Группы с ограничениями на пространство подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

§ 1. Дискретные группы с псевдокомпактным пространством подгрупп

§2. Полнота по Дьедонне пространства замкнутых подмножеств

§3. Полнота по Дьедонне пространства замкнутых подгрупп

§4. Вещественно полные пространства замкнутых подмножеств

§5. Дискретные группы с полным по Чеху Пространством подгрупп

§6. Локально разрешимые группы с условием максимальности для подгрупп

Развитие теории топологических групп неразрывно связано с успехами и достижениями общей теории групп. Накопленный богатый опыт в этих исследованиях в 40 - 50 годах стал интенсивно использоваться в топологической алгебре, в топологических группах появились разумные аналоги понятий и конструкций теории абстрактных групп, началось изучение пространств, связанных с топологическими группами. Характерным для этих исследований является постановка проблем, связанных с изучением топологических групп, на которые накладываются условия топологической или алгебраической природы, что определило два направления в развитии теории топологических групп - топологическое и алгебраическое [52]. Так была создана теория Силова (А.Г. Курош, В.П. Платонов), появились обобщенно нильпотентные и обобщенно разрешимые группы (В.М. Глушков, В.П. Платонов, В.И. Ушаков); В.М. Глушковым изучаются локально разрешимые группы с условием минимальности для замкнутых подгрупп; B.C. Чарин исследует топологические группы с дополняемыми подгруппами и, совместно с В.М. Полецких, группы конечного ранга.

К топологическому направлению можно отнести исследования вопросов продолжения топологий и топологических свойств топологической группы A.B. Архангельским, Б.А. Пасынковым; свободные топологические группы изучаются в работах М.И. Граева, A.B. Архангельского, В.Г. Пестова, М.Г. Ткаченко; A.B. Архангельский, Ю.Н. Мухин и И.В. Протасов исследуют вопросы топологизации и возможности ослабления и усиления топологии в топологических группах.

К алгебраическому направлению также следует отнести исследования свойств и строения групп, на замкнутые подгруппы которых накладываются известные ограничения. Значительное место в этих исследованиях отводится изучению пространства Цб) замкнутых подгрупп топологической группы О с различными топологиями на нем. Существует достаточно много различных вариантов выбора топологий на Ь(0) [34]. Одной из возможных топологий является топология Шаботи [5], использованная Малером при изучении решеток в евклидовом пространстве Я". Свойства топологии Шаботи изучались в работах [40] - [42], [49], [50] И.В. Протасова и Ю.В. Цыбенко для произвольных локально компактных групп, и И.В. Протасовым в [38] для не локально компактных групп ( [23]).

В работе [31] И.В. Протасовым, заметившим, что ЬЕ(С) является замкнутым подпространством пространства 2° замкнутых подмножеств О с топологией Вьеториса, вводится Е-топология на пространстве Ь(О). В этой работе были исследованы локально компактные группы в с компактным пространством ЬЕ(Сг), и, таким образом, было положено начало широкому изучению пространства ЬЕ(0г). Вопросы, касающиеся компактности и дискретности пространства ЬЕ(С), исследуются в работах [31], [8], [9] И.В. Протасова и Ю.А. Комарова; С.П. Панасюк рассматривает вопросы нормальности и метризуемости пространства ЬЕ(С) в серии работ [17]

- [19], А. Сарыев изучает в [43] периодические топологические группы с локально компактным пространством замкнутых подгрупп, кроме того, С.П. Панасюк исследует вопросы нормальности и метризуемости пространства ЬЕ, (в), близкого к пространству ЬЕ(С) [23].

Полученные значительные результаты в этих исследованиях, породили интерес к рассмотрению вопросов, связанных с изучением свойств пространства ЬЕ(0), близких к компактности, метризуемости, нормальности. Таковыми, например, являются псевдокомпактность, вещественная полнота, полнота по Чеху, полнота по Дьедонне.

В настоящей диссертационной работе исследуется вопрос псевдокомпактности пространства ЬЕ(Сг) локально компактной группы О. В процессе решения этой задачи удалось охарактеризовать такие пространства, а также параллельно исследовать вопрос полноты по Дьедонне пространства ЬЕ(С) для а-компактных и нульмерных групп. Кроме того в работе удалось описать дискретные абелевы группы с полным по Чеху ЬЕ(б), также были получены результаты в исследовании вопроса о вещественной полноте пространства | .

Изложим основные результаты диссертационной работы. Используется сквозная двухиндексная нумерация всех утверждений: первый индекс указывает номер параграфа, второй - порядковый номер утверждения в пределах данного параграфа. Используемые термины и обозначения являются общепринятыми, наиболее часто встречающиеся из них помещены в разделе "Некоторые обозначения и определения". Всюду в дальнейшем, если это особо не оговаривается, слово "группа" будет обозначать "топологическая группа", а слово "подгруппа" - "замкнутая подгруппа".

В § 1 изучаются дискретные абелевы группы с псевдокомпактным пространством ЬЕ(С).

Доказывается, что если пространство ЬЕ(Сг) дискретной группы в псевдокомпактно, то группа в удовлетворяет условию минимальности для подгрупп (лемма 1.2), на основании этой леммы доказана

Теорема 1.4. Пусть в дискретная абелева группа. Если пространство ЬЕ(Сг) псевдокомпактно, то оно компактно.

В работе [31] показано, что дискретная группа О обладает компактным пространством ЬЕ(Сг) тогда и только тогда, когда группа О изоморфна произведению СихСях . хС я хК, где р,, р2, ., рп - различ

Р1 Р2 Рп ные простые числа, и порядок конечной группы К не делится ни на одно из них, и таким образом теорема 1.4 завершает описание дискретных абе-левых групп с псевдокомпактным пространством ЬЕ(С).

§ 2 посвящен изучению вопроса о полноте по Дьедонне пространсту ва замкнутых подмножеств 2 в топологии Вьеториса. Существенную роль в этом играют леммы 2.1 и 2.3.

Лемма 2.1. Пусть X - сильно паракомпактное хаусдорфово пространство, и - открыто-замкнутое подмножество пространства X и ^а}аеА - покрытие пространства X \ и открытыми подмножествами

Тогда семейство -^(и), 02(\¥а), а еА| - нормальное покрытие пространства 2х.

Лемма 2.3. Пусть X - линделёфово пространство, и^ и и^ - открытые подмножества X, для которых 11' ^ с: и^. Если {^У«} - произвольное покрытие Х\(\\/а- открытые подмножества X для всех а е А), то в семейство ),В2(\¥а),а еА| можно вписать счетное нормальное покрытие пространства 2х.

Отметим также лемму 2.6, которая позволяет характеризовать полноту по Дьедонне пространства 2 через нормальные покрытия этого пространства.

Лемма 2.6. Пусть для произвольного замкнутого подмножества N и любых открытых подмножеств и^ и и^ нормального пространства X таких, что N с и^ с: и^ с= и^, и произвольного открытого покрытия (^а)аеА множества X \ и^ открытое покрытие а еА| пространства 2х нормально. Тогда 2х полно по Дьедонне.

Основным результатом § 2 является теорема 2.7:

Теорема 2.1. Если X - паракомпактное сильно нульмерное или линделёфово пространство, то 2 полно по Дьедонне в топологии Вьето-риса.

В § 3 полученные ранее результаты применяются в исследовании пространства ЬЕ(С) локально компактной группы О. Доказана

Теорема 3.1. Если О - локально компактная а-компактная или нульмерная группа, то пространство ЬЕ(С) полно по Дьедонне.

Этот результат является частичным ответом на вопрос У.12 В.Г. Пестова и М.Г. Ткаченко из сборника "Нерешенные задачи топологической алгебры" (Кишинев, "Штиинца", 1985).

Следующая теорема 3.3 является ответом на вопрос А.В. Архангельского (устное сообщение С.П. Панасюка), и в связи с результатами работы [31], завершает описание локально компактных групп с псевдокомпактным пространством ЬЕ(0).

Теорема 3.3. Если О - локально компактная группа и ЬЕ(Сг) псев-докомпактно, то ЬЕ(0) - компактно.

Далее в § 3 продолжается исследование вопроса полноты по Дьедонне пространства ЬЕ(С). Для каждого фильтра Коши в равномерном пространстве (ЬЕ(0),Ц) выделяется специальным образом элемент Ну из ЬЕ(0) и доказана

Теорема 3.1. Пусть в - локально компактная группа, и - универсальная равномерность на пространстве ЬЕ(С). Если для каждого фильтра

Коши в пространстве (ЬЕ(С), и) подгруппа Нг - компактна, то ЬЕ(0) полно по Дьедонне.

§ 4 посвящен изучению вещественной полноты пространства замкнутых подмножеств 2х в топологии Вьеториса и пространства в

Е' -топологии для локально компактной группы О. Доказана

Теорема 4.1. Если X - линделефово пространство, то 2 х полно по Хьюитту.

С.П. Панасюком была доказана вполне регулярность пространства ЬЕ, (О) локально компактной группы О [23]. Этот результат переносится на пространство 12 01 (:

Теорема 4.2. Если в - локально компактная группа, то пространство 12 ° | вполне регулярно.

Далее существенную роль играет

Лемма 4.3. Пусть в - а -компактная локально компактная группа, N -замкнутое подмножество в, и^ и и^ - окрестности единицы группы в такие, что и^ с: и^ и и^ - компакт. Если {^з} § - открытое покрытие в \N• и^ - открытые в в), где - компакты для всех 8 е8, то в семейство можно вписать счетное нормальное покрытие пространства 2°) .

Лемма 4.3 позволяет доказать следующее утверждение:

Теорема 4.4. Если в - локально компактная а-компактная группа, то

2° | полно по Хьюитту.

В § 5 исследуется вопрос полноты по Чеху пространства ЬЕ(0), получено описание дискретной абелевой группы в с полным по Чеху Ее(С). Доказывается

Лемма 5.1. Пусть в - топологическая группа и пространство ЬЕ(С) полно по Чеху. Тогда для любой подгруппы НеЬЕ(Ст) пространство Ее (Н) полно по Чеху. Затем приводится

00

Пример. 5.2. Группа в = ]~[ г(а^, где а; Ф е для всех 1 = 1,оо, обла

1=1 дает не полным по Чеху пространством Ее(0). Отметим следующее утверждение:

Лемма 5.4. Если в - дискретная абелева группа с полным по Чеху Ее(С), то найдется конечно порожденная подгруппа Н группы в такая, что фактор-группа в / Н удовлетворяет условию минимальности для подгрупп.

Далее вводится понятие Е -минимальности. Окрестность И(Н) точки Н в пространстве Ее(С) группы О мы назовем окрестностью с условием минимальности, если в и(Н) не найдется цепочки Н,>Н2>.>НП>. - бесконечной последовательности подгрупп из

Если для каждой подгруппы Н из ЬЕ(С) найдется окрестность с условием минимальности, то будем говорить, что группа в удовлетворяет условию Е -минимальности.

Завершает описание дискретной абелевой группы в с полным по Чеху пространством ЬЕ(б)

Теорема 5.6. Для дискретной абелевой группы О следующие три условия эквиваленты:

1) ЬЕ(б) полно по Чеху;

2) в группе О найдется конечно порожденная подгруппа Н такая, что фактор-группа О / Н удовлетворяет условию минимальности для подгрупп;

3) группа О удовлетворяет условию Е -минимальности.

Следующий пример представляется важным для дальнейшего изучения вопроса полноты по Чеху пространства ЬЕ(0) локально компактной абелевой группы О. оо

Пример 5.7. Пусть С = Сх[](а1), где С - бесконечная счетная дис1 кретная группа, (а^ - конечные циклические для всех 1 = 1,оо, все произведения - тихоновские. Тогда пространство ЬЕ(С) не полно по Чеху.

§ 6 посвящен изучению локально разрешимых дискретных групп с условием максимальности для подгрупп.

Для дискретной группы О вводится понятие Т§ - подгруппы следующим образом:

Пусть С - группа, - множество классов сопряженных элементов группы в. Подгруппу Н группы О мы назовем Т8 -подгруппой группы в, если для каждого \ е I НП Ф 0.

Доказывается следующая

11

Лемма 6.1. Если в разрешимой группе в найдется конечно порожденная Т8 -подгруппа, то она совпадает с группой О.

Основным результатом параграфа является

Теорема 6.3. Если в локально разрешимой группе в найдется Т8-подгруппа с условием максимальности для подгрупп, то сама группа в удовлетворяет этому условию.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертационной работы являются новыми, основные из них были опубликованы в работах [24], [25], [26] (совместно с С.П. Панасюком) и в работах [44], [45] и [46]. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований в теории топологических групп, а также для проведения семинаров и чтения лекций по спецкурсам для студентов математических специальностей вузов.

Автор глубоко благодарен за помощь в работе и постановку задач Панасюку Сергею Петровичу.

Результаты § 2, § 4, а также частично § 3 (теорема 3.1, теорема 3.3) получены совместно с Панасюком Сергеем Петровичем.

Результаты § 6 были получены под руководством Валерия Михайловича Полецких.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ и, \ , П - теоретико-множественные объединение, разность, пересечение; е, с - теоретико-множественные принадлежность, включение; 0 - пустое множество;

1,1- множества индексов, быть может направленные отношением порядка «< »; ха}ае1' {^а}ае1 " индексированное семейство элементов и подмножеств некоторого пространства;

8 - замыкание подмножества 8 топологического пространства; в, А,В,Н - топологическая группа - хаусдорфово топологическое пространство, наделенное групповой структурой, причем групповые операции непрерывны в соответствующей топологии; и, У,У| - открытые подмножества топологической группы в, в частности, окрестности каких либо элементов в; А < В - группа А - замкнутая подгруппа группы В; А <1 В - группа А - замкнутый нормальный делитель группы В;

8), (8)- подгруппа топологической группы в, порожденная подмножеством 8с= в, т.е. наименьшая (замкнутая) подгруппа, содержащая 8; О/И - фактор-группа топологической группы в по нормальной подгруппе Ы;

А = В - топологический изоморфизм групп А и В; е - единица группы в; е) - единичная подгруппа группы О;

8- класс элементов группы О, сопряженных с элементом а е в; Ч

А х В - топологическое прямое произведение групп А и В;

00

П г А1 - слабое прямое произведение (абстрактных) групп А;; 1

ПА;-декартово произведение топологических групп А;;

О 0 - связная компонента группы О; Ъ - дискретная аддитивная группа кольца целых чисел; /V - множество натуральных чисел;

Я - аддитивная группа поля действительных чисел с естественной топологией;

Яр - аддитивная группа поля р-адических чисел (р - простое число); Сг- циклическая группа порядка г ;

СрО0 - квазициклическая группа типа рда (р - простое число);

2х - пространство замкнутых подмножеств топологического пространства X с топологией Вьеториса [10], [11];

ЬЕ(С) - пространство замкнутых подгрупп топологической группы О, снабженное топологией Вьеториса [31]; 2°| - пространство замкнутых подмножеств топологической группы в, снабженное Е'-топологией [34];

ЬЕ, (в) - пространство замкнутых подгрупп топологической группы в, снабженное Е'-топологией [32];

Е^ ,Н2 ] - интервал в Ь(О), а именно множество

НеЦв^Н! сНсН2|, Н1?Н2 <0.

§1. ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ С ПСЕВДОКОМПАКТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ ПОДГРУПП.

Пусть в - топологическая группа, Цв) - множество всех замкнутых подгрупп группы в.

A) Е - топология на Ь(в) [10], [31].

Пусть

В1(\])= {Н еЬ(С)|Нси} В2(У) = (Н еЬ(0)|НП V * 0}. Тогда множества В1(и)ПВ2(У1)П.ПВ2(Уп), где и, У15 ., Уп пробегают всевозможные открытые множества из в, образуют базу Е - топологии на Ь(О). Пространство Ь(О) снабженное Е - топологией будем обозначать ЬЕ(0).

B) Для дискретной группы О отметим, что:

1) ЬЕ(С) вполне регулярно; это следует из вполне регулярности пространства 2 для нормального пространства О [58];

2) если Н - конечно порожденная подгруппа в, то в ЬЕ(Сг) найдется окрестность Н, содержащая только один элемент - саму подгруппу Н, а именно, если Н = (а1, а2, ., ап), то такой окрестностью является и(Н) = 01(Н)ПВ2(а1)П.ПВ(ап).

C) Напомним, что топологическое пространство X называется псевдокомпактным, если X - тихоновское пространство и каждая непрерывная вещественная функция на X ограничена.

Отметим следующий факт:

Лемма 1.1. Если в - дискретная группа с псевдокомпактным пространством ЬЕ(Сг), то группа О - периодическая.

Доказательство. Пусть элемент а группы О имеет бесконечный порядок. Тогда элементы бесконечной последовательности:

2п

Ь1 = а, Ь2 =а , ., Ьп = а , . - все попарно различны. Рассмотрим интервал

А1 = [<е>> <Ь1)] = {Н е ЬЕ (0)| (е) сН^Ц.

Поскольку любая подгруппа циклической группы является циклической, то каждый элемент из интервала А) входит в А1 вместе со своей окрестностью пространства ЬЕ(С), содержащей только данный элемент [по пункту В (2)], и, следовательно, А1 является открытым подмножеством пространства ЬЕ(0). С другой стороны, А! замкнуто в ЬЕ(0) по лемме 2 [31], тогда пространство А1 псевдокомпактно, как открыто-замкнутое подмножество псевдокомпактного пространства ЬЕ(С), а поскольку А1 дискретно, то оно является конечным множеством по [54, с.311], но |Ь1, Ь2, ., Ьп, . с А}, противоречие. Лемма доказана.

Можно доказать и более сильное утверждение:

Лемма 1.2. Если О - дискретная группа с псевдокомпактным пространством ЬЕ(С), то группа в удовлетворяет условию минимальности для подгрупп.

Доказательство. Допустим группа О не удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, и Н1 > Н2 > . > Нп > . -бесконечно убывающая цепочка подгрупп группы О. Тогда, найдем: элемент а1 еН, такой, что а^ ёН2, а2 еН2 такой, что а2 гН3, . , ап еНп такой, что ап п+1 и так далее . Таким образом, мы строим бесконечную последовательность попарно различных элементов а19 а2, ., ап, . группы О, где а1 еН1 для всех 1 = 1, оо, такую, что (а;) Ф {ъ^ для всех натуральных чисел 1 и ] (1Ф ]). Действительно, если 1 <}, то а1 , и следовательно а; £ ^ ^, поскольку ^ ^ с: Hj.

Рассмотрим = ||(а}{(а2)}, ■••, {(ап)}, •••) - бесконечное семейство попарно различных открытых подмножеств пространства ЬЕ(Сг). Покажем, что семейство сД - локально конечное. Пусть НеЬЕ(С). Если 0, то окрестность О^Н) точки Н в пространстве ЬЕ(б) не пересекается ни с одним подмножеством {(а;)|, для всех 1 = 1, оо. Если же Нп[и{а1}] Ф 0, то положим ш - наименьший индекс такой, что ат еН, и заметим, что окрестность В1(Н)П02(ат) не пересекается ни с одним |(ап}| при п > т. Следовательно, семейство сЛ - локально конечное, и в силу псевдокомпактности ЬЕ(С) ст? - конечное [54, с.311], противоречие. Лемма доказана.

Б) Следующая лемма будет существенно использована в доказательстве теоремы 1.4.

Лемма 1.3. Пусть Б - дискретная группа с псевдокомпактным пространством Ьк(0), Н - подгруппа и N - компактный нормальный делитель группы в. Тогда пространства ЬЕ(Н) и ЬЕ(0/]ЧГ) псевдокомпактны.

Доказательство. Если Н - подгруппа группы О, то интервал [(е), Н| является замкнутым множеством в пространстве ЬЕ(С) по лемме 2 [31]. Если же Н'е[(е), Н|, то БДН') с: [(е), Н], следовательно множество [(е), н| открыто в ЬЕ(Сг), и пространство [(е), псевдокомпактно. Поскольку интервал [(е), Hj гомеоморфен пространству ЬЕ(Н) [31, лемма 5], то пространство ЕЕ(Н) псевдокомпактно. Далее заметим, что если N -компактный нормальный делитель группы О, то N - конечен, множество [Ы, в] замкнуто в пространстве Ее(С) , и если N = {а5, а2, ., ап ]■, то для любой подгруппы е [Ы, О] окрестность

Б^ПЭ^а^П . П02(ап) е[К, О], следовательно [Ы, О] открыто, и является псевдокомпактным пространством. По лемме 5 [31] пространство Ее(Сг/]ЧГ) является непрерывным образом [14, в], и по [54, с. 312] будет псевдокомпактным. Лемма доказана.

В работе [31] показано, что дискретная группа О обладает компактным пространством ЬЕ(0) тогда и только тогда, когда группа в изоморфна произведению С я хС и х . хСюхК, где р,, р9, ., рп - различ

Р1 Р2 Рп 11 ные простые числа, и порядок конечной группы К не делится ни на одно из них.

Мы покажем, что для абелевой дискретной группы в условия псевдокомпактности и компактности пространства ЬЕ(0) эквивалентны, и таким образом завершим описание дискретных абелевых групп О с псевдокомпактным пространством ЬЕ(Ог).

Теорема 1.4. Пусть в дискретная абелева группа. Если пространство ЬЕ(С) псевдокомпактно, то оно компактно.

Доказательство. Если пространство ЬЕ(Сг) псевдокомпактно, то по лемме 1.2. группа О удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Тогда в имеет вид: й = С а хС ш х . хС^хК, где К - конечная абеле

Р1 Р2 Рп ва группа [12, с. 339].

Покажем, что все р; различные ^ = I, п|. Пусть это не так, и число р входит дважды в это представление группы в, тогда Ср00 х Ср - подгруппа группы в. Следуя [31] покажем, что пространство ЬЕ|Ср00 х Ср| не является псевдокомпактным.

Пусть в! = Ср00 х Ср, тогда = (а,, а2, ., ап, Ь), где а; * апри \Ф а\ = е, ар2 = а15 ., а£+1 = ап, ., Ьр = е, причем а15 а2, ., ап, .)П(Ь) = {е} . Рассмотрим Ап =(апЬ), где п= 1, 2, 3, . . Поскольку для любых натуральных чисел п и к ап е Ап+к и ап £ Ап, то все Ап попарно различны. Действительно, если ап еАп, то найдется число такое, что ап = (апЬ)8, но тогда а^ = Ь8, и следовательно б и 1-б делятся на прок стое число р, что невозможно. Далее заметим, что (ап+кЬ)р = ап, и таким образом ап еАп+к. Тогда семейство ^ = |{АТ}, {Аз}, ., {Ап|, .} - бесконечно, и, в силу конечной порожденности каждой подгруппы Ап, состоит из открытых подмножеств пространства Покажем, что седа мейство оЛ локально конечно. Пусть Н еЬЕ(ви и{а;] с Н. Тогда ес1 ли окрестность (Н) точки Н в пространстве ЬЕ(01) пересекается с некоторым {Ап} то апЬ еН и следовательно Ь еН. Но тогда окрест

20 ность Б1(Н)ПВ2(Ь) точки Н в не пересекаются ни с одним

А;} ЕсД, 1 = 1, оо, поскольку Ь ^ А^ для всех 1=1, оо.

Если же найдется ап то В1(Н)П{А;} = 0 при 1>п. Следовательно, семейство оЛ локально конечное бесконечное семейство открытых множеств в Ь^), тогда пространство Ь^О^ не псевдокомпактно, что в силу леммы 1.3. противоречит условию.

Таким образом, все числа р;, { - 1, п в представлении группы О являются различными. Тогда пространство ЬЕ(С) нормально [17], и в силу псевдокомпактности по [54, с. 310] является счетно компактным, а поскольку ЬЕ(С) счетно по [27], то является компактным. Теорема доказана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования позволяют сформулировать основные выводы и результаты:

1. В настоящей работе удалось охарактеризовать локально компактные группы в с псевдокомпактным пространством ЬЕ(С), а именно, доказать, что условия псевдокомпактности и компактности пространства ЬЕ(С) для локально компактной группы в равносильны.

2. Доказано, что пространство замкнутых подмножеств 2х в топологии Вьеториса полно по Дьедонне для паракомпактного сильно нульмерного или линделефова пространства X.

3. Получен частичный ответ на вопрос V. 12 В.Г. Пестова и М.Г. Ткаченко из сборника "Нерешенные задачи топологической алгебры" (Кишинев, "Штиинца", 1985); доказано, что пространство ЬЕ(С) локально компактной а-компактной или нульмерной группы в полно по Дьедонне.

4. Рассмотрен вопрос о вещественной полноте пространства локально компактной а -компактной группы в.

5. Начато изучение вопроса полноты по Чеху пространства ЬЕ(С): получено описание дискретной абелевой группы в с полным по Чеху ьЕ(о).

6. Получен критерий условия максимальности для подгрупп локально разрешимой группы.

Вышеперечисленные (и другие, полученные в работе результаты) позволяют поставить ряд задач и вопросов:

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. -1. М.: Наука, 1977. 367 с.

2. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности.- М.:1. Наука, 1973.-576 с.

3. Александрян P.A., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М.: Высшаяшкола, 1979. 336 с.

4. Архангельский A.B., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974. - 423 с.

5. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара.

6. Свертка и представление. М.: Наука, 1970. - 320 с.

7. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 3-е изд. - М.:1. Наука, 1982.-288 с.

8. Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1981.-431 с.

9. Комаров Ю.А., Протасов И.В. Компактность и дискретность в решеткеинвариантных подгрупп топологической группы // Конструктивное описание групп с заданными свойствами подгрупп. Киев. - 1980. — С. 133 - 140.

10. Комаров Ю.А., Протасов И.В. Компактность в решетке подгрупп топологической группы // Укр. мат. журн. 1981. - Т. 33, № 2. - С. 184 - 189.

11. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966. - 594 с.

12. Куратовский К. Топология. Т. 2. М.: Мир, 1969. - 624 с.

13. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967. - 648 с.

14. Мальцев А.И. Избранные труды. Т. 1: Классическая алгебра. М.: Наука, 1976. - 484 с.

15. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. М.: Наука, 1980. - 464 с.

16. Мухин Ю.Н. Топологические группы // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. 1982. - Т. 20. - С. 3 - 70.

17. Мухин Ю.Н. Локально компактные группы с дистрибутивной структурой замкнутых подгрупп. // Сиб. мат. журн. 1967. - Т. 8, № 2. -С. 366-375.

18. Панасюк С.П. О топологических абелевых группах с нормальной решеткой замкнутых подгрупп // VIII Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов. Сумы. - 1982. - С. 93.

19. Панасюк С.П. Метризуемость решетки замкнутых подгрупп разрешимых связанных групп Ли // XVII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений. Минск. - 1983. - С. 141.

20. Панасюк С.П. О нормальности и метризуемости пространства замкнутых подгрупп групп Ли // V Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Кишинев. - 1985. - С. 101 - 102.

21. Панасюк С.П., Полецких В.М. Об одном замкнутом отображении // Вестник Киевского ун-та. «Математика и механика». 1980. - № 22. -С. 89-91.

22. Панасюк С.П., Полецких В.М. Об одном критерии компактности топологических групп // Докл. АН УССР, сер. А. 1982. - № 9. - С. 17 - 18.

23. Панасюк С.П. Метризуемость в пространстве подгрупп группы Ли // Укр. мат. журн. 1990. - Т. 42, № 3. - С. 351 - 355.

24. Панасюк С.П. Нормальность и метризуемость пространства замкнутых подгрупп. Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ. - мат. наук. - Киев: Киевский госуниверситет, 1989.

25. Панасюк С.П., Султанов С.Р. О полноте по Дьедонне пространств замкнутых подмножеств и подгрупп // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений. Часть вторая. -Львов. 1987. - С. 214-215.

26. Панасюк С.П., Султанов С.Р. К вопросу о полноте по Дьедонне пространств замкнутых подмножеств и подгрупп // Укр. мат. журн. -1992.-Т. 44, № 11.-С. 1525- 1529.

27. Панасюк С.П., Султанов С.Р. О вещественной полноте пространства замкнутых подмножеств и подгрупп // Мат. методы в задачах моделирования, управления и обработки данных. Межвузовский сборник научных трудов. Рязань. — 1992. -С. 72-73.

28. Полецьких В.М. Тополопчш групи i3 зм1ченним числом шдгруп // В1сник КиТвського ушверситету. 1979. - № 21. - С. 127 - 134.

29. Полецких В.М. Слойно компактные абелевы группы // Укр. мат. журн. -1971.-№ 1.-С. 137- 141.

30. Полецких В.М., Панасюк С.П. Нормальность и метризуемость пространства замкнутых подгрупп абелевых групп // XVIII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов. -Кишинев. 1985.-С. 117-118.

31. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1984. - 520 с.

32. Протасов И.В. Топологические группы с компактной решеткой замкнутых подгрупп // Сиб. мат. журн. 1979. - Т. 20, № 2. - С. 378 -385.

33. Протасов И.В. О дуализмах топологических абелевых групп // Укр.мат. журн. -1979. Т. 31, № 2. - С. 207 - 211.

34. Протасов И.В. Топологические группы с а компактным пространством подгрупп // Укр. мат. журн. - 1985. - Т. 37, № 1. - С. 175 - 183.

35. Протасов И.В. О топологиях в решетке подгрупп // Докл. АН УССР. -1981,-№2.-С. 29 -32.

36. Протасов И.В. О равномерно нормальных группах // IX Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов Москва. - 1984. - С. 234.

37. Протасов И.В. 0-мерные группы с компактным пространством подгрупп // Мат. заметки. 1985. - Т. 37, № 4. - С. 483 - 490.

38. Протасов И.В. Проектирования нульмерных нильпотентных групп // Мат. заметки. 1978. - Т. 24, № 5. - С. 717 - 722.

39. Протасов И.В. Локальные теоремы для топологических групп // Изв. АН СССР, сер. мат. 1979. - Т. 43, № 6. - С. 1430 - 1440.

40. Протасов И.В., Сарыев А. Топологические абелевы группы с локально компактной решеткой замкнутых подгрупп // Докл. АН УССР. -1980.-№3.-С. 29-32.

41. Протасов И.В., Цыбенко Ю.В. О свойствах пространства замкнутых подмножеств // Докл. АН УССР, сер. А. 1981. - № 10. - С. 77 - 79.

42. Протасов И.В., Цыбенко Ю.В. Связность в пространстве подгрупп // Укр. мат. журн. 1983. - Т. 35, № 3. - С. 382 - 385.

43. Протасов И.В., Цыбенко Ю.В. Топология Шаботи в решетке замкнутых подгрупп // Укр. мат. журн. -1984. Т. 36, № 2. - С. 207 -213.

44. Сарыев А. Периодические топологические группы с локально компактной решеткой замкнутых подгрупп // Укр. мат. журн. — 1981. — Т. 33, №2.-С. 267-270.

45. Султанов С.Р. О полных по Чеху пространствах замкнутых подгрупп топологических групп // Мат. методы в задачах управления и обработки данных. Межвузовский сборник научных трудов. Рязань. -1990.-С. 97- 102.

46. Султанов С.Р. Об одном условии полноты по Дьедонне пространства замкнутых подгрупп // Мат. методы в задачах моделирования, управления и обработки данных. Межвузовский сборник научных трудов. Рязань. - 1992. - С. 78 - 80.

47. Султанов С.Р. Об одном условии конечности для классов сопряженных элементов // Мат. методы в научных исследованиях. Сборник научных трудов. Рязань. -1998. - С. 72 - 75.

48. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962. - 468 с.

49. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М.: Наука, 1975. - 654 с.

50. Цыбенко Ю.В. Связность в постранстве монотетичных подгрупп // XVII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений. -Минск.- 1983.-С. 213.

51. Цыбенко Ю.В. Диадичность пространства подгрупп // IX Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов. Москва. - 1984. - С. 249 - 250.

52. Чарин B.C. Топологические группы // Итоги науки. Алгебра. М., 1964. -С. 123 160.

53. Чарин B.C. Некоторые вопросы развития теории топологических групп в Советском Союзе // Группы с ограничениями для подгрупп. -Киев: Наукова думка. 1971. -С. 39 - 46.

54. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. -М.: Наука, 1980, 383 с.78

55. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир. 1986. - 752 с.

56. Chabauty С. Limite D' eusembles et geometric des nombres // Bull. Soc. Math. Franse- 1950.-V. 78.-P. 143 151.

57. Macbeath A.M., Swierczkouski S. Limits of lattices in a compactly generated group // Can. J. Math. 1960. -V.12. - P. 427 - 437.

58. Macbeath A.M. Groups of homeomorphisms of a simply connected space // Ann of Math. 1964. - V. 79, № 2. - P. 473 - 488.

59. Michael E. Topologies on spases of subsets // Trans. Amer. Math. Soc. -1951.-V. 71, № l.-P. 152- 182.

60. Nagata J. Modern general topology. Amsterdam. - 1968.

61. Hamford D. A remark of Mahlers compactness theorem // Proc. Math. Amer. Soc. 1971. - V. 28, № l. - p. 289 - 294.

62. Pommer H. Complete lattices of subgroups in compact groups // Arch. Math. 1971.-V. 22, №2.-P. 205 -208.