Корректность начально-краевых задач математических моделей гидравлического удара

Некрасова, Ирина Викторовна

Корректность начально-краевых задач математических моделей гидравлического удара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Некрасова, Ирина Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Белгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Корректность начально-краевых задач математических моделей гидравлического удара»

Автореферат диссертации на тему "Корректность начально-краевых задач математических моделей гидравлического удара"

На правах рукописи ^¿¿Ср*

Некрасова Ирина Викторовна

КОРРЕКТНОСТЬ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО УДАРА

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

19 Ш 2014

Белгород - 2014

005549906

Работа выполнена на кафедре математического анализа ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Научный руководитель:

Мейрманов Анварбек Мукатович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет», профессор кафедры математического анализа Официальные оппоненты:

Розанова Ольга Сергеевна, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова», профессор кафедры дифференциальных уравнений

Цыпкин Георгий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор ФГБУН «Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН», лаборатория механики сложных жидкостей, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация:

ФГАОУ ВПО Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Защита диссертации состоится 19 июня 2014 г. в 16 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» и на сайте library@bsu.edu.ru.

Автореферат разослан « /6 » мая 2014 года

Ученый секретарь Гриценко Светлана

диссертационного совета Д 212.015.08 у/¿¿¿¿л, Александровна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В настоящей работе исследуется корректность начально-краевых задач макроскопических математических моделей распределения поля давления в пласте вблизи скважины в процессе гидравлического удара. Доказательство корректности указанных моделей основано на строгом усреднении точных уравнений, описывающих на микроскопическом уровне совместное движение твердого скелета грунта и вязкой жидкости, заполняющей поры в грунте.

Задача математического моделирования фильтрации подземных жидкостей актуальна как в научном, так и практическом аспекте. Как правило, процессы фильтрации являются очень медленными процессами, в которых характерными временами являются месяцы. Общепринятые математические модели фильтрации жидкостей базируются на феноменологическом законе Дарси, определяющим связь между давлением жидкости и ее скоростью.

В тоже время есть задачи фильтрации, в которых процессы длятся доли секунд. Например, гидравлический удар в нефтяной скважине. Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления в некоторой системе, включающей, например, трубы, трещины и поры, заполненной жидкостью, вызывающее микроразрывы нефтяного пласта.

В настоящее время существуют инженерные модели этого процесса, косвенно связанные с фундаментальными законами механики сплошных сред1,2'3. В работе Т.Т. Гарипова4 была предложена модель распространения трещин в пороупругой среде, в которой динамика жидкости описывается уравнением Дарси. Для последнего уравнения, как мы отмечали, характерное время на порядки превышает время описываемого процесса.

1Adach¡ J.I., Detournay Е., Peirce А.P. Analysis of the classical pseudo-3D model for hydraulic fracture with equilibrium height growth across stress barriers //Int. J. of Rock Mechanics and Mining Sciences (2010) V. 47, 625 - 630.

2Kovalyshen Y., Detournay E. A Reexamination of the Classical PKNModel of Hydraulic Fracture //Transp. Porous Med. (2010) V. 81, 317 - 339.

3Liang Weiguoab, Zhao Yangshenga, A mathematical model for solid liquid and mass transfer coupling and numerical simulation for hydraulic fracture in rock salt //Progress in Natural Science (2005) V. 15, Issue 8, 742 - 748.

4Гарипов Т.Т. Моделирование процесса гидроразрыва пласта в пороупругой среде //Мат. Моделирование, (2006), т. 18, No. 6, 53-69.

Задаче о движении жидкости в пористой среде посвящено большое количество работ российских и зарубежных авторов: М. Био, К. фон Терцаги, Р. Барриджа и Дж. Келлера, Э. Санчес-Паленсии, Т. Леви, A.M. Мейрманова, A.JI. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева, Дж. Бьюкенена, Ж. Лина, М. Бакингема, Т. Клопиу, Ж. Ферри, Р. Гилберта, А. Микелича, Л. Паоли, Г. Нгуетсенга, Ж. Санчес-Хьюберта.

В настоящей диссертации предлагается доказательство корректности новых макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте, основанное на точном анализе параметров соответствующей математической модели на микроскопическом уровне (базовой модели), с последующим усреднением дифференциальных уравнений модели.

Автор следует естественной идее, предложенной Р. Барриджем и Дж. Келлером5, сначала описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели с помощью методов теории усреднения. Базовая модель не вызывает сомнений и является общепринятой. Следовательно, все ее строго обоснованные подмодели (в том числе и усредненные уравнения) будут востребованы для будущих практических приложений.

5Burridge R. and Keller J.B. Poroelasticity equations derived from microstructure //Journal of Acoustic Society of America, V. 70, No. 4, (1981) 1140 - 1146.

жидкости, упругие постоянные твердого скелета, характерный размер рассматриваемой области L, характерное время физического процесса т и т.п.) и естественный малый параметр. Считая безразмерные коэффициенты уравнений функциями данного малого параметра и меняя физические величины в пределах применимости математической модели можно определить закономерности в поведении безразмерных коэффициентов. Последние подскажут выбор усредненной модели, близкой к базовой модели. Здесь необходим наиболее полный набор возможных усредненных уравнений, поскольку различные предельные режимы соответствуют различным физическим ситуациям, предугадать которые заранее невозможно.

Вывод усредненных уравнений основан на систематическом применении метода двухмасштабной сходимости, идея которого впервые была введена в 1989 году Г. Нгуетсенгом6. Понятие двухмасштабной сходимости развивает понятие слабой сходимости. При этом двухмас-штабный предел последовательности функций зависит от двух групп переменных: медленные и быстрые переменные. В дальнейшем эта идея разрабатывалась в работах Г. Аллэира7, В.В. Жикова8, A.M. Мейрманова9 и других авторов.

Цель работы. Основной целью работы является доказательство корректности новых макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте.

Общая методика исследования. В работе используются классические методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных и методы теории усреднения, в первую очередь метод двухмасштабной сходимости Г. Нгуетсенга.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Среди наиболее важных отметим следующие:

1. Доказано существование обобщенного решения начально-краевой задачи для системы линейных уравнений, описывающей на микро-

6Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization// SIAM J. Math. Anal. - 1989. V. 20. - P. 60S-623.

7Allaire G. Homogenization and two-scale convergence //SIAM J. Math. Anal. - 1992. - V. 23. -P. 1482-1518.

8Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости// Матем. сб. - 2000. Т.191. .V7. С.31 - 72.

9Мейрманов A.M. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмоакустики в упругих пористых средах// Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48, -NÍ3. - С. 645 - 667.

скопическом уровне совместное движение упругого пористого тела и жидкости, заполняющей поры, названной в работе моделью Mi;

2. Доказана сходимость решений системы уравнений модели Mi, на основе анализа ее параметров, к решениям усредненных систем уравнений при стремлении малого параметра усреднения к нулю;

3. Получены математические модели гидравлического удара, на основе строгого усреднения модели, описывающей физический процесс на микроскопическом уровне;

4. Доказана однозначная разрешимость трех макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории усреднения дифференциальных уравнений и математическом моделировании быстротекущих процессов фильтрации в подземных грунтах.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на VIII школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Хабез, 2010), Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXI» (Воронеж, 2010), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011, 2013), на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (Белгород 2011), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород 2013), а также на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора А.П. Солдатова (Белгородский государственный университет, 2013, 2014).

Публикации. Основные научные результаты, вошедшие в диссертацию, отражены в работах [1] - [14] из списка публикаций автора по теме диссертации. Из них статьи [3], [5], [6], [8], [11], [14] опубликованы в рецензируемых научных изданиях. В совместных с научным руководителем A.M. Мейрмановым работах [3], [9], [14] руководителю принадлежат постановка задач, выбор методик исследования и общее руководство работой, а соискателю - реализация указанных методик.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, списка литературы, включающего 42 наименования, и изложена на 130 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, формулируются основные результаты диссертации.

В предложенной работе изучается линеаризованная модель совместного движения упругого пористого тела и вязкой несжимаемой жидкости. Рассмотрен упругий пористый скелет, занимающий ограниченную область <5. Поры полностью насыщены вязкой несжимаемой жидкостью. В пористом скелете имеет место полое включение - цилиндрическое отверстие, заполненное той же самой жидкостью, что и поры - область По-

Область С) лежит в полупространстве {хз < 0}. Ее граница 5 состоит из двух частей: 51 лежит в плоскости {хз = 0}, остальная часть границы 52 = - гладкая поверхность класса С2, вблизи плоскости {хз = 0}

заданная уравнением Ф(Х1,Х2) = 0.

Область Г2 является подобластью С}, такой что дополнение П в <5 есть цилиндр Г2 = {ж е Д3| х\ + х\ ^ 52 < 1, х2) < х3 < 0}

Ставится задача усреднения точной модели при стремлении малого параметра к нулю.

Для фиксированного г > 0 совместное движение твердого скелета и жидкости, заполняющей поры, в области Пт в безразмерных переменных описывается системой

V ■ иг = 0, (1)

£ГЙТ^=У-Р, (2)

Р = х*ацв(х, ^р) + (1 - Х->лО(Ж, у,') - Vе I. (3)

Дифференциальные уравнения (1) - (3) означают, что скорость V = дги/дЬ удовлетворяет уравнениям Стокса в поровом пространстве Г2/, а вектор перемещений ги удовлетворяет уравнениям Ламэ в твердом скелете

В области движение жидкости описывается системой Стокса, состоящей из уравнения неразрывности (1) и уравнения баланса

импульса

d2wE n

= P°, (4)

= -pFL (5)

На общей границе 5° = 9П П ЭП°, а также на границе Г£ «твердый скелет - поровое пространство» выполнены условия непрерывности перемещений и нормальных напряжений

lirri w(x,t) = lim w(x,t), (6)

Iii!0 x € il

lim P°(x,t)-n(x°) = lim P(x,t)-n(x°), (7)

X — X° X —• x°

x € n° x Ç n

На части S1 границы S задано нормальное напряжение

«Р°(х, t) + (1 - C)P(œ, t)) • е3 = -р0(х, t)e3, (8)

где pо(х, t) есть импульс, определяющий гидравлический удар. На оставшейся части внешней границы S2 выполняется условие

ws(x,t)= 0 при i>0. (9)

Задача замыкается однородными начальными условиями

w£(x, 0) = 0, 0) = о, ж G Q. (10)

Здесь we(x, t) - вектор перемещения сплошной среды, рг(x, t) - давление в сплошной среде, D(îc, w) - симметрическая часть градиента вектора w (тензор напряжений), I - единичная матрица, хЕ(х) ~ характеристическая функция порового пространства,

= х£ ду + (1 - хЕ)в1,

_ _ 2рт _ 2Ат2

т2д м Ь2р0 Ь2р0

д - ускорение свободного падения, р - вязкость жидкости, Л - упругая постоянная Ламэ.

Учитывая предположение о характере рассматриваемого физического процесса, считаем, что ат = 1.

Точную модель (1) - (10) будем называть далее моделью Мь

Поскольку задача усреднения практически невыполнима для произвольной области, вводится предположение о периодичности порового пространства.

Предположение 1. 1) Область Ys есть «твердая часть» единичного куба Y = (0,1)3 С М3. Его «жидкая» часть Yf есть открытое дополнение Ys в Y. Граница 7 = dYj f| dYs есть липшицева поверхность.

2) Поровое пространство Щ и твердый скелет il's представляют собой периодическое повторение в области Q элементарных ячеек eYf и eYs соответственно. Граница Г£ = дЩ П 8Qу есть периодическое повторение в П границы £7.

3) Поровое пространство П^- и твердый скелет Щ являются связными множествами, граница Г£ - связная липшицева поверхность.

В качестве параметра усреднения е модели выступает величина, равная отношению среднего размера пор I к размеру L рассматриваемой области: е = 1/L. Безразмерные параметры ац и ад зависят от малого параметра задачи г.

Пусть существуют конечные или бесконечные пределы:

ИтаДе) = ц0, Итад^) = А0, Нт^ = ци lim^ = Аь

е\0 е\0 Е\0 £г е\0 £г

Целью настоящей работы является нахождение всевозможных предельных режимов (усредненных уравнений) и соответствующих начальных и краевых условий.

Первая глава содержит предварительные теоретические сведения, необходимые для изложения материала (в частности, метод двух-масштабной сходимости, теоремы вложения, лемму о продолжении, граничные свойства функций, заданных на периодических множествах).

В первом параграфе второй главы исследуется разрешимость базовой модели Мь Определяется понятие обобщенного решения задачи. Теорема 2.1 посвящена выводу равномерных по параметру е оценок решений.

В параграфах §2 - §5 второй главы получены уравнения модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и экстремально упругом скелете, то есть при условии fi0 = А0 = 0 и различных условиях на параметры ¡л\ и Ai:

ц i=Ai=oo, (11)

О ^ Ни Ai < оо, (12)

/xi = оо, 0 < Ai < оо, (13)

Ai = со, 0 ^ /xi < оо. (14)

В случаях (13), (14) оценки на градиент перемещения различны в жидкой и твердой фазах. Чтобы сохранить лучшие свойства решения мы продолжаем поле перемещений из выбранной компоненты (жидкой или твердой) на всю область.

Пусть и£ = EQj(m;£), где Qy = Q\Ties и

Eq^ : W\(Qj) - Wl(Q) есть оператор продолжения из Qy на Q, так что u£ = we в QEf х (О, Г),

[ \uE\2dx < Со [ \w£\2dx, JQ JQf

[ \B(x,u€)\2dx [ p{x,we)\2dx, JQ JQ)

(более подробно о таком продолжении см. работу С. Сопса 10).

Теорема 1. Пусть выполнено условие (11) и функции {ре, Vе} являются обобщенным решением задачи (1) - (10). Тогда из последовательности параметров {е > 0} можно выделить подпоследовательность, такую что при е \ 0 последовательность {рЕ} сходится слабо в L>2(Qt) к решению p(x,t) 6 \V2' (Qt) следующей смешанной краевой задачи для строго эллиптического уравнения:

V-(^yVp) =0, xGQ, i >0, (15)

р (х, t) = ро(х, t), х е S1, t > О, (16)

Vp (х, t) ■ п(х) = О, X е S2, t > О, (17)

где п(х) - вектор нормали к поверхности S2 в точке х,

в(х) = (си + (1 - С(х))т)в/ + (1 - С(*))(1 - ш)ва.

10Сопса С. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics //J. math, pures et appl. - 1985. - 64. - P.31-75.

Теорема 2. Пусть выполнено условие (12) и функции {ре, Vе} являются обобщенным решением задачи (1) - (10). Тогда из последовательности параметров {£ > 0} можно выделить подпоследовательность, такую что последовательность сходится слабо в ¿2(<3г) при г стремящемся к нулю к решению р{х,Ь) € ^'"(Фг) смешанной краевой задачи, состоящей из краевого условия (16) на части б*1 границы Б, краевого условия

— т) • Vр(х, т) ¿т^ - тг(х) = 0 (18)

па оставшейся части 52 и усредненного уравнения

V- в(ж,г-т) • Ур(ж,т)сгг) = о, (19)

Матрица В(ж,£) определена решениями периодических начально-краевых задач па ячейке У.

Теорема 3. Пусть выполнено условие (13) и и)^ = Едг (иг).

Тогда существует подпоследовательность от малого параметра {е > 0}, такая что последовательности {р£}, {(1 —£)(1— хе)дгЬЕ/дЬ}, {дгЬудЬ} и {д-ъи^/д^} сходятся при £ \ 0 слабо в ¿2(<3т) и ^(От) к функциям р £ ^г^ССг), дю^/дЬ, <Эгоу/<9£ и д2'иЗ]1дЬг' соответственно. Предельные функции удовлетворяют в области (¿т системе усредненных уравнений, состоящей из уравнения неразрывности

V • V = 0, (20)

где

С Г1„ , ^ „ диз,

« = -— / Ур(х,т)(1т+ 1-0 т—/ + -Д— ,

в/ Jo дг дг

закона сохранения импульса

(1-е){тв;-^-+ вэ-^ + у Чр(х,т)с1т) = 0, (21)

для жидкой компоненты, и соотношения

(1-С)(/ В,(оо,Л1; Ь-т)-{Ур{х,т) + ва^-{х,т))йг) (22)

для твердой компоненты при Х\ > 0 или усредненного закона сохранения количества движения твердой компоненты в виде

в случае А1 = О.

Уравнения (20) - (23) дополняются начальными и граничными условиями

В уравнениях (22), (23) матрицы ВДоо, Ль £) и В5(оо, 0; определены решениями периодических начально-краевых задач на ячейке У, постоянная матрица ВЦоо, 0; ¿) = В5(оо, 0) строго положительно определена.

Теорема 4. Пусть выполнено условие (Ц) и хи1 = Е^иг).

Тогда существует подпоследовательность, выделенная из последовательности параметров {г > 0}, такая что последовательности {ре}, {хЕдте/д1}, {(1 - С)<Эг^/<%} и {(1 - ^д^/д?} сходятся при е \ 0 слабо в £2(<Зг) и Ь2((2т) к функциям р е дш^/дг, дма^Ы

и соответственно. Предельные функции удовлетворяют в

области СЦт систелге усредненных уравнений, состоящей из уравнения неразрывности

т{11\х,()) = 'и>/(х,0) = 0, р(х, г) = р0(х, г), хе Б1, г > о, v{x1 V) ■ п{х) = 0, X е Б2, г > о,

(24)

(25)

(26)

V • V = 0,

(27)

С Г

V =--/ V р(х,т)

0/ Jo

закона сохранения импульса

С дгаУ) д™

закона сохранения импульса

ЗюШ дги Г1

+ -тп)вз-^+ у Чр(х,т)<1т) =0,

(28)

для твердой компоненты, и соотношения

(1 - С) ( ЩЫ, оо; I - Т) ■ (Ур (х, т) + (29)

для жидкой компоненты при > 0 или усредненного закона сохранения количества движения жидкой компоненты в виде

в случае = О.

Уравнения (27) - (30) дополняются условиями (24) - (26). Матрица В/(0, оо;^ =Ву(0, оо) строго положительно определена.

В третьей главе проводится усреднение модели М[ для случая вязкой жидкости и сильно эластичного твердого скелета: О < /¿о < оо, Ао = 0.

Теорема 5. Пусть {иг, рЕ} - слабое решение задачи (1) - (10), Х\ = оо иь^Ещ^юС/дЬ). Тогда

1) существует подпоследовательность, выделенная из последовательности параметров {е > 0}, такая что последовательность {йу-} сходится слабо в к функции иу, последовательности {<9иг/с>£} и {р£} сходятся слабо в 1/2(<?г) и ХгСОг) к функциям V = дю/дЬ = V/ и р соответственно;

2) предельные функции V/ и р есть решение системы усредненных уравнений в области С}т:

д^хн

В/(0, оо; + (т1 - %(°>Ш-^р) (30)

V • V/ = О,

(31)

(32)

дополненных начальными и краевыми условиями

Ц-е3 = -Ро(х, *)е3, ж € 51, г € (О, Т), у}{х,£) = 0, х € 52, г 6 (О, Г), ь/(х, 0) = 0, X е <5;

(33)

(34)

(35)

3) задача (31) - (35) имеет единственное решение.

В уравнении (32) постоянный тензор четвертого ранга метричен и строго положительно определен.

сим-

Теорема 6. Пусть {«J-, ре} - слабое решение задачи (1) - (10), О < Ai < оо и vj = ЕQ.(dws/dt). Тогда

1) существует подпоследовательность, выделенная из последовательности параметров {е > 0}, такая что при £ \ 0 последовательность {г)у} сходится слабо в W2' (Qt) к функции Vf, последо-

дЩ дд'

вательности {«»}, {"¿jf }> {Р£} и где

vi = (1 - 0(i - xe)^f, Pt = (i - C)(i - х-1Ре,

сходятся слабо в L2(Qt) и LziQr) к функциям ^ и

(1 — С)(1 — m)Ps соответственно;

2) предельные функции v¡, vр и ps есть решение систелш усредненных уравнений в области Qt, состоящей из уравнения неразрывности

V • ((С + (1 - Оm)vf + u(s)) = 0, (36)

закона сохранения импульса

0/(C + m(l-O)^ + ^(l-O^ = V-P' (37)

^ = А*о(СП>(а:,«/) + (1-С)^ :П>(*.«/)) - (Ср + (I - ОPs)l для жидкой компоненты, соотношения

(1 - О f в«(с», Ах; t - т) ■ (Vps(x, т) + т))йт =

{l-Q(v^-{l-m)vf) (38)

для твердой компоненты среды при Ai > 0 или усредненного закона сохранения количества двиэюения твердой компоненты в виде

-(l-OBW(oo,0).(Vp. + i.^) (39)

в случае Ai = 0.

Уравнения (36) - (39) дополняются краевыми и начальным условиями (33) - (35) и краевым условиель

«(s)-n = 0, s€S2, ¿£(0,Г). (40)

В уравнении (37) постоянный тензор четвертого ранга 9t{ симметричен и строго положительно определен.

В четвертой главе рассмотрена симметричная ситуация. Получены усредненные уравнения модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и эластичном упругом скелете: 0 < Ао < оо, ро — 0.

Для функции IVе существует продолжение и£ = Епг(адг).

Последовательность {гг} сходится слабо в °((?г) к функции и, последовательности {ди)Е/дЬ} " {рЕ} сходятся слабо в Ь2(<3т) и Ь2(<Эт) к функциям V = диз/дЬ и р соответственно.

Предельные функции V, и и р удовлетворяют в области <2г системе усредненных уравнений, которыми являются анизотропные уравнения Ламэ для перемещения твердой компоненты, связанные с двумя различными типами неклассических уравнений для скорости жидкой компоненты, описывающими двухскоростной континуум (О ^ Цг < оо) или анизотропные уравнения Ламэ для односкоростного континуума (/= оо).

В случае р\ = оо полученная начально-краевая задача имеет единственное решение.

В пятой главе проводится усреднение модели М: для случая вязкой жидкости и эластичного твердого скелета

О < А0, ра < оо.

В результате получена односкоростная модель, представляющая собой начально-краевую задачу для нестационарной модели Стокса. Полученная начально-краевая задача однозначно разрешима.

Усредненные модели свободны от быстро осциллирующих коэффициентов, что делает их пригодными для численных расчетов.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность и сердечную признательность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анварбеку Мукатовичу Мейрманову.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Некрасова И.В. Об одной модели гидравлического удара в теории фильтрации жидкости/'/ Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXI»,— Воронеж: ВГУ. - 2010. - С. 158-159.

[2] Некрасова И.В. Моделирование быстропротекающих процессов при фильтрации несжимаемых жидкостей//Материалы VIII школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик-Хабез: КБНЦ РАН. - 2010. - С. 74-7G.

[3] Гриценко С.А., Некрасова И.В. О методе фиктивных областей для периодической начально-краевой задачи для уравнений Стокса// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2010. -№17(88). - Выпуск 20. - С. 29 - 37.

[4] Некрасова И.В. Математические модели гидравлического удара в пористой среде// материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы».

- Воронеж: ВГУ. - 2011. - С. 239 - 240.

[5] Некрасова И.В. Моделирование быстропротекающих процессов фильтрации несжимаемой жидкости через усреднение периодических структур: односкоростной континуум// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2011. - № 23(94). - Выпуск 21. - С. 75 - 88.

[6] Некрасова И.В. Моделирование быстропротекающих процессов фильтрации несжимаемой жидкости через усреднение периодических структур: двухскоростной континуум// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2011. - № 5(100). - Выпуск 22. - С. 75 - 87.

[7] Некрасова И.В. Две модели гидравлического удара в нефтяном пласте// Материалы Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел». Белгород. - НИУ «БелГУ», 2011. - С. 87.

[8] Некрасова И.В. Некоторые модели гидравлического удара в нефтяном пласте// Сибирский журнал индустриальной математики. -июль-сентябрь, 2011. - Т. XIV. - № 3(47). - С. 79 - 86.

[9] Мейрманов А.М., Некрасова И.В. Математические модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости// Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - №5. - С. 112 - 130.

[10] Некрасова И.В. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости// Сибирские электронные математические известия.

- 2012. - Т. 9. - С. 274 - 293. - http://semr.math.nsc.ru/v9/p227-246.pdf.

[11] Некрасова И.В. О корректности математических моделей гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и пороупругом

скелете// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. -2012. - № 5(124). - Выпуск 2G. - С. 129-146.

[12] Некрасова И.В. Математическая модель гидравлического удара в вязкой жидкости и эластичном твердом скелете// материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж: ВГУ. - 2013. - С. 161.

[13] Некрасова И.В. Математическая модель гидравлического удара в пласте вблизи скважины// Материалы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Белгород. - НИУ «БелГУ», 2013. - С. 137.

[14] Mcirmanov A.M., Nekrasova I.V. Mathematical models of a hydraulic shock// Journal of Mathematical Analysis and Applications. - Volume 408. - Issue 1. - 2013. - P. 76-90.

Подписано в печать 18.04.2014. Формат 60х84;16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 101. Оригинал-макет тиражирован в 11Д «Белгород» НИУ «БелГУ» 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Некрасова, Ирина Викторовна, Белгород

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Белгородский государственный национальный исследовательский

университет»

04201459403 На правах рукописи

Некрасова Ирина Викторовна

КОРРЕКТНОСТЬ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО УДАРА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Научный руководитель: доктор физико-математических паук, профессор

Мейрманов Апварбск Мукатович

Белгород - 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ......................................................... 3

Глава 1. Предварительные сведения ............................20

Глава 2. Математические модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и экстремально упругом скелете ........32

§1. Постановка задачи ...........................................32

§2. Основные результаты ........................................40

§3. Доказательство теоремы 2.2 .................................44

§4. Доказательство теоремы 2.3 .................................47

§5. Доказательство теоремы 2.4 .................................59

§0. Доказательство теоремы 2.5 .................................68

Глава 3. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости и экстремально упругом скелете ..............73

§1. Основные результаты ........................................73

§2. Доказательство теоремы 3.1 .................................75

§3. Доказательство теоремы 3.2 .................................87

Глава 4. Математические модели гидравлического .удара в слабо вязкой жидкости и эластичном твердом скелете ..........94

§1. Основные результаты ........................................94

§2. Доказательство теоремы 3.1 .................................96

§3. Доказательство теоремы 3.2 ................................102

Глава 5. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости и эластичном твердом скелете................109

§1. Основные результаты.......................................109

§2. Доказательство теоремы 5.1 ................................110

Список литературы ............................................124

Введение

Актуальность темы.

В настоящей работе исследуется корректность макроскопических математических моделей распределения ноля давления в пласте вблизи скважины в процессе гидравлического удара. Доказательство корректности указанных моделей основано па строгом усреднении точных уравнений, описывающих на микроскопическом уровне совместное движение твердого скелета грунта и вязкой жидкости, заполняющей поры в грунте.

Как правило, процессы фильтрации являются очень медленными процессами, в которых характерными временами являются месяцы. Общепринятые математические модели фильтрации жидкостей базируются на феноменологическом законе Дарси, определяющим связь между давлением жидкости и се скоростью.

В настоящее время существуют инженерные модели этого процесса, косвенно связанные с фундаментальными законами механики сплошных сред [1], [2], [3j. В работе Т.Т. Гарипова [4] была предложена модель распространения трещин в пороупругой среде, в которой динамика жидкости описывается уравнением Дарси. Для последнего уравнения. как мы отмечали, характерное время па порядки превышает время описываемого процесса.

Задаче о движении жидкости в пористой среде посвящено большое количество работ российских и зарубежных авторов: М. Био |6]. К. фон Терцаги [7J, Р. Барриджа и Дж. Келлера [5], Э. Санчес-Паленсии, Т. Лови [9]. A.M. Мейрманова [10]-[16], А.Л. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева [17], Дж. Быокенсна [18], Ж. Лина, М. Бакингема [19], Т. Клопиу, Ж. Ферри, Р. Гилберта, А. Микелича [20], Л. Наоли, Г. Нгуетсенга, Ж. Санчес-Хыоберта [21].

В настоящей диссертации предлагается доказательство корректности новых макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте, основанное па точном анализе параметров соответствующей математической модели на микроскопическом уровне (базовая модель), описывающей движение жидкости в порах упругого скелета грунта, с последующим усреднением дифференциальных уравнений микроскопической модели.

Автор следует естественной идее, предложенной Р. Барриджем и Дж. Келлером [5], сначала описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели с помощью методов теории усреднения. Базовая модель не вызывает сомнений и является общепринятой. Следовательно, все ее строго обоснованные подмодели (в том числе и усредненные уравнения) будут востребованы для будущих практических приложений.

В настоящей работе рассмотрена только небольшая часть всех возможных предельных ситуаций (усредненных уравнений). Очевидно, что нахождение всевозможных корректных математических моделей, асимптотически аппроксимирующих базовую модель, является важной и интересной задачей как с математической так и с практической точек зрения. Вообще говоря, при решении реальных физических задач не предполагается осуществления каких-либо предельных переходов. В то же время решение системы микроскопических уравнений, наиболее точно отражающих рассматриваемый физический процесс практически нереально, поскольку коэффициенты системы осциллируют па масштабе в 10-15 микрон. С другой стороны, в распоряжении исследователя имеются конкретные физические постоянные (плотность среды, вязкость жидкости, упругие постоянные твердого скелета, характерный размер рассматриваемой области Ь. характерное время физического процесса г и т.п.) и естественный малый параметр. Считая безразмерные коэффициенты уравнений функциями данного малого параметра и меняя физические величины в пределах применимости математической модели, можно определить закономерности в поведении безразмерных

коэффициентов. Последние подскажут выбор усредненной модели, близкой к базовой модели. Здесь необходим наиболее полный набор возможных усредненных уравнений, поскольку различные предельные режимы соответствуют различным физическим ситуациям, предугадать которые заранее невозможно.

В настоящее время вопросам усреднения многомерных сильно неоднородных сред посвящена большая математическая литература. Теории усреднения дифференциальных операторов посвящена монография В.В. Жикова, С.М. Козлова, O.A. Олейпик [22]. Задачи усреднения уравнений теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях с различными краевыми условиями исследованы в монографии O.A. Олейпик, Г.А. Иосифьяна, A.C. Шамаева [23]. Имеется еще целый ряд монографий, посвященных усреднению многомерных сильно неоднородных сред. Это книги В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова [24], А. Бенсусапа, Ж.-Л. Лиопса, Д. Папапиколау [25], Ж.-Л. Лиоиса [26], Э. Санчес-Паленсии [8], П.С. Бахвалова, Г.П. Папасепко [27], AJ1. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева [17).

Вывод усредненных уравнений основан на систематическом применении метода двухмасштабной сходимости, идея которого впервые была введена в 1989 году Г. Нгуетсенгом ¡28], [29]. Понятие двухмасштабной сходимости развивает понятие слабой сходимости. При этом двухмастптабпый предел последовательности функций зависит от двух групп переменных: медленные и быстрые переменные. В дальнейшем эта идея разрабатывалась в работах Г. Аллэира [30], В.В. Жикова [31], A.M. Мсйрманова [10] и других авторов.

Цель работы. Основной целыо работы является доказательство корректности новых макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, явля-

ются новыми. Среди наиболее важных отметим следующие:

1. Доказано существование обобщенного решения начально-краевой задачи для системы линейных уравнений, описывающей на микроскопическом уровне совместное движение упругого пористого тела и жидкости, заполняющей поры, названной в работе моделью

Mi;

3. Получены математические модели гидравлического удара, па основе строгого усреднения модели, описывающей физический процесс на микроскопическом уровне:

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в пей результаты могут быть использованы в теории усреднения дифференциальных уравнений и математическом моделировании быстротекущих процессов фильтрации в подземных грунтах.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались па VIII школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Хабез. 2010). Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXI» (Воронеж, 2010), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011, 2013), на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (Белгород 2011), на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора А.П. Солдатова и профессора A.M. Мейрманова (Белгородский государственный университет, 2012, 2013), а также па Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород 2013).

Публикации. Основные научные результаты, вошедшие в диссертацию. отражены в работах [1] [14] из списка публикаций автора по

теме диссертации. Из них статьи [3], [5|, [6|, [8], [11], [14] опубликованы в рецензируемых научных изданиях. В совместных с научным руководителем A.M. Мейрмановым работах [3], [9], [14] руководителю принадлежат постановка задач, выбор методик исследования и общее руководство работой, а соискателю - реализация указанных методик.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дан краткий обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава содержит предварительные теоретические сведения, необходимые для изложения материала (в частности, метод двухмасштабной сходимости, теоремы вложения, лемму о продолжении, граничные свойства функций, заданных на периодических множествах).

Во второй главе исследуется разрешимость базовой модели. Определяется понятие обобщенного решения задачи. Получены равномерные по параметру е оценки решения. Проводится усреднение точной модели для случая слабо вязкой жидкости и экстремально упругого скелета.

В персом параграфе второй главы ставится задача усреднения точной модели при стремлении малого параметра к нулю.

В предложенной работе изучается линеаризованная модель совместного движения упругого пористого тела и вязкой несжимаемой жидкости. А именно, рассмотрен упругий пористый скелет, занимающий ограниченную область. 11оры полностью насыщены вязкой несжимаемой жидкостью. В пористом скелете имеет место полое включение цилиндрическое отверстие, заполненное той же самой жидкостью, что и поры.

Рассматриваемая область Q лежит в полупространстве {гс3 < 0}. Ее граница S состоит из двух частей: 51 лежит в плоскости {х3 = 0},

остальная часть границы Б'2 — 5'\31 есть гладкая поверхность класса С2, вблизи плоскости {х% = 0} заданная уравнением Ф(х1,х2) = 0.

Область О, есть подобласть С], такая что дополнение О, в есть цилиндр = {х <Е М3| х\ + х\ ^ 82 < 1, (ро(х1,х2) < х3 < 0}.

При этом представляет собой объединение порового пространства твердого скелета и их общей границы Г — Области

£2/ и являются связными непересекающимися множествами. Поверхность Г является липптицевой.

Поскольку задача усреднения практически невыполнима для совершенно произвольной области, обычно вводится упрощающее допущение относительно геометрии области. В данном случае это предположение о периодичности порового пространства.

В качестве параметра усреднения £ модели выступает величина. равная отношению среднего размера пор I к размеру Ь рассматриваемой области: е = I/Ь.

Для фиксированного £ > 0 совместное движение твердого скелета и жидкости, заполняющей поры, в области {1? и безразмерных переменных описывается системой

У-к/ = 0, (0.1)

дГ~

-V.jp, (0.2)

Р - гЧ®^ Ь(1- х£)алВ(х. и/) - ;г Е. (0.

В области движение жидкости описывается системой Стокса, состоящей из уравнения неразрывности (0.1) и уравнения баланса

импульса

(0.4)

ро = -/][. (0.5)

На общей границе Б0 = дО, П <9Г2°, а также на границе Г" «твердый скелет - норовое пространство» выполнены условия непрерывности

перемещении и нормальных напряжении

lim w(x.t) — lim w(x.t), (0.6)

x — г" г —•

х е fin х е П

lim Р°{x,t) ■ п{х°) = lim Р(ж, t) ■ п(ж°), (0.7)

a- fe S2° а' € <г

где п(х°) вектор нормали к соответствующей границе в точке ж0. На части S1 границы S задано нормальное напряжение

(СР°(®, о + (1 - СЖ*> 0) • ез - -ро(®, Оез, (0.8)

ГДР- Ро(^Д) ^сть импульс, определяющий гидравлический удар. На оставшейся части внешней границы S2 выполняется условие

ws(x,t)^ 0 при / > 0. (0.9)

Задача замыкаеггся однородными начальными условиями

dw£

w£(x. 0) - 0, 0) = 0. же Q. (0.10)

Здесь

6е = XPi + (1 - Г)А,

Здесь ws(x,t) - вектор перемещения сплошной среды, p£(x,t) - давление в сплошной среде. Р(ж.w) симметрическая часть градиента вектора w (тензор напряжений), 11 единичная матрица, р/ и p.s средние безразмерные плотности жидкой и твердой фаз (отнесенные к плотности воды р$) соответственно. Характеристическая функция норового пространства определяется равенством

хЧх) =

где Хо{х) р(;ть характеристическая функция области а

(х\ _ ( о, x е cil, x\l) I 1. Ж е Щ.

Точную модель (0.1) - (0.10) будем называть далее моделью Mi. Пусть безразмерные параметры 6¿¡L и á\ зависят от малого параметра задачи е и существуют конечные или бесконечные пределы:

Oi i Oi\

limáis) = /io, limare) = Ло, lini -у — /¿i, lim — = Ai.

Целыо настоящей ¡заботы является нахождение всевозможных предельных режимов (усредненных уравнений) и соответствующих начальных и краевых условий.

Обычным образом определяется обобщенное решение задачи. Определение 0.1. Пара функции {иг, р£} называется обобщенным решением задач,и (0.1) - (0.10), если

1) w£ ew™ (QT), £ L2(Qt), p* £ L2(Qt)-

2) почти всюду в области Qt выполнен to уравнение неразрывности (0.1) it начальное условие (0.10) для, функции ш€;

Я) функции w' и р5 удовлетворяют интегралы 1,ом/у тоэюдеству

( " ~дЕ°ЪГ' Ж + (°р0 4 (1 _ С)1Р): Ю)(,х'^)dxdt =

-I V • (<рро) dxdl (0.11)

Jqt

для всех функций ip £ W2 (Qt)- £ L2(Qt), таких что

(У 6

ip(x,t) = 0 на границе S2r и <р(х,Т) — 0, х £ Q.

Вывод усредненных уравнений базируется па следующей теореме. Теорема 0.1. При всех £ > 0 на произвольном, интервале времени (0, X) существует единственное обобщеи/ное решение {we,p£} задачи, (0.1) - (0.10) -ti, справедлива оценка

max J ((^f I2 + |;/|2 + a„(e + (1 -

«л(1 - 0(1 - r")|D(*, ^ С„ф2, (0.12)

где постоянная, Cq не зависит от малого параметра, е.

В параграфах §2 - §5 второй главы получены модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и экстремально упругом скелете при условии //о = Ао = 0 и различных значениях и Х\.

А именно, в параграфах §2 и §3 проводится усреднение точной модели для следующих двух случаев:

//i = Ai — со. (0.14)

0 ^ ßU Ai < сю. (0.15)

Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (0.Ц) и функции {р6, Vе} являются обобщенным решением, зада/ч,и, (0.1) - (0J0). Тогда из последовательности параметров {г > 0} mooicuo выделить подпоследовательность, такую что при е - > 0 последовательность {р ~} сходится слабо в £г(0г) к решению р(х, I) G WI'Q(Qt) следующей смешанной краевой задачи для строго эллиптического уравнения:

V- (-Цу7;

\р{х)

р (х, i) =p0(x,i), х £ S1, L > 0, (0.17)

V/j (х, t) ■ п(х) - 0, х в S2., / > 0, (0.18)

где п(х) - вектор норм,ал/а к поверхности, S2 в точ/ке х,

р{х) = (с(ж) + (1 - C(*))™)¿?/ I о - С(®))(1 - m)ß8.

Теорема 2.3. Пусть выполнен,о условие (0.15) и, функции {р~, vE\ являются обобщенным решением задачи (0.1) - (0.10). Тогда из последовательности параметров {е > 0} м,о:жпо выделить подпоследовательность, такую что последовательность {р ~} сходится слабо в L<2{Qt), при £ стремящемся к нулю, к решению p(x,t) G W^ÍQt) смешанной краевой за,дачи, состоящей, из краевого условия (0.17) на части S1 границы S, краевого условия,

(J В(x,t r)-Vp{x.r)dT) • п(х) = 0 (0.19)

0, х е Q, 1> 0,

(0.16)

на оставшейся части Б2 и усредненного уравнения

V ■ в(ж,г - т) • Чр{х,т)(1т) - о, хеС],г> о. (0.20)

Матрица Ш(х,Ь) определена решениям,и