hl) dimensions with a cosmological constant, Int. J. Mod. Phys. D 4, 231 (1995).

59. A. DeBenedictis and A. Das, On a general class of wormholes, Class. Quantum Grav. 18, 1187 (2001).

60. A. Chodos and S. Detweiler, Spherical symmetric solutions in five-dimensional general relativity, Gen. Rel. Grav. 14, 879 (1982).

61. G. Clément, A class of wormhole solutions to higher-dimensional general relativity, Gen. Rel. Grav. 16, 131 (1984).

62. A. DeBenedictis and A, Das, Higher dimensional wormhole geometries with compact dimensions, gr-qc/0207077.

63. K. K. Nandi, B. Bhattacharjee, S. M. K. Alam and J. Evans, Brans-Dicke wormholes in the Jordan and Einstein frames, Phys. Rev. D 57, 823 (1998).

64. Y.-G. Shen, H.-Y. Guo, Z.-Q. Tan and H.-G. Ding, Wormholes in Kaluza-Klein theory, Phys. Rev. D 44, 1330 (1991).

65. S. Kar, Evolving Lorentzian wormholes, Phys. Rev. D 53, 722 (1996).

66. L. A. Anchordoqui and S. E. Perez Bergliaffa, Wormhole surgery and cosmology on the brane: The world is not enough, Phys. Rev. D 62, 076502 (2000).

67. C. Barceld and M. Visser, Brane surgery: energy conditions, traversable wormholes, and voids, Nucl. Phys. B584, 415 (2000).

68. M. Visser, Traversable wormholes from surgically modified Schwarzschild spacetimes, Nucl. Phys. B328, 203 (1989).

69. E. Poisson and M. Visser, Thin-shell wormholes: Linearization stability, Phys. Rev. D 52, 7318 (1995).

70. M. Ishak and K. Lake, Stability of transparent spherically symmetric thin shells and wormholes, Phys. Rev. D 65, 044011 (2002).

71. C. Armendariz-Picon, On a class of stable, traversable Lorentzian wormholes in classical general relativity. Phys. Rev. D 65, 104010 (2002).

72. H. Shinkai and S. A. Hayward, Fate of the first traversable worm-hole: Black hole collapse or inflationary expansion, Phys. Rev. D 66, 044005 (2002).

73. V. P. Frolov and I. D. Novikov, Physical effects in wormholes and time machines, Phys. Rev. D 42, 1057 (1990).

74. S. Kim and K. S. Thorne, Do vacuum fluctuations prevent the creation of closed timelike curves? Phys. Rev. D 43, 3929 (1991).

75. S. W. Hawking, Chronology protection conjecture, Phys. Rev. D 46, 603 (1992).

76. M. Lyutikov, Vacuum polarization at the chronology horizon of the Roman spacetime, Phys. Rev. D 49, 4041 (1994).

77. W. A. Hiscock and D. A. Konlowski, Quantum vacuum energy in Taub-NUT-type cosmologies, Phys. Rev. D 26, 1225 (1982).

78. L.-X. Li and J. R. Gott, S elf-consistent vacuum for Misner space and the chronology protection conjecture, Phys. Rev. Lett. 80, 2980 (1998).

79. W. A. Hiscock, Quantized fields and chronology protection, gr-qc/0009061.

80. M. Visser, The quantum physics of chronology protection, gr-qc/0204022.

81. K. S. Thorne, Closed timelike curves, in General Relativity and Gravitation, Proceedings of the 13th Conference on General Relativity and Gravitation, edited by R. J. Gleiser et al (Institute of Physics Publishing, Bristol, 1993), p. 295.

82. S. Krasnikov, Time machine (1988-2001) , gr-qc/0305070, S. Kras-nikov, Phys. Rev. D 65, 064013 (2002).

83. S. A. Hayward, Black holes and traversible wormholes: a synthesis, gr-qc/0203051.

84. J. G. Cramer, R. L. Forward, M. S. Morris, M. Visser, G. Benford and G. A. Landis, Natural wormholes as gravitational lenses, Phys. Rev. D 51, 3117 (1995).

85. D. F. Torres, G. E. Romero and L. A. Anchordoqui, Wormholes, gamma ray bursts and the amount of negative mass in the Universe, Mod. Phys. Lett. A 13, 1575 (1998).

86. M. Safonova, D. F. Torres and G. E. Romero, Microlensing by natural wormholes: theory and simulations, Phys. Rev. D 65, 023001 (2002).

87. M. Safonova, D. F. Torres, G. E. Romero, Macrolensing signatures of large-scale violations of the weak energy condition, Mod. Phys. Lett. A 16, 153 (2001).

88. D. Hochberg, A. Popov and S.V. Sushkov,Self-consistent wormhole solutions of semiclassical ravity Phys. Rev. Lett. 78, 2050 (1997).

89. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, "Айнштайн", Бишкек (1996).

90. W. Hawking and G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of SpaceTime , (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1973).

91. R.M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, Chicago, 1984).

92. J.L. Synge, Relativity: the General Theory (North-Holland, Amsterdam, 1964).

93. V. Fock, The Theory of Space, Time, and Gravitation (Pergamon, New York, 1964).

94. D. Hochberg and M. Visser, Geometric Structure of the Generic Static Traversable Wormhole Throat, gr-qc/9704082.

95. И.З. Фишер, Скалярное мезостатическое поле с учётом гравитационных эффектов, ЖЭТФ 18 636 (1948); gr-qc/9911008.

96. R. Wagoner, Scalar-tensor theory and gravitation waves Phys. Rev. Dl, 3209 (1970).

97. С. Чандрасекар, Математическая теория чёрных дыр , Москва, Мир , 1986, тт. 1,2

98. K.A. Bronnikov and G.N. Shikin, Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes, and solitons , Grav. & Cosmol. 8, 2002; gr-qc/0109027.

99. N.M. Bocharova, K.A. Bronnikov and V.N. Melnikov, Vestn. Most Univ., Fiz. Astron. 1970, No. 6, 706-709.

100. K.A. Bronnikov and Yu.N. Kireyev, Instability of black holes with scalar charge. Phys. Lett. 67 A, 95 (1978).

101. Ю.П. Рыбаков и Я.П. Терлецкий, Квантовая механика, Изд.-во РУДН, Москва (1991).

102. А.А. Starobinsky, Pis'ma v Astron. Zh. 7, 67 (1981); Sov. Astron. Lett. 7, 361.

103. K.A. Bronnikov, Scalar-tensor gravity and conformal continuations, J. Math. Phys. 43, 6096 (2002); gr-qc/0201083.

104. V. Faraoni, E. Gunzig and P. Nardone, Conformal transformations in classical gravitational theories and in cosmology, Fundamentals of Cosmic Physics 20, 121 (1999).

105. K.A. Bronnikov, G. Clement, C.P. Constantinidis and J.C. Fabris, Structure and stability of cold scalar-tensor black holes. Phys. Lett. A 243, 121-127 (1998).

106. К.A. Bronnikov and A.V. Khodunov, Scalar field and gravitational instability, Gen. Rel. Grav., 11, 1, 13 (1979);

107. K.A. Bronnikov, G. Clement, C.P. Constantinidis and J.C. Fabris, Cold scalar-tensor black holes: causal structure, geodesies, stability. Grav. & Cosmol. 4, 128-138 (1998).

108. C. Armendariz-Picon, On a class of stable, traversable Lorentzian wormholes in classical general relativity Phys. Rev. D 65, 104010 (2002); gr-qc/0201027.

109. K.A. Bronnikov, Acta Phys. Polon. B32, 357 (2001).

110. H.B. Мицкевич, Физические поля в общей теории относительности, Наука, Мосува, (1970).

111. К.A. Bronnikov and М.А. Kovalchuk, On a generalization of Birkhoff's theorem, J. Phys. A: Math. & Gen. 13, 187 (1980).

112. U.H. Gerlach and U.K. Sengupta, Gauge-invariant perturbations on most general spherically symmetric space-times, Phys. Rev., D 19, 2268 (1979).

113. M. Reed and M. Simon, Methods of Mathematical Physics, vol. I-IV, Academic Press, NY, 1975, 1978, 1979, 1980.

114. R.D. Richtmyer, Principles of Advanced Mathematical Physics, vol. 1, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, (1978).

115. JI.B. Канторович. Г.П. Акилов, Функциональный анализ , Наука, Москва, (1977).

116. J.D. Bekenstein, Exact solutions of Einstein-conformal scalar equations. Ann. Phys. (USA) 82, 535 (1974).

117. K.A. Bronnikov, Phys. Rev. D 63, 044005 (2001).

118. M. Novello, V.A. De Lorenci, E. Elbaz and J.M. Salim, Closed lightlike curves in nonlinear electrodynamics, gr-qc/0003073.

119. F. Baldovin, M. Novello, S.F. Perez Bergliaffa and J.M. Salim, Class. Qu. Grav. 17, 3265-76 (2000).

120. R. Penney, Generalization of the Reissner-Nordstrom solution to the Einstein field equations Phys. Rev. 182, 1383 (1969).

121. K.A. Bronnikov and S. Grinyok, Instability of wormholes with a non-minimally coupled scalar field, Grav. & Cosmol. 7, 297 (2001); gr-qc/0201083.

122. K.A. Bronnikov, S.V. Grinyok, Conformal continuations and worm-hole instability in scalar-tensor gravity , Grav. & Cosmol. 10, (2004), No 3 (39); gr-qc/0411063.

123. K.A. Bronnikov and S. Grinyok, Charged wormholes with non-minimally coupled scalar fields. Existence and stability , in "Inquiring the Universe". Essays to celebrate Prof. Mario Novello's jubilee, Frontier Group, Rio de Janeiro, 2003; gr-qc/0205131

124. K.A. Bronnikov, S.V. Grinyok, Wormholes with and without charge in scalar-tensor gravity , Grav. & Cosmol. 11, (2005), No 1-2 (41-42).

125. N.A. Zaitsev, S.M. Kolesnikov and A.G. Radynov, preprint ITF-72-21P, Kiev (1972).

126. К.А. Бронников, Задача Райсснера-Нордстрема в присутствии скалярного поля, препринт 1ТР-72-20, Киев (1972).