Космологические приложения теорий с лагранжианами Лавлока тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ооьии'

Кирнос Илья Васильевич

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИЙ С ЛАГРАНЖИАНАМИ ЛАВЛОКА

01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 6 ЯНВ 2012

Томск 2011

005007925

Работа выполнена в Томском государственном педагогическом университете и Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Макаренко Андрей Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гальцов Дмитрий Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор Шаповалов Александр Васильевич

Ведущая организация: Казанский (Приволжский) федеральный

университет

Защита диссертации состоится "16" февраля 2012 года на заседании Диссертационного совета Д 212.267.07 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан ми^/Ш 20Ц. года

Учёный секретарь Диссертационного совета д. ф.-м. н.

И. В. Ивонин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Рубеж двадцатого и двадцать первого веков ознаменовался важными достижениями в области космологии. Это и открытие ускоренного расширения Вселенной на основании наблюдений за далёкими сверхновыми, и обнаружение анизотропии реликтового излучения, и вывод о существовании большого количества "скрытой массы", не поддающейся прямым наблюдениям, а проявляющей себя лишь в наблюдениях по гравитационному линзированию, в аномальном поведении кривых вращения галактик и движения галактик в скоплениях. Свидетельством признания научным сообществом большой важности этих открытий послужило присуждение двух Нобелевских премий по физике за работы в области космологии: в 2006 года' награждены Д. Матер и Д. Смут за открытие анизотропии реликтового излучения, а в 2011 году награждены С. Перлмуттер, Б. Шмидт и А Райсс за открытие ускоренного расширения Вселенной.

Во многом аналогичное положение наблюдалось в космологии более четверти века назад, когда были осознаны такие противоречия стандартной фридмановской космологии как проблемы горизонта, кривизны и начальных возмущений. Анализ этих проблем привёл исследователей к выводу, что они могут быть решены введением в раннюю Вселенную кратковременной стадии ускоренного расширения, за время которой Вселенная должна расшириться приблизительно в е60 раз.

Всем этим явлениям — инфляции, современному ускоренному расширению, скрытой массе — должно быть найдено теоретическое обоснование. В качестве такового ряд исследователей предлагает введение новых видов материи: скалярного поля (инфлатона) для описания инфляции, материи с отрицательным давлением ("тёмной энергии") для описания современного ускоренного расширения, новых элементарных частиц для описания скрытой массы.

Существует, однако, и другой подход, предлагающий объяснить и инфляцию, и современное космологическое ускорение, и даже "скрытую массу" с помощью одного только изменения теории тяготения.

Основной теорией тяготения по сей день считается общая теория относительности (ОТО), разработанная в трудах А. Эйнштейна, М. Гроссмана

и Д. Гильберта. Завершающим этапом построения ОТО можно считать получение в 1915 году уравнений гравитационного поля.

Все дальнейшие попытки построения иных уравнений гравитационного поля можно рассматривать как выход за рамки общей теории относительности. Все модификации ОТО обладают некоторыми из следующих недостатков:

1. Для описания тяготения, помимо метрического тензора Римаыа, вводятся дополнительные поля.

2. В уравнениях гравитационного поля возникают производные выше второго порядка.

3. Теория предполагает размерность пространства-времени выше четырёх.

Следует заметить, что введение дополнительных полей и дополнительных пространственных измерений требует объяснения их ненаблюдаемости. Возможно лишь одно изменение ОТО, свободное от всех трёх недостатков: введение космологической постоянной. Дрз'гих возможностей избежать всех перечисленных недостатков не существует. Кратко обсудим некоторые из предлагаемых теорий:

1. Введение дополнительного скалярного поля. Первая теория подобного рода была предложена К. Брансом и Р. Дикке для согласования общей теории относительности с принципом Маха, согласно которому инерция возникает, когда тело ускоряется относительно общего распределения масс во Вселенной. В современных работах скалярное поле вводится более общим способом, при этом целью его введения обычно является получение в теории решений определённого вида.

2. Введение в теорию кручения (несимметричной части аффинной связности) и векторного поля, нарушающего сохранение длины при параллельном переносе, преследовало, помимо прочего, цели квантования гравитации и построения единой теории тяготения и электромагнетизма. В настоящее время предпринимаются попытки использовать кручение для построения "новой космологии".

3. Модификация лагранжиана. Пожалуй, наиболее широко используются ныне так называемые /(й)-теории, в которых лагранжиан представляет собою некоторую функцию скалярной кривизны. В этом случае в уравнениях поля возникают производные 4-го порядка и появляется возможность переформулировать теорию таким образом, что порядок уравнений понизится до 2-го, однако возникнет дополнительное скалярное поле. В простейших моделях /(Д)-теории лагранжиан разбивается на 3 части, первая из которых преобладает в случае большой кривизны и отвечает за инфляцию, вторая преобладает в случае средней кривизны и отвечает за замедленное расширение, а третья часть преобладает на малых кривизнах и ответственна за современное ускоренное расширение. Сюда же примыкают теории с лагранжианами вида Д + /(£?) и /(ВД, где О = Д^Я""0" - + Д2 -

инвариант Гаусса-Бонне-Дженни. Следует также упомянуть о теориях с выражениями вида СШ и (нелокальные теории) в лагран-

жиане, а также о теориях, где гравитация неминимально связана с материей.

В диссертации исследуется одна из теорий, предлагающих модификацию лагранжиана гравитационного поля — теория Лавлока — единственная модификация общей теории относительности, свободная от первого и второго из перечисленных недостатков, то есть единственная теория, не вводящая ни дополнительных полей, ни высших производных. Данная теория, однако, требует наличия дополнительных пространственных измерений, что, на взгляд диссертанта, является наименее существенным недостатком, поскольку дополнительные измерения возникают в рамках многих других физических теорий и приёмы работы с ними являются хорошо разработанными.

Общие требования, предъявляемые ко всем вновь выдвигаемым теориям тяготения, таковы:

1. Описывать стадию инфляции с переходом к замедленному расширению и последующим переходом вновь к ускоренному.

2. Не противоречить данным наблюдений в отношении реликтового излучения и гравитационного микролинзирования.

3. Описывать движение планет, звёзд и галактик в строгом соответствии с данными наблюдений.

4. Допускать существование сферически симметричных тел.

5. Решения, отвечающие наблюдаемым явлениям, должны быть устойчивы относительно возмущения начальных данных.

6. Если предполагается наличие дополнительных пространственных измерений, то должна быть объяснена их ненаблюдаемость.

Диссертация посвящена исключительно проверке условий 1, 5 и 6 из этого списка (не претендуя, однако, на полную проверку и этих условий). Для рассмотрения выбрана теория, лагранжиан которой является функцией лагранжианов Лавлока, а также, в ряде случаев, дополнительного скалярного поля и его производных первого порядка. Как правило, лагранжианы Лавлока входят в линейной комбинации, т. е. рассматривается собственно теория Лавлока или она же с дилатоном (скалярным полем).

Исследования в этой области вызывают большой интерес. Обычно рассматривается только 2-й порядок теории Лавлока без дилатона (называемый теорией Эйнштейна-Гаусса-Бонне, хотя заслуга построения этой теории принадлежит Ланцошу). Значительно реже (по причине большой громоздкости вычислений) используется третий порядок, но и эти редкие работы посвящены почти исключительно чёрным дырам. Имеется также ряд работ во втором порядке с дилатоном. Кроме того, Бриггс вывел явный вид 4-го и 5-го лавлоковых тензоров (непосредственно расписав их через тензор Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну), а С. А. Павлюченко получил некоторые решения в произвольном порядке. Следует упомянуть также исследования теорий с лагранжианами вида функции от первых двух лавлоковых лагранжианов.

Вообще, стоит заметить, что, несмотря на обилие работ по применению теории Лавлока к чёрным дырам и по космологическим приложениям второго порядка теории Лавлока, работы, посвященные космологическим приложениям высших порядков теории Лавлока, почти отсутствуют.

Цель работы

Исследование космологических приложений теории Лавлока с дилатоном и без него, а также теории с лагранжианом вида функции первых двух

лагранжианов Лавлока. Именно, основными задачами является изучение следующих вопросов:

1. Возможность описания ускоренного расширения Вселенной.

2. Изотропизация космологического расширения при наличии материи.

3. Устойчивость расширения по закону де Ситтера.

Научная новизна

1. Во втором и третьем порядках теории Лавлока, а также во втором порядке с дилатоном, получен ряд решений, описывающих ускоренное расширение видимого пространства и сжатие дополнительных измерений.

2. В произвольном порядке теории Лавлока (в пренебрежении всеми прочими порядками) в пространстве произвольной размерности получены анизотропные степенные решения, одно из которых (вакуумное) обобщает решение Казнера, другое (отвечающее наличию идеальной жидкости с определённым параметром уравнения состояния) обобщает решение Якобса.

3. Во втором и третьем порядках теории Лавлока в пространстве произвольной размерности, заполненном произвольной идеальной жидкостью, получены анизотропные показательные решения. Эти решения, как и указанные в предыдущем пункте, доказывают возможность неизотропизующегося расширения в рамках теории Лавлока, что позволяет дополнительным пространственным измерениям оставаться малыми.

4. Выявлен подкласс /(Д. С/)-теорий, для которых решение де Ситтера является устойчивым.

Апробация диссертации

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. 5-ая международная конференция "Перспективы развития фундаментальных наук" (Томск, 2008).

2. 13-ая Российская гравитационная конференция (Москва, 2008).

3. II Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" (Казань-Яльчик, 2009).

4. Школа-семинар "Квантовая теория поля и гравитации" (Томск, 2011).

5. 14-ая Российская гравитационная конференция (Ульяновск, 2011).

Публикации

По результатам проведённых исследований опубликовано 8 печатных работ (не считая тезисов конференций), в которых отражено основное содержание диссертации.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 84 страницы. Список литературы содержит 90 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и аргументирована научная новизна исследований, описана структура работы по главам. Здесь же приведён краткий обзор открытий наблюдательной космологии и связанных с ними теоретических исследований. Описаны два пути решения проблем ускоренного расширения и скрытой массы: разработка теорий тёмной энергии и тёмного вещества и модификация теории тяготения. В рамках последнего пути приведён краткий обзор наиболее широко используемых модификаций общей теории относительности. Сформулированы требования, которым должна удовлетворять всякая теория, претендующая на адекватное описание Вселенной.

В главе 1 изложена теории Лавлока как теория, предусматривающая отказ от линейности уравнений гравитационного поля по вторым произ-

водным и приводящая к уравнениям вида го-1

где

1

т — -п, если п четно, т — ^(п 4-1), если п нечетно,

_ гЛ^Аа-'А2г, р г» аъо\ р "гр-Мр (п\

Ь- ^ — 0^1Ст2...СГ21,ЛЛ1Л2 ЛЛзд4 ' - " лА2р_1А21, >

ар, Л — произвольные постоянные, а равно единице, если

— чётная перестановка - ■ ■ минус единице, если нечётная, и нулю в остальных случаях.

Данная теории допускает лагранжеву формулировку, причём лагранжиан гравитационного поля принимается равным

771—1

С = ^арСр + 2А, (3)

р=1

где слагаемые

с, = д^« • • • №

называются лавлоковыми лагранжианами р-го порядка.

Следует заметить, что в 4-мерном пространстве-времени теория Лавлока совпадает с классическим вариантом общей теории относительности, поэтому для получения новых результатов требуется вводить дополнительные пространственные измерения.

В главе 2 рассмотрено пространство с двумя максимально симметричными подпространствами, из которых одно должно соответствовать наблюдаемому 3-мерному пространству, а другое — ненаблюдаемому пространству дополнительных измерений. Поставлена задача построить решения, описывающие ускоренное расширение наблюдаемого пространства и сжатие дополнительного. При этом в разделе 2.1 в 7-мерном пространстве изучен третий порядок теории Лавлока (ар = 0 Ур > 3) и найдено (в

неявном виде) общее решение во втором порядке, а также показательное решение в третьем порядке:

возникающее при определённом соотношении между параметрами а2 и од:

а

Л

а3 — — л 12

Данное решение показывает возможность существования в рассмотренной модели инфляционного периода. В разделе 2,2 в пространстве произвольной размерности изучен второй порядок теории Лавлока с дилатоном:

Сесвл = Я - ¿дГд^дм - V» + ф)£2 + См(Ф1, V). (5)

При этом найдены равновесные решения (масштабные факторы и днлатон V? не зависят от времени), показательные решения при постоянном дилато-не, в том числе описывающие ускоренное расширение видимого пространства и сжатие дополнительного:

И - г , /3 + Сз\/5 575 + 257С2у/5 . уо

~ у 2а2 ЗОЮ + 1346^2л/5' ^= ^ (6)

и наоборот:

3 + С2\/5 ' Н =-С /3 + С2\/5 575 + 257С2у/5 8«2 ' 2 'у 2а-2 ' ЗОЮ + 1346С2\/5'

где постоянные £ и С2 принимают значения +1 и -1 независимо друг ото друга, а аг > 0. Также найдены решения, в которых дилатон зависит от времени логарифмически:

а масштабные факторы принимают вид экспоненты от экспоненты:

а(0=а0ехР{^е^}, (8)

Ь(*)=60ехр{^е^/2}. (9)

Эти решения также описывают ускоренное расширение наблюдаемого подпространства и сжатие дополнительного <р' — постоянные, получаемые путём численного решения уравнений). Решения подобного вида (экспонента от экспоненты) в последнее время приобрели большую популярность, поскольку позволяют избежать сингулярностей, связанных с обращением в бесконечность масштабного фактора или параметра Хаббла за конечное время. Таким образом, подтверждена реалистичность модели в описании ускоренного расширения поздней Вселенной.

В главе 3 приведён краткий обзор физических теорий, предполагающих размерность пространства-времени больше четырёх, и указаны способы объяснить его наблюдаемую четырёхмерность. Приведено, возражение, что возникающая в общей теории относительности изотропизация космологического расширения противоречит ненаблюдаемости дополнительных измерений. Сказано о попытках объяснить эту ненаблюдаемость анизотропностью уравнения состояния материи. Раздел 3.1 гюсвящён изложению решений, полученных другими авторами в первом порядке теории Лавлока (который совпадает с общей теорией относительности): решений Казнера и Якобса, а также изотропизующихся решений для Вселенной, заполненной пылью, тёмной энергией и предельно жёсткой материей. Раздел 3.2, посвященный второму порядку теории Лавлока, открывается аналогом решения Казнера, обобщенным автором диссертации на случай произвольной размерности. Далее следуют уже собственные достижения автора: для идеальной жидкости с параметром уравнения состояния ш = 1/3 получен (в пренебрежении линейными по кривизне членами) аналог решения Якобса

где Рг удовлетворяют условиям

= 3, 3 XI РЯ>зРьР1 = ; (10)

г г<]<к<1 а2С

для идеальной жидкости с произвольным параметром уравнения состояния получено (без пренебрежения линейными по кривизне членами) показательное решение

^ и4 Ц-'-1 , (1-Зш)2 ,

где лго = Кроме того, во втором порядке теории Лавлока с ди-

латоном найдены степенные решения, отвечающие не полностью анизотропному случаю, а случаю наличия двух максимально симметричных подпространств.

В разделе 3.3 показательные решения обобщены на третий порядок теории Лавлока:

1 , й'1 1 — 5 и> а4 ~ оа2 ~ о—172---

/ ¿012 1оаг - 1 2 1 з За-1 2 1 (ах 9(1 — 5и>) \ 1 - Зад

аб = Г3 + Г2 - 8^2 + 96 и--+ "384^**°'

где

г

Наконец, в разделе 3.4 степенные решения Казнера и Якобса обобщены на произвольный р-й порядок теории Лавлока, Обобщение решения Казнера:

г г1<г2<...<)'2р

обобщение решения Якобса, отвечающее параметру уравнения состояния ш = 1/(2р-1):

I п<12<...<г2р р у

Таким образом, показана возможность неизотропизующегося расширения Вселенной в рамках теории Лавлока, что означает допустимость существования ненаблюдаемых дополнительных измерений.

В последней, 4-й главе изучается устойчивость решения де Ситтера

в рамках f(R,G)-теории, то есть теории гравитационного поля, чей лагранжиан является функцией первых двух лагранжианов Лавлока. Исследована устойчивость относительно изотропных и анизотропных (Бианки-Т) возмущений:

gßv = {-l,a2(t).b2(t),c?{t)}, a(i) = eHot + Äo(i). b{t) = eIht+ 8b{t), c(t) = eHat + Sc.{t).

Показано, что решение де Ситтера является устойчивым, если функция f(R,Q) удовлетворяет следующему условию:

_fk№_> 12гг2

Яд(Яо) + 8Я02/^(Я0) + ШЦЦд(Н0) 0' Приведён пример функции, удовлетворяющей условию устойчивости: f(R, G) = —72Я® + 15Я04Я2 - 7HqRQ + Ö2.

В Заключении излагаются основные достижения автора, включённые в диссертацию.

Положения, выносимые на защиту

1. Во втором порядке теории Лавлока получено (в неявном виде) общее точное решение для случая семимерного пустого пространства с двумя максимально симметричными плоскими трёхмерными подпространствами.

2. В третьем порядке теории Лавлока в семимерном пустом пространстве

с двумя максимально симметричными трёхмерными подпространства-

ми получено (при определённом условии на коэффициенты) решение показательного вида, описывающее ускоренное расширение видимого подпространства и сжатие дополнительного. Таким образом, показана возможность существования в рассмотренной модели инфляционного периода.

3. Во втором порядке теории Лавлока. с дилатоном получено решение вида экспоненты от экспоненты, также описывающее ускоренное расширение видимого подпространства и сжатие дополнительного. Таким образом, подтверждена реалистичность модели в описании ускоренного расширения поздней Вселенной.

4. В произвольном порядке теории Лавлока (в пренебрежении всеми прочими порядками) получено анизотропное (типа Бианки-I) степенное решение для пустого пространства произвольной размерности. Данное решение обобщает решение Казнера.

5. В произвольном порядке теории Лавлока (в пренебрежении всеми прочими порядками) получено анизотропное (типа Бианки-I) степенное решение для пространства произвольной размерности, заполненного однородной материей в виде идеальной жидкости с определённым параметром уравнения состояния (w = 1/(2р — 1), где р — рассматриваемый порядок теории). Данное решение обобщает решение Якобса.

6. Во втором и в третьем порядках теории Лавлока (без пренебрежения низшими порядками) получены анизотропные (типа Бианки-I) показательные решения для пространства произвольной размерности, заполненного однородной материей в виде идеальной жидкости с произвольным параметром уравнения состояния. Таким образом, доказана возможность существования ненаблюдаемых дополнительных измерений в рамках данной модели.

7. Найдено условие устойчивости решения де Ситтера в f(R, <7)-теории.

Публикации по теме диссертации

1. И. В. Кирнос, А. Н. Макаренко. Космологические решения в теории Лавлока // Перспективы развития фундаментальных наук: труды V международной конференции студентов и молодых учёных. — Томск, Изд-во Томского политехнического университета, 2008. — с 251 - 252.

2. I. V. Kimos, А. N. Makarenko, К. Е. Osetrin. Cosmological solutions in the Lovelock theory and the Einstein-Gauss-Bonnet theory with a dilaton // Gravitation and Cosmology, 2009, vol. 15, № 1, pp. 59 - 61.

3. I. V. Kirnos, A. N. Makarenko. Accelerating cosmologies in Lovelock gravity with dilaton // The Open Astronomy Journal, 2010, No. 3, pp. 32 -43.

4. I. V. Kirnos, A. N. Makarenko, S. A. Pavluchenko, A. V. Toporensky. The nature of singularity in multidimensional anisotropic Gauss-Bonnet cosmology with a perfect fluid // General Relativity and Gravitation, 2010, Vol. 42, No. 11, pp. 2633-2641.

5. И. В. Кирнос. Устойчивость решения де Ситтера в f(R,G)--reopmt // II Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" — GRACOS-2009, 24 - 29 августа 2009 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. — Казань: Изд-во "Фолианта", 2009, с. 88 - 92.

6. И. В. Кирнос. Анизотропные космологические решения показательного и степенного вида в теории Эйнштейна-Гаусса-Бонне с материей в пространстве типа Бианки-I произвольной размерности // II Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" - GRACOS-2009, 24 - 29 августа 2009 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. — Казань: Изд-во "Фолиантъ", 2009, с. 93 - 98.

7. I. V. Kimos, S. A. Pavluchenko, А. V. Toporensky. New features of a. flat (4 + l)-dimensional cosmological model with a perfect fluid in Gauss-Bonnet gravity /7 Gravitation and Cosmology, 2010, Vol. 16, No. 4, pp. 274 - 282.

8. И. В. Кирнос. Обобщение решений Казнера и Якобса на произвольный порядок теории Лавлока, а также анизотропное показательное решение в третьем порядке теории Лавлока в пространстве произвольной размерности // Gravitation and Cosmology — направлен о в печать.

Подписано в печать: 29.11.2011 г. Бумага: офсетная Тираж: 100 экз. Печать: трафаретная

Формат: 60x84/16 Усл. печ. л.: 0,93

Заказ: 627/Н

Издательство

Томского государственного педагогического университета

г. Томск, ул. Герцена, 49. Тел.: (382-2) 52-12-93 e-mail: tipograf@tspu.edu.ru

61 12-1/581

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Кирнос Илья Васильевич

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ С ЛАГРАНЖИАНАМИ ЛАВЛОКА

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физ.-мат. наук, доцент А. Н. Макаренко

Томск 2011 1

Содержание

Введение 4

1 Теория Лавлока 9

2 Космологическое ускорение 13

2.1 Третий порядок теории Лавлока без дилатона................13

2.1.1 Космологические уравнения..............................15

2.1.2 Общее решение во втором порядке......................17

2.1.3 Показательное решение в третьем порядке............19

2.2 Теория Эйнштейна-Гаусса-Бонне с дилатоном ................20

2.2.1 Космологические уравнения..............................21

2.2.2 Равновесные решения....................................26

2.2.3 Показательные решения..................................29

2.2.4 Решения вида экспоненты от экспоненты..............32

2.3 Итог главы........................................................36

3 Анизотропная космология при наличии материи 38

3.1 Первый порядок теории Лавлока (уравнения Гильберта-Эйнштейна)............................................................39

3.1.1 Решение для пустого пространства (решение Казнера) 39

3.1.2 Решение для пространства, заполненного однородной идеальной жидкостью....................................41

3.2 Второй порядок теории Лавлока (теория Ланцоша)..........46

3.2.1 Степенное решение для пустого пространства..........47

3.2.2 Степенное решение для пространства, заполненного идеальной жидкостью....................................49

3.2.3 Показательное решение для пространства, заполненного идеальной жидкостью..............................52

3.3 Второй порядок теории Лавлока с дилатоном (степенные решения) ..............................................................55

3.4 Третий порядок теории Лавлока (показательные решения) . 58

3.5 Произвольный порядок теории Лавлока (степенные решения) 62 3.5.1 Решение для пустого пространства (обобщение решения Казнера)..............................................62

3.5.2 Решение для пространства, заполненного идеальной

жидкостью (обобщение решения Якобса)..............66

3.6 Итог главы........................................................67

4 Устойчивость решения де Ситтера в /(Л, £/)-теории 68

4.1 Устойчивость в пространстве Фридмана-Робертсона-Уокера 69

4.2 Устойчивость в пространстве типа Бианки-1 ..................70

4.3 Итог главы........................................................74

Заключение 75

Список литературы 76

Введение

Рубеж двадцатого и двадцать первого веков ознаменовался важными достижениями в области космологии. Это и открытие ускоренного расширения Вселенной на основании наблюдений за далёкими сверхновыми [1,2,3], и обнаружение анизотропии реликтового излучения [4, 5], и вывод о существовании большого количества "скрытой массы", не поддающейся прямым наблюдениям, а проявляющей себя лишь в наблюдениях по гравитационному линзированию, в аномальном поведении кривых вращения галактик и движения галактик в скоплениях [6, 7, 8]. Свидетельством признания научным сообществом большой важности этих открытий послужило присуждение двух Нобелевских премий по физике за работы в области космологии: в 2006 году награждены Д. Матер и Д. Смут за открытие анизотропии реликтового излучения, а в 2011 году награждены С. Перлмуттер, Б. Шмидт и А Райсс за открытие ускоренного расширения Вселенной.

Во многом аналогичное положение наблюдалось в космологии более четверти века назад, когда были осознаны такие противоречия стандартной фридмановской космологии как проблемы горизонта, кривизны и начальных возмущений. Анализ этих проблем привёл исследователей к выводу, что они могут быть решены введением в раннюю Вселенную кратковременной стадии ускоренного расширения, за время которой Вселенная должна расшириться приблизительно в е60 раз. К настоящему времени теория инфляции и связанная с ней теория возмущений в ранней Вселенной являются хорошо разработанными на основе введения дополнительного скалярного поля - "инфлатона" [9, 10, И, 12, 13, 14, 15, 16].

Таким же образом — введением дополнительных полей — многие исследователи предлагают объяснить современное ускоренное расширение (продолжающееся последние 5 млрд лет) [17, 18, 19, 20, 21], а также существование "тёмного вещества", представляемого предполагаемыми бозонами Хиггса, аксионами, вимпами, нейтралино и т. п. [22, 23, 24].

Существует, однако, и другой подход, предлагающий объяснить и инфляцию, и современное космологическое ускорение, и даже "скрытую массу" с помощью одного только изменения теории тяготения.

Основной теорией тяготения по сей день считается общая теория относительности (ОТО), разработанная в трудах Альберта Эйнштейна, Марселя Гроссмана и Давида Гильберта. Завершающим этапом построения ОТО

можно считать получение в 1915 году уравнений гравитационного поля независимо Д. Гильбертом [25] и А. Эйнштейном [26]. По этой причине данные уравнения называют уравнениями Гильберта-Эйнштейна, Эйнштейна-Гильберта или (в подавляющем большинстве работ) просто уравнениями Эйнштейна. Я буду придерживаться первого из этих наименований.

Все дальнейшие попытки построения иных уравнений гравитационного поля можно рассматривать как выход за рамки общей теории относительности. Так мы и будем делать.

Все модификации ОТО обладают некоторыми из следующих недостатков:

1. Для описания тяготения, помимо метрического тензора Римана, вводятся дополнительные поля.

2. В уравнениях гравитационного поля возникают производные выше второго порядка.

3. Теория предполагает размерность пространства времени выше четырёх.

Следует заметить, что введение дополнительных полей и дополнительных пространственных измерений требует объяснения их ненаблюдаемости. Возможно лишь одно изменение уравнений Гильберта-Эйнштейна, свободное от всех трёх недостатков: введение космологической постоянной, что и было сделано Эйнштейном в 1917 году [27]. Других возможностей избежать всех перечисленных недостатков не существует. Кратко обсудим некоторые из предлагаемых теорий:

1. Введение дополнительного скалярного поля. Первая теория подобного рода была предложена К. Брансом и Р. Дикке [28, 29] для согласования общей теории относительности с принципом Маха, согласно которому инерция возникает, когда тело ускоряется относительно общего распределения масс во Вселенной. В современных работах скалярное поле вводится более общим способом, при этом целью его введения обычно является получение в теории решений определённого вида [30].

2. Введение в теорию кручения (несимметричной части аффинной связности) [31] и векторного поля, нарушающего сохранение длины при

параллельном переносе [32], преследовало, помимо прочего, цели квантования гравитации и построения единой теории тяготения и электромагнетизма. В настоящее время предпринимаются попытки использовать кручение для построения "новой космологии" [34].

3. Модификация лагранжиана. Пожалуй, наиболее широко используются ныне так называемые /(Я)-теории, в которых лагранжиан представляет собою некоторую функцию скалярной кривизны [30, 35]. В этом случае в уравнениях поля возникают производные 4-го порядка и появляется возможность переформулировать теорию таким образом, что порядок уравнений понизится до 2-го, однако возникнет дополнительное скалярное поле. В простейших моделях /(Д)-теории лагранжиан разбивается на 3 части, первая из которых преобладает в случае большой кривизны и отвечает за инфляцию, вторая преобладает в случае средней кривизны и отвечает за замедленное расширение, а третья часть преобладает на малых кривизнах и ответственна за современное ускоренное расширение. Сюда же примыкают теории с лагранжианами вида Я + /(£) и /(Я, д), где Я = Я^Я^ - 4Я^Я^ + Я2 -инвариант Гаусса-Бонне-Дженни. Следует также упомянуть о теориях с выражениями вида \ИЯ и П^1/? в лагранжиане (нелокальные теории) [36, 37, 38], а также о теориях, где гравитация неминимально связана с материей [39, 40].

В диссертации исследуется одна из теорий, предлагающих модификацию лагранжиана гравитационного поля — теория Лавлока [41] — единственная модификация общей теории относительности, свободная от первого и второго из перечисленных недостатков, то есть единственная теория, не вводящая ни дополнительных полей, ни высших производных. Данная теория, однако, требует наличия дополнительных пространственных измерений, что, на взгляд диссертанта, является наименее существенным недостатком, поскольку дополнительные измерения возникают в рамках многих других физических теорий и приёмы работы с ними являются хорошо разработанными.

Более подробно теорию Лавлока рассмотрим в следующем разделе, пока же обсудим общие требования, предъявляемые ко всем вновь выдвигаемым теориям тяготения. Итак, от них требуется:

1. Описывать стадию инфляции с переходом к замедленному расширению и последующим переходом вновь к ускоренному.

2. Не противоречить данным наблюдений в отношении реликтового излучения и гравитационного микролинзирования.

3. Описывать движение планет, звёзд и галактик в строгом соответствии с данными наблюдений.

4. Допускать существование сферически симметричных тел.

5. Решения, отвечающие наблюдаемым явлениям, должны быть устойчивы относительно возмущения начальных данных.

6. Если предполагается наличие дополнительных пространственных измерений, то должна быть объяснена их ненаблюдаемость.

Данная работа посвящена исключительно проверке условий 1, 5 и 6 из этого списка (не претендуя, однако, на полную проверку и этих условий). Для рассмотрения выбрана теория, лагранжиан которой является функцией лагранжианов Лавлока (9), а также, в ряде случаев, дополнительного скалярного поля и его производных первого порядка. Как правило (везде, кроме раздела 4), лагранжианы Лавлока входят в линейной комбинации, т. е. рассматривается собственно теория Лавлока или она же с дилатоном (скалярным полем).

Исследования в этой области вызывают большой интерес. Обычно (см., например, [42, 43, 44]) рассматривается только 2-й порядок теории Лавлока без дилатона (называемый теорией Эйнштейна-Гаусса-Бонне, хотя заслуга построения этой теории принадлежит Ланцошу [45]). Значительно реже (по причине большой громоздкости вычислений) используется третий порядок, но и эти редкие работы посвящены почти исключительно чёрным дырам [46, 47, 48]. Имеется также ряд работ во втором порядке с дилатоном [49, 50]. Кроме того, Бриггс [51, 52] вывел явный вид 4-го и 5-го лавлоко-вых тензоров (непосредственно расписав их через тензор Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну), а С. А. Павлюченко [53] получил некоторые решения в произвольном порядке. Следует упомянуть также исследования теорий с лагранжианами вида функции от первых двух лавлоковых лагранжианов [49, 54, 55, 56, 57].

Вообще, стоит заметить, что, несмотря на обилие работ по применению теории Лавлока к чёрным дырам и по космологическим приложениям второго порядка теории Лавлока, работы, посвящённые космологическим приложениям высших порядков теории Лавлока, почти отсутствуют.

В настоящей работе используются все перечисленные варианты. Они исследуются на возможность получения космологического ускорения и неизо-тропизующегося расширения-сжатия многомерного пространства (последняя задача будет обрисована ниже). Изучаются также вопросы устойчивости получаемых решений.

Работа построена следующим образом. В первом разделе даётся общее изложение теории Лавлока. Во втором исследуется возможность получения космологического ускорения в теории Лавлока с дилатоном или без него. Третий раздел посвящён доказательству возможности неизотропизу-ющегося расширения при наличии материи в теории Лавлока (с дилатоном и без). В последнем, четвёртом, разделе изучается устойчивость решения де Ситтера в теории с лагранжианом в виде функции первых двух лагранжианов Лавлока.

1 Теория Лавлока

Рассмотрим задачу построения релятивистских уравнений гравитационного поля. Логично искать их как обобщение нерелятивистского уравнения Ньютона, которое имеет вид

Аф = 4ттр, (1)

дх2 ду2 дг2

, . а2 я2 я 2

где ф — потенциал поля, р — плотность массы, а Д = + ^¡Ч +

оператор Лапласа.

В отличие от теории Ньютона, где есть лишь один гравитационный потенциал и, следовательно, лишь одно уравнение гравитационного поля, в общей теории относительности гравитационными потенциалами являются компоненты метрического тензора д^, десять из которых независимы. Следовательно, мы должны иметь столько же независимых уравнений. Естественно предположить, что это будет тензорное равенство второго ранга.

Итак, в 4-мерном пространстве-времени нужно записать вместо одного уравнения 16. Понятно, что однозначно построить такое соответствие невозможно. Поэтому было предложено множество различных способов подобного построения.

Способ, ставший классическим, предлагает искать эти уравнения в виде (этот вывод уравнений гравитационного поля описан в многочисленных руководствах по общей теории относительности, например, в книге [58])

& ¡IV — Тщ,, (2)

где Т^ — тензор энергии-импульса вещества, а тензор описывает гравитационное поле и удовлетворяет следующим условиям:

1. Бездивергентность (поскольку бездивергентен тензор энергии-импульса):

= 0. (3)

2. Симметричность (следует из симметричности тензора энергии-импульса):

С*¡IV — (4)

3. является функцией метрического тензора и его производных первого и второго порядка.

4. линеен по вторым производным метрического тензора.

Общий вид такого тензора на произвольном римановом многообразии есть

где а, Л — произвольные постоянные. Далее из соответствия теории Ньютона находятся

где с — скорость света, а С - гравитационная постоянная. Тогда уравнения приобретают следующий вид (уравнения Гильберта-Эйнштейна):

Возможно, однако, что Л не равно нулю, а лишь мало настолько, что в теории Ньютона не играет никакой роли. В этом случае получим так называемые уравнения Гильберта-Эйнштейна с космологическим членом.

В настоящей работе рассматривается лишь одна модификация вывода уравнений гравитационного поля, предложенная в 1970-71 гг. канадским математиком Дэвидом Лавлоком [41]. Он предложил отказаться от условия линейности тензора по вторым производным метрики и доказал следующую теорему:

Теорема Лавлока. Пусть в п-мерном римановом пространстве требуется найти тензор С^ второго ранга, который

1. Симметричен: =

2. Бездивергентен: У^б?^ = 0;

3. Выражается алгебраически только через метрический тензор и его производные первого и второго порядка.

Тогда общий вид искомого тензора суть следующий:

(5)

ТО—1

где

1

т = -п, если п четно 2 '

т = -{п + 1), если п нечетно, £

Р_ гМхЛг-'-Агр р а\сгг р 0304 р <72р-10"2г> /п\

^ у — хгА3А4 " ' 1гХ2р-1Х2р ' V';

Л — произвольные постоянные, а равно единице, если ь>\ • • ■ щ

— четная перестановка ■ ■ ■ цк, минус единице, если нечетная, и нулю в остальных случаях. Тензоры (7) будем именовать лавлоковыми тензорами р-го порядка.

Выяснилось [41], что л/ЩС^ является выражением Эйлера-Лагранжа, связанным с лагранжевой плотностью

то— 1

£ = £ 2с^^Я^Я^ ■ ■ ■ Ях^;2^2" + 2Л\/Ы (8)

р=1

варьированием по д>ли. Слагаемые

4> = 2б^'к^хГ^ХэхГ4 ■ ■ ■ ^х2;2р~1а2р (9)

будем называть лавлоковыми лагранжианами р-го порядка.

Таким образом, можно сформулировать вариационный принцип, из которого получаются уравнения (2), (6), следующим образом. Распределение материи, задаваемое тензором энергии-импульса Т^, индуцирует в пространстве риманову метрику д^, доставляющую экстремум действию

5 = ! (РхС + Бт, (10)

где С задается формулой (8), а Бт — действие для материальных полей, такое, что

Т =__(П)

(последняя дробь означает вариационную производную).

Частный случай теории Лавлока, отвечающий не более чем квадратичной зависимости тензора гравитационного поля от вторых производных метрики, был построен К. Ланцошем в 1938 году [45], поэтому теорию Лавлока иногда называют теорией Ланцоша-Лавлока. Кроме того, второй лавлоков лагранжиан представляет собою инвариант Гаусса-Бонне, отчего второй порядок теории Лавлока (то есть теорию Ланцоша) зачастую называют теорией Гаусса-Бонне или Эйнштейна-Гаусса-Бонне.

Из формул (6), (7) нетрудно видеть, что в 4-мерном пространстве

и мы получаем уравнения Гильберта-Эйнштейна с космологическим членом. Таким образом, желая получить из теории Лавлока новые результаты, мы вынуждены рассматривать пространства с числом измерений не менее пяти (это, конечно, относится только к самой теории Лавлока, а не к более сложным вариантам).

Иногда в теорию Лавлока вводят скалярное поле <р (так называемый дилатон), добавляя в лагранжиан кинетический членд^срд^р, потенциальный член У(1р), а также делая множители ар зависящими от дилатона: ар — ар((р). Кроме того, возможно использовать не линейную комбинацию лавлоковых лагранжианов, а записать лагранжиан в виде некоторой их функции: С = /(£ь £2, ■ - •)•

2 Космологическое ускорение

В настоящем разделе ставится цель доказать возможность ускоренного расширения Вселенной в соответстви