Корреляционные свойства квантовых состояний высокой размерности на основе бифотонных полей

Страупе, Станислав Сергеевич

Корреляционные свойства квантовых состояний высокой размерности на основе бифотонных полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

Страупе, Станислав Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.21 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Корреляционные свойства квантовых состояний высокой размерности на основе бифотонных полей»

Автореферат диссертации на тему "Корреляционные свойства квантовых состояний высокой размерности на основе бифотонных полей"

44177

СТРАУПЕ СТАНИСЛАВ СЕРГЕЕВИЧ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ НА ОСНОВЕ БИФОТОННЫХ ПОЛЕЙ

Специальность 01.04.21 — лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2011

2 1 ДПР

4844177

Работа выполнена на кафедре квантовой электроники физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кулик Сергей Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Масалов Анатолий Викторович, Учреждение Российской академии наук Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН, Москва

доктор физико-математических наук, профессор Вятчанин Сергей Петрович, Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова, Москва

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт общей физики имени А. М. Прохорова РАН, Москва

Защита состоится « 21 » АПРЕЛЯ 2011 г. в 16 ч. 30 мин, на заседании диссертационного совета Д 501.001.31 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, улица Академика Хохлова, д. 1, стр. 62, корпус нелинейной оптики, аудитория имени С. А. Ахманова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан «_» МАРТА

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.31 кандидат физ.-мат. наук, доцент

ва Т. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Наука о квантовой информации, без сомнения, может быть названа одной из наиболее бурно развивающихся в настоящее время областей физики. С фундаментальной точки зрения это наука о свойствах квантовых систем, рассматриваемых как информационный ресурс. Со стороны приложений основная практическая ценность этой деятельности заключается в разработке различных кваптово-информационных протоколов, позволяющих решать задачи, неразрешимые с точки зрения классической теории передачи данных. Одним из наиболее известных результатов, доведенным в настоящее время уже до коммерческих реализаций, являются протоколы квантового распределения ключа, позволяющие обеспечить безусловную секретность передаваемых сообщений, основывающуюся только на фундаментальных запретах, вытекающих из квантовой природы используемых носителей информации.

В некотором смысле, квантовая информация - это наука о кубитах, простейших двухуровневых квантовых системах, состояния которых описываются векторами в двумерном Гильбертовом пространстве:

|Ф)=с1 |0) + с2|1).

Кубит является элементарной единицей квантовой информации в том же смысле, в каком «обычный» бит - единица информации классической. Основой для такого определения кубита является доказанная Шумахером квантовая теорема кодирования, согласно которой, имея в своем распоряжении достаточное количество кубитов, можно кодировать и передавать состояния квантовых систем аналогично тому, как классические сообщения кодируются в последовательности битов (двоичном коде). При этом оказывается, что решить эту задачу с помощью сколь угодно большого числа классических битов невозможно, т.е. квантовая информация в этом смысле - объект совсем иной природы, чем информация классическая.

Одной из причин такого различия является существование в квантовых системах корреляций, не имеющих классического аналога. Действительно, если мы возьмем произвольное состояние некоторой ¿-уровневой системы или, как принято говорить, кудита

|Ф> =С1 |0>+с2|1) + ... + сй|й>)

то в общем случае окажется не возможным представить его в виде произведения состояний подсистем меньшей размерности: |Ф) ф \ip\) ® ® • •• ® |фк)- В таком случае говорят, что система находится в перепутанном (entangled) состоянии, в котором состояние всей системы вполне определено, в то время как подсистемы находятся в смешанном состоянии. Представить себе такую ситуацию в классической системе невозможно, что проявляется в принципиальных отличиях свойств квантовых корреляций от классических. На основе этих отличий были сформулированы количественные критерии, позволяющие выяснить, описываются ли наблюдаемые в системе корреляции квантово-механически, или для их описания достаточно классического рассмотрения - неравенства Белла и им подобные.

Неклассические свойства корреляций проявляются уже в простейшем случае кукварта - системы двух перепутанных кубитов. Еще более интересной оказывается ситуация в системах большей размерности, где нарушения неравенств Белла становится все более существенным с увеличением размерности. С практической точки зрения интерес к кудитам вызван новыми возможностями, которые открывает их использование в протоколах квантовой информации. В частности, исследования показывают, что протоколы квантового распределения ключа, использующие многоуровневые системы в качестве носителей информации, обладают большей устойчивостью к шумам в канале связи.

небольшой размерности (как правило, кутритон и куквартов). Второй способ состоит в использовании других степеней свободы фотона, например частоты или направления распространения. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией формально бесконечной размерности пространства состояний, потенциально обладающего огромными информационными ресурсами. Возникает естественный вопрос о количественной характернзацин этих ресурсов, который, как оказывается, тесно связан с вопросом о количественных мерах перепутывания в таких системах. Оказывается возможным «дис-кретизовать» пространство состояний введением счетного базиса из когерентных мод. При особом выборе этого базиса (базис из так называемых мод Шмидта), оказывается возможным в явном виде проследить межмо-докые корреляции, характеризующие пространственное перепутывание в бифотонной паре. Разработке экспериментальных методов приготовления и измерения состояний кудитов на основе как поляризационных, так и пространственных степеней свободы бифотопов посвящена данная работа.

Актуальность работы обусловлена как фундаментальным интересом к проблемам, связанным с экспериментальным контролем над свойствами многоуровневых систем, так и возможным применением таких систем в квантовых информационных протоколах.

Были сформулированы следующие задачи диссертационной работы:

1. Исследование вопроса о перепутывании в системе двух тождественных фотонов и корректном описании основанных на их использовании квантово-информационньгх протоколов.

2. Разработка и реализация экспериментальных методов приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов на основе бифотонов и изучение физических ограничений на чистоту приготавливаемых состояний.

3. Экспериментальное приготовление и квантовая томография смешанных состояний поляризационных куквартов. Получение смешанных состояний с различной степенью чистоты.

4. Разработка экспериментальных методов реализации проекционных измерений в дискретном базисе когерентных мод Шмидта. Экспе-

риментальное исследование пространственного перепутывания в угловом спектре бифотонного поля на основе разложения по модам Шмидта. Определение параметров этого разложения с помощью прямых измерений.

Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:

1. На примере протокола квантовой телепортации рассмотрен вопрос об адекватности описания поляризационных состояний пары тождественных фотонов как состояний различимых кубитов.

2. Разработан экспериментальный метод приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов, использующий неколлинеарный, частотно-невырожденный режим спонтанного параметрического рассеяния. Исследовано влияние частотной дисперсии в нелинейном кристалле на чистоту приготавливаемых состояний. Показана необходимость компенсации дисперсионных эффектов даже при использовании непрерывной накачки и предложены методы осуществления такой компенсации.

3. Произведена экспериментальная томография смешанных состояний поляризационных куквартов на основе бифотонов, генерируемых в процессе спонтанного параметрического рассеяния с импульсной накачкой. Показана возможность экспериментального восстановления смешанных поляризационных состояний с высокой точностью.

4. Разработаны методы реализации проекционных измерений в базисе мод Шмидта для углового спектра бифотонного поля. Экспериментально исследована двумерная структура разложения состояния би-фотона по базису мод Шмидта. Изучен вопрос о возможности приближения мод Шмидта модами Гаусса-Эрмита.

Научная и практическая значимость диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в задачах квантовой оптики и квантовой информации:

• при реализации протоколов квантовой информации на многоуровневых системах;

• для экспериментального изучения нерепутывания в пространственном спектре бифотонного поля.

Положения, выносимые на защиту

1. Для экспериментального приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов, можно использовать только два нелинейных кристалла.

2. Частотная дисперсия в кристалле влияет на чистоту приготавливаемых поляризационных состояний. Этот нежелательный эффект может быть устранен с помощью специально подобранного двулучепре-ломляющего компенсатора.

3. Экспериментально реализован протокол квантовой томографии смешанных состояний поляризационных куквартов. Продемонстрировано высокое качество приготовления и восстановления состояний.

4. Проекционные измерения в базисе пространственных мод Шмидта для углового спектра бифотонного поля могут быть реализованы с помощью одномодового оптического волокна и преобразующих фазовых голограмм.

5. Для не очень сильной фокусировки накачки пространственные моды Шмидта близки к модам Гаусса-Эрмита. Коэффициенты разложения Шмидта убывают экспоненциально.

Обоснованность и достоверность результатов

Результаты, представленные в диссертации, получены на основе многократно повторенных экспериментов, проведенных па современном научном оборудовании с использованием современных методов обработки экспериментальных данных. Экспериментальные данные подтверждены теоретическими расчетами, основанными на адекватно выбранных физических моделях анализируемых процессов. Результаты экспериментальных и теоретических исследований неоднократно обсуждались на семинарах и докладывались на специализированных конференциях но проблемам, связанным с тематикой диссертационной работы. Большая часть результатов опубликована в международных и российских научных журналах. Большинство представленных результатов являются новыми и получены впервые.

Апробация работы

Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:

IX международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», Казань, Россия, 2006 г.. международная конференция «Coherent Control of the Fundamental Processes in Optics and X-ray-Optics (CCFP'2006)», Н.Новгород - Казань, Россия, 2006 г., международная конференция «X Международные чтения по квантовой оптике», Самара, Россия, 2007 г., международная конференция «17th International Laser Physics Workshop (LPHYS'08)», Трондхейм, Норвегия, 2008 г., конференция «Поляризационная оптика», Москва, Россия, 2008 г., международная конференция «18th International Laser Physics Workshop», Барселона, Испания, 2009 г., международная конференция «19th International Laser Physics Workshop», Фоз до Игуасу, Бразилия, 2010 г., международная конференция «ICONO/LAT 2010», Казань, Россия, 2010 г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, включая 6 работ в рецензируемых журналах из списка ВАК России, список которых приведен в конце автореферата.

. Личный вклад автора

Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены автором лично либо при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, введения, заключения и списка литературы из 91 наименования, изложена на 128 страницах и содержит 37 рисунков и 1 таблицу. В параграфах §1.3, §2.4 и §3.6 сформулированы заключения к соответствующим главам диссертационной работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Кукварты на основе двухфотонных поляризационных состояний.

Первая глава носит в большей степени методический характер. В первом параграфе дан обзор основных методов экспериментального приготовления оптических систем высокой размерности. Особое внимание уделено схемам использующим поляризационные степени свободы фотонов.

Во втором параграфе рассмотрены основные понятия, используемые при описании перепутывания в системе двух кубитов. Обсуждается вопрос о возможности представления поляризационных состояний пары фотонов как состояния нары различимых кубитов. При этом особое внимание уделено обычно не обсуждающемуся в литературе вопросу о том, какие ограничения на такое «наивное» представление накладывает тождественность фотонов и следующая из нее бозонная симметрия их состояний.

С квантово-информационной точки зрения переиутыванис рассматривается как ресурс, необходимый для осуществления некоторых протоколов квантовой информации (например, телепортации). Возьмем ситуацию, типичную для многих квантово-информационных протоколов: пусть две стороны, условно называемые Алисой и Бобом, имеют в своем распоряжении п одинаковых копий двух-кубитной системы в, вообще говоря, смешанном состоянии р (у каждого из них при этом находится только одна из частиц пары). Обе стороны имеют возможность производить со своей половиной пары любые локальные преобразования и измерения и обмениваться информацией по классическому каналу (Local Operations and Classical Communication). С помощью только таких операций Алиса и Боб могут преобразовать п копий состояния р в m копий состояния Белла |Ф_) = |1)2 — |l)i |0>2) (значение m точно определено лишь в асимптотике больших п), эту процедуру называют очищением перепутывания (entanglement distillation). Величина Ed = lim называемая пере-

11-ЮО "

путыванием очищения (entanglement of distillation), характеризует степень перепутывания системы относительно синглетного белловского состояния. Приняв теперь перепутывание очищения белловского еннглета за единицу (так называемый ebit), мы получим величину, изменяющуюся от 0 до 1, равную 0 для факторизуемых состояний и 1 для максимально переиутан-

ных белловских состояний.

В системе тождественных бозонов могут присутствовать два типа корреляций: корреляции, обусловленные только перестановочной симметрией частиц, и дополнительные корреляции, подобные тем, что рассмотрены выше для различимых кубитов. К сожалению, в общем случае их сложно разделить, поэтому в литературе часто говорят просто о «квантовых корреляциях», количественной мерой которых является энтропия фон Неймана одночастичных подсистем.

Очевидно, эти корреляции не являются перепутыванием в квантово-информационном смысле, поскольку для конкретной частицы из пары невозможно даже в принципе определить локальные преобразования в силу принципа тождественности. Нами показано, что эквивалентность поляризационных состояний двух фотонов паре различимых кубитов имеет место только при наличии дополнительных ограничений на возможные состояния пары. В случае бифотона, т.е. пары фотонов, рождающихся в процессе спонтанного параметрического рассеяния света, эти ограничения естественным образом возникают как следствие условий фазового синхронизма.

В невырожденном случае помимо поляризационных степеней свободы присутствует еще одна - фотоны могут населять одну из двух хорошо определенных пространственных или частотных мод, характеризуемых волновым вектором 1^,] = {1,2}. Обозначим одночастичные состояния следующим образом

ей, Пу = {1Я,1У,2Я,2К} (1)

Здесь индекс 3 = ]Н или 3 = V обозначает состояние с волновым вектором к, и базисными состояниями поляризации Я и У, а индекс i формально нумерует фотоны. Одночастичное пространство состояний ~Н оказывается таким образом четырехмерным. При этом состояние пары фотонов - вектор в гильбертовом пространстве размерности 10: |Ф7Ь72) £ И^.

В случае бифотонов рождающихся в процессе СПР возникает дополнительное ограничению на число частиц в пространственных модах. Действительно, законы сохранения энергии и импульса для фотонов пары (условия фазового синхронизма) делают невозможной ситуацию, при которой оба фотона окажутся в моде с одинаковым волновым вектором к].

Т.е. эффективно десятимерное гильбертово пространство сводится к четырехмерному подпространству состояний, натянутому на базисные вектора {а\на\н 1тас) I а\уа1н 1уас)' а\на2\- 1Уас) 1 ан'а21.' 1тас)}> которое с очевидностью может быть отождествлено с пространством состояний двух различимых кубитов. Важно отметить, что "эффективными кубитами т.е. физически различными подсистемами, в данном случае будут не поляризационные состояния какого-либо одного фотона, а однофотонныс состояния совокупности двух поляризационных мод с одним волновым вектором, которые естественно обладают необходимой перестановочной симметрией. Локальным операциям над кубитами соответствуют поляризационные преобразования и измерения, производимые в каждой из пространственных мод по отдельности, которые всегда можно осуществить в эксперименте, в отличие от преобразований над конкретным фотоном.

В этом случае можно описывать поляризационное состояние бифото-на как состояние перепутанной пары различимых кубитов, что обычно и делается в литературе, однако без явного указания причин .позволяющих это делать.

В последнем пункте второго параграфа подробно рассмотрен пример протокола квантовой телепортаций в системе тождественных фотонов. С учетом перестановочной симметрии в явном виде показано, что описание протокола в системе тождественных частиц эквивалентно описанию в системе различимых кубитов. Таким образом снято кажущееся противоречие привычного «кубитного» описания квантово-оптических экспериментов с тождественными фотонами с утверждением о невозможности телепорта-цин в системе тождественных кубитов.

Глава 2. Приготовление произвольных состояний поляризационных куквартов.

Вторая глава посвящена разработке и реализации методов приготовления состояний поляризационных куквартов. Предложен метод приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов, использующий всего два нелинейных кристалла. Обсуждается и экспериментально исследуется влияние эффектов частотной дисперсии на чистоту приготавливаемых состояний. Также рассмотрено приготовление смешанных состояний куквартов различной степени чистоты с использованием импульсной

накачки.

Первый параграф второй главы посвящен обсуждению предложенной схемы для приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов. Известно, что такое состояние может быть представлено в виде:

\ф) = ^Д~1\М)\А2) + ^\В,)\В2),

где \А]) и |В]) - базисные векторы пространства состояний каждого из кубитов в отдельности. Это выражение известно под названием разложения Шмидта. Коэффициенты А^г - собственные значения одночастичных матриц плотности каждого из кубитов (они, как известно совпадают), а вектора А^ и В^ составляют ортогональный базис, в котором они диаго-нальны. Таким образом, для приготовления произвольного состояния кукварта достаточно уметь экспериментально контролировать коэффициенты в разложении Шмидта и осуществлять переход между базисами. Для этого была предложена экспериментальная установка, изображенная на Рис. 1. В ней используются два нелинейных кристалла, вырезанных для некол-

V/? 0>Р

Рис. 1. Схема для приготовления произвольного чистого состояния поляризационного кукварта.

линеарного, частотно невырожденного синхронизма типа-1. Накачкой служит излучение непрерывного лазера, направление линейной поляризации которого контролируется с помощью полуволновой пластинки \УР, а относительная фаза между горизонтальной и вертикальной компонентами регулируется парой пластинок С^)Р. Состояние бифотонов, рождающихся в процессе СПР при таких условиях, имеет следующий вид:

\Ф) = у/х1\Н1)\Н2) + у/^\У1)\У2), (2)

Туре-1

вво

где индексы 1,2 отвечают различным частотным модам. Состояние каждой из двух частотных мод определяется матрицей плотности вида

п = >ч№{н,\ + \2\ц)№\, (з)

3 = 1,2- индекс подсистемы (кубита). Произвольное поляризационное состояние кубита может быть получено из заданного с помощью последовательности преобразований, осуществляемых четвертьволновой (С^\УР) и полуволновой (Н\¥Р) пластинками

+ (4)

Из соображений экспериментального удобства, моды 1,2 разделены пространственно благодаря использованию неколлинеарного синхронизма. После осуществления преобразований в каждой моде они сбиваются на дихро-ичном светоделителе.

Второй параграф посвящен экспериментальному приготовлению перепутанных состояний в рассмотренной схеме и выявлению физических ограничений на чистоту таких состояний. Показано, что при учете конечной ширины частотного спектра СПР и дисперсии групповых скоростей в нелинейных кристаллах, генерируемое поляризационное состояние принимает вид:

Рро1 = ^(|Я1Я2> (Нх11гI + №| + I <т ^(П)|2 \Н,Н2) (умI + У <Я1 е^ (ВД),

где [2 - частотная отстройка от точного синхронизма, Р(Г2) - амплитуда бифотонного волнового пакета, а - набег фазы, приобретаемый парой фотонов при прохождении через второй нелинейный кристалл. Зависимость этой фазы от частоты приводит к различимости пар рожденных в первом и втором кристаллах, а следовательно, к уменьшению чистоты приготовляемого состояния. В эксперименте это проявляется в уменьшении видности двухфотонной поляризационной интерференции в схеме Брауна-Твисса. Для нее было получено аналитическое выражение в первом порядке по отстройке П, а также численно учтены эффекты второго порядка. Основным результатом этого параграфа является предложенный механизм компенсации рассмотренного сдвига фаз с помощью соответствую-

щим образом подобранного двулучепреломляющего компенсатора. Экспериментальные результаты для зависимости видности получаемых интерференционных картин от толщины компенсатора находятся в хорошем соответствии с теоретической моделью: см. Рис.2.

Толщина компенсатора (мм)

Рис. 2. Зависимость видности поляризационной интерференции от толщины компенсатора дисперсии групповых скоростей. Пунктирная кривая - теоретическая зависимость без учета фильтрации. Сплошная кривая - зависимость при учете частотной фильтрации с помощью 10 нм интерференционных фильтров в каждом канале измерительной схемы.

Третий параграф второй главы посвящен экспериментальному приготовлению и томографии смешанных поляризационных состояний. Схема использованной экспериментальной установки приведена на Рис. 3. В качестве накачки использовалась вторая гармоника от титан-сапфирового лазера с центральной длиной волны 390 нм. Лазер работал в режиме синхронизации мод, продолжительность импульсов составляла порядка 100 фс. Использовались кристаллы ВВО длиной Ь = 3 мм, при этом задержка пар рождающихся в разных кристаллах, обусловленная дисперсией групповых скоростей, составляет 1.3 пс, т.е. на порядок превосходит длину импульса. Таким образом, компоненты бифотонной пары, генерируемые в разных кристаллах, будут в этом случае полностью некогерентны. После поляри-

Рис. 3. Схема экспериментальной установки для приготовления и томографии смешанных состояний куквартов. ВВО - два кристалла типа I с ортогонально ориентированными осями; PWP - полуволновая пластинка, задающая поляризацию накачки; WP - пластинка, преобразующая состояние; DBS - дихроичный светоделитель; QWP,HWP,P - четверть-, полуволновая пластинка и поляроид, реализующие проекционное измерение; IF -10 нм интерференционный фильтр; D - многомодовые волокна, подключенные к однофотонным детекторам.

зационного преобразования, осуществляемого кварцевой пластинкой WP, генерируемое состояние принимает вид:

Р = (1 |)|ф1>(Ф1| + ||Ф2){Ф2|,

где коэффициент х, а следовательно, и энтропия состояния определяются ориентацией линейной поляризации накачки относительно осей кристаллов.

Была произведена томография нескольких представителей основных классов состояний, доступных для приготовления в рассматриваемой схеме: чистого, смешанных диагональных с разной степенью чистоты и смешанного с кедиагональнымя компонентами. В качестве примера на Рис.4 приведены экспериментальные результаты статистического восстановления матрицы плотности для наиболее интересного частично когерентного состояния, экспериментальное значение энтропии для которого составляет S = 0.550 ± 0.003.

Рис. 4■ Действительные части матриц плотности для преобразованного частично когерентного состояния: ожидаемой (1) и экспериментально восстановленной (2).

Глава 3. Пространственные моды Шмидта в угловом спектре би-фотонного поля

Поляризационные степени свободы фотонов, которым посвящены предыдущие главы, в принципе позволяют реализовать кудиты сколь угодно большой размерности. На практике, однако, трудно приготовить чистые состояния с размерностью больше 4, т.к. эффективность генерации четырех и более коррелированных фотонов в процессе СПР ограничена низкими значениями нелинейностей высших порядков в существующих нелинейно-оптических материалах. В то же время, для таких применений как линейно-оптические квантовые вычисления или исследование квантовых случайных блужданий требуется возможность создания и измерения оптических кудитов с размерностью Гильбертова пространства порядка десятков и более. Естественным инструментом для решения этой задачи является использование степеней свободы фотона с изначально бесконечномерным пространством состояний, таких как частота или импульс. Третья глава работы посвящена исследованию корреляций в угловом спектре СПР и экспериментальному приготовлению и измерению состояний из дискретного базиса пространственных мод Шмидта.

Бифотоны, рождающиеся в процессе СПР, обладают непрерывным угловым спектром. В первом порядке теории возмущений можно получить

следующее выражение для состояния рассеянного поля: |Ф) = |vac) + Jdknt&nku к2) |l)tl |l)fc2,

где к2) - так называемая, амплитуда бифотона, которая для случая коллинеарного синхронизма и широкого в поперечном направлении кристалла имеет следующий вид:

Ф(4 к2) = £р{к1± + кг±)7{klL - к21),

здесь £р(ки + к2±) - угловой спектр накачки, а ^(кц — к21) - геометрический фактор, определяемый параметрами кристалла. Можно показать, что амплитуду бифотона можно представить в виде:

оо «=0

называемом разложением Шмидта. Здесь базисные функции ф{{к\ ±) -собственные функции одночастичной матрицы плотности Pi,2{kio±, к[ 2±), а коэффициенты Aj - соответствующие собственные значения. Легко заметить, что в разложении Шмидта для факторизованного состояния отличен от нуля только один коэффициент Ао- Для сильно перепутанного состояния напротив, коэффициенты А,- убывают с ростом i медленно, поэтому можно определить степень перепутываиия состояния бифотона по величине эффективного числа мод Шмидта К = 1/ •

Если моделировать функции £р(к) и J-(k) двумерными изотропными гауссовыми функциями, можно получить аналитическое выражение для разложения Шмидта в виде:

4>п(к\х)Фт{к\у) * Фп(к2х)Фт{к2у),

тп

где фп(к) - функции Гаусса-Эрмита, а собственные значения убывают экспоненциально.

Основной экспериментальной задачей третьей главы являлась реализация проекционных измерений в базисе мод Шмидта. Ключевым элементом схемы является одномодовое оптическое волокно, в котором может распространяется только основная гауссова мода. Эта мода оптически сопрягается с нулевой модой Шмидта Фо{кх)фо{ку) входного пучка, которая

также является гауссовой. Проекции на пучки высших порядков осуществляются с помощью фазовой маски, которая преобразует соответствующую ей моду в гауссову. Таким образом из всего модового состава пучка в волокно «заходит» только мода, соответствующая установленной маске, т.е. фотоотсчет детектора установленного после волокна соответствует детектированию фотона в выбранной моде, что и реализует проекционное измерение. Для преобразования мод используется фазовая голограмма, при дифракции на которой пучок приобретает необходимую фазовую структуру. В эксперименте в качестве голограммы использовался активный фазовый модулятор света на основе жидкокристаллической матрицы (БЬМ). Схема экспериментальной установки приведена на Рис.5.

Рис. 5. Схема экспериментальной установки для реализации проекционных измерений в базисе мод Шмидта. Ы - кварцевая линза с У — 150 мм; Ь2 - линза с Р = 1^5 мм; ВВО - кристалл ВВО толщиной 2 мм, установленный в общем фокусе линз Ы и 1,2; иУМ - УФ зеркало, фильтрующее излучение накачки; 1Р -интерференционный фильтр с центром полосы пропускания 650 нм и шириной полосы 40 нм (иногда использовался 10 нм фильтр); ВЗ - неполяризационный 50% светоделитель; А1,2 - диафрагмы, позволяющие ограничивать поле зрения приемной системы; 01,2 - 8Х микрообъективы, РМ - пространственный фазовый модулятор (для простоты изображен работающим на пропускание); РМ2

- фазовая маска, выполненная в виде стеклянной пластинки переменной толщины (см. текст); 5МР - одпомодоеое волокно; ЯМР/ММР - одномодовое или многомодовое волокно в зависимости от типа эксперимента (см. текст); 01,2

- однофотонные детекторы с волоконным входом (лавинные фотодиоды Регкгп-Е1тег).

Было экспериментально получено распределение собственных значений, соответствующее предсказанной экспоненциальной зависимости. Результаты для двумерного распределения, а также для одного из его сечений, приведены на Рис. 6, 7.

(1),-------' -------. „ (2),__________тйг~~~——-_____£

Рис. 6. Распределение собственных значений в Шмидтовском базисе. (1) Скорость счета детектора 1) J в канале с фазовым модулятором в зависимости от детектируемой моды. (2) Собственные значения матрицы плотности в базисе мод Гаусса-Эрмита (т.е. в приближении двойной гауссоиды).

"ф 1,0

0,6

0,0

■ эксперимент Д теория

. Ир! . I

Рис. 7. Распределение собственных значений в Шмидтовском базисе. Красным цветом изображены экспериментально полученные значения, серым - результаты численного расчета. Сплошная синяя кривая соответствует экспоненциальной зависимости получаемой в приближении двойной гауссоиды.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Рассмотрен вопрос о возможности представления поляризационных состояний пары фотонов как состояния пары различимых кубитов. В случае бифотона, т.е. пары фотонов, рождающихся в процессе спонтанного параметрического рассеяния света, положительный ответ на этот вопрос обеспечивают дополнительные ограничения, накладываемые условиями фазового синхронизма. Подробно рассмотрен пример протокола квантовой телепортации в системе тождественных фотонов. С учетом перестановочной симметрии в явном виде показано, что описание протокола в системе тождественных частиц эквивалентно описанию в системе различимых кубитов.

2. Предложен метод приготовления произвольного, наперед заданного состояния кукварта, использующий бифотоны, невырожденные по частоте. Исследована возможность приготовления в предложенной схеме перепутанных состояний куквартов, получены экспериментальные результаты по двухфотонной интерференции и предложены методы улучшения ее видности, не требующие использования узкополосных частотных фильтров. Экспериментально реализована схема для приготовления и квантовой томографии смешанных состояний куквартов, позволяющая достичь высокого качества восстановления матриц плотности смешанных состояний. Продемонстрировано приготовление и томография смешанных состояний с различной энтропией, а также возможность преобразования состояний с диагональной матрицей плотности в состояния общего вида.

3. Проанализировано пространственное перепутьшание в угловом спектре спонтанного параметрического рассеяния с точки зрения разложения по пространственным модам Шмидта. Экспериментально продемонстрирована возможность фильтрации заданной пространственной моды с помощью фазового модулятора и одномодового оптического волокна. Экспериментально подтверждена близость мод Гаусса-Эрмита к реальным модам Шмидта для углового спектра бифотонно-

го поля. Изморено распределение собственных значений, соответствующих модам Шмидта, и получено разумное соответствие с расчетными значениями. Получена полная двумерная структура модового разложении амплитуды бифотона в базисе мод Шмидта.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. М. V. Fedorov, М. A. Efremov, P. A. Volkov, Е. V. Moreva, S. S. Straupe and S. P. Kulik, Anisotropic and High Entanglement of Biphoton States Generated in Spontaneous Parametric Down-Conversion // Phys. Rev. Lett, 99, 063901, 2007.

2. M. V. Fedorov, M. A. Efremov, P. A. Volkov, E. V. Moreva, S. S. Straupe and S. P. Kulik, Spontaneous parametric down-conversion: Anisotropical and anomalously strong narrowing of biphoton momentum correlation distributions // Phys. Rev. A, 77, 032336, 2008.

3. S.-Y. Baek, S. S. Straupe, A. P. Shurupov, S. P. Kulik and Y.-H. Kim, Preparation and characterization of arbitrary states of four-dimensional qudits based on biphotons // Phys. Rev. A, 78, 042321, 2008.

4. S. S. Straupe and S. P. Kulik, On practical implementations of qudit-based quantum key distribution protocols // Quantum Cryptography and Computing, Vol. 26, Edited by R. H. e. al. IOS Press, 2010. pp.83-98

5. Кулик С.П., Молотков С.Н., Страупе С. С., О телепортации в системе тождественных частиц // Письма в ЖЭТФ, Том 92 №3, 212-215, 2010.

6. С. С. Страупе, С.П.Кулик, К вопросу о приготовлении перепутанных пар поляризационных кубитов в частотно-невырожденном режиме // ЖЭТФ, Том 137 №2, 211-219, 2010.

Подписано в печать:

14.03.2011

Заказ № 5127 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Страупе, Станислав Сергеевич

Введение

Глава 1 Кукварты на основе двухфотонных поляризационных состояний

§ 1.1 Методы приготовления оптических кудитов п. 1.1.1 Интерферометрические схемы (^те-Ып). п. 1.1.2 Схемы использующие орбитальный угловой момент фотонов п. 1.1.3 Схемы использующие корреляции в угловом спектре СПР 21 п. 1.1.4 Методы, основанные на использовании поляризационных состояний бифотонов.

§ 1.2 Бифотоны как поляризационные кукварты. Роль перестановочной симметрии и законов сохранения. п. 1.2.1 Эквивалентность поляризационных состояний бифотонов и состояний пары перепутанных кубитов. п. 1.2.2 Квантовая телепортация в системе тождественных фотонов

Введение диссертация по физике, на тему "Корреляционные свойства квантовых состояний высокой размерности на основе бифотонных полей"

Диссертационная работа посвящена экспериментальному изучению многоуровневых квантовых систем, реализованных на основе различных степеней свободы бифотонного поля. Рассматриваются вопросы связанные с приготовлением и измерением квантовых состояний в контексте возможности их использования в различных протоколах квантовой информации.

Наука о квантовой информации, без сомнения, может быть названа одной из наиболее бурно развивающихся в настоящее время областей физики. С фундаментальной точки зрения это наука о свойствах квантовых систем, рассматриваемых как информационный ресурс. Со стороны приложений основная практическая ценность этой деятельности заключается в разработке различных квантово-информационных протоколов, позволяющих решать задачи неразрешимые с точки зрения классической теории передачи данных. Одним из наиболее известных результатов, доведенным в настоящее время уже до коммерческих реализаций, являются протоколы квантового распределения ключа, позволяющие обеспечить безусловную секретность передаваемых сообщений, основывающуюся только на фундаментальных запретах, вытекающих из квантовой природы используемых носителей информации.

Ф) =с1|0) + с2|1).

Кубит является элементарной единицей квантовой информации в том же смысле, в каком "обычный"бит - единица информации классической. Основой для такого определения кубита является доказанная Шумахером квантовая теорема кодирования [1], согласно которой, имея в своем распоряжении достаточное количество кубитов, можно кодировать и передавать состояния квантовых систем аналогично тому, как классические сообщения кодируются в последовательности битов (двоичном коде). При этом оказывается, что решить эту задачу с помощью сколь угодно большого числа классических битов невозможно, т.е. квантовая информация в этом смысле - объект совсем иной природы, чем информация классическая.

Ф)=с1|0> + с2|1> + . + ^И>, то в общем случае окажется невозможным представить его в виде произведения состояний подсистем меньшей размерности: |Ф) ^ \ф{) <g> |т/^) ® . ® \Фк)• В таком случае, говорят что система находится в перепутанном (entangled) состоянии, в котором состояние всей системы вполне определено, в то время как подсистемы находятся в смешанном состоянии. Представить себе такую ситуацию в классической системе невозможно, что проявляется в принципиальных отличиях свойств квантовых корреляций от

1от английского quantum dit. классических. На основе этих отличий были сформулированы количественные критерии, позволяющие выяснить, описываются ли наблюдаемые в системе корреляции квантово-механически, или для их описания достаточно классического рассмотрения - неравенства Белла и им подобные [2, 3, 4].

Неклассические свойства корреляций проявляются уже в простейшем случае кукварта - системы двух перепутанных кубитов. Еще более интересной оказывается ситуация в системах большей размерности, где нарушения неравенств Белла становится все более существенным с увеличением размерности [5, 6, 7]. С практической точки зрения интерес к кудитам вызван новыми возможностями, которые открывает их использование в протоколах квантовой информации. В частности, исследования показывают, что протоколы квантового распределения ключа, использующие многоуровневые системы в качестве носителей информации, обладают большей устойчивостью к шумам в канале связи [8, 9, 10, 11].

Кудиты могут быть реализованы как состояния систем самой различной физической природы. Одной из самых удобных реализаций представляется квантово-оптическая, основанная на использовании различных степеней свободы фотонов. Предельно возможная скорость распространения, слабое взаимодействие с окружением, приводящее к практически полному отсутствию декогеренции, делает фотоны идеальными носителями квантовой информащш. Одним из основных источников коррелированных фотонов, используемым в квантово-информационных экспериментах является процесс спонтанного параметрического рассеяния света[12]. Пары фотонов, рождающиеся в таком процессеб коррелированые по направлению распространения, частоте и поляризации, принято называть бифотоном. Существует несколько путей для экспериментальной реализации оптических ку-дитов на основе бифотонов. Во-первых, можно использовать поляризационные степени свободы фотонов пары. Такой способ подходит для систем небольшой размерности (как правило, кутритов и куквартов). Второй способ состоит в использовании других степеней свободы фотона, например частоты, или направления распространения. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией формально бесконечной размерности пространства состояний, потенциально обладающего огромными информационными ресурсами. Возникает естественный вопрос о количественной характеризации этих ресурсов, который как оказывается, тесно связан с вопросом о количественных мерах перепутывания в таких системах. Оказывается возможным "дис-кретизовать"пространство состояний введением счетного базиса из когерентных мод. При особом выборе этого базиса (базис из так называемых мод Шмидта), оказывается возможным в явном виде проследить межмо-довые корреляции, характеризующие пространственное перепутывание в бифотонной паре. Разработке экспериментальных методов приготовления и измерения состояний кудитов на основе как поляризационных, так и пространственных степеней свободы бифотонов посвящена данная работа.

Были сформулированы следующие задачи диссертационной работы:

1. Исследование вопроса о перепутывании в системе двух тождественных фотонов и корректном описании основанных на их использовании квантово-информационных протоколов.

2. Разработка и реализация экспериментальных методов приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов на основе бифотонов, и изучение физических ограничений на чистоту приготавливаемых состояний.

4. Разработка экспериментальных методов реализации проекционных измерений в дискретном базисе когерентных мод Шмидта. Экспериментальное исследование пространственного перепутывания в угловом спектре бифотонного поля на основе разложения по модам Шмидта. Определение параметров этого разложения с помощью прямых измерений.

Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:

2. Разработан экспериментальный метод приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов использующий некол-линеарный, частотно-невырожденный режим спонтанного параметрического рассеяния. Исследовано влияние частотной дисперсии в нелинейном кристалле на чистоту приготавливаемых состояний. Показана необходимость компенсации дисперсионных эффектов даже при использовании непрерывной накачки и предложены методы осуществления такой компенсации.

• при реализации протоколов квантовой информации на многоуровневых система;

• для экспериментального изучения перепутывания в пространственном спектре бифотонного поля.

Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:

IX международная молодежная научная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия", Казань, Россия, 2006 г., международная конференция Coherent Control of the Fundamental Processes in Optics and X-ray-Optics (CCFP'2006), Н.Новгород - Казань, Россия, 2006 г., международная конференция "X Международные чтения по квантовой оптике", Самара, Россия, 2007 г., международная конференция 17th International Laser Physics Workshop (LPHYS'08), Трон-дхейм, Норвегия, 2008 г., конференция «Поляризационная оптика»,

Москва, Россия, 2008 г., международная конференция «18th International Laser Physics Workshop», Барселона, Испания, 2009 г., международная конференция «19th International Laser Physics Workshop», Фоз до Игуасу, Бразилия, 2010 г., международная конференция ICONO/LAT 2010, Казань, Россия, 2010 г.,

Диссертационная работа состоит из трех глав, введения и заключения

Первая глава в своей первой части содержит обзор существующих экспериментальных методов приготовления оптических многоуровневых систем с акцентом на работах, посвященных поляризационным куквартам и кутритам. Во второй части главы подробно рассмотрен вопрос об описании поляризационных состояний пар тождественных фотонов. Обсуждается вопрос об эквивалентности таких состояний паре различимых кубитов. Подробно рассмотрен пример протокола квантовой телепортации в системе тождественных фотонов.

Вторая глава посвящена методам приготовления и измерения состояний поляризационных куквартов. В первой части рассмотрено приготовление произвольных чистых состояний и эффекты частотной дисперсии, негативно сказывающиеся на качестве приготовления. Вторая часть посвящена томографии смешанных состояний поляризационных куквартов.

Третья глава посвящена пространственным кудитам и корреляциям в угловом спектре бифотонного поля. Рассмотрены эксперименты по экспериментальному выделению мод Шмидта и изучению разложения углового спектра бифотонного поля по базису из этих мод.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы, представляющие собой суть выносимых на защиту положений.

5. Для мягкой фокусировки накачки пространственные моды Шмидта близки к модам Гаусса-Эрмита. Коэффициенты разложения Шмидта убывают экспоненциально.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

PI. М. V. Fedorov, М. A. Efremov, P. A. Volkov, Е. V. Moreva, S. S. Straupe and S. P. Kulik, Anisotropic and High Entanglement of Biphoton States Generated in Spontaneous Parametric Down-Conversion // Phys. Rev. Lett., 99, 063901, 2007.

P2. M. V. Fedorov, M. A. Efremov, P. A. Volkov, E. V. Moreva, S. S. Straupe and S. P. Kulik, Spontaneous parametric down-conversion: Anisotropical and anomalously strong narrowing of biphoton momentum correlation distributions // Phys. Rev. A., 77, 032336, 2008.

P3. S.-Y. Baek, S. S. Straupe, A. P. Shurupov, S. P. Kulik and Y.-H. Kim, Preparation and characterization of arbitrary states of four-dimensional qudits based on biphotons // Phys. Rev. A, 78, 042321, 2008.

P4. S. S. Straupe and S. P. Kulik, On practical implementations of qudit-based quantum key distribution protocols // Quantum Cryptography and Computin Vol. 26, Edited by R. H. e. al. IOS Press, 2010. pp.83-98

P5. Кулик С.П., Молотков С.Н., Страупе С.С., О телепортации в системе тождественных частиц // Письма в ЖЭТФ, Том 92 №3, 212-215, 2010.

Р6. С. С. Страупе, С.П.Кулик, К вопросу о приготовлении перепутанных пар поляризационных кубитов в частотно-невырожденном режиме // ЖЭТФ, Том 137 №2, 211-219, 2010.

Заключение диссертации по теме "Лазерная физика"

Выводы

В заключении сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Рассмотрен вопрос о возможности представления поляризационных состояний пары фотонов как состояния пары различимых кубитов. В случае бифотона, т.е. пары фотонов, рождающихся в процессе спонтанного параметрического рассеяния света положительный ответ на этот вопрос обеспечивают дополнительные ограничения, накладываемые условиями фазового синхронизма. Подробно рассмотрен-пример протокола квантовой телепортации в системе тождественных фотонов. С учетом перестановочной симметрии в явном виде показано, что описание протокола в системе тождественных частиц эквивалентно описанию в системе различимых кубитов.

2. Предложены методы приготовления произвольного, наперед заданного состояния кукварта, использующие бифотоны невырожденные по частоте. Исследована возможность приготовления в предложенной схеме перепутанных состояний куквартов, получены экспериментальные результаты по двухфотонной интерференции и предложены методы улучшения ее видности, не требующие использования узкополосных частотных фильтров. Экспериментально реализована схема для приготовления и квантовой томографии смешанных состояний куквартов, позволяющая достичь высокого качества восстановления матриц плотности смешанных состояний. Продемонстрировано приготовление и томография смешанных состояний с различной энтропией, а также возможность преобразования состояний с диагональной матрицей плотности в состояния общего вида.

3. Проанализировано пространственное перепутывание в угловом спектре спонтанного параметрического рассеяния с точки зрения разложения по пространственным модам Шмидта. Экспериментально продемонстрирована возможность фильтрации заданной пространственной моды с помощью фазового модулятора и одномодового оптического волокна. Экспериментально подтверждена близость мод Гаусса-Эрмита к реальным модам Шмидта для углового спектра бифотонно-го поля. Измерено распределение собственных значений, соответствующих модам Шмидта, и получено разумное соответствие с расчетными значениями. Получена полная двумерная структура модового разложения амплитуды бифотона в базисе мод Шмидта.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Страупе, Станислав Сергеевич, Москва

1. Schumacher B. Quantum coding // Phys. Rev. A.— 1995.— Vol. 51.— P. 2738.

2. Bell J. S. On the einstein podolsky rosen paradox // Physics. — 1964. — Vol. 1, — Pp. 195-200.

3. Proposed experiment to test local hidden-variable theories / J. F. Clauser, M. A. Home, A. Shimony, R. A. Holt // Phys. Rev. Lett. — 1969.— Vol. 23. Pp. 880-884.

4. Bell J. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. — Cambridge University Press, 1987.

5. Durt T., Kaszlikowski D., Zukowski M. Violations of local realism with quantum systems described by n-dimensional hilbert spaces up to n=16 // Phys. Rev. A. 2001. — Vol. 64. — P. 024101.

6. Clauser-horne inequality for three-state systems / D. Kaszlikowski, L. C. Kwek, J.-L. Chen et al. // Phys. Rev. A.— 2002.— Vol. 65.— P. 032118.

7. Bell inequalities for arbitrarily high-dimensional systems / D. Collins, N. Gisin, N. Linden et al. // Phys. Rev. Lett.— 2002.— Vol. 88.— P. 040404.

8. Bechmann-Pasquinucci H., Peres A. Quantum cryptography with 3-state systems // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 85. — P. 3313.

9. Bechmann-Pasquinucci H., Tittel W. Quantum cryptography using larger alphabets // Phys. Rev. A. — 2000. — Vol. 61. — P. 062308.

10. Bourennane M., Karlsson A., Bjork G. Quantum key distribution using multilevel encoding // Phys. Rev. A.— 2001. — Vol. 64. — P. 012306.

11. Security of quantum key distribution using d-level systems / N. J. Cerf, M. Bourennane, A. Karlsson, N. Gisin // Phys. Rev. Lett.— 2002.— Vol. 88. P. 127902.

12. Д.Н.Клышко. Фотоны и нелинейная оптика.— М.: «Наука», 1980.— С. 177.

13. Experimental realization of entangled qutrits for quantum communication / R. Thew, A. Acin, H. Zbinden, N. Gisin // Quantum Information and Computation. — 2004. — Vol. 4, no. 2. — Pp. 093-101.

14. Tailoring photonic entanglement in high-dimensional hilbert spaces / H. de Riedmatten, I. Marcikic, V. Scarani et al. // Phys. Rev. A. — 2004. — Vol. 69. — P. 050304.

15. Stucki D., Zbinden H., Gisin N. A fabry-perot-like two-photon interferometer for high-dimensional time-bin entanglement // Phys.Rev.Lett.— 2005.-Vol. 89.-P. 2637.

16. Vaziri A., Weihs G., Zeilinger A. Experimental two-photon, three-dimensional entanglement for quantum communication // Journal of Modern Optics. 2002. - Vol. 89. - P. 240401.

17. Molina- Terriza G., Torres J. P., Tomer L. Management of the angular momentum of light: Preparation of photons in multidimensional vector states of angular momentum // Phys.Rev.Lett. — 2002. — Vol. 88. — P. 013601.

18. Generation of entangled states of qudits using twin photons / L. Neves, G. Lima, J. G. A. Gortnez et al. // Phys.Rev.Lett. — 2005,— Vol. 94,— P. 100501.

19. Pixel entanglement: Experimental realization of optically entangled d = 3 and d = 6 qudits / M. N. O'Sullivan-Hale, I. A. Khan, R. W. Boyd, J. C. Howell // Phys.Rev.Lett. 2005. - Vol. 94. - P. 220501.

20. Anisotropically and high entanglement of biphoton states generated in spontaneous parametric down-conversion / M. V. Fedorov, M. A. Efremov, P. A. Volkov et al. // Phys.Rev.Lett. — 2007. — Vol. 99. — P. 063901.

21. Qutrit state engineering with biphotons / Y. I. Bogdanov, M. V. Chekhova, S. P. Kulik et al. // Phys.Rev.Lett. — 2004. — Vol. 93. — P. 230503.

22. Measurement of qubits / D. F. V. James, P. G. Kwiat, W. J. Munro, A. G. White // Phys. Rev. A. — 2001. —Vol. 64. — P. 052312.

23. DAriano G. M., Mataloni P., Sacchi M. F. Generating qudits with d = 3, 4 encoded on two-photon states // Phys. Rev. A. — 2005.— Vol. 71.— P. 062337.

24. Experimental realization of polarization qutrits from nonmaximally entangled states / G. Vallone, E. Pomarico, F. D. Martini, P. Mataloni // Phys. Rev. A. — 2007. — Vol. 76. — P. 012319.

25. Realization of four-level qudits using biphotons / E. Moreva, G. A. Maslen-nikov, S. S. Straupe, S. P. Kulik // Phys. Rev. Lett — 2006. — Vol. 97.-P. 023602.

26. Polarization states of four-dimensional systems based on biphotons / Y. I. Bogdanov, E. V. Moreva, G. A. Maslennikov et al. // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73. — P. 063810.

27. New high-intensity source of polarization-entangled photon pairs / P. G. Kwiat, K. Mattle, H. Weinfurter et al. // Phys. Rev. Lett.— 1995.— Vol. 75. P. 4337.

28. Ultrabright source of polarization-entangled photons / P. G. Kwiat, E. Waks, A. G. White et al. // Phys. Rev. A. 1999. - Vol. 60. - P. R773.

29. М.В.Чехова. Двухфотонный спектрон // Письма в ЖЭТФ,— 2002,— Т. 75, № 5.-С. 271-272.

30. Бифотонное излучение со скрытой поляризацией и его поляризационная томография / П.А.Бушев, В.П.Карасев, А.В.Масалов, А.А.Путилин // Оптика и спектроскопия.— 2001.— Т. 91.— С. 558564.

31. В.П.Карасев, А.В.Масалов. Состояния неполяризованного света в квантовой оптике // Оптика и спектроскопия. — 1993. — Т. 74. — С. 928.

32. Macroscopic pure state of light free of polarization noise / T. S. Iskhakov, M. V. Chekhova, G. O. Rytikov, G. Leuchs // arXiv:1011.1840vl quant-phj. — 2010.

33. Entanglement of qutrits and ququarts / M. V. Fedorov, P. A. Volkov, Y. M. Mikhailova et al. // arXiv:1009.2744v2 quant-ph. — 2010.

34. Hill S.} Wootters W. K. Entanglement of a pair of quantum bits // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Vol. 78. — P. 5022.

35. Wootters W. K. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits // Phys. Rev. Lett. — 1998. Vol. 80, — P. 2245.

36. Concentrating partial entanglement by local operations / C.H.Bennett, H.J.Bernstein, S.Popescu, B.Shumacher // Phys. Rev. A.— 1996.— Vol. 53.-P. 2046.

37. M.A.Nielsen, I.L.Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge University Press, 2000. — P 580.

38. Mixed-state entanglement and quantum error correction / C. H. Bennett, D. P DiVincenzo, J. A. Smolin, W. K. Wootters // Phys. Rev. A. — 1996. — Vol. 54. — P. 3824.

39. Zanardi P. Virtual quantum subsystems // Phys. Rev. Lett. — 2001.— Vol. 87.-P. 077901.

40. Zanardi P., Lidar D. A., Lloyd S. Quantum tensor product structures are observable induced // Phys. Rev. Lett. — 2004. — Vol. 92. — P. 060402.

41. Quantum correlations in two-fermion systems / J. Schliemann, J. I. Cirac, M. Kus et al. // Phys. Rev. A. 2001. — Vol. 64. — P. 022303.

42. Paskauskas R., You L. Quantum correlations in two-boson wave functions // Phys. Rev. A. — 2001. Vol. 64. — P. 042310.

43. Zanardi P. Quantum entanglement in fermionic lattices // Phys. Rev. A. — 2002.-Vol. 65. -P. 042101.

44. Gittings J. R., Fisher A. J. Describing mixed spin-space entanglement of pure states of indistinguishable particles using an occupation-number basis // Phys. Rev. A — 2002. — Vol. 66,- P. 032305.

45. Experimental quantum teleportation / D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle et al. // Nature. — 1997. — Vol. 390. P. 575.

46. Experimental realization of teleporting an unknown pure quantum state via dual classical and einstein-podolsky-rosen channels / D. Boschi, S. Branca, F. D. Martini et al. // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 80. —P. 1121-1125.

47. Kim Y.-H., Kulik S. P., Shih Y. Quantum teleportation of a polarization state with a complete bell state measurement // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Vol. 86. P. 1370-1373.

48. Peres A. Quantum Theory: Concepts and Methods. — Kluwer Academic Publishers, The Netherlands, 1995.

49. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and einstein-podolsky-rosen channels / C.H.Bennett, G.Brassard, C.Crepeau et al. // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 70. — Pp. 1895-1899.

50. Quantum state engineering with ququarts: Application for deterministic qkd protocol / A. P. Shurupov, S. S. Straupe, S. P. Kulik et al. // Europhys. Lett.- 2009.-Vol. 87(1).-P. 10008.

51. Interference effects in spontaneous two-photon parametric scattering from two macroscopic regions / A. V. Burlakov, M. V. Chekhova, D. N. Klyshko et al. // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 56. - P. 3214.

52. Generation of different bell states within the spontaneous parametric down-conversion phase-matching bandwidth / G. Brida, M. Chekhova, M. Gen-ovese, L. Krivitsky // Phys. Rev. A — 2007. —Vol. 76. —P. 053807.

53. Spontaneous parametric down-conversion: Anisotropical and anomalously strong narrowing of biphoton momentum correlation distributions / M. V. Fedorov, M. A. Efremov, P. A. Volkov et al. // Phys. Rev. A.— 2008. Vol. 77. - P. 032336.

54. Cialdi SBrivio D., Paris M. G. A. Programmable purification of type-i polarization-entanglement // Appl. Phys. Lett. — 2010. — Vol. 97. — P. 041108.

55. Statistical estimation of the efficiency of quantum state tomography protocols / Y. I. Bogdanov, G. Brida, M. Genovese et al. // Phys. Rev. Lett.— 2010.-Vol. 105.-P. 010404.

56. Monken C. H., Ribeiro P. H. S.} Padua S. Transfer of angular spectrum and image formation in spontaneous parametric down-conversion // Phys. Rev. A. — 1998. — Vol. 57. — P. 3123.

57. Walborn S. P., de Oliveira A. N., Monken C. H. Multimode hong-ou-mandel interference // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 90.—P. 143601.

58. Packet narrowing and quantum entanglement in photoionization and photodissociation / M. V. Fedorov, M. A. Efremov, A. E. Kazakov et al. // Phys. Rev. A. 2004. - Vol. 69. - P. 052117.

59. Parker S., Bose S., Plenio M. B. Entanglement quantification and purification in continuous-variable systems // Phys. Rev. A.— 2000.— Vol. 61.— P. 032305.

60. Law C. K., Walmsley I. A., Eberly J. H. Continuous frequency entanglement: Effective finite hilbert space and entropy control // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. — P. 5304.

61. Law C. K., Eberly J. H. Analysis and interpretation of high transverse entanglement in optical parametric down conversion // Phys. Rev. Lett. — 2004. Vol. 92. — P. 127903.

62. Effect of spatial filtering on the schmidt decomposition of entangled photons / M. P. van Exter, A. Aiello, S. S. R. Oemrawsingh et al. // Phys. Rev. A. — 2006. — Vol. 74. — P. 012309.

63. Orbital angular momentum of light and the transformation of laguerre-gaussian laser modes / L. Allen, M. Beijersbergen, R. J. Spreeuw, J. P. Wo-erdman // Phys. Rev. A. 1992. — Vol. 45. — Pp. 8185-8189.

64. Allen L., Padgett M. J., Babiker M. The orbital angular momentum of light I/ Prog. Opt.— 1999, — Vol. 39, — Pp. 291-372.

65. Two-photon entanglement of orbital angular momentum states / S. FrankeArnold, S. M. Barnett, M. J. Padgett, L. Allen // Phys. Rev. A. — 2002,— Vol. 65. — P. 033823.

66. Arnaut H. H., Barbosa G. A. Orbital and intrinsic angular momentum of single photons and entangled pairs of photons generated by parametric down-conversion // Phys. Rev., Lett. — 2000. — Vol. 85. — P. 286.

67. Barbosa G. A. Wave function for spontaneous parametric down-conversion with orbital angular momentum // Phys. Rev. A. — 2009.— Vol. 80.— P. 063833.

68. Feng S., Kumar P. Spatial symmetry and conservation of orbital angular momentum in spontaneous parametric down-conversion // Phys. Rev. Lett.- 2008. -Vol. 101.-P. 163602.

69. Quantum spiral bandwidth of entangled two-photon states / J. P. Torres, A. Alexandrescu, , L. Tomer // Phys. Rev. A. — 2003.— Vol. 68.— P. 050301 (R).

70. Entanglement of the orbital angular momentum states of photons / A. Mair, A. Vaziri, G. Weihs, A. Zeilinger // Nature. — 2001. — Vol. 412. Pp. 313316.

71. Measuring the orbital angular momentum of a single photon / J. Leach, M. J. Padgett, S. M. Barnett et al. // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88. — P. 257901.

72. Entanglement and conservation of orbital angular momentum in spontaneous parametric down-conversion / S. P. Walborn, A. N. de Oliveira, R. S. Thebaldi, C. H. Monken // Phys. Rev. A.- 2004.- Vol. 69,-P. 023811.

73. Concentration of higher dimensional entanglement: Qutrits of photon orbital angular momentum / A. Vaziri, J.-W. Pan, T. Jennewein et al. // Phys.Rev.Lett. 2003. — Vol. 91. — P. 227902.

74. Measuring entangled qutrits and their use for quantum bit commitment / N. K. Langford, R. B. Dalton, M. D. Harvey et al. // Phys. Rev. Lett.— 2004. Vol. 93. - P. 053601.

75. Experimental demonstration of fractional orbital angular momentum entanglement of two photons / S. S. R. Oemrawsingh, D. V. X. Ma, A. Aiello et al. // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 95.- P. 240501.

76. Entanglement of arbitrary superpositions of modes within two-dimensional orbital angular momentum state spaces / B. Jack, A. M. Yao, J. Leach et al. // Phys. Rev. A. 2010. - Vol. 81. - P. 043844.

77. Peeters W. H., Verstegen E. J. K., van Exter M. P. Orbital angular momentum analysis of high-dimensional entanglement // Phys. Rev. A. — 2007. — Vol. 76. P. 042302.

78. Pires H. D. L., Florijn H. C. B., van Exter M. P. Measurement of the spiral spectrum of entangled two-photon states // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 104,- P. 020505.

79. Angular two-photon interference and angular two-qubit states / A. K. Jha, J. Leach, B. Jack et al. // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 104. — P. 010501.

80. Walborn S. P.; Padua S., Monken C. H. Conservation and entanglement of hermite-gaussian modes in parametric down-conversion // Phys. Rev. A.— 2005,-Vol. 71.-P. 053812.

81. Fedorov M. V.; Mikhailova Y. M., Volkov P. A. Gaussian modeling and schmidt modes of spdc biphoton states // J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.— 2009.-Vol. 42.-P. 175503.

82. Calvo G. F., Picon A., Bramon A. Measuring two-photon orbital angular momentum entanglement // Phys. Rev. A. — 2007. — Vol. 75. — P. 012319.

83. Helical-wavefront laser beams produced with a spiral phaseplate / M. W. Beijersbergen, R. P. C. Coerwinkel, M. Kristensen, J. P. Woerd-man // Opt. Commun.— 1994. — Vol. 112,— Pp. 321-327.

84. The generation of free-space laguerre-gaussian modes at millimetre-wave frequencies by use of a spiral phaseplate / G. A. Turnbull, D. A. Robertson, G. M. Smith et al. // Opt. Commun. — 1996. Vol. 127. - Pp. 183-188.

85. Laser beams with phase singularities / N. R. Heckenberg, R. McDuff, C. P. Smith et al. // Opt. Quant. Electron. — 1992. — Vol. 24. Pp. S951-S962.

86. The production of multiringed laguerre-gaussian modes by computergenerated holograms / J. Arlt, K. Dholakia, L. Allen, M. J. Padgett // J. Mod. Opt.- 1998. —Vol. 45, — Pp. 1231-1237.

87. Generation of high-quality higher-order laguerre-gaussian beams using liquid-crystal-on-silicon spatial light modulators / N. Matsumoto/T. Ando, T. Inoue et al. // J. Opt. Soc. Am. A — 2008. —Vol. 25. — Pp. 1642-1651.

88. How to create and detect n-dimensional entangled photons with an active phase hologram / M. Stutz, S. Gru,blacher, T. Jennewein, A. Zeilinger // Applied Physics Letters. — 2007. — Vol. 90. — P. 261114.

89. Quantum correlations in optical angle-orbital angular momentum variables / J. Leach, B. Jack, J. Romero et al. // Science. — 2010. — Vol. 329.-Pp. 662-665.

90. Precise quantum tomography of photon pairs with entangled orbital angular momentum / B. Jack, J. Leach, H. Ritsch et al. // New Journal of Physics. 2009. - Vol. 11. — P. 103024.

91. Identifying entanglement using quantum ghost interference and imaging / M. D'Angelo, Y.-H. Kim, S. P. Kulik, Y. Shih // Phys. Rev. Lett. 2004. -Vol. 92.-P. 233601.1. Благодарности

92. В заключение мне хотелось бы выразить чувство глубокой признательности своему научному руководителю профессору Сергею Павловичу Кулику, без неоценимой помощи которого невозможно представить мою научную работу.

93. Я благодарю Михаила Владимировича Федорова, значение многочисленных дискуссий с которым трудно переоценить. Его открытость и готовность делиться идеями всегда будет служить для меня примером.

94. Я безмерно благодарен всем моим родным и друзьям, без постоянной поддержки которых моя работа была бы невозможна.