Квантово-механические модели релятивистического прямого взаимодействия системы N тел во фронтовойформе динамики. тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Г '' • Д 1 * -

2 о іиЛ Я"7

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. І.Франка

Па правах рукопису

шпитко

Володимир Єяічшоиич

КВАНТОВО-МЕХАНІЧНІ МОДЕЛІ РЕЛЯТИВІСТИЧНОЇ ПРЯМОЇ ВЗАЄМОДІЇ СИСТЕМИ N ТІЛ У ФРОНТАЛЬНІЙ ФОРМІ ДИНАМІКИ

01.04.02 — теоретична фізика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-млтемалігчних наук

Льпіп - 1397

Дисертацією є рукопис.

Робота виконанії її "

Інституті фізики конденсованих систем НАН України

Наукові керівники: академік НАН України, доктор

фізико математичних наук, професор ЮХНОВСЬКИЙ Ігор Рафаїлопич; доктор фізико математичних наук, .

ТРЕТЯІС Володимир Ішішшич

Офіційні опоненти: докюр фізико математичних наук,

професор ЛЕНДЬЕЛ Володимир Іванович;

кандидат фізико-математичних наук, доцент КЛЮЧКОВСЬКИЙ Юрій Богданович

Провідна організація: Інститут електронної фізики

НАН України

Захист відбудеться “ 4^ ’’червня 1997 р. о 15,і0 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 04.04.08 при Львівському державному університеті ім.І.Франка за адресою: 290005, м.Львів, вул. Драгоманова, 50, аудиторія N 1.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Львівського державного університету ім. І.Франка (м.Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий ] 997 р.

Вчений секретар

спеціалізованої Ради Д 04.04.08 ■'

доктор фізііко-математичних наук

професор - ІЛМРХ- Л.Ф.Блажйєвський

і1 ^

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми досліджень. На даний час залишається актуальною проблема побудови послідовного релятивістичного опису систем багатьох частинок із взаємодією на основі релятивістичної теорії прямих взаємодій. Така теорій описує релятивістичні системи частинок Пуанкаре--інваріантним' чином, .використовуючи лише скінченну кількість ступенів Вільності!. Вона повинна бути розрахунковою альтернативою до локальної теорії ноля, зокрема, в обчисленнях релятивістичних ефектів для зв’язаних систем (атоми, ядра, гадрони). Доцільність релятивістичної теорії прямих взаємодій зумовлена тим, що за не дуже високих енергій релятивістичні кінематичні ефекти можуть проявлятися швидше, ніж процеси народження та знищення. З іншого боку, така теорія є необхідною базою для побудови релятивістичної статистичної механіки. Загальне формулювання цієї теорії розроблено досить грунтовно і несуяеречлипо у різних формалізмах і підходах. Але кожен з варіянтів теорії розвипався, як правило, незалежно один під одного без достатнього аналізу взаємозв’язку мілс ними, не кажучи зже про побудову послідовної схеми переходу від класичного до квантового опису. А це необхідно для побудови несуперечливої та замкненої релятивістичної теорії прямих взаємодій як єдиної теоретичної схеми розрахунку конкретних явищ природи.

Релятивістичне обмеження на швидкість поширення взаємодії робить можливим існування різних форм опису системи взаємодіючих частинок, що відрізняються означенням одночасності! просторово розділених подій. Довільна просторово-подібна (і навіть ізотропна) гіперповерхнятз просторі Мінковського може задавати відношення одночасності!. Як правило, група Пуанкаре Р(1,3) не б групою автоморфізмів сім’ї гіперноверхонь одночасності!. Це приводить до того, що лагранжіяни взаємодії залежать від по хідних координат частинок всіх Порядків (R.P.Gaida, V.I.Tretynk. Acta Phys. Pol. Bll (1980) 502). Рівняння Ойлера-Лагранжа дли таких систем в диферепційпими рівняннями нескінченно високого порядку. Математична теорія аналізу та розв’язків таких ріп нянь далека від завершення. Тому для лагранжевих систем із

З

похідними нескінченного порядку не існує до сих пір послідовного способу побудови гамільтонової механіки. Запропоновані схеми гамільтонізації не можуть обійтись без апроксимацішшх процедур. Це ускладнює створення відповідної квантової теорії. Зате великою перевагою лагранжевого підходу є його зв’язок з теорією класичних полів через формалізм інтегралів типу Фок-кера.

Структура алгебри Лі групи Пуанкаре така, що коли один з генераторів містить взаємодію, то й деякі інші теж повинні містити її. Кількість генераторів, вільних нід взаємодії, може бути різною для різних означень одночасности, Введення взаємодії в ті чи інші канонічні генератори алгебри Лі групи Р(1,3) відповідає вибору гамільтонової форми динаміки. Внаслідок теореми про невзаємодію (Currie D.G., Jordan T.F, Sudarshan E.C.G. Rev. Mod. Phys. 35 (1903) 350) канонічні координати не можуть співпадати з коваріянтними координатами частинок. Тому виникає проблема інтерпретації отриманих результатів у рамках гамільтоиопого формалізму.

Значна складність математичного апарату, невисокий рівень його наочности, відсутність достатнього взаємозв’язку між різними формалізмами і підходами ускладнюють безпосереднє використання релятивістичної теорії прямих взаємодій для иипчення релятивістичних ефектів у конкретних системах. Тому необхідним є створення на основі релятивістичної теорії прямих взаємодій цілісної теоретичної схеми, яка дозволяла б розрахунок тих чи інших фізичних явищ. Суттєву ланку такої схеми становить процедура переходу від класичного рівня теорії до квантового. У цьому контексті дослідження підносно простих точно розв’язуваних моделей може виявити характерні особливості релятивістичних систем, точки стикання з іншими підходами та слугувати доброю базою для розгляду більш реалістичних задач.

Метою роботи є побудова та дослідження квантово-механічного опису системи N тіл шляхом застосування різних методів квантування (правило Вайля та його узагальнення, метод динамічної групи) класичного гамільтонорого або лаґранжепого опису у двовимірній моделі фронтальної форми релятивістичної динаміки

ха аналіз точно розв'язуваних моделей.

' Наукопа новизна. У роботі вперше отримано унітарну реалі зацію групи Р(1,1), що підпонідае класичнії! канонічнії! реалізації алгебри Лі цієї груші для системи N. взаємодіючих частинок у фронтальній формі релятивістичної динаміки. Вперше розглянуто ряд двочастинкових релятивістичних моделей (6-подібна взаємодія, лінійна пзаемодія, осциляторонодібна взаємодія), для яких знайдено власні функції ха власні значення оператора квадрату повної маси системи М2. В цьому ж підході вперше досліджено та розв’язано задачу на власні значення для оператора квадрата повної маси системи N частинок із осциляторонодібною взаємодією. Показано, що правило квантування Вайля зберігав додаткові симетрії (крім Пуанкаро-інваріянтнос'тм), що пов’язані з інтєґровністю задачі.

Вперше розглянуто.квантування канонічної реалізації алгебри р(1,1) за допомогою узагальненого правила Вайля. Доведено, що вимога збереження комутаційних співвідношень цієї алгебри накладає обмеження на класи правил квантування. Показано, що можливі узагальнення правила квантування Вайля розпадаються на класи екпівалентдости. Зокрема, метод кваитуваїга : Вайля є представником цілого класу правил квантування, які приводить до однакових унітарних реалізацій групи 'Р{ 1,1). .

Таким чином, вперше показано, що умова Пуанкаре -іщіаріянт-ности не ліквідує до кінця неоднозначність процедури квантування. Показано, що використання різних методів квантування приводить до різних виразів для спостережуваних величин, а усунути неоднозначності можна за допомогою вимоги збереження додаткових алгебричних співвідношень, властипих даній системі.

Для двочастинкових систем із взаємодій, що допускають інтерпретацію в термінах безмасових полів цілого спіну побудовано та досліджено гамілі,тонове формулювання в параметричній формі. Вперше доведено від .утиість глобальної сквіпалентло<ліі між гамільтоновим та лагранжевим описами для таких систем. Запропоновано метод гладкого продовження світових ліній частинок у Ма для скалярної ■.а векторної взаємодій. Продемонстровано узгодженість такого способу продовження із.квантовими резуль-

татами. Для широкого класу взаємодій польового тип}' вперше побудовано гамільтонів опис о явній формі у другому наближенні за константою взаємодії а.

Вперше показано, що для взаємодій польового типу рівняння масової оболонки (для скалярної та векторної взаємодій у точному випадку, а для класу взаємодій польового типу в другому наближенні за а) є лінійним рівнянням на алгебрі Лі групи £0(2, Г). Використовуючи це, вперше побудовано квантово-механічний опис для таких систем, знайдено вектори станів в абстрактному гільбертовому просторі та спектри мас.

Практичне значення роботи. Результати дисертаційної роботи вказують шлях до послідовного кшштово-механічного опису систем взаємодіючих частинок із точним врахуванням релятивізму. Побудовані в роботі моделі можуть слугувати доброю базою для розгляду більш реалістичних систем. Результати дисертаційної роботи можуть використовуватися для опису релятивістичних ефектів в атомах, ядрах та інших частинкових системах, коли можна чнехтувати процесами народження та знищення; для побудови та дослідження феноменологічних моделей гадронів; у релятивістичній статистичній механіці. ’

На захист виносяться такі основні положення;

1. Правил о квантування Вайля класичного гамільтонового опису системи N взаємодіючих частинок у двовимірному варіянті фронтальної форми релятивістичної динаміки зберігав структуру алгебри Лі групи ІІуанкаре''Р(1,1).

2. Узагальнене правило квантування Вайля приводить до унітарної реалізації групи Т(1,1) лише за певних обмежені, на множину допустимих правил квантування.' '

3. Релятивістична система N частинок із осцилятороподібною взаємодією допускає точні розв’язки задачі на власні значення оператора квадрата повної маси. Використання для таких систем різних методів квантування приводять до різних-виразів для спостережуваних величин.

С»

4. Часоасиметричні взаємодії польового типу допускають побудову гамільтонового формалізму у параметричні» формі, а скалярна' та векторнії взаємодія —. у явному вигляді. Для векторної та скалярної взаємодій Гамільтоків опис дозволяв гладке продовження світових ліній п М2 за критичні точки. Для взаємодії! цього типу підсуши глобальна еквівалентність між лаґранжепим та гамільтонопим описами.

5. Рівняння маеопої оболонки для взаємодій польового типу має вигляд лінійного співвідношення на алгебрі Лі .w(2,1), що дозволяє дня йти алгебричним методом власні значення оператора квадрата повної масИ, побудувати власні стани та запропонувати тривимірні узагальнення отриманих результатів.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на Всесоюзній конференції "Теория представлении и группопые методы п физике” (Тамбов, 1989 р.), на міжнародній конференції ”Hadr.ons-94” (Ужгород, 1994 р.), на міжнароднії! конференції ’’Symmetry in nonlinear mathematical physics” (Киїц, 1995 p.), науковому семінарі ’’Проблеми релятивістичної квантової механіки системи частинок” у Львівському державному університеті ім. Ів. Франка (Львів, 1994 p.), а також на семінарах Інституту фізики конденсованих систем НАН України.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 9 робіт, які перелічено а кінці автореферату. У спільних публікаціях дисертантові належить розробка та дослідження основних елементів пёреходу від класичного до квантово-механічного опису, побудова дво- та iV-частинкових моделей з осціїлятороподібними взаємодіями, знаходження векторів стану в абстрактному гільберто-вому просторі та спектрів мас для систем із векторною та скалярною взаємодіями. Автором виконано розрахунки по квантуванню канонічної реалізації алгебри ^(1,1) за допомогою узагальненого правила Вайля, побудовано та досліджено гамільтонове формулювання для взаємодій польового типу в параметричній формі, побудовано гамільтонів опис в явній формі у другому наближенні за константою Взаємодії а.

Структура і об’єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, двох додатків, 29 рисунків та списку цитованої літератури. Робота викладена на 161 сторінці, місінь бібліографічний список, що має 122 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі коротко розглянуто основні підходи, на яких базується релятивістична теорія прямих взаємодій, обговорено проблеми, пов’язані з процедурою переходу від класичного рівня теорії до квантового, сформульовано мету роботи та основні положення, які виносяться на захист,

У першому розділі за допомогою квантування Ваґіля побудовано унітарну реалізацію групи Пуанкаре Р(1,1)

[Р+,Р-} = 0, \К,Р±] = ±іР± (1)

в гільбертовому просторі Нх — Ь2(Ш+,!ІЦн = ГІ^=[ ^0(Ро)), ЯКІЙ

відповідають наступні ермітові оператори

- N . Лг . Л' т2 і „

. іс = і^рад/дра, /’+ = £Ра,я_ = 2:-а + -г-і'. (2)

. а—1 а— 1 (4=1 Ра *+■

Оператор V є інтегральним оператором:

0'ф)(р) = /<^£(р')У(р>р')ф(р') і ' (3)

що визначається ядром

НР,Р') = У(Р\Р) П \/Г2Ра)(2Р') . . (4)

0=1 '

ДЄ

• V*. л-т- К){у (гЬ±й.^) * • И

Тут гаЬ = ха-хь, г — Гіг. При цьому загальні властивості перетворення Ван ля гарантують, що класичною межею побудованих операторів будуть,канонічні генератори. Оператори (2) визначають

в

оператор квадрати поїзної маси системи М2 = Р+Р-. Після переходу до змінщ.х Р+, ?) — (р\ —рч)/Р^., цю схему застосовано для ряду двочастинкових моделей (Л-подібпа взаємодія, лінійна, взаємодія, осиилятороподібна взаємодія), для яких знайдено власні функції та власні значення оператора квадрат}' повної маси М2. Розглянуто квантування канонічної реалізації алгебри Пуанкаре р(1,1) за допомогою узагальнення правила Вайля (Agarwal G.S., Wolf Е. Phys. Rev. D2'(1970) 21G1). Доведено, що вимога збереження комутаційних співвідношень цієї алгебри накладає обмеження на класи правил квантування.

Класичному потенціалу V = wu(r/)p2 може співставлятись дво-параметрична сім’я операторів

V = из1 [tt(r;)/>2 + iti(~2i"f + 1)и'(і})р + ft2(t7 + А)м''(г})] , (С)

де 7, Л — дійсні числа, залежні від способу квантування.

Вимога збереження комутаційних співвідношень алгебри Лі групи Пуанкаре Р(1,1) хоча і накладає обмеження на класи правил квантування, але не ліквідує до кінця неоднозначність процедури квантування.

У другому розділі за допомогою правила Вайля досліджено задачу на власні значення для оператора квадрата повної маси системи N частинок із оецнлятороподібною взаємодією

17 = £ Е ’їьРаРь, и1 > 0. (7)

а<Ь

Правило квантування Вайля зберігав додаткові симетрії (крім Пуанкаре-інваріянтности), які пов’язані з інтеґровністю задачі і приводять до N — 2 збережуваних величин А,- в інволюції: {А,-, А*.} —

0, А^ = М2, і, к = 2, №•- 1. Переходом до нових канонічно спряжених змінних

7. = ; Pa = P(o+l)+(Qa - *«+і);Р+ = Рн+\Q = Qn, (8)

^ (л+1)+ ■

{m} = <W {<г,Р+} = 1, . а,ь = ї^1, (9)

де Ра+ = £?=і Рі, ~ Р«+ £“=] У Роботі знайено власні функції та спектр оператора квадрата повної маси системи. Останній має

МІ =

Е ,п« +

ц~1

иН*

Т.Ы+ 1/2)

Ь=1

+

.(/V- \)и2И1

4 с4

(10)

до щ = 0,1,2,........ На прикладі двочастинкової системи з осци-

лятороподібними взаємодіями показано, ’ідо викоїшстання різних методів квантування приводить до різних виразів для спостережуваних величин. Тик для двопарамегричної сім’ї впорядкувань операторів (0) отримано спектр мас

------------ 2

„ 1і1иі'г'у1 ЇШ '

Iі-----

МІ =

+

К

4с'(

(1+8А,-1бт). (И)

Усунути неоднозначності можна за допомогою вимоги збереження додаткових алгебричних співвідношень, властивих даній системі. , ■

У третьому розділі розглядається зв’язок лагранжевоґо та гамільтонового бйисів для двочастішковйх систем із Взаємодіями польойого типу. У лінійному за константою взаємодії а наближенні Часосимєтричних взаємодій польового типу знайдено Вирази для лаграйжіяну

І к І- = -с2 £ 7;1 - ауіЧї'т/И

а=1

(12)

де 7“* = уї — 2ьа/с, 6 = (71/72 4- 72/71) /2 , та зберєжуваних величин. У цьому наближенні лаґранжіяни часосимєтричних та часо-асиметричних взаємодій співпадають. Те ж стосується і виразів для енергії Е та імпульсу Р. Як правило, процедуру розгортання за малим параметром можна здійснювати іі рівняннях руху та збє-режуваних величинах. У лагранжіяні це робити невірно, оскільки такий наближений лагранжіян може не узгоджуватись з відповідними наближеними рівняннями руху. Але в даному випадку ми дістаємо узгоджені резульіати, оскільки наближені рівняння руху є рівняннями Ойлера-Лагранжа для лагранжіяну (12).

Лаграйжіян (12) це означений на всьому дотичному просторі ТМ. Він є дійсиозначною функцією на підмноговйді, заданому умовами Ь'а <1/2, а = 1,2. Ці нерівності означають, що

світові лінії частинок часоподібні. Для скалярної і векторної взаємодій не існує такої области початкових даних (крім випадку М > ті + m2, (V > 0), виходячи з якої, частинки не досягали б лівидкости світла. В точках, де досягається швидкість світла, гессіян прямує до нуля або до нескінчености. Тому п них точках лаґраткепа система невизначенн. Цс приводить до розривних світопих ліній частинок у М^. Лк показано п роботі, у гамільто-ношшу випадку спітові лінії частинок можна гладко продовжити за критичні точки. Це означає, ідо лагранжін і гамільтопіп описи у випадках скалярної та векторної взаємодій приводять до різних світових ліній. Запропоноване продовження світових лінів приводить до квазікласичних спектрів мас, які узгоджуються з квантовими результатами.

У четвертому розділі показано, що для взаємодій польового типу рівняння масової оболонка (для скалярної та -векторної взаємодій у точному випадку, а' для класу взаємодій польового типу п другому наближенні за а) є лінійним рівнянням на алгебрі Лі групи SO(2,1)

. сiJ(y -j- bj\ 4" dJ2 4- Cf — 0 , (1^)

де Jd Ju J? — Генератори алгебри so(2,l); e, b, <1, Cf — дійсні константи, залежні від параметрів задачі та М2.

За,вайлінським способом квантування вихідного алгебричною структурою є алгебра Гайзснберґа^ реалізована на класичному рівні індивідуальними канонічними змінними н термінах дужки Пуассона {а^іРб} = 6вь, а після квантування — єрмітовими операторами х„, р), в термінах комутатора [ха,рь\ = і&аЬ- Але такий підхід перестає бути-задовілЬним, коли деякі з канонічних змінних задані на скінченному або ігапівнескінченному інтервалах. Це зумовлено тим, що такі змінні не можуть бути генераторами регулярних канонічних перетворень у всьому фазовому просторі. У квантовому випадку відповідні їм оператори не е самоспряженими. Тому, як запропоновано у (C.Fronsdal. Rep. Math. Phys.lb (1978) 111), за вихідну алгебричну структуру можна вибрати не алгебру Гаїпен-берга, а деяку іншу алгебру Лі. У роботі виявляється доцільним, з огляду на співвідношення (13), за таку алгебричну структуру

И

вибрати алгебру Лі групи vS(9(2,l). Це дозволяє алгебричним методом звести квантово-механічну задачу до трансцендентного рівняння на спектр мас

Тут /і = (М'І — rtif - т^)/2тітщ , < 1, а кнантове число п

задається формулою

Побудувало вектори стану в абстрактному гільбертоному просторі. Спектр мас у випадку векторної взаємодії співпадає із результатами методу безмежно-компо1ш:«т'нкх хвильових рівнянь (Barut А.О., Rasmussen W. J.Phys. B6 (1973) 1695) для станів з нульовим квантовим орбітальним числом. Таке спіішадіння дає змогу узагальнити отримані результати на тривимірний випадок та, з іншого боку, узагальнити безмежно-компонентні рівняння на випадок широкого класу взаємодій польового типу. Це є підставою для встановлення зв’язку релятивістичної теорії прямих взаємодій з іншими підходами до опису релятивістичних системні скінченною кількістю ступенів вільности.

В останньому розділі наведено основні результати та висновки: ■

1. Виходячи з канонічної реалізації алгебри Лі групи Пуанкаре ■р(1,1), за допомогою квантування Вайля побудована унітарна реалізація цієї групи. Розглянуто ряд двочастинкових моделей (6--подібна взаємодія, лінійна взаємодія, осцилятороподіб-на взаємодія), для яких знайдено власні функції та власні значення оператора квадрату повної маси системи М2. Досліджено та розв’язано задачу на власні значення для оператора квадрата повної маси системи N частинок із осцилятороподібною взаємодією.

(14)

її/а

(15)

2. Розглянуто квантування канонічної реалізації алгебри (7(1,1) за допомогою узагальненого правила Вайля. Доисдоно, що вимога збереження комутаційних співвідношень цієї алгебри накладає обмеження на класи прпітл квантування. Якщо крім цього вимагати взаємної пілповідиости між операторами Казимира класичної та копитової реалізації алгебри р(І, І), то допустимі узагальненні: правила Вайля обмежуються дінша-рамегричіюю сім'єю. Отже, умопа, Пуанкаре інпаріянтности не ліквідує до кішш неоднозначність процедури квантування.

3. Побудовано та досліджено гамільтоиове формулювання для взаємодій польового типу и параметричній формі. Показано, що відсутня глобальна екішіалснтність між гамільтоно-вим та лаг ранжевим описом. Запроштоваио метод гладкого продовження світових ліній члетинок у для скалярної та векторної взаємодій. Продемонстровано узгодженість такого способу продовження із квантовими результатами. Для широкого класу взаємодій польового типу побудовано гаміль-тоііів опис в явній формі у другому наближенні за константою взаємодії о-.

4. Показано, що для шаемодііі польового типу рівняння масо-

вої оболонки (для скалярної та лекторної взаємодій зг точному випадку, а для класу взаємодій польового типу в другому наближенні за а) є лінійним рівнянням на алгебрі Лі групи 5С7(2,1). Використовуючи це, побудовано квантово-механічний опис для таких систем, знайдено вектори станів в абстрактному гільбортовому просторі та спектри Мас. Запропоновано узагальння отриманих результатів на тривимірний випадок. •

Основні результати дисертації опубліковані в роботах:

1. Шпитко В. Релятивістська система трьох тіл у двовимірній моделі фронтової форми динаміки // Фіз. зб. НТШ — 1993.

— 1. — С.190-208.

2. Третлк В.І., Шпитко В.Є. Квантування, Вайля у двовимірній моделі фронтової форми релятивістичної динаміки //.Укр. фіз, журн. 1995. — 40, N 11-12. — С. 1250-1255.

3. Shpytko V. Exactly integmble model of relat.ivist.ic: N-body system in the two-dimensional variant of the front form of dynamics.// Acta Pliys. Pol. 1996. — B27, N 9. p.2057 -2070.

4. Третяк В.І., Шпитко В.Є. Квантування релятивістичної ос-циляторної взаємодії у двовимірнії! моделі .фронтової ф»]ами динаміки // Фіз. збірник НТШ — 1990. - 2. — С.275 289.

5. V.Tretyak, V. Slipytko. Oil the relativist»: mass spectra of t.lie two-

particle system.// J. Nonliu. Math. Phys. - 1997. — 4, N 1-2.

p.161-167.

6. A.A.Duviryak, V.I.Tretyak, V.Ye.Slipytko. Exactly solvable two -particlc models iu the isotropic: form of relativist»: dynamics. // Proc. of the Workshop on Soft Physics ’’Hadrons 94”. — Uzhgorod, September 7-11, 1994. — 1994, p.353 -3G2.

7. Трстяк В.И., Шпытко В.Е. Некоторые киантово-механичсс-кие модели во фронтовой форме релятивистской динамики в двумерном пространстве-времени. — Льнов, 1988. —- 25 с.

— (Препринт / АН УССР. Ин-т прикл. пробл. механики и математики; N 13-88).

8. Шпитко .В. Релятивістська система трьох тіл у двовимірній

моделі фронтової форми динаміки г Київ, 1991. - 16с. —- (Препринт/ АН Української РСР. Інститут теоретичної фізики ; N 91-17У). .

9. Шпитко В.Є. Точно інтегровна модель релятивістської системи N тіл у двовимірній фронтовій формі динаміки. - Львів, 1993. - 21с. — (Препринт/ НАН України. Інститут фізики конденсованих систем; N 93-12У).

Spytko V.Ye. Qunntum-meclmnical models of the relativistic direct interaction of N-body system in front form of dynamics.

Thesis on sanr.h, of the. scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences, sptxiality Ol.O4.O2 - theoretical physics. Lviu State University, Lviv, 1997.

9 scientific papers containing the theoretical .studies of the problem of const ruction of the relativistic (juaiitum-mechaiiicid decription of N body system in front form of dynninirs on l.lu> base of classical IJiuniltonian and Lnftraiiftian descriptions arc defended. A number of exactly solvable rela-tivistic quantum mechanical models of two and N body systems is constructed. The eigenvalues and eigenfunctions of the total mass-,squared operator of these .systems are obtained.

Шпытко D.E. Квантово-механические модели релятивистического прямого взаимодействия системы N тел во фронтовой форме динамики.

Диссертация па. с.опсклны: у ченой степени кандидата фитко-матс-мптических наук по специальности. 01.(Ц.02 - теоретическая фишка. Львовский государстаснпшТ утшерептет, Львов, 1907. Защищаете:!! D научных работ, содержащих теоретические исследования проблемы построения релятивистического квинтово-механического описания системы N тел do фронтовой форме динамики на базе классического гамильтонового И лагранжепого описании. Построено и исследошто ряд точно решаемых релятивистских ктштозо-мсханнчсских дву- и N-частичных моделей, для которых получены собственные значения и собственные функции оператора квадрата полной массы.

Клгочо1п слова: кванту а апня Вайля, фронтальна форма диналпки, Пуанкаре-те аритттстъ. ,

Підписано до друку 22„04.37. Фориаг 60x84/16. Папір друк. М. Друк офсегн. Умови, друїи ари. 1,0. Обл.-ввд. ерк. 1,0.

Уиовн. фарб, від б. 1,1. Тираж 100. Заи. 83.

Машинно-офсеїна лабораторія Львівського держуніверситету • їм. I.Франка. 290602 Львів, вул.Університетська, I. '