Квазирефлективные группы движений пространств Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

« II ь

лкадеш наук ссс? сибирское отдагшз

Институт математики

На правах рукописи

РУЗЛАКОВ Олег Петрович

УД< 512.517

ЮЗАЗИРЕФЛЖГИЕРЬ!Е ГРУППЫ ДОИЯМ ПРОСТРАНСТВ ЛОБАЧЕВСКОГО

0I.0l.C4 -- г&сжтрпя а топология

Л в т о р с. ф е.р а ч .

диссергации ка соискание учэдой степени кандидата.фкзикочгатемаотгаэсяих наук

■ ковос"шгск 1591.

У.)

Работа выполнена ка кафодре алгебры и геометрии Кемеровского государственного университета

Научный руководитель - кандидат физихо-уатематеческга

наук, доцент Г.А.Сойфер

Официальное оппонента - доктор физико-математических

наук А.Д.Меданх

- кандидат физико-математических наук, с.н.с. К.А.Гусевский

Ведупая организация - Московский государственный

университет

Заикта диссертации состоится "3-1' хддх г,

в ^ часов на заседании специализированного совета К 002.23.02 по присувденяю ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО ЛН СССР. (630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан " " Ч, 2992 г#

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математически; наук, доцент

.В.Иванов

а ' -

диссертаций

" 'ЬЕШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБ01Ы

Актуальность теш. Геометрический метода изучения даокрот-ных групп двиястгЧ прос ^анств Лобачевского, восходдаэ х классическим работам Ф. Клейка и А.Пуанкаре, основываются на пост-роо../и фундаментального многогранника заданной группы и порождающих ее движения, иогоруо попарно совмещают грани шксималь-ной-размерности ^дашнгального многогранника. В частности, хорошо известная теорема ГГуекгаре к ее обобщения позволяют найти копродставленае рассматриваемой грунта, зная комбинаторное строение и величины двуграшжх углов ее фундаментального мно- ' гогранника. Однако, построение фундаментального многогранника дискретной группы движений пространства Лобачевского, почти • всегда сложная задача, за исключением неяоторкх «недальних случаев, один из которых - группы, лсрогданныс отражениями относительно гиперплоскостей. . , ' -

Широко употрзбктэяышй метод исследования дискретных групп ~ переход к их подгруппа?* конечного иицэхса или даже к соизмеримым с ними' группам. Ляскрета/ю группу-движений пространства Лобачевского называют рефлективном, осли она содержи? подгруппу конечного-индекса, лорожденну» отражениями. '■■■ - / -

Классический источник примеров дискретных -групп; движений ■ пространств Лобачевского - нзухеш'е групп автоморфизмов целочисленных квадратична.*: форм сигнатура (П , I), Подгруппа кн- -декса 2 такой группы моает бить рэссмотрона как дискретная группа движений И-мерного про'странсттза Лсйачевокото;'в' дальяой- • -ием, говоря о грузде автоморфизмов квадратичной форма сагнаауры ' (!•! , I), юы.будем"иметь ввиду именно' згу :ев йодаэдтшу.

Еще ъ конце прошлого века Р.йршсе ^ показал, что группы автоморфизмов некоторых целочисленных кзадратлчннх форм сигнатуры I) рефлексивны, й накэл фундзуштг т>нне многоугольники vx псдггрупп, пороздэнных отражениями.

Отдатам бщо один класс примерок дискрэтних групп движений пространств Лобачевского - группы Еъшжи. Напомним, что группой Бъянхш S¿íw) иазявгеяея группа PC¿2 [&„,) X) где /L - кольцо целых элементов мнимого квадратичного полк Q (|Рй7) и Т - елшскт порядка 2 , дейстаущий на А Я, как кожлэксноа сопряжение. Л.Бмшка ^ показал, что группа ß Um) кояет быть рассмотрена как дискретная jrpynna дажэ-ний трехмерного пространства Лобачевского и , при "П £ 19, М г 14, 17, содернат подгруппу аадокса 2 нли X, порожденную отракеиияш. Он гака© явно описал фундаментальные многогранники полученных дкскретных групп, порожденных отражениями.

Дня некоторых vn , удовлетворяющих условиям Бьянзш, Р. Суон ^ построил фундамелтальнна многогранники групп (подгрупп конечного индекса б грушах В i im) ) и нашел ко-предогавленкя груш

ZLAfU » Gí2 (А„)

Существенное развитие теория рефюктивннх груш получила

I) Fr¿c4c R. Ü4e.r e¿ne ßeäondere. \(-iaü$e c(¿gcoH-tl~

er Gruppen itzéet £ыеагег £u$sii-íut¿crnen// Waili." А<лп. - 1801. - V. S?. - Р. 4ZÍ - ЧТ-С.

ßUnelu L. Sui. ^гйрpt de 5oili-itA2ioni -¿LWtari СОИ cccSJicieHÍi apparieneníi a carpí a.uac(raüc¿.

SwЙИ R. .CeneraiorS ayid г]y0r bzrbaiH ;v :& pe cial 1ышг arCu?¿ J[ ^ WJ? . - V.C.-/VÍ.-P. |.?7

з работах Э.Б.Викберга и В.В.Никулика (смотри обзор^ ). В частности, Э.Б.Еинбергогл доказано, что если Г - дискретная группа движений пространства Лобачевского. П, — ее подгруппа, порожденная всеми отраяениямп, содержащимися в группе Г , 2)^-выпуклкй фундаментальный многогранник группы Г^ , то

Г : Г, >3 , где Д - подгруппа группы сишэтрнй мно-

гогранника . Группу Д т будем называть иеоефлбктивной

частая группы Г ,' она определена с точхгости) до внутренних ' Р

автоморфизмов группа I • Ясно, что в наших обозначениях рефлективность группы Г' эквивалентна конечности группы А • В случае, если П '.- рефлективная группа автоморфизмов целочисленной квадратичной ¡рорш сигнатуры {Ч г I), э указанной работе. З.Е.Винберга предложен алгоритм построения-фундаментального многогранника группы Пг , т.е. ражена - задача описания самой группы Г7. . В частности, с помощью этого алгоритма' исследована группы автоморфизмов унимодулярлнх цело^ислеинн.. квадратичных форм (форм,- определители матриц когорнх равны -I ). Сказалось, что эта группы рефлоктиэшг, зели и'только если ранг форма не

„„ о )

1ревосходат 20 ' .

Группа автоморфизмов четной уиимодулярпой целочисленной ■ изадратичяоЗ форма сигнатура' (25,. I) .не'рефлекишга, одаг-ко

•^Впнберг Э.Б., Шварцман О.В. Лискр-зтяно группы двияший арост-)анств постоянной • крввизнн // Современные проблемы '¡«атематихи. ?ундаментальйыэ направления. Т.29. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ Л СССР). -1,5., 1388. - С Л 47-259.. :

'^Еинберг Э.Б. Сб'унймодулят'чых ¿(елотаслаотк. хвадрзтичнах форах /'. Фугасц. анализ. - 1972. - Т.6. - С.25-32. ;. ..

^ Йшберг Э.Б., Каялшскзя И.к;. О.группах .О^С^) , в 0о 4 ('!!) 7 Докл.- АН СССР. - 1978. - Т.228. - б Л273-1 75,

JSs.^опалая эту грушу, асиоль-овав ее разложение в яолу» цржос произведен*«* иедгруапк охранений а нерефлективкой части. В этом случае фуидаментильнкй многогранник подгруппк, порсзден-ной ограяэняям.Ч, гшзот бесконечное число граней, которые касаются некоторой орясйэрч максимальной раадаркостя; нэрефдектиг-н£я часть группы бесконечна и действует на зтой оркс$ере, оставляя неподвшшм ее центр - бесконечно уцалекну?) точку пространства Яоозчевского. Учитывая, что всякая коночная группа «г

двкжевяй пространство Ясбачьвет.ч» имеет ншодвиякую точку, и cSepi: с центром в этой точке лквариениш относительно действия рассматриваемой группы, коже сказать, что нерзфлектавная часть группк, мсодедоеансй Гя.Конвоем, относится к простейшим бесконечным ."чокрегнлм группам движений пространств ЛобачзЕского, а cam группа - к простейшим нерефяективнкм группам.

Ввиду оказанного внее, нам представляется естественным исследование дискретных групп движений пространств Лобачевского, нэрейяективные части которых имеют неподвижные бесконечно удаленные точка я инвариантно действуют на орисфердх с центрами в этих"'точках. Мы будем рассматривать только,-.кристаллографические. ~ругаш, то ест\ дискретные группы, фундаментальные многогранныки которых имеют конечный объем. Отметим, что группы Бьянки, группы автоморфизмов целочисленных квадратичных форм и другие наиболее интересные примера дискретных груш движений пространств Лобачевского являются кристаллографическими группами.

С ЗИ iVfty The (лu-boywor рni sin ^гомр -ihe

26 - di me.n $1оиа€ even unlmoiiAiar Lorefti-htiicej/ 3 - V. 10.~ P. 153-163.

?

Цздь работы. I. Изучение гоолтетрия действия кристаллографических групп движений прсстраксд} Яооачовскогс, псрофга:<-тивнне части которых пшют неподвадтее бесконечно удэхегешо точки п инвариантно действуют на орксАерах с центрами в этих точках; 2. Построение примеров зсяэссичосккх дискретах групп движений пространств Лсбачечскси-о, црлмадпежандах опист-ю.му в пункгь I классу дискретных групп; 3. Зачисление хопрвдетазте-чи:: некоторых: дискретных групп движений пространств Лобачевского к связанных с ниик яино%гах групп.

Научная новизна.. В работе определен новы! кчасс дискретных. групя дашашй пространств Дэбачовсюго - квазирефлектхв-¡ке груша. Ползав« крхтзр'-*!': гатдрофяекткшоста кря«*кишзгра-'кческой грунта ка языке гесдаетоид ^уидамантадького шогогран-îsiKs подгруппу, отражений &?чш>Д г^уяяы. доказана квазирефлак-'ивкс-сть туш групп Бзянгл п н&йггоркх групп явтоглор$изков це-гочасявяшх квадратичных форм. Пре,г~ихен& нодаОвиацюг алгорит-а Зялбзрга построения фу-^анекга.-ьпого шогогра. .:ига г.одгруп-ы отрешвгй группы ев^окор£жзтэ ЕИ&дпвтачноЙ Сортг случае ели эта группа квас:;рефлексивна. На&данн кснридставлелия не-оторнх групп Въянкп ч связанных с лукейиж групп.

Прялссоирх. Позучсшае розуях.?г.ш когут найти цркгленеяио гееглзтрик Лобачевского»' геоыатрап ''рэзол.орнах многообразий, ' горим чисел н алгебре.

Апроб^стя. Осидоше результат:-' рабой? дскладызались на зкдупародкей конйоренгли по елгебре '(Новосибирск, ÎS89), се-«нарс кафедра алгебры я госжетрии Кемеровского государствен->го университета, об-едпта..м çàœrape отдела анализа к гео-сфяя инст»<гута га«смш:и.: СО АК СССР.

Публикации. Результата диссертации частично опубликованы в работах I я 2 , список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы, Лрсиертадия состоит из введения, трех глав я приложения. Общий объем составляет 83 страниц машинописного тенета. Список литературы содержит 30 наименований.

ОБЗОР СОДЕЕШШ РАКЯК

В первой главе настояцой работы дано следующее

ОИРЕДЕШМЕ 1.1. Кристаллографическую группу Р движений пространства йобачзвсксго Л назовем квз&яргфлективно8:. есди ее нарвтдактяднан часть Д имеет неподвижную бесконечно удаленную точку й. и содержи? параболическое двдг.оние про-

.п 6

стракства Л

Это определение эквивалентно тогду, что нерефлективная часть Д грушш Р бесконечна и инвариантно действует на любой орисферв максимальной размерности с центром в точке С^ . В предложении 1.1 доказано, что точка является единственной с точностью до Г-эквивалентности параболической точкой грушш Г такой, что фактор-группа стабилизатора точки в группе Г по подгруппе отражений бесконечна. При этом указанная фактор-груша изоморфна группе А -нерефлективной части группы Г (следствие 1.2).

Кристаллографическая группа Г рефлективна. тогда и только тогда, когда фундаментальный многогранник ее подгруппы отражений имеет конечный объем, в частности,вое бесконечно удалении© точки этого многогранника являются его вершинами.

(ШРЭДЕШИЕ 1.3. Пусть Р. - вмяужлый многогранник в пространстве Л . Будем говорить, что Р - кзазаогтеши. многогранник, есла существует единственная бесконечно удаленная точка многогранника Р , не являющегося его вершиной.

ТЕОРИЙ 1.1. Пусть Г1 - кристаллографическая группа движений пространства Л , Ф,г - выпуклый фундаментальный шогогранник группы Г^ - подгрупгш отражений группы Г . Группа Г - квазире.|лектзвна, если и только если шогогранник - квазяограничешг й.

Основной предает изучения главк 2 - группы автоморфизмов гиперболические квадратичных решеток или, что эквивалентно, группы автомс-Фязмов целочисленных ква.црчтичннх форм.

Квадратичной решеткой ын будем называть свободную абеле-ву группу конечного ранга, снабженную целозначиой симметрической билинейной функцией - "скалярным произведенном". Если А - симметричная целочисленная матрица, то через С А 1 обозначш квадратичную решетку, матрица Грама некоторого базиса которой совпадает с матрицей А . Через 11м ' обозначш квадратичную решетку - ортогональную прямую сушу решеток ¿, и М .

Решетка называется евклидовой (гиперболической),если векторное пространство евклидово (имеет сигнатуру (И, I) ).

Обозначш через О ( /-.) группу автоморфизмов квадратичной гипе-бояаческой реаетки ¿^ , сохраняющих полы конуса векторов с отрицательным скалярным квадратом при действии в псевдоевклидовом пространстве £ ® Р? . Известно, что •

О и) - кристаллографическая группа движений пространст- - :

ftRiKOvjS изотропной, то есть содержит ненулевой вектор, сга-л£р.ккй хаадрзт которого равен 0 .

Ь'&кболшЛ аигерее крздставдяет ивучекие решеток, груши: 8ЕТ0глур5на:.10в котопсс м^хсйлйдьш среди грулч азтоморфи&лсз ретоток уг>дапао2 сазшрностя. Сяс-д^ащая твороге.. которая яитя-йгся обоб&экяеы" неспу6;д:яйзачного результата Р.йарлау, позволяет ограпачдаь каем испледоЕатьч решетками anemiaльного вида.

ТЕОРЕМ 2.1. Пусть А1 -- изотропная гиперболическая решетка, рггм&ркоо-гй болъазй 2. Тогда кайдется гиперболическая рэ-шм» Z. гай к© разг.рркосгй,' такая, 4Ао 0(A)) G ) и

L — <L J. j т q! , где L - четкая СЕклкдоЕа рвыетка.

Теорем*: 2.2 я 2.3 уточняют июрцршрсвьу теоремы 2Д ^ля решето;: рагг^рноетей 3 и 4 соотае^ тв.енно. Локазаталъсива тео-ром 2.1 - 2,3 окар&охоя па метода 2e0pr.ii чисел, но характерные для 1'£КлС;й работа, и приводам -а приложений к настоящей работе.

Так как жгорбожческне решетки одного рода почти юегд изомор'Ькк, то кзуодш* ггаербоялческой рейгегга ь:да

локсвшая гиперболическая ропеткг, стркч&и " -с ¡мнгкякп и роко -

означает изучение г до свввщозсМ ро~

КйТКй .

щгЗРВДШ 2,2, Пусть

решаткч L Jtsouopgos. Тогда в редв ег/>- ,сш:1" yucr :: ¿^ ос-

о

держится не более одной нврейлектишой реигеткя.

Наша ближайшая задача - о^леанле групп* автоморфизмов тшазярофлбктавной гиперболической решетки л -"/,]_[ т о |1 где L - нерефлекгквная евклидова реыетга.

ШОТОШЖЕ 2.4. Если четкая евклидова решетка L не-рефлективка, гиперболическая ргвге'гтса [_, •£ [ т <jJ

квазирефлективна и Д нзрефлекгизь-ая часть группы Q.(L), то группа Д изоморфна _актсргрулпе группы аффинн&х автоморфизмов решетки по ее подгруппе отражений.

В § 2 главы 2 преодолена неоложная модификация алгоритма Влнберга, позкояявдая достроить фундаментальный многогранник подгруппы отражений группы автоморфизмов решетка Д » п-

в случае, если Д - кэзазирефлэктквна.

Использовав описанную вше процедуру, мы доказал:! ква-злрефлективность следующих решеток сигнатуры (3, I) (примеры 2.1-2.6):

£t = [í 6 I 1 [? в I ~ [l 12 1 1 Г1 о] г, = [? Их [Í о] '

MSMíí] X=nJbr?ÍJ

^raituj i£=[? íji

= Llsl J. [i o]

(I)

Глава 3 посвящена изучена» групп Бьянка я связанных с ни-ж линейных групп. Известно, что группа Бышки В с (Ия) монет быть влонека в качестве подгруппы конечного индекса в группу О и^) . М£

Г [2 О 1 г О 4 "7 ,

/ } г'г,-( 1 '-1 0],-если Ы 5 1 или 2

\ Г2 1 1 . , (2)

I 11 ~~ д X 11 0]. еола Ы 55 (мосЛч)

Группу О обозначим через В'- (го) к будем называть

радалренкой группой Ешяод.

Обозначим через С (Дт) группу, классов гдеалсв поля . В работе'-' доказано, что если группа (м) ре?,- • лективна, то группа С (А«,) ' - Й-^риодйчна •

ЗЛ. Не,и группа В С (¡и) квазирефтективча, то С (А„•) ~ циклическая' группа третьего иди четвертого порядке». .

Б случае, есдй С (Л«} имеет порядок 3, группа совладеет с группой,. В:(¡и) , в частности, В( (23)= 8 с (И)~ = 0(2;) в Вс £(2^=0(2;) (смотри

I к 2}, Т2К что группы Бьянкк £>I Си) ' п (31) - кк»-гйрсф;хек^иБ!Ш.

СЛЕДСТВИЕ 3 2. Если группа В<'>А квагиоо^дектагна

к группа С (Д - цдх-етюок^я .группа -»отпертого порядка» то группа В4 (т)"- рефлисианз.

' Вакборг Э.Б. Подгруппы

з грунт ¡У. ъьянкй. Вопросы теории групп и гомологической алгебхд. С . научных трудов. -Явославнь, 1987. - СД2Г-12в,

В предложении 3.2 доказаг->, что группы, В; (ю , В1 <п) и Вс'(ЗЗ) суть квазирефлохтинные подгруппы групп автоморфизмов рефлективных решеток.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть УП = 1 или £ (то^ Ч) или

М < £1 . Тогда группа (м) квазирефлзктивна только для М - 14, 17, 23, 31, 39 .

ТЕОРЕМА 3.1 является аналогом соответствующего результата

т)

для рефлективных групп- Бьянкк^-',

Описанные вкшз результата главы 2 позволяют найти г.о-представление группы автоморфизмов квазярефлоктивной гкпер-бтлической решетки сигнатуры (3, I) . В § 2 главы 3 ш находим копредставление грушш В с (2$) — О ( . Основываясь на том, что группа Р0/,2(Ат) изоморфна подгруппе собственных нзокетрий группы Во (м) также находим копредставления груш PG¿г(A13) и (Ац) .

Аналогичные вычисления проделаны для Щ =39: группа В с (зЗ) квазврефлективная подгруппа группы автоморфизмов ^флективной решетки. ■

Приведем конечные результат наших вычислений:

Пф^т;1; т^зт;; фз--лф>

^ Шварцман О.В. Подгруппы отражений в группах Бьянки 1} Во-росн теории групп а гомологической алгебра. Сб. научных рудов. - Ярославль, 1987. - С.134-139.

£¿,(0 = (Ъ Л,К, К,3

гГ= к' г р; г р; г г5а - Ф/ г Ф; , ср\ з2 г 1;

С1Ж!'Ж РАБОТ АВТОРА ПО ТЕ.1Е дасс2?т"1ИИ:

1, ®узкаж>в О.П. Подеруплы-отражений в группах Бьянки // ¡»'ь'.гл. кон?, ™ алгвбрб ( Новосибирск, 21-26 августа 1883 г, ): Тез. докл. по тзорла групп.- Новосибирск,1989.- С. 104.

2. зггжяоз О.П. Подгруппы отрагегай в группах Бьянки // Успехи .чат. наук.- 1990.- Т.45.~ С. 189-120.