L2-метод в задаче о порождающих для весовых пространств без кольцевой структуры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Шамраева Виктория Викторовна

I/2-метод в задаче о порождающих для весовых пространств без кольцевой структуры

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ростовского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Александр Васильевич Абанин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Файзо Агитович Шамоян

кандидат физико-математических наук, доцент Виктор Алексеевич Богачев

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет

Защита состоится 28 июня 2005 года в ^ЗЗ'на заседании диссертационного совета К212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «_/£_» мая 2005 г. Ученый секретарь

диссертационного совета К212.208.06

к.ф.-м.н., доцент В .Д. Кряквин

Щ\Ъ<Ь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о порождающих, которую мы будем изучать, заключается в следующем.

Пусть П — открытое множество в С^; #(П) — наделенное стандартной топологией равномерной сходимости на компактах пространство всех голоморфных в П функций. Пусть далее Е и Е) (1 < < р) — подмножества в #(0); = {д^ : 1 ^ 3 < р) — фиксированный набор функций из Я (О), где р 6 N или р = оо. Необходимо решить вопрос о том, при каких условиях на справедливо равенство:

Функции д^ условно называют образующими.

Для пространства #<» всех аналитических и ограниченных в единичном круге функций задача о порождающих идеалах была поставлена и решена Л.Карлесоном в начале 60-х годов. В последующем она исследовалась для различных колец аналитических функций многими известными математиками. В той части этой тематики, в которой рассматриваются пространства, определяемые системами плюрисубгармо-нических весов, применяются в основном три метода: 1) интерполяционный Л.Карлесона; 2) Л.Хёрмандера, основанный на использовании его результатов о разрешимости 9-задачи с весовыми оценками и комплекса Кошуля, и 3) Ь2-метод А.Скода.

Задача о характеризации порождающих исследовалась Л.Карлесоном, Дж.Келлехером и Б.А.Тейлором, Л.Хёрмандером, А.Скода, А.Ф.Леонтьевым, Ф.А.Шамояном, В.В.Напалковым, В.Хеннекемпером, А.В.Абаниным, И.С.Шабаршиной и многими другими математиками.

Другими словами, когда V/ е Е Эйу е (1 < ] < р)\

/(*) = £ ФЫ*) (*€П).

В последнее время в связи с некоторыми задачами теории уравнений свертки возникла необходимость в исследовании проблемы порождающих не только в кольцах, но и в пространствах, не имеющих кольцевой структуры. О.В.Епифанов был, по-видимому, первым, кто исследовал задачу о порождающих в пространствах целых функций одной комплексной переменной, когда Е не имеет структуры кольца и когда ^ могут лежать в разных весовых классах. В последующем аналогичная задача с помощью модифицированной схемы Л.Хермандера изучалась А.В.Абаниным для функций многих переменных. Ранее А.Скода удалось упростить I2 -технику Л.Хермандера при исследовании оператора представления в случае, когда искомые функции удовлетворяют одной и той же весовой оценке. Его метод обладает тем преимуществом, что он позволяет использовать решение только одной ^-задачи вместо нескольких (в зависимости от размерности пространства и числа обрат зующих), как это было в методе Л.Хермандера.

Поиском условий, при которых система функций с непустым множеством общих нулей порождает конкретную алгебру аналитических функций, занимались Дж.Келлехер и Б.А.Тейлор, А.Скода и др. Отметим, что в работах О.В.Епифанова и А.В.Абанина, относящихся к данной тематике, случай образующих с общими нулями не изучался. Для пространств, не имеющих структуры кольца, известны лишь одномерные результаты А.С.Кривошеева и его ученика С.Н.Ганцева.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении результатов А.Скода на ситуацию, рассмотренную О.В.Епифановым и А.В.Абаниным.

Все полученные в диссертации результаты носят теоретический характер.

Цели работы. В диссертации исследованы следующие аспекты сформулированной выше задачи:

— модификация £2-метода А.Скода, применимая к пространствам, задаваемым отличными друг от друга весами и не обязательно имеющим кольцевую структуру;

— предельный случай модифицированного ¿Лметода;

— характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора.

Методы исследований. В диссертации применяются методы функционального анализа, теории аналитических функций нескольких комплексных переменных и элементы теории плюрисубгармонических функций.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение к задачам о факторизации операторов типа свертки и разрешимости систем сверточных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 1998 года, сентябрь 2002 года и сентябрь 2004 года), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2000 года), на 12-й Саратовской зимней школе, посвящённой современным проблемам теории функций и их приложениям (Саратов, январь 2004 года).

Публикации. Результаты получены автором самостоятельно и опубликованы в 11 работах без соавторов, список которых приведен в конце автореферата. Результаты главы I опубликованы в [1], главы II — в

[2]-[4]. В [5] приведены формулировки основной теоремы первой главы, вспомогательной леммы II.1.1 главы II и схема доказательства теоремы II.2.1. В [6] приведены некоторые следствия из теоремы 1.2.1 и анонсирован результат теоремы Ш.1.1. Работа [7] содержит все результаты третьего и четвёртого параграфов главы II и доказательство теоремы Ш.1.1 главы III. Результаты третьей главы изложены в [8]-[11].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 44 наименований. Объем диссертации - 108 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор истории данного направления и приводятся наиболее важные результаты диссертации.

Первая глава диссертационной работы состоит из шести параграфов и посвящена разработке модификации L2-метода А.Скода, которая позволяет изучать порождающие в несовпадающих между собой весовых классах пространств голоморфных функций многих переменных. При этом участвующие в задаче функции могут обладать отличными друг от друга весовыми оценками.

В первом параграфе приводится постановка задачи и функциональный "ключ"для её решения.

В остальных параграфах первой главы сформулированы и доказаны вспомогательные результаты, основной результат и некоторые следствия из него.

Основной результат, теорема 1.2.1, сформулирован в § 1.2. Доказательство теоремы 1.2.1 базируется на одном результате Л.Хёрманде-ра, относящемся к вопросу о разрешимости операторных уравнений в гильбертовых пространствах. Мы приводим его в адаптированном для наших целей виде в § 1.1 (см. ниже предложение 1.1.1).

Именно, пусть С1 — открытое ограниченное в С* множество, у?!,

-4

— весовые функции, ф = {Фг, ■■■ ,фр) — система весов и

1=1 )=\

— гильбертовы пространства с нормами || • ||7- () = 1,2,3). Мы используем стандартные обозначения пространств функций и дифференциальных форм. Под весом мы понимаем произвольную измеримую локально ограниченную в П функцию.

По произвольному набору (<7ь <72, ■ • • ,дР) аналитических и ограниченных в А функций определим оператор представления

-Л

Я: Л =(*!,...

3=1

который действует линейно и непрерывно из #1 в #2. Пусть далее

— замкнутый неограниченный оператор, который рассматривается на естественном подпространстве Х)от1> тех х € Н\, для которых Их £ Н3. Символом Я* и Г>* обозначаем сопряженные операторы. Отметим, что К{Кег"5) С в2 := Я(П) Л

Предложение 1.1.1. Пусть П — открытое ограниченное множество в <р\, <рг, ф} (1 ^ з ^ р) — измеримые ограниченные в П функции, — (^1,... ,5р) — набор ограниченных аналитических в П функций. Пусть далее Н\, Н?, #3, Д « В ~ пространства и операторы, введенные выше. Если существует константа с > 0 такая, что

||Я7 + 2^11! > с||/||„У/ е € ДотЯ*,

то для любой функции / € С?2 имеется такой набор к 6 Н\, состоящий из аналитических в П функций, что справедливо представление

:=1

При этом к можно выбрать так, чтобы || Л Ц1 «С ¿||/||2; то есть, чтобы

п п

В третьем параграфе первой главы доказываются вспомогательные результаты. Леммы 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4 позволяют полунить предложение 1.3.1, которое дает оценку для ||Л*/ + являющуюся базовой в доказательстве основного результата главы, теоремы 1.2.1.

Теорема 1.2.1. Пусть О - открытое псевдовыпуклое множество в С", ф, ф] - дважды непрерывно дифференцируемые плюрисуб-гармонические функции в П, = (51,да,... ,др) - система, состоящая из р аналитических в 0 функций, д = тт(М,р — 1). Положим

(р \1/2

:= ( 1 • Если при некотором а > 1 для лю-

* V-1 _ /

бых С С (к = 1,ЛГ) и каждого г = 1,... ,р всюду в А выполнено неравенство

ку1—I з—1

то для любой функции / € Н{0), удовлетворяющей условию

/

найдутся функции 6 Я(П), 3 = 1,р такие, что (1)

(2) I£ <

п '-1

п

Наибольшую трудность при проверке предварительных условий этой теоремы доставляет соотношение (1.2.1). Следствие 1.5.1, которое мы сейчас сформулируем, содержит простые по форме достаточные условия выполнения этого условия.

Следствие 1.5.1. Пусть П - открытое псевдовыпуклое множество в

С", ф

и ф] - дважды непрерывно дифференцируемые плюрисуб-гармонические функции в П, = (</1,52, • • • ,9р) система, состоящая из р аналитических в (I функций, д = тт(А^,р— 1). Если при некотором а > 1 функции ф — ф{ — aqфj (1 < г, 3 ^ р) плюрисубгармоничны в П, то для любой функции / 6 Н(р), удовлетворяющей условию

I \№\2тг)\-^-ъе-Мй\ < +оо, а

найдутся функции ^ € #(П), 3 = такие, что

(1) / = Х>Л-

}Г=1

(2) /£ < О

о

В шестом параграфе первой главы доказывается, что теорема 1.2.1 верна также и для счётных систем образующих.

Вторая глава диссертационной работы посвящена предельному случаю модифицированного ^-метода. Она состоит из четырёх параграфов. В первом параграфе доказывается вспомогательный результат, необходимый для доказательства основной в этой главе теоремы 11.2.1, к формулировке которой мы сейчас переходим. Отметим предварительно, что при доказательстве теоремы 1.2.1, полученной в предыдущей главе, существенно использовалось условие (1.2.1), в котором мы требовали, чтобы входящий в это условие параметр а был строго больше 1. Построенный в первой главе пример показывает, что при а < 1 эта теорема перестаёт быть верной. Поэтому единственным случаем для дополнительного исследования является лишь а = 1.

Теорема 11.2.1 Пусть П - открытое псевдовыпуклое множество в Сы; ф] - дважды непрерывно дифференцируемые плюрисубгар-монические функции в О., — (<?1,<?21 • • • ,9р) ~ система, состоящая из р аналитических в £2 функций [соотв. последовательность из аналитических в П функций], д = тш(М,р — 1) [соотв. ц = ЛГ]. Пусть, далее, для любых € С (к — 1, Ы) и для каждого г всюду на О выполнено неравенство

Тогда для любой функции / £ Н(П), удовлетворяющей условию

где X - множество общих нулей функций д^, а А - оператор Лапласа, найдутся функции € Н(И), j = 1,р [соотв. последовательность Ь,] € #(П)] такие, что

р оо

(1) / = ^ зА [соотв. / =

,=1 ;=1

(2) [ £ 1М*)|2(1 + ^

а

<2 I +

п\дг

¿'=1 к=1

Чтобы упростить проверку условий этой теоремы, в третьем параграфе получен ряд следствий теоремы Н.2.1, а в четвертом параграфе рассмотрены веса, являющиеся верхними огибающими модулей голоморфных функций. Отметим, что для случая одной переменной, свойства верхних огибающих модулей голоморфных функций изучались О.В.Епифановым и были использованы им в вопросах разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана с равномерными оценками. Основным результатом четвертого параграфа является предложение Н.4.1, представляющее собой удобный для использования в приложениях вариант теоремы Н.2.1.

Напомним, что если нам дано какое-либо локально ограниченное в области П С СЛ" семейство / голоморфных в П функций, то верхней огибающей их модулей называют функцию

Р(г) = аир(\/(г)\ :/€/}, г€0.

Предложение 11.4.1. Пусть П - открытое псевдовыпуклое множество в Ск, = (<7ъ<72,. • • ,дР) — система, состоящая из р аналитических в П функций [соотв. последовательность из аналитических в и функций], каждая из которых удовлетворяет следующему неравенству

ВВ >0 : у2 е П,

где ^(г) некоторые локально ограниченные в П функции {] = 1,р). Пусть далее фиф}— дважды непрерывно дифференцируемые в П функции, причём все ф — ф{ — qфj плюрисубгармоничны (д = тт(ЛГ, р — 1) [соотв. д = ¿V]) и ф имеет вид ф = 2<р\ + ч>г, где <р\ и <Р2 также дважды непрерывно дифференцируемые и плюрисубгармонические в П функции. Допустим, что имеются такие локально ограниченные в П семейства 1{з), 1 ^ ) ^ р, состоящие из аналитических в П функций, что ехрф]{г) = вир |/(г)|, гбП. Положим для г 6 П

fem

df

ехр ф^г) := тах вир Если

в.«

и d(z) := min{l, ~di$t(z, сЮ)}.

I e-^dX < oo, J J^jtfWje'WyW-^dx <oou

а a\x

j ¿tyM-ttjM-nWjx < oo,

Г1\X

где Cj{z) := sup{£,(z + w) : ||w|| < d(z)}, то для любой функции f из Я(П) с оценкой

\№\<C\t(z)\fe^\ zeit, найдутся функции hj € ff (П) такие, что

(1') / = £<?A(/ = EffA);

(2') J + M2)-2 £ I^WI^W-^WdÄ < 00.

n * i=i

Здесь, как и прежде, X — множество общих нулей функций из

набора .

В третьей главе диссертационной работы полученные результаты применяются к конкретным пространствам.

Пусть Рр — класс непрерывных плюрисубгармонических позитивно однородных порядка р > 0 в С^ функций. Символом Ц(г) := = lim limln будем обозначать регуляризованный радиальный ин-

t-yoo v

дикатор целой функции /. Для заданной функции k(z) € Рр обозначим через [р, к) ([/>, к]) пространство целых функций N переменных роста не выше порядка р конечного типа, регуляризованный радиальный индикатор которых при z ф О строго меньше, чем k(z) (соответственно меньше либо равен k(z)).

Рассматривается следующая задача. Пусть к, У G Рр (j = 1,р). Требуется найти условия на систему образующих gj € [р, j = 1 ,р, при которых каждая функция / 6 [р, к) допускает представление

= (Ш.о.1)

i=1

где hj е[р,к- У) (hj €[р,к- kj]).

Глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе получены достаточные условия на систему , при которых разложение вида (III.0.1) имеет место для любой функции / из [/>,&). Ясно, что в этом случае функции из автоматически не имеют общих нулей. Во втором параграфе исследуется ситуация, когда функции из допускают непустое общее множество нулей. Основные теоремы третьей главы:

Теорема Ш.1.1. Пусть k(z), k*(z) Е Рр ~ положительные функции (z ф 0) и при этом к - к* - qti € Рр, q = mm{N,p-1), i,j = 1 ,р,

р £ N. Для того чтобы любая функция / из [р, к) допускала разложение

/(*) = 1>(*)М*)>

У=1

с коэффициентами Ау £[р,к- к'], ] = Т7р, достаточно, чтобы

р

Уе > 03А, > о : > г £ См.

У=1

Теорема Ш.1.2. Пусть к(г), У (г) £ Рр - положительные функции (г ф 0). Предположим дополнительно, что имеется такая функция и £ Рр, и(г) > 0 при г ф О, что к - к* - дУ — и € Рр, где д = гшп(ЛГ,р — 1), г, у = 1,р, р е N. Для того чтобы любая функция / из [р, к) допускала разложение

1=1

с коэффициентами И] £ [/>, А; — У), достаточно, чтобы

Че > 03Ае > 0 : £ Ыг^е'2^-^ > Аее~^', г £ С*.

В теоремах Ш.2.1 и Ш.2.2 второго параграфа рассматривается случай, когда образующие д^, ] — 1,р, имеют непустое общее нулевое множество X.

Теорема Ш.2.1. Пусть к(г), У (г) £ Рр - положительные функции (г ф 0). Предположим дополнительно, что имеется такая функция и £ Рр> и(г) > 0 при гфО, что к - к' — адУ — и £ Рр, где а > 1, д = тт(ЛГ,р — 1), г, _/ = Т^р, р £ N. Пусть далее функция f € [р, к) такова, что /(г) = 0 для г £ X и

/ р \ ^

Эе > 03Ае > 0 : |/(*)| < Ае ^ М*)!*«-*')-^ ^ 2

Тогда найдутся функции Н} £ [/>, к — У), 3 = 1,р такие, что верно

Теорема Ш.2.2. Пусть к(г), У (я) 6 Рр - положительные функции (г ф 0), и при этом к — к1 — qУ £ Рр, где q = шт(Лг,р — 1), — 1 ,р, р € N. Пусть далее функция / 6 [р, к) такова, что /(г) = 0 для г € X и

то существуют функции Ь,} 6 [р,к — У], з = 1 ,р такие, что верно разложение (Ш.0.1).

Отметим, что в 1990 году О.В.Епифановым были установлены результаты, подобные теоремам Ш.1.1 и Ш.1.2, для функций одной переменной. При этом, он показал, что фигурирующие в этих теоремах достаточные условия, являются и необходимыми. Что касается теоремы Ш.2.1, то для пространств, не имеющих структуры кольца, известны лишь одномерные результаты А.С.Кривошеева (2000), а также А.С.Кривошеева и С.Н.Ганцева (2003). Следует сказать, что постановка задачи у А.С.Кривошеева и С.Н.Ганцева несколько отличается от рассмотренной в настоящей работе. Они нашли условия, при которых представление вида (Ш.0.1) справедливо для любой целой функции / € [/>, к), обращающейся с учетом кратностей в нуль в общих нулях образующих. Показано, что достаточным и для широкого класса к необходимым условием для наличия таких представлений является

Если

регулярность роста системы образующих (этот термин обобщает классическое понятие полной регулярности роста одной функции и был введен А.С.Кривошеевым для р — 1, а затем распространен С.Н.Ганцевым на произвольное р > 0). В настоящей работе в отличие от упомянутых выше исследований изучается многомерная ситуация, накладываются меньшие ограничения на систему образующих, но более жесткие на разлагаемую функцию.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.В.Абанину за постановку задач и внимание к работе.

Список работ по теме диссертации

[1] Сербина В.В. Ь2-метод в задаче о порождающих для пространств, определяемых разными весами / РГУ, 1997, 32 с. Деп. в ВИНИТИ, 26.06.97, К'2082-В97.

[2] Сербина В.В. Вторая теорема существования для пространств, определяемых разными весами / РГУ, 1999,11 с. Деп. в ВИНИТИ, 03.03.99, №655-В99.

[3] Сербина В.В. Вторая теорема существования для пространств, определяемых разными весовыми функциями // Научная конференция аспирантов и соискателей: Тезисы докладов. - Ростов н/Д, 1999. - С.11.

[4] Сербина В.В. Порождающие в пространствах, определяемых разными весами // Междунар. школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Бфимова (Абрау-Дюрсо, 1998). - Ростов н/Д, 1998. - С. 119-120.

[5] Сербина В.В. Порождающие в пространствах, определяемых разными весами II Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. -1999. - № 3. - С. 24-25.

[6] Сербина В.В. Порождающие в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора // Научная конференция аспирантов и соискателей: Тезисы докладов. -Ростов н/Д, 1999. - С.22.

[7] Сербина В.В. Порождающие в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора / РГУ, 2000, 14 с. Деп. в ВИНИТИ, 30.05.2000, №1558-В00.

[8] Сербина В.В. О порождающих в некоторых пространствах целых функций // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2000). -Ростов н/Д, 2000. - С. 158-159.

[9] Шамраева В.В. К задаче о порождающих // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002). - Ростов н/Д, 2002. - С. 121-122.

[10] Шамраева В.В. Модификация 1?-метода в задаче о порождающих // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы. Саратов, 2004. -С. 204-205.

[11] Шамраева В.В Регулярно порождающие пары в пространствах, определяемых разными весами // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004). - Ростов н/Д. 2004. - С. 162.

I

*

»

Подписано в печать 11.05.05. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 149.

Редакционно-издательский центр Ростовского государственного

строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, 22, Социалистическая, 162

№10 39 5

РНБ Русский фонд

2006-4 14186

д

$

I

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I

МОДИФИКАЦИЯ £2-МЕТОДА H.SCODA

§ 1.1. Постановка задачи и функциональный "ключ"для ее решения 17 ^

§ 1.2. Формулировка основного результата главы для конечных систем образующих

§ 1.3. Вспомогательные результаты

§ 1.4. Доказательство основного результата

§ 1.5. Некоторые следствия из основного результата

§ 1.6. Основной результат главы для счётных систем образующих

ГЛАВА II

ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ МОДИФИЦИРОВАННОГО

12-МЕТОДА ф

§ II.1. Вспомогательные результаты

§ II.2. Формулировка и доказательствр предельного случая модифицированного .£2-метода

§ II.3. Некоторые следствия

§ II.4. Условия на систему порождающих функций для весов, являющихся верхними огибающими модулей голоморфных функций

ГЛАВА III

Для пространства Яоо всех аналитических и ограниченных в единичном круге функций задача о порождающих идеалах была поставлена. и решена Л.Карлесоном [1] в начале 60-х годов. В последующем она исследовалась для различных колец аналитических функций многими известными математиками. В той части этой тематики, в которой рассматриваются пространства, определяемые системами плюрисубгармонических весов, применяются в основном три метода: 1) интерполяционный Л.Карлесопа (см. [2]); 2) Л.Хёрмандера [3]

4], основанный на использовании его результатов о разрешимости 5-задачи с весовыми оценками и комплекса Кошуля, и 3) £2-метод А.Скода [5]. Следует отметить, что L2 -метод имеет определенные преимущества по сравнению с наиболее широко применяемым методом Л.Хёрмандера.

В последнее время в связи с некоторыми задачами теории уравнений свертки возникла необходимость в исследовании проблемы порождающих не только в кольцах, но и в пространствах, не имеющих кольцевой структуры. На пути её решения О.В.Епифановым [6]-[8] и А.В.Абаниным [9]) было развито обобщение метода Л.Хёрмандера.

В настоящей работе разработана модификация £2-метода А.Скода

5], применимая к пространствам, определяемым отличными друг от друга весами и не обязательно имеющим кольцевую структуру. В качестве приложений получены результаты о порождающих в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора.

Задача о порождающих, которую мы будем изучать, заключается в следующем:

Пусть О, — открытое множество в CN (N ^ 1); Н(0.) — наделенное стандартной топологией равномерной сходимости на компактах пространство всех голоморфных в О, функций. Пусть, далее, Е и Ej (1 ^ j < р) — подмножества в Н(0,)\ ~д — (gj : 1 ^ j < р) — фиксированный набор функций из H(Q), где pGN или р = оо. Необходимо решить вопрос о том, при каких условиях на = (gj : 1 ^ j < р) справедливо равенство:

Е= Е 9jEj. i<j<p

Другими словами, когда V/ € E3hj € Ej (1 ^ j < р):

М = Е ф)1ф) (Z е Q).

Функции gj условно называют образующими.

Задача о характеризации порождающих исследовалась Л.Карлесо-ном [1], Дж.Ксллехсром и Б.А.Тейлором [2], [4], Л.Хёрмандером [3], А.Скода [5], А.Ф.Леонтьевым [10], Ф.А.Шамояном [11], В.В.Напалковым [12], В.Хеииекемпером [13], А.В.Абаиипым, И.С.Шабаршииой [14]-[18] и многими другими математиками. О.В.Епифанов был, по-видимому, первым, кто исследовал задачу о порождающих в пространствах целых функций одной комплексной переменной, когда Е не имеет структуры кольца ([7]) и когда hj могут лежать в разных весовых классах. В дальнейшем аналогичная задача была решена для функций многих переменных А.В.Абаниным (см. [9]). Ранее А.Скода ([5]) удалось упростить 1/2-технику Л.Хёрмандера ([3]) при исследовании оператора представления в случае, когда искомые функции удовлетворяют одной и той же весовой оценке. Его метод обладает тем i преимуществом, что он позволяет использовать решение только одной

9-задачи вместо нескольких (в зависимости от размерности пространства и числа образующих), как это было в методе Л.Хёрмандера. Приведём один из основных результатов А.Скода.

ТЕОРЕМА 1. Пусть fi — открытое псевдовыпуклое множество в CN, ip — плюрисубгармоническая функция в Q, (gi,g2, • • • ,9i>) [соотв. система, состоящая из р аналитических в Q функций [соотв. последовательность из анал. функций], q = Inf(N,p — 1), q > 1. Тогда для любой функции / G удовлетворяющей условию J [f\2\g\~2n(J~2e~^dX < +оо найдутся функции hj € H(Q)} п j = 1,р [соотв. последовательность (hj)j^] такие, что

Р ос

1) / = Е 9jhj [соотв. / = Е 9jhj}; п п

Им также был исследован предельный случай, соответствующий а = 1.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении результатов А.Скода на ситуацию, рассмотренную О.В.Епифановым и А.В.Абаниным. В диссертации исследованы следующие ее аспекты:

• модификация L2-метода А.Скода, применимая к пространствам, задаваемым отличными друг от друга весами и не обязательно имеющим кольцевую структуру;

• предельный случай модифицированного Ь2-метода;

• характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора.

Диссертация состоит из Введения и трех глав. Во всех главах мы придерживаемся двойной нумерации параграфов (§ 1.2 - второй параграф главы I) и тройной - получаемых утверждений и формул (теорема II.2.1 - теорема 1 параграфа 2 главы II; (III. 1.1) - первая формула параграфа 1 главы III).

1. Carleson L. 1.terpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. of math. 1962. V. 76. N 3. P. 547-559.

2. Kelleher J.J., Taylor B.A. An application of the corona theorem to some rings of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 2. P. 246-249.

3. Hormander L. Generators for some rings of analytic functions II Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 6. P. 943-949.

4. Kelleher J.J., Taylor B.A. Closed ideals in locally convex algebras of analytic functions // J. Reine Angew. Math. 1972. V. 255. P. 190209.

5. Scoda H. Application des techniques L2 a la theorie des idcaux d'une algebre de fonctions holomorphes avec poids // Ann. sci. Ec. Norm. Sup. 1972. 4-e serie. V. 5. N 4. P. 545-579.

6. Епифанов О.В. Разрешимость уравнения Коши-Римана с ограничениями роста функций и весовая аппроксимация аналитических функций II Изв. вузов. Математика. 1990. № 2. С. 49-52.

7. Епифанов О.В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Матем. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 83-92.

8. Епифанов О.В. О пороэюдающих для некоторых пространств аналитических функций // Линейные операторы в комплексном анализе.-Ростов н/Д.:Изд-во Рост, ун-та. 1994. С. 44-46.

9. Абапип А.В. Модификация метода Л.Хермандера в задаче о порождающих и ее приложения // Изв. вузов. Математика. 1995. № 8. С. 3-12.

10. Леонтьев А.Ф. Об одном применении интерполяционного метода // Матем. заметки. 1975. Т. 18, № 5. С. 735-752.

11. Шамоян Ф.А. Приложения интегральных представлений Дэюр-башяна к некоторым задачам анализа // ДАН СССР. 1981. Т.261. № 3. С.557-561.

12. Напалков В.В. Уравнения свёртки в многомерных пространствах М.: Наука, 1982. 240 с.

13. Heimekemper W. Uber Differcntialideale im Ring der ganzer Funk-tionen endlicher Wachstumsordnung // Arch. Math. 1986. V.46. P.250-256.

14. Абанин А.В., Шабаршина И.С. К задаче о порождающих // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1997. № 2. С. 3-5.

15. Абанин А.В., Шабаршина И.С. Пороэюдающие и дифференциальные идеалы и нулевые множества их образующих // Докл. РАН. 1999. Т. 368. № 2. С. 151-153.

16. Шабаршина И.С. К задаче о порождающих для пространств целых функций с оценкой индикатора // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 1. С. 26-29.

17. Abanin A.V., Shabarshina I.S. Zero sets of generators and differential ideals // Math.Nachr. 2002. V.238. P.5-15.

18. Абанин А.В., Шабаршина И.С. Характеризация порождающих идеалов в некоторых кольцах целых функций // Матем. заметки. 2003. Т.74. № 4. С.483-493.

19. Кривошеев А.С. Регулярность роста системы функций и системы неоднородных уравнений свёртки в выпуклых областях комплексной плоскости // Изв. РАН. Сер. мат. 64, 2000. № 5. С. 69-132.

20. Кривошеев А.С., Ганцев С.Н. Разрешимость систем неоднородных уравнений свёртки в выпуклых областях в С // Алгебра и анализ. 2003. Т.15. Вып.6.

21. Hormander L. L2 estimates and existence theorems for the д operator // Acta Math. Soc. 1965. V. 113. P. 89-152.

22. Kelleher J.J., Taylor B.A. Finitely generated ideals in rings of analytic functions // Math. Ann. 1971. V. 193. P. 225'-237.

23. Данфорд H., Шварц Т.Джекоб. Линейные операторы. Т.2. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1966.

24. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть I. М.: Наука, 1985.

25. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть II. М.: Наука, 1985.

26. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.27. belong P. Fonctions plirisousharmoniques et Formes differentielles positives //Gordon Breach, Paris-Londres-New York. 1968.

27. Hormander L. An Introduction to complex analysis in several vari-ablesr / Van Nostrand Company. New Jork. 1966.

28. Колмогоров А.Ф., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

29. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.

30. Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968.

31. Робертсои А., Робертеон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

32. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1950.

33. Сербииа В.В. Ь2-метод в задаче о порождающих для пространств, определяемых разными весами // РГУ, Ростов-на-Дону, депон. в ВИНИТИ, №2082-В97, 26 июня 1997. 32 с.

34. Сербина В.В. Вторая теорема существования для пространств, определяемых разными весами // РГУ, Ростов-па-Дону, депоп. в ВИНИТИ, №655-В99, 3 марта 1999. 11 с.

35. Сербина В.В. Вторая теорема существования для пространств, определяемых разными весовыми функциями // Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1999. С. 11.

36. Сербина В.В. Порождающие в пространствах, определяемых разными весами // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 1998. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 119-120.

37. Сербина В.В. Порождающие в пространствах, определяемых разными весами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 3. С. 24-25.

38. Сербина В.В. Пороэ1сдаюгцие в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора // Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1999. С.22.

39. Сербина В.В. Пороэ/сдающие в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора // РГУ, Ростов-на-Дону, депон. в ВИНИТИ, №1558-В00, 30 мая 2000. 14 с.

40. Сербина В.В. О порождающих в некоторых пространствах целых функций // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2000. Тезисы докладов. Ростов на-Дону. С. 158 159.

41. Шамраева В.В. К задаче о порождающих // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2002. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 121— 122.

42. Шамраева В.В. Модификация L2-метода в задаче о порождающих // Современные проблемы теории функций и их приложения, 2004. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы. Саратов. С. 204-205.

43. Шамраева В.В. Регулярно порождающие пары в пространствах, определяемых разными весами // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2004. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 162.