Линеаризированные задачи упругопластического состояния анизотропных и неоднородных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

е=г .у™

0 -.„.

Министерство общего и профессионального

1 ^ образования российской федерации

чувашский государственный педагогический

ИНСТИТУТ имени И.Я.ЯКОВЛЕВА

На правах рукописи

захарова Татьяна Львовна

УДК 539.219.2;539.374

линеаризированные задачи упругопластйческого состояния анизотропных и неоднородных сред

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары - 1996

Работа выполнена в Чувашском государственном педагогическом институте им.И.Я.Яковлева.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ИВЛЕВ Д.Д.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор МАРКИН A.A., кандидат физико-математических наук, доцент ГРИГОРЬЕВ Е.А.

Ведущая организация - Воронежский государственный педагогический университет.

Защита диссертации состоится 25 декабря 1996 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 113.67.01 в Чувашском государственном педагогическом институте имени И.Я.Яковлева по адресу: 428000, г.Чебоксары, К.Маркса, д.38, ауд.404.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического института им.И.Я.Яковлева.

Автореферат разослан " и- ноября 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук

Г.Е.ЧЕКМАРЕВ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам реализуемых машин, конструкций и сооружений, уменьшению их веса и размеров, что приводит к необходимости использования композитных неоднородных и анизотропных материалов. Определение критериев, позволяющих оценить прочность элеметов конструкций, инженерых сооружений из неоднородных анизотропных материалов при работе в упругопластическом режиме, является одной из актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

Проблеме влияния анизотропии в теории идельного упруго-пластического тела посвящены работы Б. Д. Аннина, В. И. Астафьева, Г. И. Быковцева, Г. А. Гениева, В. О. Геогджаева, В. В. Дудукаленко, М. И. Ерхова, Д. Д. Ивлева, А. А. Маркина, Н. М. Матченко, Р. Мизеса, С. Г. Лехницкого, 10. В. Не-мировского, В. Н. Паймушина, В. Прагера, 10. Н. Работнова, М. С. Саркисяна, О. В. Соснина, И. Г. Терегулова, Т. А. Толо-конникова, Р. Хилла, Ф. Г. Ходжа и др.

Проблеме учета неоднородности в теории идеально пластического тела посвящены работы М. Т. Алимжанова, А. С. Григорьева, О. Д. Григорьева, Б. А. Друянова, М. А. Задояна, А. И. Кузнецова, В. С. Ленского, В. А. Ломакина, В. М. Мирса-лимова, В. Олыпака, Я. Рыхлевского, В. Урбановского и др.

Актуальность решения линеаризированных задач упруго-пластического состояния анизотропных и неоднородных тел объясняется взаимосвязью свойств анизотропии и неоднородности в материалах, используемых в современных конструкциях и технике.

Цель работы. - решение задач теории идеальных упругопла-стических изотропных, анизотропных и неоднородных сред.

На защиту выносятся: - исследование линеаризированных соотношений теории идеаль-

ной пластичности для изотропных, анизотропных и неоднородных сред;

- решения новых плоских задач для упругопластических анизотропных и неоднородных тел методом малого параметра;

- исследование влияния параметров анизотропии и неоднородности на напряженное состояние тел и радиус пластической зоны.

Научная новизна и теоретическое значение исследования: получено решение задачи о растяжении идеально пластической полосы переменного сечения во втором и третьем приближениях; рассмотрены полиномиальные решения для задачи о течении толстостенной трубы, ослабленной пологими выточками, и линеаризация, связанная с переходом от полярной системы координат к декартовой; исследованы случаи растяжения толстых пластин с круговым и эллиптическим отверстием, а также полосы переменного сечения из неоднородного анизотропного материала; исследовано влияние параметров анизотропии и неоднородности на форму границы у пру гоп ласти ческой зоны.

Достоверность результатов исследования подтверждается апробированностыо методов математической физики, используемых при решении поставленных задач, и соответствием полученных результатов имеющимся экспериментальным данным.

Практическая значимость исследования заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при расчетах идеальных упругопластических состояний изотропных, анизотропных и неоднородных сред.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались:

- на итоговых научно-практических конференциях в Чувашском государственнном педагогическом институте имени И.Я.Яковлева (Чебоксары,1995-1996);

- на семинарах по механике деформируемого твердого тела (ЧГПИ,1995-1996);

- на Всероссийском семинаре "Актуальные проблемы мате-

матического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (Чебоксары, июнь, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. Объём работы составляет 53 страницы, библиография содержит 62 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Метод малого параметра получил своё первоначальное развитие в механике деформируемого твердого тела при решении задач об устойчивости течения вязкопластических тел с маловозмущённой границей в работах А.Ю.Ишлинского и А.А.Ильюшина; при определении поля напряжений и поля скоростей растягиваемой полосы, ослабленной пологими выточками в исследовании Е.Оната и В.Прагера. В дальнейшем Д.Д.Ивлев и Л.В.Ершов, используя метод малого параметра, вывели общие соотношения для плоских и осесимметричных задач теории идеальной пластичности и теории малых уруго-пластических деформаций.

Малый параметр может характеризовать возмущение как статических, так и геометрических краевых условий. А. А.Ильюшин связывал малый параметр с модулем объемного сжатия, Л.М.Качалов - с геометрией тела. Д.Д.Ивлев и Л.В.Ершов ввели малый параметр как величину, характеризующую различие между плоским деформированным и осесимметричным состояниями тела. А.Н.Гузь, И.А.Цурпал использовали малый параметр для учета физической нелинейности упругого материала. В исследованиях Л.А.Толоконникова малый параметр характеризовал свойства пластического материала, Б.А.Друянова - неоднородность пластического материала.

Условие пластичности для изотропных пластических сред впервые было предложено Р.Мизесом, который за основу взял выражение для потенциальной энергии формоизменения элемента упругого тела. В дальнейшем условие пластичности Мизеса было интерпретировано как условие пластичности октаэдриче-ского касательного напряжения. Аналогичным образом Мизес сформулировал условие пластичности для анизотропных сред.

Р.Хилл сформулировал условие идеальной пластичности для анизотропных сред на основе условия пластичности Мизеса для изотропного тела, дополнив его шестью константами идеально пластической анизотропии. Впоследствии Хилл исследовал соотношения плоской задачи для идеально пластического анизотропного тела.

Другой подход к описанию идеально пластической анизотропии, основанный на обобщении условия пластичности Треска, предложил Д.Д.Ивлев и получил соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности анизотропных сред.

Теории пластичности неоднородных сред посвящены монографии В. Ольшака, Я. Рыхлевского, В. Урбановского, О. Д. Григорьева, В. А. Ломакина, в которых содержится обзор результатов исследований в этой области механики сплошных сред. Среди причин, вызывающих неоднородность механических свойств материалов, выделим следующие: неоднородность состава, неоднородное упрочнение, облучение.

В данной работе изучается влияние неоднородности и "винтовой" анизотропии на напряженное состояние тел из идеального упругопластичского материала на основе исследований А. Ю. Ишлинского, Е. Оната, В. Прагера, Д. Д. Ивлева, Л. В. Ершова и других.

В первой главе рассматриваются линеаризированные задачи теории идеально пластического изотропного тела. Онат и Прагер использовали полиномиальное решение для определения напряженного состояния растягиваемого плоского образ-

ца, ослабленного пологими выточками, в первом приближении. Аналогичную задачу в тригонометрических функциях решил А.Ю.Ишлинский. В представленной работе получено второе и третье приближение. Вместе с тем рассматривается течение толстостенной трубы переменного сечения из идеально пластического материала в случае плоской деформации. Введены полиномиальные решения исходных уравнений. Решение этой задачи в виде разложений по тригонометрическим функциям было рассмотрено Д.Д.Ивлевым и Л.В.Ершовым. Методом малого параметра проведена линеаризация основных уравнений теории идеальной пластичности, связанная с переходом от полярной системы координат к декартовой.

В § 1.1 рассматривается плоская задача теории идеального упругопластического изотропного тела. Приведены основные уравнения и соотношения.

В § 1.2 проводится линеаризация основных уравнений и соотношений. Решение задачи представляется в виде разложений по степеням некоторого малого безразмерного параметра 6(6 <С 1)

со оо оо

= е е» = е ец = е «nf (1)

п=о п=о п=0

Следует учесть, что при решении задач, связанных с неоднородностью, модуль сдвига G и предел текучести к также раскладываются в ряд.

В §1.3 исследуется процесс образования шейки при растяжении идеально пластической изотропной полосы. Полоса ослаблена двумя симметричными пологими выточками, уравнения которых

y = ±(h + qx2), f < 1, q = const, (2)

h,

2h - наименьшая ширина образца, q - глубина выточки. После линеаризации уравнений равновесия и условия идеальной пластичности

(ах - оу)2 + 4т^ = 4к2 (3)

для второго и третьего приближения соответственно получаем

32t/<2» Э2С/<2> , 2 „

W ~ 1 = ' (4)

d2U^ d2U{3)

----^r + 32kq3x(-y2 + 2yh-h2 + 4xy-4:xh-x2) = 0. (5)

Представляя функцию Эри U^(x^y) (п = 2,3) соответственно в виде полиномов четвертой и пятой степени и удовлетворяя линеаризнрованым граничным условиям

crj2> - 8fcgV = 0, т^ + Щ2х2 = 0 при у = h, (6)

<tJ3) + 16A'9V = 0, т^>+8кд3х3 = 0 при y = h, (7)

определяется поле напряжений.

Тригонометрическое решение этой задачи во втором приближении находится из уравнения

д2и{2) d2jj(2) А2 ,

— cos 2my + cos 2rnx cos 2my ). (8)

В §1.4 рассматривается течение толстостенной трубы из идеально пластического материала, ослабленной выточками, в случае плоской деформации. Введены полиномиальные решения как для напряжений, так и для перемещений.

В §1.5 проводится линеаризация, связанная с переходом от полярной системы координат к декартовой.

Допускается, что г = R + у, R = const. Малый параметр вводится следующим образом: 8 = Учитывая, что

1 _ 1 _ 8 г ~ R{l + 8y) ~ 1 + <5у'

1д_ _ 1 д _ _J___ 1 д

Г дв " Я(1 + 6у) до ~ 1 + 8у ПдО ~ 1 + 6у дх' '

при переходе от полярной системы координат к декартовой уравнения равновесия записываются следующим образом:

дау | 1 дт*у , , ч п

-7Г- + —---+ T~—J—\<Ty - <Гх) = О,

ду 1 + ¿1 у дх 1 + 62у

дтху 1 дсгх 262 ,

¿1 = ¿эй!, 62 — 5ге,2, (sei,ae2 = const) и линеаризируются.

При эз! = = 0 имеют место линеаризированные уравнения равновесия в декартовой системе координат.

В качестве примера рассмотрена задача о растяжении идеально пластической полосы, ослабленной двумя симметричными пологими выточками.

Во второй главе рассматриваются линеаризированные задачи теории пластичности анизотропных и неоднородных сред. Решение Оната и Прагера для растягиваемой изотропной идеально пластической полосы переменного сечения распространяется на случай неоднородного анизотропного идеально пластического материала; решение А.Ю.Ишлинского для этой же задачи - на случай растяжения кругового кольца из идеально пластического материала с учётом влияния "винтовой" анизотропии. Используя алгоритм последовательных приближений для определения напряженного состояния тел из унругопластнче-ского материала, развитый Д.Д.Ивлевым и Л.В.Ершовым, рассматриваются задачи: о двуосном растяжении толстой плиты с круговым отверстием, находящейся под действием внутреннего давления, из идеального упругопластического неоднородного материала; о растяжении толстой пластины с эллиптическим отверстием, на контуре которой действует нормальное давление, из идеального упругопластического анизотропного материала.

В §2.1 рассматривается растяжение идеально пластической полосы из неоднородного анизотропного материала.

Решение представляется в виде (1), а предел текучести -

к = к0 + 8(awx + а01у), ¿<1 к0, а10, a0i = const. (11)

В результате линеаризации уравнений равновесия и условия идеальной пластичности для неоднородного анизотропного материала

А{ах-ау)2 + АВт2у + 2С{ах-ау)тху = Ак2, (12)

где А, В, С = const, характеризующие анизотропию материала, получено уравнение

/дюы д2и^\ п г~,

А --а*-)- = 2^{awX + ао1У)- (13)

Представляя функцию Эри U^l\x,y) в виде полинома третьей степени и удовлетворяя линеаризированным граничным условиям, определяется поле напряжений. В случае отсутствия неоднородности и анизотропии имеют место результаты Оната и Прагера.

В §2.2 изучается влияние "винтовой" анизотропии на напряженное состояние кольцевой пластины из идеально пластического материала.

Рассматривается плоскость с круговым отверстием радиуса а в полярной системе координат. На контуре которого действует нормальное давление ро, а на бесконечности пластина растягивается двумя взаимно перпендикулярными усилиями Pi,P2-Точное решение этой задачи для изотропного идеального упру-гопластического тела было получено Л.А.Галиным.

В безразмерных координатах условие пластичности для материала с винтовой анизотропией записывается в виде

А{ар - а в)2 + 4 Вт2рв + 2С(ар - ав)трв = 2, А, В, С = const. (14)

Методом малого параметра находится решение задачи для анизотропного идеально пластического материала.

Определяется исходное радиальное состояние для компонент скоростей пластической деформации:

(0) и"Р0 (0) иаС Ро

и1' = -, = —---. (15

р 2/1 р

Это означает, что несмотря на отсутствие касательных напря-жениий = 0, в нулевом приближении происходит закручивание кольца, благодаря наличию "винтовой" анизотропии, определяемое константой С.

В результате линеаризации уравнений равновесия и условия пластичности (14) получено уравнение для нахождения функции Эри

дЧ Ад2Ф С д2Ф АдФ СдФ Удовлетворяя линеаризированным граничным условиям

<7

(1)

-|--- сов тв = О,

' Ар

тЦ] + -(40) - 40)) ¡"п тв = 0 при Р = ро, (17) Р о

определяется поле напряжений в первом приближении.

В §2.3 развит алгоритм решения плоских задач для идеальных упругопластических неоднородных тел.

Предполагается, что пластическое состояние наступает при достижении энергией формоизменения некоторого постоянного значения:

1 1 л',гв

IV = 8(7

(Тв) +4 т2

= к\ (18)

где к - предел текучести.

Линеаризируя условие пластичности

<гг - ав)2 + 44 - 8k2G(r, 9) = 0, (19)

с учетом разложений (1) и

оо

G(r, 0) = ]Г 5n<?n(r, 0), G0 = const, (20)

n=0

для нахождения напряжений в пластической области получено уравнение

№ 1 д2фР 1 № /Т"

-^Г - Go '' (21)

Tj — sillg(cr^ — 0-0°^), Фр - функция Эри.

Напряжения в упругой области определены из неоднородного бигармонического уравнения:

У2Фе = т/Ф(г,0), (22)

где Фе - функция Эри,

„2 id2 1 д 1 д2 \ (д2 1 д 1 д2\ V2 = hr-r + - v- + ^г^ Ьг^ + +

r Qr г2 дв2) \дг2 г дг г2 дв21 ' ,т. _ ~ a?) r2(a° - qr°) ИС, d2 0

Я„2 Г» ЯЙ2 + Г» CTrJ"i

Go дг2 Go дв2 Go дг2

2r

+

2г4 Зг3^

+

<9,0 сь , Зг3(<7° - a°r) dGt

Tr{t"-a') +-Go-(23)

Со дг <30

Радиус пластичности определяется из линеаризированного условия сопряжения для компоненты напряжения ад.

В § 2.4 решается задача о двуосном растяжении толстой плиты, ослабленной круговым отверстием, из идеального упру-гоиластического неоднородного материала в безразмерных координатах. Решение проводится по алгоритму, изложенному в §2.3, при этом удовлетворяются линеризпрованные граничные условия

^1)Р = ТЙ)Р = 0 при р = а, (24)

<jWe = -eos 20, T^)e = cos20 при p = oo, (25)

<т<1)р = т$» = тЦ» при р = 1. (2G)

Найден радиус упругопластической зоны в первом приближении.

В §2.5 рассматривается растяжение толстой пластины, ослабленной эллиптическим отверстием, из анизотропного упруго-пластического материала. В пластической области общее решение, найденное аналогично §2.2, удовлетворяется линеризиро-ванными граничными условиями:

da (°)р

ai^ + ach eos 20—f- = О, р ар

r(pi)p - 2ch sin 20(<7<°>¡p - af)p) = 0 при p = a. (28)

В упругой области материал считается изотропным. Общее решение удовлетворено линеаризированными граничными условиям на бесконечности

а(1)~е = _d2COS20, TjJ)~e = ri2 sin20 (29)

и условиям сопряжения

*{р1)р = o-(SK rffp = rS)e при р= 1. (30)

Найден радиус пластичности в первом приближении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены и исследованы линеаризированные соотношения теории идеально пластического изотропного тела в случае плоской деформации.

2. Приведены линеаризированные соотношения теории идеальной пластичности для анизотропных и неоднородых сред в случае плоской деформации.

3. Развита методика решения плоских задач для идеальных упругопластических анизотропных и неоднородных тел методом малого параметра.

4. Определено влияние анизотропии и неоднородности на напряженное состояние и радиус пластической зоны.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Захарова Т.Л., Ивлев Д.Д. Приближенное решение плоских задач для идеальных упругопластических неоднородных тел.// Изв. ИТА ЧР.- 1995.- N 1.- С.27-38.

2. Захарова Т.Л. О влиянии "винтовой" анизотропии на напряженное состояние кольцевой пластины из идеально пластического материала.// Изв. ИТА ЧР.- 1996.- N 1.-С.46-53.

3. Захарова Т.Л. Об образовании шейки при растяжении идеально пластической неоднородной полосы.// Изв. ИТА ЧР,- 1996.- N 2,- С.33-35.

4. Захарова Т.Л. Растяжение толстой пластины с эллиптическим отверстием из анизотропного упругопластического материала.// Сб. статей ЧГПИ. Чебоксары, 1996.- С.12-17.

5. Захарова Т.Л. Упругопластическое состояние пластины из анизотропного материала, ослабленной эллиптическим отверстием.- Чебоксары, 1996.- Рукопись представлена Чувашгоспединститутом. Деп. в ВИНИТИ 14.06.96, N

Подписано к печати 25.10.96. Формат 60x84/16. Объем 1.0 и.л. Тираж 100 экз. Офсетная лаборатория ЧГПИ.