Космологические решения в модифицированных теориях гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Макаренко Андрей Николаевич

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В МОДИФИЦИРОВАННЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Л

Макаренко Андрей Николаевич

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В МОДИФИЦИРОВАННЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Томский государственный педагогический университет», на кафедре теоретической физики

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Обухов Валерий Владимирович

Официальные оппоненты:

Волович Игорь Васильевич, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Сгеклова Российской академии наук, отдел математической физики, заведующий отделом

Бронников Кирилл Александрович, доктор физико-математических наук, федеральное государственное унитарное предприятие «Всероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы», отдел 001, главный научный сотрудник

Широков Игорь Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет», кафедра комплексной защиты информации, профессор

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное учреждение высшего образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Защита диссертации состоится 30 октября 2014 года в 14:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.07, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на сайте федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru

Автореферат разослан: "IV" июля 2014 г.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http : //www.tau.ru/content/news/announcnient of the dissertations in the tsu.php

Ученый секретарь диссертационного совета

Киреева Ирина Васильевна

ГО'

ил., .

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования.

С конца прошлого века стали поступать наблюдательные данные, отличающиеся высокой точностью и согласованные друг с другом, которые поставили под сомнение стандартную космологическую модель. Эта модель опиралась на общую теорию относительности, стандартную модель элементарных частиц, на предположение о начальном Большом взрыве и последующем этапе замедленного расширения, где Вселенная эволюционировала через фазу преобладания излучения к фазе преобладания пылевидной материи, при которой были сформированы все структуры. Инфляционная парадигма, сформулированная с помощью различных подходов в восьмидесятых годах, исключила несколько несоответствий, присущих этой модели, предложив правдоподобные механизмы, объясняющие формирование крупномасштабной структуры и отсутствие топологических дефектов, таких как магнитные монополи и космические струны.

Однако результаты, полученные в последние двадцать лет, даже при относительно небольших (маленькое красное смещение) расстояниях существенно отличались от стандартной космологии. Это значение параметра Хаббла, полученное из наблюдения за сверхновыми типа 1а (8Ке1а) (Нобелевская премия 2011 года), изучение особенностей скоплений галактик, таких как массовые характеристики, корреляционные функции и численный расчет распределения кластеров в терминах красного смещения, оптические исследования крупномасштабной структуры, измерение анизотропии микроволнового фонового излучения (реликтового излучения) и, наконец, данные о лесе альфа-линий поглощения Лаймана. Интерпретация этого огромного и растущего объема информации в рамках единого подхода составляет, наверное, самую большую проблему современной космологии и теоретической физики. В частности, существующие расхождения между наблюдаемой материей и критической плотностью, необходимой для получения пространственно плоской Вселенной, и последующее ускоренное расширение могут найти объяснения, если допустить существование той или иной формы космической жидкости с отрицательным давлением. Эта жидкость не дает вклада в кластеризацию

в большом масштабе, является невидимой и не взаимодействует с обычной материей. В простейшем случае этот таинственный компонент, известный как темная энергия, может быть интерпретирован как космологическая постоянная, которой соответствует более 70% всей энергии Вселенной. Остальные 30 % сосредоточены в галактиках и скоплениях галактик, из них только около 4 % - это обычная барионная материя, а остальное -холодная темная материя (СОМ). С астрофизической точки зрения эта простая модель достаточно хорошо согласуется с наблюдательными данными. Можно обоснованно предположить в качестве первого шага на пути к новой космологии, что данная модель, обычно называемая ЛСБМ-моделью, может служить отправной точкой. Несмотря на хорошее соответствие с наблюдениями, АСОМ-модель является теоретически несогласованной. Если космологическая постоянная представляет собой "вакуумное состояние" гравитационного поля, то мы должны объяснить расхождение в 120 порядков между наблюдаемым значением данной величины и предсказаниями любой теории квантовой гравитации. Кроме того, существует так называемая проблема совпадения - почему материя (темная и барионная) и космологическая постоянная сегодня одного и того же порядка? Материя и плотность энергии вакуума должны вести себя совсем по разному в ходе эволюции Вселенной, и неясно почему именно сегодня они имеют близкое значение. Последние данные, поступающие из миссии ПЛАНКА, в основном, подтверждают все вышесказанное с очень высокой точностью.

Все это привело к возникновению большого количества космологических моделей, построенных на базе различных подходов. Были предложены модели, вводящие новые формы темной энергии и темной материи. К сожалению, ни один из предложенных претендентов не является полностью удовлетворительным как с теоретических, так и с наблюдательных точек зрений. Во-первых, ни один из предложенных кандидатов на темную материю и энергию не был экспериментально обнаружен. Во-вторых, такие модели не в состоянии полностью объяснить некоторые данные в масштабах, характерных для галактик и скоплений галактик.

Мы видим два возможных варианта: либо мы ищем темные компоненты (дополнительные поля), либо мы признаем, что космическое ускорение и "пропавшая без вести" масса - не что иное, как сигналы, указывающие

нам на то, что общая теория относительности фактически протестирована только от лаборатории - до Солнечной системы и не в состоянии описать Вселенную в более крупных масштабах (в таком случае, темная материя и темная энергия будут играть роль, подобную эфиру, который становится бесполезным после появления специальной теории относительности).

"Консервативный" подход ищет объяснение темной материи и темной энергии в рамках "известной физики". Примеры в направлении этого даются квантовой теорией поля. Оказалось, что существует тесная связь между явлением смешивания и проблемой темной энергии. Многое свидетельствует о том, что этот механизм может дать объяснение, по крайней мере, частичное, проблеме космического ускорения. На самом деле экспериментальные свидетельства нейтринных осцилляций являются сегодня одним из самых важных открытий в области физики элементарных частиц. Это привело к повышенному интересу теоретических исследований смешивания и явления колебаний частиц (кварки, нейтрино, мезоны). Например, было показано, что вакуум смешанных полей (флейворы вакуума) имеет структуру конденсата пары частица-античастица как для фермионов, так и для бозонов, и возникают поправки, которые могут привести к чрезвычайно интересным способам объяснения космологического ускорения.

Более радикальный подход предполагает, что общая теория относительности не способна описать Вселенную в масштабах больших, чем Солнечная система, а темные компоненты могут быть наблюдаемым эффектом такого несоответствия. В последнее время ученые пытаются объяснить массовые расхождения, наблюдаемые в астрофизических системах, начиная с Солнечной системы и заканчивая масштабами кластеров галактик, предложив альтернативные теории гравитации. Этот подход показал хорошее соответствие при объяснении космологического ускорения. Одна из первых и достаточно удачных попыток - это хорошо известная среди астрономов гипотеза, так называемая MOND (модифицированная ньютоновская динамика), которая проходит ряд экспериментальных тестов. Но остаются и серьезные трудности, например, в объяснении леса альфа-линий Лаймана и высокой температуры равновесного газа в скоплениях галактик. И кроме того, эта гипотеза приводит к модификации закона инерции, что противоречит теории

Ньютона, хорошо испытанной при низких энергиях и малых масштабах.

В рамках данного подхода можно выделить класс модифицированных теорий гравитации, которые расширяют общую теорию относительности, сохраняя ее положительные черты. Они не требуют присутствия темных компонент, которые до сих пор не обнаружены на экспериментальном уровне, но требуют иного вида действия, описывающего гравитационное взаимодействие. При таком подходе гравитационное действие Гильберта-Эйнштейна модифицируется, например, путем добавления произвольной функции от скалярной кривизны Риччи R - F(R). Можно рассматривать и комбинированный подход, предполагая и наличие других физических полей (например, скалярного поля), участвующих в динамике. Можно использовать более сложные конструкции, полученные из тензоров Риччи, Римана и Вейля, или теории с неминимальным взаимодействием, также можно рассматривать теории гравитации в пространствах с размерностью выше четырех и т.д. Наибольшее внимание из них привлекает F(R)-гравитация в силу того, что она выглядит проще других модифицированных теорий гравитации, а также может быть переписана в виде скалярно-тензорной теории.

Необходимо отметить достаточно высокую степень разработанности данной проблемы: предложено большое количество космологических моделей в рамках указанных выше подходов, которые описывают как различные фазы эволюции Вселенной, так и переходы между ними. На базе предложенных моделей изучаются различные структуры: звезды, галактики, черные дыры, что позволяет оценить степень реалистичности предложенных моделей на различных космологических масштабах. Однако данное направление продолжает активно развиваться, так как однозначно выделить наиболее перспективную модель или класс моделей не представляется возможным, исходя из сегодняшнего состояния наблюдательной космологии.

Целью данной работы является исследование различных космологических аспектов, таких как возможность ускоренного расширения, переходы между различными фазами эволюции, одновременное описание нескольких режимов эволюции Вселенной, согласованность с наблюдательными данными и т.д. в рамках модифицированных теорий гравитации. Мы рассмотрим наиболее

перспективные модели, описывающие эволюцию Вселенной на различных этапах.

В работе решались следующие задачи:

1. Построение космологических моделей, текущая эволюция которых совпадает с современной ЛСБМ эпохой Вселенной, но отличается в будущем. Построение аналогичных модели в рамках ¿•'(Д^) гравитации. Для построенных моделей необходимо изучить возможность описания ускоренного расширения, переходов между различными фазами эволюции Вселенной и произвести оценку полученных моделей на соответствие наблюдательным данным.

2. Построение космологических моделей в рамках модифицированных теорий гравитации типа Гаусса-Боннэ, содержащих лагранжевы множители.

3. Построение реалистичных космологических моделей с отскоком, описывающих циклическую Вселенную в рамках Р(Л) и Р(&) гравитаций.

4. Построение в рамках гравитации Борна-Инфельда модифицированной теории, содержащей произвольную функцию от скалярной кривизны. На основе данной модели изучить возможность реконструкции реалистичных космологий.

5. Построение в рамках теории Лавлока второго и третьего порядков космологических моделей в многомерных теориях гравитации.

6. Рассмотреть космологические модели, содержащие спинорные поля, и возможность построения на их основе космологических решений.

Научная новизна и практическая значимость работы.

Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми и опубликованы в ведущих международных журналах. Научные положения и выводы полностью обоснованы.

Практическая значимость работы определяется возможным дальнейшим применением полученных результатов для построения космологических моделей, реалистично описывающих эволюцию Вселенной, и сравнение их

с наблюдательными данными, полученными, например, миссией ПЛАНКа и из экспериментов по исследованию реликтового излучения (В1СЕР).

Полученные результаты и разработанные методы могут найти применение в исследованиях по космологии, теории гравитации, математической и теоретической физике, проводимых в Институте Ядерных Исследований РАН (Москва), Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН (Черноголовка), Объединенном институте ядерных исследований (Дубна), Математическом институте РАН (Москва), Государственном астрономическом институте им. П.К. Штернберга (Москва), Казанском (Приволжском) федеральном университете, Томском государственном педагогическом университете, Томском государственном университете, Московском государственном университете, а также в других Вузах и организациях, где ведутся работы по теоретической физике и космологии.

Методы исследования. В работе используются как стандартные методы и подходы математической физики и космологии, так и новые методы, например, метод реконструкции космологических моделей.

Положения, выносимые на защиту.

1. Построена модель с несколькими эффективными космологическими постоянными, способная качественно описать все фазы эволюции Вселенной и переходы между ними. При этом такая модель практически неотличима от АСОМ космологии в современную эпоху эволюции. Данная модель может реалистично описывать современное ускоренное расширение, а также фазу инфляции (соответствующие эпохи эволюции приходятся на фазы эффективных космологических постоянных). Показано, что, несмотря на тот факт, что текущее расширение Вселенной может соответствовать фазе эффективной космологической постоянной, последующая эволюция может идти по любому заданному пути.

2. Проведена реконструкция фантомных космологических моделей в рамках F(Я10) гравитации и показано, что эти модели могут описывать ускоренное расширение и различную эволюцию в будущем (например, вселенные типа малого и большого разрыва и т.д.).

3. Впервые построены космологические решения, описывающие различные фазы эволюции Вселенной в рамках модифицированной теории гравитации, инспирированной теорией струн, содержащей инвариант Гаусса-Боннэ, который взаимодействует со скалярным полем в присутствии лангранжевых множителей. Показано, что наличие лагранжевых множителей в таких моделях позволяет генерировать новые решения с необходимым поведением параметров.

4. Показано, что в рамках F(Д, С?) гравитации в отсутствии дополнительных полей, за исключением обычной материи в форме идеальной жидкости, наличие лагранжевых множителей определенного вида приводит к ограничениям, что исключает возможность построения решений без введения экзотической материи, нарушающей закон сохранения.

5. Впервые проведена реконструкция и построены реалистичные модели с отскоком для степенной и экспоненциальной формы масштабного фактора в рамках F(^Z) и F(í7) гравитации. Показано, что подобные модели могут описывать как раннюю, так и современную ускоряющуюся Вселенную, и, кроме того, с их помощью можно реконструировать экспоненциальную модель, описывающую одновременно и инфляцию, и позднее ускоренное расширение в рамках единого подхода. Показана устойчивость построенных моделей.

6. Впервые построена реалистичная космологическая модель, описывающая различные фазы эволюции Вселенной в рамках новой теории гравитации Борна-Инфельда, содержащая F(^?) слагаемое и совпадающая на современном этапе с АСОМ эпохой. Предложен алгоритм реконструкции космологических моделей в рамках данной теории. Показано, например, что для квадратичного по кpивизнeF(Д) слагаемого можно построить несколько реалистичных космологических моделей, в которых естественным образом реализуется инфляционная фаза.

7. Впервые построены космологические решения в отсутствии материи для гравитации типа Борна-Инфельда, отличные от решений де Ситтера. Показано, что для такого случая функция F(^?) оказывается

строго фиксирована, и реконструкция моделей связана с выбором связи между основной и дополнительной метриками. Проведена реконструкция реалистичных космологий, описывающих как раннюю, так и позднюю Вселенную, а также переходы между ними. Показано, что даже в отсутствии материи будущая эволюция Вселенной может приводить к сингулярностям типа большого разрыва (тип I) или типов 11,111, IV по классификации Ноджири-Одинцова-Тсуджикавы.

8. Впервые получены точные решения для многомерной теории гравитации Лавлока, до третьего порядка включительно. Показано, что в данной теории возможно существование решений, описывающих ускоренное расширение видимой части Вселенной и сжатие дополнительных измерений. В рамках теории Лавлока второго порядка проведен численный анализ возможных решений и показано существование осциллирующего решения, которое можно использовать для построения модели, объединяющей эпохи инфляции и позднего ускоренного расширения.

9. В рамках модели бранной Вселенной и теории Лавлока второго порядка показана возможная изотропизации анизотропных решений. Построен ряд точных решений, описывающих данный процесс.

10. Построено точное решение для модели Эйнштена-Вейля в случае однородного пространства первого типа по классификации Бианки. Показана интегрируемость для всех типов по Бианки гравитационных уравнений для модели Эйнштена-Вейля.

11. Построены новые решения в рамках космологической модели, содержащей спинорные поля специальной формы и неминимально взаимодействующие с Р(Я) гравитацией скалярные поля. Показано, что в данной модели наличие спинорных полей приводит к существенным ограничениям.

Достоверность результатов обеспечивается: корректностью построения математических моделей, внутренней согласованностью и согласием полученных в диссертации результатов с известными результатами, процитированными в диссертации.

Апробация результатов.

Все основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: Международная конференция "Петровские чтения - 2014", 17-22 февраля 2014 г., Казань, Россия; 7th Mathematical Physics Meeting: Summer School and Conference oil Modern Mathematical Physics, 9-19 September 2012, Belgrade, Serbia; The 1st Eurasian International Conference Astrophysics, Gravity and Cosmology, 19-20 November, 2012, Astana, Kazakhstan; Intrnational Conference "Quantum Field Theory and Gravity", Tomsk, July 31 - August 4, 2012; 14 российская гравитационная конференция, 27 июня - 2 июля 2011 г., Ульяновск, Россия; International Conference "Quantum Field Theory and Gravity", Tomsk, July 5 9, 2010; Вторая российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии", GRACOS-2009, 24-29 августа 2009 г., Казань-Яльчик; 13-я Российская гравитационная конференция, 23-28 июня 2008 г., РУДН, Москва, Россия; International Conference "Quantum Field Theory and Gravity", Tomsk, July 2-7, 2007; International School/Seminar "Quantum Field Theory, Supersyinmetry, Higher Spin Fields and Gravity", Tomsk, March 20-26, 2005; 5-ая Международная конференция по гравитации и астрофизике стран Азиатско-Тихоокеанского региона, 1-7 октября, 2001 г., Москва, Россия; XI летняя школа-семинар "Петровские чтения", 5 июля -16 июля 1999 г., Казань, Россия, а также на научных семинарах в институте космических исследований, г. Барселона, Испания и в научно-образовательном центре теоретической физики в Томском государственном педагогическом университете.

Исследования по теме диссертационной работы поддерживались грантами РФФИ, проекты № 99-01-00912, № 01-01-06111-мас, № 03-01-00105, № 06-01-00609; Советом по грантам Президента РФ для ведущих научных школ, проекты НШ-1252.2003.2, НШ-4489.2006.2, НШ- 2553.2008.2, НШ-3558.2010.2, HI1I-88.2014.2; аналитической ведомственной целевой программой '"Поддержка научного потенциала высшей школы" МОН РФ, проекты № 2.1.1/1003 и JV* 2.2.1.1/1141; федеральной целевой программой "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России", проекты № 14.740.12.0846, № 14.740.11.0902, № 14.В37.21.2035, № 14.В37.21.0774 13 и № 14.В37.21.1301.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 27 статьях: 14 статей опубликованы в международных журналах, входящих в системы цитирования: Web of Science, Scopus, Web of Knowledge и Astrophysics, 9 статей опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК, а 4 работы опубликованы в трудах российских и международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы из 254 источника. Объем работы составляет 266 страниц, включая 57 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели, задачи и научная новизна исследования, его теоретическая и практическая ценность, приведены основные положения, выносимые на защиту, и изложена структура диссертации.

Глава 1 посвящена построению ряда космологических моделей с несколькими эффективными космологическими постоянными, описывающих ускоренное расширение Вселенной и согласованных с наблюдательными данными. Кроме того, проведена реконструкция фантомных космологических моделей в рамках F(R,G) гравитации и показано, что эти модели могут описывать ускоренное расширение и различную эволюцию в будущем (например, вселенные типа малого и большого разрыва).

В параграфе 1.1 приведены общие сведения об уравнениях движения стандартной космологической модели (уравнения Фридмана), и описана связь параметра уравнения состояния с характером расширения Вселенной. Приведено значение параметра уравнения состояний, полученное из наблюдательных данных, и показано, что на сегодняшний момент невозможно определить, в какой именно фазе ускоренного расширения находится наша Вселенная. Это обосновывает важность изучения всех трех режимов ускоренного расширения. Несомненно, особый интерес сконцентрирован на де Ситтеровском режиме расширения и на фантомной космологии.

Параграф 1.2 носит обзорный характер. В нем показаны особенности

фантомной фазы расширения Вселенной, а именно, приведена классификация сингулярностей будущего, и описан эффект распада связанных структур.

В параграфе 1.3 построена космологическая модель, содержащая несколько эффективных космологических постоянных. Данная модель описывается в рамках некоторой эффективной идеальной жидкости с плотностью энергии и давлением, задаваемыми с помощью функции /(</>)■:

р = р = ~М*^

гх № Л

Решение уравнений Фридмана для такой материи имеет вид:

я = т. (2)

В случае, когда /'(</>) = 0, мы можем найти такое значение ф = ф0, что Я становится постоянной:

Я = Н0 = /(фо). (3)

Видно, что начало отсчета времени может быть выбрано произвольно. В (2) - < = ф, но можно выбрать £ = </> + ¿о с произвольной постоянной ¿о- Это показывает, что помимо решения (2), Н — /(£ — ¿0) также будет решением. Данная модель может рассматриваться как некий классический аналог эффекта струпного ландшафта - одновременное существование нескольких космологических постоянных.

Данная модель интересна тем, что, выбирая фазу эффективной космологической постоянной, близкую по времени к текущему моменту эволюции Вселенной, мы получим хорошее соответствие с наблюдательными данными, так как полученная модель будет практически неотличима от ЛСБМ космологии в современную эпоху эволюции.

В параграфе 1.3.1 рассмотрен пример непериодического поведения темной жидкости. Наиболее простой реализацией такой модели будет следующее поведение производной от параметра Хаббла:

Я = а(Ах - ¿)(Л2 - 0(1 + РЬУ . (4)

Несмотря на тот факт, что текущее расширение Вселенной может соответствовать фазе эффективной космологической постоянной, последующая эволюция может идти по любому заданному пути.

В параграфе 1.3.2 подробно рассмотрено несколько моделей с периодическим поведением эффективной идеальной жидкости. Показано, что, фиксируя параметры модели, можно добиться хорошего соответствия наблюдательным данным и при этом качественно получить все три фазы эволюции Вселенной: начальное ускоренное расширение, расширение с замедлением и снова ускоренное расширение.

Параграф 1.4 посвящен реконструкции космологических моделей с заданным поведением масштабного фактора в рамках космологической модели со скалярным полем. На примере, рассмотренном в параграфе 1.3.2, построена модель, описывающая заданное поведение масштабного фактора и скалярного поля. Кроме того, в рамках скалярно-тензорных теорий показано, что с помощью конформных преобразований уравнения движения можно получить в наиболее простой форме.

В параграфе 1.5 проведена реконструкция фантомной космологии в рамках <7) гравитации. Построены модели, описывающие решения типа маленького и большого разрывов, а также решение де Ситтера. Проведено подробное исследование данных моделей и показано, что подобные модели достаточно хорошо могут описывать текущее ускоренное расширение.

Глава 2 посвящена реконструкции космологических решений в модифицированных теориях гравитации, содержащих лагранжевы множители. Актуальность и практический интерес к подобным моделям рассмотрен в параграфе 2.1. Здесь же приведен краткий обзор литературы по данной проблеме.

В параграфе 2.2 рассмотрена гравитация Гаусса-Боннэ со скалярным полем, инспирированная теорией струн в присутствии лагранжева множителя. Действие для такой модели принимает форму:

Здесь А - лагранжев множитель, £, и и (/ - произвольные функции скалярного поля, а С - инвариант Гаусса-Боннэ. Будем рассматривать потенциал и функцию е, исходя из теории струн, предел которой может

5

быть описан нашим действием:

V = Л + У0е'*ф, е = £0еЬгф. (6)

Здесь Ь\, 62, Л, Ц и ео _ постоянные. По аналогии множитель лагранжа выберем в той же форме:

А = Ах + А„еЧ (7)

с некоторыми постоянными ¿>3, А1 и Ао-

В параграфе 2.2.1 подробно рассмотрен случай скалярного поля пропорционального времени. Можно найти решение уравнений движения следующего вида:

Я = Лое*"'". (8)

Это решение описывает фантомную Вселенную типа маленького разрыва. Для такого решения можно найти вид функций V, е и А (существует два решения):

1 Я2 1 Я2

VI = 2^О7 или ^2=2^07 + 3-^-,

* = ИЛИ £2 = (9)

А1 = - ИЛИ Аг = -

Следует отметить, что данное решение возможно только при наличии в модели лагранжева множителя (без него такого решения не существует). Решение можно найти, если предположить более сложные зависимости V и е от скалярного поля.

В параграфе 2.2.2 изучена еще одна модель, когда скалярное поле имеет другой вид ф ~ 1п Ь. Рассмотрено два случая: в первом случае зависимость параметра Хаббла и скалярного поля от времени задается в следующей форме:

Я = ф=фп1п1 ш(ф) = 7 = ±1, (10)

г £1

где Ло, 0о и ¿1 - постоянные. Когда /го > 0, наша Вселенная будег находиться в фазе квинтэссенции и расширяться но степенному закону. Для второго

случая мы можем записать:

= ы(*)=7 = ±1, (П)

Тя — Т 1\

и тогда мы придем к фантомо-подобной Вселенной при /го < 0.

Оба этих случая подробно изучены. Показано, что лагранжевые множители помогают генерировать новые космологические решения. Для моделей без лагранжевых множителей показано, что потенциал пропорционален квадрату времени, в то время как скалярная функция перед инвариантом Гаусса-Бопне обратно пропорциональна времени. В модели с множителем Лагранжа мы получаем новые решения, где зависимость коэффициента перед инвариантом Гаусса-Бонне имеет достаточно простой и легко объяснимый вид, а скалярный потенциал часто показывает ту же временную зависимость (V ~ 1/£2). Следует также отметить, что в данной модели возникает несколько фантомных космологий для канонического скалярного поля ф, тогда как в отсутствии лагранжева множителя подобное решение удается получить только при очень жестких ограничениях на постоянные.

В параграфе 2.3 приведен общий алгоритм для реконструкции космологических моделей в гравитации Гаусса-Боннэ со скалярным полем в присутствии лагранжевого множителя. Найден общий вид функций V и е, которые определяются выбором метрики, скалярного поля и лагранжева множителя. В качестве иллюстрации проведена реконструкция одной из космологических моделей из предыдущего параграфа.

В параграфе 2.3.1 рассмотрена реконструкция для немонотонной зависимости параметра Хаббла от времени. В качестве примера проведена реконструкция для модели, описывающей переход от нефантомной - к фантомной фазе эволюции. В параграфе 2.3.2 проведен анализ динамической системы уравнений и найдены особые точки. Показано, что присутствие в модели множителей Лагранжа ведет к возникновению новых особых точек.

В параграфе 2.4 исследуется возможность построения модифицированной теории гравитации с лагранжевыми множителями в отсутствии дополнительных полей (за исключением, обычной идеальной

жидкости). Рассмотрены действия вида: Si = ¿2 / d4x^ G) + л QV„GV"G + F2(G)) I + Sm , (12)

Б=Ъ S *X^ G) + A (\V»RV"R + } + • (13)

Здесь F(R,G) и F2 - произвольные функции своих аргументов, Sm -стандартное действие для идеальной жидкости, Л - множитель Лагранжа.

В обоих случаях условия совместности полевых уравнений требуют наличия экзотической материи, нарушающей закон сохранения энергии.

В 3 главе изучена реконструкция космологических решений для циклической космологии, интерес к которой обоснован в параграфе 3.1, где также приведен обзор литературы. Параграф 3.2 описывает общий подход к реконструкции в рамках F(R) гравитации. Получено общее уравнение на функцию F(R). Данный параграф носит обзорный характер.

В параграфе 3.3 подробно рассмотрена циклическая космология в F(R) гравитации. Используя уравнение на функцию F(R) из предыдущего параграфа, была проведена реконструкция для нескольких циклических космологий. В параграфе 3.3.1 рассмотрена экспоненциальная модель:

a(t) ~ е'"2. (14)

Здесь а - постоянная, с размерностью квадрата массы. Найден вид функции F(R) для такой модели:

F{R) = —Я2 - 72R + 144û!. (15)

а

Параграф 3.3.2 посвящен проведению реконструкции циклической космологии степенного вида:

a(t) = à 0У + 1, (16)

где 0) - постоянная, I - нормированное время, a q = 2п при целом п, модель F(R) гравитации степенного типа может быть реконструирована. Найден вид функции F(R):

F(R) = FRf , (17)

где 0) - постоянная.

В параграфе 3.4 изучаются условия устойчивости для моделей в рамках F(R) гравитации, которые в параграфе 3.4.1 проверяются для экспоненциальной модели, а в параграфе 3.4.2 - для степенной. В обоих случаях показано, что при выполнении некоторых достаточно естественных условий решения будут устойчивыми.

В параграфе 3.5 проведена реконструкция космологической модели, способной объединить инфляцию и позднее ускоренное расширение. Рассмотрена следующая метрика (параграф 3.5.1):

a{t) = eY + е

у i

■(9'

(19)

(20)

Для этой модели провести реконструкцию можно только приближенно. Для построенной модели в параграфе 3.5.2 показана устойчивость полученного решения.

В параграфе 3.6 проведена реконструкция решения в случае ненулевой пространственной кривизны для масштабного фактора следующего вида:

в(0

се + те ,

(21)

где А, а и т - постоянные вещественные величины (А, <т, т € К), та ф 0 и А Ф 0. В параграфе 3.6.1 рассмотрена полиномиальная модель второго порядка с функцией .Р(Д) вида:

F{R) = с*о + »1R + a2R2.

(22)

В этом случае мы придем либо к решению с постоянной скалярной кривизной, либо получим следующее решение:

^ п а? \ / "о

а > 0,

"12^' t = ±1-Для этого набора параметров мы найдем, что:

2ао Г. 96e2A'fcA2<72 »1

R —

1 +

(к - 12ешХ2а2)2

Также рассмотрена модель, содержащая отрицательные степени скалярной кривизны:

= + + (23)

В этом случае мы имеем только решения с постоянной кривизной.

В параграфе 3.7 рассмотрен случай для такого же выбора метрики, по с пространственной кривизной раиной нулю. Проведена реконструкция и получен явный вид функции F(R) для различной связи между коэффициентами А, а и т (параграф 3.7.1). Для полученных решений в параграфе 3.7.2 показано, что условия на устойчивость могут быть удовлетворены при некоторых выполняемых ограничениях.

Аналогичная реконструкция проведена в F(Q) гравитации в параграфе 3.9. Для метрики (21) найден явный вид функции F(Q). Единственное вещественное решение в допустимом интервале значений инварианта Гаусса-Боннэ существует только для положительных констант А, а и т. Найдены условия устойчивости полученного решения. Кроме того, построен вид функции F{G), описывающий сингулярности будущего для всех типов классификации Ноджири-Одинцова-Тсуджикавы. В параграфе 3.10 приведены примеры циклической космологии в F{Ç) гравитации: экспоненциальная модель (14), степенная модель следующего вида:

o(i) = pt2n , (24)

где /3 - постоянная, п целое число; так называемая 'Экпиротик" Вселенная:

H{t) = H0- Hie-*, Н0> 0, р> 0. (25)

Реконструкция модели суммы экспонент (19) была проведена впараграфе 3.11. Построенная модель была подробно изучена в параграфе 3.12, и было показано, что она может описывать единым образом как инфляцию, так и позднее ускоренное расширение. Также было показано, что построенная модель удовлетворяет условиям устойчивости, полученным ранее.

В заключении (параграф 3.13) приведены полученные в этой главе результаты.

Четвертая глава посвящена построению космологических моделей в неметрической теории гравитации. Рассмотрено действие типа Эддингтона-Борна-Инфельда в формализме, когда связность является независимой

(формализм Палатнни). В параграфе 4.1 представлен краткий обзор литературы и описана модель, предложенная Эддингтоном в 1924 году. Данная модель в отсутствии материи сводится к теории Эйнштейна при наличии космологической постоянной, а попытки включения в данную модель материи не приводят к новым решениям. Однако можно провести обобщение модели Эддингтона, используя действие Борна-Инфельда, предложенное для решения проблемы бесконечности энергии точечного заряда в электродинамике (параграф 4.2). В этом случае действие принимает вид:

Решение в пустоте снова совпадает с решением де Ситтера, а для модели при наличии какой-либо материи не удается найти решений, отличных от решений в эйнштейновской теории. Мы же обобщим данное действие и рассмотрим гравитацию типа Борна-Инфельда, содержащую произвольную функцию скалярной кривизны (параграф 4.3). Действие, в этом случае, принимает вид:

Здесь б и а - некоторые постоянные, которые можно использовать для перехода к обычной теории Борна-Инфельда (а = 0) или к обычной метрической теории (для этого нужно устремить £ к нулю).

В параграфе 4.4 рассмотрен частный случай отсутствия материи. В этом случае однозначно фиксируется функция /(Я), а неизвестной, помимо основной метрики, остается дополнительная метрика, по которой строится связность. Можно выделить отдельно случай, когда эти метрики можно связать с помощью некоторой функции, то есть возникает некий аналог конформного преобразования. Этот случай мы назовем конформным подходом, который подробно рассматривается в параграфе 4.5. Для этого случая функция /(Я) определяется следующим выражением:

¿ЕШ! =

к

\/| + «Я/и,(Г))| — + Г,ф]. (26)

(27)

ДЯ) = -(А-1)-Я +

к

8

(28)

Неизвестным становится связь между основной д1Ш и дополнительной Пц,, метриками:

«/и/ = "V" (29)

Таким образом, реконструкция космологических моделей для такого подхода сводится к выбору одной из метрик. Остается одно уравнение:

I и й

Н = 2-й <М>

Если оно удовлетворяется, то все полевые уравнения обращаются в тождества.

В качестве примера в параграфе 4.5.1 рассмотрена функция и — ще*11. В этом случае мы получаем следующий вид параметра Хаббла:

что соответствует Вселенной типа маленького разрыва. Проводится подробный анализ решений такого типа и показано, что в данной модели может реализовываться и циклическая космология.

В параграфе 4.5.2 рассматривается степенная связь между метриками. В этом случае масштабный фактор основной метрики имеет следующий вид:

^ уЧТ

а = аое Г"/2. (32)

Мы снова приходим к Вселенной типа маленького разрыва и так же, как и в предыдущем случае, возможна циклическая космология. Боле того, выбирая и = — <)"'*, мы получим сингулярности будущего любого типа по классификации Ноджири-Одинцова-Тсуджикавы.

В параграфе 4.5.3 проведена реконструкция космологии типаЛСБМ. Найден явный вид функции и для такой модели.

В параграфе 4.5.4 рассмотрена модель, объединяющая позднее ускоренное расширение и инфляцию для периодического поведения параметра Хаббла:

Я = Л0 + /118111 {и 0 . (33)

Проведен подробный анализ построенной модели и найден явный вид связи между метриками.

В параграфе 4.5.5 аналогичные рассуждения приведены для непериодической зависимости параметра Хаббла:

-Что)

(34)

В параграфе 4.5.6 рассматривается пример другой модификации первоначального действия Борна-Инфельда, в данном случае произвольная функция от скалярной кривизны введена под корень:

у/\9)ш + кЯ)Ш( Г) + ад1ШР{Я)\.

Для данной модели найден явный вид функции /(К)-

В параграфе 4.6 представлен алгоритм построения модели, содержащей материю. Уравнения движения переписываются в матричной форме:

УМ

у/Ш

(Г19) ~ [(А - у/ - о,/я) / + а/я (Г'<?)] = -кеТ , (35)

где I - единичная матрица, а Т обозначает тензор энергии-импульса с одним верхним и одним нижним индексами Т1и"даи. Это уравнение устанавливает алгебраическую связь между 0, = д~1ц и материей.

Р^П"1 - [(А - у / - с/я) / + а/пй\ = -кеТ . (36)

Материя в виде идеальной жидкости подробно исследуется впараграфе 4.7. Мы приходим к следующему уравнению:

еЯ2 = <71 - Зет2 - - 3а2ш2) ^

2а1 ^ _ щм^у

которое связывает метрику (в левой части) с материей (все величины в правой части можно выразить в терминах плотности энергии).

Космологические приложения данной модели рассматриваются в параграфе 4.8. На примере модели следующего типа:

а/(Я) = -абД2/4

показано, что решения с е < 0, которые приводят к циклической Вселенной, являются устойчивыми модификациями относительно коэффициента перед Я2, тогда как решения с е > 0 испытывают существенные изменения по сравнению с оригинальной теорией Борна-Инфельда. Для параметра уравнения состояния и> > О решение с е > 0 приводит к космологии со стационарной точкой, характеризующейся условиями Я2 = 0 и йН2/йр = 0. Такие решения не относятся к циклическим, но являются состояниями с минимальным объемом и максимальной плотностью, которые эволюционируют в стандартную космологию Фридмана-Робертсона-Уокера для поздних времен. Кроме того, показано, что любая модификация слагаемого Я2 для Вселенной, заполненной излучением, нарушает регулярность оригинального решения. Однако модификация этих решений может привести к периоду инфляционного (деСиттеровского) расширения сразу после Большого Взрыва, это видно по наличию плато на рисунке, иллюстрирующем поведение Я2 как функцию от плотности энергии. Этот результат показывает, что модифицированная теория Борна-Инфельда может описывать инфляцию без необходимости введения каких-либо дополнительных конструкций.

В параграфе 4.9 приводятся результаты, полученные в этой главе.

Пятая глава посвящена многомерным теориям гравитации. Во введении (параграф 5.1) обосновывается актуальность данного подхода, а в параграфе 5.2 изложена теория Лавлока (нет линейности уравнений гравитационного поля по вторым производным). Эта теория допускает лагранжеву формулировку:

т-1

С = ^ аРСР + 2Л> (38)

Л=1

где слагаемые

ср = 2бх„\::.^Са''КхГл ■ • ■ К^С1''^'' (39)

называются лавлоковыми лагранжианамир-го порядка. Следует отметить, что в 4-мерном пространстве-времени теория Лавлока совпадает с классическим вариантом общей теории относительности.

В параграфе 5.3 рассмотрена шестимерная гравитация Гаусса-Боннэ (второй порядок теории Лавлока). Для такой модели проведен численный

анализ решений и показано, что в зависимости от знака постоянной перед инвариантом Гаусса-Боннэ, мы приходим к разному поведению дополнительных и основных измерений. Особый интерес представляют решения, когда видимое пространство расширяется с ускорением, а дополнительные измерения достаточно быстро сжимаются. Такое поведение описывается положительным знаком этой постоянной. В этом случае показано, что существуют различные решения, в том числе описывающие циклическую космологию, которые могут претендовать на реалистичное описание как инфляции, так и современного ускоренного расширения.

Параграф 5.4 посвящен анизотропной космологии для лагранжиана второго порядка теории Лавлока. В параграфе 5.4.1 описывается степенное решение для пустого пространства, а в параграфе 5.4.2 - для пространства, заполненного идеальной жидкостью. В первом случае мы получаем аналог решения Казнера. Во втором случае - аналог решения Якобса, которое для шестимерного пространства описывает изотропное расширение основных измерений и сжатие дополнительных.

В параграфе 5.5 изучается третий порядок теории Лавлока в 7-мерном пространстве, и было найдено (в неявном виде) общее решение во втором порядке, а также показательное решение в третьем порядке:

возникающее при выполнении следующего условия на а2 и а;1:

В параграфе 5.6 для пространства произвольной размерности изучен второй порядок теории Лавлока в присутствии скалярного поля (дилатона):

Получено решение для постоянных параметров Хаббла и дилатона, в том числе описывающее ускоренное расширение видимого пространства и сжатие дополнительного:

сесвл = я- " ум + + ад*', ы- (40)

1

Н\ = -0

3 + Сг\/5 575 + 257Сг\/5 2а2 ' 3010+ 1346С2\/5

(41)

или, наоборот:

где С1 и Сг - постоянные, принимающие значения +1 и — 1, независимо друг от друга, а а2 > 0. Найдено решение с дилатоном, зависящим от времени логарифмически:

В этом случае, масштабные факторы имеют вид экспоненты от экспоненты:

Эти решения также описывают ускоренное расширение наблюдаемого подпространства и сжатие дополнительного. Подобные решения соответствуют фантомной космологии, описывающей Вселенную типа маленького разрыва.

В параграфе 5.7 рассмотрена модель бранной Вселенной. Для пространств типа Кантовского-Сакса, описывающих анизотропную метрику, получены уравнения движения (параграф 5.7.1).Рассмотрен случай четырехмерной теории Эйнштейна (параграф 5.7.2) и проведено его сравнение с решением в бранной космологии (параграф 5.7.3). Показано, что в отличие от теории Эйнштейна, в бранной космологии можно построить точное решение, описывающее анизотропную Вселенную при малых временах, которая с течением времени достаточно медленно изотропизуется (при определенных значениях параметра уравнения состояния идеальной жидкости, заполняющей Вселенную).

Шестая глава посвящена космологическим решениям в моделях со спинорными полями. В параграфе 6.1 рассмотрена обычная эйнштейновская гравитация при наличии в пространстве вейлевских спиноров. Пространства, в которых ищутся решения, относятся к классу однородных пространств (только пространственная часть метрики). Уравнения движения записываются в формализме Ньюмена-Пенроуза

(43)

(44)

(тетрадный формализм с изотропной тетрадой). Записаны уравнения движения и явный вид метрики.

В параграфе 6.2 на примере пространства первого типа по классификации Бианки, показано, что уравнения движения, записанные в формализме Ньюмена-Пенроуза, являются совместными. В параграфе 6.3 для первого типа, по классификации Бианки, строится точное решение уравнения Эйнштейна-Вейля. Нетрудно убедиться, что данное решение имеет достаточно громоздкий и неудобный для работы вид. Тем не менее, это степенное решение, которое может описывать как анизотропную, так и изотропную Вселенную. Кроме того, очевидно, что можно построить и решение с ускоренным расширением.

В параграфе 6.4 рассматривается модифицированная теория, содержащая спинорное поле специального вида, которое можно описать в терминах метрических параметров, поэтому нет необходимости работать в тетрадном формализме. Кроме того, в действие входит неминимально взаимодействующее с метрикой скалярное поле:

5 = I+ №)сф + , (45)

Лагранжиан скалярного поля массы т имеет вид:

= (46)

где У(ф) - потенциал скалярного поля. Лагранжиан Со дираковского поля массы ш/ имеет следующую форму:

¿о = - Э^ф} - т/(М>) - У(фф). (47)

Затем проводится реконструкция решений для случая, когда выполнены следующие условия:

Г(Л) = г„Я"

У{фф) = ах{фф)2 + а2(^)4 + ос-МТ-

Последовательно рассмотрены три модели: чистые спинорные и скалярные поля, скалярное поле, неминимально взаимодействующее с метрикой, и случай общего действия, содержащего все слагаемые одновременно.

Показано, что присутствие спинорного поля ведет к замедлению расширения, тогда как слагаемое с неминимально взаимодействующим скалярным полем, наоборот, приводит к дополнительному ускорению. В параграфе 6.5 сформулированы основные результаты главы.

В Заключении излагаются основные результаты, полученные автором и представленные в диссертации.

Список работ, опубликованных по теме диссертации.

Статьи опубликованные в международных журналах входящих в системы цитирования: Web of Science, Scopus, Web of Knowledge и Astrophysics.

1. Makarenko, A. N. Unification of the inflation with late-time acceleration in Bom-Infeld-/(fl) gravity / A. N. Makarenko //Astrophysics and Space Science. - 2014. - 0,3 п.л. - DOI: 10.1007/sl0509-014-1955-2.

2. Makarenko, A. N. Little rip, ACDM and singular dark energy cosmology from Born-Infeld-f(R) gravity/ A. N. Makarenko, S. D. Odintsov, G. J. Olmo //Physics Letters B. - 2014. - V. 734. - p. 36-40. - 0.3 /0,2 п.л. -DOI: 10.1016/j.physletb.2014.05.024.

3. Bamba, K. Bouncing cosmology in modified Gauss-Bonnet gravity/ K. Bamba, A.N. Makarenko, A.N. Myagky, S.D. Odintsov //Physics Letters B. - 2014. - V. 732. - p. 349-355. - 0.4 /0,1 п.л. - DOI: 10.1016/j.physletb. 2014.04.004.

4. Bamba, K. Bounce cosmology from F(R) gravity and F(R) bigravity /К. Bamba, A. N. Makarenko, A. N. Myagky, S. Nojiri, S. D. Odintsov //Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. - 2014. - v. 01. - p. 008 (1-32). - 2.0 /0,4 п.л. - DOI: 10.1088/1475-7516/2014/01/008.

5. Rybalov, Yu.A. Accelerating and decelerating cosmology from spinor and scalar fields non-minimally coupled with f(R) gravity/ Yu.A. Rybalov, A.N. Makarenko, K.E. Osetrin //Astrophysics and Space Science. - 2014. - V. 349. - p. 561-566. - 0.4 /0,1 п.л. - DOI: 10.1007/sl0509-013-1631-y.

6. Capozziello, S. Higher-order Gauss-Bonnet cosmology by Lagrange multipliers/ S. Capozziello, M. Francaviglia, A. N. Makarenko //Astrophysics and Space Science. - 2014. V. 349. - p. 603-609. - 0.4 /0,2 п.л. - DOI: 10.1007/810509-013-1653-5.

7. Makarenko, A. N. From Big to Little Rip in modified F(R,G) gravity/ A. N. Makarenko, V. V. Obukhov, I. V. Kirnos //Astrophysics and Space Science. - 2013,- V. 343,- p. 481-488. - 0.5 /0,3 п.л. - DOI: 10.1007/sl0509-012-1240-1.

8. Capozziello, S. Gauss-Bonnet dark energy by Lagrange multipliers/ S. Capozziello, A. N. Makarenko, S. D. Odintsov //Physical Review D. -2013.- V. 87,- p. 084037. - 1.0 /0,5 п.л. - DOI: 10.1103/PhysRevD.87. 084037.

9. Elizalde, E. Multiple ACDM cosmology with string landscape features and future singularities/ E. Elizalde, A.N. Makarenko, S. Nojiri, V.V. Obukhov, S.D. Odintsov //Astrophysics and Space Science. - 2013. - V. 344. - p. 479-488. - 0.6 /0,2 п.л. - DOI: 10.1007/el0509-012-1339-4.

10. Makarenko, A.N. Exact Solutions in Modified Gravity Models/ A.N. Makarenko, V.V. Obukhov //Entropy. - 2012. - V. 14. - p. 11401153. - 0.9 /0,6 п.л. - DOI: 10.3390/el4071140.

11. Kirnoe, I.V. The Nature of singularity in multidimensional anisotropic Gauss-Bonnet cosmology with a perfect fluid/ I.V. Kirnos, A.N. Makarenko, S.A. Pavluchenko, A.V. Toporensky //General Relativity and Gravity. -2010. - V. 42. - p. 2633-2641. - 0.6 /0,1 п.л. - DOI: 10.1007/sl0714-010-1004-6.

12. Kirnos, I.V. Accelerating cosmologies in Lovelock gravity with dilaton/ I.V. Kirnos, A.N. Makarenko //Open Astronomy Journal. - 2010. - v. 3. -p. 37-48. - 0.8 /0,4 п.л.

13. Elizalde, E. Stationary vs. singular points in an accelerating FRW cosmology derived from six-dimensional Einstein-Gauss-Bonnet gravity/ E. Elizalde, A.N. Makarenko, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin, A.E. Filippov// Physics Letters B. - 2007. - V. 644. - p. 1-6. - 0.4 /0,1 п.л. - DOI: 10.1016/j.physletb. 2006.11.031.

14. Obukhov, V.V. K^ntowski-Sachs universe/ V.V. Obukhov, A.N. Makarenko, K.E. Osetrin //Journal of Physics A. - 2006. - V. 39. - p. 6635-6640. -0.4 /0,2 п.л. - DOI: 10.1088/0305-4470/39/21/S63.

Статьи опубликованные в российских рецензируемых научных журналах.

15. Макаренко, А.Н. Космологические модели типа Little Rip в гравитации Гаусса - Боннэ/ А.Н. Макаренко, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин, И.В. Кирнос //Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. - 2013. - № 163. -с. 31-37. - 0.4 /0,2 и .л.

16. Kirnos, I.V. Cosmological solutions in the Lovelock theory and the Einstein-Gauss-Bonnet theory with a dilaton/ I.V. Kirnos, A.N. Makarenko, K.E. Osetrin //Gravitation and Cosmology. - 2009. - V. 15. - p. 59-61. -0.2/0,1 п.л. - DOI: 10.1134/S0202289309010149.

17. Bagrov, V.G. Spinor fields in homogeneous cosmological models/ V.G. Bagrov, A.N. Makarenko, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin //Gravitation and Cosmology Supply. - 2002. - V. 8, N2. - p. 3-5. - 0.2/0,1 п.л.

18. Макаренко, А.Н. Шестимерная космология Эйнштейна-Гаусса-Боннэ/ А.Н. Макаренко, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин, А.Е. Филиппов // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2007. - Т. 50. № 8.

- с. 74-78. - 0.3/0,1 п.л.

Переводная версия:

Makarenko, A.N. 6D Einstein-Gauss-Bonnet cosmology/ A.N. Makarenko, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin, A.E. Filippov // Russian Physics Journal.

- 2007. - V. 50. - p. 826-831. - 0.3/0,1 п.л. - DOI: 10.1007/sl 1182-0070124-2.

19. Макаренко, А.Н. Конформные преобразования в скалярно-тензорной теории гравитации/ А.Н. Макаренко, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин, А.Е. Филиппов //Известия высших учебных заведений. Физика. - 2006.

- Т. 49. № 2. - с. 10-14. - 0.3/0,1 п.л.

Переводная версия:

Makarenko, A.N. Conformai transformations in scalar-tensor gravitation theories / A.N. Makarenko, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin, A.E. Philippov // Russian Physics Journal. - 2006. - V. 49. - p. 127-133. - 0.3/0,1 п.л. -DOI: 10.1007/sl 1182-006-0077-x.

20. Макаренко, А.H. Вайдья-форма уравнений теории гравитации Бранса-Дикке-Иордана/ А.Н. Макаренко, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин, А.Е. Филиппов //Известия высших учебных заведений. Физика. - 2005.

- Т. 48. № 5. - с. 43-46. - 0.3/0,1 п.л.

Переводная версия:

Makarenko, A.N. The Vaidya equations in the Brans-Dicke-Jordan gravitation theory / A.N. Makarenko, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin, A.E. Filippov // Russian Physics Journal. - 2005. - V. 48. - p. 486-490.

- 0.3/0,1 п.л. - DOI: 10.1007/si 1182-005-0156-4.

21. Макаренко, А.Н. Кротовые норы в бранной Вселенной/ А.Н. Макаренко, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин //Известия высших учебных заведений. Физика. - 2004. - Т. 47. № 4. - с. 76-79. -0.3/0,1 п.л.

Переводная версия:

Makarenko, A.N. Wormholes in a brane universe / A.N. Makarenko, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin 11 Russian Physics Journal. - 2004. - V. 47.

- p. 424-427. - 0.3/0,1 п.л. - DOI: 10.1023/B:RUPJ.0000042771.76121.83.

22. Макаренко, А.Н. Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для пространственно-однородных моделей типа III по Биапки/ А.Н. Макаренко, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2002. - Т. 45. № 1. - с. 50-55. -0.4/0,2 п.л.

Переводная версия:

Makarenko, A.N. Integrability of Einstein-Weyl equations for spatially homogeneous models of type III by Bianchi / A.N. Makarenko, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin // Russian Physics Journal. - 2002. -V. 45. - p. 49-55. - 0.4/0,2 п.л. - DOI: 10.1023/A:1016045704207.

23. Макаренко, А.Н. Космологические решения уравнений Энштейна -Вейля/ А.Н. Макаренко, В.В. Обухов, К.Е. Осетрин // Известия высших учебных заведений. Физика. - 1998. - Т. 41. № 11. - с. 69-78.

- 0.6/0,3 п.л. Переводная версия:

Makarenko, A.N. Cosmological solution of the Einstein-Weyl equation /

A.N. Makarenko, V.V. Obukhov // Russian Physics Journal. - 1998. -V. 41. - p. 1124-1133. - 0.6/0,3 п.л. - DOI: 10.1007/BF02514491.

Статьи опубликованные в трудах российских и международных конференций.

24. Макаренко, А.Н. Космологические модели с излучением/ А.Н. Макаренко, Багров В.Г., Филиппов А.Е. //Сборник трудов пятой Российской конференции по атмосферному электричеству, Том II, Владимир. - 2003. - с. 4-6. - 0.2/0,1 п.л.

25. Макаренко, А.Н. Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для пространственно-однородных космологических моделей/ А.Н. Макаренко //Труды V межвузовской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование», ТГПУ, Том 1. - 2001. - с. 131-133. - 0.1/0,1 п.л.

26. Макаренко, А.Н. Однородные космологические модели/ А.Н. Макаренко //Труды второй сибирской школы молодого ученого. Том II. Математика, Физика, Информационные технологии, Томск. -2000. - с. 9-13. - 0.1/0,1 п.л.

27. Макаренко, А.Н. Homegeneous solution of the Einstein-Weyl equations/ А.Н. Макаренко, B.B. Обухов, //Труды второй международной конференции "Quantum Field Theory and Gravity", 28 июля - 2 августа, 1997 г. Издательство ТГПУ. - 1998. - с. 298-304. - 0.4/0,2 п.л.

U- 1 00 4*

2014166725

Подписано в печать: 03.07.2014 г. Бумага: офсетная Тираж: 100 экз. Печать: трафаретная

Формат: 60x84/16 Усл.печ.л : 1,98

Заказ № 989/Н

Издательство

Томского государственного педагогического университета

634041, г. Томск, ул. Герцена, 49 Тел.: (382-2)52-12-93 e-mail: tipograf@tspu.edu.ru

2014155725