Конвекция в системах с деформируемыми поверхностями раздела сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

на правах рукописи

Паршакова Янина Николаевна

КОНВЕКЦИЯ В СИСТЕМАХ С ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ РАЗДЕЛА СРЕД

Специальность 01.02.05 - "Механика жидкостей, газа и плазмы"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ии3456176

Пермь - 2008

003456176

Диссертация выполнена в Лаборатории вычислительной гидродинамики Института механики сплошных сред УрО РАН.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Т.П. Любимова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е.Л. Тарунин

кандидат физико-математических наук,

А.В. Перминов

Ведущая организация

Пермский государственный педагогический университет

Защита состоится " 18 " декабря 2008 г. в 10-00 на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН (614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1; тел: (342) 2378461; факс: (342) 2378487); сайт: www.icmm.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан " 18 " ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук

И.К. Березин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию конвекции в двухслойных системах с деформируемыми поверхностями раздела сред. В первой главе диссертации с учетом деформаций поверхности раздела исследуется возникновение конвекции в двухслойной системе несмешиваю-щихся жидкостей с близкими плотностями. Актуальность изучения конвекции в двухслойных системах связана с многочисленными техническими приложениями этих исследований. Конвективные процессы оказывают существенное влияние на тепловые режимы хранения нефтепродуктов в емкостях, процессы химической технологии и др. Условиям возникновения конвекции в двухслойных системах посвящено большое число работ, однако, большинство из них проведено в предположении о недеформируемости поверхности раздела. В то же время в случае систем жидкостей с близкими плотностями учет деформируемости поверхности раздела принципиально необходим.

Во второй главе диссертации рассматривается влияние высокочастотных вращательных вибраций малой амплитуды на течения и тепломассоперенос при направленной кристаллизации бинарных сплавов. С развитием современных технологий значительно возросла необходимость в создании полупроводниковых кристаллических подложек высокого качества. При кристаллизации неизбежно возникают течения, которые могут привести к неоднородностям распределения примеси в выращиваемом кристалле. В этой связи важной и актуальной задачей является поиск способов управления качеством получаемых кристаллов путем воздействия на течения в расплаве. Одним из самых низкоэнергетических способов воздействия являются вибрации.

Целью работы является исследование условий возникновения неустойчивости в системах с деформируемыми поверхностями раздела (конвективной неустойчивости механического равновесия двухслойной системы несмешивающих-ся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и морфологической неустойчивости поверхности раздела расплав-кристалл в процессе направленной кристаллизации бинарного сплава) и определение оптимальных параметров вибрационного воздействия для управления устойчивостью.

Научная новизна работы. В рамках выполнения диссертационной работы,

получены следующие новые результаты:

• при исследовании линейной устойчивости механического равновесия двухслойной системы горизонтальных несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и фиксированным тепловым потоком на внешних границах обнаружена длинноволновая колебательная мода неустойчивости, отсутствующая в случае идеально теплопроводных границ;

• в результате изучения влияния термокапиллярного эффекта на устойчивость равновесия двухслойной системы с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах, установлено, что термокапиллярный эффект приводит к дестабилизации равновесия как при подогреве снизу, так и при нагреве сверху;

• при исследовании влияния высокочастотных вертикальных вибраций малой амплитуды на устойчивость равновесия двухслойной системы найдено, что вибрации высокой интенсивности оказывают стабилизирующее действие в широкой области параметров;

• разработан новый эффективный алгоритм численного исследования течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов;

• при изучении влияния высокочастотных вращательных вибраций на течения, тепломассоперенос и морфологическую неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарных систем с низкой температурой кристаллизации обнаружено, что вибрации могут приводить к значительному повышению порога морфологической неустойчивости и уменьшению сегрегации примеси на фронте;

• при исследовании влияния высокочастотных вращательных вибраций на течения и тепломассоперенос при выращивании полупроводниковых кристаллов вертикальным методом Бриджмена обнаружено, что вращательные вибрации приводят к исчезновению области неоднозначности режимов.

Автор защищает:

• результаты исследования линейной устойчивости двухслойной системы жидкостей с деформируемой-поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах;

• вывод амплитудного уравнения, описывающего крупномасштабные конвективные течения в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах;

• результаты исследования влияния термокапиллярного эффекта на порог возникновения конвекции в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах;

• результаты исследования влияния вертикальных высокочастотных вибраций на устойчивость двухслойной системы жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах;

• результаты численного исследования влияния высокочастотных вращательных вибраций малой амплитуды на морфологическую неустойчивость и сегрегацию примеси при направленной кристаллизации бинарных сплавов;

• результаты численного моделирования нестационарных процессов кристаллизации бинарных расплавов вертикальным методом Бриджмена;

• результаты численного исследования влияния вращательных вибраций конечной амплитуды и частоты на течения и тепломассоперенос в процессе направленной кристаллизации в рамках нестационарного подхода.

Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; соответствием с известными решениями в предельных случаях; совпадением данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов.

Практическая значимость работы: данные об устойчивости двухслойных систем могут быть использованы при оптимизации процессов химической технологии. Полученные в работе численные данные о влиянии вибраций на течения и тепломассообмен при кристаллизации бинарных сплавов могут быть использованы при разработке технологий управления течениями и тепломассообменом при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена с помощью вибраций. Разработанный в ходе выполнения диссертации новый алгоритм численного моделирования течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов может быть использован при исследовании течений и тепломассообмена в других процессах роста кристаллов.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, 2003; Конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь (2003, 2004, 2005, 2006); Областная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов "Молодежная наука Прикамья - 2004", Пермь, 2004; Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая), Пермь, 2005; Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения», Бийск, 2005; 36th COSPAR Scientific Assembly, Beijing, China, 2006; Российский симпозиум «Космическое материаловедение - 2007», Калуга, 2007; Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2007; «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», Москва, 2008; XXXVI Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics", Saint-Petersburg (Repino), 2008; Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, Пермь, ПГУ, 2008.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в работах [119].

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы и общую характеристику работы, двух глав, заключения, списка литературы (151 наименование). Работа содержит 71 рисунок и 5 таблиц. Общий объем диссертации - 170 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение состоит из обзора литературы и общей характеристики работы. В первой части обзора литературы анализируются работы по устойчивости равновесия неоднородно-нагретых слоев жидкостей с разными тепловыми условиями на внешних границах, с учетом и без учета деформаций поверхности раздела. Во второй части рассматриваются работы по исследованию конвек-

тивных процессов при кристаллизации вертикальным методом Бриджмена и обсуждаются способы улучшения качества получаемых кристаллов.

Первая глава работы посвящена исследованию устойчивости механического равновесия двухслойной системы несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах. Рассматриваются случаи нагрева сверху и снизу. Задача решается в рамках сформулированного Д.В.Любимовым обобщенного приближения Буссинеска, корректно учитывающего деформации поверхности раздела. Глава состоит из введения, четырех разделов и заключения.

Во введении к главе приводится обоснование актуальности исследования проблемы и анализируются результаты, полученные в предшествующих работах, посвященных исследованию устойчивости равновесия двухслойной системы с деформируемой границей раздела в случае идеально теплопроводных внешних границ (Н.И.Лобов, Д.В.Любимов, Т.П.Любимова. Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 2. С.32-39) и анализу устойчивости равновесия двухслойной системы с заданным тепловым потоком на внешних границах в пренебрежении деформациями границы раздела (Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №2. С.22-28.). Исследование возникновения конвекции в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела в условиях заданного теплового потока на внешних границах представляет интерес с точки зрения изучения новых механизмов неустойчивости.

В первом разделе главы изучена линейная устойчивость механического равновесия системы двух горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с близкими плотностями. Аналитически, с помощью разложений по малому параметру (волновому числу возмущений), исследована устойчивость равновесия по отношению к длинноволновым возмущениям. Обнаружено, что при подогреве снизу, наряду с длинноволновой монотонной неустойчивостью, существует длинноволновая колебательная неустойчивость, отсутствующая в случае идеально теплопроводных границ. Задача содержит большое число параметров, поэтому анализировались два частных случая: муравьиная кислота - трансформаторное масло и ацетонитрил - н-гексан.

Ра

' 1 мода

монотонной неустойчивости/^

2 моды монотонной . • , неустойчивости . \ Ч \ \ \ \ \

область устойчивост

-100

1 мода монотонной неустойчивости

-300

область существования колебательных возмущений

ва

область колебательной неустойчивости

На рисунке 1 представлена карта устойчивости равновесия по отношению к монотонным и колебательным длинноволновым возмущениям для системы муравьиная кислота - трансформаторное масло, на плоскости параметров число Релея (11а) - число Галилея (ва). Штриховой линией обозначена граница колебательной длинноволновой неустойчивости, сплошными - монотонной длинноволновой неустойчивости. Численно методом дифференциальной прогонки и методом стрельбы исследована устойчивость равновесия по отношению к возмущениям с конечной длиной волны. Построены нейтральные кривые монотонной и колебательной ячеистой неустойчивости (зависимость числа Галилея от волнового числа). Найдены границы ячеистой неустойчивости на плоскости параметров число Релея - число Галилея. Построена полная карта устойчивости; определен тип неустойчивости в разных областях пространства параметров. Рассмотрено влияние поверхностного натяжения на устойчивость механического равновесия системы. Изучена зависимость порога устойчивости от отношения толщин слоев системы.

Второй раздел главы посвящен изучению крупномасштабных конвективных движений в двухслойной системе при небольших надкритичностях. Для изучения процессов, имеющих различный временной масштаб, применен метод многих масштабов. Рассмотрены монотонные длинноволновые возмущения. Решения строились в виде рядов по малому параметру - волновому числу. Получено

Рисунок 1. Границы устойчивости равновесия относительно длинноволновых возмущений для двухслойной системы муравьиная кислота - трансформаторное масло в случае одинаковых толщин слоев жидкостей Сплошные линии - границы монотонной неустойчивости, штриховая линия - граница колебательной неустойчивости, штрихпунктирной линией обозначена область существования колебательных возмущений

амплитудное уравнение для возмущений температуры второго порядка, которое совпало по структуре с уравнением, полученным и исследованным ранее (D.V. Lyubimov, Т.P. Lyubimova, J.I.D. Alexander, S.V. Shklyaev. 3rd Intern. Conf. on Multiphase Flows (ICMF-98). Proc. CD. 1998, Lyon, France. PDF/PDF600/PDF675) для задачи о слабо-нелинейных режимах конвекции в двухслойной системе с идеально-теплопроводными границами. Анализ коэффициентов полученного уравнения для случая системы муравьиная кислота-трансформаторное масло показал, что конвекция возбуждается жестким образом. Стационарные подкритические решения являются неустойчивыми, а само уравнение не дает информации о режимах конвекции вблизи порога. Ниже критического числа Рэлея малые возмущения затухают, а возмущения с амплитудой, большей некоторого порогового значения, неограниченно нарастают, что приводит к выходу за пределы применимости уравнения.

В третьем разделе исследовано взаимодействие двух механизмов возбуждения конвекции: за счет изменения плотности с температурой (конвекция Релея-Бенара) и поверхностного натяжения с температурой (конвекция Марангони). Аналитически, с помощью разложений в ряд по волновому числу возмущений, исследована устойчивость механического равновесия по отношению к длинноволновым возмущениям. Численно, с использованием метода дифференциальной прогонки и метода стрельбы исследована устойчивость равновесия по отношению к возмущениям с конечной длиной волны. Построены карты устойчивости на плоскости параметров число Релея - число Галилея для различных значений числа Марангони. Рассмотрены случаи нагрева снизу и сверху. Найдено, что по мере усиления термокапипярного эффекта область неустойчивости по отношению к ячеистым возмущениям расширяется. Длинноволновые возмущения с ростом абсолютного значения числа Марангони становятся менее опасными, чем ячеистые возмущения.

В четвертом разделе главы проведено исследование влияния вертикальных вибраций на устойчивость равновесия. Рассмотрены вибрации высокой частоты и малой амплитуды, применен осредненный подход, при котором все поля разбиваются на быстро осциллирующие, пульсационные, и медленно меняющиеся, осредненные, составляющие. Показано, что вибрации умеренной интенсивности не оказывают влияния на возникновение длинноволновой неустойчивости.

Высокоинтенсивные вибрации приводят к появлению новой ячеистой моды неустойчивости, характеризующейся малым волновым числом. Однако, эта мода, как показывает численный анализ, ни при каких значениях параметров не является наиболее опасной. На возмущения с конечной длиной волны вибрации могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее действие.

Вторая глава диссертации посвящена численному моделированию влияния высокочастотных вращательных вибраций на течения и тепломассоперенос при выращивании кристаллов из расплавов вертикальным методом Бриджмена. Глава состоит из введения, четырех разделов и заключения.

Во введении к главе дается общая характеристика проблемы и анализируются результаты предшествующих исследований по влиянию вибраций на течения и тепломассоперенос в процессах кристаллизации.

В первом разделе главы обсуждаются постановка задачи, определяющие уравнения и граничные условия, метод решения. Термоконцентрационная конвекция при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена исследовалась на основе уравнений конвекции в приближении Буссинеска. Расчеты, результаты которых представлены в первых трех разделах второй главы, выполнялись в рамках квазистатического, осесимметричного подхода. Уравнения и граничные условия записывались в терминах функции тока и завихренности. Для преобразования физической области с искривленным фронтом кристаллизации в расчетную прямоугольную область с плоской границей раздела использовались обобщенные криволинейные координаты. Численное решение получающейся задачи осуществлялось методом конечных объемов. В качестве критерия морфологической неустойчивости использовалось условие, предложенное Мулином и Секеркой (W.W. Mullin, R.F. Sekerka. J. Appl. Phys. 1964. V. 35. N2. P.444-451). Тестирование разработанной программы осуществлялось путем сопоставления результатов с данными работы (C.W. Lan, С. Y. Tu. J. Cryst. Growth. 2000. V. 220. P.619-630) по формированию на фронте кристаллизации приосевой впадины и условиям возникновения морфологической неустойчивости в системе сукциононитрил с примесью этанола в отсутствие вибраций.

Второй раздел посвящен численному исследованию морфологической неустойчивости фронта при направленной кристаллизации бинарных систем с низкой темпера1урой фазового перехода (сукцинонитрил с примесью ацетона и примесью салола (легкие примеси) и сукцинонитрил с примесью салола (тяжелая примесь)) под действием высокочастотных вращательных вибраций. Численное моделирование течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов методом Бриджмена в присутствии высокочастотных вращательных вибраций вокруг оси ампулы (T.Lyubimova, D.Lyubimov, В.Roux. Final report on ESA-ESTEC Contract 15637/OI/NL/SH. L3M - 1MT la Jetee Marseille, France, February 2004), показало, что вибрации приводят к генерации среднего течения, локализованного вблизи фронта кристаллизации, причем направление течения, индуцированного вибрациями, противоположно гравитационно-конвективному течению. Взаимодействие этого течения с гравитационной конвекцией в земных условиях приводит к оттеснению гравитационного вихря вибрационным от

фронта кристаллизации.

В настоящем разделе проведено численное исследование влияния высокочастотных вращательных вибраций на порог возникновения морфологической устойчивости и радиальную сегрегацию примеси на фронте кристаллизации. На Рисунке 2 приведена диаграмма устойчивости на плоскости критическая скорость протяжки - вибрационный параметр рг =а2С1 (а - угловая амплитуда, О - угловая частота вибраций). Как видно, вращательные вибрации значительно повышают пороговую скорость, при которой наступает морфологическая неустойчивость. В отсутствие вибраций при увеличении начальной концентрации, как в случае легкой, так и в случае тяжелой

Рисунок 2. Зависимость пороговой скорости движения нагревателя Уа от вибрационного параметра р, для системы сукцинонитрил - этанол в земных условиях

На фрагментах изображены изолинии функции тока (слева) и концентрации (справа) для двух значений вибрационного параметра ру =0 с'1 и ру = 0.15с~'

примеси, на оси симметрии возникает впадина, которая ускоряет развитие морфологической неустойчивости. Расчеты показали, что вращательные вибрации предотвращают формирование приосевой впадины. Радиальная сегрегация примеси на фронте кристаллизации с ростом интенсивности вибраций уменьшается. Наибольший эффект вибраций наблюдается в случае системы с тяжелой примесью.

В третьем разделе приведены результаты численного исследования течений и тепломассопереноса при направленной кристаллизации высокотемпературных сплавов (GeGa и GeSi) под действием вращательных вибраций. Для системы германий - галлий рассмотрен случай, когда концентрационная конвекция отсутствует, расчеты показали, что в этом случае для достижения существенного улучшения однородности распределения примеси на фронте кристаллизации нужны вибрации высокой интенсивности. Известно, что для системы германий - кремний (C.W. Lan, F.C.Chen. Comput. Methods Appt. Mech. Energ. 1996. V.131. P.191-207) при изменении уровня гравитации наблюдается перестройка режимов течения и тепло- массопереноса, сопровождающаяся гистерезисом. Выполненные в рамках диссертационной работы численные расчеты показывали, что вращательные вибрации приводят к исчезновению области неоднозначности.

В четвертом разделе приведены результаты численного моделирования течений и тепломассообмена при направленной кристаллизации в присутствии вращательных вибраций конечной амплитуды и частоты, на основе полных нестационарных неосредненных уравнений и граничных условий. Исследование проводилось с учетом процессов неоднородного теплообмена на боковой стенке, искривления фронта кристаллизации, наличия двухфазной зоны между расплавом и кристаллом, а также зависимости температур солидуса и ликвидуса от концентрации примеси. Для проведения вычислений использовался пакет прикладных программ Fluent 6.3.26. Получены данные о временной эволюции полей скорости, температуры и концентрации примеси в расплаве в процессе кристаллизации, а также данные о распределении примеси в выращенном кристалле в отсутствие и при наличии вибраций. Показано, что при действии вибраций происходит значительное уменьшение радиальной сегрегации примеси и по-

вышение однородности распределения примеси в выращенном кристалле, формирование приосевой впадины не наблюдается.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

1. Исследована линейная устойчивость механического равновесия двухслойной системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела и фиксированным тепловым потоком на внешних границах. Обнаружена длинноволновая колебательная мода неустойчивости. Построены карты устойчивости на плоскости параметров число Релея - число Галилея.

2. Изучено влияние термокапиллярного эффекта на устойчивость равновесия двухслойной системы с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах. Построены карты устойчивости на плоскости параметров число Релея - число Галилея для разных значений числа Марангони. Установлено, что термокапиллярный эффект приводит к дестабилизации равновесия как при подогреве снизу, так и при нагреве сверху.

3. Исследовано влияние на устойчивость равновесия двухслойной системы высокочастотных вертикальных вибраций малой амплитуды. Построены карты устойчивости на плоскости параметров число Релея - число Галилея для разных значений вибрационного параметра. Найдено, что в широкой области параметров вибрации оказывают стабилизирующее действие на возмущения с конечной длиной волны.

4. Исследовано влияние высокочастотных вращательных вибраций на морфологическую неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарных сплавов. Показано, что при действии вибраций порог морфологической неустойчивости значительно повышается.

5. В рамках нестационарного подхода с учетом двухфазной зоны между расплавом и кристаллом изучено влияние высокочастотных вращательных вибраций на течения и тепломассоперенос при выращивании кристаллов вертикальным методом Брнджмена. Показано, что вибрации приводят к значительному уменьшению сегрегации примеси на фронте кристаллиза-

ции и повышению однородности распределения примеси в выращенном кристалле.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Я.Н. Гадиятова, Т.П. Любимова. Исследование длинноволновой неустойчивости двухслойной системы несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела. XI Всерос. конф. молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". Тез. докл. ПГТУ. Пермь. 2002. С.7.

2. Я.Н. Гадиятова, Т.П. Любимова. Исследование длинноволновой неустойчивости двухслойной системы несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» Тез. докладов. Пермь. 2002. С.24-25.

3. Я.Н. Гадиятова. Слабо-нелинейный анализ монотонной длинноволновой неустойчивости равновесия системы двух несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» Тез. докладов. Пермь. 2003. С.17-18.

4. Y.N. Gadiyatova, Т.Р. Lyubimova. The stability of conductive state of the two-layer system with a deformable interface in the layer with heat-insulated boundaries. Proc. of Int. Conference "Advanced Problems in Thermal Convection". Perm. PSU. 2004. P.l01-104.

5. Y.N. Gadiyatova, T.P. Lyubimova The stability of conductive state of the two layer system with a deformable interface in the layer with heat-insulated boundaries. International Conference "Advanced Problems in Theimal Convection". Abstracts. Perm. 2004. P.92-93.

6. Я.Н. Гадиятова. Неустойчивость Бенара-Марангони в двухслойной системе с деформируемой границей раздела. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» Тез. докладов. Пермь. 2004. С.22-23.

7. Я.H. Гадиятова, Т.П.Любимова. Возникновение конвекции в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела. Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» Тез. докладов. Новосибирск. 2005. С.30.

8. Я.Н. Гадиятова, Т.П. Любимова. Влияние термокапиллярного эффекта на устойчивость механического равновесия двухслойной системы. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» Тез. докладов. Пермь. 2005. С.18-19.

9. Я.Н. Гадиятова. Неустойчивость Релея-Бенара-Марангони в двухслойной системе с деформируемой границей раздела. Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тез. докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С. 73.

10.Ya.N. Gadiyatova, D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova. Onset of convection in a two-layer system with deformable interface in low gravity conditions. 36th COSPAR Scientific Assembly. Beijing. China. 2006. G0.1-0037-06.

11.Т.П. Любимова, Я.Н. Паршакова. Исследование морфологической неустойчивости границы раздела расплав - кристалл, при направленной кристаллизации бинарных сплавов. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» Тез. докладов. Пермь. 2006. С.56.

12.Т. П. Любимова, Я.Н. Паршакова. Устойчивость равновесия двухслойной системы с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2007. №5. С. 19-29.

13.Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Н.А. Оспенников, Я.Н. Паршакова, Б. Ру, Ч.В. Лан, В.Ч. Ю. Влияние высокочастотных вибраций на морфологическую неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарных сплавов. Российский симпозиум «Космическое материаловедение -2007». Программа и тезисы докладов. Калуга. 2007. С.28.

14.Т.П. Любимова, Я.Н. Паршакова. Влияние вращательных вибраций на течения и тепломассообмен при выращивании кристаллов германия вертикальным методом Бриджмена. Всероссийская конференция молодых уче-

ных (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь 2007. С.294-297.

15.Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Я.Н. Паршакова. Влияние высокочастотных вибраций на длинноволновую неустойчивость равновесия двухслойной системы с деформируемой границей раздела. Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь 2007. С.282-285.

16.Ч.В. Лан, Д.В.Любимов, Т.П.Любимова, Н.А. Оспенников, Я.Н. Паршакова, В.Ч. Ю. Влияние высокочастотных вибраций на морфологическую неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарных сплавов. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2008. № 4. С. 1627.

17.Т.П. Любимова, Я.Н. Паршакова. Влияние вращательных вибраций на течения и тепломассообмен при выращивании кристаллов германия вертикальным методом Бриджмена. Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, № 1. С.57-67.

18.Т.Р. Lyubimova, Ya.N. Parshakova. Vibration effect on morphological instability of crystal/melt interface in the directional solidification of binary alloys. АРМ 2008. XXXVI АРМ. Book of Abstracts. Saint-Petersburg. 2008. P.49.

19. Ya.N. Parshakova, T.P. Lyubimova, D.V. Lyubimov. Vibration effect on the onset of convection in a two-layer system with a deformable interface. АРМ 2008. XXXVI АРМ. Book of Abstracts. Saint-Petersburg. 2008. P.58.

Подписано в печать 16.11.2008 г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 52.0.

Типография Пермского государственного университета '

614990. г. Пермь, ул. Букирева, 15

ВВЕДЕНИЕ.

ОБЗОР К ГЛАВЕ 1.

ОБЗОР К ГЛАВЕ 2.

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЫ ЖИДКОСТЕЙ С ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ РАЗДЕЛА И ЗАДАННЫМ

ТЕПЛОВЫМ ПОТОКОМ НА ВНЕШНИХ ГРАНИЦАХ.

Введение.

1.1 Линейная устойчивость механического равновесия.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2. Длинноволновая неустойчивость равновесия.

1.1.3 Неустойчивость относительно ячеистых возмущений.

1.1.4 Случай слоев разной толщины.

1.2 Слабо-нелинейный анализ режимов неустойчивости.

1.3 Влияние термокапиллярного эффекта на устойчивость механического равновесия двухслойной системы.

1.3.1 Длинноволновая неустойчивость равновесия.

1.3.2. Неустойчивость относительно ячеистых возмущений.

1.4 Влияние вертикальных вибраций на устойчивость.

2.1 Численное исследование морфологической неустойчивости фронта при направленной кристаллизации модельных бинарных систем с низкой температурой кристаллизации.94

2.1.1 Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия.94

2.1.2 Метод решения.99

2.2 Влияние высокочастотных вращательных вибраций на морфологическую неустойчивость при направленной кристаллизации бинарных сплавов.109

2.2.1. Учет действия высокочастотных вращательных вибраций.109

2.2.2 Морфологическая неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарного сплава сукцинонитрил с примесью этанола под действием вращательных вибраций.110

2.2.3 Влияние вращательных вибраций на морфологическую неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарных систем сукцинонитрил с примесью салола и сукцинонитрил с примесью ацетона.114

2.3 Течения и тепломассоперенос при направленной кристаллизации высокотемпературных сплавов под действием вращательных вибраций. 126

2.3.1 Результаты расчетов по влиянию вращательных вибраций на течения и тепломассообмен при выращивании кристаллов GeGa.128

2.3.3 Влияние вращательных вибраций на течения и тепломассообмен при выращивании кристаллов GeSi.133

2.4 Численное моделирование нестационарного процесса направленной кристаллизации бинарного сплава в присутствии вращательных вибраций конечной амплитуды и частоты.139

2.4.1 Постановка задачи. Определяющие уравнения и граничные условия. Модель.140

2.4.2 Результаты численного моделирования нестационарного процесса направленной кристаллизации в отсутствие вибраций.145

2.4.1 Результаты численное моделирование нестационарного процесса направленной кристаллизации в присутствии вращательных вибраций 149

Заключение.153

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.154

Литература.156

ВВЕДЕНИЕ

ОБЗОР К ГЛАВЕ 1

Интерес к теории конвективной устойчивости обусловлен ее многочисленными техническими приложениями. Исследование условий возникновения конвекции важно для оптимизации тепловых режимов хранения нефтепродуктов в емкостях, процессов химической технологии и др.

1. Устойчивость неоднородно-нагретых жидкостей и двухслойных систем песмешивающихся жидкостей с недеформируемыми границами раздела

Неоднородно-нагретая жидкость может находиться в равновесном состоянии, в котором скорость жидкости равна нулю (состояние механического равновесия); условием механического равновесия является постоянство и вертикальность градиента температуры [1]. При определенных условиях состояние механического равновесия может стать неустойчивым и в жидкости возникает конвективное движение.

Условиям возникновения конвекции в неоднородно-нагретых жидкостях посвящено большое число работ. Устойчивость механического равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости с двумя свободными идеально теплопроводными границами впервые исследовалась теоретически Релеем [2]. Было установлено, что переход от чисто теплопроводного режима к режиму конвекции при подогреве снизу происходит при некотором критическом значении безразмерного комплекса, названного впоследствии числом Релея. Это число определяет отношение подъемно-опускных сил к силам вязкого трения. Теория Релея объясняет возникновение конвективного движения влиянием архимедовых подъемных сил. В работе [3] численно исследовано возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости с одной твердой и одной свободной границами. Найдено критическое значение числа Релея для монотонной моды неустойчивости. Обнаружено, что при нагреве сверху в спектре возмущений имеются колебательные возмущения, которые являются затухающими. Одно из первых экспериментальных исследований устойчивости равновесия горизонтального слоя жидкости со свободной поверхностью при подогреве снизу проведено в [4]. Общие свойства спектра возмущений равновесия неоднородно-нагретой жидкости исследованы в работе [5]. Показано, что при нагреве сверху механическое равновесие устойчиво, а при подогреве снизу все возмущения являются монотонными. При исследовании горизонтального слоя с внешними границами, на которых задан постоянный тепловой поток в [6] обнаружено, что наиболее опасными являются длинноволновые возмущения. Критическое число Релея для данной задачи, определенное по толщине слоя и полному перепаду температур, равно 720 (при использовании полутолщины слоя и полуразности температур оно равно 45). Обзор результатов исследований устойчивости равновесия неоднородно-нагретых жидкостей приведен в монографии [1].

Исследованию возникновения конвекции в двухслойных системах не-смешивающихся жидкостей также посвящено достаточно большое число работ, однако, большинство из них выполнены в предположении недеформи-руемой поверхности раздела. В работе [7] рассмотрена устойчивость равновесия двухслойной системы неограниченных в продольном направлении горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с идеально теплопроводными внешними границами. Обнаружена неустойчивость по отношению к монотонным возмущениям с конечной длиной волны при подогреве снизу. В работах [8-10] найдены специфические особенности поведения двухслойных систем, отличающие их от одиночных слоев жидкостей. Показано, что двухслойная система горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей при определенных условиях становится конвективно неустойчивой при нагреве сверху, а также обнаруживает колебательную моду неустойчивости при подогреве снизу. Механизм неустойчивости и область параметров, в которой возможна конвекция при нагреве сверху, проанализированы в [8]. Показано, что неустойчивость развивается из-за разности коэффициентов теплопроводности, либо коэффициентов объемного расширения. Устойчивость механического равновесия двухслойной системы при подогреве снизу рассмотрена в [9]. Показано, что гидродинамическое и тепловое взаимодействие на границе раздела приводят к появлению осциллирующих мод в спектре возмущений при подогреве снизу. Представлены некоторые результаты расчетов для системы муравьиная кислота (нижний слой) — трансформаторное масло (верхний слой). Полное исследование устойчивости равновесия данной пары жидкостей для случая теплопроводных внешних границ проведено в [10], в предположении, что слои имеют разную толщину. Результаты двух последних работ хорошо согласуются с экспериментальными данными [11], полученными ранее для той же пары жидкостей.

2. Устойчивость равновесия двухслойных систем с деформируемыми поверхностями раздела

В упомянутых выше работах исследования проводились в предположении о недеформируемости границы раздела в рамках приближения Буссине-ска. При построении приближения Буссинеска [1] предполагается, что плотность слабо меняется при отклонении температуры Т от температуры начала отсчета Г0: р = р0{\-рв).

Здесь в = Т-Т0, ро=р{то), /3 р)др/дТ - коэффициент объемного расширения. Как и любое другое приближение, приближение Буссинеска является асимптотическим, для его получения необходимо совершить двойной предельный переход: рв —> 0, Ga —>оо, где f36 - параметр Буссинеска; Ga = gh2/v2 — число Галилея, v - коэффициент кинематической вязкости, g — ускорение свободного падения, h — характерный размер системы. Число Грасгофа Gr = f36Ga остается при этом конечной величиной. Как показано в [12] для малых неоднородностей плотности, вызванных неизотермичностыо, отклонение формы поверхности раздела от плоской пропорционально параметру Буссинеска /?0~1/Ga. Поэтому в рамках приближения Буссинеска деформациями поверхности раздела обычно пренебрегается. В [13] показано, что учет деформаций поверхности раздела в рамках обычного приближения Буссинеска может приводить к физически неверным результатам.

В случае двухслойной системы несмешивающихся жидкостей в указанном выше пределе получаются граничные условия на поверхности раздела, соответствующие непроницаемой недеформируемой границе, поэтому в рамках приближения Буссинеска свободная конвекция должна изучаться для заданной формы поверхности раздела, определяемой неконвективными факторами [14]. Однако, для некоторых ситуаций приближение недеформируемой поверхности раздела недостаточно. Например, если относительная разность плотностей того же порядка величины, что и неоднородности плотности, вызванные неизотермичностью, то при конечных числах Релея сила тяжести неспособна сохранить поверхность раздела плоской. В этом случае деформации поверхности раздела могут быть немалыми и должны быть корректно учтены. Корректное обобщенное приближение Буссинеска для случая, когда и неоднородности плотности, и параметр Буссинеска малы, сформулировано в [14,15].

В работе [15] на основе обобщенного приближения Буссинеска исследована устойчивость механического равновесия двухслойной системы несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и идеально теплопроводными внешними границами в случае жидкостей с близкими плотностями. Считалось, что толщины слоев и все параметры жидкостей, за исключением плотностей, одинаковы. Найдены монотонная и колебательная моды неустойчивости с конечной длиной волны. Позднее та же задача решена в [14] для жидкостей с разными свойствами. Обнаружена монотонная длинноволновая мода неустойчивости, связанная с деформируемостью поверхности раздела (в частном случае, рассмотренном в [15], эта мода отсутствует). Показано, что в широком диапазоне параметров длинноволновые возмущения являются наиболее опасными.

В случае одиночного горизонтального слоя жидкости с заданным тепловым потоком на внешних границах неустойчивость равновесия при подогреве снизу возникает в результате развития монотонных длинноволновых возмущений. В работе [16] исследована устойчивость механического равновесия двухслойной системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с заданным тепловым потоком на внешних границах и недеформируемой границей раздела. Показано, что, если отношение толщин слоев жидкостей близко к нулю или единице, т.е. система близка к одиночному слою с заданным тепловым потоком на внешних границах, то реализуется длинноволновая монотонная неустойчивость. Обнаружено также наличие области длинноволновой монотонной неустойчивости при промежуточных значениях отношения толщин слоев, близких к 0.5.

На основании данных о существовании длинноволновой моды неустойчивости в случае двухслойной системы жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и идеально теплопроводными внешними границами и в случае двухслойной системы жидкостей с недеформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах было сделано предположение о том, что для двухслойной системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах могут существовать две моды длинноволновой неустойчивости. Исследованию этой задачи посвящена первая глава настоящей работы.

В рамках линейной теории устойчивости можно получить информацию только о критических значениях параметров, при которых возникает конвекция, и форме критических возмущений. Информация о характере течений, реализующихся выше порога устойчивости, остается неизвестной. Для изучения характера ветвления и слабонадкритических течений применяется слабо-нелинейный анализ. Обзор работ, посвященных слабо-нелинейному анализу и изложение метода можно найти в [17].

Слабо-нелинейному анализу крупномасштабных конвективных течений в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела и идеально теплопроводными внешними границами посвящены работы [18-20]. В [18] для случая слоев одинаковой толщины в плоской постановке сформулировано и исследовано нелинейное уравнение для амплитуды возмущений. Нелинейность амплитуды входит в уравнение квадратичным образом. Показано, что в длинноволновом пределе конвекция возникает жестко, а полученное амплитудное уравнение не дает устойчивых конвективных движений вблизи порога.

В [19] рассмотрен случай слоев жидкостей разной толщины. В длинноволновом приближении получено амплитудное уравнение, описывающее крупномасштабные конвективные движения, сопровождающиеся деформацией поверхности раздела. В этом случае развитие конвективного движения описывается уравнением Кэна-Хиллиарда (наряду с квадратичной нелинейностью, в системе имеется слагаемое третьей степени). Обнаружено, что при определенном соотношении толщин слоев становится возможным мягкое ветвление. Найдено солитонное решение и показана его неустойчивость относительно плоских возмущений.

Работа [20] посвящена исследованию периодических режимов крупномасштабной конвекции в двухслойной системе с деформируемой границей раздела. В предельном случае большого поверхностного натяжения получено амплитудное уравнение, описывающее деформацию поверхности раздела. Исследованы периодические двумерные режимы течения; показано, что в зависимости от параметров задачи возможно как жесткое, так и мягкое возбуждение конвекции. Обнаружено конечно-амплитудное возбуждение конвекции при нагреве сверху.

Нелинейный анализ конвекции в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела проведен в [21]. Задача решалась численно методом конечных элементов в двумерной постановке для вытянутой по горизонтали прямоугольной полости. Найдены критические параметры возникновения конвекции в такой системе.

3. Влияние термокапиллярного эффекта на конвективную устойчивость

В системах со свободными поверхностями или поверхностями раздела жидкостей конвективные движения могут возбуждаться не только вследствие изменения плотности с температурой, когда при нагревании более легкие элементы жидкости всплывают вверх под действием архимедовой силы (конвекция Релея - Бенара), но и за счет изменения поверхностного натяжения при изменении температуры или концентрации примеси (конвекция Маран-гони). При этом возникает тангенциальная сила, направленная вдоль градиента поверхностного натяжения, т.е. в сторону убывания температуры (при нормальном термокапиллярном эффекте). Эта сила вызывает растекание всплывших элементов жидкости, и, следовательно, позволяет всплывать новым нагретым элементам жидкости. Таким образом, термокапиллярные силы (при поперечном нагреве слоя) могут приводить к развитию начального возмущения.

Исследование термокапиллярной конвекции было впервые проведено Пирсоном [22]. Он рассмотрел бесконечно длинный тонкий слой жидкости, налитый на твердую поверхность. Задача решалась в предположении недеформируемости свободной поверхности, поверхностное натяжение считалось линейной функцией температуры, конвекция Релея — Бенара не учитывалась, на свободной поверхности жидкости задавалась постоянная температура. Обнаружено, что механическое равновесие системы может стать неустойчивым не только при нагреве твердой границы, но и при нагреве свободной поверхности, при условии, что поверхностное натяжение жидкости уменьшается с ростом температуры. Неустойчивость возникает по отношению к возмущениям с конечной длиной волны. Если на свободной поверхности зафиксировать тепловой поток, то в спектре наиболее опасных возмущений появляются длинноволновые монотонные возмущения [23].

Возникновение неустойчивости Марангони, обусловленной градиентом концентрации на поверхности раздела двух жидкостей, исследовано в [24]. Конвекция Релея-Бенара и деформации поверхности раздела не учитывались. Показано, что неустойчивость существует для массопереноса в обоих направлениях. При наличии гравитационных волн на поверхности раздела под действием термокапиллярного эффекта потеря устойчивости равновесия наблюдается как при подогреве снизу, так и при подогреве сверху [25].

В работе [26] в рамках обычного приближения Буссинеска исследована конвекция Релея - Бенара - Марангони в двухслойной системе жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и идеально теплопроводными внешними границами. Приведены результаты теоретического и экспериментального исследований для системы жидкостей бензин - вода. В рамках линейной теории устойчивости обнаружено, что при подогреве снизу критическое число Марангони меньше, чем в случае нагрева сверху. В экспериментальных исследованиях критическое число Релея, полученное для подогрева снизу, находится в диапазоне между критическими числами Релея, предсказанными теорией в отсутствии и при наличии термокапиллярной конвекции. Более того в ходе эксперимента при нагреве сверху неустойчивость не была обнаружена даже для чисел Марангони, в пять раз превышающих критическое значение по линейной теории. Несовпадение предсказанных теоретически и найденных в эксперименте критических значений числа Релея авторы объясняют загрязнением поверхности.

В двухслойной системе горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с плоской поверхностью раздела термокапиллярный эффект может приводить к возбуждению конвекции колебательным образом [27, 28]. В серии работ [29-31], на модельных задачах исследована термокапиллярная неустойчивость в двухслойных системах и влияние на этот тип неустойчивости различных факторов. В системе жидкостей с одинаковыми свойствами и плоской границей раздела монотонная неустойчивость имеет место только при нагреве со стороны толстого слоя, а колебательная неустойчивость - при охлаждении его [29]. В термокапиллярных волнах доминирует продольное движение вблизи границы раздела слоев жидкости. Поддержка этих колебаний температурным полем осуществляется за счет различия фаз движения в разных слоях. В работе [30] найдены условия возникновения монотонной и колебательной неустойчивости в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела при тепловом числе Релея, равном нулю. Для колебательных режимов конвекции выделены два разных механизма: капиллярный, при котором кинетическая энергия движения переходит в потенциальную энергию деформируемой границы раздела (капиллярные волны), и термокапиллярный, при котором в процессе движения меняется свободная энергия поверхности из-за изменения ее температуры (термокапиллярные волны). Капиллярные и темокапиллярные волны существенно различаются по структуре движения жидкости.

Теоретическое и экспериментальное исследование неустойчивости Релея-Бенара-Марангони в двухслойной системе жидкостей с деформируемой поверхностью раздела, проведено в [32] для случая слоев разной толщины и идеально теплопроводных внешних границ. Найдено, что в случае, когда плотности жидкостей близки, наблюдается длинноволновая колебательная неустойчивость. Длинноволновые колебательные возмущеиия нарастают, когда подогревается слой большей толщины.

Основные результаты в области исследований термокапиллярной конвекции обобщены в монографии [33].

В рамках диссертационной работы проведено теоретическое исследование возникновения конвекции Релея-Бенара-Марангони в двухслойной системе с деформируемой границей раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах. Исследование проводится в рамках обобщенного приближения Буссинеска, сформулированного в [14].

4. Влияние вибраций на конвективную устойчивость

Для развития современных технологий важно уметь управлять устойчивостью механического равновесия систем. Вибрационное воздействие высокой частоты может являться одним из средств управления, поскольку такие вибрации могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на устойчивость равновесных состоянии и течений. При изучении воздействия; вибраций высокой частоты применяют процедуру осреднения, которая заключается в том, что поля разбиваются на две составляющих -пульсационную и осредненную, не зависящую от быстрого, вибрационного, времени. При исследовании тепловой конвекции метод осреднения был применен впервые в [34]. Математическое обоснование . метода осреднения можно найти в [35]. Стабилизирующее действие высокочастотных вибраций на устойчивость, равновесия слоя жидкости с идеально теплопроводными:внешними границами, было обнаружено в [36]. Подробное изложение теории вибрационной конвекции можно найти в монографии [37], в которой также приведен обзор основных результатов, полученных в данной области. В соответ-ствиис [37], разделение всех процессов на^быстрые и медленные можно провести, если, характерное, время вибраций много меньше гидродинамического и теплового времен: &> »v / h2, а>^> %/h2, где со — частота вибраций, v - кинематическая вязкость, % - коэффициент температуропроводности жидкости. Bi то же время, для возможности пренебрежения сжимаемостью^ необходимо выполнение условий айХ^с и X » , где с — скорость звука, Я — длина звуковой волны, соответствующей частоте вибраций. Амплитуда вибрацийа. должна быть малой aftO <§с h.

При определенных условиях жидкость при действии вибраций может находиться в так называемом состоянии квазиравновесия. При этом жидкость в среднем остается неподвижной,. совершая лишь пульсационное движение. Условия существования квазиравновесных состояний можно найти в [37].

Вибрации влияют также на форму поверхности раздела сред. Общий теоретический подход для исследования поведения поверхностей раздела в поле, высокочастотных малоамплитудных вибраций сформулирован Д.ВЛюбимовым и А.А.Черепановым. В [38-42] на основе этого подхода исследован ряд конкретных задач о поведении поверхности раздела в вибрационных полях различной природы. Расчеты [38-42] объяснили поведение поверхности раздела при действии различного типа вибраций, наблюдавшееся в экспериментах [43, 44], где было обнаружено, что вертикальные вибрации подавляют развитие неустойчивости Релея-Тейлора, а горизонтальные вибрации делают плоскую горизонтальную поверхность раздела неустойчивой, формируя на ней квазистационарный периодический рельеф. Изложение общего подхода для исследования поведения поверхностей раздела при действии вибраций различного типа и результатов решения конкретных задач по этой тематике можно найти в монографии [45].

Исследование влияния вибраций на возникновение термокапиллярной конвекции в двухслойной системе с плоской границей раздела проведено в работах [29, 30]. Показано, что высокочастотные вертикальные вибрации подавляют движение в поперечном направлении и более эффективно воздействуют на движение в слое большей толщины. При этом в толстом слое возникает двухвихревое течение, которое имеет слабый конвективный перенос тепла. Роль слоев в формировании термокапиллярной неустойчивости меняется в сравнении со случаем отсутствия вибраций.

Исследованию влияния высокочастотных вертикальных вибраций на устойчивость механического равновесия двухслойной системы несмешиваю-щихся жидкостей с близкими плотностями посвящен раздел 1.4 диссертационной работы.

ОБЗОР К ГЛАВЕ 2

С быстрым развитием электронных технологий и широким использованием интегральных схем значительно возросла необходимость в создании полупроводниковых кристаллических подложек высокого качества. Одной из главных трудностей на пути получения совершенных материалов для создания полупроводниковых подложек является большая сегрегации примеси на фронте кристаллизации и неустойчивость фронта, поэтому актуальной является разработка способов управления тепломассопереносом в процессах кристаллизации. Вторая глава диссертации посвящена исследованию возможности управления процессами тепломассопереноса при направленной кристаллизации с помощью высокочастотных вращательных вибраций.

1. Методы выращивания кристаллов

Можно выделить три группы основных методов кристаллизации: из твердой фазы, из газовой фазы, из жидкой фазы (расплав, раствор) [46-50]. Рассмотрим наиболее распространенные методы получения монокристаллов полупроводников в промышленных масштабах. Классический метод выращивания кристаллов из твердой фазы - метод зонной плавки. При использовании этого метода вдоль длинного слитка твердого материала медленно перемещается узкая зона расплава, в результате чего, благодаря рекристаллизации, происходит перераспределение примесей в слитке [51-53]. При выращивании из газовой фазы, примесь медленно выпаривается из раствора, пары охлаждаются и конденсируются. Метод молекулярной эпитаксии (ММЭ) позволяет последовательно слой за слоем наращивать полупроводниковые чипы на подходящей кристаллической подложке [54-56]. В каждом слое (толщина которого может не превышать диаметра одного атома) точно повторяется кристаллическая структура подложки. Для производства крупных монокристаллов применяют методы кристаллизации из расплавов. Самые распространенные среди множества способов выращивания кристаллов из расплавов: метод Чохральского, вертикальный и горизонтальный методы Бриджме-на. Суть метода Чохральского (впервые метод описан в [57]) заключается в вытягивании кристалла из расплава с помощью затравки. Затравка представляет собой маленький кусочек того материала, который и нужно вырастить, она служит образцом для нового кристалла и центром кристаллизации. Затравка вращается и поднимается вверх, как бы вытягивая новый кристалл из тигля, в котором находится расплав [58]. Исследованию влияния различных факторов на процесс кристаллизации методом Чохральского посвящено большое количество статей (см., например, [59-62]).

В вертикальном (горизонтальном) методе Бриджмена (Рис. I) расплав находится в вертикально (горизонтально) закрепленном тигле с остроконечным дном. При медленном вытягивании тигля из горячей зоны печи в более холодную на его остром дне образуется кристалл-зародыш, который в ходе дальнейшего вытягивания тигля может вырасти в крупный монокристалл.

•*.'.'.".'/Л1!" •i',"1,' >'.*. ■ ч'ЛУ. Ч I V. »','.'. .>.'

Рис. 1. Схема установки для выращивания монокристаллов по вертикальному методу Бриджмена:

1 - тигель с расплавом, 2 - кристалл, 3 - печь, 4 - холодильник, 5 - термопара, 6 - тепловой экран [49]

Во второй главе диссертации исследуются течения и теггло-массообмен при направленной кристаллизации бинарного расплава вертикальным методом Бриджмена. Распределение примеси в расплавах полупроводниковых материалов зависит от многих факторов: тепловых условий [63-67], геометрических факторов [68-83], динамических воздействий, таких как уровень гравитации [84-88], магнитное поле [90-99], вращение [100-109], вибрации [110-121] и др. Большое влияние на качество выращиваемого кристалла оказывают возникающие в процессе роста конвективные течения. Управляя течениями, можно управлять тепломассопереносом в расплаве, а значит и качеством выращенного кристалла. Течения в расплаве могут, как улучшать, так и ухудшать однородность распределения примеси в выращиваемом кристалле. С одной стороны, течения, способствуя перемешиванию примеси в расплаве, повышают однородность ее распределения. С другой стороны, течения в расплаве переносят примесь и способны нарушить однородность распределения примеси в выращиваемых кристаллах, создавая участки в которых имеется локальный избыток либо недостаток примеси. В этом смысле течения вредны и их нужно подавлять.

2. Влияние тепловых условий на кристаллизацию вертикальным методом Бриджмена

Исследованию конвективных течений при. выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена посвящено большое число работ. В работе [63] проведено численное моделирование сопряженного теплообмена при получении мультикремния из плоскодонных тиглей вертикальном- методом Бриджмена. С учетом теплоты фазового перехода решаются уравнения конвективного теплообмена в области, занятой расплавом, и уравнения теплопроводности-в массиве затвердевшего кремния и в стенках тигля. Влияние симметрии, конфигурации и динамики изменения внешнего теплового поля на конвективные процессы в расплаве, которые в свою очередь влияют на процессы формирования мультикристаллического кремния, изучается в [64]. Исследование проводится на основе трехмерного моделирования конвективных процессов в расплаве при выращивании поликристаллического кремния методом Бриджмена в неосесимметричном тепловом поле. Показано, что переход от осесимметричного нагрева к нестационарному режиму неоднородного разогрева боковых стенок позволяет изменить интенсивность конвективных течений и улучшить перемешивание расплава за счет появления в нем азимутальной компоненты течения.

Качество выращиваемого кристалла и интенсивность течений зависят также от скорости движения ампулы относительно нагревателя (печи). Исследованию влияния-скорости протяжки на процесс кристаллизации посвящены работы [65-67]. В [65] исследованы два варианта сочетания'скорости роста и температурного градиента при кристаллизации, приводящие в случае меньшей скорости движения ампулы и меньшего температурного градиента к распределению примеси на фронте, соответствующей равновесной диаграмме состояния. При увеличении скорости протяжки и увеличении разности температур дна и крышки ампулы создаются условия нестабильного роста. Обсуждаются морфологические особенности ростовой структуры, совершенство кристаллического строения и ориентационные соотношения фаз, сложившиеся в ходе кристаллизации и последующего охлаждения в твердом состоянии. В работе [66] исследуется сегрегация примеси при выращивании антимонида галлия с примесью марганца при трех разных значениях скорости протяжки. Полученные экспериментальные данные по осевому и радиальному распределению сопоставляются с численными результатами. Как численные, так и экспериментальные результаты показали уменьшение радиальной сегрегации с ростом скорости протяжки, при этом концентрация примеси вблизи оси выше, чем около стенки ампулы. В [67] предложена математическая модель процесса роста кристаллов мультикремния методом Брид-жмена. Проведен сравнительный анализ процесса кристаллизации в нестационарном теплопроводном режиме и в условиях гравитационной и термокапиллярной конвекции. Показано, что конвективное течение расплава кремния (Рг=0,23) в сравнении с режимом теплопроводности оказывает существенное влияние на перераспределение тепла в ростовой камере и на форму фронта кристаллизации. Найдено, что изменяя скорость опускания графитового тигля в нижнюю холодную зону печи или управляя продольным градиентом температуры на внешней границе стенки тигля, можно влиять на форму фронта кристаллизации.

Для уменьшения интенсивности конвективных течений используют нагреватели (печи), которые создают устойчивую стратификацию по плотности в расплаве. В земных условиях такая стратификация создается при постоянном вертикальном градиенте температуры, направленном вверх. Из-за наличия ампулы профиль температуры, создаваемый нагревателем, нарушается. Осевой градиент температуры, как правило, снижается, а радиальный может как снижаться, так и повышаться. Работы [68-84] посвящены оптимизации конфигураций печи и ампулы, позволяющей снизить осевую и радиальную сегрегации.

При моделировании процессов выращивания кристаллов используется, как правило, один из двух типов распределения температуры: линейный или гиперболический. Линейный температурный градиент вдоль ампулы создается нагревателем, разработанным и описанным в [81]. Другой вариант печи моделируется при помощи кусочно-линейной функции с подбираемыми коэффициентами; при меньшем наборе коэффициентов такой нагрев описывается при помощи функции гиперболического тангенса. Вариант такой печи представлен в [82], она представляет собой две трубки, которые формируют горячую и холодную изотермические зоны, между ними находится адиабатическая зона. В работе [83] рассмотрены оба варианта печи.

Для печи с гиперболическим профилем температуры течение в расплаве при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена имеет форму двух вихрей, расположенных один над другим. Вихрь, расположенный вблизи поверхности раздела кристалл/расплав, конвективным образом переносит примесь к оси ампулы, он обусловлен разницей теплопроводно-стей кристалла, расплава и материала ампулы и искривлением фронта кристаллизации. В верхнем вихре жидкость движется в противоположную сторону, этот вихрь вызван радиальным градиентом температуры, возникающим из-за наличия перехода между адиабатической и горячей зонами печи. Интенсивности этих двух вихрей зависят от значений трех теплопроводностей и величины осевого градиента температуры.

В случае линейного внешнего нагрева формируется лишь один вихрь, обусловленный наличием радиального градиента температуры, возникающего около искривляющегося фронта кристаллизации. В работе [83] вычислены форма поверхности кристалл/расплав, радиальная сегрегация и эффективный коэффициент сегрегации. Полученные численные данные хорошо согласуются с экспериментальными данными.

При выращивании кристаллов из бинарных расплавов основное внимание уделяется распределению примеси на фронте кристаллизации и в образовавшемся кристалле. В [84] представлены результаты экспериментального исследования распределения концентрации при направленной кристаллизации вертикальным методом Бриджмена. В графитовом тигле с шестью ячейками выращены монокристаллы ЬаБз с примесью СеБз- Проведено сравнение содержания примеси CeF3 до и после эксперимента. Показано, что в процессе кристаллизации происходит изменение концентрации СеБз от 25 до 550% по сравнению с исходным содержанием СеБз, что связано с технологическими условиями выращивания кристаллов и наличием конвективного движения в расплаве.

3. Влияние изменения уровня гравитации на кристаллизацию вертикальным методом Бриджмена

Структура и интенсивность конвективных течений зависит также от уровня гравитации. Исследованию кристаллизации в условиях микрогравитации посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ (см., например, [85-88]). В работах [85, 86] приводятся обзор и сравнительный анализ результатов космических и наземных экспериментов ИМЕТ РАН по выращиванию кристаллов InSb:Te вертикальным методом Бриджмена с целью изучения влияния условий микрогравитации на структуру и свойства полученных кристаллов. Установлены особенности тепломассопереноса в расплаве и характеристики распределения примеси в кристалле. Показано, что в условиях микрогравитации можно выращивать кристаллы InSb:Te методом Бриджмена без контакта со стенками ампулы, что обеспечивает монокристалличность структуры, отсутствие слоев роста и низкую плотность дислокаций. Выполнена наземная отработка экспериментов. Проведено трехмерное численное моделирование роста кристаллов в условиях микрогравитации, численные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. В [87] изучено влияние остаточных ускорений на сегрегацию примеси при росте сплавов Sn-Bi на спутнике. Приведены результаты численного моделирования, которые сравниваются с экспериментальными данными. Экспериментальные наблюдения показали, что зазор между образцом и тиглем, обычно получающийся после затвердевания в условиях микрогравитации, удивительно постоянен. Для выяснения причины этой устойчивости в работе [88] методом Ляпунова исследовано явление потери смачиваемости.

4. Влияние магнитных полей на кристаллизацию вертикальным методом Бриджмена

Одним из методов управления конвекцией в расплаве в случае проводящих материалов (металлы и полупроводники) является использование магнитных полей (см., например, [48,49,58,89]). В литературе имеется большое число работ по применению магнитных полей различного типа в вертикальной конфигурации метода Бриджмена и в методе плавающей зоны (см., например, [90-99]). Работы [90,91] посвящены исследованию влияния постоянного вертикального магнитного поля на конвекцию и сегрегацию примесей при выращивании кристалла вертикальным методом Бриджмена. Использовался квазистатический подход и конечно-элементный анализ. Задача решается для случая вертикального магнитного поля в пределе малых магнитных чисел Рейнольдса. Расчеты проводятся для расплава германия с галлием для печи с однородным вертикальным градиентом температуры. Найдено, что стационарная конвекция, вызванная радиальным градиентом температуры, обеспечивает хорошее осевое и радиальное перемешивание как при наличии магнитного поля, так и без него. Слабое магнитное поле снижает интенсивность конвекции и эффективность перемешивания примеси. Радиальная сегрегация примеси наибольшая в случае умеренных полей. Сильные поля полностью подавляют течение и ведут к гомогенизации распределения примеси в кристалле и к осевой сегрегации, определяемой диффузией.

В работе [92] представлены результаты трехмерного моделирования влияния постоянных магнитных полей, по-разному ориентированных относительно оси ампулы (от продольного до перпендикулярного к оси). Отмечается подавление течений в расплаве при влиянии на него магнитного поля. Результаты трехмерных расчетов хорошо согласуются с результатами, полученными ранее в двумерной постановке.

Работа [93] представляет модель нестационарного переноса примеси при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена. Полагается, что поверхность раздела кристалл/расплав плоская и остается такой с течением времени. На рассматриваемую систему действует осевое магнитное поле. Исследуется влияние различных параметров на структуру выращиваемого кристалла. Отмечается, что перенос массы, обусловленный гравитационной конвекцией, приводит к образованию неоднородностей концентрации примеси как в расплаве, так и в кристалле. С усилением магнитного поля роль конвективного переноса уменьшается и при большой интенсивности поля доминирующим становится диффузионный массоперенос.

5. Влияние вращения на кристаллизацию вертикальным методом Бриджмена

Еще одним способом воздействия на процессы выращивания кристаллов, ведущим к уменьшению интенсивности конвективных течений является вращение тигля вокруг вертикальной оси. Исследованию этого метода улучшения* качества получаемых кристаллов посвящено большое количество работ (см., например, [100-106]). Вращение тигля с постоянной угловой скоростью исследовано в [100]. Проведено численное моделирование;вертикально-го метода Бриджмена для бинарного расплава GaSe. Показано, что радиальная сегрегация примеси сильно зависит как от скорости протяжки ампулы, так и от угловой скорости вращения'тигля. Работа [101] посвящена численному исследованию, влияния вращения-тигля на сегрегацию примеси при выращивании кристалла C<d[0,96]Zn[0,04]Te вертикальным методом Бриджмена. Изучено влияние параметров метода ускоренного вращения тигля на форму границы раздела кристалл-расплав и сегрегацию примеси. Показано, что вращение тигля приводит к однородному распределению концентрации примеси на фронте кристаллизации. При подходящих параметрах вращения- может происходить небольшое усиление вогнутости и резкое уменьшение радиальной сегрегации примеси в кристалле (вплоть до 0). Найдено, что имеются такие параметры вращения тигля, при которых вогнутость фронта1 кристаллизации значительно усиливается (до 6 раз) и сегрегация примеси существенно повышается. В [102] также анализируется возможность использования вращения тигля для подавления конвективных течений в процессе выращивания кристаллов вертикальным методом Бриджмена. Показано, что вращение является эффективным для течений небольшой интенсивности.

Положительное влияние вращения на кристаллизацию монокристаллов арсенида галлия продемонстрировано в [103]. Найдено, что качество кристаллов улучшается при использовании многоступенчатого роста со ступенчатым изменением состава кристалла и температуры роста. В [104] исследовано выращивание кристалла In-Ga-Sb. Расплав находился между затравочным и питающим кристаллами GaSb цилиндрической формы и имел форму полуцилиндра. Показано, что при увеличении скорости вращения ампулы, скорость течения в расплаве возрастает, при этом распределение температуры стремится к однородному. В неподвижной ампуле разница температур на границе раздела кристалл-расплав выше, чем при ускоренном вращении ампулы. Обнаружено, что влияние вращения ампулы усиливается с увеличением скорости вращения, когда вынужденная конвекция в растворе становится доминирующей. Наиболее эффективным средством управления тепло-массопереносом в процессе кристаллизации является непостоянное вращение [105].

При выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмана накопление примеси в приосевой области фронта из-за гравитационной конвекции часто вызывает образование впадины вблизи оси симметрии системы (Рис. 2) и ускоряет возникновение морфологической неустойчивости. Механизм возникновения приосевой впадины будет описан ниже.

Ampoule

Tube furnace

Hot zone

Melt

Adiabatic zone К

Crystal

Seed I

Cold zone

Foiling down

Рис. 2. Схема установки для выращивания монокристаллов но вертикальному методу Бриджмена справа;

Слева - возникновение «пита» на фронте кристаллизации [107]

В работе [106] путем визуализации поверхности раздела при направленной кристаллизации сукцинонитрила, содержащего этанол, показано, что вращение вокруг оси ампулы может изменить распределение примеси и предотвратить формирование впадины. В этой работе проведено также численное моделирование в рамках осесимметричного к вази стати чес ко го подхода, объясняющее наблюдаемые явления. Нестационарное трехмерное моделирование роста кристаллов Ge, легированных Ga, методом Бриджмена проведено в [107]. Исследована возможность применения центрифуги с малой скоростью вращения для подавления трехмерного течения и повышения равномерности распределения примеси в выращиваемом кристалле. Предложенная модель помимо потока тепла и движения границы раздела позволяет одновременно рассчитывать радиальную и осевую сегрегации в течение всего процесса роста.

Вращение ампулы, задаваемое при помощи различных периодических функций (техника ускоренного вращения тигля, в англоязычной литературе общераспространенный термин ACRT - Accelerated Crucible Rotation Technique), также эффективно для повышения однородности распределения примеси на фронте кристаллизации. Впервые такая модификации вертикального метода Бриджмена предложена в [108]. Численному моделированию ACRT при направленной кристаллизации вертикальным методом Бриджмена посвящена работа [109].

6. Влияние вибраций на кристаллизацию вертикальным методом Бриджмена

Вибрации являются одним из самых низкоэнергетических методов воздействия на течения в расплаве для получения совершенных кристаллов [110]. Высокая эффективность использования аксиальных низкочастотных вибраций при выращивании кристаллов методом Бриджмена была продемонстрирована в экспериментах [111,112]. В работе [112] в качестве средства управления тепло- и массопереносом в расплаве при росте кристаллов методом Бриджмена использовались аксиальные вибрации твердого тела, погруженного в расплав. Показано, что в этом случае удается уменьшить неоднородность распределения примеси по длине выращиваемого кристалла.

Перспективным методом улучшения перемешивания расплава при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена является метод вибрационного перемешивания (ВП) [113]. Этот метод заключается в приложении низкочастотных вибраций круговой поляризации, при этом генерируется сильное течение, распространяющееся от свободной поверхности жидкости. В [113] представлено экпериментальное исследование ВП. Обнаружен большой градиент скорости, уменьшающийся от свободной поверхности. Полученный профиль скорости зависит от амплитуды и частоты вибраций, а также от диаметра тигля. Влияние ВП на форму фронта кристаллизации исследовалось для NaN03. Обнаружено, что в отсутствие протяжки (т.е. при нулевой скорости движения тигля) форма фронта кристаллизации зависит от частоты вибраций. Как только генерируемый ВП поток жидкости приближается к межфазной границе, вогнутость фронта уменьшается. В работе [114] найдены параметры ВП, необходимые для предотвращения флуктуаций фронта кристаллизации и уменьшения- его искривления- при скорости движения ампулы, большей 10 мм/час.

Эффективным средством; уменьшения сегрегации- примеси на фронте кристаллизации в процессе направленной кристаллизации вертикальным ме- ' то дом Бриджмена, являются высокочастотные вибрации. Результаты теоретических исследований влияния высокочастотных вибраций можно найти в работах [115, 116].

7. Морфологическая неустойчивость фронта кристаллизации

-., Выше проведен обзор исследований различных факторов; при помощи которых можно управлять течениями и т'епло-массопереносом при направленной кристаллизации вертикальным методом Бриджмена. Как уже отмечалось , ранее, при выращивании кристаллов возникает явление, названное морфологической неустойчивостью фронта кристаллизации. Классической работой по морфологической неустойчивости является работа [117]. В ней найдены условия возникновения неустойчивости.

Обсудим механизм возникновения неустойчивости фронта при направленной кристаллизации бинарного сплава. При кристаллизации бинарных сплавов; температура- кристаллизации Тт зависит от концентрации примеси; G на- границе расплав-кристалл и определяется линией ликвидуса на плоскости Тт - С . Если^ концентрация примеси невелика, то зависимость Гт (С) линейна Тт = Тт0 + тС, где Тт0 - температура плавления чистого вещества; т -эмпирический коэффициент, характеризующий наклон линии ликвидуса. В результате движения ампулы с расплавом происходит • накопление; примеси вблизи - фронта, температура.кристаллизации значительно уменьшается: расплав оказывается переохлажден. Это приводит к неустойчивости раздела фаз, то есть к морфологической неустойчивости. Возникновение морфологической неустойчивости можно характеризовать параметром AG = GT - GL, где GT - градиент температуры; GL определяется как GL-mGc (Gc - градиент концентрации примеси). При этом AG<0 соответствует переохлажденному расплаву, порог возникновения морфологической неустойчивости определя

26 ется из условия AG = 0. Применимость данного критерия для определения порога морфологической неустойчивости показана в [117].

Как показано в работе [117] при малой поверхностной энергии фронта кристаллизации расплав-кристалл наиболее опасными являются коротковолновые возмущения. Это означает, что критерий неустойчивости AG < О, справедливый для бесконечного плоского фронта кристаллизации, можно применять и для фронта, искривленного и ограниченного, когда пространственный масштаб возмущений много меньше радиуса кривизны фронта. Более того, для таких мелкомасштабных возмущений критерий неустойчивости можно применять локально, т.к. неустойчивость будет развиваться прежде всего на тех участках фронта, где выполняется критерий неустойчивости.

Радиальная неоднородность температуры в расплаве, неизбежно возникающая из-за различия теплопроводностей расплава и кристалла и выделения теплоты фазового перехода, приводит с одной стороны к искривлению фронта кристаллизации, а с другой к возникновению термоконвективного движения. Влияние этого движения на фронт кристаллизации бинарного расплава может приводить к своеобразному эффекту - образованию впадины на фронте кристаллизации в окрестности оси. Механизм возникновения впадины следующий: выделение тепла приводит к повышению температуры в центральной области, что порождает восходящий конвективный поток вдоль оси. Компенсационный поток расплава, т.е. опускное течение, локализовано вблизи стенок ампулы, так что в окрестности фронта кристаллизации возникает радиальное течение, направленное от стенок к оси ампулы. Это течение выносит в приосевую область примесь, накопившуюся около фронта кристаллизации. В результате, вблизи оси концентрация примеси значительно возрастает. Поскольку температура фазового перехода падает с ростом концентрации, то в зоне повышенной концентрации кристалл «протаивает», в нем образуется впадина. Для случая бесконечного плоского фронта кристаллизации действие гравитационной конвекции на морфологическую неустойчивость обсуждалось в [117,118]. Образование впадины численно исследовано в работе [119]. Рассмотрена модельная прозрачная система сукцинонитрил с примесью этанола. Задача решалась как в квазистатической, так и в полной нестационарной постановке. Критерий неустойчивости брался»:таким же, как в [117]; Найден порог возникновения неустойчивости. Показано, что в процессе кристаллизации сначала возникает впадина на оси симметрии системы, затем величина впадины, увеличивается и наступает морфологическая неустойчивость. Вычисления; проведены для разных параметров гравитации.

Ключевым моментом для, образования впадины является наличие в окрестности фронта радиального потока, направленного к оси. Если бььэто радиальное течение удалось подавить или хотя бы оттеснить, от фронта: на, раст стояние, большее толщины диффузионного слоя, то образование впадины можно было бы, предотвратить или хотя бы уменьшить его глубину. В работе [120] исследовано влияние нормальных и касательных высокочастотных вибраций на морфологическую устойчивость бесконечного плоского фронта кристаллизации, движущегося с постоянной скоростью; Выяснено, что, в отличие от случая поверхности раздела несмещивающихся-жидкостей, высокочастотные нормальные вибрации оказывают дестабилизирующее действие, а касательные вибрации играют стабилизирующую- роль. Это позволило сделать предположение о том, что вращательные вибрации вокруг оси ампулы могут привести к стабилизации морфологической неустойчивости фронта при направленной кристаллизации бинарных сплавов.

В работе [116] сформулирована теоретическая модель и на ее основе выполнено численное исследование течений и тепло- массообмена при направленной кристаллизации, модельных прозрачных бинарных систем с низкой температурой кристаллизации в присутствии; вращательных вибраций высокой частоты и малой амплитуды. .Показано, что такие вибрации генерируют течение, локализованное вблизи фронта кристаллизации. Направление течения, индуцированного вибрациями, противоположно гравитационно-конвективному течению. Взаимодействие вибрационного и гравитационно-конвективного течений приводит к оттеснению гравитационно-конвективного вихря от фронта кристаллизации.

Во многих работах исследование течений и тепломассообмена в процессах кристаллизации проводится с использованием методов конечных разностей. Этот метод, впервые примененный для исследования конвективных течений в замкнутых областях в [121], хорошо зарекомендовал себя при решении широкого круга задач тепловой конвекции. Однако, применение этого метода к исследованию тепло- и массопереноса при кристаллизации бинарных сплавов может приводить к физически некорректным результатам из-за невыполнения условия сохранения массы на фронте кристаллизации. Эта проблема не возникает при применении метода конечных объемов (МКО) (см., работу [122], в которой проведено сопоставление метода конечных элементов и метода конечных объемов при решении задач направленной кристаллизации бинарных сплавов).

Во второй главе диссертации с помощью метода конечных объемов численно исследуется влияние вращательных вибраций разной интенсивности на морфологическую устойчивость фронта и радиальную сегрегацию примеси при направленной кристаллизации бинарных расплавов вертикальным методом Бриджмена.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию конвекции в двухслойных системах с деформируемыми поверхностями раздела сред. Актуальность исследования конвекции в двухслойных системах связана с многочисленными техническими приложениями этих работ. Конвективные процессы оказывают существенное влияние на тепловые режимы хранения нефтепродуктов в емкостях, на процессы химической технологии и др. Условиям возникновения конвекции в двухслойных системах посвящено большое число работ, однако, большинство из них проведено в предположении о недеформируемости поверхности раздела. В то же время, в случае систем жидкостей с близкими плотностями учет деформируемости поверхности раздела принципиально необходим. В первой главе диссертации с учетом деформаций поверхности раздела исследуется возникновение конвекции в двухслойной системе несмешивающихся жидкостей с близкими плотностями.

С развитием современных технологий значительно возросла необходимость в создании полупроводниковых кристаллических подложек высокого качества. При кристаллизации неизбежно возникают течения, которые могут привести к неоднородностям распределения примеси в выращиваемом кристалле. В этой связи важной и актуальной задачей является поиск способов управления качеством получаемых кристаллов путем воздействия на течения в расплаве. Одним из самых низкоэнергетических способов воздействия являются вибрации. Во второй главе диссертации рассматривается влияние высокочастотных вращательных вибраций малой амплитуды на течения и теп-ломассоперенос при направленной кристаллизации бинарных сплавов.

Целью работы является исследование условий возникновения неустойчивости в системах с деформируемыми поверхностями раздела (неустойчивости механического равновесия неоднородно-нагретой двухслойной системы несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и морфологической неустойчивости поверхности раздела расплав-кристалл в процессе направленной кристаллизации бинарного сплава) и определение оптимальных параметров вибрационного воздействия для управления устойчивостью.

Научная новизна работы. В рамках выполнения диссертационной работы, получены следующие новые результаты:

• при исследовании линейной устойчивости механического равновесия двухслойной системы горизонтальных несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и фиксированным тепловым потоком на внешних границах обнаружена длинноволновая колебательная мода неустойчивости, отсутствующая в случае идеально теплопроводных границ; в результате изучения влияния термокапиллярного эффекта на устойчивость равновесия двухслойной системы с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах, установлено, что термокапиллярный эффект приводит к дестабилизации равновесия как при подогреве снизу, так и при нагреве сверху; при исследовании влияния на устойчивость равновесия двухслойной системы высокочастотных вертикальных вибраций малой амплитуды найдено, что в широкой области параметров вибрации высокой интенсивности оказывают стабилизирующее действие; разработан новый эффективный алгоритм численного исследования течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов; в результате изучения влияния высокочастотных вращательных вибраций на течения, тепломассоперенос и морфологическую неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарных систем с низкой температурой кристаллизации, обнаружено, что вибрации могут приводить к значительному повышению порога морфологической неустойчивости и уменьшению сегрегации примеси на фронте; при исследовании влияния высокочастотных вращательных вибраций на течения и тепломассоперенос при выращивании полупроводниковых кристаллов вертикальным методом Бриджмена, найдено, что вращательные вибрации приводят к исчезновению области неоднозначности режимов.

Автор защищает:

• результаты исследования линейной устойчивости равновесия двухслойной системы жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах;

• вывод амплитудного уравнения, описывающего крупномасштабные конвективные течения в двухслойной системе жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах;

• результаты исследования влияния термокапиллярного эффекта на порог возникновения конвекции в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах;

• результаты исследования влияния вертикальных высокочастотных вибраций на устойчивость двухслойной системы жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах;

• результаты численного исследования влияния высокочастотных вращательных вибраций малой амплитуды на морфологическую неустойчивость и сегрегацию примеси при направленной кристаллизации бинарных сплавов;

• результаты численного моделирования нестационарных процессов кристаллизации бинарных расплавов вертикальным методом Бриджмена;

• результаты численного исследования влияния вращательных вибраций конечной амплитуды и частоты на течения и тепломассоперенос в процессе направленной кристаллизации в рамках нестационарного подхода. '

Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; соответствием с известными решениями в предельных случаях; совпадением данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов.

Практическая значимость работы: результаты об условиях возникновения конвекции в двухслойных системах могут быть использованы при оптимизации процессов химической технологии. Полученные в работе числен-ные^данные о влиянии вибраций на течения и тепломассообмен при кристаллизации бинарных сплавов могут быть использованы при разработке технологий управления течениями и тепломассообменом при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена с помощью вибраций. Разработанный в ходе выполнения диссертации новый алгоритм численного моделирования течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена может быть использован при исследовании течений и тепломассообмена в других процессах роста кристаллов.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, 2003; Конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь (2003, 2004, 2005, 2006); Областная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов "Молодежная наука Прикамья - 2004", Пермь, 2004; Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая), Пермь, 2005; Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения», Бийск, 2005; 36th COSPAR Scientific Assembly, Beijing, China, 2006; Российский симпозиум «Космическое материаловедение - 2007», Калуга, 2007; Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2007; «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», Москва, 2008; XXXVI Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics", Saint-Petersburg (Repino), 2008; Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, Пермь, ПГУ, 2008.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в 19 работах, которые приведены в основном списке литературы [133-151], из них 3 статьи в центральных российских изданиях, 3 статьи в сборниках трудов конференций и 13 тезисов докладов на конференциях. Личный вклад автора в работы [1-10], [12], [15], [19] состоит в участии в аналитических и численных расчетах по устойчивости системы двух горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела; в работах [11], [13], [14], [16

18] в численных расчетах по исследованию влияния высокочастотных вращательных вибраций на морфологическую неустойчивость фронта кристаллизации при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена.

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы и общую характеристику работы, двух глав, заключения, списка литературы (151 наименование). Работа содержит 71 рисунок и 5 таблиц. Общий объем диссертации - 170 страниц.

Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. Исследована линейная устойчивость механического равновесия двухслойной системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела и фиксированным тепловым потоком на внешних границах. Обнаружена длинноволновая колебательная мода неустойчивости. Построены карты устойчивости на плоскости параметров число Релея - число Галилея.

2. Изучено влияние термокапиллярного эффекта на устойчивость равновесия двухслойной системы с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах. Построены карты устойчивости на плоскости параметров число Релея — число Галилея для разных значений числа Марангони. Установлено, что термокапиллярный эффект приводит к дестабилизации равновесия как при подогреве снизу, так и при нагреве сверху.

3. Исследовано влияние на устойчивость равновесия двухслойной системы высокочастотных вертикальных вибраций малой амплитуды. Построены карты устойчивости на плоскости параметров число Релея -число Галилея для разных значений вибрационного параметра. Найдено, что в широкой области параметров вибрации оказывают стабилизирующее действие на возмущения с конечной длиной волны.

4. В рамках квазистатического и нестационарного подходов изучено влияние высокочастотных вращательных вибраций на течения и тепломассоперенос при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена. Показано, что вибрации приводят к значительному уменьшению сегрегации примеси на фронте кристаллизации и повышению однородности распределения примеси в выращенном кристалле.

5. Исследовано влияние высокочастотных вращательных вибраций на морфологическую неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарных сплавов. Показано, что при действии вибраций на системы, коэффициент сегрегации которых меньше единицы, порог морфологической неустойчивости значительно повышается.

В заключение, автор диссертации выражает благодарность научному руководителю Татьяне Петровне Любимовой за постановку задачи, научное руководство и непрерывный контроль, а так же моральную поддержку и взаимопонимание, которые создавали творческие условия для работы.

Автор выражает особую благодарность Любимову Дмитрию Викторовичу, Лобову Николаю Ивановичу, Шкляеву Сергею Викторовичу, Иванцову Андрею Олеговичу и Клименко Людмиле Сергеевне за ценные рекомендации, замечания и обсуждения, которые существенно повлияли на содержание диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. 392 с.

2. Rayleigh. On convection current in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on under side. Phil. Mag. 1916. V.32. №6. P.529-546.

3. Jeffreys H. The surface elevation in cellular convection. J. Mech. and Applied Math. 1951. 4(3). P.283-288.

4. Schmidt R.J., Milverton S.S.W. On the instability of a fluid when heated from below. Proc. Roy. Soc. 1935. A 152. P. 586-613.

5. Сорокин B.C. О стационарных движениях жидкости, подогреваемой снизу. ПММ. 1954. 18. № 2. С. 197.

6. Hurle D.T.J., Jakeman Е., Pike E.R. On the Solution of the Bernard Problem with Boundaries of Finite Conductivity. Proc. Roy. Soc. 1967. A296. № 1447. 469.

7. Березовский Э.И., Перельман Т.Л., Ромашко E.A. О конвективной неустойчивости в системе двух неограниченных горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей. Инж.-физ. журн. 1974. Т.27. №6. С.1098-1108.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О неустойчивости равновесия системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей при нагреве сверху. Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. №6. С.28-34.

9. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О монотонной и колебательной неустойчивости двухслойной системы несмешивающихся жидкостей, подогреваемой снизу. Докл. АН СССР. 1982. Т.265. №2. С.302-305.

10. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Першина Е.А. О возникновении конвекции в некоторых двухслойных системах. Конвективные течения: сб. науч. трудов. Пермь: изд-во Перм. пед. ин-та. 1983. С.3-24.

11. Адилов Р.С., Путин Г.Ф., Шайдуров Г.Ф. Конвективная устойчивость двух несмешивающихся жидкостей в горизонтальной щели. Уч. зап. Перм. ун-та. N 362. 1976. С. 16-20.

12. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М. Мир. 1981. 638 с.

13. Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic stability. Cambridge: Univ. Press, 1982. 525 p.

14. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Конвективная неустойчивость системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела. Изв. РАН. МЖГ. 1996. №2. С. 32-39.

15. Rasenat S., Busse F.H., Rehberg I. A theoretical and experimental study of double-layer convection. J. FluidMech. 1989. V. 199, P.519-540.

16. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. О конвективной неустойчивости равновесия двухслойной системы с теплоизолированными границами. Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №2. С. 22-28.

17. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука. 1989. 319 с.

18. Любимов Д.В., Шкляев C.B. Слабо-нелинейный анализ конвекции в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела. Изв. РАН МЖГ. 2002. №4. С.44-55.

19. Любимов Д.В., Шкляев С.В. О длинноволновой конвекции в двухслойной системе. Изв. РАН. МЖГ. 2004. №5. С.7-20.

20. Travener S.J., Cliffe С.А. Two-fluid Marangoni-Bernard convection with a deformable interface. J. Сотр. Phys. 2002. N 182. P.277-300.

21. Pearson J.K.A. On convection cells induced by surface tension. J. Fluid Mech. 1985. 4. № 5. P.489.

22. Davis S.H. Thermocapillary instabilities. Ann. Rev. Fluid Mech. 1987. 19. P.403-435.

23. Sterling C.V., Scriven L.W. Interfecial turbulence: hydrodynamic instability and the Marangoni effect. 1959. AI. Ch. E. J. Vol. 5. P.514-523.

24. Smith К.A. On convective instability induced by surface tension gradients. J. FluidMech. 1966. Vol. 34. Part 2. P.401-414.

25. Zeren R.W., Reynolds W.C. Thermal instabilities in two-fluid horizontal layers. J. Fluid Mech. 1972. Vol. 53. Part 2. P.3 05-327.

26. Непомнящий A.A., Симановский И.Б. О колебательной конвективной неустойчивости равновесия двухслойной системы при наличии термокапиллярного эффекта. Прикл. механ. и техн. физ. 1985. № 1. С.62-65

27. Nepomnyashchy A., Simanovskii I. Oscillatory convection instabilities in system with an interface. Int. J. Multiphase Flow. 1995. Vol. 21. P.129-139.

28. Бирих P.B., Рудаков P.H. Механизмы термокапиллярных колебаний в системе с границей раздела. Сб.: Вибрационные эффекты в гидродинамике. Перм. ун-т. Пермь. 1998. С.38-48.

29. Бирих Р.В., Бушуева С.В. Термокапиллярная неустойчивость в двухслойной системе с деформируемой границей раздела. Изв. РАН. МЖГ. 2001. №3. С.13-20.

30. Birikh R.V., Briskman V.A., Rudakov R.N., Velarde M.G. Interface Maran-goni instability in the high-frequency vibration field. Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Science in Microgravity. St. Petersburg, 1997. Abstracts. P.66-67.

31. Anne Juel, John M. Burgess, W.D. McCormick, J.B. Swift, Harry L. Swin-ney. Surface tensioan-driven convection patterns in two liquid layers. PhysicaD. 143. 2000. P. 169-186.

32. Birikh Rudolph V., Briskman Vladimir A., Velarde Manuel G., Legros Jean-Claude. Liquid Interfacial Systems. Oscillations and Instability. Surfactant Science Series. Vol. 113. New York: Marcel Dekker, Inc. 367 p.

33. Зеньковская C.M., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции. Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. №5. С.51-55.

34. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений. Матем. сб. 1972, 87(129). 2. С.236-253.

35. Зеньковская С.М. Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил. Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. №1. С.55-58.

36. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. N.Y. et al. Wiley. 1998.358 р.

37. Любимов Д.В., Саввина M.B., Черепанов А.А. О квазиравновесной форме свободной поверхности жидкости в модулированном поле тяжести. Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами. Новосибирск: СО РАН СССР. 1987. С.97-105.

38. Любимов Д.В., Черепанов А.А. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. №6. С.8-13.

39. Любимов Д.В., Любимова Т.П. Об одном численном методе для задач с деформируемой поверхностью раздела. Моделирование в механике. 1990. Т.4(21). № 1. С.136-140.

40. Любимов Д.В., Перминов А.В., Черепанов А.А. Генерация осреднен-ных течений в вибрационном поле вблизи поверхности раздела. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Сб. статей. 1998. С.204-221.

41. Черепанов А.А. Влияние переменных внешних полей на неустойчивость Релея-Тейлора. Некоторые задачи устойчивости поверхности э/сидкости. Свердловск. 1984. С.29-53. (Препр. Ин-т механики сплошных сред УНЦ АН СССР.)

42. Wolf G.H. The dynamic stabilization of the Raleigh-Taylor instability and the corresponding dynamic equilibrium. Z. Physic. 1961. Vol. 227. P.291-300.

43. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: Физматлит. 2003. 216 с.

44. Бакли Г. Рост кристаллов, пер. с англ. М.: Изд-во иностранной литературы. 1954. 146 с.

45. Хонигман Б. Рост и форма кристаллов, пер. с нем. М.: Изд-во иностранной литературы. 1961. 210 с.

46. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир. 1974. 540 с.

47. Современная кристаллография. Т.З Образование кристаллов. Коллектив авторов под реда. Вайнштейна Б.К. 1980. 407 с.

48. Можаев А.П., Першин В.И., Шабитин В.П. Методы синтеза высокотемпературных сверхпроводников. Журн. Всес. Хим. Общ. им. Д.И.Менделеева. 1989. Т.34. вып.4. С.504-508.

49. Парр Н. Зонная очистка и ее техника, М., Металлургиздат, 1963. 210 с.

50. Харин А.Н., Катаева Н.А., Харина А.Т. Курс Химии М.: «Высшая школа». 1975. 416 с.

51. Miiller G. and Herrmann F. M. Growth of 20 mm diameter GaAs crystals by the floating zone technique during the D-2 Spacelab Mission. Lecture Notes in Physics. Materials and Fluids Under low Gravity. V. 464. 1996. P.105-113.

52. Двуреченский A.B., Никифоров А.И., Пчеляков О.П., Тийс С.А., Якимов А.И. Молекулярная эпитаксия и электронные свойства гетероси-стем Ge/Si с квантовыми точками. Физика Низких Температур. Том 30. Выпуск 11. 2004. С.1169-1179.

53. Nakamura S. et al. Novel Metalorganic Chemical Vapor Deposition System for GaN Growth Appl. Phys. Lett. Vol. 58. No.18. 1991. P.2021-2023.

54. Liu S.S. et al. Growth Kinetics and Catalytic Effects in the Vapor Phase Epitaxy of Gallium Nitride. J. Electrochem. Soc. Vol. 125. No.7. 1978. P.1161-1169.

55. Czochralski J. A new method for the measurement of crystallization rate of metals. Z Phys. Chem. Vol. 92. 1918. P.219-221.

56. Козлова О.Г. Рост и морфология кристаллов. 3-е изд. под ред. Н.В.Белова. М.: Изд-во МГУ. 1980. 368 с.

57. Марченко М.П. Численное моделирование задачи получения монокристаллов методом Чохральского в ампуле. Матем. Моделирование. 1993. Том 5. №7. С. 10-16.

58. Polezhaev V.I., Bessonov О.А., Nikitin N.V., Nikitin S.A. Convective interaction and instabilities in GAAS Czochralski model. J.Crystal Grtowth. Vol. 230. 2001. P.40-47.

59. Ginkin V.P., Folomeev V.I., Naumenko O.M., Papin Yu.M., Zharikov E.V. Computational and experimental study of thermal fields in Czochralski garnet crystal growth. J. Crystal Growth. Vol. 275 2005. P.el21-el28.

60. Hoshikawa Т., Taishi Т., Huang X., Uda S., Yamatani M., Shirasawa K., Hoshikawa K. Si multicrystals grown by the Czochralski method with multi-seeds. J. Crystal Growth. Vol. 307. 2007. P.466-471.

61. Бердников B.C., Филиппова M.B., КрасинБ.А., Непомнящих А.И. Численное моделирование теплофизических процессов при выращивании кристаллов мультикремния методом Бриджмена-Стокбаргера. Теплофизика и аэромеханика. 2006. № 2. Т. 12. С.275-293.

62. Попов В.Н., Кох А.Е., Кох К.А., Красин, Б.А.; Непомнящих А.И. Численное моделирование конвективных процессов при выращивании поликристаллического кремния методом Бриджмена в неосесимметрич-ном тепловом поле. Обнинск ФЭИ. 2005. Т. 3. С.603-611.

63. Степанова Н.Н., Теплоухов С.Г., Дубинин С.Ф., Акшенцев Ю.Н., Родионов Д.П., Пархоменко В.Д. Исследование структуры кристаллов Ni3Al и (Ni,Co)3Al, выращенных по методу Бриджмена. Физика металлов и металловедение. 2003. №6. Т. 96. С.84-91.

64. Plaza J.L., Dieguez Е. Influence of the growth rate on the segregation in manganese-doped gallium antimonide grown by the vertical Bridgman technique. J. Crystal Growth. V. 230. 1-2. 2001. P.181-187.

65. Бердников B.C., Филиппова M.B., Непомнящих А.И., Красин Б.А. Гидродинамика расплава и теплообмен при получении мультикремния методом Бриджмена. Обнинск ФЭИ. 2005. Т. 3. С.556-569.

66. Brown R., Kim D. Modeling of directional solidification: from Scheil to detailed numerical simulation. J. Crystal Growth. Vol. 109. 1991. P.50-65.

67. Chang C., Brown R. Radial segregation induced by natural convection and melt/solid interface shape in vertical Bridgman growth. J. Crystal Growth. Vol. 63. 1983. P.343-364.

68. Chang C., Brown R. Natural convection in steady solidification: finite element analysis of a two-phase Rayleigh-Benard problem in a cavity. J. Computer Physics. Vol. 53. 1984. P. 1-26.

69. Crochet M., Dupret F., Ryckmans Y., Geyling F., Monberg E. Numerical simulation of crystal growth in a vertical Bridgman furnace. J. Crystal Growth. Vol.97. 1989. P. 173-185.

70. Jasinski, Т., Witt, A. On control of the interface shape during growth in vertical Bridgman configuration. J. Crystal Growth. Vol. 71. 1985. P.295.

71. Kim D., Brown R. Models for convection and segregation in the growth of HgCdT e by the vertical Bridgman method. J. Crystal Growth. Vol. 96. 1989. P.609-627.

72. Kim K., Witt A., Gatos H. Crystal growth from the melt under destabilizing thermal gradients. J. Electrochemical Society. Vol. 119. 1972. P.1218-1226.

73. Kim K., Witt A., Lichtensteiger M., Gatos H. Quantitative analysis of the effects of destabilizing vertical thermal gradients on crystal growth and segregation: Ga-doped Ge. J. Electrochemical Society. Vol. 125. 1978. P.475-480.

74. Kuppurao S., Brandon S., Derby J. Modeling the vertical Bridgman growth of cadmium zinc telluride. I. Quasi-steady analysis of heat transfer and convection. J. Crystal Growth. Vol. 155. 1995. P.93-102.

75. Muller G., Neumann G., Weber W. Natural convection in vertical Bridgman configurations. J. Crystal Growth. Vol. 70. 1984. P.78-93.

76. Naumann R., Lehoczky S. Effect of variable thermal conductivity on isotherms in Bridgman growth. J. Crystal Growth. Vol. 61. 1983. P.707.

77. Sonda P., Yeckel A., Daoutidis P., Derby J.J. Improved radial segregation via the destabilizing vertical Bridgman configuration. J. Crystal Growth. Vol. 260. 2003. P.263-276.

78. Fu Т., Wilcox, W. Rate change transients in Bridgman-Stockbarger growth. J. Crystal Growth. Vol.51. 1981. P.557-567.

79. Rouzaud A., Camel D., Favier J.J. A comparative study of thermal and ther-mosolutal convective effects in vertical Bridgman crystal growth. J. Crystal Growth. Vol. 73, 1985. P.149-166.

80. Wang C.A., Witt A.F. Annual Report Materials Processing Center. Massachusetts Institute of Technology. 1984.

81. Adornato P., Brown R. Convection and segregation in directional solidification of dilute and non-dilute binary alloys: effects of ampoule and furnace design. J. Crystal Growth. Vol. 80. 1987. P.155-190.

82. Кривандина E.A., Жмурова З.И., Соболев Б.П. Об изменении примесного состава кристаллов LaF3 при выращивании методом Бриджмена-Стокбаргера. Кристаллография. 2001. Т. 46. N 4. С.756-758.

83. Garandet J.P. et al. Composition variations induced by g-jitter in Bridgman growth of Sn-Bi alloys in microgravity. J. Cryst. Growth. 2001. Vol. 226. N 4. P.543-554.

84. Bizet L., Duffar T. Contribution to the stability analysis of the dewetted Bridgman growth under microgravity conditions. Cryst. Res. and Technol. 2004. Vol. 39. N 6. P. 491-500.

85. Hurle Donald T.J. Crystal pulling from the Melt. Berlin: Springer-Verlag. 1993. P.145.

86. Kim, K.M. Suppression of thermal convection by transversal magnetic field. J. Electrochemical Society. Vol. 132. 1982. P.427-447.

87. Kim, D.H., Adornato, P.M., Brown, R.A. Effect of vertical magnetic field on convection and segregation in vertical Bridgman crystal growth. J. Crystal Growth. Vol. 89. 1988. P.339-356.

88. Yao M., Chait A., Fripp A. L., Debnam W.J. Magnetically damped convection and segregation in Bridgman growth of PbSnTe. J. Crystal Growth. Vol. 173. 1997. P.467-480.

89. Ma N., Walker J. S. A parametric study of segregation effects during vertical Bridgman crystal growth with an axial magnetic field. J. Crystal Growth. Vol. 208. 1-4. 2000. P.757-771.

90. Hirtz J. M, Ma N. Dopant transport during semiconductor crystal growth Axial versus transverse magnetic fields, J. Crystal Growth. Vol.210. 4. 2000. P.554-572.

91. Lan C.W., Lee I.F., Yeh B.C. Three-dimensional analysis of flow and segregation in vertical Bridgman crystal growth under axial and transversal magnetic fields. J. Crystal Growth. Vol. 254. 2003. P. 503-515.

92. Croell A., Dold P., Benz K.W. Segregation coefficient in Si floating zone crystal grown under microgravity and in a magnetic field. J. Crystal Growth. Vol. 137, 1994. P. 95.

93. Prange M., Wanschura M., Kuhlmann H.C., H.J. Rath. J. Linear stability of thermocapillary convection in cylindrical liquid bridges under axial magnetic fields. J. Fluid Mech. Vol. 394, 1999. P.281-302.

94. Любимова Т.П., Скуридин P.B., Файзрахманова И.С. Влияние магнитного поля на гистерезисные переходы в жидкой зоны. Письма в ЖТФ. Т.ЗЗ. № 17. 2007. С. 61-68.

95. Любимова Т.П., Файзрахманова И.С. Численное исследование влияния бегущего магнитного поля на тепло и массоперенос в жидкой зоне. Гидродинамика: Сб. науч. трудов. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та. 2004. Вып. 11. С. 173-190.

96. Lee Н., Pearlstein Arne J. Effect of steady ampoule rotation oln radial dopant segregation in vertical Bridgman growth of GaSe. J. Cryst. Growth. 2002. Vol. 240. N 3-4. P.581-602.

97. Juncheng Liu. Моделирование влияния параметров вращения тигля на сегрегацию растворенного вещества монокристалла. Jinshu xuebao. 2004. Vol. 40. N 9. Р.987-994.

98. Sonda P., Yeckel A., Daoutidis P., Derby J.J. Development of model-based control for Bridgman crystal growth. J. Cryst. Growth. 2004. Vol. 266. N 13. P.182-189.

99. Ozawa Т., Hayakawa Y., Balakrishnan K., Ohonishi F., Koyama Т., Kuma-gawa M. Growth of Inx.Ga[l-x]As bulk mixed crystals with a uniform composition by the rotational Bridgman method. J. Cryst. Growth. 2001. Vol. 229. P. 124-129.

100. Ozawa Т., Hayakawa Y., Balakrishnan K., Kumagawa M. Numerical simulation of effect of ampoule rotation for the growth of InGaSb by rotational Bridgman method. J. Cryst. Growth. 2002. Vol. 237-239. P. 1692-1696.

101. Sonda P., Yeckel A., Derby J.J., Daoutidis P. The feedback control of the vertical Bridgman crystal growth process by crucible rotation: two case studies. Comput. andChem. Eng. 2005. Vol. 29. N 4. P.887-896.

102. Lan C.W., Yang Y.W., Tu C.Y. Reversing radial segregation and suppressing morphological instability during vertical Bridgman crystal growth by rotation. J. Cryst. Growth. 2002. Vol. 235. N 1-4. P.619-625.

103. Lan C.W., Tu C.Y. Three-dimensional analysis of flow and segregation control by slow rotation for Bridgman crystal growth in microgravity. J. Cryst.

104. Growth. 2002. Vol. 237-239. P.1881-1885.

105. Sheel H.J. Flux growth of large crystals by accelerated crucible rotation technique. J. Cryst. Growth. 1971. Vol. 13. P.304-306.

106. Yeckel A., Doty F.P., Derby J.J. Effect of steady crucible rotation on segregation in high-pressure vertical Bridgman growth of cadmium zinc telluride. J. Cryst. Growth. 1999. Vol. 203. P.87-102.

107. Feigelson R.S. Preface to "50 Years of Progress in Crystal Growth". 2004 J. Crystal Growth. P.264 XI-XVI.

108. Feigelson R.S., Zharikov E.V. Investigation of the Crystal Growth of Dielectric Materials by the Bridgman Technique Using Vibrational Control, NASA Final Technical Report for #NAG8-1457-06. 2002.

109. Zawilski К.Т., Claudia М., Custodio С., DeMattei R.C., Feigelson R.S. Vi-broconvective mixing applied to vertical Bridgman growth. J. Cryst. Growth. 2003. Vol. 258. N 1-2. P. 211-222.

110. Zawilski K.T., Custodio C., DeMattei R.C., Feigelson R.S. Control of growth interface shape using vibroconvective stirring applied to vertical Bridgman growth. J. Cryst. Growth. 2005. Vol. 282. N 1-2. P.236-250.

111. Uspenskii V., Favier J.J. High frequence vibration and natural convection in Bridgman-sceme crystal growth. Int. J. Heat and Mass Transfer. 1994. Vol. 37. P.691-698.

112. LyubimovaT., Lyubimov D., RouxB. Final report on ESA-ESTEC Contract 15637/01/NL/SH "Theoretical Support Group for Vibrational Dynamics and Control". L3M IMT la Jetee Marseille. France. February 2004.

113. MullinV.V., SekerkaR.F. Stability of a planar interface during solidification of a dilute binary alloy. J. Applied Physics. 1964. Vol. 35. Issue 2. P.444-451.

114. BrattkusK. Directional solidification into static stability. J. Fluid Mech. 1995. Vol. 304. P.143-159.

115. Lan C.W., Tu C.Y. Morphological instability due to double diffusive convection in directional solidification: pit formation. J. Cryst. Growth. 2000. Vol. 220. P.619-630.

116. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Tcherepanov A.A., Roux В., Billia В., Nguyen-Thi H. Vibration influence on morphological instability of a solidification front. Intern. J. Microgravity Res. and Appl. 2005. Vol. 16. N 1. P.290-294.

117. ГершуниГ.З., Жуховицкий E.M., Тарунин E.JI. Численное исследование конвективного движения в замкнутой полости. Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. №5. С.56-62.

118. Lan C.W., Chen F.C. A finite volume method for solute segregation in directional solidification and comparison with a finite element method. Com-put. Methods Appl. Mech. Energ. 1996. V.131. P. 191-207.

119. Goldshtik M.A., Sapozhnikov V.A., Shtem V.N. Differential factorization method in problems of hydrodynamic stability / " Proc. GAMM Conf. Nu-mer. Methods in Fluid Mech.". Koln, DFVLR, 1975. P.52-59.

120. Гольдштик M.A., Штерн B.H. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосиб.: Наука. 1977. 366 с.

121. Лобов Н. И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Численные методы решения задач гидродинамической устойчивости. Учебное пособие. Пермь, ПГУ, 2003.

122. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

123. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989. 608 с.

124. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики. Новосибирск: Изд-во НГТУ. 1998. 120 с.

125. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности. Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2000. 70 с.

126. Интернет-сайт: http://www-users.cs.umn.edu/~saad/software/SPARSKIT/sparskit.html

127. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high-frequency vibrations. Europ. J,; Mech. B/Fluids. 1995. Vol. 14. N. 4. P.439-458.

128. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. 736 с.

129. Гадиятова Я.Н. Неустойчивость Бенара-Марангони в двухслойной системе с деформируемой границей раздела. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» Тез. Докладов. Пермь. 2004. С.22-23.

130. Гадиятова Я.Н., Любимова Т.П. Влияние термокапиллярного эффекта на устойчивость механического равновесия двухслойной системы. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» Тез. докладов. Пермь. 2005. С. 18-19.

131. Гадиятова Я.Н. Неустойчивость Релея-Бенара-Марангони в двухслойной системе с деформируемой границей раздела. Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тез. докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С.73.

132. Gadiyatova Ya.N., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. Onset of convection in a two-layer system with deformable interface in low gravity conditions. 36th COSPAR Scientific Assembly. Beijing. China. 2006. G0.1-0037-06.

133. Любимова Т.П., Паршакова Я.Н. Устойчивость равновесия двухслойной системы с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2007. № 5. С. 19-29.

134. Любимова Т.П., Паршакова Я.Н. Влияние вращательных вибраций на течения и тепломассообмен при выращивании кристаллов германия вертикальным методом Бриджмена. Вычисл. мех. сплоил, сред. 2008. Т. 1,№ 1. С.57-67.

135. Lyubimova Т.Р., Parshakova Ya.N. Vibration effect on morphological instability of crystal/melt interface in the directional solidification of binary al- * loys. АРМ 2008. XXXVI АРМ. Book of Abstracts. Saint-Petersburg. 2008. P.49.

136. Parshakova Ya.N., Lyubimova T.P., Lyubimov D.V. Vibration effect on the onset of convection in a two-layer system with a deformable interface. АРМ 2008. XXXVI АРМ. Book of Abstracts. Saint-Petersburg. 2008. P.5 8.