Кроссовер в теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

2-96-195

На правах рукописи УДК 539.12.01

Девджо О'Коннор* КРОССОВЕР В ТЕОРИИ ПОЛЯ

V

Специальность: 01.04.02 —теоретическая физика

Диссертация б виде научного доклада на соискание ученой степени ' доктора физико-математических наук

\ i

*School of Theoretical Physics, Dublin Institute for Advanced Studies, 10 Burlington Road, Dublin 4, Ireland

Дубна 1996

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

' Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Брапков Д.Д.

доктор физико-математических наук, профессор Васильев А.Н.

доктор физико-математических наук Приезжев В.Б.

Ведущая организация: МИ РАН имени В.А.Стеклова.

Защита состоится " 2. $ " _ 1996 г. в__ часов на заседании

специализированного совета Д 047.01.01 при Лаборатории теоретической физики Объедипенпого, института ядерных исследований по адресу: 141980, Московская обл., г. Дубна, ЛТФ, ОИЯИ.

С диссертацией в виде научного доклада можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Диссертация в виде научного доклада разослана _"_ 1996г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 047.01.01 кандидат физико-математических наук

В.И.Журавлев

Аннотация: Реальные физические системы обычно пе язляются масштабно инвариантными. Эффективные степени свободы могут следовать одному скейлин-говому закону в определённом асимптотическом режиме, проявляя однако совершенно другое скейлинговое поведение в другом асимптотическом режиме. Промежуточное поведение между двумя режимами называется кроссовером. Если все асимптотически существенные режимы обусловлены критическими флуктуациями, полный кроссовер может быть описан единой универсальной скейлинговой функцией. Кроссовер от решёточных эффектов к непрерывной теории не является универсальным, но в непосредственной близости к точке непрерывного фазового перехода, решёточные эффекты становятся несущественными для поведения термодинамических функций. Именно в этом режиме применима непрерывная теория поля, именно здесь можно эффективно использовать её технический аппарат. В частности, идеальным средством для вычисления скейлинговых функций кроссовера является теоретико-полевая ренормализационная группа (РГ). Установлено, что сепаратрисное решение кроссоверной ренормгрунпы играет ту же роль, что и фиксированная точка в обычной РГ. Методом РГ был детально изучен предел N оо модели Ландау-Гинзбурга-Вильсона в геометрии плёнки, геометрия которая допускает интересный размерностний кроссовер. Эта модель является точно решаемой, и РГ даёт точные скейлинговые функции. Для произвольных N метод РГ в сочетании с петлевым разложением использован для получения аккуратных (но пертурбативных) скейлинговых функций. Скейлинговые функции для плёночной геометрии, вычисленные при объёмной критической температуре, дают универсальные амплитуды Казимира, которые могут быть сравнены, как с результатами других подходов, так и с экспериментом. Специальный случай верхней критической размерности й — 4 приводит к логарифмическому переходу от четырехмерной к трехмерной неподвижной точке. Этот случай исследован с помощью уравнений потока РГ, полученных в результате Паде-аппроксимации двухпетле-вого приближения.

1 Введение

i

Основным объектом изучения в данной диссертации являются полевые теории, обладающие различными скейлинговыми свойствами в различных асимптотических режимах. Область применения охватывает различные разделы физики от образования вещества в ранней Вселенной и свойств фазовых переходов в обычных веществах до более тонких вопросов о взаимосвязи квантовых и классических флуктуаций с глобальной топологией системы. A priori не очевидно, что многие свойства обыденных систем, таких как две жидкости, которые не смешиваются при температурах ниже некоторой критической точки, но смешиваются выше неё, могут оказаться идентичными со свойствами релятивистской квантовой теории поля, испытывающей нарушение симметрии. Тем не менее, системы, испытывающие непрерывный или почти непрерывный фазовый переход, характеризуются корреляциями флуктуаций, которые вблизи точки перехода распространяются на расстояния значительно превосходящие микроскопические детали системы, и поэтому действительно описываемые в данном режиме подходящей эвклидовой или статистической теорией поля.

Теоретико-полевое описание схватывает, таким образом, "универсальные" аспекты перехода от одного состояния вещества в другое. 'Другими словами, теория поля описывает свойства, которые нечувствительны к микродеталям, а зависят только от крупномасштабных характеристик.

Эффективным средством для понимания того, каким образом теория поля возникает из исходной микроскопической картины, является ренормализационная группа Вильсона 1 (РГ Вильсона). Из этого анализа следует, что во многих случаях окрестность критической точки описывается ренормируемой или супер-ренормируемой непрерывной теорией поля. Таким образом, если мы интересуемся универсальными физическими свойствами, связанными с такой критической точкой, мы можем сосредоточить внимание непосредственно на подходящей теории поля. На интуитивном уровне можно представлять себе РГ Вильсона, как процедуру обеспечивающую переход от одного набора микроскопических степеней свободы к другому, обладающему такими же макроскопическими свойствами. РГ Вильсона редко даёт точные результаты и обычно бывает трудно построить её как пертурбативную теорию, в которой контролируется вклад от отброшенных членов. Как правило, она используется для идентификации непрерывной теории поля, описывающей окрестность критической точки. На практике аккуратное определение критических индексов и других универсальных величин, связанных с переходом, удобнее производить непосредственно для непрерывной теории поля.

В контексте непрерывной теории поля возникает совершенно особое понятие ренормгруппы, которое исторически предшествует вильсоновскому определению. При изучении квантовой электродинамики 2 пертурбативными методами эта ре-

lK.G. Wilson, Phys. Rev. B4 (1971) 3174; it Phys. Rev. B4 (1971) 3184.

2E.C.G. Stuckelberg and A. Peterman, Htlv. Phys. Acia 26 499 (1953); M. Gell-Mann and F. Low, Phys. Rev. 95 1300 (1954); N.N. Bogoliubov and D.V. Shirkov, Dokkdy AN SSSR, 103 203

нормгруппа была открыта в связи с устранением ультрафиолетовых расходимостей из наблюдаемых величин. В сочетании с идеями скейлинга, развитыми в теории фазовых переходов, она дала мощный инструмент для прецизионного определения критических индексов, отношений амплитуд и других универсальных характеристик переходов, которые даёт теоретико-полевое описание.

В самых ранних исследованиях этого вопроса Бланком, Бонч-Бруевичем и Ширковым 3 было установлено, что существование теоретико-полевой РГ не связано с присутствием ультрафиолетовых расходимостей и, что они могут оказаться полезным инструментом для множества приложений (интересно, что уже тогда упоминалась физика конденсированного состояния). Старый, но элегантный обзор принципов ренормгруппы дан Гинзбуром и Ширковым 4 в 1966г., где содержится особенно ясное изложение основ этой теории.

При детальном изучении систем вблизи критической точки становится ясно, что переход от описания в терминах одного типа микроскопических переменных к другому может быть обобщен на уровне теории поля. Представление о том, что есть микроскопические переменные становится относительным. При таком подходе проблему можно понимать как связь одной эффективной теории поля с другой, причём первая теория поля описывает один асимптотический режим, а вторая другой. Таким образом, возникает проблема кроссовера между различными теориями поля. Доказано, что теоретико-полевая РГ является особенно эффективной, когда изучаются два асимптотических режима с разными скейлинговыми свойствами [23], и даёт возможность количественных предсказаний как о самом кроссовере так и о скейлинговых функциях, описывающих его [22].

План дальнейшего изложения следующий: раздел 2 содержит обсуждение непрерывного или скейлингового предела в решёточной гауссовой модели. Благодаря тому, что спиновые переменные или поля образуют сечение двумерного тора, удаётся получить нетривиальное представление фундаментальной группы тора Z2 параметризованной величинами щ и uj. Тогда массивная теория соответствует непрерывному пределу нетривиальной функции свободной энергии. Используя эквивалентность модели Изинга и модели димеров на декорированной решётке, мы получаем скейлинговую функцию свободной энергии для модели Изинга на произвольном гладком торе.

В разделе 3 обсуждаётся O(N) модель Ландау-Гинзбурга-Вильсона и подробно рассматривается температурная зависимость массового параметра. Обсуждение тождества Уорда ведет к пониманию декомпозиции вершинных функций на более простые блоки даже в случае N = 1. Кроме того, метод кроссовера в ренормали-зационной группе может быть использован для построения скейлипговой функции свободной энергии и уравнения состояния, в особенности в применении к симметричной 0(N) модели Л-Г-Вильсопа.

Методы, развитые в разделе 3, затем применяются в разделе 4 к точно реша-

(1955),

3V.Z. Blank, V.L. Bonch-Bruevich and D.V. Shirkov, JETP 33 (1957) 204.

4I.F. Ginzburg and D.V. Shirkov, Soviei Physics, JETP 22 (1966) 234.

емому пределу Лг —> ос для O(N) модели. Поскольку эта модель находится в одном классе универсальности с моделью Бозе-Эйнштейновской конденсации, которая интенсивно изучалась экспериментальными методами, полученные результаты потенциально представляют экспериментальный интерес. Найдено специальное решение для /3-фувкции ренормгруппы — сепаратрисное решение. Эго решение характеризует два множества нетривиальных критических индексов, и универсальный кроссовер между ними подобен тому, как неподвижные точки характеризуют одно множество нетривиальных критических индексов. С помощью этого решения и уравнений РГ из раздела 3 мы получаем точные выражения для скейлинговых функций универсальной свободной энергии и уравнения состояния. Свободная энергия, вычисленная при объёмной критической температуре даёт амплитуды Казимира. Они сравниваются с результатами известными для этих амплитуд из £-разложения и согласуются с ними, когда последние заслуживают доверия. Поскольку предел N —► оо является исходной точкой для 1 /N разложения, полученные результаты дают приближения для конечных N. Сравнение результатов вычислений методом Монте-Карло для модели Изинга и 1/N амплитудами Казимира даёт удивительно хорошие результаты.

Раздел 5 содержит обсуждение результатов двухпетлевого приближения для основных блоков, функций Вильсона в РГ подходе. Они анализируются с помощью Паде приближения пертурбативной теории. Основное внимание уделяется кроссоверу от логарифмических поправок для d = 4, когда сепаратрисное решение исчезает, к критическим показателям для d = 3. Наконец, раздел 6 посвящен кротким обзором других результатов, в частности, эффектам конечного объёма и локальной кривизны.

Апробация работы

За время работы над диссертацией полученные результаты представлялись и докладывались автором на многочисленных конференциях, симпозиумах, семинарах (см. список), в том числе в ОИЯИ, ЛТФ им. H.H. Боголюбова 4 апреля 1996, в ПИЯФ С. Петербург 22 апреля, в МИ РАН им. В.А. Стеклова 8 мая.

• "Environmentally Friendly Renormalization", Essen, Germany, May 9th 1994.

• "Environmentally Friendly Renormalization", Wuppertal, Germany, May 11th 1994.

• "The Renormalization Group and Crossover in Field Theory", Irish Particle Physics Conference, May 25-26th 1994.

• "Crossover Scaling: A Renormalization Group Approach", Bogolubov Symposium, 'Fundamental Problems in Theoretical and Mathematical Physics' Aug 19-21st 1994.

• "Crossover in Classical and Quantum Systems" Protvino, Russia, Sept. 1st 1994.

• "Crossover in field theory with applications to Finite Size Scaling and Finite Temperature Field Theory", Inst, for Nuclear Research, Moscow, Sept. 5th 1994.

• "Crossover in field theory with applications to Finite Size Scaling and Finite Temperature Field Theory", University of Bristol, Bristol, England, Oct. 26th

1994.

• "Crossover in field theory with applications to Finite Size Scaling and Finite Temperature Field Theory", Inst, for Advanced Studies, Princeton, USA, Nov. 9th 1994.

• "Quantum to Classical Crossover in Field Theory", Inst, of Physics, UNAM, Mexico Nov. 16th 1994.

• "Crossover in field theory with applications to Finite Temperature Field Theory and Cosmology", Inst, for Nuclear Sciences, Mexico, Nov. 17th 1994.

• "Environmentally Friendly Renormalization", Inst, of Physics, UNAM, Mexico, Nov. 25th 1994.

• "Geometry and the Renormalization Group", Math. Dept., UCSD, San Diego, Dec. 6th 1994.

• "Crossover in field theory with applications to Finite Size Scaling and Finite Temperature Field Theory", Physics Dept., UCLA, Los Angeles, USA, Dec. 7th 1994.

• "Crossover in field theory with applications to Finite Size Scaling and Finite Temperature Field Theory", University of Pittsburg, Pittsburg, USA, Dec. 13th 1994.

• "Environmentally Friendly Renormalization", UCSB, Santa Barbara, USA, Dec. 15th 1994.

• "Environmentally Friendly Renormalization", Syracuse University, Syracuse, New York, USA, Dec. 19th 1994.

• "Environmentally Friendly Renormalization", CISC, Madrid, Spain, Feb. 1st

1995.

• "Environmentally Friendly Renormalization", Universität de Barcelona, Barcelona, Spain, Feb. 9th 1995.

» "Finite-size Corrections to the Free Energy and Modular Invariance", Mathematical Symposium, DIAS, Dublin, April 11th 1995.

"Modular Invariance and a Vortex Critical Phase", Conference: Critical Phenomena and Self-Organization, Dubna, Russia, July 25-29th 1995.

• "Finite-size Corrections and Modular Invariance", Conference: STATPHYS 19, Xiamen, Peoples Republic of China, July 31th-August 4th 1995.

• "Cosmological Phase Transitions: The Critical Temperature and Amplitude Ratios.", 4th Workshop on Thermal Field Theories and their Applications, Dalian, Peoples Republic of China, August 7th-12th 1995.

• "Universality in Phase Transitions" CINVESTAV , Mexico, Nov. 28th 1995.

• "Modular Invariance of Finite Size Corrections and a Vortex Critical Phase" Inst, for Nuclear Sciences, Mexico, Nov. 30th 1995.

• "Universality in Phase Transitions" Inst, of Physics, UNAM, Mexico Dec. 7th 1995.

• "Modular Invariance of Finite Size Corrections and a Vortex Critical Phase" Physics Dept., University of Maryland, College Park, USA, Dec. 13th 1995.

• "Modular Invariance of Finite Size Corrections and a Vortex Critical Phase" 74th Stat. Mech. Conference, Rutgers University, USA, Dec. 17th-19th 1995.

• "Universality in Phase Transitions" Mathematical Symposium, DIAS, Dublin, Dec. 20th 1995.

• "Crossover in Field Theory" JINR, Dubna, Russia, April 4th 1996.

• "Crossover in Field Theory" PINP, St. Petersburg, Russia, April 22th 1996.

• "Crossover in Field Theory" Mathematical Institute of the Academy of Sciences, Stecklov Institute, Moscow, Russia, May 8th 1996.

2 Непрерывный или скейлинговый предел

Для того, чтобы получить представление о режиме, в котором применимо теоретико-полевое описание, полезно рассмотреть простую решёточную модель и детально изучить её. Простейшей такой моделью является гауссова модель. При включении в модель некоторых дополнительных свойств может быть получен кроссовер менаду различными асимптотическими режимами. Используя эквивалентность модели Изинга на некоторой решётке и модели димеров на декорированной решётке, было получено точное решение двумерной модели Изинга. Кроссовер в этом случае управляется отношением корреляционных длин или обратных масс к периодам торов.

Рассмотрим регулярную треугольную решётку на торе, базисные треугольники которой имеют две стороны длины а0 и а\ с углом 0 между ними. Полная решётка образует тор Т2 и состоит из КоК\ узлов и 2KqK\ треугольников, образующих параллелограмм со сторонами Lo = Каа0 и Li = Kia¡.

Мы выбираем комплексные спиновые переменные <р(х,у) на Г2, но не требуем, чтобы ip было периодической функцей, а приобретала бы фазу при обходе одного из циклов на торе, образуемом исходной решёткой. В общем случае мы требуем, чтобы

<р(х + aLi cos в -f bLo, У + sin в) = e2*i(aui46uo)v>(*,y), a, beZ. (2.1)

Для u0 и Iii не целых и не полуцелых спиновая переменная всегда или комплексная или действительная пара двух компонент: с математической точки зрения есть сечение пучка С по тору Т2.

Обозначая узлы решётки (ко, ki) = к с k¿ = 1,..., К i, получаем энергию конфигурации в виде

£с = I Ekk- (A(k,k') + m2¿k>k,) p(k'), (2.2)

¿Ic,k' — символ Кронекера, Д представляет собой КоК\ X KqKi симметричную матрицу, все элементы которой определены взаимодействиями ближайших соседей, так что каждый спин взаимодействует с шестью ближайшими спинами. Явный вид ненулевых элементов (и транспонированных к ним) есть 5

Д{(*оЛ),(*:о + 1Л)} = -о,

A{{kotkiUko,ki+l)} = -ß,

Ä{(*b+l.*i),(*b,*i+l)} = -7,

A{(fcö,fci),(*D.*i)} = 2a,

где <г = а|(3 + 7И5 = (aß 4 ßy + 7Q)_1 •

Для г = 0,1 и ¿ = er + m2/2, собственные значения |(Д -f т2) есть

Km ~ 6 — a cos (зпо) — ßcos (Ящ ) — 7 cos (хп0 -*„,), (2.3)

где = 27г(п, + щ)/К{.

Мы интересуемся статистической суммой

i» ) * i __ V

гц>,с>- - П . (">

(no.ni J

Свободная энергия есть F = kgTW где W = — In Z.

5Д - дискретный лапласиан на Т2 если от = ¡¡4^ - sai), 0 = ^ fa - sai), н . = . 1 , fcSäl)

8ÍnJ в \aoai J '

Используя обобщение тождества А.Е. Патрика, 6 суммы могут быть преобразованы к виду

№ = К0Ку\Ув + \¥Р, (2.5)

где свободная энергия на узел решётки в термодинамическом пределе имеет вид,

у/9

гъг** WB Л, 2* Л, 2х

жквТ

{6 — a cos(i/i) — cos(1^2) — 7 cos(fi — fa)}

,(2.6)

а ИО? даётся довольно громоздким выражением, приведённым в [28].

Предел, которым мы интересуемся суть непрерывный или скейлинговый предел. Это обусловленный термодинамический предел достигаемый при Ло, А-! —> оо при фиксированном X,- = А",а,-, в, тп2 и отношении к = Асимптотическая форма И!в в скейлинговом пределе даётся выражением

ШвК0Кг = К0Кг\в - ^ {1п[А'0^] - 2/>} - -!) + ••■. (2.7)

Здесь А в есть величина Wb при m = 0 и

р = г;/2<*Л—^—

J0 [sin v^Jl+gü2 sia2 L

Iln Mfl + l)}

(2.8)

сохраняющие оба зависимость от геометрии решётки. Предельное поведение даётся формулой

2 т г 00

_ 7ГТ1 , 77Г V . v-^ ,

TF = —^C(uo,-)+ ¿j ln

-2*n ./(n+uo )S + -t0 (n+u0)}

1-е * 1

, (2.9)

где r0 =

h

£ + 7' Tl y/g[P + i\

Функция c(u,x), появляющаяся в (2.9) даётся выражением J-оо 2тг I 6

V = K0Kly/j. (2.10)

(2.11)

где c(ti,0) = с(и) = 2{1 — 6и(1 — и)}. Также могут быть получены поправки к (2.9), исчезающие в скейлинговом пределе. В геометрии тора, описанной выше, мы имеем То = cos 0, = jfc sin в и V = LqLi sin в.

Эти выражения могут быть использованы для получения статистической суммы двумерной модели Изинга из-за её эквивалентности модели димеров на декорированной решётке. 7 Используя явно фазовую зависимость W¡? в функции Wf(u0,

6А.Е. Patrick J. Stat. Phys. 72, 665 (1993).

7V.B. Priezzhev, Sou. Phys. Usp. 28 (1985) 1125.

и пользуясь эквивалентностью между димерами и моделью Изинга на треугольной решётке 8, мы получаем полное выражение для треугольной решётки вместе с поправками конечного размера

Zl4n, = 1 |Те^Ио,о) + e*iM0.i) + + (2.12)

для ферромагнитного взаимодействия, где знак + соответствует Т < Тс и — соответствует Т > Тс. В скейлинговом пределе №V(u0, щ) —> lV(u0, Uj).

Для модели Изинга переменные m и V входят в сгатсумму в комбинации m2V и статсумма не обеспечивает отдельное определение каждой их них. Мы можем, тем не менее разделить эти переменные, рассматривая корреляционные функции [24].

В общем случае IV (2.9) инвариантно относительно преобразований

(i) ti0 t-nto, ttiv-vuo + Ui, т0ь-+г0 + 1, T\ i > Ti, (2.13)

(ii) ua t-* «1, «1 -«o, T0 I-» П ь-» i^jj, (2.14)

где t = tq + ¿Ti. Инвариантность относительно (i) очевидна из-за (2.9) и отвечает действию генератора 'Г' из SL(2, Z)/Z2, a (ii) эквивалентно изменению порядка, в котором выполняется суммирование по по и Это отвечает действию генератора '5' модулярной группы SL(2,Z)/Z3. Объём V инвариантен относительно S и Т, которые генерируют полную модулярную группу SL(2, Z)/Z2 и поэтому IV и V инвариантны относительно каждого элемента этой группы. Следовательно, мы можем заключить, что в скейлинговом пределе полные поправки от конечного размера к объёмной свободной энергии инвариантны относительно модулярной группы. Аналогично, ГУ инвариантно относительно замены

Т »-» jffifj}, щ Н-» ащ + Ьи0, и0 |-> сщ + duo, (2.15)

где т = То + iti, а, Ь, c,d <Е Z и ab — cd = 1.

Заметим, что суммирование по четырём членам в (2.12) с Wf —► ГУ, даёт поправки от конечного размера Zp'ng в виде модулярной инвариантной функции от то, Ti и m2V.

Полагая m —* 0 в (2.9) мы находим критический фазовый предел IV в виде

2

(2-16)

где — тэта-функция Якоби, а т) — эта-функция Дедекинда.

Следующий интересующий нас предел — геометрический, получаемый при ¿1 —► оо. Он соответствует цилиндрической геометрии. В этом пределе Tf/V редуцируется до

lcv"nJ" = -щс{и0,т2Ь1). (2.17)

8Из J. Stephenson, /. Math. Phys. 5, 1009 (1964) имеем а = sinh(^), /3 = sinh(^), у = sinh(^) и 6 = cosh(^) cosh(^) созЬ(^) + а/Зу.

I> = In

^'"SSMm-TttoH v(T)

= -Щг^х)- (2.18)

Когда tío и т равны нулю, c(uo, m2ig) сводится к центральному заряду модели, в нашем случае с — 2. Функция с(и,х) обнаруживает кроссовер до с — 0 при больших х, и не является монотонной функцией х. Из (2.12) мы видим, что

^cyHnder _ _^ ' 1

~ 12Lo

Сравнение с (2.17) показывает, что с/а1Пг(аг) = —|с(|,г), что при х = 0 даёт обычный центральный заряд с =

Пределы m —* 0 и и0,щ —* 0 не коммутируют. Для малых щ,щ и тп из (2.9) получим выражение

IV = ln [(2TT)2|UI - TU0|2 + Txm2K] + 21п |í¡(r)|2 + • • •, (2.19)

которое стремится к различным логарифмическим сингулярным выражениям

b|ui -ги0|2 + 21п|7)(г)|2 и ln[rxm2V] + 21п |т?(т)|2 (2.20)

в зависимости от порядка, в котором эти пределы берутся. Тем не менее, оба предела и даже (2.19) действительно являются модулярными инвариантами. Непрерывная версия изучаемой модели описывается гамильтонианом

Ы = Ц2 va,у + mVV] • . (2.21)

Нетрудно получить соответствующую непрерывную статсумму, используя метод регуляризации ^-функции. Эта процедура даёт вклад от эффектов конечного размера Гf (2.9), но объёмный член значительно отличается:

Vm2

Г в = -—(1п[(т/2тМ)2] - 1), (2.22)

где произвольная неопределённая масштабная константа. Заметим, что в непрерывном варианте оставшиеся объёмные члены, удерживающие зависимость от решётки, Лв и р, не возникают. Они называются несингуларной частью свободной энергии. Сингулярная часть может быть объявлена кроссоверной скейлинговой фу.нкцией Гв -f IV. В настоящем примере одно из её характерных свойств есть инвариантность относительно модулярных преобразований (г) и (гг).

3 O(N) Модель Ландау-Гинзбург-Вильсона

Обобщение гауссовской модели, описанное в предыдущем разделе, получается добавлением в гамильтониан взаимодействия <р4. Это обобщение отражает скейлин-говый предел широкого класса экспериментально наблюдаемых кроссоверов. Га-милтониан O(N) модели Ландау-Гинзбург-Вильсона (ЛГВ) в размерности d имеет вид

Щр\ = jM ¿xyfi ^Vm'íTW + \ * (*)vV + ¡r(vVa)2- Н (3.1)

Ниже мы будем интересоваться главным образом случаем, когда М имеет тороидальную геометрию со сторонами Ьо, Ь\. ■. Ьд, и особенно случаем, когда Ьо, Ь\... Ьд-1 бесконечны, а Ь^ = Ь, с метрикой = так как эти многообразия имеют то преимущество, что являются плоскими и не содержат границ. Статсумма 2 получается в результате вычисления континуального интеграла по полям <р" с гамильтонианом (3.1) и имеет вид

/ [<ад<

(3.2)

Плотность свободной энергии равна Г = = Гь — где У-объём

многообразия М. (для тороидальной геометрии V = Ьо... Ьл) и .Р6 подложка плотности свободной энергии полученная после укрупнения исходных микроскопических степеней свободы до описания в терминах эффективной теории поля с гамильтонианом ЛГВ (3.1), где Zlcw статическая сумма гамильтониана. Предполагается, что Рь является аналитической функцией термодинамических- величин. Плотность внутренней энергии имеет вид

8Г

и = р-тэт (3-3)

и теплоёмкость по определению даётся выражением

гРР

С = (3.4)

Стандартное предположение при рассмотрении гамильтониана ЛГВ (3.1) состоит в том, что только один из её параметров сохраняет зависимость от температуры, а именно параметр массы г. Поэтому плотность внутренней энергии принимает вид

и

и теплоёмкость

где

2V} КдТ дТ К '

Т2 [ я Г д г (х) . (о,2) , ч д г (у)

С0,1) (*) = <^2(*)) и 0т (х; у) = (гЧх)<рЪ)) ~ (ч>Ч*)){<рЧу))- (3-7)

Генератор одиочастичных вершинных функций Г[г, у>], где ¡р -индуцированная намагниченность, даётся преобразованием Лежандра I= — 1п Корреляционной функцией теории является величина

о (а1..ау,М)

<7 = {<р*1(*\)\»1чГн(*н),ч>'2Ы), (3.8)

где двоеточие между аргументами в средних значениях означает связные корреляционные функции, генерируемые повторным функциональным дифференцированием W[r, Н] по отношению к источникам г (х,) и Н (Vj) в несовпадающих

о (<ч —и,М)

точках. Подобным образом, вершинная функция Г получается функцио-

о ° о

нальным дифференцированием Г[г,<^] по уа(х,) и г (х;). Вершинная функция

о (aj...a#,M)

Г является основной интересующей нас величиной, поскольку как только

она становится известной, всё корреляционные функции теории могут быть получены из неё.

Вершинные функции, входящие во внутреннюю энергию и теплоёмкость есть

.(0.1), ч 1 о (0,1) „(0,2) 1 о (0,2)

Г М=2С и Г = {х,у). (3.9)

о о °

Если источники г и Н выбраны однородными, тогда для трансляционно инвари-

оП о а

антной системы Тр также однородны в направлении Н ■ В этом случае

h ,дг »(од)

и = иь-т2— г (3.10)

с - (З.П)

. (0,1) о (0,2)

где Г и Г эквивалентны нулевым внешним импульсам.

о (0,2)

Если мы хотим ввести неаналитическую зависимость теплоёмкости в Г , тогда естественным выбором температурной зависимости г является

?=гс +Л2 (3.12)

. о о

где Л микроскопическая массовая шкала, а г значение г при критической температуре Тс. В окрестности критической температуры результаты выбора температурной зависимости будут одинаковыми, поскольку получены при линейной температурной зависимости rc + Л2 . Тем не менее, можно описать более

широкий интервал температур при выборе (3.12). Естественно также предположить, что для плоского многообразия М. величина г не зависит от деталей этого многообразия. В случае кривых многообразий, как будет показано ниже, имеются другие естественные выборы температурной зависимости.

Если температурная зависимость фиксирована выражением (3.12), плотность внутренней энергии принимает вид

о (0,1)

U = U - А Тс Г , (3.13)

а теплоёмкость даётся выражением

А2 о (0,2)

С = СЬ-^Г \ (3.14)

о (0,2)

Для 0(Я) модели Г очевидно отрицательна и либо расходится, либо стремится

к нулю в соответствии с величиной N и размерностью многообразия. Таким обра-

.(0,2)

зом, можно показать, что Г должно расходиться к —с» или исчезать при критической температуре. Следовательно, для того чтобы определить сингулярную

. (0,2)

часть теплоёмкости нужно вычислить Г

О(А^) модель имеет два различных типа степеней свободы: параллельное вне-

о а

шнее поле Н и перпендикулярное поле. Пусть па является единичным вектором

О а

в направлении Я • Используя операторы

Р,аЬ = папь и Р/ь = 8Л - папь

о (Ы,М)

можно разложить произвольную вершинную функцию на блоки Г, /( г Для удобства, когда все нижние ипдексы одинаковы и равны либо I либо мы используем

о (Л'М) ^

одиночный индекс I или г. Например, Г,. ( сокращается до Г( -В случае, когда нет уз2 вершин (т.е. М = 0), оставляем второй верхний индекс, например,

о(^) о(АГ,0)

Г означает Г

Благодаря тождествам Уорда можно произвести декомпозицию любой вершинной функции в сумму вершинных функций Г( . Например, используя тождество

о(1) „(2)Л

Уорда Г/ =Г( у, уравнения состояния становятся следующими

о(2) „ о(1)

Г, у5=Я, Г, =0. (3.15)

С (об) о (2) „(2) „(2)

Декомпозиция Г даёг Г; , Г( и Г;( . Кроме того, используя тожества Уорда имеем

о (4)

.(2) „(2) Г „2 „(2)

Г, =Г( у И Гк = 0 (3.16)

Тожества Уорда в более общем случае дают декомпозицию

Ю._ о(АГ+*)ок

Г' ЩК-к)\\(К+к-1)11 г' (3-17)

о (К)

где 0!! = 1, и Г\ = 0 при К нечетном.

Рис. 1: Фазовая диаграмма 0(N) модели: сплошная кривая состоит из двух ветвей, связанных набором линий сосуществования. Вдоль горизонтальной пунктирной линии Хр является константой, эта длина играет роль перестройки уравнения состояния в методе РГ. Объёмная критическая точка находится на оси t в точке Д(d, L).

о (2)

Вершинная функция Г( в (3.15) играет важную роль в теории. Если Н= О, мы имеем три возможности

о о (2)

(г) Хр= 0 и Г4 Ф О,

о (2)

(гг) Трф О и Г* =0,

о о (2)

(iii) Тр- 0 и Г, = 0

Когда геометрия М такова, что модель (3.1) имеет фазовый переход, при изменении г реализуются все три возможности, как показано на рисунке 1. Вдоль положительной критической изохоры (вдоль положительной t оси) реализуется случай (i). Случай (ii) означает, что спонтанная намагниченность отлична от нуля и "(2)

уравнение Г( = 0 определяет кривую сосуществования. Случай (iii) определяет критическую точку, которая расположена в начале фазовой диаграммы. Переменная i даёт отклонение г от начала. Объёмная критическая температура находится в точке Д (L).

Далее мы проследим за ренормализацией процесса, используя переменную

массы

оО о О

Г, (m),A,Z)

о (2)

m'

2

(3.18)

рЗ =0,»l=0

где р является поперечным импульсом, и п индексирует внешние квантованные импульсы.

Точно решаемые модели полезны для проверки качественных представлений о фазовых переходах в квантовой теории поля. Рост интереса к двумерной конформной полевой теории, и увеличение числа точно решаемых двумерных моделей являются свидетельством интереса к таким моделям. До сих пор модели, которые допускают точно вычисление статсуммы и для корреляционных функций в любой размерности, ограничивались гауссовой моделью и сферической моделью Берлина Каца, 9 а также различными вариантами этих моделей. Все вершинные функции порядка выше второго равны тождественно нулю для гауссовой модели и у неё нет упорядоченной фазы. Патологии отсутствуют также и в сферической модели. Станли w установил эквивалентность статсумм на бесконечной решётке 0(N) модели в пределе N = оо и сферической модели. Последняя модель была рассмотрена в контексте теории поля Вильсона 11 и его анализ дал толчок другим теориям, где эта модель явилась отправным пунктам для 1/N разложения. 12 Это разложение выполнено до степени Васильевым, Письмарком и Хонконеном. 13 Оригинальная решёточная сферическая модель была решена Барбером и Фишером 14 на конечной геометрии и на геометриях, которые допускают размерностный кроссовер. Конечно-размерный скейлинг в сферических моделях с дальнодействующими взаимодействиями был изучен Бранковом и Тончевом. 15 Обзор сферических моделей на строго конечной геометрии дан в статье Рудника. 16

Предел N —► оо ЛГВ 0(N) модели (3.1) является близким со сферической моделью и 0(N) er-моделью. У предельной ДГВ модели есть добавочный параметр — <р взаимодействие А, которым управляет кроссовер от критической точки

9Т.Н. Berlin and M. Кас, Phys. Rev. 89 (1952) 821.

10H.E. Stanley, Phys. Rev. 176 (1968) 718.

nK.G. Wilson, Phys. Rev. D7 (1973) 2911.

12 The Large N Limit in Quantum Field Theory and Statistical Physics, edited by E. Brézin and S.R. Waidia, World Scientific 1993.

13A.N. Vasil'ev, Yu.M. Pis'mark and Yu. R. Honkonen, Theor. Mat. Fiz. 46 (1981) 104; Theor. Mat. Fiz. 50(1982) 127.

14M. Barber and M.E. Fisher, Ann. Phys., 77 (1973) 1.

ISJ.D. Brankov, J. Stat. Phys. 56 (1989) 309; J.D. Brankov and N. S. Tonchev, J. Stat. Phys. 59 (1990) 1431.

16Finite Size Scaling and Numerical Simulations of Statistical Systems, edited by V. Privman, World Scientific 1990.

4 Предел больших N

к средне-полевому поведению. В отличие от 0(ЛГ) ст-модели, у радиальной степени свободы есть статистические флуктуации. Мы интересуемся здесь теоретико-полевой формулировкой, в частности, моделью в геометрии плёнки.

о

Предел больших N, достигаемый при фиксированном N А с N —* оо, при использовании либо метода наибыстрейшего спуска или суммирования диаграмм Феймана с помощью РГ, даёт точные выражения для теории. Чтобы использовать

о

РГ метод, нужно вычислить генераторные функции РГ 7,- вдоль константы '¡р и генераторы 7; вдоль критической изотермы вместе с Г'0,3'.

Удобно привести результаты, используя диаграммные обозначения [23]. Основная диаграмма в случае плёночной геометрии имеет вид

Г^-^г* 2 У00 д* 1

ом = ""(¡¡у^~ Л, (4л)

где г = к£. Дифференцирование к раз по г2 функции, изображаемой кругом без точек (4.1), даёт после умножения на фактор (—1 )к~1/(к — 1)! круг с к точками. Мы определяем перенормированную безразмерную константу связи к в пределе больших N выражением

Л-^ОК^М», (4.2)

где V = NX Факторы даются выражениями

'£„ = 1, (4.3)

^ = 1 + (4'4)

^ - гтет- (4-5)

с

Зависимость только от г, а не от <р, внутри фазовой диаграммы — упрощение предела больших N. Это происходит только в однопетлевом приближении для произвольных N. Соответствующие выражения для генераторов РГ [29] есть

Ъ = 0, 7<р2 = Л, 7л = К (4.6)

% = 0, = к, 7л = Н, (4.7)

и константа связи Л удовлетворяет дифференциальному уравнению

= -е(6,г)к + к2, (4.8)

где

Уравнение потока РГ (4.8) имеет специальное решение называемое сепаратрисным решении, которое даётся диаграммным выражением

и простирается от Л(оо) = 4 — <1 до А(0) = 3 — <1. Ни одно из других решений (4.8) не пересекает эту кривую, по все решения попадают на неё асимптотически при г стремящейся к нулю. У сепаратрисного решения нет никаких свободных параметров, поэтому сепаратриса является естественным обобщением неподвижной точки в случае кроссовера. Она естественным образом выделяет универсальную часть скейлинговой функции.

Для данной ¿-мерной плёнки (ё < 4), с определениями = ¡¿5/Лг и Я = Н/ сепаратрисное решение даёт универсальную форму уравнения состояния и имеет вид [29]

= Я, (4.11)

где

ь,= (т+ &(<!,£,)и г + Д(с/,Х) = ^0г(т,«)К'г-',.( 4.12)

Экспоненты v(<¡) = ^ и /?(й) = | являются объёмными ¿-мерными индексами. Здесь мы выбрали микроскопический масштаб к в соответствии с кЬ >> 1. Переменная t, которая измеряет отклонение вдоль критической изохоры имеет часть т, независящую от Ь, и исчезающую в объёмной критической точке, а также и сдвиг Д(</, X), который измеряет отклонение между объёмными и плёночными критическими точками.

Скейлинговая функция 0.(с1, го) определятся обратной функцией в виде

0.-\й,г,1) = и1 с = + (4.13)

где

Ь'=-ъф-• (4Л4)

Сдвиг Д(</, Ь) даётся выражением

А(а,Ь)=ЬлЬ-1/"М. (4.15)

Основная скейлинговая переменная ю может выражаться в форме

ш = (4.16)

где

* = (т + и у = (4.17)

Заметим, что х может быть также выражена в форме х = (Ьл + т поэтому в общем случае имеется выбор переменных, через которые может быть выражена скайлинговая функция. В пределе больших N) существенную роль играет _1

только комбинация т + и существует редукция от скейлинга двух переменных к скейлингу от одной переменной ги. Это неверно для общей модели 0(АГ) и следовательно предел больших N включает в себя значительные упрощения в общей ситуации скейлинга в геометрии плёнки.

В более общем случае, если мы не ограничиваем наши рассмотрения сепара-трисным решением (4.10), мы получим обобщение на случай двух скейлинговых переменных (4.11)

С(<*,1),и>)Ь-1/М!р=Н. (4.18)

Результаты этого более общего утверждения и были представлены в [29] и проанализированы через эффективные экспоненты, которые, как оказалось, подчиняются всем обычным скейлинговым законам.

Тогда асимптотические формы уравнения состояния становятся: для Ь —> оо

= Я (4-19)

и для £—* 0

Г

(—) (1 + гу»^') = Н, (4.20)

(7(1'

где <5(с0 = {¿ + 2)К<1 - 2) и <2 = Л - 1. Предельные формы (4.19) и (4.20) находятся в согласии с обычной универсальной формой уравнения состояния 17 за исключением факторов с^^ и которые могут быть учтены через

переопределение <р и Н. Мы предполагаем выбор, при котором зависимости от размерности или от X не входят в наши переменные.

При критической температуре плёнки имеем т + Ь) = 0 так, чтобы величина Д (с?, Ь) измеряла сдвиг между объёмом и критической температурой плёнки. Если мы вернёмся к нашему анзацу (3.12), который был рассмотрен в [27], мы получаем

¡м.л-е^га. • («к

17G.S. Joyce, Phase Transitions and Critical Phenomena Vol. 2 edited by C. Domb and M.S. Green, Academic Press 1972.

Для температурной зависимости первоначального ЛГВ гамилтониапа (3.1) можно преодолеть трудности, связанные с ренормализадией процесса и получить

Тс(Ь)-Тс(оо) _ ^АКД)

Это предсказывает результирующую температуру плёнки ТС(Ь) через критическую температуру объёма, толщину плёнки и зависящий от системы "метрический фактор". Так как положительно мы видим, что критическая температура плёнки подавляется по отношению к объёмной температуре. Сдвиг Д(</, Ь) масштабируется со сдвигом экспоненты (1—2 = 1 (где ¡/(¿) корреляционная экспонента объёма) в согласии с результатом Барбера и Фишера 14. Более того, поскольку Ь<1 отклоняется на (1 = 3 мы видим, что для трёхмерной плётки критическая температура ТС(Ь) стремится к нулю и требуется более тщательный анализ. Прежде чем обсуждать специальный случай трёхмерной плёнки рассмотрим свободную энергию.

Путём интегрирования

Г(0,3) = ^С^) (4 23)

при выборе граничных условий

Г(о,т,)(0) = 0 для п = 1,2 и Г|Гс(оо)=0, (4.24)

можно получить, что универсальная форма для свободной энергии связана с компонентой Г = Т^ и определяется как

Г - и «г

1 - Ж ' (4'25)

где

д{с1,г)-ал = 0{<1,г)-г20{с1,г) (4.26)

и

а* ~-^--(4-27)

универсальное число, взятое из критической теории, определённое как

^¿ = ^{г|Гс(во)-Г|Гс(ь)}. (4.28)

Скейлинговая функция (для периодичных граничных условий) происходит от (4.1) и определяется следующим образом ^_2

д(<1,г) = + (4.29)

I

¿44

(^""'»'»Г^) /о - 1)

2

где

(4тг

Для <1 — 3 мы находим более простой результат

ГС^ч

^ = -7ГШ- (4"3°)

с а3 = С(3)/т-

Определяя

и = (4.32)

мы находим, что Г интерполируется между

Г = />¿(1 + (4.33)

для Ь —♦ оо и

Г - + + (4.34)

для г —» 0. Таким образом, скейлинговая функция (4.25) Г, даёт хорошую интерполяцию между скейлинговой функцией объёмной свободной энергии для ¿-мерной и ¿'-мерной системами. Тем не менее, имеется изменение в амплитуде скейлинговой функции и сдвиг (4.28). Это даёт отношения величин, которые должны быть измеряемыми, универсальными, и полностью характеризующими систему.

Около верхней критической размерности <1 = 4 сепаратрисное решение исчезает т.к. объёмная фиксированная точка стремится к нулю. Величина Л = 0 тоже является фиксированной точкой в выражении (4.8), таким образом это не универсальный кроссовер для верхней критической размерности. Тем не менее, когда мы сохраняем логарифмические поправки к скейлингу, мы получаем почти универсальную форму сферического условия

г2 г2 \ а2 1 1

с \1) — (т + + у2)£2 и г0 = кЬ. Микроскопическая шкала к остается после ре-нормализации процесса. Мы получаем это полагая го > 1 и 2 < г0. Аналогично, скейлинговая функция свободной энергии даётся выражением

г4 г2 1 (а2 + -г2} 1

са4 = —1/45. Для т —> 0 с фиксированным X мы получаем трёхмерный результат, и для X —► оо связь принимает вид

(Т + Ф2)=-

1

(4г)2

(4.37)

тогда как Г имеет форму

г Л^п ) т\ = 647Г2 ~

(4.38)

Для й стремящегося к трём, мы видели, что критическая температура плёнки стремится к нулю т.к. Ь^ расходится, имея простой полюс при й = 3. Это рассуждение не вполне строго, т.к. сгл-л также расходится имея простой полюс т.е. фактически мы имеем сокращение полюсов между Ьд и 0,~1(<1, г2). Строгий анализ даёт

ОМ = -£-¿1*11-.-'],

и мы получаем универсальную форму сферического условия в виде

(4.39)

(4.40)

в согласии с Барбером и Фишером,14 где рассмотрен случай нулевого поля, Н = 0. Из (4.40) видно, что

6(3, и>) = .{21п

е2тш + \/е47ГШ + 4

Г

(4.41)

где удобно ввести ш = (т + Тогда (4.41) даёт универсальную форму трёх-

мерного уравнения состояния в виде

2

21п

„2 ™

+ л/е4™ + 4

Аналогично (4.25) с (4.31) и (4.41) даёт

Г =

ЗтгХ3

1п

е2™ + л/е4™ + 4

1 3

| +2

■у/в(3,«/)

¿У

е" — 1

(4.42)

(4.43)

Для X —> оо имеем ю —► оо и получаем трёхмерную скейлинговую функцию, (4.19) обсуждавшуюся раннее. Для фиксированного X с г —+ 0 из (4.40) получаем

V) = —- 1п г Ъ

(4.44)

тан что двумерный критический режим определяется пределом т —► —со (критическая температура плёнки стремится к нулю) и мы находим

т = (4.45) Ь

Уравнение состояния в пределе имеет вид

е4!г(т(х,)+52)~ _ а где г(Х) = г — —— 1п£ (4.46)

в согласии с Барбером и Фишером. 14

Креч и Дитрих 18 рассмотрели универсальные амплитуды Казимира. Эти амплитуды соответствуют определению

Арег(сг>^)= ¿,1Г|т=Г1(во), (4.47)

где Г скейлинговая функция свободной энергии.

Креч и Дитрих 18 вычислили в е-разложении для произвольного N амплитуду Казимира Арег(сНаши результаты для скейлинговых функций в пределе больших N дают амплитуды для всех с/ < 4. В пределе больших N удобно ввести амплитуды на компоненту

<г) = иш (4.48)

Х ' ЛГ-.00 N у

Другой амплитудой играющей определённую роль в нашем анализе, является г, которая есть отношение Ь к поперечной корреляционной длине плёнки, вычисленное при объёмной критической температуре гс (т.е. гс это г, вычисленное при объёмной критической температуре). Поэтому г, вычисленное при го = даёт

z^2c{d)=Q(d,Ьd). (4.49)

Оба .гс(</) и с(ё) являются универсальными амплитудами для геометрии плёнки. Из приведенного выше анализа в предела больших N мы имеем [29]

с№ = \(<в(<1,ге)-<ц). (4.50)

Из результатов [29] следует что гс{в) даётся решением

Г(^) d_2 2 Г qd~2 dg

°-(4vYßz +(4w)(«£-1>/3r(ä=i) /0 (4'51)

которое даёт

1 с00 „d

c(d) = __i_Г __i4 52)

18M. Krech and S. Dietrich, Phys. Rev. A46 1886 (1992); Pkys. Rev. Lett. 66 235 (1991); M.Krech, The Casimir Effect in Critical Systems, World Scientific, 1994).

Рис. 2: Отношение толщины плёнки к корреляционной длине х — вычисленное при объёмной критической температуре как функции размерности с/, от нижней критической размерности до верхней критической размерности <1 = 4.

Для <1 = 3 легко найти явный вид для этих двух амплитуд. Мы находим, что величина , которая численно равна гс = 0.962424, довольно

близка к единице как интуитивно ожидалось. Это даёт амплитуду Казимира

1Г

1т Уо

¿у

V

е»- Г

что численно равно с(3) = —0.153051.

Амплитуда из е-разложения 18 (е = 4 — даётся выражением

(4.53)

(4.54)

где С'(4) = 0.068911 и у = 0.577216, (т.е. линия се{<1) - -0.1097 + 0.0905(4 - ¿)). Если сравнить величину для с(3) с соответствующим числом, подставляя просто е равным единице в се(Л), найдем се(3) = —0.0191517. Заметим, что они сильно отличаются друг от друга.

Более полный анализ амплитуд гс((1) и с(с1) представлен в графической форме. Амплитуда ¿С(с1) приведена на рис. 2 для <1 между 2 и 4. Из рисунка 2 видим, что хс стремится к нулю, когда <1 стремится к верхней критической размерности (/ = 4. Фактически гс стремится к нулю по степенному закону с показателем Асимптотическая форма вблизи <1 — 4 даётся выражением

М)

/

4тг2(4 - (1)

(4.55)

-0.1

с{й)

-0.45

-0.15

-0.25

-0.35

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.55

J_1_I_1_I_I_1_I.

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

г

Рис. 3: Амплитуда Казимира с (в.) как функция размерности (1, от нижней критической размерности до верхней критической размерности й — 4.

Тем самым, видим, что гс возрастает почти до единицы, когда понижается размерность, имеет максимум и далее стремится к нулю на нижней критической размерности <1 = 2.

Исследуя универсальную амплитуду Казимира с(<1), получаем кривую показанную на рисунке 3. Мы видим, что в непосредственной близости к <1 = 4 амплитуда с((Г) является убывающей функцией с возрастающей размерностью <1 в согласии с е-разложением. Тем не менее, при уменьшение (I амплитуда с(<1) имеет максимум (см. рисунок 4) прежде чем уменьшиться до своего трёхмерного значения и для нижней критической размерности <1 — 2, она окончательно стремится до с(2) = —.523, что сравнимо с амплитудой свободного скалярного поля.

Если мы рассмотрим амплитуды Казимира с(<1), как основной вклад в 1 /А^-разложении для конечных N, то имеем исходную оценку для трёхмерной модели Изинга в виде с, {3) = —0.153051, которая удивительно близка к результату Креча 19 по методу Монте-Карло для модели Изинга с;>1пДЗ) = —0.1526 ± 0.0010. Это, конечно, возможно случайность, тем не менее может существовать более глубокая причина для удивительной близости этих чисел. Соответствующий результат е разложения 18 даёт с,1Мз(3) = —0.11. Для ХУ (тУ = 2) и модели Гайзенберга (Лг = 3) е разложение 18 даёт сху(3) = —.10 и сЯе1>(3) = —.09, а предел больших N равен с(3) = —0.153051. Однако, сравнение £ разложения для предела больших N, продолженными к а! = 3, с точными результатами заставляет сомневаться, что результаты е разложения достоверны для размерности д, = 3.

19М. КгесЬ, РЬу*. Rev. Е53 (1996) Ь арреаг.

-0.1078 -0.108 -0.1082 -0.1084 -0.1086 с(<0-О.Ю88 -0.109 -0.1092 -0.1094 -0.1096 -0.1098

3.8 3.85 3.9 3.95 4 .

d

Рис. 4: Амплитуда Казимира c(d) для размерностей d в окрестности верхней критической размерности d = 4.

Резюмируя заметим, что £ разложение Креча и Дитриха 18 даёт надёжную асимптотическую форму амплитуды c(d), только в непосредственной близости к d = 4, и имеется значительное отклонение c(d) от ce(d) даже для б = 0.1 Для того, чтобы найти достоверные результаты из е разложения необходимо использовать более высокие порядки разложения и пересуммировать результирующие ряды.

Может показаться удивительным, что е разложение работает даже для инфини-тезимальных е. Основной причиной того, что оно работает, является тот фант, что zc(d) стремится к нулю вместе с и поэтому при объёмной критической температуре система далека от трёхмерного критического режима. То же самое получается для нижней критической размерности, где нет кроссовера к размерностному редуцированному критическому режиму

5 Двухпетлевой кроссоверный скейлинг

Существующими методами невозможно найти точные скейлинговые функции для O(N) модели (3.1) с произвольным N и поэтому приходится прибегать к теории возмущений. Существуют несколько различных подходов к этой проблеме. Один из возможных путей это разложение вблизи больших N, по величине 1/N. Этот подход ещё не развит для размерностного кроссовера и существует надежда, что этот недостаток будет устранен в скором будущем. Другой более прямой подход это построение теории возмущений вблизи гауссовой модели разложением по константе взаимодействия А- Этот подход был развит в серии статей [12, 13, 21, 22, 23, 27] в течение нескольких последних лет.

Наше рассмотрение для простоты будет ограничено критической изохорой, где Тр = 0. Подходящей константой взаимодействия, по которой может быть реализована ренормализационная теория возмущения, является плавающий параметр к [12, 13, 20], который, как обсуждалось ранее, выбран таким образом, чтобы квадратичный член /?(Л,г) имел единичный коэффициент. Эта же константа, была приведена в предыдущем разделе для предела больших N. Вильсоновские функции (Л,г) и 7д(/ц г) могут быть разложены в ряд по Л в виде

-к(М)= £ (5л)

1с=1~

где коэффициенты у\к\г) могут быть получены из теории возмущения. Найденные ряды являются асимптотическими, а не сходящимися, поэтому необходимо применить некоторую дополнительную технику пересуммирования для того, чтобы извлечь информацию о них. Подобные ряды были найдены до членов порядка Л5 Бейкерем, Никелем, Грином и Мейроном 20 для трёхмерной изинговой системы (типа N = 1) и пересуммированы с использованном техники Паде-Бореля для того, чтобы получить хорошие результаты для критических индексов при (1 = 3. Аналогичные ряды были изучены для <1 = 4 Казаковым, Тарасовым и Ширко-вым, 21 основанной на методе Владимирова, Казакова и Тарасова 22 и привели к хорошим результатам е-разложения для критических индексов.

Нетрудно увидеть, что коэффициенты 7,^ (г) для размерностного кроссовера, интерполируют между коэффициентами ¿-мерной объёмной системы и коэффициентами = <1 — 1-мерной объёмной системы при изменении г от бесконечности до нуля. До сих пор, однако, разложения для генераторных функций РГ являются слишком короткими. Из знания рядов с постоянной размерностью и рядов с е-разложением мы можем построить довольно точные кроссоверные функции скей-линга. Более того, при наличии более точных экспериментальных результатов у метода нет в принципе препятствия, которое мешает получению скейлинговых функций с любой наперёд заданной точностью. Для того, чтобы извлекать информацию из упомянутых рядов, мы следуем подходу конечномерного разложения и используем [2/1] Паде-аппроксимации для пересуммированя РГ генераторов в виде

к

ТИ*.') (N+8)1 + ^(АК«) - «))Ь* {5А)

2°G.A. Baker, B.G. Nickel, M.S. Green and D.I. Merion, Phys. Rev. Ltit. 36 (1976) 1351.

2lD.I. Kazakov, O.V. Tarasov and D.V. Shirkov Theor. Mai. Fiz. 38 (1979) 9.

"A.A.. Vladimirov, D.I. Kazakov, and O.V. Tarasov, ZIi. Eksp. TheoT. Fiz. 77 (1979) 1035.

где /¡(с1, г) и /2(^,2) вместе с е(г1, г) являются основными блоками нроссовер-ных скейлинговых функций, которые не зависят от N. Исходные ряды без Паде-пересуммирования могут быть найдены также разложением 1/(1 + хК) ~ 1 — хИ. Уравнение потока для константы связи к имеет вид

ЭН = ДМ

да

(5.5)

= -e(d, z)h + 7х(Л, z)h.

Решение (5.6) с 7\(h,z) заданным выражением (5.2) может быть использовано в качестве параметра разложения для вычисленных других характеристик системы. Для 3 < d < 4 и произвольного N существует сепаратрисное решение уравнения (5.6). Это решение не отличается качественно от решения, полученного в пределе больших N. Функции e(d,z), fi(d, z) и /¡(d, г) являются основными блоками теории. Полная их форма для произвольных d вычислена в [23], но она сложна и не приведена здесь.

Пертурбативные ряды (5.1) имеют ту же самую основную структуру, что и (5.2), (5.3) и (5.4) для более широкого класса различных кроссоверов и, как обсуждается в [23], единственным объектом меняющимся внутри этого класса является специальная функциональная форма e(d, г), fi(d,z) и f?(d, z), а также меняется и смысл z.

Функция e(d, z) может быть рассмотрена как мера "эффективной размерности" системы, так как она изменяется от 4—d до 4—d' при изменении z от бесконечности до нуля. Численное выражение такой эффективной размерности в размерностном кроссовере было найдено Новотным. 23 Функции /1 и /2 для произвольного d и рассмотренных кроссоверов могут быть найдены в [22, 23].

Выражения для /i(4, z) и /2(4, z) с d = 4 становятся особенно простыми,

е(4,*) = l-*^ln(£>-3),

Л^тГ^Л* 2т2)+ miwim, + ш2 ))

Л(4,а) = 2

Л] ,п3

0Е>)2

£

М3т 1

/»(4,*) = 4

(Е*

(5.6)

(5.7)

(5.8)

где

ГП{

= <1

(5.9)

23М. Novotny, Phys. Rev Lett. 70 (1993) 109.

П

47Г 1

ти = + (5.10)

М — 7711+7712 + 17112. (5-11)

Графики зависимости е(4, г), /1(4,2) и /2(4,2) от — 1п(г) приведены на рис. 5.

Это сепаратрисное решение исчезает при 4=4 вследствие исчезновения объёмной неподвижной точки при этой размерности. Но имеется кроссовер от логарифмических поправок типичных для высшей критической размерности к универсальным экспонентам трёхмерной системы. Эта физическая ситуация представляет собой кроссовер, который как мы предполагаем, существует при переходе от квантовой к классической системе [22]. Удобно привести результаты в графической форме на рис. 6-9. На всех рисунках горизонтальные оси — 1п(г). Различные кривые соответствуют: N = 0, случаю, который описывает класс универсальности различных полимерных систем, N = 1 описывает изинговый класс универсальности, N = 2 соответствует ХУ классу универсальности, гейзенберговскому классу универсальности соответствует N = 3 и наконец, случай N = оо возвращает нас к сферической модели или классу универсальности Бозе-Эйнштейна.

На рисунках ясно видны логарифмические поправки к скейлингу в объёме (левая часть кривой). Все кривые построены с граничными условиями: к = 1 и 1п(го) = 20. Изменяя /10 при фиксированном начальном значении г0, мы видим, что огибающая кривых стремится к той же самой неподвижной точке при 2=0 (правая часть кривой). Решение (5.6) с Паде-пересуммированным 7л(А, г) (5.2) при этих начальных значениях построено на рис. 6.

На рис. 7 построена 7^,(2), под которой понимается функция 7^(Л, г) вычисленная на решении (5.6) с Паде-пересуммированным 7д(Л,2) (5.2). Эта экспонента не является монотонной функцией /V, она тождественна равна нулю для N — —2 и N = оо и достигает максимума для некоторого промежуточного значения. Это наименее точная среди наших экспонент и её пик появляется при N = 1, хотя более точные значения для этой экспоненты предполагают, что пик появляется вероятно при /V = 3.

На рисунке 8 построена 7^2(2). Это выражение также вычислено на (5.6) с Паде-пересуммированным 7д(й,2) (5.2).

На рисунке 9 мы построили 'Ух(г). Дополнительный случай N = —2 добавлен сюда, так как в случае размерностного кроссовера он отличается от гауссовой модели, ибо 7л для последнего случае равна нулю, тогда как для предыдущего она отлична от нуля, будучи мерой изменения основного несущественного оператора. Заметим, что 7л является довольно устойчивой к изменениям Ы, изменяясь очень мало при изменении N от —2 до оо. Заманчиво предположить, что дисперсия по отношению к N является артефактом аппроксимации и фактически точный результат не зависит от N.

— 1а г

Рис. 5: Элементарные кроссоверные функции е(4,г), /1(4,2) и /2(4, г) для уравнений РГ в размерности четыре.

— In 2

Рис. 6: Решение уравнения потока для константы связи h при N = 0,1,2,3 и N = оо. Начальная точка для h выбрана ho = 1 при — In г = —20 независимо от N. Величина неподвижной точки h как функция от N имеет максимум около N ~ — 1 и убывает до нулю при N = —8.

— 1П2Г

Рис. 7: Функция увычислена при решении уравнения потока РГ /г для 4-мерной плёнки с N = 0,1,2,3. Зависимость от N имеет максимум. Кривые наводят на мысль, что пик находится при N = 1. Тем не менее, более точные результаты для экспонент дают максимум при ЛГ = 3.

Ъг

Рис. 8: Функция 7(к, г) вычисленная при решении уравнения потока РГ для Л с N = 0,1,2,3 и N = оо.

О -1-1-1-1-1-u

-15 -10 -5 0 5 10 15

— In z

Рис. 9: Функция 7х(Л,г) вычисленная при решении уравнения потока РГ для h с N = -2,0,1,2,3,оо.

6 Другие кроссоверы, обсуждение и заключение.

Проблема теории поля при конечных температурах в её эвклидовой формулировке точно соответствует критическим явлениям на многообразии R3 х S1. В работе [26] изучены ренормгрупповые уравнения, где параметром потока является размер S1. Это даёт достоверные предсказания для критической температуры и других неуниверсальных амплитуд, в критическом режиме, в терминах параметров теории, определённых при нулевой температуре. В окрестности критической точки, где симметрия восстанавливается, масса и взаимодействие убывают непрерывно около Тс и ведут себя как

(/? )_1|т - Tcr(d'> и /±|Г - Тс |»<*К«-0

соответственно, как следует из теории критических явлений (и в согласии с [12, 13]). Здесь, d' является редуцированной размерностью в критическом режиме, v и т] стандартные d' экспоненты, Ji и амплитуды, знаки ± зависят от того сверху или снизу мы приближаемся к критической температуре. Для теории, N = 1 (3.1) и d = 4 имеем d' = 3, в этом случае наши двухпетлевые результаты дают v = 0.639 и tj = 0.0329 [22, 23] тогда как лучшие имеющиеся оценки для этих экспонент являются v = 0.6310 ± 0.0015 и ц = 0.0375 ± 0.0025 м.

J4J. Zinn-Justin, Quantum Field Theoty and Critical Phenotnena, Oxford University Press, 1992.

Амплитуды выше и ниже критической температуры отличаются друг от друга, тем не менее определённые их отношения подобно критическим индексам являются универсальными числами. Используя уравнения РГ с переменой потока Т = 1 /£, мы нашли [26], что отношение амплитуд У*//]- = 1.92, что хорошо согласуется с результатом Лию и Фишера, 25 которые нашли 1.96 ± 0.01, используя высоко-температурный ряд. Этот результат может быть сопоставлен с классическим (не учитывающим критические флуктуации системы) результатом 1.41 и 1.91 из е разложения 26 до порядка е2 и для с = 1. Другое основное отношение амплитуд, которое изучалось нами, это отношение связанное с двухточечной вершинной функцией Г'2' при пулевом импульсе. Вблизи Тс эта вершина имеет вид С±|7Т — Тс|7 и мы нашли, что С+/С~ — 4 тогда как лучшие оценки Лию и Фишера дают С+/С~ = 4.95 ± 0.15.

Можно также рассматривать дальнейшие усложнения, рассматривая эффекты кривизны многообразия Л4, которые существенны особенно при изучении фазовых переходов в космологии. Предел больших N модели О(Ы) с М-, являющейся Вселенной Эйнштейна, Б3 х К1, изучены в [1, 2]. Пространство Де Ситтера (с эвклидовым продолжением Б4) рассмотрено в [5]. Эти многообразия фактически не допускают фазовых переходов, благодаря конечному объёму 53 и 54 соответственно. Вообще в искривлённом пространстве времени параметр г (х) в (3.1) может зависеть от локальной кривизны:

г(х)=К + Нх)+Щх), (6.1)

где £ является параметром, который определяет отношение силы взаимодействия к кривизне. Если мы не изменяем £ при изменении N, он выпадет из предельного выражения, и мы можем здесь считать его равным нулю.

Ниже высшей критической размерности для Б* мы можем опять извлечь универсальную скейлинговую функцию свободной энергии. Для Б1* с 2 > <1 < 4 окончательная функция скейлинга свободной энергии с помощью диаграмм так же как и в (4.26) даётся

Г --^з-, (6.2)

где г = та и т2 связны с Гр^ точно так же как и в разделе 4. Связь опять даётся выражением

(т + »5у-а = -О (б*,*), (6.3)

где г оценивает отклонение от объёмной критической температуры. Для ¿-сферы собственные значения оператора Д + тп2 даются [5] формулой

25А. Л. Ьш ап<1 М.Е. КвЬег, РНузиа А156 (1989) 285.

26Е. ВгЫп, Л .С. Ье СиШои ап<1 I. гшп-ЛивЫп, РКуз. 1М. 47А (1974) 285.

и появляются с вырождениями

ГГ.Л- Г(/ + ё — 1)(2/ + с? — 1) '

Общая структура того что произойдёт в этом случае, может быть получена рассмотрением предела больших N модели 0(ЛГ) на Б3, где могут быть получены

простые выражения в окончательной форме. В этом случае мы находим:

= <6'6)

(6.7)

Эта сумма может быть представлена в замкнутом виде и после интегрирования даёт

[ -5? ^ ¿УУ2 «*Ь(ту) + ^ для > 1 0(®3'= { (6.8) I 57 /о^ + для г2 < 1

откуда дифференцированием могут быть получены другие диаграммы. При ю = (т + ф2)а связь приобретает вид

С

V 41

1 соЬЬ(тл/г3 — 1) при г2 > 1

,_ ,__(6-9)

¿■\Л - 212 со1(х\/1 - г2) при г2 < 1

и мы видим, что аналитическая форма меняется, когда г минует единичное значение. Подобное явление появляется для антипериодических условий и граничных условий Дирихле в геометрии плёнки [23]. В окрестности г = 1 мы можем разложить ш в ряд

который ведет себя регулярно в окрестности этой точки, что также следует из разложения в ряд выражения (6.7)- Если мы рассмотрим критическую

изохору, где (р = 0, увидим что при объёмной критической точке, где ю = О, л2 = 3/4 и находится на нижней ветви. Таким образом, отношение критических амплитуд в этом случае есть гс(Б3) = Следовательно при объёмной критической температуре имеем

т> = ± (вЛ1)

Интересно, что это значение точно соответствует выражению Д + т2, которое является трёхмерным конформным лапласианом. На произвольной размерности

конформный лапласиан имеет вид Л + £(«0Я, где = , и II является

скалярной кривизной многообразия. Для скалярная кривизна задаётся выражением

Л = Можно предположить, что г2с(в) для более общего класса сим-

метричного пространства времени подобным же образом связана с конформным лапласианом этого многообразия. К настоящему времени ответ на этот вопрос неизвестен.

Амплитуда Казимира, ассоциированная с функцией скейлинга свободной энергии, имеет вид

<1уу*с<Л(ку) + ^1. (6.12)

Интересно, что интеграл может быть вычислен точно [25] и даёт

з 1н2 3«3) С(Э ) = Тб^~ 32^' (6ЛЗ)

т.е. неожиданно малую величину с(83) ~ 3.232 х 10_3.

Если дальше уменьшать т, мы сможем уменьшить г, при стремлении г к —оо находим

™2 ~ (6Л4)

где П3 = 2ж2а3 — объём трёхмерной сферы. Если мы рассмотрим ненулевое внешнее поле Н, которое индуцирует ненулевое значение ф, мы найдём полный эффективный потенциал из скейлинговой функции (6.2), где зависимость ф опре-. деляется выражением (6.9).

По существу, явление подобное описанному выше, проявляется в более общем классе пространства времени [3, 5, 6, 7], где "эффективная инфракрасная размерность" равна единице или двум. Можно рассматривать ещё более общие ситуации [10, 11] с аналогичным физическим содержанием.

Модели похожие на ту, которая рассмотрена в разделе 2, изучены в [25] для пространства линзы Ь(р) = З3/2Р, где выведены собственные значения и вырождения оператора Лапласа на нулевых и единичных формах и использованы, вместе с методом, ^-функции для определения операторных детерминантов, для того чтобы вычислить сингулярную часть свободной энергии этих моделей. Чисто топологический объект построен суммированием

(6.15)

р—о

где Ар — лапласиан р-формы. Величина Т называется аналитическим кручением Рай-Сингера и была рассмотрена для пространства линзы в [25].

Топологические рассмотрения также можно распространить на корреляционные функциям. В разделе 2 рассмотрен предел цилиндрической геометрии тора, в частности, скейлинговая функция свободной энергии модели Изинга получена с использованием её эквивалентности с моделью димеров на декорированной решётке. Можно, однако непосредственно изучать эту модель вне связи с моделью димеров. В частности, коррелятор энергия-энергия является довольно простой корреляционной функцией. Эта корреляционная функция на квадратной решётке, вычислена в [24] и является формой Лэдлоу Де Витта даже на решётке.

Ренормгруппа в произвольном пространстве-времени рассмотрена в [2] где развиты вычислительные методы для неоднородного случая при слабо изменяемых фоновых полях. Эти методы были также развиты и использованы в КЭД в случае проводника [8], и дают разложения максимального порядка со слабой неоднородностью [9], полученные к данному моменту.

Основные результаты диссертации

1. Показано, что в скейлинговом пределе полные поправки в геометрии тора от конечного размера объёмной свободной энергии инвариантны относительно модулярной группы.

2. Получена скейлинговая функция свободной энергии для модели Изинга на произвольном гладком торе.

3. Найдена декомпозиция вершинных функций модели О(М) на более простые блоки даже в случае N = 1.

4. Построен новый мощный теоретико-полевой РГ метод, для прецизионного определения скейлинговых функций.

5. Установлено, что сепаратриспое решение кроссоверной ренормгруппы характеризует два множества нетривиальных критических индексов, и универсальный кроссовер между ними.

6. Вычислены точные выражения для скейлинговых функций универсальной свободной энергии и уравнения состояния в геометрии плёнки.

7. Получены амплитуды Казимира и универсальное отношение толщины плёнки к поперечной корреляционной длине плёнки, вычисленное при объёмной критической температуре. Даны сравнения с результатами других подходов.

8. Уравнения потока и генераторы кроссоверной РГ получены в двухпетлевом приближении. Показано, что для размерности с£ = 4, когда сепаратрисное решение исчезает, аномальные размерности являются кроссовером от логарифмических поправок к критическим показателям для <1 = 3.

9. Вычислена универсальная скейлинговая функция свободной энергии на кривых многообразиях, в частности в случае сферического пространства-времени.

10. Построено разложение для свободной энергии при слабо изменяемых фоновых полях, которое даёт к настящему времени поправку максимального порядка.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] "Symmetry Behavior in the Einstein Universe: Effect of Spacetime Curvature and Arbitrary field Coupling", D. O'Connor, B.L. Hu and T.C. Shen, Phys. Lett. 130B, (1983), pp. 31-38.

[2] "Effective Lagrangian for ХфА Theory in Curved Spacetime with varying Background Fields: Quasi-Local Approximation", B.L. Hu and D. O'Connor, Phy. Rev. D30, (1984), pp. 743-755.

[3] "Symmetry Behavior in the Static Taub Universe: Effect of Curvature Anisotropy", T.C. Shen, B.L. Hu and D. O'Connor, Phys. Rev. D31, (1985), pp. 2401-2424.

[4] "Quantum Field Theory in Curved Space and Finite Size Effects", D. O'Connor, University oj Maryland, (1985).

[5] "Infrared Behavior and Finite Size Effects in Inflationary Cosmology", B.L. Hu and D. O'Connor, Phys. Rev. Lett. 56, (1986), pp. 1613-1616.

[6] "Mixmaster Inflation", B.L. Hu and D. O'Connor, Phys. Rev. D34, (1986), pp. 2535-2538.

[7] "Symmetry Behavior in Curved Spacetime: Finite Size Effects and Dimensional Reduction", B.L. Hu and D. O'Connor, Phys. Rev. D36, (1987), pp. 1701-1715.

[8] "Nonlinear Effects in Quantum Electrodynamics and Superconducting Cosmic Strings", P. Amsterdamski and D. O'Connor, Nucl. Phys. B298, (1988), pp. 429-444.

[9j "bs 'Hamidew' coefficient for a scalar field", P. Amsterdamski, A. Berkin and D. O'Connor, Class, and Quantum Grav. 6, (1989), pp. 1981-1991.

[10] "Finite Size Systems", D. O'Connor, C.R. Stephens and B.L. Hu, Ann. Phys. 190, (1989), pp. 310-353.

[11] "Superconductivity in the Presence of an External Magnetic Field as a Finite Size System", D. O'Connor and C.R. Stephens, Phys. Rev. B43, (1991), pp. 3652-3655.

[12] "Phase Transitions and Dimensional Reduction", D. O'Connor and C.R. Stephens, Nucl. Phys. B260, (1991), pp. 297-336.

[13] "Critical Phenomena during a Dimensional Crossover", D. O'Connor and C.R. Stephens, J. Phys. A25, (1992), pp. 101-108.

[14] "A New Scaling Formulation for Finite Size Ferromagnets", D. O'Connor and

C.R. Stephens, J. Mag. and Mag. Mat. 104-107, (1992), pp. 300-302.

[15] "A New Approach to the Critical Behaviour of Systems Exhibiting a Dimensional Crossover", D. O'Connor and C.R. Stephens, J. of Magnetism and Magnetic Materials 104-107, (1992), pp. 294-296.

[16] "Dimensional Crossover, the Renormalization Group and Finite Size Scaling", Y. Kubyshin, D. O'Connor and C.R. Stephens, Renormalization Group '91, edited by D.V. Shirkov and V.B. Priezzhev, World Scientific, (1992), 80-95.

[17] "Decoupling of Heavy Masses in the Kaluza-Klein Approach", Y. Kubyshin,

D. O'Connor and C.R. Stephens, Quarks '92, edited by D.Yu. Grigoriev, V.A. Matveev, V.A. Rubakov and P.G. Tinyakov, World Scientific, (1993) pp. 359374.

[18] "Dimensional Crossover from Non-Renormalizability to Renormalizability", Y. Kubyshin, D. O'Connor and C.R. Stephens, Class, and Quantum Grav. 10, (1993), pp. 2519-2530.

[19] "Dimensional Reduction and the Non-triviality of \<f>4 in Four Dimensions at Finite Temperature", D. O'Connor, C.R. Stephens and F. Freire, Mod. Phys. Lett. A8, (1993), pp. 1779-1793.

[20] "Crossover Scaling: A Renormalization Group Approach", D. O'Connor and C.R. Stephens, Proc. Roy. Soc. 444A, (1994), pp. 287-296.

[21] "Dimensional Crossover and Finite Size Scaling Below TV', F. Freire, D. O'Connor, and C.R. Stephens, J. Stat. Phys. 74, (1994), pp. 219-238.

[22] "Effective Critical Exponents for Dimensional Crossover and Quantum Systems from an Environmentally Friendly Renormalization Group", D. O'Connor and C.R. Stephens, Phys. Rev. Lett. 72, (1994), pp. 506-509.

[23] "Environmentally Friendly Renormalization", D. O'Connor and C.R. Stephens, Int. J. Mod. Phys. A9, (1994), pp. 2805-2902.

[24] "Correlation Functions on Cylinders", D.B. Abraham, D. O'Connor, A.O. Perry and P.J. Upton, Phys. Rev. Lett. 73, (1994), pp. 1742-1745.

[25] "Determinants of Laplacians and the Ray Singer Torsion on Lens Spaces", C. Nash and D. O'Connor, J. Math. Phys. 36, (1995), pp. 1462-1505.

[26] "Critical Temperature and Amplitude Ratios from a Finite Temperature Renormalization Group", M.A. van Eijck, D. O'Connor and C.R. Stephens, Int. J. Mod. Phys. A23, (1995), pp. 3343-3358.

[27] "The Specific Heat of a Ferromagnetic Film", F. Freire, D. O'Connor and C.R. Stephens, Phys. Rev. E53, (1996), pp. 189-201.

[28] "Modular Invariance of Finite Size Corrections and a Vortex Critical Phase", C. Nash and D. O'Connor, Phys. Rev. Lett. 76, (1996), pp. 1196-1199.

[29] "Dimensional Crossover in the Large N Limit", D. O'Connor, C.R. Stephens and A. Bray, DIAS-STP-95-25.

[30] "Modular Invariance, Lattice Field Theories and Finite Size Corrections", C Nash and D. O'Connor, DIAS-STP-96-09.

[31] "Casimir. Amplitudes in Flat and Curved Spacetimes", D. O'Connor, DIAS STP-96-20.

Рукопись поступила в издательский отдел 4 июня 1996 года.