Коррелированные двухчастичные системы: измерение, контроль и возможное применение тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

Морева Екатерина Васильевна

КОРРЕЛИРОВАННЫЕ ДВУХЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ: ИЗМЕРЕНИЕ, КОНТРОЛЬ И ВОЗМОЖНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

01 04 21 - лазерная физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор

Москва 2007

2 4 МАЙ 2007

003059935

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Эдуард Анатольевич Маныкин

Официальные оппоненты. доктор физико-математических наук,

профессор Сергей Николаевич Молотков, Институт физики твердого тела РАН

доктор физико-математических наук, профессор Александр Николаевич Пенин Московский государственный университет им М В Ломоносова

Ведущая организация- Физико-Технологический Институт РАН

Защита состоится «/В» ¡уЯС^Я 2007 года в часов на

заседании диссертационного совета Д 212 130 05 в МИФИ по адресу 115409, Москва, Каширское шоссе, 31, "К" корпус, ауд 608

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ Автореферат разослан «£. 2007 года

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 130 05 / ИВ Евсеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена теоретическому и экспериментальному изучению особого свойства квантовых систем - перепутывания Исследованы методы создания перепутанных состояний, контроля и измерения степени перепутанности Обсуждается применение перепутанных состояний фотонов в прикладных задачах квантовой оптики

Актуальность темы:

В задачах квантовой теории информации, а также в фундаментальных вопросах обоснования квантовой теории состояния квантово-коррелированных систем принято называть перепутанными Для описания наличия того или иного типа корреляций, были введены критерии, а также определены меры перепутанности квантовых состояний.

Перепутанные состояния могут возникать в системе, состоящей из двух или более подсистем В простейшем случае чистого состояния составной системы перепутанность состоит в невозможности факторизации волновой функции системы, т е в невозможности представить ее в виде произведения волновых функций ее подсистем

Однако, даже если начальное состояние факторизовано, то после взаимодействия подсистем друг с другом или через окружение их состояние может стать перепутанным В таком состоянии подсистемы описываются только матрицей плотности, в то время как система в целом характеризуется либо волновой функцией, либо нефакторизуемой матрицей плотности

Существует достаточно много способов создания перепутанных состояний Во-первых, это может быть физический процесс, в результате которого возникают перепутанные состояния, другими словами, источник перепутанных состояний Здесь следует упомянуть о процессе спонтанного параметрического

рассеяния (СПР) света, имеющего место в нелинейных средах без центра инверсии Бифотонное поле, возникающее в таком процессе, состоит из пар коррелированных по времени, поляризации, частотам и месту рождения фотонов На основе такого двухфотонного поля можно приготовить состояния, перепутанные не только по непрерывным переменным, импульсу или координате, но и по дискретным, например по поляризации

Другой способ заключается в приготовлении перепутанных состояний из первоначально независимых, например состояний атомов, ионов или мезоскопических объектов Оказывается, что управление над процессом перепутывания можно осуществить при помощи оптического излучения Такая идея лежит в основе создания квантового повторителя - устройства, позволяющего передавать перепутанные состояния на большие расстояния

Квантово-коррелированные частицы представляют основной ресурс для различных схем квантовой телепортации и криптографии, используются в корреляционной спектроскопии и квантовой метрологии. Исчезновение квантовых корреляций в случае декогерентности является одним из основных принципиальных моментов на пути создания квантового компьютера

Перепутанные состояния фотонов могут с успехом использоваться в прикладных задачах квантовой оптики и квантовой информации Фотоны слабо взаимодействуют с окружением, сводя к минимуму эффекты декогерентизации, и легко преобразуются с помощью линейных оптических элементов Именно на основе фотонов были реализованы протоколы квантового распределения ключа, квантовой телепортации и плотной кодировки Как правило, перепушвание рассматривается по дискретному набору переменных, например по поляризации Такое описание не раскрывает полностью природу перепутывания, поэтому в последнее время возрос интерес к квантовым системам, перепутанным по непрерывным переменным, например импульсу и координате Основные задачи, возникающие при описании такого перепутывания, можно объединить в три группы 1) как измерить степень перепутывания?

2) можно ли управлять степенью перепутывания?

3) насколько сильно можно перепутать состояния"?

Оказывается, существует возможность измерения двухчастичной степени перепутывания непосредственно из прямых экспериментальных измерений В качестве меры перепутывания выступает отношение ширин одночастичных и двухчастичных угловых распределении излучения, рождающегося в результате СПР света Неожиданным фактом стало предсказание и подтверждения в эксперименте сильной анизотропии угловых распределений бифотонного поля Это дает возможность получения высокой степени перепутывания при широком угловом спектре накачки, что до сих пор считалось невозможным Кроме того, изменение геометрии наблюдения позволяет легко варьировать степень наблюдаемого перепутывания

В качестве отдельной области можно выделить задачи, связанные с поляризационными свойствами бифотонов Направления этих исследований во многом определяются задачами квантовой криптографии и вычислений С точки зрения этих приложений, бифотон - квантовая система, чистое поляризационное состояние которой можно представить в виде трех- или четырехуровневой* квантовой системы Особый интерес представляет случай, когда оба фотона, составляющие пару, распространяются в одной пространственной моде (однопучковый бифотон) В ряде случаев, использование квантовых многоуровневых систем как носителей информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами, двухуровневыми системами Так, увеличение размерности гильбертова пространства увеличивает стойкость криптографического протокола перед некоторыми классами атак подслушивания

Использование квантовых состояний высокой размерности в прикладных задачах подразумевает под собой процедуры контроля над тремя основными этапами - генерацией, преобразованием и измерением состояний Корреляция

* Здесь речь идет не об энергетических уровнях, а о базисных состояниях Однако в настоящее время эта терминология общепринята, и мы будем ее придерживаться

фотонов в парах может быть измерена при помощи схемы совпадений фотоотсчетов при использовании счетных фотодетекторов Схемы, основанные на регистрации четвертого момента по полю или числа совпадений фотоотсчетов, позволяют восстановить неизвестное поляризационное состояние бифотона.

Из всего вышесказанного следует актуальность работы, обусловленная фундаментальным интересом к природе возникновения перепутывания между квантовыми состояниями, а также к методам измерения и управления степенью перепутывания Изложенный материал представляет также достаточно полное описание поляризационных свойств оптических многоуровневых систем, которые могут быть полезны для практического применения в квантовых информационных протоколах

Целью диссертаиионной работы являлось-

1 Исследование механизма возникновения перепутывания между состояниями двух независимых двухуровневых атомов, находящихся в поле общего термостата и взаимодействующих с классическим электромагнитным полем, определение принципиальных условий, при которых перепутывание может иметь место, и изучение методов когерентного контроля над квантовыми состояниями 2. Анализ количественных мер перепутывания двухчастичных состояний бифотонного поля Выявление оптимальных условий для наблюдения максимального перепутывания, а также реализация соответствующих экспериментов

3. Реализация алгоритмов статистического восстановления всех поляризационных параметров, характеризующих произвольное состояние бифотона-кукварта

4 Исследование экспериментальных возможностей приготовления набора базисных состояний бифотона-кукварта методами обычной поляризационной оптики.

5 Исследование вопроса о применимости поляризационных куквартов в практической реализации протокола квантового распределения ключа

Практическая ценность диссертации состоит в возможном использовании

полученных результатов в квантовой оптике и квантовой информации

• при моделировании динамики перепутывания в реальных квазиодномерных структурах

• для коммуникаций с использованием бифотонных состояний, распространяющихся в открытом пространстве

• при реализации протоколов квантового распределения ключа на многоуровневых системах

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующих

положениях-

1 Теоретически продемонстрирована возможность когерентного контроля над степенью перепутывания квантовых состояний

2 Обнаружен и количественно проверен эффект сильной анизотропии перепутывания пар фотонов при СПР

3 Разработаны и реализованы протоколы статистического восстановления произвольного поляризационного состояния бифотона - кукварта

4 Разработана схема для практической реализации протокола квантового распределения ключа на поляризационных куквартах

На защиту выносятся следующие положения:

1 Определено влияние классического электромагнитного поля на возникновение перепутывания между состояниями двух независимых двухуровневых атомов, находящихся в поле общего термостата Степенью перепутывания можно эффективно управлять при помощи внешнего электромагнитного поля

2 Определено условие, при котором возможно наблюдение высокой степени перепутывания пар фотонов при СПР В этом случае волновой пакет бифотона может определяться только параметрами нелинейного кристалла (длина и угловая анизотропия коэффициента преломления), а не угловым спектром накачки

3 С помощью реализованных протоколов статистического восстановления можно полностью восстановить информацию о поляризационном состоянии бифотона-кукварта

4 Развитая концепция поляризационных преобразований многомодового оптического поля позволяет эффективно применять бифотоны-кукварты в протоколах квантового распределения ключа

Апробация работы. Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях II Международная Конференция по Оптике Лазеров для молодых ученых, Санкт-Петербург, Россия, 2003г., Всероссийская Молодежная Научная Школа, «Когерентная Оптика и Оптическая Спектроскопия», Казань, Россия, 2003г, VIII Международный симпозиум «Фотонное Эхо и Когерентная Спектроскопия» (PECS'2005), Светлогорск, Россия, 2005г, XI International Conference on Quantum Optics (ICQO'06), Минск, Белоруссия, 2006г, Coherent Control of the Fundamental Processes in Optics and X-ray-Optics (CCFP'2006) H Новгород - Казань, Россия, 2006г, Международная конференция «ICO Topical Meeting on Optoinformatics/Information Photonics», Санкт-Петербург, Россия, 2006г., «Seminar of the Quantum Optics Division», University of Rochester, Rochester, NY, USA, 2006г, Общеинститутский семинар ИОФ РАН, 2007г, 3,4 Семинар памяти Д.Н. Клышко, Москва, Россия, 2003,2005гг

Публикации: По теме диссертации опубликовано 7 работ в реферируемых журналах, список которых приведен в конце автореферата Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 105 наименований, изложена на 161 странице и содержит 32 рисунка и 9 таблиц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава I. Перепутывание состояний атомов в резонансном классическом электромагнитном поле

Первая глава посвящена вопросу о перепутывании состояний атомов, находящихся в поле общего термостата и резонансно взаимодействующих с классическим электромагнитным полем Показано, что дополнительное резонансное взаимодействие с электромагнитным полем позволяет существенно расширить область параметров атомной системы, при которых происходит перепутывание, причем степенью перепутывания можно эффективно управлять, меняя характеристики поля

В первом параграфе выводятся кинетические уравнения для элементов двухчастичной матрицы плотности с релаксационным оператором в обобщенной форме Линдблада Это позволяет обсуждать динамику как симметричных по частицам атомных состояний, так и антисимметричных Рассматриваются различные модели термостата - однонаправленная, одномерная и трехмерная, а также сжатый термостат Установлено, что одним из основных условий перепутывания атомных состояний в процессе радиационного распада является наличие общего термостата В качестве термостатов рассматриваются широкополосные дельта-коррелированные квантованные электромагнитные поля, которые характеризуются плотностью фотонов и степенью сжатия начального состояния Случай сжатия электромагнитного поля может быть реализован при помощи вырожденных параметрических усилителей Одномерная модель поля и определяемый этим полем общий термостат являются хорошим приближением для искусственных сред, таких как фотонные кристаллы и одномодовые волокна

В данном параграфе рассмотрены не только стационарные перепутанные состояния, но и динамика перепутывания во времени Для количественной характеристики перепутывания использовалось минимальное собственное значение двухатомной матрицы плотности, транспонированной по переменным

одного из атомов (матрицы Переса-Хородецких) Критерий Переса-Хородецких является необходимым и достаточным, в отличие от других критериев Было установлено, что состояния системы двух атомов в поле общего термостата в отсутствие прямого взаимодействия между атомами характеризуются наличием стационарного перепутывания Это означает, что даже при нулевой температуре термостата атомы возбужденной атомной системы не переходят в основное энергетическое состояние, и в системе сохраняется возбуждение

Процесс перепутывания можно объяснить существенно разной динамикой подпространств атомных состояний, различающихся типом симметрии по отношению к перестановке атомов Симметричные состояния, например

|5,) = -^(|0)1|1)2+|1)1|0)2) эволюционируют неунитарным образом, в то время

как динамика ассиметричного состояния |а} = ^(|0}]|1)2-|1)]|о)2) унитарна

Как следствие, в результате эволюции нарушается баланс представления неперепутанного начального состояния через базисные вектора |л), ¡о) перепутанного базиса Поэтому, спустя некоторое время, атомные состояния оказываются перепутанными

Также был изучен механизм когерентного контроля (управления) степенью перепутывания атомных состояний при помощи резонансного взаимодействия атомов с дополнительным классическим электромагнитным полем Чисто внешне взаимодействие атомов с когерентным полем выглядит весьма необычно Там, где в отсутствие когерентного поля стационарного перепутывания в атомной системе не наблюдается, взаимодействие с когерентным полем приводит к появлению стационарного перепутывания Если же начальные состояния атомов такие, что их коллективный распад в поле общего термостата приводит к образованию перепутанных состояний, то взаимодействие с классическим электромагнитным полем позволяет менять степень перепутанности атомных состояний

Второй параграф первой главы посвящен исследованиям влияния различных факторов на степень стационарного перепутывания, а также временные особенности образования и разрушения стационарного перепутывания Среди изученных факторов - температура термостата, сжатие, наличие фазовой задержки Установлено, что весьма благоприятными условиями возникновения перепутанности в системе двух невзаимодействующих атомов является отсутствие в термостате фотонов При ненулевых температурах благоприятные условия для перепутывания появляются при наличии сжатия термостата

Практическая ценность состоит в возможности применения кинетических уравнений, описывающих динамику процесса перепутывания, в реальных квазиодномерных системах, таких как фотонные кристаллы или световые волокна Взаимодействие с электромагнитным полем можно рассматривать как способ когерентного контроля в оптических бистабильных устройствах

Глава П. Пространственная анизотропия волнового пакета бифотона

Вторая глава диссертации посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию перепутывания по непрерывным переменным пары фотонов, рожденных в результате спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света Процесс СПР феноменологически можно интерпретировать как спонтанный распад фотона накачки с частотой ар на пару фотонов (традиционно называемыми сигнальным и холостым) с частотами со, и щ Такая интерпретация позволяет считать рассеянное поле состоящим из пар коррелированных в пространстве-времени фотонов, или бифотонов, чьи направления разлета и частоты связаны условием параметрического синхронизма

Основными характеристиками бифотонной волновой функции считаются распределение вероятности регистрации одного фотона из пары (одночастичное или безусловное распределение) или регистрации пары

фотонов (двухчастичное или условное распределение) Эти характеристики

и

могут быть измерены экспериментально при помощи одного или пары детекторов, расположенных в дальней или ближней зоне Так, одночастичное распределение может быть измерено как зависимость скорости регистрации фотонов от положения детектора, а двухчастичное распределение измеряется как скорость регистрации пар фотонов от положения одного детектора при фиксированном положении другого детектора

В первом параграфе второй главы приведен краткий обзор литературных данных по вопросам, связанным с применением количественных мер перепутывания по непрерывным переменным для двухчастичных состояний В частности, в работах М В Федорова в качестве меры перепутывания предлагалось использовать отношение ширин условных и безусловных распределений плотности вероятности

^-^йили^-^, (1)

которые напрямую связаны с экспериментально измеряемыми одночастичным и двухчастичным волновыми пакетами системы Здесь и ширины одночастичных (5) и двухчастичных (с) волновых пакетов в координатном (х) или импульсном (К) представлении Для неперепутанных частиц отношения (1) равны единице, в случае же сильного различия между ширинами одно- и двухчастичных распределений состояние является перепутанным.

Во втором и третьем параграфах рассмотрено влияние собственной анизотропии кристалла на структуру бифотонного пакета Можно показать, что волновая функция бифотона в терминах углов рассеяния записывается в следующем виде

Здесь Е'р амплитуда углового распределения накачки, Ь - длина кристалла, А£0> - длина волнового вектора накачки в точке синхронизма, па - коэффициент преломления для обыкновенного сигнального фотона, а пр - производная по

углу коэффициента преломления необыкновенного фотона накачки, % - угол ориентации оптической оси кристалла относительно горизонтального направления

Непосредственно из (2) следует, что профиль одночастичных и двухчастичных угловых распределений имеет выраженное анизотропное распределение Эффект проявляется наглядно при сравнении ширин распределений, измеренных в двух разных геометриях когда регистрируются фотоны в плоскости, совпадающей с осью кристалла (|| геометрии, % = 0°) или в плоскости, ортогональной к оси (_]_ геометрии, % =90°) Так, в горизонтальной геометрии, можно получить условное угловое распределение бифотона значительно более узким, чем угловое распределение накачки, что до сих пор считалось невозможным. При этом одночастичное распределение оказывается значительно более широким, чем в вертикальной геометрии

В вертикальной геометрии ширина двухчастичного распределения в импульсном представлении определяется только угловой расходимостью накачки При этом ширина условного распределения практически не отличается от безусловного (одночастичного) распределения

Сравнивая ширины распределений, согласно (1), можно определить наблюдаемую степень перепутывания пары фотонов, которая сильно зависит от геометрии наблюдения и параметров накачки и нелинейного кристалла Так, в горизонтальной геометрии, наблюдаемая степень перепутывания оказывается более значительной, чем в вертикальной геометрии

Третий параграф посвящен эксперименту по проверке аналитических формул, описывающих анизотропную структуру бифотонного пакета Экспериментальная установка представлена на рис 1 В результате СПР типа I в нелинейном кристалле рождались пары фотонов одинаковой поляризации, с длинами волн равными 650нм Фотоны распространялись в том же направлении, что и накачка Такой режим генерации называется коллинеарным вырожденным Блок регистрации включал в себя схему Брауна-Твисса и интерференционные фильтры № на длину волны 650нм и полосой пропускания

13

Юнм Два однофотонных детектора (Б) были помещены в фокальную плоскость линзы .Г с фокусом 62см Один из детекторов был фиксирован, а второй мог перемещаться в горизонтальной плоскости при помощи микрометрической подвижки При этом связь углового смещения в с координатой детектора х задавалась простым выражением х = Р1апв Импульсы с выходов детекторов были направлены на схему совпадения (СС) Она генерирует выходной импульс каждый раз, когда на входах обоих детекторов присутствует пара импульсов, совпадающих во времени в пределах окна совпадений Тс, равного в нашем случае 2нс Для изучения однофотонных угловых распределений снимались показания с одного детектора как функция от перемещения, а для двухфотонных угловых распределений учитывался только сигнал от схемы совпадений в зависимости от смещения одного из детекторов Для измерения угловых распределений в двух разных геометриях ось кристалла поворачивалась относительно плоскости детектирования, и рассматривались две основных ориентации первая - ось перпендикулярна плоскости сканирования (±), вторая - ось параллельна плоскости сканирования (||) Результаты измерений показаны на рис2(а,б) Левый рисунок соответствует вертикальной ориентации кристалла относительно плоскости сканирования Регистрируемая при этом степень перепутывания

небольшая и составляет всего Ак^ /Ак[с) = 3 Ситуация радикально меняется при наблюдении угловых распределений в || геометрии Соответствующие распределения показаны на рис 2(6), и их ширины равны Л^^ц ~ 0.75мрад

для двухчастичного распределения и - 60мрад для одночастичного

Отношение этих ширин есть параметр перепутывания

Таким образом, угловые распределения бифотонного пакета имеют выраженное анизотропное распределение, а степень перепутывания, скрытая в бифотонном волновом пакете, достаточно

большая, однако наблюдать ее можно только в плоскости, параллельной оптической оси кристалла

Рис 1

Экспериментальная установка для измерения одно- и двухчастичных угловых распределений Нс-Сё - накачка (325нм, 5мВт), в - щель (70мкм), ЫОз - нелинейный кристалл с синхронизмом типа I, ОМ - дихроичное зеркало, отсекающее излучение накачки, Р - собирающая линза, Э - однофотонные детекторы, П7 - интерференционные фильтры (на 650 нм, с полосой пропускания Юнм), СС - схема совпадения

угап(рад.) угол (рад)

Рис 2

Нормированные одно (в) - и двухчастичные (с) угловые распределения для (а) геометрии, (6) || - геометрии

Глава Ш. Поляризационные четырехуровневые оптические системы (кукварты) на основе бифотонного поля

В третьей главе обсуждается применение перепутанных состояний фотонов в прикладных задачах квантовой оптики. Рассматриваются поляризационные

свойства четырехуровневых оптических систем на основе частотно невырожденного бифотонного поля Предлагаются протоколы статистического восстановления произвольного состояния бифотона-кукварта Обсуждаются физические принципы работы протокола квантового распределения ключа на четырехуровневых оптических системах

В первом параграфе обсуждаются поляризационные свойства бифотонного поля, полученного в результате СПР Показано, что вектор состояния бифотонного поля в произвольном чистом поляризационном состоянии имеет вид

|«Р) = С1|Я1Я2) + С2|Я1К2)+С3|К1Я2)+С4|К1К2), (3)

где величины с, =|с,|е'^',(/ = 1,2,3,4) - называются комплексными амплитудами

4

состояния и для них выполняется условие нормировки = Запись

1=1

\т,п) обозначает фоковское состояние с ш фотонами в горизонтальной (Н) поляризационной моде и п фотонами в вертикальной (V) поляризационной моде с общим числом фотонов п+т = 2 Состояния | Н\, #2) = 12,0) и

И'^2)-|0,2) соответствуют так называемому типу I взаимодействия, при котором фотоны в паре поляризованы вдоль одного направления,

горизонтального или вертикального, а состояние \Н\,У2) = |1Д) (или |#1,К2)) соответствует взаимодействию типа II, при котором фотоны в паре поляризованы ортогонально друг другу Состояние (2) представляет собой суперпозицию четырех ортогональных векторов-состояний и называется куквартом, т е квантовой системой размерности Б = 4, по аналогии с кубитом, двухуровневой квантовой системой.

Поляризационные свойства двухмодового бифотонного поля полностью определяются матрицей когерентности Эта матрица, состоящая из 16

моментов четвертого порядка по полю, может быть получена путем прямого перемножения матриц когерентности обоих фотонов

К4 =Ki®K2 =

/ А Е F С?Л Е* В I К F* I* С L G* К* L* D

(3)

где, компоненты матрицы могут быть записаны в следующем виде

А = (afa$a, «2) = bf>B = (а1Ь2а1 = b|2>C = (b\ap{ а2^ = |с3 f,

D = (bfbih А2) = [с4[2,£ = Ь2) = с*с2,F = (afapj я2) = СГС3>

G = {atapi ¿2^ = с*с4,/ = {аррх а2^ = с2съ,К = (a^b2bx А2) = С2С4. ^

^ = (ь^а2Ь\ ¿2) = С3С4

Использование квантовых состояний с высокой размерностью в прикладных задачах подразумевает под собой процедуры контроля над тремя основными этапами - генерацией, преобразованием и измерением состояний

Во втором параграфе было предложено два протокола статистического восстановления неизвестного поляризационного состояния кукварта Один из них основан на измерении проекций исследуемого состояния в различных поляризационных базисах путем проведения линейных поляризационных преобразований в плечах интерферометра Брауна-Твисса, после пространственного разделения бифотона Во втором методе поляризационные преобразования осуществляются над бифотоном, как над цельным объектом По сути дела задача о реконструкции состояния поляризационного кукварта сводится к выполнению ряда действий по измерению моментов четвертого порядка (4) и восстановления матрицы (3) Для проверки предложенных протоколов использовались два набора состояний - факторизуемые и нефакторизуемые (перепутанные) В качестве меры соответствия восстановленного состояния к исходному использовалась величина F (fidelity),

2

которую можно определить как F = Тг( рехр р^) Если восстановленное

состояние идентично теоретическому, то ^=1, если состояния ортогональны, /М)

Пример результатов статистического восстановления поляризационного состояния бифотона-кукварта представлен в Таблице 1

Вектор состояния Fidelity

теория эксперимент

I*)- ~ (С1>С2'С3'С4) F

0 707 0 7326

0 0 0818-0 09631

0 0 0003-0 028Ь

0.707 0 6131+0 26571

-0 0015-0.0445х 0 8067

0 0337-0 02251 -0 4847-0 33041

0 3530+0 57161 0 023-0 05541

0 7383 -0 0174+0 0413i

Таблица 1

Результат статистического восстановления В третьем параграфе был рассмотрен вопрос о физических принципах построения протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Основываясь на развитой в первом параграфе концепции поляризационных преобразований многомодового оптического поля, было показано, что необходимый для КРК набор состояний может быть получен при помощи одного нелинейного кристалла и дальнейших унитарных преобразований, совершаемых оптическими элементами Это позволяет избежать использования интерферометрических схем, обладающих серьезными недостатками, такими как нестабильность во времени, необходимость прецизионного контроля относительной фазы состояний и высокие требования к совмещению в пространстве-времени разных компонент состояний Для реализации данного метода используется один нелинейно-оптический кристалл, фазовая пластинка с изменяемой толщиной и набор из ахроматических полу- и четверть волновой пластинок для смены базиса Метод приготовления основывается на частотной невырожденности фотонов, формирующих кукварт Например, чтобы приготовит состояние \H\V2) из

необходимо подобрать такую толщину фазовой пластинки, чтобы она являлась полуволновой на длине волны первого фотона и волновой для второго

Схема регистрации, позволяющая измерять состояния в одном из трех базисов, показана на этом же рисунке Схема состоит из дихроичного светоделителя DBS, пространственно разделяющего частотные моды 1 и 2 и пары поляризационных светоделителей PBS1 и PBS2, каждый из которых пропускает излучение с горизонтальной поляризацией (Н) и отражает излучение с вертикальной поляризацией (V) В двух парах выходных плеч этих светоделителей помещены детекторы, работающие в режиме счета фотонов Импульсы фототока с выходов детекторов подаются на четырехканальную схему парных совпадений Вместе с выходным импульсом коррелятор выдает сигнал идентификации тех пар входов, с которых поступили совпадающие импульсы Смена базиса осуществляется полуволновой и четвертьволновой пластинками Такая схема позволяет точно идентифицировать необходимые для КРК базисные состояния.

Рис 3

Схема для приготовления и измерения необходимого для КРК набора базисных состояний L1IO3 - нелинейный кристалл с синхронизмом типа I, DM - дихроичное зеркало, отсекающее излучение накачки, DP - фазовая пластинка, осуществляющая необходимые поляризационные преобразования, QP, HP - четверть- и полуволновая пластинки для смены базиса, DBS - дихроичный светоделитель, PBS - поляризационные светоделители, D -однофотонные детекторы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В заключении сформулированы основные результаты и выводы

диссертационной работы

1 Определены принципиальные условия возникновения перепутывания между двумя независимыми двухуровневыми атомами, находящимися в поле общего термостата Показано, что классическое электромагнитное поле существенно расширяет область параметров, при которых происходит перепутывание, и позволяет осуществлять когерентный контроль над квантовыми состояниями и степенью перепутывания атомов

2. Реализован операциональный метод определения степени перепутанности бифотонов Показано, что профиль одночастичных и двухчастичных угловых распределений, наблюдаемых в двух различных геометриях эксперимента, имеет выраженное анизотропное распределение. Это приводит к проявлению сильной зависимости степени перепутывания между фотонами от ориентации кристалла

3. Предложены и экспериментально реализованы протоколы статистического восстановления поляризационного состояния частотно-невырожденных бифотонов (куквартов) Проведены измерения набора моментов четвертого порядка, определяющих матрицу когерентности для различных состояний входного бифотонного поля Высокая мера соответствия исходному состоянию (более 95%) подтверждает применимость предложенных процедур

4 Разработана схема для практической реализации протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах Развитая концепция поляризационных преобразований многомодового оптического поля

показала возможность приготовления необходимого для КРК набора базисных состояний при помощи одного нелинейного кристалла и линейных оптических элементов Предложенная схема регистрации позволяет измерять необходимый набор базисных состояний и обладает низким уровнем потерь

ПУБЛИКАЦИИ

[1] АМБашаров, ЕВ Морена, ЭАМаныкин «Перепутывание атомов резонансным классическим электромагнитным полем», Оптика и Спектроскопия, т 96, №5, с 724-731 (2004)

[2] Ю И Богданов, Р Ф Галеев, С П Кулик, Г А Масленников, Е В Морева «Реконструкция четырехуровневых состояний бифотонного поля», Письма в ЖЭТФ, т 82, вып 3, с 180-184 (2005)

[3] С.П Кулик, Г А Масленников, Е.В. Морева «К вопросу о практической квантовой криптографии на многоуровневых системах», ЖЭТФ, т 129, в 5, с 814 (2006)

[4] Е V Moreva, G A Maslenikov, S S Straupe and S P Kulik, «Four-level states based on biphoton, Phys Rev Lett. 97, p 023602 (2006)

[5] Yu I Bogdanov, E V Moreva, G A Maslepnikov, R F Galeev, S S Straupe and S P Kulik, «Polarization states of four-level systems», Phys Rev A 73, p 063810(2006)

[6] С П Кулик, E В Морева, С С Страупе, «Поляризационные преобразования бифотонов», Ученые записки казанского государственного университета, т 148, к 1, с 152, (2006)

[7] Ю И Богданов, Р.Ф Галлеев, С П Кулик, Е В Морева, «Математическое моделирование характеристик точности в задачах прецизионной квантовой томографии двухфотонных состояний», Оптика и Спектроскопия, т 103, №¡1, с 112-121

Подписано в печать 24 04 2007 г Исполнено 25 04 2007 г Печать трафаретная

Заказ № 460 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 www autoreferat ru

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Перепутывание атомов в резонансном классическом электромагнитном поле.

Введение.

§1.1 Основные модели коллективной релаксации.

1.1.1 Одномерная и трехмерная модели.

1Л .2 Однонаправленная модель.

1.1.3 Стационарное перепутывание.

1.1.4 Нестационарное перепутывание.

§1.2 Влияние параметров модели на степень перепутывания.

1.2.1 Учет фазового набега между атомами.

1.2.2 Зависимость от числа фотонов в термостате.

1.2.3 Сжатый термостат.

Выводы к главе 1.

Глава II. Пространственная анизотропия волнового пакета бифотона.

§2.1 Обзор литературы.

§2.2 Влияние анизотропии кристалла на спектр бифотонного поля.

§2.3 Одночастичные и двухчастичные угловые распределения в двух ортогональных плоскостях наблюдения.

§2.4 Экспериментальная установка и результаты измерений.

Выводы к главе II.

Глава III. Поляризационные четырехуровневые оптические системы кукварты) на основе бифотонного поля.

§3.1 Поляризационные свойства бифотонного поля.

3.1.1 Квантовые оптические состояния с размерностью D>2. Методы приготовления (по литературе).

3.1.2 Бифотон как четырехуровневая система. Критерий перепутанности для двух кубитов.

3.1.3 Момент второго порядка по полю. Параметры Стокса. Степень поляризации кукварта.

3.1.4 Момент четвертого порядка по полю. Матрица когерентности.

3.1.5 Приготовление кукварта в заданном поляризационном состоянии. Эксперимент.

§3.2 Статистическое восстановление состояний бифотонов-куквартов.

3.2.1 Протокол 1.

3.2.2 Протокол 2.

3.2.3 Экспериментальная установка и обсуждение результатов.

§3.3 Квантовое распределение ключа на бифотонах-куквартах.

3.3.1 Квантовая криптография на кубитах (по литературе).

3.3.2 Обобщение протокола квантовой криптографии с использованием систем высокой (D>2) размерности.

3.3.3 Приготовление и преобразование состояний бифотонов-куквартов.

3.3.4 Измерение состояний бифотонов-куквартов.

Выводы к главе III.

Диссертационная работа посвящена теоретическому и экспериментальному изучению особого свойства квантовых систем -перепутывания. Исследованы методы создания перепутанных состояний, контроля и измерения степени перепутанности. Обсуждается применение перепутанных состояний фотонов в прикладных задачах квантовой оптики.

На самой заре становления квантовой теории, в 1935г., Эйнштейн, Подольский и Розен опубликовали статью, озаглавленную "Можно ли считать квантомеханическое описание физической реальности полным?" [1]. Именно в ней авторы сформулировали свой знаменитый парадокс, который вызывал оживленные дискуссии, продолжающиеся вплоть до сего времени. Они рассмотрели систему двух квантово-коррелированных частиц, т.е. таких частиц, свойства которых связаны, не будучи точно заданными. Например, это могут быть две частицы, рожденные в результате распада третьей. Представим теперь, что частицы разнесены на сколь угодно большое расстояние. В начальный момент времени ни у одной из частиц не заданы координата или импульс, но в силу закона сохранения, сумма их импульсов, как и сумма координат, остается равной нулю. Если теперь производить измерения над первой частицей, например, измерить ее координату, то координата другой частицы после такого измерения тоже станет известной точно. Вследствие условия локальности, измерение над одной частицей не должно сказываться на другой. Следовательно, у второй частицы импульс может быть измерен сколь угодно точно. Такие рассуждения приводят к нарушению принципа неопределенности Гейзенберга. Если же меняется только волновая функция второй частицы, а сама частица останется точно такой же, значит, волновая функция - плохая характеристика для описания квантовой частицы.

В действительности, рассуждение, предложенное Эйнштейном, Подольским и Розеном, нисколько не опровергает квантовую механику и даже концепцию волновой функции. Дело в том, что квантово-коррелированные частицы характеризуются лишь одной общей волновой функцией; каждой же из двух частиц определенную волновую функцию приписать нельзя. Состояния таких квантово-коррелированных систем принято называть «перепутанными'»(или «запутанными»).

Перепутанные состояния могут возникать в системе, состоящей из двух или более подсистем. В простейшем случае чистого состояния составной системы перепутанность состоит в невозможности факторизации волновой функции системы, т.е. в невозможности представить ее в виде произведения волновых функций ее подсистем

W=k.)®k>®kc>.

Однако, даже если начальное состояние факторизовано, то после взаимодействия подсистем друг с другом или через окружение, их состояние может стать перепутанным. В таком состоянии подсистемы описываются только матрицей плотности, в то время как система в целом характеризуется либо волновой функцией, либо нефакторизуемой матрицей плотности.

Существует достаточно много способов создания перепутанных состояний. Во-первых, это может быть физический процесс, в результате которого возникают перепутанные состояния, другими словами, источник перепутанных состояний. Здесь следует упомянуть о процессе спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света, имеющего место в нелинейных средах без центра инверсии [2]. Бифотонное поле, возникающее в таком процессе, состоит из пар коррелированных по времени, поляризации, частотам и месту рождения фотонов. На основе такого двухфотонного поля можно приготовить состояния, перепутанные не только по

1 От английского «entangled» - запутанный непрерывным переменным, импульсу или координате, но и по дискретным, например по поляризации.

Другой способ заключается в приготовлении перепутанных состояний из первоначально независимых, например состояний атомов, ионов или мезоскопических объектов [3]. Оказывается, что управление над процессом перепутывания возможно осуществить при помощи оптического излучения. Такая идея лежит в основе создания квантового повторителя (quantum repeater) - устройства, позволяющего передавать перепутанные состояния на большие расстояния [4-6].

В настоящей работе исследуется механизм возникновения перепутывания между двумя двухуровневыми атомами, находящимися в поле общего термостата. Когерентный контроль над степенью перепутывания реализовывается классическим электромагнитным полем. Интерес к исследованию такой модели взаимодействия обусловлен возможностью применения кинетических уравнений, описывающих динамику процесса перепутывания, в реальных квазиодномерных системах, таких как фотонные кристаллы или световые волокна.

Квантово-коррелированные частицы представляют основной ресурс для различных схем квантовой телепортации и криптографии, используются в корреляционной спектроскопии и квантовой метрологии. Исчезновение квантовых корреляций в случае декогерентности является одним из основных принципиальных моментов на пути создания квантового компьютера.

Перепутанные состояния фотонов могут с успехом использоваться в прикладных задачах квантовой оптики и квантовой информации. Фотоны слабо взаимодействуют с окружением, сводя к минимуму эффекты декогерентизации, и легко преобразуются с помощью линейных оптических элементов. Именно на основе фотонов были реализованы протоколы квантового распределения ключа [7-10], квантовой телепортации [11-13] и плотной кодировки [14,15]. В этих работах б перепутывание рассматривалось по дискретному набору переменных, по поляризации. Такое описание не раскрывает полностью природу перепутывания, поэтому в последнее время возрос интерес к квантовым системам, перепутанным по непрерывным переменным, например импульсу и координате [16-24]. Основные задачи, возникающие при описании такого перепутывания, можно объединить в три группы:

1) как измерить степень перепутывания?

2) можно ли управлять степенью перепутывания?

3) насколько сильно можно перепутать состояния?

В диссертационной работе, на основе предложенного М.В.Федоровым подхода [25], демонстрируется возможность измерения двухчастичной степени перепутывания непосредственно из прямых экспериментальных измерений. В качестве меры перепутывания выступает отношение ширин одночастичных и двухчастичных угловых распределений излучения, рождающегося в результате СПР света. Неожиданным открытием стало обнаружение сильной анизотропии угловых распределений бифотонного поля. Это дает возможность получения высокой степени перепутывания при широком угловом спектре накачки, что до сих пор считалось невозможным. Кроме того, изменение геометрии наблюдения позволяет легко варьировать степень наблюдаемого перепутывания.

В качестве отдельной области можно выделить задачи, связанные с поляризационными свойствами бифотонов. Направления этих исследований во многом определяется задачами квантовой криптографии и вычислений. С точки зрения этих приложений, бифотон - квантовая система, чистое поляризационное состояние которой можно представить в виде трех - или четырехуровневой квантовой системы2. Особый интерес представляет случай, когда оба фотона, составляющие пару,

2 Определение D-уровневой системы, относящееся к энергетическим состояниям, здесь не вполне уместно, поскольку никаких реальных "уровней" в этих системах нет, под "уровнями" подразумеваются базисные состояния. Однако, в настоящее время эта терминология общепринята, и мы будем ее придерживаться. распространяются в одной пространственной моде (однопучковый бифотон). В ряде случаев, использование квантовых многоуровневых систем как носителей информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами, двухуровневыми системами. Так, увеличение размерности гильбертова пространства увеличивает стойкость криптографического протокола перед некоторыми классами атаками подслушивания [97-101].

Использование квантовых состояний высокой размерности в прикладных задачах подразумевает под собой процедуры контроля над тремя основными этапами - генерацией, преобразованием и измерением состояний. Корреляция фотонов в парах может быть измерена при помощи схемы совпадений фотоотсчетов при использовании счетных фотодетекторов. Схемы, основанные на регистрации четвертого момента по полю или числа совпадений фотоотсчетов, позволяют восстановить неизвестное поляризационное состояние бифотона.

В настоящей работе предложено два протокола статистического восстановления неизвестного поляризационного состояния четырехуровневой системы - кукварта. Один из них основан на измерении проекций исследуемого состояния в различных поляризационных базисах путем проведения линейных поляризационных преобразований в плечах интерферометра Брауна-Твисса после пространственного разделения бифотона. Во втором методе поляризационные преобразования осуществляются над бифотоном, как над цельным объектом.

Частотная невырожденность фотонов, формирующих кукварт, нашла применение в удобном способе приготовления и регистрации определенного класса состояний, необходимых для реализации протокола квантового распределения ключа. Конечно, существуют и другие протоколы, основанные на использовании систем повышенной размерности, но интерферометрическая техника, используемая в данных протоколах, сильно усложняет практическую реализацию.

Таким образом, подводя итог вышесказанному, можно сформулировать задачи диссертационной работы:

1. Исследование механизма возникновения перепутывания между состояниями двух независимых двухуровневых атомов, находящихся в поле общего термостата и взаимодействующих с классическим электромагнитным полем: определение принципиальных условий, при которых перепутывание может иметь место, и изучение методов когерентного контроля над квантовыми состояниями.

2. Анализ количественных мер перепутывания двухчастичных состояний бифотонного поля. Выявление оптимальных условий для наблюдения максимального перепутывания, а также реализация соответствующих экспериментов.

3. Реализация алгоритмов статистического восстановления всех поляризационных параметров, характеризующих произвольное состояние бифотона-кукварта.

4. Исследование экспериментальных возможностей приготовления набора базисных состояний бифотона-кукварта методами обычной поляризационной оптики.

5. Исследование вопроса о применимости поляризационных куквартов в практической реализации протокола квантового распределения ключа.

Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:

1. Теоретически продемонстрирована возможность когерентного контроля над степенью перепутывания квантовых состояний.

2. Обнаружен и количественно проверен эффект сильной анизотропии перепутывания пар фотонов при СПР.

3. Разработаны и реализованы протоколы статистического восстановления произвольного поляризационного состояния бифотона -кукварта.

4. Разработана схема для практической реализации протокола квантового распределения ключа на поляризационных куквартах.

Актуальность работы обусловлена фундаментальным интересом к природе возникновения перепутывания между квантовыми состояниями, а также к методам измерения и управления степенью перепутывания. Изложенный материал представляет также достаточно полное описание поляризационных свойств оптических многоуровневых систем, которые могут быть полезны для практического применения в квантовых информационных протоколах.

Практическая ценность диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в квантовой оптике и квантовой информации:

• при моделировании динамики перепутывания в реальных квазиодномерных структурах

• для коммуникаций с использованием бифотонных состояний, распространяющихся в открытом пространстве

• при реализации протоколов квантового распределения ключа на многоуровневых системах

Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:

II Меяедународная Конференция по Оптике Лазеров для молодых ученых, Санкт-Петербург, Россия, 2003г. Всероссийская Молодежная

Научная Школа, «Когерентная Оптика и Оптическая Спектроскопия», Казань, Россия, 2003г. VIII Международный симпозиум «Фотонное Эхо и Когерентная Спектроскопия» (PECS'2005), Солнечногорск, Россия, 2005г. Международный симпозиум «Квантовая информатика» (QI'05), Звенигород, Россия, 2005г. XI International Conference on Quantum Optics (ICQO'06), Минск, Белоруссия, 2006г. Coherent Control of the Fundamental Processes in Optics and X-ray-Optics (CCFP'2006), Н.Новгород - Казань, Россия, 2006г. Международная конференция «1СО Topical Meeting on Optoinformatics/ Information Photonics», Санкт-Петербург, Россия, 2006г., Seminar of the Quantum Optics Division, University of Rochester, Rochester, NY, USA, 2006г., Общеинститутский семинар ИОФ РАН, 2007г., 3,4 Семинар памяти Д.Н. Клышко, Москва, Россия, 2003,2005гг.

Диссертационная работа состоит из трех глав, введения и заключения:

Первая глава посвящена вопросу о перепутывании атомов, находящихся в поле общего термостата и взаимодействующих с внешним классическим электромагнитным полем. Рассматриваются различные модели термостата - однонаправленная, одномерная и трехмерная, а также сжатый термостат. Показано, что дополнительное резонансное взаимодействие с классическим электромагнитным полем позволяет существенно расширить область параметров атомной системы, при которых происходит перепутывание, причем степенью перепутывания можно эффективно управлять, меняя характеристики резонансного воздействия. Во второй главе рассмотрено влияние анизотропии кристалла на структуру бифотонного пакета. Было показано, что профиль одночастичных и двухчастичных угловых распределений, наблюдаемых в двух различных геометриях эксперимента, имеет ярко выраженное анизотропное распределение. Это приводит к проявлению сильной зависимости наблюдаемой степени перепутывания между фотонами от ориентации кристалла и способа детектирования. Экспериментально реализован операциональный метод определения степени перепутанности бифотонов. В третьей главе рассматриваются поляризационные свойства четырехуровневых оптических систем (куквартов) на основе частотно невырожденного бифотонного поля. Обсуждаются методы приготовления и преобразования бифотонов-куквартов. Показано, что степень поляризации не является инвариантом относительно SU(2) преобразований. Представлено два протокола статистического восстановления неизвестного состояния кукварта и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации. Рассматриваются физические принципы работы протокола квантового распределения ключа на четырехуровневых оптических системах.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы, представляющие собой суть выносимых на защиту положений.

1. Определено влияние классического электромагнитного поля на возникновение перепутывания между состояниями двух независимых двухуровневых атомов, находящихся в поле общего термостата. Степенью перепутывания можно эффективно управлять при помощи внешнего электромагнитного поля.

2. Определено условие, при котором возможно наблюдение высокой степени перепутывания пар фотонов при СПР. В этом случае волновой пакет бифотона определяется только параметрами нелинейного кристалла, а не угловым спектром накачки.

3. С помощью реализованных протоколов статистического восстановления можно полностью восстановить информацию о поляризационном состоянии бифотона-кукварта.

4. Развитая концепция поляризационных преобразований многомодового оптического поля позволяет эффективно применять бифотоны-кукварты в протоколах квантового распределения ключа.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

К1] А.М.Башаров, Е.В. Морева, Э.А.Маныкин «Перепутывание атомов резонансным классическим электромагнитным полем», Оптика и Спектроскопия, т.9 6, №5, с. 724-731 (2004) [К2] Ю.И. Богданов, Р.Ф. Галеев, С.П. Кулик, Г.А. Масленников, Е.В. Морева «Реконструкция четырехуровневых состояний бифотонного поля», Письма в ЖЭТФ, т.82, вып.З, с. 180-184 (2005) [КЗ] С.П. Кулик, Г.А. Масленников, Е.В. Морева «К вопросу о практической квантовой криптографии на многоуровневых системах», ЖЭТФ, т.129, в.5, с. 814 (2006) [К4] E.V. Moreva, G.A. Maslenikov, S.S. Straupe and S.P. Kulik, «Four-level states based on biphoton», Phys. Rev. Lett. 97, p. 023602 (2006) [K5] Yu.I. Bogdanov, E.V. Moreva, G.A. Maslepnikov, R.F. Galeev, S.S. Straupe and S.P. Kulik, «Polarization states of four-level systems», Phys. Rev. A 73, p. 063810 (2006) [Кб] С.П. Кулик, Е.В. Морева, C.C Страупе, «Поляризационные преобразования бифотонов», Ученые записки казанского государственного университета, т. 148, к.1, с.152, (2006) [К7] Ю.И. Богданов, Р.Ф. Галеев, С.П. Кулик, Е.В. Морева, «Математическое моделирование характеристик точности в задачах прецизионной квантовой томографии двухфотонных состояний», Оптика и Спектроскопия, т.ЮЗ, №1, с.112-121, (2007)

Выводы к главе III

В данной главе рассматриваются поляризационные свойства четырехуровневых оптических систем на основе частотно невырожденного бифотонного поля. Обсуждаются методы приготовления и преобразования бифотонов-куквартов. Показано, что степень поляризации не является инвариантом относительно SU(2) преобразований.

Представлено два протокола статистического восстановления неизвестного состояния кукварта и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации. Проведены измерения набора моментов четвертого порядка, определяющих матрицу когерентности для различных состояний входного бифотонного поля. По результатам измерений восстановлены компоненты матрицы когерентности четвертого порядка и все значения комплексных амплитуд входных состояний. Высокая мера соответствия исходному состоянию подтверждает применимость предложенных процедур.

Также было рассмотрен вопрос о физических принципах построения протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Основываясь на развитой концепции поляризационных преобразований многомодового оптического поля, было показано, что необходимый для КРК набор состояний может быть получен при помощи одного нелинейного кристалла и дальнейших унитарных преобразований, совершаемых оптическими элементами. Это позволяет избежать использования интерферометрических схем, обладающими серьезными недостатками, такими как нестабильность во времени, необходимость прецизионного контроля относительной фазы состояний и высокие требования к совмещению в пространстве-времени разных компонент состояний. Также была разработана схема регистрации, позволяющая детерминистическим образом измерять необходимый набор состояний.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Определены принципиальные условия возникновения перепутывания между двумя независимыми двухуровневыми атомами, находящимися в поле общего термостата. Показано, что классическое электромагнитное поле существенно расширяет область параметров, при которых происходит перепутывание и позволяет осуществлять когерентный контроль над квантовыми состояниями и степенью перепутывания атомов.

2. Реализован операциональный метод определения степени перепутанности бифотонов. Показано, что профиль одночастичных и двухчастичных угловых распределений, наблюдаемых в двух различных геометриях эксперимента, имеет выраженное анизотропное распределение. Это приводит к проявлению сильной зависимости степени перепутывания между фотонами от ориентации кристалла.

3. Реализованы протоколы статистического восстановления поляризационного состояния частотно-невырожденных бифотонов (куквартов). Проведены измерения набора моментов четвертого порядка, определяющих матрицу когерентности для различных состояний входного бифотонного поля. Высокая мера соответствия исходному состоянию (более 95%) подтверждает применимость предложенных процедур.

4. Разработана схема для практической реализации протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Развитая концепция поляризационных преобразований многомодового оптического поля показала возможность приготовления необходимого для КРК набора базисных состояний при помощи одного нелинейного кристалла и линейных оптических элементов. Предложенная схема регистрации позволяет измерять необходимый набор базисных состояний и обладает низким уровнем потерь.

В заключение, пользуясь предоставленной возможностью, я хочу от всей души поблагодарить моего научного руководителя профессора Кулика Сергея Павловича за неоценимую помощь в создании диссертации. Мне повезло, я попала в коллектив замечательных людей. Дружественная атмосфера и готовность всегда помочь оказали неоценимое влияние на мой творческий настрой. Я очень благодарна профессору Александру Николаевичу Пенину, Марии Владимировне Чеховой, Виталию Ивановичу Соустину, Галии Хасановне Китаевой, Глебу Масленикову, Тимуру Исхакову, Стасу Страупе, а так же остальным сотрудникам, аспирантам и студентам лабораторий СПР и КИКО. Мне было приятно работать с кандидатом физ.-мат. наук Башаровым Асхатом Масхудовичем. Если бы не выдающийся теоретик профессор Федоров Михаил Владимирович, не было бы целой главы диссертации. Я благодарю доктора физ.-мат. наук Юрия Ивановича Богданова за плодотворное и интересное сотрудничество.

Отдельное спасибо моей сестре за моральную поддержку и содействие в налаживании первых дипломатических отношений. Особенно благодарю своего мужа за плодотворные дискуссии на тему квантовой физики и полезные советы при написании диссертации. Спасибо родителям, друзьям, знакомым за поддержку и ободрение.

1. A. Einstein, В. Podolsky, and N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Phys.Rev., 47, p.777, (1935).

2. Д.Н. Клышко, Фотоны и нелинейная оптика. М. Наука, (1980).

3. И.В.Баргатин, Б.А.Гришанин, В.Н.Задков, Запутанные квантовые состояния атомных систем, УФН 171, стр. 625-647 (2001).

4. P. van Loock, Т. D. Ladd, К. Sanaka, F. Yamaguchi, Кае Nemoto, W. J. Munro, and Y. Yamamoto, Hybrid Quantum Repeater Using Bright Coherent Light, Phys. Rev. Lett. 96, p.240501, (2006).

5. C.A. Sackett, D. Kielpinski, B.E. King, C. Langer, V. Meyer, С J. Myatt, M. Rowe, Q.A. Turchette, W.M. Itano, D.J. Wineland, I.C. Monroe, Experimental entanglement of four particles, Nature, 404, p.256-259, (2000).

6. J. Hald, J. L. Snrensen,, C. Schori, and E. S. Polzik, Spin squeezed atoms: a macroscopic entangled ensemble created by light., Phys. Rev. Lett, 83, p. 1319-1322,(1999).

7. C.H. Bennett and G. Brassard, Quantum Cryptography. Public Key Distribution and Coin Tossing, in Proceedings of the IEEE international conference on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, India (IEEE, New York, 1984), p.175

8. C.H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard, L. Salvail and J. Smolin,

9. Experimental Quantum Cryptography. Journal of Cryptology, 5,1992).

10. A. Ekert, Quantum Cryptography based on Bell's Theorem. Phys. Rev. Lett., 67, p.661, (1992).

11. A. Ekert, J. Rarity, P. Tapster and G.M. Palma, Practical quantum cryptography based on two-photon interferometry. Phys. Rev. Lett., 69, p. 1293, (1992).

12. И. С. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K. Wootters, Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels. Phys. Rev. Lett., 70, p. 1895,1993).

13. D. Bowmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eible, H. Weinfurter and A. Zeilinger, Experimental Quantum Teleportation. Nature, 390, p. 575, (1997).

14. Y.H. Kim, S.P. Kulik, Y.H. Shih, Quantum Teleportation of a Polarization State with a Complete Bell State Measurement. Phys. Rev. Lett., 86, p. 1370,(2001).

15. С. H. Bennett and S. J. Wiesner, Communication via One- and Two-Particle Operators on Einstein-Podolsky-Rosen states. Phys. Rev. Lett., 69, p. 2881, (1992).

16. K. Mattle, H. Weinfiirter, P. G. Kwiat, and A. Zeilinger, Dense Coding in Experimental Quantum Communication. Phys. Rev. Lett., 76, p. 4656, (1996).

17. M.H. Rubin, Transverse correlation in optical spontaneous parametric down-conversion, Phys. Rev. A, 54, p. 5349, (1996).

18. A.V. Burlakov, M.V. Chekhova, D.N. Klyshko, S.P. Kulik, A.N. Penin, Y.H. Shih, and D.V. Strekalov, Interference effects in spontaneous two-photon parametric scattering from two macroscopic regions, Phys. Rev. A, 56, p. 3214,(1997).

19. C.H. Monken, P.H. Souto Ribeiro, and S. Padua, Transfer of angular spectrum and image formation in spontaneous parametric down-conversion, Phys. Rev. A, 57, p. 3123, (1998).

20. S.P. Walborn, A.N. de Oliveira, and C.H. Monken, Multimode Hong-Ou-Mandel Interference, Phys. Rev. Lett., 90, p. 143601, (2003).

21. M.D'Angelo, Y.-H.Kim, S.Kulik, and Y.Shih, Identifying Entanglement Using Quantum Ghost Interference and Imaging, Phys. Rev. Lett. 92, p. 233601, (2004).

22. C.K. Law and J.H. Eberly, Analysis and Interpretation of High Transverse Entanglement in Optical Parametric Down Conversion, Phys. Rev. Lett., 92, p. 127903, (2004).

23. J.C. Howell, R.S. Bennink, S.J. Bentley, and R.W. Boyd, Realization of the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox Using Momentum- and Position-Entangled Photons from Spontaneous Parametric Down Conversion, Phys. Rev. Lett., 92, p. 210403, (2004).

24. M.V. Fedorov, M.A. Efremov, P.A. Volkov, and J.H. Eberly, Shortpulse or strong-field breakup processes: a route to study entangled wave packets, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 39, S467, (2006).

25. K.W. Chan, C.K. Law and J.H. Eberly, Quantum entanglement in photon-atom scattering, Phys Rev. A, 68, p.022110, (2003).

26. E.Joos, H.D.Zeh, C.Kiefer, D.Giulini, J.Kupsch, I.-O.Stamatescu, Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory, Springer, (1996).

27. М.Б.Менский, Квантовые измерения и декогеренция. Модели и феноменология, М.: ФИЗМАТЛИТ, (2001).

28. G.K. Brennen, С.М. Caves, P.S. Jessen, and I.H. Deutsch, Quantum Logic Gates in Optical Lattices, Phys. Rev. Lett. 82, p. 1060, (1999).

29. A.Beige, S.F.Huelga; P.L.Knight, M.B.Plenio, R.C.Thompson, Coherent Manipulation of Two Dipole-Dipole Interacting Ions, Journal of Modern Optics, 47, p.401, (2000).

30. I.V.Bargatin, B.A.Grishanin, V.N.Zadkov, Generation of Entanglement in a System of Two Dipole-Interacting Atoms by Means of Laser Pulses, Fortschritte der Physik, 48, p. 637, (2000).

31. А.М.Башаров, Перепутывание Атомных Состояний при Коллективном Радиационном Распаде, Письма в ЖЭТФ, 75, р. 151, (2002).

32. A.M.Basharov, Decoherence and Entanglement in Radiative Decay of a Diatomic System, JETP, 94, 1070, (2002).

33. H.T.Dung, S.Scheel, D.-G.Welsch, L.Knoll, Atomic entanglement near a realistic microsphere, J.Opt.B 4, SI69, (2002).

34. L.Jakobczyk, Entangling two qubits by dissipation, J. Phys. A, 30, 6383, (2002).

35. S.Schneider, G.J.Milburn, Entanglement in the steady state of a collective angular-momentum (Dicke) model, Phys.Rev. A, 65, 042107, (2002).

36. J.P.Clemens and H.J.Carmichael, Stochastic initiation of superradiance in a cavity: An approximation scheme within quantum trajectory theory, Phys.Rev. A, 65,023815, (2002).

37. B. A. Grishanin and V. N. Zadkov, Simple Quantum Systems as a Source of Coherent Information, JETP, 91, 905, (2000).

38. Д.А.Гришанин, Д.В.Сыч, Совместимая квантовая информация в задаче Дике, Вестник МГУ, сер.З (физ.астр.), вып.4, р. 37, (2002).

39. A.N.Korotkov, Continuous measurement of entangled qubits, Phys. Rev. A, 65, p. 052304, (2002).

40. I.E.Protsenko, G.Reymond, N.Schlosser, P.Grangier, Conditional quantum logic using two atomic qubits, Phys. Rev. A, 66, p. 062306, (2002).

41. M. O. Scully, K. Driihl, Quantum eraser: A proposed photon correlation experiment concerning observation and "delayed choice" in quantum mechanics, Phys. Rev. A 25, p. 2208-2213, (1982).

42. W.K. Wootters, Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits, Phys. Rev. Lett, 80, p. 2245, (1998).

43. G.Lindblad, On the generators of quantum dynamical semigroups, Comm.Math.Phys., 48, p. 119-130, (1976).

44. A.Peres, Separability Criterion for Density Matrices, Phys. Rev. Lett, 77, p.1413, (1996).

45. M.Horodecki, P.Horodecki, R.Horodecki. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions arXiv:quant-ph/9605038, (1996).

46. А.М.Башаров, А.А.Башкеев, Возникновение Квантовых Корреляций в Системе Двух Двухуровневых Атомов, Оптика и Спектроскопия, т. 96, № 5, (2004).

47. C.W.Gardiner, Quantum noise. Berlin: Springer, (1991).

48. Л.Мандель, Э.Вольф, Оптическая когерентность и квантовая оптика. М.: ФИЗМАТЛИТ, (2000).

49. Д.Н.Клышко. Когерентный распад фотонов в нелинейной среде.

50. Письма в ЖЭТФ, 6, стр. 490-492, (1967).

51. S.E. Harris, М.К. Oshman and R.L. Beyer, Observation of tunable parametric fluorescence, Phys. Rev. Lett., 18, pp.732-735, (1967).

52. C.A. Ахманов, B.B. Фадеев, P.B. Хохлов, O.H. Чунаев, Квантовые шумы в параметрических усилителях света, Письма в ЖЭТФ, 6, сс. 575-578, (1967).

53. С. Kurtsiefer, М. Oberparleiter and Н. Weinfurter, High-efficiency entangled photon pair collection in type-II parametric fluorescence, Phys. Rev. A, 64, p. 023802, (2001).

54. R.S. Bennink, Y.Liu, D.D. Earl, and W.P. Grice, Spatial distinguishability of photons produced by spontaneous parametric down-conversion with a focused pump, Phys. Rev. A, 74, p. 023802, (2006).

55. M.N.Soskin, V.N.Gorshkov, M.V.Vasnetsov, J.T.Malos, N.R.Heckenberg, Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices, Phys.Rev.A, 56, p.4064, (1997).

56. A.Vaziri, J-W.Pan, TJennewein, G.Weihs, A.Zeilinger, Concentration of Higher Dimensional Entanglement: Qutrits of Photon Orbital Angular Momentum, Phys.Rev.Lett., 91, p. 227902, (2003).

57. A.Vaziri, G.Weihs, A.Zeilinger, Experimental Two-Photon, Three-Dimensional Entanglement for Quantum Communication, Phys.Rev.Lett., 89, p. 240401, (2002).

58. D.Collins, N.Gisin, N.Linden, S.Massar, S.Popesku, Bell Inequalities for Arbitrarily High-Dimensional Systems, Phys.Rev.Lett., 88, p. 040404, (2002).

59. N.Langford, R.B.Dalton, M.D.Harvey, J.L.O'Brien., Measuring Entangled Qutrits and Their Use for Quantum Bit Commitment, Phys. Rev Lett, 93, p. 053601, (2004).

60. M.N.O'Sullivan-Hale, I.A.Khan, R.W.Boyd, J.C.Howell, Pixel Entanglement: Experimental Realization of Optically Entangled d=3 and <t= 6 Qudits, Phys.Rev.Lett., 94, p. 220501, (2005).

61. L.Neves, G.Lima, J.G.Aguirre Gomez, C.H.Monken, C.Saavedra, S.Padua, Generation of Entangled States of Qudits using Twin Photons, Phys.Rev.Lett, 94, p. 100501, (2005).

62. G.M.D'Ariano, P.Mataloni, M.F.Sacchi, Generating qudits with d= 3,4 encoded on two-photon states, Phys.Rev.A, 71, p. 062337, (2005).

63. R.T. Thew, A. Acin, H. Zbinden and N. Gisin, Entangled Qutrits and Bell's Inequality Violation. J. of Quantum Information and Computation, 4,2, p. 93, (2004).

64. R.T.Thew, A.Acin, H.Zbinden, N,Gisin, Bell-Type Test of Energy-Time Entangled Qutrits, Phys.Rev.Lett, 93, p. 010503, (2004).

65. J.D.Franson, Bell inequality for position and time, Phys.Rev.Lett. 62, p. 2205, (1989).

66. A.Lamas-Linares, J.C.Howell, D.Boumeester, Stimulated emission ofpolarization-entangled photons, Nature 412, p. 887, (2001).i

67. J.C.Howell, A.Lamas-Linares, D.Boumeester, Experimental Violation of a Spin-1 Bell Inequality Using Maximally Entangled Four-Photon States, Phys.Rev.Lett. 88, p. 030401, (2002).

68. D.Kaszlikovski, P.Gnasinski, M.Zukowski, W.Miklaszewski, A.Zeilinger, Violations of Local Realism by Two Entangled N-Dimensional Systems Are Stronger than for Two Qubits, Phys.Rev.Lett., 85, p. 4418, (2000).

69. D.Kaszlikovski, L.C.Kwek, J-L.Chen, M.Zukowski, C.H.Oh, Clauser-Horne inequality for three-state systems, Phys.Rev.A, 65, p. 032118, (2002).

70. H.Riedmatten, I.Marcikic, V.Scarani, W.Tittel, H.Zbinden, N.Gisin, Tailoring photonic entanglement in high-dimensional Hilbert spaces, Phys.Rev.A 69, p.050304, (2004).

71. JI.A. Кривицкий, С.П. Кулик, A.H. Пении, M.B. Чехова, Бифотоны как трехуровневые системы. Преобразование и измерение. ЖЭТФ, 124, 4(10), с. 1-13, (2003).

72. Ю.И. Богданов, JI.A. Кривицкий, С. П. Кулик, Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем. Письма в ЖЭТФ, 78,6, с. 51, (2003).

73. Yu.I. Bogdanov, M.V. Chekhova, L.A. Krivitsky, S.P. Kulik, C.H. Oh, M.K. Tey and A.A. Zhukov, Statistical Reconstruction of Qutrits. Phys. Rev. A, 70, p. 063850, (2004).

74. R.B.A. Adamson, L.K. Shalm, M.W. Mitchell, A. M. Steinberg, State Tomography: Hidden Differences, quant-ph/0601134, (2006).

75. D.F.V. James, P. Kwiat, W. Munro and A. White, Measurement of Qubits. Phys. Rev. A, 64, p. 052312, (2001).

76. M.V. Chekhova, L.A. Krivitsky, S.P. Kulik, G.A. Maslennikov, Orthogonality of biphoton polarization states, Phys. Rev. A, 70, p. 052801, (2004).

77. A.B. Бурлаков, M.B. Чехова, Поляризационная оптика бифотонов, Письма в ЖЭТФ, 75, с.505, (2002).

78. М. Борн, Э. Вольф, «Основы оптики», Наука, Москва, (1970).

79. V. P. Karassiov, Polarization States of Light and Their Quantum Tomography, J. Phys A, 26, p. 4345, (2005).

80. A.Sehat, J. Soderholm, G. Bjork, P. Espinoza, A.B. Klimov, and L.L. Sanchez-Soto, Quantum polarization properties of two-mode energy eigenstates, Phys. Rev. A.,71, p. 033818, (2005).

81. В.П. Карасев, A.B. Масалов, «Состояния неполяризованного света в квантовой оптике», Опт. и Спектр, том 74, №5, стр. 928-936, (1993).

82. D.I.Guzun, A.N.Penin, "Hidden" Polarization of Two Mode Coherent Light", Proc. SPIE, 2799, p. 249-252, (1996).

83. Д.Н.Клышко, "Поляризация света: эффекты четвертого порядка и поляризационно-сжатые состояния", ЖЭТФ, 111, вып.6, с. 1955-1983,(1997).

84. Бурлаков А.В., Кулик С.П., Рытиков Г.О., Чехова М.В., Генерация бифотонного света в поляризационно-частотных белловских состояниях, ЖЭТФ, т. 122, с.738, (2002)

85. Twiss R.Q, Little A.G., Brown R.H., Correlation between photons in coherent beams of light, detected by a coincidence counting technique. Nature, 180, pp. 324-326, (1957).

86. Ю.И. Богданов, Основные понятия классической и квантовой статистики, корневой подход. Оптика и Спектроскопия, 96, 5, с. 735, (2004).

87. Ю.И. Богданов, Основная задача статистического анализа данных: корневой подход. М., МИЭТ, (2002).

88. С.Е. Shannon, Communication Theory in Secrecy Systems. Bell System Technical Journal. 28, p. 656, (1949).

89. G. Vernam, Cipher printing telegraph systems for secret wire and radio telegraphic communications, J. Am. Institute of Electrical Engineers Vol. XLV, p. 109-115., (1926).

90. Diffie, W. and Hellman M.E., New directions in cryptography, IEEE Trans, on Information Theory, 22, pp. 644-654, (1976).

91. T.ElGamal. A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Basedon Discrete Logarithms. IEEE Trans. Inform. Theory, IT-31, pp.469472., (1985).

92. Rivest, R.L, Shamir A. and Adleman L.M., A Method of Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems, Communications of he ACM, 21, p. 120-126, (1978).

93. C. Kurtsiefer, P. Zarda, M. Haider, H. Weinfurter, P. M. Gorman, P. R. Tapster, J. G. Rarity, Quantum cryptography: A step towards global key distribution. Nature, 419, p. 450, (2002).

94. Rarity J. G, Tapster P. R, Gorman P. M, Knight P, "Ground to satellite secure key exchange using quantum cryptography", New J. Phys., 4, p. 82, (2002).

95. Hughes R. J, Nordholt J. E, Derkas D, Peterson C. G, "Practical free-space quantum key distribution over 10 km in daylight and at night", New J. Phys., 4, p. 43,(2002).

96. Bennett, Ch.H, Quantum cryptography using any two nonorthogonal states. Phys. Rev. Lett, 68, p. 3121-3124, (1992).

97. J.F.Clauser, M.A. Home, A. Shimony, and R.A. Holt, Proposed experiment to test local hidden variable theories, Phys. Rev. Lett, 23, p. 880-884, (1969).

98. H. Bechmann-Pasquinucci, W. Tittel, Quantum Cryptography using Larger Alphabets. Phys. Rev. A 61, p. 062308, (2000)

99. H. Bechmann-Pasquinucci, A. Peres, Quantum Cryptography with 3

100. State Systems. Phys. Rev. Lett., 85, p. 3313, (2000).

101. N.J. Cerf, M. Bourennane, A. Karlsson and N. Gisin, Security of Quantum Key Distribution Using d-Level Systems. Phys. Rev. Lett., 88, 127902,(2002).

102. D.Bruss, Optimal Eavesdropping in Quantum Cryptography with Six States Phys.Rev.Lett. 81, 3018, (1998).

103. H.Bechmann-Pasquinucci, and N.Gisin, Incoherent and coherent eavesdropping in the six-state protocol of quantum cryptography Phys.Rev.A. 59,4238, (1999).

104. Л.А.Кривицкий, С.П.Кулик, Г.А.Масленников, М.В.Чехова, Приготовление бифотонов в произвольном поляризационном состоянии, ЖЭТФ 127,1, (2005).

105. N.Lutkenhaus, J.Calsamiglia, and K.-A.Suominen, Bell measurements for teleportation Phys.Rev.A, 59, №5, p. 3295-3300, (1999).

106. G.A.MasIennikov, A.A.Zhukov, M.V.Chekhova, S.P.Kulik, Practical realization of a quantum cryptography protocol exploiting polarization encoding in qutrits, Journal of Optics В 5, p. 530, (2003).

107. N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel and H. Zbinden, Quantum cryptography Rev. Mod. Phys. 74, 145, (2002).