Квазиурбаниковы минимальные структуры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ШШИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ^ ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени МИРЗО УЛУГБЕКА

КВДЗИУРБАНИКОВЫ МИНИМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени ' кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

КУЛПЕШОВ БЕЙБУТ ШАЙЫКОВИЧ

Ташкент -1997

Работа выполнена в Институте проблем информатики и управления Министерства науки - Академии наук Республики Казахстан

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Кандидат физико-математических наук, доцент Байжанов Б.С. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Доктор физико-математических Наук, профессор Омаров А.И. Кандидат физико-математических наук, доцент Дадажшшл У >!

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Новосибирский государственный те,\1>". !•••. кии университет

, Защита состоится « уЦяиорл 1997 года в п часов на заседании объединенного специализированного совета KQ67.02.03 при Ташкентском государственной университете имени Мирзо Улугбека по адресу: 700095, г. Ташксит-95, механг :о-математический факультет, ауд. А-205.

С . диссертацией можно ознакомиться в научной, библиотеке Ташкентского государственного университета (Вузгородок).

Автореферат разослан «'Д » [{XX 2 ТрЛ 1997 го^а.

Ученый секретарь объединенного спеииалюи-

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. Одним нз классических объектов исследований а теории моделей являются полные теории, которые в свою очередь подразделяются на стабильные и нестабильные. Класс стабильных теории является более развитым по сравнению с классом нестабильных теорий. В научной Литературе по теории моделей можно найти множество монографий и учебникоп по стабильным теориям. Вместе с тем на протяжении длительного времени важным предметом изучения для специалистов по теории моделей являлся класс линейно упорядоченных структур, подкласс класса нестабильных теорий. За это время ' при исследовании моделей некоторых частных теорий, расширяющих теорию линейного порядка, были [Толучены впечатляющие результаты. Среди тех теорий, к которым были найдены успешные подходы к нзучепию, можно назвать арифметику Лепно, теорию упорядоченных абелепых груш/, теорию вещественно замкнутых полей и саму теорию линейного порядка. Хотя очень мало сделано на пути развития общей теории моделей для упорядоченных структур. Поэтому вопросы, связанные с разработкой теоретико-модельных методов для нсследовгнля нестабильных теорий, в частности, для исследования линепио упорядоченных структур, являются несомненно актуальными. , С другой стороны, вопросы, связанные с таким понятием как минимальность (сильная минимальность, о-мшгамальггость, слаба«: о-минимальность, квази о-минимальность и др.),-привлекают большой интерес среди специалистов по теории моделей л здесь существует целый ряд открытых вопросов, решение которых дасг новый толчок развитию теории моделей.

В данпоц работе мы развиваем теорию моделей для класса линейно упорядоченных структур, который изолируем требованием чтобы параметрически определимые подмножества упорядоченной структуры в нашем классе имели особую простую форму, которую начнем теперь описывать.

Пусть Ь — язык первого порядка, который кроме всего прочего содержит символ бинарного отношения <, который интерпретируется как линейный порядок в рассматриваемых ¿-структурах. Вспомни«, Что подмножество АС М, где М — ¿-структура, называется выпукл-ьш, если для любых а, Ь 6 А все элементы структуры, содержащие-.

1« в интервале (а, Ь), принадлежат Л. Слабо о-минпмальиая структура есть линейно упорядоченная структура М = (М, <,...) такая что ..юбое определимое (с параметрами) подмножество структуры является объединением конечного числа выпуклых множеств. Понятие слабой о-мшшмальности линейно упорядоченной структуры было введено М. Дикманном и начально развито в совместной работе Д. Макфсрсо-на, Д. Маркера и Ч. Стейнхорна. Слабая о-мншшальность является обобщением понятия о-миннмалыюсти. Вспомним, что такая структура М называется о-минимальноИ, если каждое определимое (с параметрами) подмножество структуры является объединением конечного числа интервалов с концевыми точками в М 1_){—оо,оо}. Понятие о-миннмальности было введено Л. ван ден Дриесом и начально ¡развито в серии совместных работ А. Пиллэя и Ч. Стейнхорна. Естественными примерами слабо о-мишшальных структур являются неархимедовы вещественно замкнутые поля с предикатом, выделяющим нетривиальное выпуклое кольцо нормирования; упорядоченные поля вещественных алгебраических чисел, обогащенные унарным предикатом, выделяющим множество (—а, а), где а произвольное вещественное трансцендентное Число; группы центростремительного сжатия и другие. В последнее десятилетие вопросы, связанные с этими понятиями, занимают центральное место в теории моделей.

Также в работе рассматриваются вопросы, касающиеся полноты теории элементарных пар сильно минимальных квазиурбаниковых структур, относящихся к классу стабильных теорий. Вспеним, что структура М называется сильно минимальной, если для любой структуры N, элементарно эквивалентной М, для каждого определимого (с параметрами) подмножества У С N либо У конечно, либо N\Y конечно. Это понятие было введено Д. Бадцунном и А. ЛахЖшом. Заметим, что классификация сильно минимальных структур остается одной из главных проблем в теории классификации.

Квазиурбаниковы структуры ввел Б.И. Зильбер. Структура М называется квазиурбаниковой, если для любого У С М алгебраичеокое замыкание множества У совпадает с его определимым замыканием в М. Б.й. Зильбером получена классификация сильно минимальных квазиурбаниковых структур в терминах рациональной эквивалентности. Заметим, что слабо о-минимальные структуры являются квазиурба-

нпковымп.

Понятие теории элементарных пар и связанные с ним вопросы впервые появились п статье французского математика Б. Пуазы. Он стал изучать модели общего вида, в которых выделяются элементарные подмодели. В дальнейшем эти вопросы разрабатывались: для сильно мини-■ мальных теорий — 10. Хрушопским, А.Т. Нуртазцным, для стабильных теернй — Б. Йуаза, Э. Бускарен, B.C. Байжановым, для о-ми-яимальяых теорий — А. Пиллэем, JX ван лен Лриесом. Цель работы. Описать все слабо о-мишшальные линейные порядки. Найти критерий: слабой о-мшшмальностн линейно упорядоченной структуры в терминах 1-типов и сечений. Исследовать свойства счетно категоричных слабо о-мишшальных теории. Исследовать вопросы существования простых моделей в слаба о-мпнцмальных теориях. Найти критерий полноты теории элементарных пар для сильно минимальных квазиурбаниковых структур.

Научная новизна и практическая дянность. Все результаты диссертации являются новыми п носят теоретический характер. Они могут быть несомненно полезны при дальнейших исследованиях как минимальных, так п других структур. Некоторые результаты (в частности, критерий слабой о-мипималымсти линейно упорядоченной структуры) могут быть включены в программу спецкурсов по теории моделей. ■

Методы исследования. В работе использовались общие .гетоды исследования классической теорпп моделей и теории стабильности. Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

III Казахско-Французский коллоквиум ио теории моделей, 'Алматы, 1994г.

Школа-семпнар по математике и механике, посвященный 60-летшо члена-корреспондента HAH PK Кулжабая Абдыхалыковича Касимова, Алматы, 1995г.

I сьезд математиков Казахстана, Шымкент, 1996г.

IV Франко-Туранскпй коллоквиум по теории моделей, Марсель (Франция), 1997г.

II Международная летняя школа "Пограничные вопросы универсаль» ной алгебры и теории моделей", Эрлагол (Россия), 1997г.

Также результаты диссертации докладывались в Алматы на. город-

■ (1 ом семинаре по алгебре и математической логике под руководством д.Ф.-м.н., профессора Добрипы В.П.

Публикации. Основные результаты диссертант! опубликованы и восьми работах, список которых приводится и конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура работы. Работа состоит ш введения, трех глав и библиографии, содержащей 32 наименования. Обьем диссертации: 85 машинописных страниц.

_Содержание диссертации_

П<> введении дана историческая справка, а также пока'яна актуальность темы диссертации

Первая глава посвящена понятию слабой о-!.;пшшальностп линейно упорядоченной структ ур пл.

А. Ппллэйп Ч. Стейнхоря доказали, что теория о-мнштмальной структуры является о-мшшмялькой. Заметим, однако, что сзтцествуст пример слабо о-мпшшалыюй структуры без слаб и о-мшпшапьной теории. Нами доказана следующая лемма:

Лемма 1 Пусть М — слабо о-минималънал структура. Предположим, что М — ш-кас.ыщенна. Тогда Тк{М) является слабо о-минималъгюй.

Бело М и N есть ликейпые порядки, тогда через М + N будем обозначать упорядоченную сумму М и N. Пусть Р —г' множество всех линейных конечных порядков, и

С? = <*>, и*, иI + и/, О.* + у },

где ш, как обычно, представляет порядок натуральных чисел, а>* —-обратный порядок на натуральных чпелах п <3 — порядок рациональных чисел. Также, обозначим через О совокупность всех упорядоченных сумм вида С1+...+СШ! где С,- является элементарно эквивалентной некоторому члену из С для каждого 1 < т, и для всех г < т, если С, не пмеет последний элемент, топа С)+1 имеет первый элемент. А. Пиллэй и Ч. Стехтхорп оха] ' геризовали все о-минимальны^ ли-нейпые порядки:

С

Теорема 2 Любая ¡¡-минимальная структура М, ограниченная у.а сигнатуру {<,==}, ачлястся членом совокупности О, и обратно, теория первого но/и/дка любого члена ш О я колется о-мтимальной п.е-срией .'инейного noj'ñíhui.

Через WO обозначим совокупность всех упорядоченных сумм вида С i + ... +• С,,,, где С, является элементарно эквивалентной некоторому члену из G для йгЬкдого i < т.

Нами получено описание всех слабо о-мпшшалышх линейных порядков:

Теорема 3 Любая слабо о-минимальнан структура М, ограниченная на сигнатуру {<, = }, аьляется членом совокупности WO, и обратно, теория первого порядка любогр члена из WO является слаб-j о-}.шнилииьпой теорией линейного порядка.

Вспомним, что сечением и линейно упорядоченной структуре М называется максимальное непротиворечивое множество формул с параметрами in М вида т < х или х < тп, где т £ М.

Следующая теорема, доказанная А. Пиллэсм и Ч. Стеннхорном, яиля-ется критерием о-мишшальности линейно упорядоченной структу1>ы в терминах 1-типов и сечений:

Теорема 4 Пусть М —линейно упорядоченная структура. Toada Al о-минимальна тогда и только тогда, когда для любого сечения С ti М существует единственный полный тип над М, который расширяет С.

Здесь мы представляем теорему, являющуюся критерием слабой о-ми нимальности линейно упорядоченной структуры в терминах реализаций 1-типов:

Теорема 5 Пусть М — линейно упорядоченная структура. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) М является слабо о-минимальной структурой.

(2) Для любого А С М множество реализаций любого полного 1-типа над 4 является выпуклым множеством в любом элементарном расширении структуры М.

(3) Множество реализаций любого полного 1-типа над М являет* ся выпуклым множеством в любом элементарном расширении структуры М.

А. Пнллэй и Ч. Стсйнхорн доказали, что для любой о-мшшмалыюй структуры Принцип Замены для алгебраического замыкания имкст мч:то. Также А. Пнллэй доказал, что если Е является определимым 1,1. параметрами) отношением на М", где. М — произвольная о-мп-нимальная структура, тогда Е имеет только конечное число классов с непустой внутренностью в М". Заметим, однако, что для слабо ©-минимальной структуры как первое свойство, так и второе свойство в общем не имеют места. Нами введено понятие ранга выпуклости (КС) формулы с одной свободной переменной.

Определение 6 Пусть 'Г — слабо омшшмальпая теория, М - достаточно насыщенная модель теории Т, ф(х,а),а 6 М — произвольная формула с одной свободной переменной.

ПС{ф(х, а)) определяется следующим образом:

1) ЕС{ф{х, а)) = -1, если М Н -.3хф(х, а)

2) ПС(ф(х, а)) > 0, если М (= 3хф{х,а)

3) ЯС(ф(х,а)) > 1, если ф{М,а) бесконечно

4) Т1С(ф{х, а)) > а + 1, если существует параметрически определимое отношение эквивалентности Е(х,у), такое что существуют

з Е и, которые удовлетворяют следующим условиям:

® Для любых г, j 6 ш, всякий раз когда г ф j, тогда М |= -1 Е(Ь{, Ь

о Для любого г € и) ЙС(ф(х ,а)кЕ(х,Ь{)) > а

о Для любого { £ и Е{М, Ь,) является выпуклы^ подмножеством множества ф(М,а)

5) В.С(ф(х,а)) > <5, если В.С(ф(х,а)) > а для всех а < 5 (6 предельный ординал) .

Если ИС(ф{х, а)) = а для некоторого а, мы говорим что ПС(ф(х, а)) определяется.- В противном случае ( т.е. если ДС(ф(х,а)) > а, для всех а) мы полагаем НС{ф(х, о)) = оо.

Факт 7 Ранг выпуклости любой о-минимальной теории равен единице.

Теорема 8 Пусть М — слабо о-минималъная структура, а 6 с1с1{Ь,с). Тогда Ь 6 йс1{а,с) тогда и только тогда, когда не существует с-определимой функции } такой что (I) f(b) = а и (и) в пското-

ром элементарном расширении структуры М существует бесконечное выпуклое множестло U С /-1(п), такое что b (Е (J и осе элементы которого удовлетворяют одному и тому же типу над {а,с}.

Следствие 9 Пусть Т — слабо о-минимальная теория. Предположим, что существует модель теории Т, о которой Принцип Замены для алгебраического замыкания не имеет места. Тогда RC{х -- :с) > 2.

Вторая глава посвящена исследованию свойств счетно категоричных слабо о-минимальных теорий, при этом существенным образом попользуется техника Байжаиоса Б.С., разработанная им при исследовании 1-типоб над множествами моделей слабо о-минимальных теорий. Вспомним, что если М — линейно упорядоченная структура, А, В С Л/, п £ и, тогда А называется п-неразличимым над В в М, если для любых одинаково упорядоченных n-кортежей a, b € Л" следует что tp(a/B) = tp(b/B). А называется неразличимым над В в М, если для любого п € и> А — п-нераэлпчимо над В в М. '

При исследовании свойств Нд-категоричных слабо о-мшпшалышх теорий, в частности, получены следующие важные следствия:

Следствие 10 Пусть Т — Щ-категоричная слабо о-минимальпад теория. Тогда для любой модели М_ (= Т для любого конечного А С М для любого неалгебраического типа р Р ¿>i(A) либо р(М) — 2-неразличимо над А, либо существует конечное число А-определимых отношений эквивалентности Е\{х,у),... ,Ет(х,у) таких что

1. Ет разбивает р(М) па бесконечное число Ет-классов, каждый Ет -класс выпукл и открыт, причем индуцированный порядок на классах является плотным линейным порядком без концевых точек.

2. Для каждого i g {1,...,m — 1} Ej разбивает 'каждый Е^-класс на бесконечное число Ei-классов, каждый Ei-класс выпукл и открыт, причем Ej-подклассы каждого Ei+i-класса плотно упорядочены без концевых точек. , • -

3. Для любого а € р(М) Ei(M,a) — 2-неразличимо над А.

Следствие 11 Пусть Т — Ко-кишесо}■ ичиия см,Сн> о-мишииыьння „¿ория. Тогда следующие условна акмшыеш'шп:

(1) 11С(х = х) = 1.

(2) Для любой модели М Т ¿и лкпысо мишт.апаа .4 С М дли любого нсалгебраичсского типа ]> € ¿Ц-!) мнози сгты> 1>(М) неразличимо над Л.

Третья глава посвящена вопросим сущес п.иванкя простых моделей в слабо о-мшпшальных теориях, а так;ке вопроса:.! пплногы теории элементарных пар для сильно минимальных книшуролшплаых структур. ВСПОМНИМ, ЧТО модёль_Л/"нГ13ыв.1е:1<:Т1(;'Т/с))Ш"н77с'717«'сли"для"лк)бой-модели М' теории Т, содержащей Л, суи1<ч:ч цу«-т зл« меиторное вложе-нис / модели М в М', которое являете« тол.'дссию:! па .4. А. Пнллэй и Ч. Стейихорн дока-и/Ги следу инилто теорему:

Теорема 12 Пусть М — о-иинимимтн сщц,пп.ц«1, А С М. Тоеда существует модель N теортТк(М), кипюран пнл.и шея простой над А и единственной с точностью до изоли>рфгииш нид А.

Заметим, однако что в общем случае для слабо о минимальной структуры или теории это неверно.

Модель М называется конструктивной над Л, если ЛДЛ может быть перечислена как последовательность {1>$ : р < и), для некоторого ординала а так что каждый элемент Ь/з реализует главный тип над А\3{Ь7 : 7 < /)}.

Очевидно, что любая конструктивная над А мядель является простой над А.

Введем следующее обозначение:

Обозначение 13 Пусть означает сле<)у.\пц<т услоаие: "Для любого выпуклого А-опредьлииого подмиом.-истиа и, ташки что 11Г]<Ш(А) — 0 и для некоторых и/,«. £ и 1р(1ц/А) tp(a¿/A), имеет место следующее: для любого ¿Н'Ш^.'^Ю.: 1> Л >" !'(\)(;ЛИМ(>'<:0 собственного подмножества 1/ц множества {■', гск 1'\1гц выпукло, совокупность ес.ех выпуклых А-опредслими г. множеств, которые лежат а и и содержат Щ, не является плотно упорядоченной по аключе-нию".

Следующая теорема является критерием пиигалм изолированных типов слабо о-шшимальноц теории:

Теоргёма 14 1}у, ич, V — с.гс.'ч» о-лчашмал>,мая теория. Тогда следующие. условия .|>,!1й'1[и!.:и!!!!н:

(1) Для любой xt.uh.i4 ?1 тпч/ип Т для любого подмножества А С Л/ и.чо.гиргы/чхнг г'гпт тсеу-пи Т1г{А[,н)„ел образуют плотное множество.

(2) Для люОоЛ .-г,!<>< л» М тг орт Т для любого подмножества А С ЛГ имеет, мест"

Следствие 15 /.'■'/ ;«>• 7 — г.:ибо о-мингшальная теория. Тогда слс-дующие ;/ело.и/л .п.елк плсклио-!:

(1) Для любо'7 а'оОрлн М теории Т для любого подмножества А С М имеет место

(2) Для ль:)"о;/ модели Л/ mcopv.ii. Т для любого подмножества Л С М <:ущгст«у.-:ч л'ор>-.<>. У тепрниТ, которая является конструктивной над Л.

Приведем три типичных примера киазпурбаннковых структур.

(1) — (ЛГ{ ( : { С С ) и Л/о), где. Л/ — основное множество структур!.!, 6' — г руппа биекпш'т на ЛГ, неподвижные точки нетождественных бпекшгп — ^ю в точное!и множество констант Мц С Л/.

(2) — Векторное прсгтр.тство над телом с подпространством выделенных элементе;:!-констант.

(3) — Аффинное пространство над телом, с подпространством выделенных параллельных переносов.

Все эти три примера появляются в известной теореме Урбаипка, описавшим списком (1) - (3) все возможные ¡/-алгебры размерности три и выше. Этим мотивирован термин "квазиурбапиковы структуры".

Определенно 10 Структура М\ рационально эквивалентна с точностью дл констант труктурс. М2, если

п совокупность ограничений на М\ (0) всех предикатов, 0-опре-делпмых в М\,совпадает с совокупностью ограничений на М-х\Ас1щ{Щ всех преггнкатов, (' -определимых в ЛГу .

Определенно 17 Структура называется урбаниковоп, если она рационально чквнналенигл с точностью до констант одной из структур (1) - (3).

п

Б.И.Зипьбером доказана теорема, описывающая сильно минимальные квазиурбаниковы структуры в терминах рациональной эквивалентности:

Теорема 18 Сильно минимальная квазиурблникива структура является урбаниковой.

Вспомним, что если Т — полная теория счетной сигнатуры Р — одноместный предикатный символ, не входящий в £, А -< D (= Т, то через (.4,-6) мы обозначаем модель сигнатуры Е' ~ ÜU{ Р } так что Р(В) — А, а теорией элементарных пар Т* называем элементарную теорию класса всех элементарных пар теории Т.

Используя классификацию Зильбера, нами получен критерий полноты теории элементарных пар для сильно минимальных каазпурбаннковых структур:

Теорема 19 Пусть М — сильно минимальная ь:вазиурбаникова структура. Тогда

1) Если М рационально эквивалентна с точностью до констант структуре (М,{ t :t € G }иЛ/о) (пример(1)), то теория элементарных пар теории Th{M) полна тогда и только тогда, когда группа G бесконечна.

£} Если М рационально эквивалентна с точностью до констант структуре векторного (пример(2)) или аффинного (пример(3)) пространства над телом К, то теория элементарных пар теории Th(M) полна тогда и только тогда, когда тело К бесконечно.

Автор выражает глубокую благодарность заведующему лабораторией "Теория моделей л спецификаций информационных систем" Института проблем информатики и управления МН-АН РК Еайжанову Б.С. за руководство, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Б.Ш. Кулпешов, Полнота теории элементарных пар сильно минимальных квазиурбаниковых структур, Известия НАН~РК, серия физико-математическая, N 3, 1935, С.: 52-55.

U

2. Б.Ш. Кулпешоп, Слабая о-минимальность линейно упорядоченной структуры, Исследования в теории алгебраических систем, Караганда, 1995, С.: G1-G7. >

3. Б.Ш. Кулпешов, Некоторые свойства слабо о-минималъных моделей, Проблемы информатики и управления, Алматы, 1995, С.: 137-145. )

4. Б.Ш. Кулпешов, Слабо о-минимальные теории и выпуклая 1-ста-бильиостъ, Материалы школы-семинара по математике И механике, посвящеппого 60-летию члена-корреспондента IIAH РК Кулжабая Абдыхалыковича Касымова, Алматы,

1995, С. 95. ;

i

5. D.Sii. Kulpeshov, Density of isolated types of a weakly o-minimal theory, 1-ый сьёзд математикоп Казахстана, Шьшкент, 199G, С.: 182-183.

6. D.Sh. Kulpesliov, Some corollaries of the criterion if weak o-mi-nimality and rank of convexity, Proceedings of Informatics and

Control Problems Institute, Алматы, 1996, С.: 14^-160.

( i

7. Б.Ш. Кулпешов, О слабо о-минималъных структураir, теории ко- , торых ^-категоричны / Институт проблем информатики и управления. - Алматы, 199G. -19с. - Библиогр.: 3 пазв. -|Рус. - Деп. в КазгосИНТИ 24.02.97, N 74G1-Ka97. I

8. Б.Ш. Кулпешов, Об элементарных . парах квазиурбапиковых структур, Поиск, серия естественных наук, Министерство ^образования РК, N 2, 1997, С.: 71-75.

U

КВАЗИУРБАНИК МИНИМАЛ СТРМСТУРАЛАР

РЕЗЮМЕ

■ \

Дисссртацияда чнзщуш ~ ^гартиблаиган - структуриаршЕНГ— кучсиз----о

ишммаллак туигукчасига ^д кучли мшшмал коазиурбаиик структуралар

алемеит&р гауфтаккдари шмаринсншшг т^липдншга таълуцли иасададар

1;араллдп. \

Дксссртоцпямп; &соск£ ц&лкидзр 1$йидагидард1ф:

• барча кучсиз о-шшик&л чищцяи тартаблар тахрифлангаи;

• чмзнцлп _ тартабздиган структураларпииг кучснз омшшмаллик кротернкш олииган;

» к&баршдок ранги тушуичаси киршилгли ва унинг алгебраш: сшцма учун Адмаипир::ш Пршщкпи бил&н боглашшш ашщланган;

Р сйн<щдга категориями кучсиз о мииимал иазарняларда ихтаёрий 1-•пшлараи реализация килкга лфгшшларкии фаргсдакаслик критерия«! олннган; .

? кучсяз о-шшниал нящшяхр яккалангви попари знчлкгн кря'герняпг рлвигси;

», кучли шшимал кмзгурбшик структуралар эдементар ¡куфггаисл&ри Ийзарияскнинг т$1й1;лйк критгрияеа олннгди.

QUASIURBANIK MINIMAL STRUCTURE^

SUMMARY

Questions concerning a notion of weak o-minimality on linearly ordered, structures and a completeness of elementary pairs theory! of strorgly minimal quasiurbanik structures are considered in the dissertation. The basic results of the dissertation are the following: » a description of all weakly o-minimal linear orderings; o a criterion for weak o-minimality of a linearly ordered structure; à an introduction of convexity rank and an establishing of its Connection

with the Exchange Principle for aigebraic closure; h a criterion for Indiscernihility of the set of realizations of ah arbitrary

1-type on countably categorical weakly o-minimal theories; j k a criterion for density of isolated types of a weakly o-minimal theory; b a criterion for completeness of elementary pairs theory ojf strorgly . minimal quasiurbanik structures. .