Краевые возбуждения в 2D электронных системах с дираковскими фермионами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

На правах рукописи

(Тх^д

Загороднев Игорь Витальевич

Краевые возбуждения в 2Т) электронных системах с дираковскими фермионами

01.04.10 - Физика полупроводников

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ои

2 3 МАЙ2013

Москва - 2013

005059960

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН (ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН), г. Москва.

Научный руководитель:

Волков Владимир Александрович, доктор физико-математических наук Официальные оппоненты:

Сабликов Владимир Алексеевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник лаборатории теоретических проблем микроэлектроники Фрязинского филиала ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН Глазов Михаил Михайлович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник сектора теории квантовых когерентных явлений в твердом теле ФГБУН Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН

Ведущая организация: ФГБУН Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, г. Москва.

Защита состоится 21 июня 2013 г. в 10:00 на заседании диссертационного совета Д.002.231.01 при ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН по адресу: 125009, г. Москва, ул. Моховая, д. 11, корп. 7.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.

Автореферат разослан 16 мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Прогресс в современной электронике, физике и технике полупроводников во многом связан с 2Б наноструктурами и их миниатюризацией. При малых размерах возрастает роль краевых эффектов. Так, на краю 2Б системы могут существовать краевые состояния обусловленные как примесями или дефектами, так и резким обрывом кристаллического потенциала, сохраняющим трансляционную инвариантность в направлении, перпендикулярном обрыву. В последнем случае краевые состояния называют таммовскими. Таммовские состояния могут приводить к качественно новым физическим эффектам.

В последние годы активно развиваются исследования 2Б систем, в которых электроны описываются уравнением Дирака или его модификацией. Так, с 2004 г. графен привлекает к себе внимание своим уникальным «ультрарелятивистским» спектром, за который электроны в графене стали называть безмассовыми дираковскими фермионами [1]. В 2010 г. важность исследований этого материала была подтверждена нобелевским комитетом. На возможность существования таммовских состояний в графене было указано еще до получения графена в лаборатории [2]. Несмотря на множество работ, до сих пор нет единого мнения существуют ли (и если существуют, то на краю какого типа и с каким энергетическим спектром) таммовские состояния в графене [3]. В теоретической литературе для описания краевых эффектов обычно используют приближение ближайших (или следующих за ближайшими) соседей модели сильной связи, а при исследовании объемных эффектов чаще применяется эффективное уравнение Дирака. Во многом это связано с тем, что отсутствует достаточно простое и реалистичное описание края в эффективной дираковской модели.

Несколько лет назад появился целый класс узкощелевых полупроводниковых материалов, в которых, как считается, существование краевых (или

поверхностных в ЗБ случае) состояний в запрещенной зоне следует из топологических соображений [4]. Такие материалы стали называть топологическими изоляторами. В них может реализоваться проводящая система на поверхности изолятора. Существование такого Ш проводящего канала краевых электронов было обнаружено экспериментально в квантовых ямах Ь^(Сс1)Те [5]. Электроны, заполняющий этот краевой канал, имеют бесщелевой линейный спектр, за что их стали называть краевыми дираковскими фермионами. Непосредственное измерение их спектра - не простая задача, но можно ожидать проявления «следов» одночастичных краевых состояний в спектре коллективных плазменных колебаний.

Одним из наиболее ярких проявлений краевых эффектов в 2Б системах является квантовый эффект Холла, в котором магнитные краевые состояния связаны с квантованием холловской проводимости. Таммовские состояния (существующие и без магнитного поля) могут существенно изменить электронный спектр в магнитном поле и, как следствие, повлиять на проводимость в магнитном поле.

Другим фундаментальным физическим эффектом, на который могут влиять таммовские состояния, является эффект Ааронова-Бома, заключающийся в осцилляциях магнитосопротивления образца в форме кольца с периодом равным кванту магнитного потока Дс/е. В теории этого эффекта обычно считается, что магнитное поле пронизывает только полость в образце, но не проникает в сам образец. Недавно появились эксперименты по измерению магнитосопротивления в графеноподобных структурах с некольцевой геометрией, в которых также наблюдается эффект Ааронова-Бома [б]. Объяснение этих экспериментов является актуальной задачей.

Цели и задачи диссертационной работы: построение модели края, при эффективном описании 2Б материалов с дираковскими фермионами на языке огибающих волновых функций; анализ краевых состояний и наблюдательных эффектов, в которых они проявляются.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Вывод граничного условия для эффективного уравнения типа Дирака, описывающее графен или топологический изолятор.

2. Получение спектров таммовских состояний в графене в наиболее важных геометриях: полуплоскость, полоса, квантовая точка и антиточка (бесконечный лист с круглым отверстием).

3. Вывод закона дисперсии плазменных колебаний в системе краевых ди-раковских фермионов.

Научная новизна и практическая значимость работы. В

диссертации предложено новое теоретическое описание края графена, на основе которого развита теория таммовских состояний. Впервые предложена интерпретация результатов экспериментальных работ по магнитоосцилляци-ям сопротивления перфорированных графеноподобиых образцов. Описаны длинноволновые плазменные колебания в 2Б топологическом изоляторе.

Положения, выносимые на защиту:

1. Предложено простое граничное условие на огибающие волновые функции, описывающее край графена в пренебрежении междолинным рассеянием и удовлетворяющее общим физическим требованиям самосопряженности и инвариантности по отношению к инверсии времени. Оно позволяет аналитически получить электронные спектры графеновых наноструктур в форме полосы, квантовой точки и антиточки.

2. Найден электронный спектр вышеуказанных наноструктур в пренебрежении междолинным рассеянием в магнитном поле. При изменении магнитного поля таммовские состояния, циркулирующие вокруг графе-новой антиточки, почти периодически пересекают уровень Ферми, что при низких температурах и в сильных магнитных полях приводит к

квазипериодическим осцилляциям магнитосопротивления структур содержащих антиточку.

3. Длинноволновые плазменные колебания в 2D топологическом изоляторе на основе квантовых ям Hg(Cd)Te, а также в системе 2D дираков-ских электронов с частично заполненной зоной краевых состояний внутри объемной щели, описываются классическим законом дисперсии 1D плазмонов, в котором введена эффективная масса на уровне Ферми. Частота таких плазмонов логарифмически слабо зависит от положения уровня Ферми.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты исследований, вошедших в диссертацию, докладывались на International Symposium on Graphene Devices: Technology, Physics, and Modeling (Aizu-Wakamatsu, Japan, November 17-19, 2008); 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 27 - 30 ноября 2008 г.); VII Зимней школе по теоретической физике «Введение в теорию наноструктур» (Московская обл., г. Дубна, 25 января - 5 февраля 2009 г.); 16th International Conference on Electron Dynamics in Semiconductors, Optoelectronics and Nanostructures (France, Montpellier, August 24-28, 2009); 17th and 18th International Symposium «Nanostructures: Physics and Technology» (Minsk, Belarus, June 22 -26, 2009 and Saint Petersburg, Russia, June 21-26, 2010); Международных зимних школах по физике полупроводников (С.-Петербург-Зеленогорск, 27 февраля - 2 марта 2009 г. и 25-28 февраля 2011 г.); IX и X Российской конференции по физике полупроводников (Новосибирск - Томск, 28 сентября - 3 октября 2009 г. и Н. Новгород, 19-23 сентября 2011 г.); XIII Школе молодых ученых «Актуальные проблемы физики» (Звенигород - Москва, 14-19 ноября 2010 г.); XIV и XV международном симпозиуме «Нанофизика и нанофотоника» (Н. Новгород, 15-19 марта 2010 г. и 14-18 марта 2011 г.); Уральской международной зимней шко-

ле по физике полупроводников (Екатеринбург-Новоуральск, 15-20 февраля 2010 г.); IX конференции «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления» (Московская обл., г. Троицк, 9 июня 2011

г.);

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 17 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [А1, А2, АЗ, А4, А5], 6 статей в сборниках трудов конференций [А6, А7, А8, А9, А10, АН] иб тезисов докладов [А12, А13, А14, А15, А16, А17].

Личный вклад автора. Автор принимал участие в постановке задач и обсуждении результатов. Расчеты проводились преимущественно автором. Подготовка публикаций проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 2-х глав, заключения, библиографии и 1-го приложения. Работа содержит 100 страниц, 21 рисунок и список литературы из 121-го источника.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели, научная новизна и практическая значимость работы, перечислены научные положения, выносимые на защиту. Далее представлен Обзор литературы, который состоит из трех пунктов. В первом обсуждается проблема граничных условий (ГУ) для многозонной системы уравнений эффективной массы. Сделан вывод о том, что общий вид ГУ можно получить из общих физических соображений, таких как условие эрмитовости гамильтониана в ограниченной области и симметрия по отношению к инверсии времени. Эти идеи положены в основу вывода ГУ для эффективного гамильтониана графена в

первой главе. Второй пункт обзора посвящен теоретическим и экспериментальным работам по таммовским состояниям (ТС) в графене. В нем также построена проективная зонная структура для произвольной трансляционно-инвариантной границы. Сделан вывод о том, что несмотря на довольно богатую историю исследований ТС в графене, экспериментальные результаты пока неоднозначны и не могут служить доказательством той или иной теории ТС. Это оправдывает выбранное в диссертации феноменологическое описание края графена. Наконец, в последнем пункте обзора содержится введение в топологические изоляторы (ТИ).

Первая глава «Краевые (таммовские) состояния в графене» посвящена проблеме ГУ для эффективного гамильтониана графена и анализу электронных спектров графеновых наноструктур. Она состоит из четырех разделов. В рамках теории эффективной массы электроны в графене в низкоэнергетическом приближении описываются уравнением типа Дирака:

ее*<т (р + вКко) фц = Ефв, (1)

где в = ±1 — индекс долины, 2к0 — расстояние между долинами, а — вектор матриц Паули в стандартном представлении, р = (рх,ру) — 2Б оператор импульса.

В первом разделе 1.1 используя общие физические соображения (эрми-товость и инвариантность относительно обращения времени) для гамильтониана (1) выведено ГУ общего вида:

+ гдф-)\3 = 0, д = (е*™ + а3соз/З), (2)

где п — вектор нормали к границе 5. ГУ определяется действительными феноменологическими параметрами-углами ф, ¡3, 7. ГУ такого типа было получено в работе [7]. Если кристаллический потенциал на границе меняется достаточно плавно, то можно пренебречь междолинными переходами и описывать электроны в графене как пару нейтрино Вейля, связанных инверсией

а) е

о-

б) Е О

к0у ку

Рис. 1. Электронный спектр Е(ку) графеновой полуплоскости (а) при учете междолинного рассеяния (б) в отсутствие междолинного рассеяния (а 6 (0,1)). Закрашенная область отвечает непрерывному спектру, кривые - краевым состояниям. На рис. (б) пунктиром обозначена долина я = —1. 2коу — расстояние между долинами в проективной зоне Брил-люэна.

времени. В этом случае ГУ упрощается:

Здесь а — угол между нормалью к границе и осью х (разумеется, ось х можно выбрать произвольно). ГУ (3) содержит только один безразмерный действительный параметр а, связанный с параметром 7: вШ7 = 2а2/(1 + а2).

В разделе 1.2 приведены электронные спектры графеновой полосы и полуплоскости. Среди решений для полуплоскости г = 0, х > 0 есть как объемные, представляющие падающее и отраженные от границе плоские волны, так и таммовские, локализованные у границы. Электронный спектр Е[ку) полуплоскости с общим ГУ (2) и неизменными вдоль границы граничными параметрами приведен на рис. 1а. При малых энергиях (вблизи дираковских точек) спектр ТС выходит из центров долин и линеен по импульсу. Однако, он имеет ограниченную область применимости, т.к. при коу или ку сравнимых с /со волновые функции содержат быстро изменяющиеся на атомных масштабах множители, тем самым нарушаются пределы применимости метода эффективной массы. В пренебрежении междолинным рассеянием такой проблемы нет. В этом случае спектр ТС на полуплоскости имеет вид:

(3)

а) Ш

ауХ

а2

б)

Рис. 2. Геометрия (а) и электронный спектр графеновой полосы: б) ai = 1/аг = 0 в) 0,1 — 02 = 0.15. Пунктиром показаны границы объемного спектра Е = c*h\ky ± fcos|.

Он также представляет собой лучи, выходящие из центров долин (рис. 16). В зависимости от величины параметра а ТС могут быть как в валентной зоне, так и в зоне проводимости. Далее всюду в первой главе используется ГУ (3).

В этом же разделе получен электронный спектр полосы шириной d с краями, характеризуемыми постоянными параметрами и a<i- (1 — aia2)E + s(a2 — a\)hc*ky - (а\ + a2)hc*кх cot kxd = 0, где Е2 = Н2(с*)2 (к2 + к2). Действительные кх отвечают размерному квантованию объемного спектра, мнимые - локализованным вблизи краев состояниям. Если ку —> оо эти состояния переходят в ТС для полубесконечного графена с энергией Е = shc*2a\t2ky/(1 + а2 2), см. рис. 2. Значения = 1/аг = 0 соответствуют известному результату для края типа зигзаг [2]. В модели сильной связи (МСС) спектр ТС для границы типа зигзаг зависит от интегралов перекрытия ближайших (t) и следующих за ближайшими соседями^'). Можно связать результаты МСС с обсуждаемым выше если принять а\ = 1/аг и а\ = ±i'/i.

В разделе 1.3 анализируется спектр полуплоскости и полосы в магнитном поле. Магнитное поле включается в гамильтониан (1) подстановкой р —> р + еА/с.

Получено уравнение, неявно определяющее электронный спектр полуплоскости:

U Г-f-У2А+ -V2Xky^j = 0 (5)

где U — функция параболического цилиндра, экспоненциально падающая

Рис. 3. Электронный спектр е(Лку), для полуплоскости графена в магнитном поле при а = 0.2. Сплошная кривая соответствует долине з = +1, пунктир - долине я = —1. Проекции центров долин совмещены. На вставке показана увеличенная область пересечения магнитных таммовских состояний с уровнями Ландау.

при ку —> оо, е = ХЕ/Нс* — безразмерная энергия, Л = у/Ис/еВ — магнитная длина. Спектр е{ку), найденный численным решением с помощью математического пакета МАРЬЕ, представлен на рис. 3. При а = 0 получается известный спектр полуплоскости графена с границей типа зигзаг [8].

При ку —У +оо спектр (при конечных энергиях), рано или поздно, становится бездисперсионным, что отвечает «объемным» уровням Ландау с энергией £„ = \/2п, п - любое целое число большее нуля. При приближении центра осциллятора Х2ку к краю (х = 0) уровни Ландау становятся дисперсионными. что на классическом языке соответствует скачущим орбитам. Нетрудно получить, что для таких решений е —> ±\ку при ку ——оо. Однако, нулевой уровень Ландау ведет себя существенно по-другому. Для анализа его поведения применено квазиклассическое приближение. Асимптотика е —> ±\ку соответствует надбарьерному движению. Но в рассматриваемом нами случае в графене без магнитного поля есть ТС, которые и в магнитном поле частично или полностью отвечают подбарьерному движению. Для них при достаточно больших ку приближенно получается спектр (4), т.е. в достаточно слабом магнитном поле ТС практически не чувствуют это поле (глубина локализация ТС много меньше магнитной длины). Именно так ведет себя нулевой

уровень Ландау при достаточно больших отрицательных ку для 1 > а > 0 в долине в = —1, см. рис. 3. При этих а в долине в = +1 ТС «сосуществуют» одновременно с объемными уровнями Ландау и на квазиклассическом языке им отвечает сначала экспоненциально падающее вблизи границы решение, затем осциллирующее и снова падающее на большом расстоянии от границы. В спектре это приводит к антикроссингу энергии ТС (4) с энергиями уровней Ландау, см. вставку на рис. 3. Найдена низкоэнергетическая асимптотика спектра нулевого уровня Ландау при ¡АА^ 1: £3(ку) = ваяе-А2*»/у/п. В конце раздела приведен спектр графеновой нанополосы.

Раздел 1.4 посвящен графеновой квантовой точке и антиточке (бесконечный лист с круглым отверстием). Вначале рассматривается квантовая точка радиусом До- Получено уравнение, определяющее ее спектр (в отсутствие магнитного поля):

— функция Бесселя, j = ±1/2, ±3/2,... — сохраняющийся полный угловой момент.

Стационарные ТС в графеновой антиточке отсутствуют, однако, можно найти квазистационарные (распадные состояния с большим временем жизни, которое определяется мнимой компонентой энергии Е). Например, в долине я = +1 при IIеЕ > 0 их спектр определяется уравнением:

цию Ганкеля 2-го рода). Если ЕЯ^ -С Не*, то оставляя в асимптотике функции Ганкеля один (главный) мнимый член и один (самый маленький) действительный член можно получить спектр в явном виде. В долине э = +1 при а > О он имеет вид:

(6)

— функция Ганкеля первого рода (для 11е(-Е) < 0 нужно брать функ-

Рис. 4. Электронный спектр Е(_/) графеновой антиточки в магнитном поле при а — 0.1, Ф/Ф0 = 2. Прямые отвечают асимптотам (10). Состояния в долине з = +1 показаны кружками, в долине з = — 1 - квадратами. Центры долин совпадают.

Действительную часть этого спектра можно получить из (4) квазиклассическим квантованием импульса ку = //До, где I - целое.

Затем, в этом же разделе учтено влияние магнитного поля. Получено дисперсионное уравнение, описывающее электронный спектр графеновой антиточки:

вЕХ Ф 1 /ЕХ\2 Ф 1

а3Пс" Ф0 2 \Пс*) ' Ф0 3 2

2^ 1ЛБЛу Ф_

1 4 2 \Пс*) ' 4 'Ф0

2 2 \ Не* I 4 ' Ф

IV — функция Уиттекера, экспоненциально падающая при Ф оо. Спектр Е(]) для антиточки при а = 0.1 и Ф/Фо = 2 показан на рис. 4. В грубом приближении его можно представить как наложение объемных уровней Ландау, с

энергией Еп = ±Йс* ^(2п + — ])еВ¡с (тт. = 0,1,2,..), на спектр магнитных ТС, с энергией:

о- а«)

1 Ч- а2 V2 ' " V" Фо у У ' "V ф0

13

Энергии магнитных ТС в графеновой антиточке почти линейно зависят от разности углового момента и магнитного потока через отверстие. Это приводит к периодическому прохождению этих уровней через уровень Ферми Ер (если считать, что Ер не зависит от магнитного поля и если, конечно, ТС пересекают Ер) с периодом по магнитному потоку близким к Фо- Это может проявляться, например, в проводимости такой структуры. В диссертации приведен краткий обзор литературы по магнитосцилляциям сопротивления, в первую очередь, графеновых структур как в форме кольца, так и содержащих антиточки (эффекты типа Ааронова-Бома). Выделена работа [6], в которой обнаружены магнитоосциляции графеноподобных наноструктур с неупорядоченным массивом антиточек с периодом, отвечающим прохождению кванта магнитного потока через единичное отверстие. Причем осцилляции магни-тосопротивления наблюдались в сильных магнитных полях (когда заканчиваются осцилляции Шубникова — де Гааза), а температурная зависимость амплитуды осцилляций экспоненциальная А ос с~т/т°, причем величина Т0 составляет несколько десятков градусов Кельвина.

Используя приведенные выше рассуждения о поведении ТС антиточки в магнитном поле, предложено возможное объяснение этих экспериментальных данных. Графеновая антиточка представляется резонансным рассеивателем, который перекрывает значительную часть образца. Когда через уровень Ферми проходит магнитный таммовский уровень появляется вероятность прохождения через антиточку и двухконтактное сопротивление уменьшается. При таком механизме следует ожидать, что кТо ~ 2аНс*/Щ(1 + о2), откуда для Го = 45 К и До = 20 нм получаем оценку а ~ 0.06.

Вторая глава «Плазменные колебания краевых дираковских фермио-нов» состоит из четырех разделов и посвящена длинноволновым низкоэнергетическим плазменным колебаниям в 2В системах с частично заполненной зоной ультрарелятивистских краевых состояний. В разделе 2.1 приведен обзор литературы о плазменных колебаниях в Ш системе, которой фактически

является зола краевых состояний.

В разделе 2.2 рассмотрена гипотетическая система массивных 2Б ди-раковских электронов на полуплоскости, которые описываются уравнением Дирака:

(тс' йак \ / {и)

у Нак -тс* ) \ / у "Фу )

ГУ, выведенное из эрмитовости и Т-инвариантности, для такой системы имеет вид [9]:

{фу - ia0anфc)\x=Q = 0, (12)

где во £ (—оо,оо) — вещественный феноменологический параметр.

Решения уравнения (11) с ГУ (12) для полуплоскости х > 0 при любых а о содержат ТС, волновая функция которых экспоненциально спадает от границы (ф ос ехр [гкуу — кТ(ку)х]), а спектр имеет вид:

Ет{ку) = Еп + тПуку, Еа = т(с*)2^4, у = с*-^. (13)

1 -г

Условие их существования:

... , 1 — Оп тс* 2(1п „ , .

«гЫ = Тк,^ ~ —^ > о. (14)

Здесь т = ±1 — квантовое число, нумерующее две киральные ветви ТС, V — скорость ТС, кт — обратная глубина их локализации.

ТС при ад < 0 попадают в объемную щель. Если и Ер расположен в этой щели, то имеется частично заполненная зона ТС. Обратную глубину локализации ТС на уровне Ферми обозначим кр. При малых |ао| или |оо|-1 она зависит от положения уровня Ферми. В диссертации в рамках приближения хаотических фаз рассмотрены плазменные колебания краевых дираковских фермионов (КДФ), заполняющих зону таких ТС. При волновых векторах 1^1 кр найден фурье-образ по у флуктуации концентрации электронов:

по

бпд(х)

я (и/2 — д2 эт2 а) .

<1.х'и{х')е-2кр{х+х,) (15)

После подстановки (15) в уравнение Пуассона получен закон дисперсии плазменных колебаний КДФ:

""'"""'у^щ'" (щ) + 1, <">

где —фоновая диэлектрическая проницаемость. Особенностями полученного закона является наличие квантовой скорости е2/Й и логарифмически слабая зависимость от заполнения зоны КДФ. Прояснен физический смысл этих необычных результатов. Использован тот факт, что плотность состояний КДФ в Ш случае не зависит от энергии. Вводя концентрацию пр и массу тр на уровне Ферми

пР = тру' = |Ер - £Ь| (17)

и пренебрегая вторым членом под корнем квантовую формулу (16) можно записать в классическом виде

= (18)

если принять, что латеральный размер Ш системы I равен (4/ср)-1. В результате дисперсии Ш плазмонов в системе безмассовых дираковских и шредин-геровских электронов совпадают, как в классике, так и в квантовой механике. Это опровергает утверждение работы [10] о принципиальной неклассичности плазмы безмассовых дираковских фермионов.

Рассмотрен также случай короткодействующего кулоновского взаимодействия, который можно реализовать с помощью экранирующего металлического электрода (затвора) если \qy\d <С 1. Уравнение Пуассона для потенциала плазмона <р сводится к уравнению 5р = ее<р/(2тгс1) (приближение локальной емкости). В этом приближении получен закон дисперсии экранированного плазмона в системе КДФ:

. . . . /4Ые2к^ ШдаШКЧу) = Ы А/-^- + V2. (19)

Дисперсия строго линейна по ду, а вместо логарифмической появляется степенная зависимость от глубины локализации Кр1, которая в общем случае зависит от Ер.

Раздел 2.3 посвящен плазменным колебаниям в 2Т) ТИ на основе 1^(Сс1)Те. Гамильтониан этой системы имеет вид [5]:

( Н(к) 0 \ , ( М-В+к2 Ак_ \ , ч Яе// = . Я к = , (20)

^ 0 Я*(-к) у у Ак+ -М + В-к2 )

Для нулевых ГУ внутри запрещенной зоны найден спектр КС:

Е± = ± ^В+В~Аку = Е0± Ньткч, (21)

о п

Для длинноволновых плазменных колебаний волновые функции можно считать пропорциональными е~КтХ, где кт = Г (А1-2(МВ+ЕО)+^/А<-4АЦМВ+ЕЮ)+4(МО+ЕВ)А

+ ±--—Щд--Система КДФ в 2В

ТИ оказывается эквивалентной системе дираковских электронов, рассмотренной в разделе (2.2). Показано, что плазменные колебания в 2Б ТИ описываются формулой (16), в которой надо заменить V —» ут и кр к,тр, где Ктр — значение пт на уровне Ферми.

В конце раздела обсуждается проблема ГУ для 2В ТИ 1^(Сс1)Те. Показано, что общее ГУ, полученное из требования эрмитовости и дополнительного предположения о том, что ГУ не запутывает верхний и нижний блок гамильтониана (20) (т.е. граничный потенциал не действует на спин), для первых двух компонент волновой функции имеет вид: / ЁФх \

Ни

где С, г], д, 5 — феноменологические параметры. ГУ для остальных двух компонент волновой функции следует из инверсии времени.

В разделе 2.4 получено уравнение, описывающее плазменные колебания в полубесконечном графене при наличии ТС в пренебрежении междолинным

= -в

■д + гб

.т=0

(22)

рассеянием. Энергия ТС перекрывается с объемными состояниями. Теория краевых плазмонов в этом случае подобна теории обычных краевых магни-топлазмонов, но роль холловской проводимости играет скорость ТС. При малых волновых векторах ду плазмон переходит в обычный краевой плазмон (без магнитного поля):

Где кр = \Ер\/Нс* — импульс Ферми, 770 = 1.217.... Таким образом ТС практически не влияют на длинноволновые краевые плазменные колебания в гра-

В Заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Из эрмитовости и Т-инвариантности эффективного гамильтониана типа Дирака, описывающего электроны в графене, получено феноменологическое граничное условие на огибающие волновые функции. Граничное условие содержит три параметра, два из которых отвечают за междолинное рассеяние на границе, а один - за внутридолинное. Аналогичное феноменологическое Т-инвариантное граничное условие для квантовой ямы £^(Сс1)Те в окрестности топологического перехода в пренебрежении спиновым взаимодействием на границе содержит четыре параметра.

2. В пренебрежении междолинным рассеянием в графене найдены одно-частичные электронные спектры для полуплоскости, полосы, квантовой точки и антиточки. Спектр таммовских состояний полуплоскости представляет собой лучи, выходящие из центров долин. В графеновой антиточке существуют квазистационарные таммовские состояния при достаточно малых угловых моментах.

3. Найден электронный спектр указанных в п.З наноструктур в пренебрежении междолинным рассеянием в магнитном поле. В графеновой полуплоскости происходит долинное расщепление основного уровня Ландау,

фене.

зависящее от граничного параметра. В антиточке при изменении магнитного поля уровни таммовских состояний почти периодически проходят через уровень Ферми. При учете резонансного туннелирования электронов через таммовские уровни антиточки это приводит к периодическим осцилляциям магнитосопротивления, с периодом близким к прохождению кванта магнитного потока через площадь отверстия. 4. В рамках приближения хаотических фаз получен закон дисперсии плазменных колебаний краевых дираковских фермионов. Рассмотрены краевые дираковские фермионы, возникающие в системах двух типов: 2D топологический изолятор на основе Hg(Cd)Te и массивные дираковские фермионы. Найденные законы дисперсии имеют одинаковый вид и отличаются только определением параметров краевых состояний (скоростью и глубиной их локализации на уровне Ферми). Квантовый характер плазмонов (наличие постоянной Планка в законе дисперсии) можно устранить введением эффективной массы на уровне Ферми. Тем самым опровергнуто утверждение о принципиальной неклассичности плазмы дираковских фермионов.

Список публикаций по теме диссертации

А1. Волков В. А., Загороднев И. В. Электроны вблизи края графена // Физика низких температур. 2009. Т. 35, № 1. С. 5-9.

А2. Volkov V. A., Zagorodnev I. V. Electron states near graphene edge // Journal of Physics: Conference Series. 2009. Vol. 193, no. 1. P. 012113.

A3. Загороднев И. В., Волков В. А. Граничные условия для дираковских фермионов в графене // Нелинейный мир. 2009. Т. 7, № 6. С. 485-486.

А4. Загороднев И. В., Волков В. А. Краевые состояния дираковских фермионов в графене // Нелинейный мир. 2010. Т. 8, № 2. С. 108-109.

А5. Волков В. А., Загороднев И. В. Плазменные колебания краевых дираков-ских фермионов // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 97, № 7-8. С. 469-472.

А6. Volkov V. A., Zagorodnev I. V. Edge states in graphene // International Symposium on Graphene Devices: Technology, Physics, and Modeling. University of Aizu, Aizu-Wakamatsu, Japan, 2008. P. 12-13.

A7. Волков В. А., Загороднев И. В. Краевые состояния в графене // "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук": Труды 51-й научной конференции МФТИ, Часть II. Общая и прикладная физика. 2008. С. 151-154.

А8. Volkov V. A., Zagorodnev I. V. Tamm-Dirac states in graphene // Proceedings 17th International Symposium "Nanostructures: Physics and Technology". Minsk, Belarus: Ioffe Physical-Technical Institute of the RAS. 2009. P. 298-299. URL: http://www.issp.ac.ru/ebooks/conf/nano09hr.pdf.

A9. Volkov V. A., Enaldiev V. V., Zagorodnev I. V. Quantum antidot in graphene // Proceedings 18th International Symposium "Nanostructures: Physics and Technology". 2010. P. 92-93. URL: http://www.issp.ac.ru/ ebooks/conf/nanol0hr.pdf.

A10. Zagorodnev I. V., Volkov V. A. Size quantization in graphene nanoribbon // Proceedings 18th International Symposium "Nanostructures: Physics and Technology". 2010. P. 166-167. URL: http://www.issp.ac.ru/ebooks/conf/ nanol0hr.pdf.

All. Загороднев И. В., Еналдиев В. В., Волков В. А. Краевые состояния в графене // Сборник трудов XIII Школы молодых ученых "Актуальные проблемы физики". ФИАН. 2010. С. 121-123.

А12. Volkov V. A., Zagorodnev I. V. Electron states near graphene edge // Proceedings 16th International Conference on Electron Dynamics in Semiconduc-

tors, Optoelectronics and Nanostructures (EDISON 16). Montpellier,: d'AVL DIFFUSION, Montpellier, France. 2009. P. 140.

A13. Загороднев И. В., Волков В. А. Граничные условия для уравнения Вейля-Дирака и краевые состояния таммовского типа в графене // Тезисы IX Российской конференции по физике полупроводников. 2009. С. 278.

А14. Волков В. А., Загороднев И. В., Еналдиев В. В. Свойства графена: избранные результаты // Труды XIV международного симпозиума Нанофи-зика и нанофотоника. Нижний Новгород. 2010. С. 307.

А15. Волков В. А., Еналдиев В. В., Загороднев И. В. Размерное квантование дираковских 2D фермионов // Программа и тезисы докладов XVIII Уральской международной зимней школы по физике полупроводников. 2010. С. 84. URL: http://conference.imp.uran.ru/files/Volkov.pdf.

А16. Волков В. А., Загороднев И. В. Эффекты типа Ааронова-Бома для дираковских электронов // Труды XV международного симпозиума Нанофизика и нанофотоника. 2011. С. 115.

А17. Волков В. А., Загороднев И. В., Еналдиев В. В. Осцилляции Ааронова-Бома в сопротивлении неодносвязного графена, обусловленные краевыми состояниями Тамма-Дирака // Тезисы X Российской конференции по физике полупроводников. 2011. С. 207.

Цитированная литература

1. Castro Neto А. Н., Guinea F., Peres N. М. R. et al. The electronic properties of graphene // Rev. Mod. Phys. 2009. Vol. 81, no. 1. P. 109.

2. Nakada K., Fujita M., Dresselhaus G., Drcsselhaus M. S. Edge state in graphene ribbons: Nanometer size effect and edge shape dependence // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54, no. 24. P. 17954.

3. Сорокин П. Б., Чернозатонский JI. А. Полупроводниковые наноструктуры на основе графена // УФН. 2013. Т. 183, № 2. С. 113.

4. Hasan М. Z., Капе С. L. Colloquium: topological insulators // Rev. Mod. Phys. 2010. Vol. 82, no. 4. P. 3045.

5. Konig M., Wiedmann S., Brüne С. et al. Quantum spin Hall insulator state in HgTe quantum wells // Science. 2007. Vol. 318, no. 5851. P. 766.

6. Latyshev Y. I., Orlov A. P., Shustin E. G. et al. Aharonov-Bohm effect on columnar defects in thin graphite and graphene // Journal of Physics: Conference Series. 2010. Vol. 248, no. 1. P. 012001.

7. Akhmerov A. R., Beenakker C. W. J. Boundary conditions for Dirac fermions on a terminated honeycomb lattice // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77, no. 8. P. 085423.

8. Brey L., Fertig H. A. Edge states and the quantized Hall effect in graphene // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73, no. 19. P. 195408.

9. Волков В. А., Пинскер Т. H. Спиновое расщепление электронного спектра в ограниченных кристаллах с релятивистской зонной структурой // Физика твердого тела. 1981. Т. 23, № 6. С. 1756.

10. Das Sarma S., Hwang E. H. Collective modes of the massless Dirac plasma // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102, no. 20. P. 206412.

Загороднев Игорь Витальевич

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему: Краевые возбуждения в 2Б электронных системах с дираковскими

фермионами

Подписано в печать 08.05.2013г. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 2, 2. Тираж 100 экз. Заказ № 147.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141707, Моск. обл., г. Долгопрудный., Институтский пер., 9 E-mail: polygraph@mipt.ru