Квантовые эффекты интерференции в наноструктурах

Мелешенко, Петр Александрович

Квантовые эффекты интерференции в наноструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Мелешенко, Петр Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Квантовые эффекты интерференции в наноструктурах»

Автореферат диссертации на тему "Квантовые эффекты интерференции в наноструктурах"

На правах рукописи

Мелешенко Петр Александрович

КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ В НАНОСТРУКТУРАХ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0 3 033 ¿СП

Воронеж - 2011

4853797

Работа выполнена на кафедре физики Воронежского государственного аграрного университета им. К. Д. Глинки.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Клинских Александр Федотович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кадменский Станислав Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Преображенский Михаил Артемьевич

Ведущая организация:

Российский научный центр "Курчатовский институт" , г. Москва

Защита диссертации состоится "_17." февраля 2011 г. в 1510 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.06 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 428.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "_15_" января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Дрождин С.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В области современной наноэлектроники заслуживает особого внимания прогресс в экспериментальном получении, развитии и понимании основных свойств различных наноразмерных структур. При этом выделяются два основных направления: 1) технологии получения и теоретического описания квантовых каскадов (последовательностей одномерных потенциальных барьеров и ям), применяемых в квантовых каскадных лазерах (quantum cascade lasers, QCL); 2) квантовые интерференционные устройства, такие как квантовые кольца (quantum rings) и каскады квантовых колец, рассматриваемые как перспективные элементы современной опто-электропикн, шшгарной оптики, сшштроники и т.д.

Появление лазеров на квантовых каскадах послужило толчком к развитию новых приложений, основанных на использовании электромагнитного излучения с терагерцовой частотой, поскольку именно на такой частоте происходит излучение электромагнитных волн в квантовых каскадах. Развитию теоретических основ работы лазеров на квантовых каскадах посвящено большое число работ. Современные теоретические подходы к расчету энергетической структуры активной зоны таких лазеров основаны на методе неравновесных функций Грина. В данной работе развивается теоретический подход к описанию каскадных систем, основанный па формализме теории рассеяния (метод трансфер-матрицы). Одним из основных преимуществ является общность постановки задачи рассеяния, связанная с тем, что данные рассеяния заключают в себе практически полную информацию об исследуемой системе (как в дискретном, так и в непрерывном спектрах). Также в рамках данного подхода оказывается возможным учесть дисперсию эффективной массы в гетероструктуре. Таким образом, можно сделать вывод, что развитие теории, основанной на методе трансфер-матрицы, для анализа и моделирования таких физических систем, как квантовые каскады, гибридные магнито-электрические наноструктуры и квантовые интерференционные устройства является актуальной задачей.

Еще одной важной и интересной задачей является задача о постановке и проведении экспериментов по обнаружению влияния эффекта Ааронова-Бома на наблюдаемые характеристики наноструктур. Впервые такая возможность была указана в 1985 году Даттой (Datta). В связи с отмеченной выше актуальностью, в данной работе рассмотрены характеристики излу-

чешш, сопровождающего процесс рассеяния в эффекте Ааронова-Бома.

Цели работы

Основными целями данной диссертационной работы являются:

1. Развитие последовательной теоретической схемы расчета характеристик переноса носителей заряда в квазиодномерных наноструктурах (квантовые каскады, гибридные магнито-электрические наноструктуры, квантовые интерференционные устройства).

2. Построение удобного для численной реализации представления функции Грина электрона в квазиодномерной структуре в рамках аппарата функций Йоста задачи рассеяния и расчет характеристик отклика такой системы на внешнее электромагнитное поле.

3. Исследование влияния квантовых эффектов интерференции (в том числе и эффекта Ааронова-Бома) на наблюдаемые характеристики низкоразмерных систем. В частности, решение задачи об излучении, сопровождающем процесс рассеяния в эффекте Ааронова-Бома.

Научная новизна работы

• Впервые дана последовательная теоретическая схема расчета характеристик переноса заряда в квазиодномерных каскадных системах (последовательности потенциальных барьеров и ям), в гибридных магнито-электрических наноразмерных устройствах, а также в квантовых интерференционных устройствах (квантовые кольца), основанная на формализме теории рассеяния (метод трансфер-матрицы).

• Предложена удобная для анализа и численной реализации процедура построения функции Грина электрона в присутствии рассеивающего потенциала в квазиодномерных каскадных системах, основанная па использовании аппарата функций Йоста задачи рассеяния.

• Впервые исследованы свойства "тормозного" излучения, сопровождающего процесс рассеяния в эффекте Ааронова-Бома. В частности, получены и проанализированы явные аналитические выражения для спектральной плотности мощности, а также угловых и поляризационных характеристик излучения.

Положения, выносимые на защиту

1. Приложения метода трансфер-матрицы для расчета характеристик переноса заряда в наноразмерных структурах, таких как каскадные системы потенциальных барьеров и ям, гибридные магнито-электрические наноструктуры, а также интерференционные системы с квантовыми кольцами.

2. Построение и анализ аналитических свойств функции Грина в методе трансфер-матрицы.

3. Свойства "тормозного" излучения (спектральная плотность мощности, угловые и поляризационные характеристики) в условиях эффекта Ааронова-Бома.

Практическая значимость работы

• Предложенная в настоящей работе альтернативная формулировка метода трансфер-матрицы позволяет эффективно проводить численное моделирование процессов переноса носителей заряда в квазиодномерных структурах, таких как каскадные системы потенциальных барьеров и ям различной формы (полупроводниковые сверхрешетки), гибридные магнито-электрические наноструктуры, а также квантовые интерференционные устройства в виде квантовых колец. В рамках формализма теории рассеяния удается исследовать как дискретный (уровни энергии и их ширины), так и непрерывный (вольт-амперные характеристики) спектры таких структур, а также определять отклик такой системы на внешнее электромагнитное поле.

• Полученные в диссертации результаты по "тормозному" излучению в условиях эффекта Ааронова-Бома могут иметь практическое приложение при разработке устройств, обеспечивающих генерацию тера-герцового электромагнитного излучения

Апробация результатов работы

(Paris, France, 2007), XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов "Микроэлектроника и информатика - 2008" (Зеленоград, 2008), XI Международной конференции "Физика диэлектриков" "Диэлектрики - 2008" (Санкт-Петербург, 2008), V Международной научно-технической школе-конференции "Молодые ученые -2008" (Москва, 2008), VII Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" "INTERMATIC - 2009" (Москва, 2009), XIII Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter "Phonons-2010" (Taipei, Taiwan, 2010), International conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO), Conference on Lasers, Applications and Technologies (LAT) "ICONO/LAT - 2010" (Kazan, Russia, 2010), XXII Международной конференции "Релаксационные явления в твердых телах" "RPS - 22" (Воронеж, 2010), Семинаре ИПХФ Российского научного центра "Курчатовский институт" (Москва, 2010 г.)

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 14 печатных работ в форме статей, тезисов докладов и патента. Из них 8 статей, 3 в журналах перечня ВАК и 1 патент.

Личный вклад автора

Автором лично проведены аналитические и численные расчеты, представленные в диссертации. Совместно с соавторами проводились обсуждения и интерпретация основных результатов, формулировались выводы по тематике исследования, а также производилась подготовка публикаций в печать. Результаты, составляющие содержание положений, выносимых на защиту, получены автором лично.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 122 страницы машинописного текста, включая 20 рисунков, 1 таблицу, а также список цитируемой литературы из 151 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во Введении кратко рассматривается актуальность, а также очерчивается круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, указываются ее цели и формулируются положения диссертации, выносимые на защиту.

В главе 1 представлен литературный обзор по теме диссертационной работы. Обзор существующих теоретических и экспериментальных данных позволяет сделать вывод о необходимости развития теории, дающей возможность более эффективно моделировать процесс переноса заряда в рассматриваемых устройствах, а также рассмотреть ряд новых эффектов.

В главе 2 развивается метод трансфер-матрицы [1—3], позволяющий эффективно моделировать динамику электрона в квантовом каскаде [4] (последовательности потенциальных барьеров и ям), описывать поведение носителей заряда в гибридной магнито-электрической наноструктуре [5], а также в разнообразных квантовых интерференционных устройствах [6].

В разделе 2.1 рассматривается стандартная формулировка метода трансфер-матрицы, исследуются ее свойства, приводится формула, позволяющая определить сопротивление барьерной струкуры через элементы трансфер-матрицы (формула Ландауэра (Landauer)), а также записаны явные выражения для трансфер матрицы прямоугольного потенциального барьера и дельта-потенциала.

В разделе 2.2 приводится формулировка метода, основанная на использовании двух линейно независимых решений (в том числе и численных) уравнения Шредингера при построении трансфер-матрицы. В рамках данного подхода оказывается возможным получать выражения для коэффициентов отражения и прохождения через потенциалы с различной формой.

В области с отличным от нуля потенциалом (х € [х\,х2[) волновая функция электрона может быть представлена в виде суперпозиции двух линейно независимых решений уравнения Шредингера и и v:

ф(х) = аи(х) + bv(x). (1)

Амплитуда прохождения может быть получена из условия непрерывности логарифмической производной волновой функции в точках х\ и х2:

щ = 2i к {v2 — Дг) ехр[—Щхг — х\)}

—(и2 - \k)(fi 1 + ifc) — —(и 1 - 1к)(ц2 + ifc) щ v2

где «1,2 = и(:П,2), 1/1,2 = v(xw2), /ii,2 = u'(x)/u(x)lx=xi2, vh2 = v'(x)/v(x)\x=x^.

В качестве иллюстрации предложенной техники в разделе 2.2.1 рассмотрены случаи прямоугольного потенциального барьера (показано, что в этом случае результаты альтернативной формулировки совпадают с результатами, получаемыми в рамках стандартной формулировки), скошенной потеоциалыюй ямы (ямы, глубина которой меняется по линейному закону), а также параболической ямы (ямы, глубина которой меняется по квадратичному закону). Для всех трех случаев приведены численные результаты для коэффициентов прохождения и отражения.

В разделе 2.3 рассматриваются и анализируются фундаментальные решения задачи рассеяния (так называемые функции Йоста), с использованием которых возможно получить удобное выражение для одноэлектрон-ной функции Грина и плотности состояний. В частности, с использованием альтернативной формулировки метода трансфер-матрицы, приводится выражение для функций Йоста одномерной задачи рассеяния на потенциале с произвольной формой.

В разделе 2.4 приведена формула, связывающая одиоэлектроннуго функцию Грина и функции Йоста.

где х> = тах[ж,г'], х< = тт[ж,а/], /2] - вронскиан решений Йоста. Можно показать, что представленная таким образом функция Грина при х —> ±оо имеет асимптотику расходящейся волны [7].

Из анализа вида функции Грина можно получить трансцендентное уравнение на значения волнового вектора, определяющего энергии связанных состояний:

которое должно решаться с заменой к = \к. Также в данном разделе получено выражение для функции Грина в асимптотических областях, а также выражение для одноэлектропной плотности состояний.

В разделе 2.5 с помощью построенной функции Грина рассматривается такая важная характеристика квантовой системы, как обобщенная восприимчивость, определяющую динамику отклика квантовой системы на внешнее воздействие (например электромагнитное поле). В частности, представлены численные результаты зависимости от частоты внешнего электромагнитного поля обобщенной восприимчивости основного состояния электрона в квантовой яме в условиях размерного эффекта Штарка.

(3)

«1^2(^1 + - Щ - - \к){У\ + \к) = О, (4)

В главе 3 представлены результаты применения метода трансфер-матрицы для описания динамики носителей заряда в различных нанораз-мерных структурах. В частности в гибридной магнито-электрической наноструктуре и в различных квантовых интерференционных устройствах (квантовые кольца и "квантовые графы").

В разделе 3.1 рассмотрена модель гибридной магнито-электрической наноструктуры, основанная па применении метода трансфер-матрицы, а также получены аналитические выражения для коэффициента прохождения и сопротивления такой структуры в рамках подхода Ландауэра:

Я =

7ГН

соа2(да) +

к2 + д2 + Ак] 2 кед

зт2(до)

(5)

Обозначения, входящие в эту формулу, представлены в тексте диссертации. Результаты численного моделирования (вольт-амперная характеристика и зависимость сопротивления от напряженности магнитного поля) приведены на рисунке 1 (параметры моделирования см. в тексте диссертации).

1.0 1.5 2.0 V, Ю1 СвБ ЦП.

1.0 1.5 2.0 2.5 Н,104 ва

Рис. 1: Вольт-амперная характеристика гибридиой магнитоэлектрической наноструктуры (левая картинка) при различных значениях высоты электростатического барьера п зависимость сопротивления такой структуры от величины напряженности магнитного ноля (правая картинка) при различных значениях энергии электрона. Левая картинка: топкая линия — [/0 = 0.3 еУ, жирная линия - (/о = 0.4 еУ, штрихованная линия -С/о = 0.5 еУ. Правая картинка: тонкая линия - Е = 0.35 еУ, жирная линия - Е = 0.4 еУ, штрихованная линия - Е = 0.45 еУ.

В разделе 3.2 рассмотрен процесс рассеяния в графо-подобных наноструктурах (так называемые "квантовые графы"), предложена удобная для численной реализации математическая модель (раздел 3.2.1), а также развит метод "массива вершин", позволяющий эффективно проводить моделирование процесса рассеяния в "квантовом графе" любой сложности (раздел 3.2.2). Ввиду громоздкости основных формул в данном автореферате мы их не приводим, отсылая к тексту диссертации. Здесь же

ограничимся только результатами разделов 3.3 и 3.4, где приведены явные аналитические выражения амплитуд прохождения и отражения для простейших "квантовых графов" - квантовых колец с разнообразной геометрией (см. рисунок 2).

Рис. 2: Схематическое представление рассеяния на квантовом кольце.

В случае квантового кольца с равными длинами плеч (1Ъ = ll2 = I) выражения для амплитуд прохождения и отражения, полученные с помощью метода "массива вершин", имеют вид:

^ = 5 sín(fc/) + 4i cos(fcZ)' (6)

Г{к) = ~5 + 4ictg (fcZ) (7)

Энергетический спектр квантового кольца с равными плечами может быть получен из (6), (7) как значения волнового вектора к, определяющего энергию электрона, соответствующие нулям амплитуды отражения. Легко может быть найдено, что значения кп = тт/l, п = 1,2,... удовлетворяют этому условию (мы получаем хорошо известный спектр квантового ротатора). Физически данный факт означает, что на квантовом кольце укладывается целое число длин волн де Бройля.

В случае квантового кольца с различными длинами плеч (1Ъ Ф 11г) выражения для амплитуд прохождения и отражения соответственно имеют вид:

í(fc4 = •_sin к1ъ + sin к1ъ_

3/2sin к1ъ sin к1ъ + i sin(fcí7l + kll2) — cosМъ cos Ыъ + 1'

sinfcZ7lsinfcZ72 +isin(fcí7l + Ы1г) 3/2sinkl7l sinkly2 4- isin(W7l + kll2) — eos klyj eos kly2 4- 1

Как следует из (8) t{k) обращается в нуль, в следующих двух случаях:

Ыъ + Ыъ = 27Гп, п = 1, 2 ..., (10)

Ыъ -Ыъ = (2п+ 1)тг, п = 0, ±1, ±2.... (И)

Далее, на основании формул (10) и (11) проводится анализ резонансного поведения амплитуды прохождения (в данном случае под резонансным поведением амплитуды прохождения подразумевается ее обращение в нуль), классифицируются типы резонансов, в частности, введено два тина резо-пансов ("энергетические", отвечающие (10)) и "геометрические", отвечающие (11)). В литературе принято отождествлять такие резоиансы с наличием связанных состояний в непрерывном спектре (так называемые DICs), однако никаких физически строгих оснований для этого не существует, поскольку не выполняются основные требования теоремы Вигнера-фон Неймана о специальном виде потенциала и квадратичной интегрируемости волновых функций, соответствующих задаче рассеяния на таком потенциале. Тем более, в представленных случаях какие-либо потенциалы вообще от-сутевуют.

В разделе 3.5 рассматривается случай, когда в центр кольца помещен магнитный поток (Aharonov-Bohm flux). Получены аналитические выражения для амплитуд прохождения и отражения, а также получены условия, при которых зависимость амплитуды прохождения имеет резонансный характер. Показано, что присутствие потока Ааронова-Бома приводит к изменению типа резонансов, или к возникновению новых резонансов (резо-нансы могут возникать даже в том случае, когда длины плеч квантового кольца соизмеримы). В разделе 3.5.1, с использованием метода трансфер-матрицы, приведены результаты численного моделирования процесса переноса заряда в каскаде квантовых колец.

Глава 4 посвящена эффекту Ааронова-Бома (теоретические аспекты см. [8,9], эксперименты - [10,11]) - одному из самых известных интерференционных эффектов в квантовой механике.

В разделе 4.1 кратко рассматривается интерференционный аспект эффекта Ааронова-Бома, а также дано необходимое условие его наблюдения.

В разделе 4.2 эффект Ааронова-Бома обсуждается с точки зрения квантовой теории рассеяния. Приводится точное решения задачи рассеяния

[9]

(г, в\ф„) = СХР |т ~ Q|) JH-|(fcr)eÍm^ (12)

m=—ос

записано асимптотическое поведение точной волновой функции ц выражение для дифференциального сечения рассеяния, найденное впервые в оригинальной статье [8]:

йаАВ _ шп2(тга) 1 ~1Г ~ 2тгк соъ2(0/2)'

Здесь а — Ф/Фо = еф/2тг?1с, Ф - магнитный поток, Фц - квант магнитного потока.

В разделе 4.3 рассмотрен вопрос о калибровке векторного потенциала бесконечно тонкого соленоида и показано, что его присутствие соответствует сингулярному калибровочному преобразованию. Рассмотрен также вопрос об однозначности калибровочной функции и на простом примере продемонстрировано, что использование неоднозначной калибровочной функции приводит к сингулярному виду силовой характеристики электромагнитного поля (напряженность магнитного поля пропорциональна дельта-функции Дирака). В этом же разделе получено уравнение Шре-диигера задачи Ааронова-Бома, которое содержит сингулярное слагаемое связанное с присутствием бесконечно тонкого соленоида в начале координат.

Раздел 4.4 посвящен проблеме излучения, сопровождающего процесс рассеяния электрона в эффекте Ааронова-Бома. В 4.4.1 с помощью "золотого" правила Ферми найдено замкнутое аналитическое выражение для спектральной плотности мощности излучения в элемент телесного угла и проанализировано ее поведение в зависимости от величины магнитного потока в соленоиде. Указана физическая причина возникновения такого излучения и обсуждается его связь с другими видами излучения.

Вероятность перехода в единицу времени может быть записана с помощью "золотого" правила Ферми:

= V/- (13)

Здесь

дс

<1р; = 6{Е,-Щ . (14)

Яй2к/ У(Рк (2тг)2 (2тг)3

есть оператор взаимодействия и плотность конечных состояний электрона соответственно (вычисление матричного элемента, входящего в (13) приведено в Приложении).

Выражение для векторного потенциал вакуума выбирается в стандартной форме во вторично квантованном виде в дипольном приближении:

АгаЧ,г,ас = у^Г + ^ ' (15)

где - поляризация фотона с волновым вектором к , а+ и а - операторы рождения и уничтожения фотона с волновым вектором к и поляризацией а соответственно, V - нормировочный объем, с - скорость света.

Волновые функции начального и конечного состояний электрона удовлетворяют уравнению [9]:

(р-9-Лл-В)Г + -—^—= (16)

где

Л- Ф -

Аа-В = —е<р,

Ф - магнитный поток, который несет соленоид (поток Ааронова-Бома), е^ аксиальный орт полярной системы координат г, ср.

В соответствии с идеологией Зоммерфельда (см. например [1]) начальное и конечное состояние системы "электрон + фотон" могут быть представлены как:

\г) = \0М),Ю = т}).

Здесь (в асимптотике - сферически расходящаяся волна) и (в асимптотике - сферически сходящаяся волна) есть точные решения задачи Ааронова-Бома и их явное аналитическое выражение имеет вид [8]:

- оо

= £ (17)

* т=—оо - оо

щ) = ^ £ (о'^'^^к^в-1^, (18)

где

<?ф "Ф"

2жйс Фо.

Фо - квант магнитного потока, 5 нормировочная площадь в двумерном случае. Отметим, что значения параметра а могут быть сведены к интервалу

¡¡р

—.«V с1ы

вр

—,еУ ды

0006

0.000

0.004

0.008

0.010

0.002

8482848я -1.0 -0.5 0.5 1.0

Рис. 3: Левая картинка: угловая зависимость мощности излучения (жирная линия -линейная поляризация, штрих-пунктирная линия - правая поляризация, штрихованная линия - левая поляризация; во всех случаях а = 0.5). Правая картинка: зависимость мощности излучения от магнитного потока (в единицах кванта магнитного потока Фо) в случаях циркулярной и линейной поляризации излученного фотона (направление вылета фотона задается углом в = 7г/2). Энергия электрона - 50еУ, частота фотона -

[0,1] (см. [9]), поэтому используется стандартное обозначение для дробной части числа, именно а = [Ф/Фо]- Ввиду громоздкости аналитических выражений для спектральной плотности мощности излучения здесь они не приводятся (см. текст диссертации). Физическая причина излучения в условиях эффекта Аароиова-Бома заключается в следующем: собственное поле движущегося электрона дифрагирует на соленоиде, вследствие чего возникает интерференция такого дифрагированного поля и собственного поля рассеянного электрона. Результат такой интерференции на больших расстояниях от рассеивающей системы может быть отождествлен с излучением (дифрагируя, собственное поле электрона "отрывается" от него, что и можно отождествить с излучением). На рисунке представлены угловое (по полярному углу) распределение (левая картинка) и зависимость спектральной плотности мощности излучения от величины потока Ааронова-Бома.

В 4.4.1 проанализирована поляризационная структура излучения а в 4.4.2 представлено более детальное обсуждение результатов численного моделирования процесса излучения. В частности, представлены зависимости спектральной плотности мощности излучения от магнитного потока в соленоиде, угловые распределения излучения при различных параметрах налетающего электрона (энергия) и излученного фотона (поляризация), а также представлена зависимость степени циркулярного дихроизма от потока Ааронова-Бома.

ы = Ю12«'

В разделе 4.5 на примере квантового кольца, в рамках модели двумерного ротатора, рассматривается влияние эффекта Ааронова-Бома на наблюдаемые характеристики такой системы. Найдено решение уравнения Шредингера и получен спектр квантового кольца с потоком Ааронова-Бома, помещенного во внешнее однородное магнитное поле. В 4.5.1 получены и проанализированы выражения для статсуммы, свободной энергии, энтропии, намагниченности и магнитной восприимчивости такой системы. Показано, что наличие потока Ааронова-Бома приводит к осцилляционной зависимости наблюдаемых характеристик от его величины. В частности, для свободной энергии получено следующее выражение

а, 0 = -еХ Ь {у/юс^з + а), е'*1*] } , где $з(и,д) - эллиптическая тэта-функция третьего рода,

(19)

еФ лв 2тг Tic

еФн

Ф АВ Фо '

2т Я2'

е Ф я 1 ГТ

X = (/З^)"1! /3 = {кпТ)'1, Я - радиус квантового кольца, Фав ~ поток Ааронова-Бома, кв - постоянная Больцмана, цв ~ магнетон Бора. Для 0.2

о.о -о. -0.2

\a=-0.3

a=0

0.4 0.2 • 0.0 -0.2 -0.4

-*=0'01 Ьч

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

X а

Рис. 4: Левая картинка: зависимость намагниченности квантового кольца М. (в единицах магнетона Бора) от температуры х при различных значениях потока Ааронова-Бома а (однородное магнитное поле £ = 0.1). Правая картинка: зависимость намагниченности квантового кольца М (в единицах магнетона Бора) от величины потока Ааронова-Бома « при различных значениях температуры \ (однородное магнитное поле £ = 0.5).

намагниченности получено следующее выражение:

kj, , xisin[27rj($ 4- а)1

М(х, a, 0 = »BTXZ(~ !)' sh(7r2jx) •

Следует отметить, что входящий в (20) ряд является быстро сходящимся и процесс численного расчета не вызывает никаких затруднений (аналогично и в случае магнитной восприимчивости).

Результаты численного моделирования приведены на рисунке 4. Выражение для магнитной восприимчивости имеет вид:

На рисунке 5 представлены численные значения магнитной воспршшчи-

Рис. 5: Левая картинка: зависимость магнитной восприимчивости уц (и единицах /¿¿¡/г) от температуры \ ПРИ различных значениях потока Ааронова-Бома а (однородное магнитное поле £ = ОД). Правая картинка: зависимость магнитной восприимчивости 7д (в единицах ¡Хд/е) от величины потока Ааронова-Бома а при различных значениях температуры \ (однородное магнитное поле £ = 0.1).

вости как функции температуры и потока Ааронова-Бома.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации:

1. Предложена формулировка метода трансфер-матрицы, основанная на использовании двух линейно независимых решений уравнения Шре-диигера в области с отличным от нуля потенциалом. В рамках развиваемого формализма проанализирована модель гибридной магнитоэлектрической наноструктуры и найдены основные характеристики такой структуры, качественно правильно описывающие динамику переноса носителей заряда.

сеяния и получены аналитические выражения для ее асимптотического поведения. Представлены результаты численного расчета обобщенной восприимчивости основного состояния электрона в условиях размерного эффекта Штарка, качественно правильно отражающие зависимость восприимчивости от формы потенциала.

3. Развит метод, позволяющий эффективно моделировать процесс переноса носителей заряда в квантовых интерференционных устройствах. Проанализированы простейшие квантовые интерференционные устройства (квантовые кольца, в том числе и в присутствии потока Ааронова-Бома) и найдены явные аналитические выражения для амплитуд отражения и прохождения через такие структуры. Проанализировано резонансное поведение амлитуд прохождения и отражения в случае квантовых колец с различными геометрическими параметрами.

4. В рамках теории возмущений в непрерывном спектре получены аналитические выражения для спектральной плотности мощности излучения, сопровождающего процесс рассеяния электрона в эффекте Ааронова-Бома. Проанализирована зависимость спектральной плотности мощности излучения от магнитного потока, а также его угловые п поляризационные характеристики. В рамках модели двумерного ротатора исследовано влияние эффекта Ааронова-Бома на наблюдаемые характеристики квантового кольца. Найдены ц проанализированы точные выражение для свободной энергии, энтропии, намагниченности и магнитной восприимчивости квантового кольца с потоком Ааронова-Бома, помещенного во внешнее однородное магнитное поле.

Список основных публикаций по материалам диссертации

1. Tunneling properties of hybrid magnetoelectric nanoscale devices / A. F. Klinskikh, P. A. Meleshenko, A. V. Dolgikh, D. A. Chechin // Eur. Phys. J. B. - 2010. - Vol. 78, no. 4. - Pp. 4G9-474.

2. Функция Грина каскада квантовых ям / А. В. Долгих, П. А. Мелешен-ко, А. В. Полупанова, А. Ф. Клинских // Вестник ВГУ, Серия: Физика. Математика. — 2009. - № 1. — С. 37-41.

3. Radiative attenuation of the electron in the Aharonov-Bohm effect / A. F. Klinskikh, P. A. Meleshenko, A. V. Dolgikh, H. T. T. Nguyen // Nuovo Ciment. В. - 2010. - Vol. 125, no. 10. - Pp. 1161-1171.

4. Пат. 2381603 РФ, МПК H 01 S 7/16. Способ генерации в вакууме электромагнитного излучения в терагерцовом диапазоне / Клинских А. Ф., Мелешенко П. А. - № 2381603; Заяв. 2008123502/28 (09.06.2008); Опубл. 10.02.2010. - Бюл. № 4.

5. Мелешенко, П. А. Восприимчивость электрона в квантовом кольце в условиях эффекта Ааронова-Бома / П. А. Мелешенко, А. В. Долгих, А. Ф. Клинских // Материалы V Международной научно-технической школы-конференции "Молодые ученые - 2008", Москва, 10-13 ноября, 2008. — ч. 1. - С. 31-35.

6. К теории гибридных магнитно-электрических квантовых наноструктур / П. А. Мелешенко, И. С. Барбаров, Д. А. Чечни, А. Ф. Клинских // Материалы VII Международной научно-технической конференции "INTERMATIC

- 2009", Москва, 7-11 декабря, 2009. - ч. 1. - С. 24-28.

7. Квантовые интерференционные устройства с кольцеобразной геометрией / П. А. Мелешенко, А. В. Долгих, Хапг Нгуен, А. Ф. Клинских // Материалы VII Международной научно-технической конференции "INTERMATIC

- 2009", Москва, 7-11 декабря, 2009. - ч. 3. - С. 20-23.

8. Намагниченность квантового кольца в присутствии потока Ааронова-Бома / П. А. Мелешенко, Хаиг Т. Т. Нгуен, А. В. Долгих, А. Ф. Клинских // Материалы VIII Международной научно-технической конференции "INTERMATIC - 2010", Москва, 23-27 ноября, 2010. - ч. 1. - С. 24-28.

Работы 1 — 3 опубликованы в журналах, рекомендованных перечнем ВАК РФ.

Список цитируемой литературы

[1] Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / JL Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 4-е, испр. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 768 с.

[2] Merzbacher, E. Quantum mechanics / E. Merzbacher. — 2nd. edition. — New York: Wiley, 1970. - 635 pp.

[3] Imry, Y. Conductance viewed as transmission / Y. Imry, R. Landauer // Rev. Mod. Phys. - 1999. - Vol. 71. - Pp. S30G-S312.

[4] Spectroscopy of GaAs/AlGaAs quantum-cascade lasers using hydrostatic pressure / S. R. Jin, C. N. Ahmad, S. J. Sweeney et al. // Appl. Phys. Lett. — 2006. - Vol. 89, no. 22. - Pp. 221105.

[5] Large tunneling magnetoresistance in a field-effect transistor with a nanoscale ferromagnetic gate / J.-U. Bae, T.-Y. Lin, Y. Yoon et al. // Appl. Phys. Lett. - 2008. - Vol. 92. - Pp. 253101.

[6] Energy spectra of quantum rings / A. Fuhrer, S. Liischer, T. Ihn et al. // Nature - 2001. - Vol. 413. - Pp. 822-825.

[7] Базь, А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. — 2-е, испр. и доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 544 с.

[8] Aharonov, У. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory / Y. Aharonov, D. Bohm // Phys. Rev. -1959. - Vol. 115. - Pp. 485-491

[9] Olariu, S. The quantum effects of electromagnetic fluxes / S. Olariu, I. I. Popescu // Rev. Mod. Phys. - 1985. - Vol. 57. - Pp. 339-43G.

[10] Peshkin, M. The, Aharonov-Bohm effect / M. Peshkin, A. Tonomura. — Springer-Verlag, Berlin, 1989. - 152 pp.

[11] Caprez, A. Macroscopic test of the Aharonov-Bohm effect / A. Caprez, B. Barwick, H. Batelaan // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99, no. 21. -Pp. 210401.

Подп. в печ. 29.12.2010. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ 1665.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско- полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мелешенко, Петр Александрович

Введение

1 Обзор литературы

2 Метод трансфер-матрицы

2.1 Метод трансфер-матрицы при рассеянии на потенциале: стандартная формулировка

2.2 Метод трансфер-матрицы при рассеянии на потенциале: альтернативная формулировка.

2.2.1 Конкретные примеры потенциалов.

2.3 Функции Йоста.

2.4 Функция Грина в терминах функций Йоста.

2.5 Обобщенная восприимчивость квантовой системы.

3 Применения метода трансфер-матрицы

3.1 Модель гибридной магнито-электрической наноструктуры

3.2 Рассеяние в графо-подобных структурах: метод "массива вершин"

3.2.1 Основной формализм

3.2.2 Рассеяние на квантовом кольце.

3.3 Квантовое кольцо с равными плечами.

3.4 Квантовое кольцо с различными плечами.

3.5 Асимметричное кольцо с потоком Ааронова-Бома.

3.5.1 Рассеяние на каскаде квантовых колец

4 Эффект Ааронова-Бома

4.1 Эффект Ааронова-Бома как интерференционное явление

4.2 Эффект Ааронова-Бома: задача рассеяния.

4.3 Векторный потенциал потока Ааронова-Бома: сингулярное калибровочное преобразование и уравнение Шредингера с сингулярным слагаемым.

4.4 Излучение в условиях эффекта Ааронова-Бома.

4.4.1 Взаимодействие электрона с электромагнитным вакуумом: излучение.

4.4.2 Поляризационные характеристики излучения.

4.4.3 Результаты численного моделирования излучения в условиях эффекта Ааронова-Бома.

4.5 Термодинамические характеристики колец Ааронова-Бома: влияние потока Ааронова-Бома на наблюдаемые характеристики

4.5.1 Статсумма, энтропия, намагниченность и магнитная восприимчивость.

Введение диссертация по физике, на тему "Квантовые эффекты интерференции в наноструктурах"

Актуальность темы

В области современной наноэлектроники заслуживает особого внимания прогресс в экспериментальном получении, развитии и понимании основных свойств различных наноразмерных структур, о чем свидетельствует обширный список литературы в данной области. При этом выделяются основные два направления, именно технологии получения и теоретического описания квантовых каскадов (последовательностей одномерных потенциальных барьеров и ям), применяемых в так называемых квантовых каскадных лазерах (quantum cascade lasers, QCL), и квантовые интерференционные устройства, такие например, как квантовые кольца (quantum rings) и каскады квантовых колец, которые предлагаются к использованию в области современной оптоэлектроники, планарной оптики, спинтроники и т.д.

Развитию теоретических основ работы- лазеров на квантовых каскадах посвящено большое число работ. Наиболее полный теоретический метод для расчета энергетической структуры активной зоны основан на методе неравновесных функций Грина, который позволяет анализировать не только энергетические уровни в активной зоне, но и плотность электронных состояний, а также транспортные свойства каскадных гетерострук-тур. Тем не менее, этот метод обладает рядом существенных недостатков. Одним из них является невозможность учета дисперсии массы в гетеро-структуре. Это является очень существенным недостатком, так как без эффекта дисперсии массы- невозможно получить, точное значение энергий электронных состояний в каскаде - важнейшей характеристики для лазерной генерации. Кроме того, метод неравновесной функции Грина является достаточно громоздким для теоретического анализа и использование его для расчета конкретных квантовых каскадов представляется затруднительным. В данной работе развивается теоретический подход к описанию каскадных систем, основанный на формализме теории рассеяния (метод трансфер-матрицы). Одним из основных преимуществ является общность постановки задачи рассеяния, связанная с тем, что данные рассеяния заключают в себе практически полную информацию об исследуемой системе (как в дискретном, так и в непрерывном спектрах).

Еще одна интересная задача, которая может быть рассмотрена в квантовом каскаде, состоит в проведении эксперимента по реализации эффекта Ааронова-Бома (еще один из известных квантовых эффектов интерференции с более чем пятидесятилетней историей). Впервые такая возможность была указана в 1985 году Даттой (Ба^а). Хорошо известно, что эксперименты, связанные с эффектом Ааронова-Бома, зачастую достаточно сложны с технической точки зрения. Вместе с тем, успехи, достигнутые по работе с лазерами на квантовых каскадах и по созданию самих квантовых каскадов, позволяют надеяться на успешную постановку эксперимента. В связи с этим определенный интерес представляет исследование процесса излучения в условиях эффекта Ааронова-Бома, т.е. его влияние на наблюдаемые характеристики квантовой системы.

В молекулярной электронике, таюке активно развивающейся в последние несколько лет, работают со структурами (молекулы, нанопроволо-ки и т.п.), в которых законы квантовой механики играют определяющую роль. При этом-, подобные объекты с высокой точностью таюке можно моделировать одномерными структурами (проводами по которым движутся носители заряда), соединенными между собой. С точки зрения математики такая структура представляет собой не что иное, как граф. Тем самым, становится возможным моделировать работу многих устройств молекулярной электроники, куда можно отнести также и квантовые интерференционные устройства, рассматривая уравнение Шредингера.на графе с одномерными ребрами и распределенными на них потенциалами. В- физике такие графы, называются "квантовыми графами".

Теория квантовых графов в настоящее время представляет собой хорошо развитый раздел квантовой механики. В стандартном подходе при решении задач на квантовых графах используют квантовую теория рассеяния в формализме ¿"-матрицы. Однако данный.метод не является наиболее подходящим для решения подобных задач. В первую очередь это связано с тем, что графы в подавляющем большинстве случаев, рассматриваются как одномерные структуры и использование ¿-матрицы в этом случае является существенно менее удобным, нежели метод трансфер-матрицы. Кроме того, ситуация осложняется еще и тем,.что в формализме ¿-матрицы приходится работать с матрицами размер которых зависит не только от числа внешних ребер графа, но и числа внутренних ребер. Учитывая, что строение графа может быть достаточно сложным, можно показать, что размер матриц может быть весьма значительным. В случае же подхода, основанного на методе трансфер-матрицы размер соответствующих матриц определяется только числом внешних ребер графа. Данный факт оказывается очень существенным при численном моделировании конкретных структур.

Таким образом, можно сделать вывод, что развитие теории, основанной на методе трансфер-матрицы, для анализа и моделирования таких физических систем, как квантовые каскады и квантовые интерференционные устройства является актуальной задачей.

Цели работы

Основными целями данной диссертационной работы являются:

Научная новизна работы

• Впервые дана последовательная теоретическая схема расчета характеристик переноса заряда в квазиодномерных каскадных системах (последовательности потенциальных барьеров и ям), в гибридных магнито-электрических наноразмерных устройствах, а также в квантовых интерференционных устройствах (квантовые кольца) основанная на формализме теории рассеяния (метод трансфер-матрицы).

• Предложена удобная для анализа и численной реализации процедура построения функции Грина электрона в присутствии рассеивающего потенциала в квазиодномерных каскадных системах, основанная на использовании аппарата функций Йоста задачи рассеяния.

• Впервые исследованы свойства "тормозного" излучения, сопровождающего процесс рассеяния в эффекте Ааронова-Бома. В частности, получены и проанализированы явные аналитические выражения для спектральной плотности мощности излучения, а также его угловые и поляризационные характеристики.

Положения, выносимые на защиту

2. Построение и анализ аналитических свойств функции Грина в методе трансфер-матрицы.

Публикации

Плановый характер работы

Работа выполнена согласно тематическом планам НИР Воронежского государственного аграрного университета им. К. Д. Глинки (раздел 2.6 Госбюджетная тема "Электрофизика полимеров, применяемых в сельском хозяйстве и промышленности", подраздел 2.6.3. "Исследование процессов электропереноса в структурах "металл-молекула-металл" "). Работа "Каскадные наносистемы как активные среды для лазеров терагерцового диапазона" поддержана грантом Минсельхоза России за 2009 год (тема 6, пункт

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях и семинарах: Школе-семинаре "Черенков-ское излучение: новые применения, ФИАН и ВГУ" (Москва-Троицк, 2006), XII Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter "Phonons-2007" (Paris, Prance, 2007), XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов "Микроэлектроника и информатика - 2008" (Зеленоград, 2008), XI Международной конференции "Физика диэлектриков" "Диэлектрики - 2008" (Санкт-Петербург, 2008), V Международной научно-технической школе-конференции "Молодые ученые -2008" (Москва, 2008), VII Международной научно-технической конференции 11 Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" "INTERMATIC - 2009" (Москва, 2009), XIII Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter "Phonons-2010" (Taipei, Taiwan, 2010); International conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO), Conference on Lasers, Applications and Technologies (LAT) "ICONO/LAT - 2010" (Kazan, Russia, 2010), XXII Международной конференции "Релаксационные явления в твердых телах" "RPS - 22" (Воронеж, 2010), Семинаре ИПХФ Российского научного центра "Курчатовский институт" (Москва, 2010 г.)

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Выводы

В данной главе

• в рамках теории возмущений в непрерывном спектре в дипольном приближении получены аналитические выражения для спектральной плотности мощности излучения электрона в условиях эффекта Ааронова-Бома;

• проанализирована зависимость спектральной плотности мощности излучения от магнитного потока, а также поляризационная структура излучения;

• предложена физическая причина возникновения излучения в условиях эффекта Ааронова-Бома;

• рассмотрено влияние эффекта Ааронова-Бома на наблюдаемые характеристики квантовой системы, обладающей дискретным спектром. В частности, найдено точное выражение для свободной энергии, энтропии, намагниченности и магнитной восприимчивости квантового кольца с потоком Ааронова-Бома, помещенного во внешнее однородное магнитное поле;

• проанализированы зависимости энтропии, намагниченности и магнитной восприимчивости квантового кольца от температуры и значений потока Ааронова-Бома.

Заключение

Сформулируем основные результаты, изложенные в диссертации:

1. Предложена формулировка метода трансфер-матрицы, основанная на использовании двух линейно независимых решений уравнения Шре-дингера в области с отличным от нуля потенциалом. В рамках развиваемого формализма проанализирована модель гибридной магнитоэлектрической наноструктуры и найдены основные характеристики такой структуры, качественно правильно описывающие динамику переноса носителей заряда.

2. В рамках метода трансфер-матрицы построены фундаментальные решения задачи рассеяния (решения Йоста) и проанализированы их общие свойства. Построена одночастичная функция Грина задачи рассеяния и получены аналитические выражения для ее асимптотического поведения. Представлены результаты численного расчета обобщенной восприимчивости основного состояния электрона в условиях размерного эффекта Штарка, качественно правильно отражающие зависимость восприимчивости от формы потенциала.

4. В рамках теории возмущений в непрерывном спектре получены аналитические выражения для спектральной плотности мощности излучения, сопровождающего процесс рассеяния электрона в эффекте Ааронова-Бома. Проанализирована зависимость спектральной плотности мощности излучения от магнитного потока, а также его угловые и поляризационные характеристики. В рамках модели двумерного ротатора исследовано влияние эффекта Ааронова-Бома на наблюдаемые характеристики квантового кольца. Найдены и проанализированы точные выражение для свободной энергии, энтропии, намагниченности и магнитной восприимчивости квантового кольца с потоком Ааронова-Бома, помещенного во внешнее однородное магнитное поле.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Мелешенко, Петр Александрович, Воронеж

1. Magnetoresistance of small, quasi-one-dimensional, normal-metal rings and lines / C. P. Umbach, S. Washburn, R. B. Laibowitz, R. A. Webb // Phys. Rev. B. - 1984. - Oct. - Vol. 30, no. 7. - Pp. 4048-4051.

2. Direct observation of ensemble averaging of the Aharonov-Bohm effect in normal-metal loops / C. P. Umbach, C. Van Haesendonck, R. B. Laibowitz et al. // Phys. Rev. Lett.— 1986.— Vol. 56, no. 4.— Pp. 386-389.

3. Observation of h/e Aharonov-Bohm oscillations in normal-metal rings / R. A. Webb, S. Washburn, C. P. Umbach, R. B. Laibowitz // Phys. Rev. Lett. — 1985. Vol. 54, no. 25. - Pp. 2696-2699.

4. Observation of Aharonov-Bohm electron interference effects with periods h/e and h/2e in individual micron-size, normal-metal rings / V. Chandrasekhar, M. J. Rooks, S. Wind, D. E. Prober // Phys. Rev. Lett. — 1985. — Vol. 55, no. 15.-Pp. 1610-1613.

5. Magnetization of mesoscopic copper rings: Evidence for persistent currents / L. P. Levy, G. Dolan, J. Dunsmuir, H. Bouchiat // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64, no. 17. — Pp. 2074-2077.

6. Observation of the Aharonov-Bohm effect for cuct > 1 / G. Timp, A. M. Chang, J. E. Cunningham et al. // Phys. Rev. Lett.— 1987.— Vol. 58, no. 26. Pp. 2814-2817.

7. Dolan, G. J. Quantum interference effects in lithium ring arrays / G. J. Dolan, J. C. Licini, D. J. Bishop // Phys. Rev. Lett.— 1986.— Vol. 56, no. 14. Pp. 1493-1496.

8. Quantum interference effects and spin-orbit interaction in quasi-one-dimensional wires and rings / Ç. Kurdak, A. M. Chang, A. Chin, T. Y. Chang // Phys. Rev. B. — 1992. Vol. 46, no. 11. — Pp. 6846-6856.

9. Asymmetry in the magnetoconductance of metal wires and loops / A. D. Benoit, S. Washburn, С. P. Umbach et al. // Phys. Rev. Lett.— 1986. Vol. 57, no. 14. - Pp. 1765-1768.

10. Observation of Aharonov-Bohm magnetoresistance oscillations in selectively doped GaAs — AlGaAs submicron structures / K. Ishibashi, Y. Takagaki, K. Gamo et al. // Solid State Commun. — 1987. — Vol. 64, no. 4. Pp. 573-576.

11. Measurements of optical losses in mid-infrared semiconductor lasers using Fabry-Pérot transmission oscillations / D. G. Revin, L. R. Wilson, D. A. Carder et al. // J. Appl. Phys.— 2004.— Vol. 95, no. 12.— Pp. 7584-7587.

12. Spectroscopy of GaAs/AlGaAs quantum-cascade lasers using hydrostatic pressure / S. R. Jin, C. N. Ahmad, S. J. Sweeney et al. // Appl. Phys. Lett. 2006. — Vol. 89, no. 22. — P. 221105.

13. Имри, Й. Введение в мезоскопическую физику / Й. Имри. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 304 с.

14. Гантмахер, В. Ф. Электроны в неупорядоченных средах / В. Ф. Гант-махер.— 2-е, испр., доп. изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 232 с.

15. Rammer, J. Quantum transport theory of electrons in solids: A single-particle approach / J. Rammer // Rev. Mod. Phys. — 1991. — Vol. 63, no. 4. Pp. 781-817.

16. Datta, S. Electronic Transport in Mesoscopic Systems / S. Datta.— Cambridge: Cambridge University Press, 1997. — 377 pp.

17. Imry, Y. Conductance viewed as transmission / Y. Imry, R. Landauer // Rev. Mod. Phys.- 1999. — Vol. 71.-Pp. S306-S312.

18. Lin, P. V. Electron interferometry in the quantum Hall regime: Aharonov-Bohm effect of interacting electrons / P. V. Lin, F. E. Camino, V. J. Goldman // Phys. Rev. Я —2009. —Vol. 80, no. 12. —P. 125310.

19. Design and simulation of deep-well GaAs-based quantum cascade lasers for 6.7 /ш1 room-temperature operation / X. Gao, M. D'Souza, D. Botez, I. Knezevic //J, Appl. Phys. — 2007. — Vol. 102, no. 11. —P. 113107.

20. Theory of nonequilibrium quantum transport and energy dissipation in terahertz quantum cascade lasers / T. Kubis, C. Yeh, P. Vogl et al. // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 79, no. 19. — P. 195323.

21. Merzbacher, E. Quantum mechanics / E. Merzbacher. — 2nd. edition. — New York: Wiley, 1970. 635 pp.

22. Калоджеро, Ф. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений / Ф. Калоджеро, А. Дегасперис; Под ред. В. Е. Захарова. — М.: Мир, 1985. — 469 с.

23. Klinskikh, A. F. Modified transfer matrix method for quantum cascade lasers / A. F. Klinskikh, D. A. Chechin, A. V. Dolgikh //J. Phys. B: At. Mol. Opt. 2008. - Vol. 41. - Pp. 161001-1-161001-3.

24. Tunneling properties of hybrid magnetoelectric nanoscale devices / A. F. Klinskikh, P. A. Meleshenko, A. V. Dolgikh, D. A. Chechin // Eur. Phys. J. B. 2010. - Vol. 78, no. 4. - Pp. 469-474.

25. Study of the demagnetization and optimization of the magnetic field of perpendicular ferromagnetic thin films using esub-/im lithography / W. Van Roy, E. Carpi, M. Van Hove et al. //J. Magn. Magn. Mater. — 1993. Vol. 121. - Pp. 197-200.

26. Peeters, F. M. Quantum structures created by nonhomogeneous magnetic fields / F. M. Peeters, A. Matulis // Phys. Rev. В.- 1993,-Vol. 48.-Pp. 15166-15174.

27. Majumdar, A. Effects of intrinsic spin on electronic transport through magnetic barriers / A. Majumdar // Phys. Rev. B.— 1996. —Vol. 54.— Pp. 11911-11913.

28. Scattering of ballistic electrons at a mesoscopic spot of strong magnetic field / K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Dubonos et al. // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65. - P. 233312.

29. Ibrahim, I. S. Classical transport of electrons through magnetic barriers / I. S. Ibrahim, V. A. Schweigert, F. M. Peeters // Phys. Rev. B.— 1997.— Vol. 56. Pp. 7508-7516.

30. Observation of giant magnetoresistance due to open orbits in hybrid semiconductor/ferromagnet devices / A. Nogaret, S. Carlton, B. L. Gallagher et al. // Phys. Rev. B. — 1997. — Vol. 55. — Pp. R16037-R16040.

31. Electron transport in a two-dimensional electron gas with magnetic barriers / T. Vancura, T. Ihn, S. Broderick et al. // Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 62. Pp. 5074-5078.

32. Nogaret, A. Resistance resonance effects through magnetic edge states / A. Nogaret, S. J. Bending, M. Henini // Phys. Rev. Lett — 2000.— Vol. 84. Pp. 2231-2234.

33. Hall anomaly of diffusive magnetic waveguides / A. Nogaret, D. N. Lawton, D. K. Maude et al. // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67. -P. 165317.

34. Hybrid Hall effect device / M. Johnson, B. R. Bennett, M. J. Yang et al. // Appl. Phys. Lett. 1997. - Vol. 71. - Pp. 974-977.

35. Large hysteretic magnetoresistance in high-mobility semiconductor quantum wires bridged by single-domain nanomagnets / J.-U. Bae, T-Y. Lin, Y. Yoon et al. // Appl. Phys. Lett — 2007. — Vol. 91. — P. 022105.

36. Large tunneling magnetoresistance in a field-effect transistor with a nanoscale ferromagnetic gate / J.-U. Bae, T.-Y. Lin, Y. Yoon et al. // Appl. Phys. Lett. — 2008. — Vol. 92. — P. 253101.

37. Matulis, A. Wave-vector-dependent tunneling through magnetic barriers / A. Matulis, F. M. Peeters, P. Vasilopoulos // Phys. Rev. Lett. — 1994. — Vol. 72.-Pp. 1518-1521.

38. Heide, (?. Current through a combined magnetostatic and electrostatic barrier system / C. Heide // Phys. Rev. B. — 1999. — Vol. 60. — Pp. 25712578.

39. Electron-spin polarization in magnetically modulated quantum structures / Y. Guo, B.-L. Gu, Z. Zeng et al. // Phys. Rev. B. — 2000. Vol. 62. - Pp. 2635-2639.

40. Papp, G. Spin filtering in a magnetic-electric barrier structure / G. Papp, F. M. Peeters // Appl. Phys. Lett. — 2001. — Vol. 78. —Pp. 2184-2186.

41. Xu, H. Z. Does a magnetic barrier or a magnetic-electric barrier structure possess any spin polarization and spin filtering under zero bias? / H. Z. Xu, Y. Okada // Appl. Phys. Lett. 2001. - Vol. 79. - Pp. 31193121.

42. Lu, M.-W. Spin polarization of electrons tunneling through magnetic-barrier nanostructures / M.-W. Lu, L.-D. Zhang, X.-H. Yan // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 66. - P. 224412.

43. Resonant enhancement and negative differential resistances in hybrid magnetic-electric barrier structures / Y. Guo, F. Zhai, B.-L. Gu, Y. Kawazoe // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 66.- P. 045312.

44. Bamberg, P. A course in mathematics for students of physics / P. Bamberg, S. Stenberg. — Cambridge: Cambridge University Press, 1991.-Vol. 2.-P. 424.

45. Pauling, L. The diamagnetic anisotropy of aromatic molecules / L. Pauling 11 J. Chem. Phys. 1936. - Vol. 4, no. 10.- Pp. 673-677.

46. Ruedenberg, К. Free-electron network model for conjugated systems. I. Theory / K. Ruedenberg, C. W. Scherr //J. Chem. Phys.— 1953.— Vol. 21, no. 9. — Pp. 1565-1581.

47. Klevens, H. B. Classification of spectra of cata-condensed hydrocarbons / П. B. Klevens, J. R. Piatt // J. Chem. Phys.- 1949.- Vol. 17.— Pp. 470-471.

48. Piatt, J. R. Spectral resemblances of cata-condensed hydrocarbons / J. R. Piatt // J. Chem. Phys. 1949. - Vol. 17.-Pp. 484-495.

49. Schmidtke, H.-H. LCAO description of symmetric molecules by unified theory of finite graphs / H.-H. Schmidtke // J. Chem. Phys. — 1966. — Vol. 45, no. 11. Pp. 3920-3928.

50. Mallion, R. B. Some graph-theoretical aspects of simple ring current calculations of conjugated systems / R. B. Mallion // Proc. R. Soc. bond. A. 1975. - Vol. 341. - Pp. 429-449.

51. Dowker, J. S. Quantum mechanics and field theory on multiply connected and on homogeneous spaces / J. S. Dowker //J. Phys. A: Math. Gen.— 1972. Vol. 5. - Pp. 936-943.

52. Schulman, L. Approximate topologies / L. Schulman //J. Math. Phys. — 1971.-Vol. 12, no. 5.-Pp. 304-308.

53. Budgor, A. B. Quantum mechanics on topological networks / A. B. Budgor //J. Math. Phys. 1976.- Vol. 17, no. 8,- Pp. 15381545.

54. Ringwood, G. A. Random walks and quantum currents in networks /

55. G. A. Ringwood // J. Math. Phys. 1981. - Vol. 22.-Pp. 96-100.

56. Герасименко, H. И. Задача рассеяния на некомпактных графах /

57. H. И. Герасименко, Б. С. Павлов // ТМФ.— 1988.- Т. 74, № 3.— С. 345-359.

58. Герасименко, Н. И. Обратная задача рассеяния на некомпактном графе / Н. И. Герасименко // ТМФ. 1988. - Т. 75, № 2.- С. 187-200.

59. Texier, С. Scattering theory on graphs / С. Texier, G. Montambaux // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - Vol. 34.-Pp. 10307-10326.

60. Desbois, J. Spectral determinant of schrödinger operators on graphs / J. Desbois Ц J. Phys. A: Math. Gen. — 2000. — Vol. 33. — Pp. L63-L67.

61. Akkermans, E. Spectral determinant on quantum graphs / E. Akkermans // Ann. Phys.— 2000.— Vol. 284, no. 1.— Pp. 1051.

62. Griffith, J. S. Note on the generalized free-electron model of conjugated polycyclic hydrocarbons / J. S. Griffith //J. Chem. Phys.— 1953.— Vol. 21.-Pp. 174-174.

63. E. Wigner // Phys. Z. 1929. — Vol. 30. - Pp. 467-470.

64. Stillinger, F. Bound states in the continuum / F. Stillinger, D. Herrick // Phys. Rev. A. — 1975. — Vol. 11, no. 2.- Pp. 446-454.

65. Observation of an electronic bound state above a potential well /

66. F. Capasso, C. Sirtori, J. Faist et al. // Nature. — 1992,— Vol. 358.— Pp. 565 567.

67. Bound states in the continuum in open Aharonov-Bohm rings / E. N. Bulgakov, K. N. Pichugin, A. F. Sadreev, I. Rotter // JETP Lett. — 2006. — Vol. 84, no. 8. — Pp. 430-435.

68. Texier, C. Local Friedel sum rule on graphs / C. Texier, M. Büttiker // Phys. Rev. B. 2003. - Vol. 67, no. 24. - P. 245410.

69. Xia, J. Quantum waveguide theory for mesoscopic structures / J. Xia // Phys. Rev. B. — 1992. — Vol. 45, no. 7. — Pp. 3593-3599.

70. Aharonov, Y. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory / Y. Aharonov, D. Bohm // Phys. Rev.— 1959.— Vol. 115.— Pp. 485-491.

71. Henneberger, W. C. Some aspects of the Aharonov-Bohm effect / W. C. Henneberger // Phys. Rev. A.— 1980.— Vol. 22,— Pp. 13831388.

72. Ruijsenaars, S. N. M. The Aharonov-Bohm effect and scattering theory / S. N. M. Ruijsenaars // Ann. Phys. — 1983. — Vol. 146. — Pp. 1-34.

73. Olariu, S. The quantum effects of electromagnetic fluxes / S. Olariu, I. I. Popescu // Rev. Mod. Phys.— 1985. —Vol. 57.—.Pp. 339-436.

74. Peshkin, M. The Aharonov-Bohm effect / M. Peshkin, A. Tonomura. —

75. Springer-Verlag, Berlin, 1989. — 152 pp.

76. Alford, M. G. Aharonov-Bohm interaction of cosmic strings with matter / M. G. Alford, F. Wilczek // Phys. Rev. Lett.— 1989.- Vol. 62.-Pp. 1071-1074.

77. Hagen, C. R. Aharonov-Bohm scattering of particles with spin / C. R. Hagen // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. - Pp. 503-506.

78. Афанасьев, Г. H. Старые и новые прблемы в теории эффекта Ааронова-Бома / Г. Н. Афанасьев // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1990. — Т. 21, № 1. — С. 172-250.

79. Любошиц, В. В. Транспортное сечение рассеяния и эффект Ааронова-Бома на тороидальном соленоиде / В. В. Любошиц, В. Л. Любошиц // ЖЭТФ. — 2000. — Т. 118, № 4. — С. 777-786.

80. Caprez, A. Macroscopic test of the Aharonov-Bohm effect / A. Caprez, B. Barwick, H. Batelaan // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99, no. 21. — P. 210401.

81. Wu, T. T. Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields / T. T. Wu, C. N. Yang // Phys. Rev. D. — 1975. — Vol. 12, no. 12. Pp. 3845-3857.

82. Berry, M. V. Exact Aharonov-Bohm wavefunction obtained by applying Dirac's magnetic phase factor / M. V. Berry // Eur. J. Phys. — 1980. — Vol. 1, no. 4.- Pp. 240-244.

83. Hagen, C. R. Aharonov-Bohm scattering amplitude / C. R. Hagen // Phys. Rev. D.— 1990.-Vol. 41, no. 6. — Pp. 2015-2017.

84. Hagen, C. R. Exact equivalence of spin-1/2 Aharonov-Bohm and Aharonov-Casher effects / C. R. Hagen // Phys. Rev. Lett.— 1990.— Vol. 64, no. 20. Pp. 2347-2349.

85. Gavrilov, S. P. Green functions of the Dirac equation with magnetic-solenoid field / S. P. Gavrilov, D. M. Gitman, A. A. Smirnov // J. Math. Phys. 2004. - Vol. 45, no. 5. - Pp. 1873-1886.

86. Oh, C. H. The propagator in the generalized Aharonov-Bohm effect /

87. C. H. Oh, C. P. Soo, C. H. Lai // J. Math. Phys. 1988.- Vol. 29, no. 5.- Pp. 1154-1157.

88. Bagrov, V. G. Solutions of relativistic wave equations in superpositions of Aharonov-Bohm, magnetic, and electric fields /V. G. Bagrov,

89. D. M. Gitman, V. B. Tlyachev // J. Math. Phys. 2001.— Vol. 42, no. 5. — Pp. 1933-1959.

90. Vaehaspati, T. Radiation from vacuum strings and domain walls / T. Vaehaspati, A. E. Everett, A. Vilenkin // Phys. Rev. D. — 1984.— Vol. 30, no. 10. Pp. 2046-2053.

91. Vaehaspati, T. Gravitational radiation from cosmic strings / T. Vaehaspati, A. Vilenkin // Phys. Rev. D.— 1985.— Vol. 31, no. 12. Pp. 3052-3058.

92. Vilenkin, A. Electromagnetic radiation from superconducting cosmic strings / A. Vilenkin, T. Vachaspati // Phys. Rev. Lett. — 1987. — Vol. 58, no. 10. — Pp. 1041-1044.

93. Jones-Smith, K. Aharonov-Bohm radiation / K. Jones-Smith, II. Mathur, T. Vachaspati // Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81, no. 4. — P. 043503.

94. Radiative attenuation of the electron in the Aharonov-Bohm effect / A. F. Klinskikh, P. A. Meleshenko, A. V. Dolgikh, H. T. T. Nguyen // Nuovo Ciment. B. — 2010. — Vol. 125, no. 10.-Pp. 1161-1171.

95. Büttiker, M. Josephson behavior in small normal one-dimensional rings / M. Büttiker, Y. Imry, R. Landauer // Phys. Lett. A. — 1983. — Vol. 96. — Pp. 365-367.

96. Büttiker, M. Quantum oscillations in one-dimensional normal-metal rings / M. Büttiker, Y. Imry, M. Y. Azbel // Phys. Rev. A.— 1984.— Vol. 30. Pp. 1982-1989.

97. Berry, M. V. Aharonov-Bohm geometric phases for rotated rotators / M. V. Berry // J. Phys. A: Math. Theor. — 1997. — Vol. 30. — Pp. 83558362.

98. Li, S.-S. Electronic states of InAs/GaAs quantum ring / S.-S. Li, J.B. Xia U J. Appl. Phys. 2001. - Vol. 89. - Pp. 3434-3437.

99. Energy spectra of quantum rings / A. Fuhrer, S. Lüscher, T. Ihn et al. // Natvre. — 2001. Vol. 413. - Pp. 822-825.

100. Magnetoconductance of rectangular arrays of quantum rings / O. Kaiman, P. Földi, M. G. Benedict, F. M. Peeters // Phys. Rev. B.— 2008. Vol. 78. - P. 125306.

101. Correlation-induced single-flux-quantum penetration in quantum rings / A. J. M. Giesbers, U. Zeitler, M. I. Katsnelson et al. // Nature Phys.— 2010. Vol. 6. - Pp. 173-177.

102. Optical response of two-dimensional few-electron concentric double quantum rings: A local-spin-density-functional theory study / F. Malet, M. Pi, M. Barranco et al. // Phys Rev. B. — 2006. — Vol. 74. — P. 193309.

103. Avishai, Y. Magnetization of two coupled rings / Y. Avishai, J. M. Luck // J. Phys. A: Math. Theor. — 2009. Vol. 42. - P. 175301.

104. Investigation of the mesoscopic Aharonov-Bohm effect in low magnetic fields / A. E. Hansen, S. Pedersen, A. Kristensen et al. // Physica E. — 2000. Vol. 7. - Pp. 776-780.

105. Hughes, W. L. Formation of piezoelectric single-crystal nanorings and nanobows / W. L. Hughes, Z. L. Wang // J. Am. Chem. Soc. — 2004. — Vol. 126. Pp. 6703-6709.

106. Sekiguchi, K. Effect of ferromagnetism on AB oscillations in a normalmetal ring / K. Sekiguchi, A. Yamaguchi, H. Miyajima // Phys. Rev.

107. B. 2008. - Vol. 77. - P. 140401 (R).

108. Optical emission from a charge-tunable quantum ring / R. J. Warburton,

109. C. Schaflein, D. Haft et al. // Nature. — 2000. — Vol. 405. — Pp. 926-929.

110. Shahbazyan, T. Many-body luminescence from nanorings at high excitation level / T. Shahbazyan, I. Perakis, M. Raikh // Physica E. — 2002.-Vol. 14, no. 1-2.-Pp. 172-176.

111. Nanoring structure and optical properties of GagAss / Y. Sun, X. Chen, L. Sun et al. // Chem. Phys. Lett. — 2003. — Vol. 381. — Pp. 397-403.

112. Nanoring as a magnetic or electric field sensitive nano-antenna for near-field optics applications / M. Suarez, T. Grosjean, D. Charraut,

113. D. Courjon // Opt Commun. — 2007. — Vol. 270, no. 2.-Pp. 447-454.

114. Cohen, G. Constructing spin interference devices from nanometric rings / G. Cohen, O. Hod, E. Rabani // Phys. Rev. B.— 2007.— Vol. 76, no. 23. P. 235120.

115. Liu, D.-Y. One-dimensional quantum waveguide theory of Rashba electrons / D.-Y. Liu, J.-B. Xia, Y.-C. Chang J / J. Appl. Phys. — 2009. — Vol. 106.-P. 093705.

116. Lewis, R. R. Aharonov-Bohm effect for trapped ions / R. R. Lewis // Phys. Rev. A. — 1983. — Vol. 28. — Pp. 1228-1236.

117. Sakoda, S. Difference in the Aharonov-Bohm effect on scattering states and bound states / S. Sakoda, M. Omote // Adv. Imag. Elect. Phys.— 1999.-Vol. 110.-Pp. 101-171.

118. Spintronic single-qubit gate based on a quantum ring with spin-orbit interaction / P. Foldi, B. Molnar, M. Benedict, F. Peeters // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 71, no. 3. - P. 033309.

119. Electron wave interferometry through an asymmetric Aharonov-Bohm ring / E. R. Hedin, R. M. Cosby, Y. S. Joe, a. M. Satanin //J. Appl. Phys. 2005. - Vol. 97, no. 6. - P. 063712.

120. Generalized many-channel conductance formula with application to small rings / M. Biittiker, Y. Imry, R. Landauer, S. Pinhas // Phys. Rev. В.— 1985. Vol. 31, no. 10. - Pp. 6207-6215.

121. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 4-е, испр. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 768 с.

122. Ньютон, Р. Теория рассеяния волн и частиц / Р. Ныотон. — М.: Мир, 1969. 600 с.

123. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Д. Эйлбек, Д. Гиббон, X. Моррис; Под ред. А. Б. Шабата,— М.: Мир, 1988.— 693 с.

124. Есопотои, Е. N. Green's functions in quantum physics / E. N. Economou. — Berlin: Springer, 2006. — 477 pp.

125. Базъ, А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. — 2-е, испр. и доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 544 с.

126. Функция Грина каскада квантовых ям / А. В. Долгих, П. А. Меле-шенко, А. В. Колупанова, А. Ф. Клинских // Вестник ВГУ, Серия: Физика. Математика.— 2009.— № 1. — С. 37-41.

127. Classical Hall effect in scanning gate experiments / A. Baumgartner, T. Ihn, K. Ensslin et al. // Phys. Rev. В.— 2006. —Oct.— Vol. 74, no. 16. P. 165426.

128. Теория солитонов: Метод обратной задачи. / В. Е. Захаров, С. В. Ма-наков, С. П. Новиков, JT. П. Питаевский. — М.: Наука, 1980. — 319 с.

129. Дубровин, Б. А. Современная геометрия: Методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко.— 4-е, испр., доп. изд. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.— Т. I. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. — 336 с.

130. Мессиа, А. Квантовая механика / А. Мессиа; Под ред. JI. Д. Фадде-ева. М.: Наука, 1978. — Т. I. — 478 с.

131. Reed, М. Methods of Modern Mathematical Physics: I Functional Analysis / M. Reed, B. Simon.— New York: Academic Press, 1981.— 400 pp.

132. Nazarov, Y. V. Quantum Transport: Introduction to Nanoscience / Y. V. Nazarov, Y. M. Blanter. — Cambridge: Cambridge University Press, 2009. 590 pp.

133. Montroll, E. W. Quantum theory on a network. I. A solvable model whose wavefunctions are elementary functions / E. W. Montroll //J. Math. Phys. 1970. — Vol. 11, no. 2. — Pp. 635-648.

134. Alexander, S. Superconductivity of networks, a percolation approach to the effects of disorder / S. Alexander // Phys. Rev. B. — 1983. — Vol. 27, no. 3.-Pp. 1541-1557.

135. Voo, К.-К. Localized states in continuum in low-dimensional systems / K.-K. Voo, C. Chu // Phys. Rev. В.- 2006.- Vol. 74, no. 15.— P. 155306.

136. Wu, С. H. Quantum network theory of transport with applications to generalized Aharonov-Bohm effect in metals and semiconductors /

137. C. H. Wu, G. Mahler // Phys. Rev. В.- 1991.- Vol. 43, no. 6.-Pp. 5012-5023.

138. Pursey, D. Scattering from a shifted von Neumann-Wigner potential /

139. D. Pursey, T. Weber 11 Phys. Rev. A.- 1995.- Vol. 52, no. 5.— Pp. 3932-3939.

140. Shao, Z.-a. Transmission resonances and zeros in quantum waveguide systems with attached resonators / Z.-a. Shao, W. Porod, C. S. Lent // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 49, no. 11.-Pp. 7453-7465.

141. Satamn, A. Fano interference and resonances in open systems / A. Satanin, Y. Joe // Phys. Rev. В.— 2005.— Vol. 71, no. 20.— P. 205417.

142. Deo, P. S. Importance of individual scattering matrix elements at Fano resonances / P. S. Deo, M. Manninen // J. Phys.: Condens. Mat — 2006,-Vol. 18, no. 23.- Pp. 5313-5321.

143. Springer handbook of acoustics / Ed. by T. Rössing.— New York: Springer, 2007. — 1182 pp.

144. Low, P. E. Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions / F. E. Low // Phys. Rev. — 1958. — Vol. 110, no. 4. — Pp. 974-977.

145. Райдер, JI. Квантовая теория поля / JI. Райдер; Под ред. Р. А. Мир-Касимова. — Волгоград: "Платон", 1998.— 512 с.

146. Гелъфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1959.— 470 с.

147. Джексон, Д. Классическая электродинамика / Д. Джексон; Под ред. Э. JI. Бурштейна. — М.: Мир, 1965. — 702 с.

148. Соколов, А. А. Релятивистский электрон / А. А. Соколов, И. М. Тернов. — 2-е, перераб. изд. — М.: Наука, 1983. — 304 с.

149. Schwinger, J. On gauge invariance and vacuum polarization / J. Schwinger // Phys. Rev. — 1951. — Vol. 82, no. 5.- Pp. 664-679.

150. Гайтлер, В. Квантовая теория излучения: Пер. с 3-го англ. изд. /

151. B. Гайтлер; Под ред. Н. Н. Боголюбова.— М.: ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1956. 491 с.

152. Берестецкий, В. Б. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — 3-е, испр. изд.— М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989.— Т. IV. Квантовая электродинамика. — 720 с.

153. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 7-е, испр. изд. — М.: Наука. Гл. ( ред. физ-мат. лит., 1988. — Т. II. Теория поля. — 512 с.

154. Скалли, М. О. Квантовая оптика: Пер. с англ. / М. О. Скалли, М. С. Зубайри; Под ред. В. В. Самарцева.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. —512 с.

155. Влум, К. Теория матрицы плотности и ее приложения: Пер. с англ. / К. Блум. — М.: Мир, 1983. — 248 с.

156. Фейнберг, Е. Л. Об «особой роли» электромагнитных потенциалов в квантовой механике / Е. Л. Фейнберг // УФК — 1962. — Т. 78, № 1. —1. C. 53-64.

157. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 3-е, доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1976. — Т. V. Статистическая физика ч.1. — 584 с.

158. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — 4-е, перераб. изд. — М.: Физматгиз, 1963.- 1100 с.

159. Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа / Э. Т. Уиттекер, Д. Н. Ватсон; Под ред. Ф. В. Широкова. — 2-е изд. — М.: Физмат-газ, 1963. — Т. II. Трансцендентные функции. — 500 с.

160. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие для вузов в 10 т. / JI. Д. Ландау, JI. П. Питаевекий, Е. М. Лифшиц. — 2-е, перераб., доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1982.— Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. — 624 с.

161. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. — 2-е, стер, изд. — М.: Наука, 1974.— Т. II. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — 296 с.

162. Abramowitz, М. Handbook of Mathematical Functions / M. Abramowitz, I. A. Stegun. — Boston: Twayne Publishers, 1973. — 1046 pp.