Линейно-инвариантные семейства функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ.стр. 2

ВВЕДЕНИЕ.стр. 4

ГЛАВА I. Универсальные линейно-инвариантные семейства Ua аналитических функций. Теоремы регулярности.

§1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Ua.стр. 30

§2. ТЕОРЕМЫ РЕГУЛЯРНОСТИ.стр. 35

§3. ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ

С ВЕРШИНОЙ В ТОЧКЕ ИНТЕНСИВНОГО РОСТА.стр. 60

§4. НАПРАВЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОГО РОСТА.стр. 68

ГЛАВА II. Линейно-инвариантные семейства функций, представимых интегралом Стилтьеса.

§5. ЗАДАЧА АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ ИЗ Ua

ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ; СЕМЕЙСТВО Ы'а .стр. 77

§6. ОБОБЩЕНИЕ ФУНКЦИЙ, БЛИЗКИХ К ВЫПУКЛЫМ;

СЕМЕЙСТВО UI.стр. 86

§7. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД.стр. 92

§8. ОЦЕНКА ФУНКЦИОНАЛА Re ( Z{ .стр. 103

I /'M J

§9. ОЦЕНКА ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ, стр.

§10. МАКСИМУМ МОДУЛЯ Р-ГО КОЭФФИЦИЕНТА.

ФУНКЦИОНАЛ ФЕКЕТЕ-СЕГЕ-ГОЛУЗИНА.стр. 118

ГЛАВА III. Экстремальные вопросы в Ua.

§11. ЭКСТРЕМУМЫ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОГО ПО ФРЕШЕ

ФУНКЦИОНАЛА .стр. 136

§12. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ.стр. 139

§13. Uß-РАДИУС И РАДИУС ОДНОЛИСТНОСТИ.стр. 145

§14. ТЕОРЕМА ВРАЩЕНИЯ. ГИПОТЕЗА CAMPBELL'a-CIMA

-PFALTZGRAFF'a ОБ ОЦЕНКЕ \А3\.стр. 150

§15. ОДНОЛИСТНЫЕ ФУНКЦИИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ДВУХ ФУНКЦИОНАЛОВ В S.стр. 158

298

ГЛАВА IV. Класс функций Блоха, его связь с л.-и.е.

§16. ФУНКЦИИ БЛОХА, СВЯЗЬ С ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫМИ СЕМЕЙСТВАМИ.стр. 177

§17. МАЛЫЙ КЛАСС БЛОХА.стр. 183

§18. ЗАДАЧА ОБ ОДНОЛИСТНОСТИ ИНТЕГРАЛА

ОТ (/'0))л .стр. 190

ГЛАВА V. Линейно-инвариантные семейства гармонических квазиконформных отображений.

§19. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. АНАЛОГИ РЕЗУЛЬТАТОВ, ИЗВЕСТНЫХ

В Ыа, ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ .стр. 200

§20. КРУГИ ОДНОЛИСТНОСТИ ФУНКЦИЙ / е Н(а,К) И ОДНОЛИСТНЫЕ КРУГИ НА МНОГООБРАЗИИ /(А).стр. 216

§21. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЛОХА, ЗАДАЧА ОБ ИХ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ.стр. 225

§22. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА.стр. 232

ГЛАВА VI. Обобщение понятия линейной инвариантности на аналитические в поликруге функции.

§23. ОПРЕДЕЛЕНИЯ; ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. СВЯЗЬ С

КЛАССОМ БЛОХА.стр. 242

§24. ТЕОРЕМЫ РЕГУЛЯРНОСТИ ДЛЯ Л.-И.С. АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛИКРУГЕ ФУНКЦИЙ .стр. 260

Работа посвящена исследованию линейно-инвариантных семейств (л.-и.с. ) аналитических функций, введенных СЬ. Роттегепке [Р1]. В предлагаемой работе решено несколько известных задач в л.-и.с. аналитических функций; исследованы и в ряде случаев решены некоторые вновь поставленные задачи в л.-и.с.; разработан вариационный метод в л.-и.с. функций, представимых интегралом Стилтьеса с комплексной мерой; установлена и успешно использована связь л.-и.с. конечного порядка с классом Блоха; понятие л.-и.с. обобщено на гармонические локально квазиконформные отображения; понятие л.-и.с. обобщено на аналитические в поликруге функции, установлена связь этих семейств с классом Блоха аналитических в поликруге функций.

Актуальность темы. Исторические сведения. Основным объектом исследования в этой работе являются универсальные линейно-инвариантные семейства Ыа. Термин линейной инвариантности семейства Ш1 аналитических и локально однолистных в круге Д = {г : < оо

1} функций вида f(z) — ап($)гп впервые введен СЬ. Роттегепке п=2

Р1] в 1964 году и означает, что наряду с каждой функцией / £ Ш этому семейству принадлежит и функция при любом конформном автоморфизме ф(г) круга Л. Интерес к линейно-инвариантным семействам вызван тем, что многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными семействами и обладают рядом свойств, общих для всех таких семейств.

Важнейшими примерами л.-и.с. являются классы: /С — выпуклых функций, однолистно отображающих круг А на выпуклую область; $ — всех однолистных в А функций указанного вида; Т^« — классы функций с ограниченным граничным вращением, т. е. локально однолистные функции, для которых полная вариация угла наклона касательной к образу любой окружности {z : \z\ = г}, г 6 (0,1), не превосходит 2жа, а > 1 (при а > 2 классы Т^а уже содержат не однолистные функции).

В [Р1] также введено понятие универсального л.-и.с. Ua,a > 1. Как следует из ниже приведенной теоремы 1.1, Ыа — это наибольшее л.-и.с. , функции / которого удовлетворяют неравенству г)| * (i-йР- г е А- (2)

Таким образом, исследуя Ua, мы получаем информацию обо всех л.-и.с. функций, "не слишком быстро" растущих при приближении к границе А. С другой стороны, введение универсальных линейно-инвариантных семейств Ua позволило с общих позиций изучать свойства всех локально однолистных в А функций конечного порядка. При этом оказалось, что изучение классов конформных отображений, основанное на их линейной инвариантности, не только позволяет получить обобщение ранее известных результатов на более широкие классы функций, но и новые результаты (в т. ч. в классе S однолистных функций), и новые, подчас более простые, доказательства. Идея использования линейной инвариантности различных классов функций достаточно стара, ее применял еще L. Bieberbach [В1] при доказательстве теоремы искажения в классе однолистных функций. Однако, в работах Ch. Pommerenke [PI], [РЗ] эта идея была поставлена во главу угла.

В большом списке работ, посвященных исследованиям л.-и.с. , можно выделить 2 основных направления: экстремальные задачи в л.-и.с. и граничное поведение функций. В частности, Ch. Pommerenke [PI] дал верхнюю и нижнюю оценки для = max |arg/'(z)| (теорема f&Aа вращения); D. М. Campbell и М. R. Ziegler [CZ1], [CZ2] в 1974 году, а затем D. М. Campbell и J. A. Pfaltzgraff [CP] в 1976 году исследовали свойства G(|z|), однако вопрос о точности значения G{\z\) оставался открытым. В [01] D. М. Campbell дал оценки сверху и снизу для 11$ -радиуса семейства Ыа,/3 < а, т. е. максимума таких р Е (0,1), что f(pZ) 1, ГЦ

- G lia для всех / G иа; однако, и здесь вопрос о точном значении Р g-радиуса не был решен. Очень трудной задачей оказалась оценка коэффициентов функций f(z) = z + Х^г0«2" ^ 3Десь нет даже точной оценки |а3|. Из определения Ыа следует, что \а2\ < а; в 1971 году D. М. Campbell, J. A. Cima и J. A. Pfaltzgraff [ССР] по аналогии с гипотезой L. Bieberbach'a для однолистных функций предположили, что аналог функции Кёбе в Ыа дает максимум |аз| в Ua и он равен ^ • За справедливость этой гипотезы говорили и некоторые полученные в [ССР] результаты. Однако гипотеза оказалась ложной (опровержение её, как и решение двух других выше упомянутых задач, дано в предлагаемой работе).

Для непрерывной в Л функции ф обозначим М(г, ф) = max В z\-r классе S однолистных функций известен следующий результат (теорема регулярности) [К], [Н], [В2]: для каждой функции / G S существуют постоянные <5° G [0,1] и фо G К. такие, что

5° = lim М(г, /)(1 -г)2 = - lim М(г, /')(1 - г)3

Г—у 1~ 2 Г—у 1~ lim |/(гег'^)|(1 - г)2 = - lim \f (ге{фо)\(1 - г)3. (.3

1—>1 2 V—> 1

D. М. Campbell [02] детализировал этот результат для функций / G S Г\Ыа, а < 2. Он предположил, что аналог равенств (3) справедлив в классах функций с ограниченным граничным вращением У2а ^ для всех а > 1. В данной работе доказана справедливость этого утверждения не только в Via., но и во всем семействе Ua, причем, в гораздо более широкой формулировке. оо

В л.-и.с. S однолистных функций f(z) = z + ^Г^ anzn А. С. Schaeffer п-2 и D. С. Spencer описали множество функций, дающих локальный экстремум \ап\ и |ат|, пф т одновременно при дополнительном предположении: (n — 1) и (m —1)— взаимно простые [ScSp], [Dl]. А. К. Бахтин в [Bah.1], [Bah2] решил такую задачу при дополнительном предположении: <22 Ф 0 для экстремальной функции. Решение этой задачи безо всяких дополнительных ограничений приведено в §15 этой работы.

В 80-е годы стала активно развиваться теория однолистных и локально однолистных гармонических в А функций (см., например, обзор [ВН]). При этом в основу определения и изучения классов таких гармонических комплекснозначных функций, по аналогии с регулярными в Д функциями, закладывалась обычно геометрическая характеристика функций исследуемого класса (выпуклость, почти выпуклость, звез-дообразность, однолистность, симметричность /(А) относительно вещественной оси). Т. Sheil-Small [S-S] первый использовал линейную инвариантность при изучении семейств однолистных гармонических функций. В [St 14] в основу определения изучавшихся классов гармонических функций положены свойства линейной инвариантности и локальной квазиконформности. Такой подход, в частности, позволяет не только получить ряд уточнений известных результатов в ранее изучавшихся классах гармонических отображений при условии их квазиконформности, но и новые результаты в этих классах.

Цель работы. Получить точные оценки или уточнения в ряде известных неравенств в Ыа, решить новые экстремальные задачи. Для этой цели, в частности, вводить и изучать более просто устроенные подсемейства^, разработав в них вариационный метод. Доказать теорему регулярности в Ыа. Установить и использовать связь между классом функций Блоха и семействами Ыа для исследования этого класса и этих семейств. Ввести и исследовать л.-и.с. гармонических функций; сравнить геометрическую характеристику функций Блоха в аналитическом и гармоническом случаях. В линейно-инвариантном семействе S дать описание функций, одновременно локально максимизирующих два функционала. Перенести понятие линейной инвариантности на функции, аналитические в поликруге, установить их связь с классом Блоха.

Перейдем к краткому содержанию работы. Основной целью первой главы является доказательство теорем регулярности в Ыа.

В 1-м параграфе даны исходные и доказаны эквивалентные определения универсального л.-и.с. Ыа.

Порядком л.-и.с. Ш называется [Р1] число ord Ш — sup |й2(/)|fern

Пусть f(z) = z • ■ • локально однолистна и аналитична в Д; порядком функции f(z) называется число ord / = ord Ш1[/], где Wi[f] = {Аф[/](г) : ф Е -С} — л.-и.е., порожденное функцией /.

Универсальным л.-и.с. порядка а называется [Р1] объединение всех л.-и.с. ЭДТ, для которых ord Ш < а; оно обозначается Ыа.

Важнейшие примеры л.-и.с. — классы /С, 5, Via — приведены на 4-5 стр. введения. Остается заметить, что Ыа = 0 при а < 1, Ы\ = К и ord К,— 1, ord S = 2, ord Via. = ol.

Обозначим Ш'а— наибольшее л.-и.е., функции / которого удовлетворяют неравенству (2). В §1, в частности, доказано, что 9Л'а = Ua. Нужно отметить большую значимость этого факта в развивающейся теории л.-и.с. отображений шара в Сп (результаты этого направления выходят за рамки темы диссертации).

2<*-1

Из (2) следует, что для / E Ua M(r,f) < —-^+7- §2 посвящен исследованию функций максимального роста, т. е. таких функций из для которых M(r,f) растет как (1 — г)~а~1 при г —> 1 — . Теоремой регулярности называют теорему, в которой утверждается, что функции, имеющие максимальную для данного класса скорость роста, растут гладко (или регулярно). D. М. Campbell [С2] доказал следующую теорему регулярности: для любой функции f EUa при каждом ф (Е [0, 2тт) величины

И М(г, убывают по г на [0,1) и стремятся при г —► 1 — к А и (5°, соответственно; piG 1 7P~ie б» = 1^/(г) = Ыг) = [(1±?Г-1], веж.

Причем убывание строгое, если f ф ко.

Оказалось, что свойство регулярности роста является в Ъ1а гораздо более общим. Для формулировки соответствующего утверждения дадим определения двух метрик на римановой поверхности .Р — Ff = /(А). Пусть V — кривая на сНат V — диаметр проекции кривой на плоскость С, /(V) = /у \(1и)\ — длина проекции кривой V в предположении, что 1(У) существует. Пусть г«1, €: обозначим d{w\,w2) = df(wi,w2) = infdiam V, у l(wi,w2) = If(wi,w2) = inf l(V), где V — всевозможные кривые на F, связывающие w\ и w2

Теорема 2.1. (регулярности) [St4], [St5]] Пусть f £ Ыа. Тогда существуют постоянные 6° Е [0,1] и с60 £ К. такие, что

6°= lim [M(r,/)2a(i—= lim [М(г,/) ^ ~ Т+! ] = v Ч + r7 J v ;(1 +Г)«-1 J

И r\OC+l 1 lim [l/Чуе °)|t:-r] = Hm [|/(гег'^°)|2«(-—-)al =

Л — lim [|/"(re'*»)| l1 >- ] =

Л — lim [M(rJ") , }--—-1 =

Г (Л - r)a+1 Г (Л - ,Л"+1 lim [ / М(р,/")<*/4т-r-r]= lim[/ -if—1 = lim [ММ(/М,0))2а(-^Л = lim Kf(re^), 0)2a(i^)°] = r—>■ 1- 1+Г r—»-1- 1+Г

Дт [M(r,Z(/W,0))2or(i^)a] = Дтр(/(ге^«),0)2а(1^)а] = lim [max Г \f\pe^)\dp2a(\^)a] = Г-+1- Ф J о 1+Г lim Г \f(pe^)\dp2a(1-^n r^l- JQ i + r

При OL — 2 для функций / G S первые 5 равенств теоремы 2.1 представляют собой известные результаты [К], [H], [В2, стр. 104-105], [Bazl] (см. также [LI,стр. 120-123], [М, стр. 80-82]). D.M.Campbell [С2] доказал 2-е и 4-е равенства теоремы в случае а < 2 и / G SC\Ua; он предположил, что 2-е и 4-е равенства выполнены для функций / G У2а ^ Результат превзошел ожидания.

Число <5°, определяемое первым пределом в теореме 2.1, введено D. С. Spencer'oM [Sp] в 1940 г. для однолистных функций; 60 называют числом Хеймана функции /, а число фо — направлением максимального роста функции /. Возникает естественное разбиение Ыа на дизъюнктные подклассы Ua{è°), 0 < 6° < 1; функциям из Ыа(6 ) соответствует число Хеймана 6°. Направлением интенсивного роста (н.и.р.) функции / G Ыа называется [St5] каждое 9 G [0, 2тг) такое, что lim \f(rei0)\ ^"Т^1 = Se > 0

Г-+1- 1 V Л (1 +Г)«-1 предел всегда существует). При этом число 6g называется числом Хеймана функции /, соответствующим н.и.р. 0 функции /.

В связи с линейной инвариантностью изучаемых здесь семейств интересно и важно для приложений иметь информацию о числах Хеймана функций f{z,a) = — -¡-——, a G А, если / G Ua(6°). («)(! " H2)

Теорема 2.2. /5t5/ Если f G Ua(0), то f(z, a) G Wa(0) при всех a G A. Если / G Ua(6°), 6° G (0,1), то для любого 6 G [<5°, 1) существует a G A такое, что f(z,a) G Z4(<$)- -Если / G Ua(6°), 6° G (0,1), a > 1 и существует интервал (x' ,x") С [0, 27г), свободный от н.и.р. /, то для любого 6 G (0,1) существует a G А такое, что f(z,a) G Ua{6).

Обозначим ) подкласс функций из 5, которым соответствует число Хеймана последствие. /St5/ Если ¿о > 0, то для любой функции f G ¿'(¿о) я любого 6 G (0,1) существует a G А такое, что f(z,a) G £(<$).

Таким образом, для получения информации о функциях из S(60), <50 G (0,1), достаточно иметь соответствующую информацию о S(<5) с 6, сколь угодно близким к 1, и знать, как трансформируется эта информация при преобразованиях (1).

Соотношения между классами Ua(S°) при различных характеризует следующая

Теорема 2.4. [St5] Для любой функции f £ Ua(6°) и любого 6 Е [0, <5°] существует такое семейство функций ф(г|А) Е Ua(6), А Е (0,1), что ф(г\А)-> f(z) равномерно внутри А.

Эта теорема не верна при 6 > <5° ни для какой функции / Е Ua(6°): в §2 показано, что при 6 Е (<5°,1] и любой функции / £ Ua(S°) не существует последовательности функций fn Е Ua{6), такой, что fn{z) -> f(z) равномерно внутри А. Для однолистных функций п—>оо соответствующая теорема в случае <5° = 1 была доказана Н. А. Лебедевым в 1974 г. [L2], для произвольных <5° — автором [St6].

Если / Е Wa(<5°), то интересно знать, как быстро 2aM(r, /) (

1 + г J может стремиться к 6° при г —> 1— (см. теорему 2.1).

Теорема 2.5. [St5] Пусть а > 2. Для любого 6° Е [0,1) и любой функции е(г) >0, г Е [0,1), такой, что е(г) -0 существует f Е Ua(6°), для которой lim -V----= оо. т—1 £{г) fl-r\a

Таким образом, величина 2aM(r,f) ( 1 может стремиться к

5° сколь угодно медленно. В классе S теорема 2.5 была доказана Н. А. Широковым [Sh.].

Основным результатом §3 является теорема 3.1 о поведении функции / Е Uq, в угловой области с вершиной в ег6, где 9 — н.и.р. /.

Теорема 3.1. [St5] Пусть f Е Ua{6% 6° > 0; В - одно из н.и.р, /', которому соответствует число Хеймана 8в Е (0, <5°]. Обозначим Ф(() = arg f'(p(C)ete)r (здесь p{Q— элементарная функция, зависящая от ( Е

7Г

А иг] £ (0, —), со значениямив (0,1)). Тогда для каждого п = 0,1, 2,. 2

7Г и любого г/ Е (0, —) в угле Штольца раствора 2г/ с вершиной в егв.

Таким образом, если у функции f Е Ua есть н.и.р. 0, то поведение функций |/(п)| и 6e\k{e мало отличается в угле Штольца с вершиной в eie.

В случае п = 0 и п = 1 теорема 3.1 в несколько иной формулировке доказана в [Н,с. 131] для функций, р—листных в среднем по окружности в А ( в частности, и для однолистных функций); более простое доказательство этого результата для функций класса S дано Г. И. Мелентьевой [LI,с. 136] с использованием метода площадей. Еще проще оказалось доказательство более общего результата — теоремы 3.1, использующее линейную инвариантность Ыа и теорему 2.2.

В качестве следствия теоремы 3.1 получается результат, обобщающий известный результат И. Е. Базилевича [Bazl] в классе 5 однолистных функций на семейства 1Ла.

Теорема 3.2. [St5] Пусть f 6 Ыа(6°), 6° >0; в - н.и.р. функции /, ему соответствует число Хеймана 6ß > 0. Тогда для каждого п — 2,3,4,. существует lim [|/(n)(reiö)|(l - r)a+n] = 6e2a~1(a + l)(a + 2) • . . • (a + n - 1).

Г-4 1

B §4 изучается вопрос о множестве н.и.р. функции / Е Ыа; оно может быть и пустым (например, для функции f(z) = 2 Е Ыа У а). Из одного результата F. BagemiPa [N] следует, что множество н.и.р. для функции f £ Ua не более чем счетно. Функции класса К = U\ и S имеют не более одного н.и.р., которое совпадает с направлением их максимального роста [Н]. Совершенно иной оказалась ситуация в Ыа, а > 1. В [St7] построены примеры таких функций, что gn^a Е Ua при а > ап, п = 2,3, • • • , оо, и дп,а имеют ровно п различных н.и.р. (при п = оо — счетное множество н.и.р.).

Универсальные л.-и.с. Иа являются трудными для исследования объектами; для облегчения получения информации об этих семействах в главе II вводятся и изучаются л.-и.с. Wa,U* порядка а, функции которых записываются интегралами Стилтьеса с комплексной мерой.

В §5 ставится задача аппроксимации производной функции из Ыа произведениями степеней производных функций класса /С — Ы\ (этот класс хорошо изучен). Такая задача естественным образом приводит к возникновению семейств U'a [Stl] (см. также [St2]):

27Г € К f(z) = ехр[-2 / log(l - zeü) dfi(t)},

Jo где fJi(t)— комплекснозначная функция ограниченной вариации, удовлетворяющая условию | JQ27r dji{t) — 1| + /027Г \d¡ji{t)\ < а. В §5 показано, что U'a = 0 при а < 1, U[ =U\ = /С, V-ia ^ однако, U'a ^ Ыа при а > 1. При а > 1 семейства Ы'а содержат бесконечнолистные функции. Доказано, что семейства U'a (а < оо) компактны в топологии равномерной сходимости внутри Д, образуют л.-и.с. порядка а, инвариантные относительно преобразования сжатия f{rz)r~l) г Е (0,1).

Теорема 5.3. [Stl,St2] Для каждого a € [1,оо) множество функций п п g(z):g'(z)=l[(fk(z)r, f'k(z) = (1 - zeitk)~2, tk e R, | fc=i fc=i n

1| + ^^ |afc| < afc £ C, n = 1,2,.} всюду плотно в U'a. k= 1

Важнейшим примером л.-и.с. является класс С почти выпуклых функций [Кар], ord С — 2. Z. Lewandowski [Lewi], [Lew2] доказал, что функции из С и только они обладают тем свойством, что дополнение однолистной области /(А) является объединением лучей, не имеющих общих точек кроме, может быть, начальной. Однако [Stl], С <£.U'a для каждого a < оо.

Чтобы получить подобный U'a класс функций, содержащий класс С, в §6 вводятся и изучаются л.-и.с. ¿Y* порядка a > 1. Функция / £ U*, если и только если (рШЭ], [0813]) существуют д £ К, и функция Шварца си, такие, что

2тг

ЛЬ f(z) = </(*) ехр[—2 / log(l - сф)ег*) d/x(í)], о где ¡i{t) — комплекснозначная функция ограниченной вариации, удо

27Г />27Г влетворяющая условию / d¡i(t) = 0, / < а—1. Введен

Jo Jo ные М. О. Reade [R3] и Ch. Pommerenke [Р4] л.-и.с. С(а) порядка а+ 1 см. [Ко] являются подклассами Ы*+1. Щ = /С, ¿У* Э V2a, однако, при а > 1 ни один из классов и U* не содержит другой.

Семейства ¿V*, также как и U'a, являются компактными в топологии равномерной сходимости внутри Д л.-и.с. и инвариантны относительно преобразования сжатия.

§7 посвящен разработке ([Stl], [St2]) вариационного метода в Ы'а, тот же метод дословно переносится на U* [StD], [Dstl]. Применение этого метода позволяет решать многие экстремальные задачи в U'a и Это, в свою очередь, оказывается весьма полезным и для исследования универсального л.-и.с. Ua\ на этом пути была получена окончательная форма теоремы вращения в опровергнута гипотеза D. М. Campbell'a, J. A. Cima и J. A. Pfaltzgraff'a о максимуме |аз| в Ыа.

В §8 даны некоторые приложения описанного в §7 вариационного метода к решению конкретных экстремальных задач. Оказалось, что в ряде экстремальных задач множество экстремальных функций в Ы'а и U* (а, следовательно, и в Ыа) существенно отличается от экстремальных функций в других известных подклассах Ua. Например, в случае zf"(z) л.-и.с. /С, С, S, У^а экстремальной функцией в задаче о maxRe z G Д, фиксировано) является только одна функция ke(z) с соответствующим значением а. Тогда как в случае л.-и.с. Ы'а, а > 1, экстремальными будут все функции fa(z) = J' ехр[-2jT log(l - <W)] ds. где (5{t) - любая неубывающая на [0, 27т] функция с полной вариацией г27Г (ен-г)2 а, удовлетворяющая условию / -г—ц-уПл^Р^) = 1.

Jo \е% ~ rl е

§9 посвящен оценке логарифмических коэффициентов, т. е. коэфос фициентов функций log f'(z) = ^ bnzn, / G U'a,U*. В U'a, как и в класп=1 , 2а сах точная оценка Re bn < — сразу получается из интегрального п представления функций. Но, в отличие от хорошо изученных классов К — U1 и V2a, в случае Ы'а, а > 1, экстремальных функций бесконечно много [Stl]. Использование вариационного метода §7 позволило получить точную оценку логарифмических коэффициентов в U* [GStl]:

Вп = sup |6n| = 2(а - 1 + -), п — 1,2,. feu* п

В §10 с помощью вариационного метода исследуются функционалы, зависящие от коэффициентов л.-и.с. Ы'а и U*. Трудной задачей в универсальных л.-и.с. Ua является оценка тейлоровских коэффициентов. Из определения Ua следует точная оценка 1 < о>. Некоторые промежуточные результаты говорили за то, что функция kg(z) будет экстремальной для |аз| в Ua. Поэтому в [ССР] была высказана гипо

2 1 теза, что max |«з | = -а2 + -. Однако, в [St8] было доказано, что при

JÇiUot О О 1 II а(а + ^а2 + 3) ^ 2о2 + 1 а > 1 max |а3| =--- ( > ---). сэто опровергает гипоте eU'a о о зу Campbell'a-Cima-Pfaltzgraff'a в Ыа. В частности, в особо интересном случае а = 2 (он интересен тем, что S С Ы2, причем S, U2 и Щ содержат

4 ^/28 функцию Кебе) имеем: тах|аз| > тах|аз| — - = 3.097. вмеfeu2 ~ /ещ 3 сто предполагавшегося в [ССР] значения 3 в правой части. В §10 также доказано, что в задаче о max \ап\, п > 3, существует экстремальная feu'a функция вида z п — 1 п — 1 п — 1

Jo 3=1 j=1 j=l решена задача о максимуме функционала Фекете-Сеге-Голузина в Ы'а

St9]. При вещественных Л max |а3-ЛаЦ = - ^Л)2 + 3(1 - X)W

А 1 2 ~ 3 max |аз—Лао I, что является уточнением нижней оценки [Р1,теорема 2.4] максимума рассматриваемого функционала в Ыа.

На множестве всех аналитических в А функций вводится метрика p(f,g) = max |f(z) — g(z)|. В §11 главы III при весьма общих пред-N1=1/2 положениях получены достаточные условия того, что экстремальная функция в Ua имеет порядок а. В частности, доказана

Теорема 11.1. [StlO] Пусть $ - дифференцируемый по Фреше функционал на множестве аналитических в А функций 01, Lh ~ его дифференциал в h. Если /о - экстремальная функция в задаче max Re n = 0,1, 2, • • • , и существует целое неотрицательное f&í^ce к > 2 — п такое, что L ,<» (zk) ф 0, то ord /0 = а. j о

Следствие. [StlO] Порядок экстремальной функции в задаче max |an(/)¡, n = 2,3,., равен a. f&Ao¡

В частном случае п — 3 отсюда получается известный результат D. М. Campbell'a, J. A. Cima, J. A. Pfaltzgraff'a [ССР, теорема 6.2]. оо

Пусть / £ Ua, log f'(z) = ^ bnzn, Bn = max |ЬП|. В §12 получена n=l

KSt] оценка логарифмических коэффициентов Bn: для всех натуральных n и для а > 1. Этот результат позволяет уточнить верхнюю оценку Ch. Pommerenke [PI, теорема 2.4] функционала Фекете-Сеге-Голузина: 2 для A £ С u а > 1 max |аз — \а%\ < feu *

1-Х 3

2 ■ ,1

-А 3

2 , X а Н——а--(вместо

2 2х/3а а -\--а -|— — у Pommerenke).

2 2

Радиусом однолистности л.-и.с. Ш называется ([Р1]) ги = тах{р : Д/^)/?-1 £ 5 V/ £ Ш1}; СЬ. Роттегепке получил верхнюю и нижнюю оценки радиуса однолистности ги(а) в Ыа. Однако, точное значение ги(а) до сих пор не найдено. По аналогии с радиусом однолистности

D. M. Campbell [CI] ввел понятие ¿^-радиуса семейства Ыа и получил его оценки: Rß{a) = max{/) : f[pz)p~l £Uß V/ G ß < а

2 - 1, ^j) < Rß(a) < (ß + y/ß2 - l)(a - >Д*2 - 1) случай /3 > о; не интересен, т. к. Uß D Ua и. Rß(a) = 1). В §13 получено точное значение Rß{oi) = (ß + \/ ß2 — 1)(« ~ л/«2 — 1)- Для радиуса однолистности отсюда получается

Следствие. [GSt4] Обозначим р(сх) = (а + у/а2 — 1 )ru(a). Функция р(а) возрастает по a Е [1, оо); р( 1) = 1, lim p(a) = 7Г. a—»oo

При ß = 1 Ri (a) — радиус выпуклости семейства , и получается известный результат Ch. Pommerenke [1,теорема 2.5]. Аналогичное верно и для радиуса звездообразности в Ъ1а, причем получается асимптотическое (при a —»• оо) улучшение известной оценки Ch. Pommerenke [PI,стр. 134].

§14 посвящен некоторым известным экстремальным задачам в Ua. Важнейшей из них является теорема вращения в т. е. оценка I arg f'(z)I, / G Ua, при фиксированном zG A. Ch. Pommerenke доказал [PI,стр. 126], что

V«2 - 1 log < G(\z\) = max | arg/'(*)l < 2gE(|*|, -) =

1 — \z\ feua a r\z I /1 C2 /а2 i i I Л v J < -1 log 444+2 arcsin и? (4)

Jo 1— 4 1— \z\ левая часть этого неравенства получается из рассмотрения конкретной функции из Ua.

В 1974 г. D. М. Campbell и М. R. Ziegler ([CZ1], [CZ2]) исследовали свойства функции G{\z\)\ в частности, они доказали, что левая оценка 1 в (4) не является точной для 0 < \z\ < —. Вопросу точности оценок ки \&igf'(z)\ в Ua, в частности, посвящена работа D. М. Campbell'a и J. A. Pfaltzgraff'a [СР]. В §14 доказано, что: G(\z\) = 2a£(|z|,¿). Существенную "помощь" в получении окончательного вида теоремы вращения в Ua оказали введенные в §5 семейства Ы'п и разработанный в §7 вариационный метод.

Обозначим {f,z} производную Шварца локально однолистной функции / в А. Поскольку ord / и sup[(l — \z\2)2{f(z), z}] = о/ являются zeA инвариантами относительно преобразования / i—► Л^[/], то интересно выявить соотношение между ними. Для f £ Ua Ch. Pommerenke [PI,стр. 133] получил точную оценку: ord / < \J 1 + о j ¡2. Очевидно, а = sup ord /, обозначим <7 (а) = sup a f. В §14 доказано, неравенство feua feua а < у/а(а)/2 [GSt4].

§15 посвящен важнейшему л.-и.с. — классу S однолистных функоо ций f(z) = anZn; а именно — задаче описания функций класса S,

71 = 2 дающих локальный экстремум двум вещественным функционалам одновременно. А. С. Schaeffer и D. С. Spencer решили эту задачу для функционалов \ап\ и |ат| при дополнительном предположении, что (п — 1) и (m — 1) взаимно просты [ScSp], Dl]; в этом случае экстремальные функции имеют вид z[(l-riz)(l-Tz)]-\ M - |т| = 1. (5)

Для этих же функционалов А. К. Бахтин [Bahl], [Bah2] нашел вид экстремальных функций (тот же вид (5)) при дополнительном предположении, что Ö2 ф 0 для экстремальной функции. Для тех же функционалов, но без каких бы то ни было дополнительных ограничений, в §15 доказано [StA], [St 12], что искомое множество экстремальных функций имеет вид

Ы = M = 1, d— общий делитель (п — 1) и (m — 1). В [St 12] рассмотрены и функционалы гораздо более общего вида F (а 2,. , ап), Ф(а2? • • • , ат) — вещественные функции своих аргументов, зависящие от коэффициентов функций / G 5. В предположении, что VF ф 0 ф УФ, обозначим dF дФ к = 2-р——, к = 2,. щ = 2-—, I = 2,. , m, и и v — наиболь-дак осц шие номера, для которых Хи ф 0, и ¡iv ф 0, соответственно. В §15, в частности, доказана

Теорема 15.1. [БЫ2] Если на функции /о Е 5 достигается локальный экстремум функционалов Г и Ф и v-l

Vv u- 3)

Ац-1

А 7.

-3) 4|tt v\

6) то /о имеет вид (5). В случае равенства в (6) при и ф V функция /0 также имеет вид (5); то же верно и при и = V = 3 и ——ф ? 1 иля

А, А и-1

А,

4, У^^УФ.

Заметим, что доказательство результатов из §15 опирается прежде всего на дифференциальное уравнение типа Шиффера, используемое для исследования многих экстремальных задач в классе Это обстоятельство дает возможность получать теми же методами аналогичные результаты в других классах однолистных функций, не являющихся л.-и.с. : в классе ограниченных однолистных функций [81:13], меро-морфных и однолистных в А функций, имеющих в А единственный простой полюс [Ь^] (эти результаты не вошли в диссертацию).

Переходим к главе IV. Обозначим В - класс аналитических в А функций Блоха, т.е. таких функций д, для которых ||д||в = эир(1 — г£а

И2)!^2)! + |р(0)1 < Еще в [ССР] было замечено, что / е иа<ооиа \ogf\z) = д(х) д(0) Е В.

В дополнение к этому в §16 показано, что

2(ord / — 1) < \\g(z) — д(0)\\в < 2(ord / +1), причем это неравенство не моэюет быть улучшено.

Есть немало работ, посвященных эквивалентным определениям класса В (см., например, [Ах], [KZI], [Р2], [Str]). В §16 даны некоторые эквивалентные определения класса Блоха, основанные на его связи с л.-и.с. . В частности, доказана

Теорема 16.1. [GSt5] Пусть д — аналитическая в А функция. Тогда g Е В, если и только если существует такая постоянная С(д), что для всех z Е А sup а£ Д 9 z + а 1 -\-az — д{р) — 2 log(l + az) С(д) log

1 + \z\ 1 z\ log(l — \z\

Причем, наилучшим (наименьшим) значением С(д) здесь является C(g) = ord / exp[g(s) - р(0)] ds.

Jo

§17 посвящен малому классу Блоха Во, т. е. подклассу В функций д, для которых шах[\д'(z)\(l — |¿|2)] -> 0. Здесь также в дополнение z| = r г—* 1 — к известным получены новые эквивалентные определения Во, связанные с инвариантностью Во относительно конформных автоморфизмов круга А.

Теорема 17.1. [GSt5] Пусть д— аналитическая в А функция. Тогда g Е Во, если и только если существует такая функция е(г, |а|). определенная в [0,1) х [0,1), что 1) е(0, |а|) = 0, ds

2) существует правосторонняя частная производная — (0, |a|) -► 0 и Г а|—>1 — 9 z + a 1 + az g{a) e(r, |а|) Va G А и Vz, \z\ = r < 1.

Следствие. [СБЬ5] Если д аналитична в А, то следующие условия эквивалентны: 1) д £ Во]

2) 3г £ (0,1) : тах [|^)|(1 - И2)] --► 0; геТ>(а,г) |а |—»-1 —

3) Зг £ (0,1) : тах \\д(2) - д(а)|] —-► 0; геТ>(а,г) а здесь V(a, г) = <z : z + а г > — гиперболический круг.

1 + аг

При фиксированном Л £ С рассмотрим оператор, заданный на множестве локально однолистных функций (оператор умножения на скаляр в пространстве Хорнича): [А/](г) = / (f,(s))xds. Обозначим Аа

Jo радиус наибольшего замкнутого круга с центром в 0 такого, что для всех Л из этого круга [A/](z) Е S для всех / Е Ua.

Задача об однолистности [Лf](z) привлекала внимание многих математиков. В 1966 г. P. L. Duren, Н. S. Shapiro, A. L. Shields [DSS] л/Е — 2 доказали, что [\f](z) Е S для всех / Е S и Л £ С, |А| < --—. В О

1972 г. J. Becker [Beckl] улучшил этот результат, доказав утверждение для Л Е С, |А| <1/6. В 1975 г. J. А. Pfaltzgraff [Pf] не только уточнил, но и существенно обобщил этот результат, доказав, что Аа > 1/2а для всех а > 1.

Обозначим Аа = {А Е С : [А/] Е S для всех / Е Ua}; {А : |А| < Аа} - максимальный круг с центром в 0, содержащийся в Ла. В случае а — 1 Д. А. Аксентьев и И. Р. Нежметдинов [AN] нашли

Л1 = {АбС: |Л| < |> U |].

При а > 1 такого описания множества Ла нет.

В [Р2] Ch. Pommerenke показал, что д Е В, если и только если существуют с Е С и / Е S такие, что g(z)-g(0) = clogf(z). (7)

В [АСР] поставлена задача нахождения наилучшего значения постоянной с для функций Блоха в (7). Эту задачу надо понимать так. Для фиксированной функции д Е В обозначим min{|c| : g(z)-g(0) = clog/'И, / E 5}, max = C(M) = MC{ 1), дев(М) где B(M) = {g e В : \\g(z) - g{0)||ß < M}; надо найти C(M) (или С( 1)). Из условия однолистности J. Becker'a [Beck2] и установленной J. Вескег'ом и Ch. Pommerenke [BP] точности константы 1 в этом критерии легко получить: С( 1) = 1.

Рассмотренная задача из [АСР] естественным образом модифицируется в свете связи между классом В и семействами Ыа: найти Са = max{c5 : g(z) — д(0) = log f'(z), f Е Ua}.

Интерес к последней задаче вызван не только ее связью с задачей из

АСР] о нахождении С( 1), но и с задачей об однолистности [Л/], поскольку легко показать, что множество Ла целиком содержится в 1 круге радиуса —— с центром в 0. а.

В §18 исследуются две упомянутые задачи: о нахождении множества Ла и о значении постоянной Са [Х^б], [СБ!?]. В частности, получена

Теорема 18.2. [в8Ь7]

2 а>Са> 1

2(а-1), 1 если если 7

1 < а < -: ~ - 5 а > -. ~ 5 1

2а к< а + 1' 1 1 если 1 < а < 3; если а > 3.

Са " 2 (а — 1)'

При а = 1 теорема 18.2 дает известное значение Ах = 1/2, нижняя оценка С\ дает точное ее значение.

В главе V понятие линейной инвариантности переносится на гармонические в А функции. В §19 даны основные определения, для гармонических функций получены аналоги известных в Ыа результатов.

Гармоническая в А комплекснозначная функция /(г) может быть записана в виде /(г) — 1г{г) + где /г и д — аналитические в А оо оо функции, = ^ап(/)2п, д(г) = В основу опреп=0 те=1 деления введенных и исследуемых в §§19-21 классов гармонических функций положены свойства линейной инвариантности и локальной квазиконформности. Рассматриваются сохраняющие ориентацию гармонические и локально К-квазиконформные (К > 1) в А функции f(z) = + т. е. в д/ = д/ = Таким образом, речь идет только о локально го-меоморфных функциях (однолистности не предполагается). При этом удобнее рассматривать функции с нормировкой (отличной от общепринятой): а0(/) = 0, сц(/) + (/) = 1

Обозначим Н(а, К) множество всех локально К-квазиконформных гармонических в Д функций /(г) = ¡г(г) + д(г) с указанной нормировкой и таких, что Ь!(г)/Ъ!{0>) Е Ыа.

Расширяющиеся с ростом а, К Е [1, оо] классы Н(а,К) охватывают все сохраняющие ориентацию гармонические в А функции / с принятой нормировкой. При конечных а и К семейства Н(а, К) секвенциально компактны относительно равномерной сходимости внутри А, справедливы точные оценки ^14]: --- < |«1(/)| < ---,

1 -(- к 1 — /с к 1 + к а1(/)| < -К = --. Обозначим производную по направлению

1 -(- к 1 — к вектора егв до/(г) = Дто + = + д/{г)е~гв.

Аналогом определения л.-и.с. для гармонических функций является

Определение. [8Ы4] Семейство гармонических в А функций называется линейно инвариантным семейством (л.-и.с.) гармонических функций, если для каждой функции / Е a) Jf(z)>OвA (/ сохраняет ориентацию в А); b) а0(/) = 0, а!(/) + а1(/) = 1; (8) c) для любых а Е А и в Е М. функция

- /(А) г / \ \ I + ах I -71-, ,, 4в \- ^ &

1 - \а\ )дв/(е а)

Известные классы гармонических функций К,н,Сн,Бн (см., например, [ВН]) — аналоги классов 1С, С, Б в гармоническом случае — при нормировке (8) являются л.-и.с. гармонических функций; классы Н(а,К) также являются л.-и.с., Н(а, 1) = Ыа.

Обозначим Г = Ff — /(А) двумерное гладкое многообразие — образ круга А при локально гомеоморфном отображении / £ Н(а,К); для £ ^ £ А величины , и имеют прежний смысл. В §19 получены теоремы искажения в Н(а,К), в частности,

Теоремы 19.2,4 (искажения). [8Ы4] Для каждой функции ./' = /г + д € Н(а, К) (а, К < оо) справедливы неравенства

1(1-|г|г1<|ад<^(1 + |гГ1 (l + H)0^1

1-|*|)а+1' 9

2oiisT

1

1 -г 1 + г сн dF(0,f(z))<lF(0J(z))<^

1 + г 1 — г а

- 1

7Г

10) г\ = г. Равенство в (9) достигается при в = ± — • Причем, если г — гегф. то равенство справа получим при h(z) = Ф

2а(1 - к)

1 + ге~гф 1 g(z) = (11) равенство слева получим при h(z) = гф

2а(1 + к) 1 ze 1С

1 + ze" g(z) = kh{z). (12)

В правой части (10) знак равенства для d(0, f(z)) и 1(0, f(z)) достигать ется для функции (11) при ф = ±— и z = ±ri, в левой части (10) - для

7Г функции (12) при ф — ±— и z = ±гг. j

При К = 1 эта теорема представляет собой известную [Р1] теорему искажения Ыа.

В §19 получена также теорема вращения в Н(а,К); по аналогии с аналитическими функциями дано определение порядка л.-и.с. У) гармонических функций: ord fj = sup |а2(/) + а2 (/)|• Доказана

Теорема 19.6. [БШ] ог<1 Н(а,К) = аК.

В качестве следствия этой теоремы получается точная оценка в Н(а,К) (а, К < оо) мм дет

1 —

Используя линейную инвариантность Н(а, К) и известные результаты в Ыа, в §20 получена оценка радиуса однолистности функций из Н(а,К).

Обозначим df{z) — радиус наибольшего однолистного круга с центром в /(¿), лежащего на однолистной поверхности Ff = /(А). В §20 получена оценка (^¡(г):

Теорема 20.2. [БИ5] Для любых / е Н(а, К), а е [1, оо], К <Е [1, оо) и для любого г£ А а/(*)| + 15/М1) = Ц^^т < < (1з)

К(1 - |г|2)гшп |3«/(г)| = К( 1 - |г|2)(|с»/(г)| - |3/(г)|). и

Постоянная —в нижней оценке не улучшаема. Постоянная К в 2 а К правой части неравенства (13) не является точной.

Естественно, возникает вопрос, нельзя ли в правой части (13) вместо К поставить 1, что верно для аналитических функций /. Однако, в §20 приведен пример функции, показывающий, что при К > л/2 в правой части (13) вместо К нельзя поставить постоянную, меньшую К2

2\/К2 1'

§21 посвящен гармоническим функциям Блоха. Для аналитических функций Блоха известна [Р2] их геометрическая характеристика: Е Б -<=>- вир df(z) < оо.

14)

По аналогии с классом Блоха аналитических функций определяется класс Блоха гармонических вещественнозначных функций (см., например, [Lig]), как множество гармонических в А функций и, удовлетворяющих условию sup[|Vu|(l — |z|2)] < сю. Для рассматриваемых гармонике а ческих функций / = u+iv = h+g имеем: \Vu(z)\2 + \Vv(z)\2 < 8\h'(z)\2. Поэтому класс Блоха Вн комплекснозначных гармонических функций естественно определить так. Гармоническая функция / = h + д G Вн, если и только если

1) Jf(z) >0 б А, причем Jf(z) = 0 h'{z) — 0;

2) sup[|/i'(;z)|(l - \z\2)} < оо, т.е. h G B. ze a

Первое условие этого определения означает, что непостоянная функция / G Вн сохраняет ориентацию; это делает класс Вн более "геоме-тричным". Условие Jf(z) = 0 h'(z) = 0 исключает неинтересный случай: f(z) = el6(h(z) + h(z)), когда /(А) лежит на прямой.

Естественно, возникает вопрос, сохраняется ли утверждение (14) в случае Вн, т.е. / G Вн dfiz) < В §21 доказана

Теорема 21.1. [St 15] Пусть f - гармоническая в А функция. Тогда

1) / € Вн supzeA df(z) < оо;

2) если sup df(z) < оо и f - локально K-квазиконформна, то f £ Внze а

Приведен пример, показывающий, что требование локальной К-ква-зиконформности (К < оо) в п. 2) теоремы 21.1 является существенным. В заключение дано несколько эквивалентных определений Вн

Теорема 21.2. [St 15] Пусть для гармонической функции / = h + g выполнены условия п. 1) определения класса Вн- Тогда следующие условия эквивалентны: a) / G Вн; b) существует натуральное п такое, что sup [\dß f(z)\(l — \z\2)n] < оо; здесь dg f(z) обозначает производную n-го порядка функции f по направлению егв. c) существуют ф, ф G (^J Ua такие, что f(z) = /(0) + log(ф1 (г)ф'(z)); а< оо d) семейство функций < / ( ^J — f(a) '• a G А > - конечно нормальное, т.е. из любой последовательности функций этого семейства можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри А к конечной функции; е) существет постоянная С(/) > 0, для которой sup а€Л c(f), i + N —loe;-— для всех z Е А;

2 6 1 - Ы наилучшее значение C(f) равно \\f(z)-f(0)\\BH = svp[(\df(z)\ + \df(z)\) zea i-M2)]

В §22 по аналогии с аналитическими функциями [РЗ] вводится понятие предельного семейства С(ег<,/) для гармонических функций / Е Н(а, К) : пусть / Е Н(а,К)} в Е М. Обозначим через £(ег0, /) множество всех функций q(z), для каждой из которых существует такая последовательность положительных чисел £п —> 1—; тао равномерно внутри A fe(z,£n) —► q(z) = H(z) + G(z), H и G регулярны в А. те—>■ оо

Заметим, что £(ег6>,/) ф 0. В §22 исследованы свойства С(ег0,/). В частности, установлены необходимые и достаточные условия того, что предельное семейство состоит из единственной функции, и указан вид этой функции.

Глава VI разбита на §§23, 24. В §23 вошли определения и основные полученные результаты, в §24 выделены теоремы регулярности и близкие к ним вопросы. По аналогии с л.-и.с. аналитических в круге функций в §23 дано

Определение. [GSt9] Пусть I = 1,. ,ш, фиксировано. Семейство ЭДТ/ аналитических в А™ функций f(z) называется 1-линейно-инвари-антным семейством (1-л.-и.с.), если 0 в A-, f(0) = О, g(O) = 1;

2) V/ е ЯЛ/ и V0 = (0Ь. е Мт =Ф- f(zeie)e~ie' Е ШТЬ где ¿ei9 = (Vfll,.,^eifl»);

3)\/а = (аь . , ат) Е А7 ыт = iM = - ¡(Фа(о))} df dzi а)(1-|а/р еш. где (f>a(z) = (j

Z\ + «1 ^т + «га Of

1 ~Ь 0"mzm автоморфизм из Am в А?

Обозначим ——(z) = 1 + c1(f)z1 + . + cm{f)zm + o[\\z\\), 1121 dzi max \Zj\.

1 < j<m

Если / удовлетворяет условию 1) определения, то порядком функции / называется ([GSt9]) число ord/ = sup I||V^(0)|| = i sup ||(ci(/„),. ,cm(/a))||.

Порядком линейно-инвариантного семейства 9Л/ назовем число ord Tli sup ord/. Универсальным 1-линейно-инвариантным семейством Ula feMi порядка а назовем объединение всех 1-линейно-инвариантных семейств 9Л/, для которых ord 9Л/ < а. Примерами /-л.-и.с. являются: Ki — класс аналитических в Ато функций, удовлетворяющих условию 1) определения и таких, что /(Дт) — выпуклая область; Ш1/ = {f(z) = Ф(^) : Ф Е Ыа} — /-л.-и.с. порядка а.

Для Ы1а получены аналоги известных [Р1] результатов; в частности, доказана

Теорема 23.2. [GSt9] Для любой функции / £ Ы1п и любого z 6 Дт выполняются неравенства

2, df т «log Д — k= 1

1 + Ы Ы

1-NI2 т п

Лг=1

1 ~ Ы 1 + Ы

3/ dzi w га i + Ы

29

Неравенства точные; равенство достигается при вещественных zk для функции Ф(<г) = — liiji m п lk—1

1 + zk 1 - zk a 1

В §23 установлена связь между семействами Ы1а при различных а и I [0819], другие свойства^ [08110].

Класс Блоха В аналитических в поликруге Дт функций определяется подобно случаю т = 1. Это — множество функций д с конечной нормой \\д\\в = |р(0)| + max sup dg dzk

1-W2)

Как и в случае

I1. одного переменного, класс В связан с семействами Ыс

Теорема 23.4. [GSt9] Пусть I — 1, • • • , m - фиксированное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

0) девз f ii) существует f Е II Ula такая, что g(z)—g( О) = log ——(z), a — ord/; г vzi причем 2(a - 1) < ||g(z) - #(©)||ß < 2(a + 1).

С помощью этого утверждения, в частности, получен аналог теоремы 16.1 для поликруга.

В §24 получены аналоги утверждений из §§2,3,4; в частности, аналоги теорем 2.1 и 2.2 [08111], [СБШ]; 2.3, 3.1 и 3.2 [СБШ]; причем в аналоге теоремы 2.4 при т > 2 можно снять ограничение на а: а > 2. Так сказывается эффект многомерности.