Свойства функций, определимых в структурах с условиями минимальности семейств формульных подмножеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 О сокращении воображаемых элементов для сильно минимальных структур типа Хрушовского

1.1 Введение.

1.2 Построение сильно минимального множества

1.3 О слабом сокращении воображаемых элементов для построенных структур

1.4 Примеры Хрушовского не обладают свойством конечного множества

1.5 Сильно минимальные структуры, допускающие сокращение воображаемых элементов

ГЛАВА 2 О глубине формул слабо о-минимальных структур

2.1 Конечная глубина и сильная монотонность

2.2 Примеры слабо о-минимальных структур

ГЛАВА 3 Косет-минимальные упорядоченные группы.

3.1 Введение

3.2 Одноместные функции в дискретных группах.

3.3 Одноместные функции в плотных группах.

3.4 Лемма о замене.

В теории моделей, разделе математической логики, одним из классических объектов исследования являются полные теории первого порядка, которые подразделяются на стабильные и нестабильные. Следуя пути от простого к сложному, среди и тех, и других теорий естественным образом выделяются теории, которые по тем или иным соображениям можно назвать простыми. Так возникли понятия минимальности (сильной минимальности, о-минимальности, слабой о-минимальности, квази-о-минимальности) теории, когда параметрически определимые подмножества моделей данной теории удовлетворяют некоторым условиям простоты.

Данная работа посвящена изучению сильно минимальных и слабо о-минимальных моделей, косет-минимальных упорядоченных групп — структур, которые определяются особо простой формой определимых подмножеств.

Вспомним, что структура М называется сильно минимальной, если для любой структуры N, элементарно эквивалентной М, каждое определимое (с параметрами) подмножество А множества N либо конечно, либо коконечно, то есть конечно N\A. Это понятие было введено Д. Бол-двином (Baldwin) и А. Лахланом [1] (Lachlan). Заметим, что изучение сильно минимальных структур оказало существенное стимулирующее воздействие на создание плодотворных идей и методов, таких как теория размерности, модулярность, ортогональность и другие, и остается одним из главных направлений в теории моделей.

Так в 80-е годы Б. Зильбер посвятил ряд статей [2, 3] изучению сильно минимальных счетно-категоричных теорий и выдвинул гипотезу, что все сильно минимальные теории делятся на три класса: тривиальные, локально модулярные и обогащения алгебраически замкнутого поля.

Это деление можно связать с понятием "размерность", которую можно проиллюстрировать тремя примерами.

1) мощность множества: пусть М — некоторая модель, А — конечное подмножество М, тогда размерность d( A) есть число элементов А;

2) проективная размерность: здесь М — векторное пространство над полем к, А — конечное подмножество М и d(A) есть размерность векторного пространства над полем к, порожденного А;

3) степень трансцендентности: в данном случае М — поле, к — некоторое подполе М, А — конечное подмножество М, и тогда d(A) есть степень трансцендентности поля к (А) над полем к.

Первый случай является примером тривиальной размерности, далее следует пример модулярной размерности. Основное свойство этих двух размерностей можно выразить следующим образом: "множества, независимые над их пересечением". То есть если взять два множества А и В, число элементов, лежащих в А, но не лежащих в В, совпадает с числом элементов А, не лежащих в А П В. Если же взять два векторных пространства U и V, то размерность U над V равняется размерности U над U П V, элементы U линейно независимы над V тогда и только тогда, когда они независимы над U П V. Но для поля это не верно.

В 1988 году Е. Хрушовский (Hrushovski) в работе [4] опроверг гипотезу Зильбера, построив примеры сильно минимальных не локально модулярных теорий, в которых не интерпретируется группа. Для этого он ввел новую размерность с помощью следующей предразмерности: <!>(Л) = а ■ di(A) — /3 • d,2(A), где di и с?2 суть вышеупомянутые размерности, а а и /3 — вещественно или целочисленные коэффициенты. Отметим, что предложенная методика построения структур с заданными свойствами оказалась в центре внимания широкого круга специалистов по теории моделей и оказалась полезной при решении многих вопросов. В частности, Е. Хрушовский построил пример счетно-категоричной стабильной псевдоплоскости [42], решив проблему Лахлана, Б. Пуаза [5] построил о;-стабильное двухцветное поле, решив проблему Берлин-Ласкара (1986), Дж. Болдвин [6] построил проективную плоскость ранга Морли 2, Арефьев - Болдвин - Маззукко (Mazzucco) [7] построили ненасыщенную генерическую модель, ответив на вопрос Б. Байжанова и Дж. Болдвина, А. Баудиш (Baudisch) [8] построил нильпотентную группу класса 2 ранга Морли 2, которая не интерпретирует поле, С. Судоплатов [9] развил тригонометрию с целью построения мощных типов с заданными свойствами в стабильных теориях.

Можно посмотреть на структуру сильно минимальных моделей и с точки зрения свойств определимых функций. Было доказано, что сильно минимальная группа абелева [10], то есть ассоциативная функция двух переменных, соответствующая операции в группе, симметрична. В примере Хрушовского определимы только неассоциативные функции [4]. А вопрос об их коммутативности, симметричности, остался вне поля зрения. Однако такое свойство, как сокращение воображаемых элементов для сильно минимальных теорий, сводится к свойству симметричности функций [11, 12].

При изучении структурных свойств моделей иногда удобнее работать не с формульными множествами, а с их "именами", которые вводятся как дополнительные элементы многоосновной модели. Использование воображаемых элементов как метод изучения свойств моделей впервые появилось в работе Ю. JI. Ершова [13]. А само определение и основные свойства были изложены в понятии Тед, введеном С. Шелахом (Shelah) в [14].

Понятие "сокращение воображаемых элементов" ввел Бруно Пуаза (Poizat) в работе [15], где также доказал, что алгебраически замкнутые поля (ACF) допускают сокращение воображаемых элементов. Заметим, что ACF является сильно минимальным. Продолжая исследования сильно минимальных теорий, А. Пилэй (РШау) в работе [16] доказал, что сильно минимальные локально модулярные теории не допускают сокращение воображаемых элементов. После этого Б. Байжанов в [17] выдвинул гипотезу, что среди сильно минимальных теорий сокращение воображаемых элементов допускают только обогащения ACF. Однако в данной работе мы покажем, что среди таких теорий, есть как теории, допускающие сокращение воображаемых элементов, так и теории, его не допускающие, таким образом гипотеза Б. Байжанова в такой постановке опровергается. Но все построенные примеры, опровергающие эту гипотезу, являются структурами бесконечного языка, поэтому Б. Байжанов уточнил свое предположение, сузив класс рассматриваемых теорий до сильно минимальных конечного языка. 7

Пусть С — язык первого порядка, содержащий кроме всего прочего символ бинарного отношения <, который интерпретируется как линейный порядок в рассматриваемых /^-структурах. Вспомним, что подмножество А С М, где М — L-структура, называется выпуклым, если для любых a, b £ А все элементы структуры, содержащиеся в интервале (а, Ь), принадлежат А.

Слабо о-минимальная структура — это такая линейно упорядоченная структура М — (М, <,.), что любое ее определимое (с параметрами) подмножество является объединением конечного числа выпуклых множеств. Теория называется слабо о-минимальной, если любая ее модель слабо о-минимальна.

Понятие слабой о-минимальности линейно упорядоченной структуры было введено М. Дикманном (Dickmann) [18] и начально развито в совместной работе Д. Макферсона (Macpherson), Д. Маркера (Marker) и Ч. Стейнхорна (Steinhorn) [19], некоторые результаты были получены независимо и в работе [20]. Также можно отметить результат Р. Арефьева [21] о кусочной монотонности определимых функций в слабо о-минималь-ных структурах и характеризацию слабой о-минимальности структуры в терминах реализации 1-типов Б. Кулпешова [22]. Слабая о-минималь-ность является обобщением понятия о-минимальности. Вспомним, что линейно упорядоченная структура М называется о-минимальной, если каждое определимое (с параметрами) подмножество структуры является объединением конечного числа интервалов с концевыми точками в

M |J{—оо, оо}. Понятие о-минимальности было введено JI. ван ден Дри-есом (L. van den Dries) [23] для обогащений вещественно замкнутых полей, обобщено на класс линейно упорядоченных структур и развито в серии совместных работ А. Пиллэя и Ч. Стейнхорна [24, 25, 26].

О-минимальные структуры являются прямым аналогом сильно минимальных структур в классе линейно упорядоченных. Так алгебраически и вещественно замкнутые поля — наиболее яркие представители классов сильно и о-минимальных структур. Естественными примерами слабо о-минимальных не о-минимальных структур являются неархиме-довые вещественно замкнутые поля с одноместным предикатом, выделяющим нетривиальное выпуклое кольцо нормирования; упорядоченные поля вещественных алгебраических чисел, обогащенные одноместным предикатом, выделяющим множество (—а, а), где а произвольное вещественное трансцендентное число; группы центростремительного сжатия [27, 28] и другие. Можно получить целый ряд примеров, используя результат Байжанова [29], что обогащения одноместными предикатами, выделяющими выпуклые подмножества, модели слабо о-минимальной теории, имеют слабо о-минимальную теорию.

В работе [30] был введен новый класс упорядоченных структур, названный квази-о-минимальным. Структура М называется квази-о-мини-малъной, если для любой структуры N, элементарно эквивалентной М, любое определимое (с параметрами) подмножество N есть булева комбинация 0-определимых подмножеств, интервалов с концами в структуре и точек. В этой работе были изучены основные свойства квази-о-минимальных структур, квази-о-минимальных групп. Было показано, например, что квази-о-минимальные группы абелевы, что этот класс в отличии от класса о-минимальных групп содержит такой объект, как упорядоченную группу целых чисел.

Позже в работе Ф. Вагнера (Wagner) и Ф. Пойнт (Point) [31] класс квази-о-минимальных групп был обобщен понятием косет-минимальных групп (coset — англ. класс смежности). Группа называется косет-минимальной, если любое ее определимое подмножество является конечным объединением классов смежности определимых подгрупп, пересеченных с интервалами с концами в группе. В частности, было дано полное описание с точностью до элементарной эквивалентности чистых косет-мини-мальных групп, это (Z™, <, +) и {Ъп х Q, <, +), где п — натуральное число. И здесь возникают параллели между упорядоченными и стабильными структурами, а именно — между классами косет-минимальных групп и групп линейного типа, когда каждое определимое подмножество есть булева комбинация классов смежности определимых подгрупп.

Начиная с 80-х годов прошлого тысячелетия, вопросы, связанные с понятиями упорядоченной минимальности занимают одно из центральных мест в теории моделей. Не трудно показать, что изучение свойств формульных n-местных отношений о-минимальных и слабо о-минималь-ных структур можно свести к изучению свойств (п — 1)-местных определимых функций, определяющих границы множества, определенного данным отношением. Действительно, так как границ конечное число, то данное подмножество точно описывается формулой, утверждающей, что элемент (а, 6) удовлетворяет условию fi(b) < а < fj(b) или fi(b) = а. Среди основных свойств функций, определимых в упорядоченной структуре, можно выделить монотонность, изучению которой посвящены вторая и третья главы. Среди наиболее интересных вопросов о свойствах упомянутых классов упорядоченных структур можно выделить следующий: замкнут ли данный класс относительно элементарной эквивалентности. Для класса о-минимальных моделей эта проблема была решена положительно Пилэем, Стейнхорном и Найт (Knight) в серии статей [24, 25, 26]. Для слабо о-минимальных структур отрицательное решение (существование контрпримера) было анонсировано в работе [19], решение было дано независимо в новой версии той же работы в 1998 году и работе [32]. Во второй главе данной работы будет дано необходимое условие выполнения вышеприведенного свойства. Для косет-минимальных групп эта проблема остается открытой, и исследования свойств определимых одноместных функций можно считать первым шагом к ее решению.

Данная работа состоит из трех глав.

Первая глава посвящена изучению свойства сокращения воображаемых элементов для сильно минимальных теорий, построенных методом Хрушовского. Мы покажем, что определимые двухместные функции в оригинальных структурах Хрушовского не являются симметричными, поэтому в модели невозможно найти имени даже для двух алгебраически независимых элементов, то есть эти теории не допускают сокращение воображаемых элементов.

Мы немного изменяем конструкцию Хрушовского, дополняя язык предикатами каждой местности, начиная с трех, определяющими симметрические функции, что обеспечивает свойство конечного множества finite set property [33]). А так как построенные структуры допускают слабое сокращение воображаемых элементов [34], получаем, что они допускают и (сильное) сокращение.

Методика исследования структур в главах 1 и 2 основана на конечных расширениях конечных структур [36] (Теорема 24.1, стр. 153), то есть на методе Фраиссе (Fraisse) [37] и различных его вариациях Эрейн-фойхта (Eurenfeucht) [38], Тайманова [39, 40], Хрушовского [4].

Вторая глава посвящена исследованию поведения формулы от двух переменных (или, если следовать работе [19], одноместной функции в сорт, в сечение) слабо о-минимальных структур, вводится определение глубины формулы и формулируется необходимое условие слабой о-ми-нимальности теории слабо о-минимальной структуры. Строятся примеры слабо о-минимальных структур без слабо о-минимальной теории как конечной, так и бесконечной глубины. Глубина является естественным обобщением понятия "кусочная монотонность". На области определения заданной функции можно определить отношение эквивалентности, разбивающее эту область на выпуклые куски монотонности. Теперь рассмотрим функцию, определенную на классах эквивалентности, ее значениями будем считать супремум значений первоначальной функции на данном классе эквивалентности. Эту процедуру можно проделывать столько раз, пока функция не станет кусочно монотонной. Если теория слабо о-минимальна, то такая процедура всегда конечна.

В третьей главе мы изучаем косет-минимальные группы. Для плотно упорядоченных групп мы показываем, что определимые одноместные функции являются кусочно монотонными. В плотных группах верна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе были изучены сильно минимальные модели, слабо о-минимальные структуры и косет-минимальные группы — структуры, которые определяются особо простой формой определимых подмножеств. Исследования по этим тематикам еще далеко не исчерпаны. Если говорить о сильно минимальных структурах, которые мы изучали в первой главе, то вопрос полной классификации сильно минимальных структур, допускающих сокращение воображаемых элементов, остается открытым. Хотя уже известно, что тривиальные, локально модулярные сильно минимальные структуры не допускают сокращение воображаемых элементов (Pillay), а алгебраически замкнутые поля допускают (Poizat), также как и их сильно минимальные обогащения. А среди структур, опровергающих гипотезу Зильбера о трихотомии сильно минимальных структур, есть как те, так и другие.

Подытожим результаты второй главы. Слабая о-минимальность, в отличие от о-минимальности, не сохраняется при элементарной эквивалентности. Пока найдены только некоторые необходимые условия на слабо о-минимальную структуру, чтобы ее теория была тоже слабо о-минимальной. В этой связи также интересно привести проблему, поставленную в работе [19]: будет ли слабо о-минимальное обогащение упорядоченного поля иметь слабо о-минимальную теорию. Для упорядоченной группы отрицательное решение найдено в [49].

105

Если же говорить о косет-минимальных группах, то вопрос об устойчивости косет-мииимальности относительно элементарной эквивалентности еще не решен. При доказательстве устойчивости для о-минимального случая эта проблема была сведена к изучению свойств определимых функций. Тоже можно сделать и для косет-минимальных групп. В данной работе мы изучили только одноместные определимые функции, а многоместные еще ждут своих исследователей.

106

1. J. Baldwin, A. Lachlan, On strongly minimal sets, The Journal of Symbolic Logic, 36 (1971), стр. 79 96.

2. Б. И. Зильбер, Сильно минимальные счетно категоричные теории, Сибирский математический журнал, 21, 1980, стр. 219 230.

3. Б. И. Зильбер, Сильно минимальные счетно категоричные теории II III, Сибирский математический журнал, 25, 1984, стр. 396 - 412, 559 - 571.

4. Е. Hrushovski, A new strongly minimal set, Annals of Pure and Applied Logic, 62 (1993), стр. 147 166.

5. В. Poizat, Le carre de Vegalite, The Journal of Symbolic Logic, 64 (1999), стр. 1339-1355.

6. J. Baldwin, An almost strongly minimal non-desarguesian projective plane, Transaction American Mathematical Society, 342, стр. 695711.

7. R. Aref'ev, J. Baldwin., M. Mazzucco, Classification of 8-invariant amalgamation classes, The Journal of Symbolic Logic, 64 (1999), стр. 1743-1750.

8. A. Baudisch, Closure in Hq-categorical bilinear maps, The Journal of Symbolic Logic, 65 (1996), стр. 914-922.

9. S. Sudoplatov, Closed sets of side-angle matrixes and correspondent geometrical structures, Алгебра и теория моделей 3, сборник статей под редакцией А. Г. Пинуса и К. Н. Пономарева, Новосибирск 2001, стр. 131-135.

10. J. Reineke, Minimale Griippen,Z. Fur Mat. Logik, 21, 1975, стр. 357359.

11. В. В. Вербовский, The strongly minimal sets were constructed by E.Hrushovski do not admit elimination of imaginaries, 1-ый съезд математиков Казахстана (тезисы докладов), Шымкент, 1996 г., стр. 178 179.

12. В. В. Вербовский, On elimination of imaginaries for the strongly minimal sets of E. Hrushovski, подано в 1999 г. в The Journal of Symbolic Logic, 24 стр.

13. Ju. Ershov, A property of nonabelian varieties of groups, в сборнике Proceedings of the Tarski Symposium, edited by Henkin L. et.al. American Mathematical Society, 1974.

14. S. Shelah, Classification Theory and the Number of Non-Isomorphic Models, North-Holland — Amsterdam • New York • Oxford, 1978.

15. B. Poizat, Une theorie de Galois imaginaire. The Journal of Symbolic Logic, 48 (1983), стр. 1151 1170.

16. A. Pillay, Some remarks on modular regular types, The Journal of Symbolic Logic, 56 (1991), стр. 1003 1011.

17. В. Baizhanov, On essentiality of o-minimal expansion of о-minimal models?, Proceedings of Informatics and Control Problems Institute,редакторы M. Айдарханов и Б. Байжанов), Гылым, Алматы, 1996, стр. 70 75.

18. М. Dickmann, Elimination of quantifiers for ordered valution rings, Proceedings 3rd Easter Model Theory Conference at Gross Koris, Berlin, 1985.

19. D. Macpherson, D. Marker, C. Steinhorn, Weakly o-minimal structures and real closed fields, стр. 1 40, (preprint), 1993.

20. Р. Д. Арефьев, О свойстве монотонности слабо о-минимальных моделей, Алгебра и теория моделей (сборник научных трудов под редакцией К. Пономарева и А. Пинуса), Новосибирск, 1997, стр. 8 -13.

21. В. Kulpeshov, Weakly o-minimal structures and some of their properties, The Journal of Symbolic Logic, 63 (1998), стр. 1511 1528.

22. L. van den Dries, Tarski's problem and Pfaffian functions, Logic Colloquium'84 (J. B. Paris, A. J. Wilkie and G. M. Wilmers, editors), North-Holland, Amsterdam, 1986, стр. 59 90.

23. A. Pillay, Ch. Steinhorn, Definable sets in ordered structures. 1, Transactions of the American Mathematical Society, 295 (1986), стр. 565 592.

24. J. Knight, A. Pillay, Ch. Steinhorn, Definable sets in ordered structures II, Transactions of the American Mathematical Society, 2951986), стр. 593 605.

25. A. Pillay, Ch. Steinhorn, Definable sets in ordered structures III, Transactions of the American Mathematical Society, 300 (1988), стр. 469 476.

26. F.-V. Kuhlmann, Abelian groups with contraction /, Contemporary Mathematics, 171 (1994), стр. 217 241.

27. F.-V. Kuhlmann, Abelian groups with contraction II: weak o-minimali-ty, preprint.

28. B. Baizhanov, Expansion of a model of a weakly o-minimal theory by a family of unary predicates, The Journal of Symbolic Logic, 66 (2001), стр. 1382 1414.

29. О. Belegradek, A. Stolboushkin, M. Taitslin, Generic queries over quasi-o-minimal domains, Logical Foundations of Computer Science,

30. Proc. 4th International Sypmosium LFCS'97, Ярослав, Россия, Июнь 1997, редакторы S. Adian and A. Nerode), Lecture Notes in Computer Science 1234, Springer-Verlag, 1997, стр. 21 32.

31. F. Point and F. Wagner, Essentially periodic ordered groups, в печати в: Communications in Algebra.

32. V. Verbovskiy, On formula depth of weakly o-minimal structures, Алгебра и теория моделей, сборник статей под редакцией А. Г. Пинуса и К. Н. Пономарева, Новосибирск, 1997, стр. 209 224.

33. A. Tsuboi, Algebraic types and automorphism groups. The Journal of Symbolic Logic, 58 (1993).

34. J. Baldwin, Niandong Shi, Stable Generic Structures, Annals of Pure and Applied Logic, 79 (1996), стр. 1-35.

35. О. Belegradek, F. Point, F. Wagner, A quasi-о-minimal group without the exchange property, M.S.R.I, preprint series, 1998-051.

36. Ю. Л. Ершов, E. А. Палютин, Математическая логика, M.: Наука, 1987.

37. R. Fraisse, Sur quelques classification des relations, basees sur des isomorphismes restreints, Publ. Sei. Univ. 1955, Alger, 2, стр. 273 295.

38. A. Eurenfeucht, An application of games to the compactness problem for formalized theories, Fund. Math., 49 (1961), стр. 128 141.

39. А. Д. Тайманов, Характеризация аксиоматизируемых классов моделей i, Известия АН СССР, Сер. мат., 25 (1961), N 4, стр. 601 -620.

40. А. Д. Тайманов, Характеризация аксиоматизируемых классов моделей 2, Известия АН СССР, Сер. мат., 25 (1961), N 6, стр. 755 -764.

41. В. Poizat, Cours de theorie des mo deles, Nur al-Mantiq Wal-Ma'rifah, 1985.

42. F. Wagner, Relational structures and dimensions, section of Ph. D. thesis, Oxford, 1988.

43. Б. Ш. Кулпешов, Слабая о-минималъностъ линейно упорядоченной структуры, Исследования в теории алгебраических систем, (редактор Т. Нурмагамбетов), Карагандинский Государственный Университет, Караганда, 1995, стр. 61 67.

44. Б. С. Байжанов, Пары моделей и свойство NBAM, Proceedings of Informatics and Control Problems Institute, (редакторы M. Ай-дарханов и Б. Байжанов), Гылым, Алматы, 1995, стр. 81 89.

45. V. Weispfenning, Elimination of quantifiers for certain ordered and lattice-ordered groups, Bull. So. Math. Belg., Ser. B, 33 (1981), 131 -155.

46. A. Pillay, Some remarks on definable equivalence relation in o-minimal structures, The Journal of Symbolic Logic, 51 (1986), стр. 709 714.

47. D. Macpherson, Ch. Steinhorn, Extending partial orders on o-minimal structures to definable total orders, preprint, 1997.48. 0. Belegradek, V. Yerbovskiy, F. Wagner, Coset-minimal Groups, подано в 2002 в в Annals of Pure and Applied Logic, 34 стр.

48. В. В. Вербовский, Non-uniformly weakly o-minimal group, Алгебра и теория моделей 3, сборник статей под редакцией А. Г. Пинуса и К. Н. Пономарева, Новосибирск 2001, стр. 136 145.