Контактное взаимодействие плоских областей с криволинейными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 0іі

ж-

АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ПШШДНИХ ЇЇРОБШ МЕХАНІКИ 1 МАТЕМАТИКИ ■ і и. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

На правах рукотшсу УДК 539^3

- Д Е М Ч И К

. Світлана Петрівна

КОНТАКТНА ВЗАЄМОДІЯ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ '

З КРИВОЛІНІЙНИМИ ГРАНИЦЯМИ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового- ступеня -кандидата фізико-математичних наук

Львів - 1994

Робота виконана в університеті "Львівська політехніка' і Рівненському педагогічному інституті

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, процесор

Офіційні опоненти - доктор фізико-ііатеі.;атичних наук, професор

на засіданні спеціалізованої ради К.016.59.01 по присвоєнню наукового ступеня кандидата фізико-і.;атз:.їатичних наук і кандидата технічних наук при Інституті прикладних проблем механіки т математики їм. Я.С. -Підстригача АН України (м. Львів, вул. Наукова, 36 ). . .

З дисертацією можна ознайоштися в бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача.

Відгук на автореферат просимо надсилати на адресу; 290053, !>СП, м. Львів, вул. Наукова, 36, вченоілу секретарю спеціалізованої ради.

МАРТИНОВИЧ ТИМОФІЙ ЛАЗАРЕВИЧ

_ ОСДЦЧУК ВАСИЛЬ АНТОНОВИЧ, ,

кандидат фізико-математичних наук, доцент НІЩЕНКО ІВАН ОЛЕКСІЙОВИЧ .

Провідна організація - Тернопільський приладобудівний інститут

У - ґ

Захист відбудеться " О / 1994 р. о 15 годині

05 1994 р,

Вчений секретар спеціалізованої ради, кандидат фіз.-мат. наук

ПЛ3. Шевчук

ЗАГАЛЬНА. ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність тем. Одна із актуальних задач сучасного машинобудування - підвищення надійності та довговічності машин і механізмів - вимагав розробки нетрадиційних методів визначення на пружень і деформацій при контактуванні твердих тіл. На даний час з проблем контактної взаємодії отримані результати по широкому колу питань. Вони достатньо повно відображені в чисельних публікаціях періодичних видань. ■

Вагомий внесок у розв"язання контактних задач для циліндричних тіл з круговими границями внесли Д.В. Гриліцький, А,І. Ка-ландія, Г.А. Морарь, С.М. Мхітарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попоз, М.Й, Теплий, Ф.С. Торосян, М.П. Шереметьев, 1.Я. Штаарман та інші . Подальший розвиток досліджень з даної проблеми йшов у напрямку їх ускладнення: враховувалися такі фактори як тертя (Г.А. Мо рарь, Г.Я. Попов, В.В. Панасюк, М.Й. Теплий), анізотропія матеріалу (Д.В. Гриліцький, Г.А. Морарь, Г.М. Савін), наявність тонкого пружного підкріплення (В.І. Александров, С.М. Мхітарян,

Ф.С. Торосян, П.Р. Шевчук). . . ,

Дослідженню напруженого стану в середовищах різної конфігурації, з'єднаних між собою за допомогою натягу, присвячені роботи М.К. Зварича, Т.Л. Мартиновича, В.В. Панасюка, Н.Д. Тарабасо-ва, М.Й. Теплого, B.C. Щукіна та інших.

Проблеми контактної взаємодії плоских областей з некругови-т границями розробляли A.R. Андрейків, Л.Г. Добордагінідзе, ' В.В. Панасюк, В.К. Перехватов, А.П. Смтрнова, А.О. Сяський,

В.’.!. Чернець. Цими авторами отримані розв"язки окремих задач для ізотропних пластин з еліптичними отворами, які'мало відвіз-няються від кругових, і криволінійними отворами в наближеній постановці.

Оскільки в практиці машинобудування широко використовуються деталі, які мають некругові конфігурації, то питанач контактної взаємодії плоских областей з криволінійними границями залишається актуальним. . .

Розв"язуванню поставлених в дисертації задач сприяли.дос-

* 3 окремих розділів дисертації консультаційну допомогу надавав доктор технічних наук А.О. Сяський.

лідження О.С. Космодаміанського, С.Г. Лехніцького, М.Т. ї.Іусхелі-швілт, 1.0. Ніщенка, В.А. Ооадчука, t.A. Прусова, Б.Л. Пелеха,

Н.П. Флейшмана, М.П. Шереметьева та інших.

Метою роботи е постановка задач про контактну взаємодію пластинок з криволінійними отворами і абсолютно жорстких дисків (штампів); побудова систем сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь, які визначають напружений стан в пластинках з підкріпленим криволінійним отвором при посадці в нього з зазором або натягом абсолютно жорсткого диска (штампів); розробка ефективних методів наближеного чисельного розв'язку конкретних контактних задач і їх реалізація на ЕОМ; дослідження впливу на напружений стан пластинки форми отвору, анізотропії матеріалу, виду посадки і жорсткості підкріплення.

Наукова новизна роботи полягає в наступному:

- в межах двовимірної теорії пружності анізотропного тіла отримані інтегральні з ядрами Гільберта співвідношення між деформаціями і напруженнями на контурі еліптичного отвору в нескінченній ортотропній пластинці; ■

- виведена формула кривини,деформованого криволінійного контуру в нескінченній пластинці, на підставі якої ^побудовані системи сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь, що визначають напружений стан в пластищі з підкріпленим отвором при його взаємодії з абсолютно жорстким диском або системою симетричних штампів;

- розроблені ефективні методи наближеного розв'язування задач про контактну взаємодію циліндричних тіл з криволінійними межами при їх посадці з зазором або натягом, якими реалізовано на -ЯМ ряд конкретних технічних задач;

- досліджено вплив на напружений стан пластинки форми отвору, виду посадки, анізотропії матеріалу і навантаження. '

Вірогідність результатів забезпечується коректністю постановки задач, строгістю математичних викладок та використанням обгрунтованих методів розв'язування, узгодженням результатів кількісного аналізу для окремих задач з наведеними в літературі.

Практична цінність роботи. Побудовані в дисертації системи сингулярних інтегро-диїерзнціальних рівнянь для задач про кон-. тактну взаємодію абсолотно лорсткчх дисків (штатів) з приводі-

нійним підкріпленим отвором в нескінченній пластинці дають змогу досліджувати вплив на її напружений стан форми отвору, жорсткості підкріплення, анізотропії матеріалу і виду посадки. Більшість результатів подано у вигляді простих аналітичних виразів, таблиць та графіків, які можуть бути використані в конструкторських бюро машинобудівної галузі при проектуванні неоднорідних композиційних конструктивних елементів,, кривошипних прз-сів, валів, підшипників ковзання з полімерним покриттям, катків з гумовим покриттям та інших.

Дане дослідження проведене у відповідності з програмою наукових досліджень кафедри будівельної механіки університету "Львівська політехніка" по темах : "Математичне моделювання та аналіз спряжених фізико-механічних полів з метою практичного їх застосування при проектуванні неоднорідних композитних конотрук-одвних елементів в задачах сучасної техніки та технології по плану НО України, рішення від 16.04.1992 р., протокол В? 4, реєстраційний номер ДБ/46.СП та "Розробка чисельно-аналітичних методів спряжених фізико-механічних полів в тонкостінних композитних неоднорідних конструкціях при різних формах її окреслення і навантаження", додаток № 2 до Постанови ДКТ України від 24.07.1992 року, № 19, реєстраційний номер ДК.ФР-А.

Апробація роботи. Основні положення дисертації доповідалися * на 13-й конференції молодих йчегаїх Інституту прикладних проблем механіки і математики АН УРСР (Львів, 1989 р.); Всесоюзному науковому семінарі "Актуальні проблеми неоднорідної механіки" (Єреван, 1991 р.); на засіданнях кафедр вищої математики та загаль-нотехнічних дисциплін Рівненського педагогічного інституту (І99І-І994 рр.).

Дисертація й цілому обговорювалася на об"еднаному науковому семінарі при кафедрі будівельної механіки університету "Львівська політехніка" (кер. проф. Т.Л. Мартинович); на семінарі відділу механіки неоднорідних тіл Інстиіуту прикладних проблем механіки і математики (вав. відділом проф. В.А, Осадчук). .

Структура і, об'*ем роботи. Дисертація складааїься із вступу, чотирьох глав,■висновків, списку літератури, що містить' 92 назви, та додатку. Об"єм роботи складає 127 сторінок мааинопионого тексту, в тому числі 46 ілюстрацій і 9 таблиць, '

ЗЇЙСТ РОБОТИ

У вступі подано короткий ргляд та аналіз стану проблеми контактної взаємодії-ізотропних та анізотропних пластинок з абсолют* но жорсткими дисками або штампами. Сформульована мета роботи, Ц актуальність та наукова новизна, вірогідність і практична цінність, коротко викладені основні результати по главах.

Перша глава має допоміжний характер. У ній наведені залежності між компонентами напруженого і деформованого стану на коц-’ турі криволінійного отвору без кутових точок в нескінченній іза?г ропній пластинці. Тз граничних умов першої та другої основних ацт дач анізотропного тіла отримані інтегральні співвідношення між напруженнями і деформаціями на контурі еліптичного отвору в нескінченній ортотропній пластинці ’

2Єх/і <$/= 7р *+ с*у /у/ -

г

- + /?0созу? *

^ . - (І) іЕлАГ= *

/

* 1Г{ґ+ 7р Мс£у ^-гг-Ш + в0со$Я - ІїспА,

де / ■

6Я + іҐ= {6А + сЮй/76/; Тр+і$рл с^/й/'ґбі;

, У - відносне видовження контуру отвору та кут повороту його нормалі внаслідок деформації; Су - ірункції., які залетать від'пружних сталих матеріалу пластинки; Л0 , В0 - величини, залежні від зовнішнього навантаження; /р > ^ол~ контактні зусилля на контурі отвору; ш?/ - функція,.яка відображає контур одиничного кола у в площині = Т Є‘ на контур отвору в пластинці; гк - товарна пластинШ; - модуль Юнга в ■

напрямку ост Ох ; 6 = ЄіА.

Для гладкого криволінійного контуру в пружній пластинці виведена 'формула -

(де & - кут між нормальним перерізом та віссю ОХ .

радіус кривини контуру отвору в пластинці; - елемент дуги

недеформованого контуру),

яка дозволяє за допомогою залежностей (І) виразити кривину деформованого отвору через контактні зусилля.

На підставі співвідношень (І), (2) і рівності кривин з зоні контакту записані граничні умови задачі про гладку взаємодію нескінченної пластинки з підкріпленим криволінійним отвором та абсолютно жорсткого диска при їх посадці з зазором або натягом

(3)

ЛєШ?;:

сі ґЛ.У-/зёл / сіб^+^Ґіїр с/л( сіг+X ' /у

- /3$М с/р А /с/оґ.

+ ** -д^ ар а#- а /а& г. 9£ь

. їа £/я

Т^т- . •

*1-у* /

д/р~ !р “ ІД стрибок нормальних зусиль при лероході через підкріплення; , /р - контактні зусилля між диском та підкріпленням; маємо посадку з на-

тягом, при Д > 0 - посадку з зазором); ^ - образ зони кон-

такту підкріплення та диска при відображенні £іІЇ(р) .

У другій главт розглядаються контактні задачі про напружену посадку абсолютно жорсткого диска в підкріплений криволінійний отвір нескінченної ізотропної пластинки. Підстановкою сптв-•відношень (І) для ізотропної пластинки в граничні умови (3), отримана система трьох сингулярних інтегро-дк|еренціальних рівнянь з ядрами Гільберта для визначення величин Тр* , . Ком-

поненти напруженого стану на контурі отвору при цьому визначаються за (формулами •

(4)

+ *ЕА6Л, . (5)

Де

С2 » У - модуль Юнга та коефіцієнт Пуассона .матеріалу пластинки. .

' Враховуючи неперервність зусиль на ліитї спаїо і в зоні контакту, наближений розв'язок задачі подасться'.у вигляді скінченних тригонометричних рядів з НЗВТД0іиИ(.ІИ коефіцієнтами .

і , . *■

=І-/іпсо5пЛ ; 5р=ПВпзсппЯ ;

Т Д /■ (6)

/ 4 =£_ Сп соьпЛ.

■ ^ л=о

■ Підставляючи співвідношення (6) в умови (3), прирівнюючи при цьому значення лівих та правих частин при Я= Лт кЯтє[о;2Ж'/,лг= і, 2, .... ), отримаємо систему лі-

нійних адгебраїчн;іх рівнянь відносно невідомих 4, ■ 4 ■ 4 • розв"язування якої реалізовано чисельним методом. .

Для ізотропної пластинки з непідкріпленим отвором у вигляді трикутника і квадрата з закруглешоді кутами визначено міні- .

мальний натяг, при якому відбувається розиикання контакту лишз в одній точці. Досліджено вплив форми отвору на напружений стаи пластинки в зоні контакту. Для пластинки з еліптичним отвором встановлені залежності компонент напруженого стану на контурі '

від відносної жорсткості підкріплення (мал. І). Суцільні лінії відповідають — І* штрихові - /7 - 10, штрихпунктирні -

Ц - Ї00.

. Мал. І.

В наведеному прикладі напруження на контурі отвору в пластинці зростають із збільшенням його кривини і зжншукл'ься із зростанням відносної жорсткості підкріплення.

Третя глава присвячена розв’,язувангео контактних задач про вдавлювання з зазором в підкріплений криволінійний оїзіт» нескінченної ізотропної пластинки одного або системи абсол^'лго гопзт-ких симетричних штампів. •

Підстановкою співвідношень (І) в граничні умови (3). задача зведена до системи чотирьох сингулярних інтегро-диферзкціальних рівнянь з ядра™ Гільберта для визначення напружень ка лініям розділу матеріалів пластинки, підкріплення і диска (штампів).

При відсутності підкріплення задача зводиться до системи двох рівнянь. Її наближений розв"язок знайдено методом Мультоп-

■ па-Каландія, на підставі якого шукані функції 7^ >^ал вибираються у вигляді інтерполяційного полінома Лагранжа, побудованого по вузлах Чебишева ' '

А Ь (-/)П^С03М^5спУ^ , у

^ /г77 \&л Ш У - СОЇ Уп ’

(7)

Д9

Я=2агс^а0ш У; а0=Г=т

Для пластинки з еліптичним, трикутним і квадратним отвором запропонованим методом досліджено вплив на розподіл напружень вели- ' чини зони контакту і виду навантаження. На мал. ,2 подано розподіл нормальних 7р і кільцевих 7^ зусиль на контурі трикутного отвору {/У= З, (5 = -0,1), в який вдавлюється силою /£ абсолютно жорсткий диск. Суцільні лінії відповідають куту контакту еСа= 60°, штрихові - с£е — 45°, штрихпунктирні - - 30°.

На мал. З аналогічні результати наведені для пластинки з • квадратним отвором ( А^= 4, $— 0,05), в який вдавлюється чотири симетричних штампи. Суцільні лінії побудовані для е60 — '30°, штрихові -<^=22,5°, итрихпунктирні -«4=15°. Аналізуючи результати розрахунків, встановлено, що контактні напруження зростають із збільшенням кривини отвору і зони контакту. ,

При наявності підкріплення в зоні контакту наближений розв'язок системи сингулярних інтегро-диі|ізренціальних рівнянь, вибирається у вигляді (6), (7). В кінцевому результаті задача зведена до системи лінійних алгебраїчних рівнянь, розв'язування якої здійснено чисельним методом.

Для нескінченної пластинки з круговим отвором досліджено вплив відносної жорсткості підкріпленій на розподіл напружень по лініях розділу матеріалів при її взаємодії з двома симетричними штампа,їй (мал. 4). Суцільні лінії відповідають підкріпленню при /£ = 10, штрихові - /£ = !5, штрихпунктирні - /^ = І.

Наведений приклад показує, що Еибором фізико-геометричних параметрів підкріплення можна суттєво зчзікіити концентрацію напружень на контурі пластинки. -

Мал. 4.

У четвертій главі задачі двох Попередніх глав узагальнюються на випадок ортотропної пластинки з еліптичним отвором. Підстановкою співвідношень,(І) в граничні умови (3) отримана система чотирьох сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь для визначення напружень на контурі отвору, підсиленого тонким пружним підкріпленням.

Структура рівнянь, що входять в дану систему така а, як і у випадку ізотропної пластинки, тому наближені методи розв'язування задач про посадку диска з зазором або натягом переносяться ' без змін'. .

На конкретних прикладах досліджено вплив на напружений стан пластинки форми отвору, відносної жорсткості підкріпленій та анізотропії матеріалу. На мал. 5 наведені результати обчислень контактній напружень для пластинки із матеріалу "епоксид-скло" (4/С=І/3> £= 0,083) при посадці з натягом в її підкріплений отвір абсолютно жорсткого диска. Суцільні лінії відповідають підкріпленню з штрихові - /^=10, штрихпун-

ктирні - /£ = 100. л У ■ '

Розподіл напружень на контурі непідкріплеяого отвору при посадці в нього з зазором абсолютно жорсткого диска в пластинці з матеріалу "епоксид-срло" наведений на мал. б. Суцільні лінії побудовані для 60°, штрихові - - 45°, итрихпунктирні -

*4=30°. ' ’

На мал. 7 наведені результати обчислень напрркень, які виникають при контактній взаємодії, деох абсолютно жорстких симетричних штампів з підкріпленій круговим отвором в нескінченній пластинці із матеріалу "епоксид-скло". Суцільні лінії побудовані для підкріплення з /£, = 10, штрихові - — 5, штрихпунктирні -

#,= І.при р£0 ~ 45° ь £ ,

Аналіз наведених на мал. 5-7 графіків вказус на те, що якісний розподіл контактних напружень на лініях розмежування матеріалів пластинки, підкріплення та диска такий самий, як і у випадку ізотропної пластинки. Анізотропія матеріалу пластинки впливає на характер розподілу контактних напружень. При дії стискуючої сили в напрямку з більшим модулем Юнга концентрація напружень зростає в порівнантгі з ізотропним матеріалом.

У висновках коротко сформульовані одержані результати.

Мал. ?.

■ В додатку доведено існування і единість розв'язку систем сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь, які виникають при розв"язуванні задач посадки з зазором або натягом абсолютно жорсткого диска в криволінійний отвір нескінченної пластинки.

■ ОСНОВНІ.РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА КОРОТКІ ВИСНОВКИ

1. В дисертації запропоновано розв'язок задач про контактну

взаємодію нескінченних ізотропних та ортотропних пластинок з підкріпленими криволінійними отворами без кутових точок та абсолютно жорстких дисків (системи штампів) при їх посадці з зазором або натягом. При цьому: .

а) виведені інтегральні залежності між компонентами напруженого і деформованого станів на контурі еліптичного отвору в нес- ■ кінченній.ортотропній пластинці;

б) отримана формула кривини деформованого криволінійного контуру в нескінченній пластинці, на підставі якої побудовані системи сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь, що 'визначають напружений стан в пластинці з підкріпленим отвором при його взаємодії з абсолютно жорстким диском або системою симетричних штампів;

в) розглянуті конкретні задачі про посадку з зазором або натягом в підкріплений криволінійний отвір нескінченної пластинки абсолютно жорсткого диска (системи штампів). Розроблена методика наближеного розв"язування таких задач. Досліджено вплив форми отвору, величини зони контакту, жорсткості підкріплення, виду посадки та анізотропії матеріалу пцастйнки на її напружений.стан.

2. Встановлено, що:

а) криволінійність отвору суттєво впливає на розподіл контактних напружень в пластинці. Із збільшенням дивини зростають . контактні і кільцеві напруження^ Найбільш..оптимальним е. контур з найменшою кривиною в області ДІЇ максимальних контактних зусиль;

б) підкріплення контуру отвору в пластинці значно змінює розподіл нормальних та дотичних напружень. Збільшення відносної ’ жорсткості підкріплення приводить до зменшення контактних і кільцевих напружень на контурі отвору, тобто до зміцнення системи пластинка-підкріплення-диск;

в) ортотропія матеріалу пластинки суттєво впливає на характер розподілу контактних напружень та їх величину на контурі от-

вору. При дії стискуючої сили в напрямку більшої жорсткості матеріалу контактні напруження зростають в порівнянні з ізотропним матеріалом. В напрямку меншої жорсткості матеріалу контактні на-пружання зменшуються. Для матеріалу "епоксид-графіт"

= 0,04) макси: ' ювідних напружень

ДЛЯ ВСІХ ВИДІВ

г) у випадку посадки з натягом жорсткого диска в підкріплений криволінійний отвір"нескінченної пластинки із збільшенням жорсткості підкріплення зменшується мінімальний натяг, при якому відбувається розмикання контакту лише в одній точці.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ВИКЛАДЕНО В РОБОТАХ:

1, Демчик С.П. Контактная задача для цилиндрических тел с криволинейными границами, - Материалы 13 конференции молодых ученых Института прикладных проблем механики и математики АН УССР. Львов, 1989. - С, 42-46. - Деп. в ВШИТИ 06.12.89,'

№ 7242 - В 69'.

2,-Демчик С.П., Мартынович Т.Л., Сяський А.А. Контактное взаимодействие неоднородных анизотропных сред с эллиптическими границами. В кн.: Актуальные проблемы неоднородной механики.. Материалы Всесоюзного научного семинара. (Ереван 23-26 июня 1991 г.) Ереван, 1991. - С. ІІ6-І2І.

3, Мартынович Т.Л., Сясышй А,А,, Демчик С.П. Контактные задачи для анизотропных сред с эллиптическими границами. - Ровно, 1989. - 16 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 13.03.90, 11? 463 г Ук 90.

4, Мартынович Т.Л., Сяський А.А.,'Демчик С.П. Контактные задачи . для областей с криволинейными границами, усиленными тонкими

покрытиями, - Ровно, 1990, - 17 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 29.11. 90, № 1914 - Ук 90.

5, Сяський А,А,, Демчик С.П, Напряженная посадка ортотропиой

пластинки и изотропного диска с тонким покрытием. - Ровно, 1988. - 13 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 12.01.89, № 286 - Ур 89.

6, Сяський А.А., Демчик С.П. О контакте жесткого диска и плас-

тинки с. подкрепленным криволинейным отверстием. - Ровно, .

' 1989, - II с. - Деп, в УкрНИИНТИ 13.06.89, Р 1651 - Ук 89. (

7, Сяський А.А., Демчик С.П, Расчет напряженных посадок, уси-

■ ‘ ’ ленных'тонкими покрытиями, - Ред. ж. Проблемы прочности, Ки-

для матеріалу

майже у три рази

ев: 1989. - 14 а. - Деп. в ВИНИТИ 10.03.89, № 1580 - В 89,

8. Сяський А.А., Демчик С.П. 0 контакте цилиндрических тел с криволинейными границами. - Ровно, 1989. - 9 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 20.09.89, Г?- 2057 - Ук 89. '

Заи.ЗОЗ-ЮОприы.Розиножено ВОП Рівненського облуправління статистики. І5.03.І99^р.