Теоремы регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

■^Ъос^—

Й04609317

Ганенкова Екатерина Геннадьевна

ТЕОРЕМЫ РЕГУЛЯРНОСТИ УБЫВАНИЯ В ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 0 СЕН 2010

Саратов - 2010

004609317

Работа выполнена на кафедре математического анализа Петрозаводского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Старков Виктор Васильевич

Официальные оппрненты: доктор физико-математических паук,

профессор Аксентьев Леонид Александрович,

Защита состоится 14 октября 2010 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83, Саратовский государственный университет, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета.

кандидат физико-математических наук, доцент Захаров Андрей Михайлович

Ведущая организация: Брянский государственный университет

имени академика И.Г. Петровского

Автореферат разослан "

II

2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Объектом изучения дшшой диссертации являются линейно-инвариантные семейства аналитических функций. Семейство Ш функций /(г) = г + ... , аналитических и локально однолистных в единичном круге Д, называется линейно-инвариантным семейством, если вместе с функцией /(г) оно содержит также и функцию вида

0))

для любого конформного автоморфизма tp(z) единичного круга Д. Впервые такие семейства были введены и изучали«» в 1964 г. X. Поммерен-ке1, хотя свойство линейной инвариантности использовалось и ранее: так, например, J1. Бибербах, используя линейную инвариантность класса S аналитических и однолистных в Д функций, получил в этом классе известные теоремы вращения2 и искажения3. Еще одним важным звеном в доказательстве результатов Бибербаха служила оценка модуля второго коэффициента в разложении функций класса S в ряд Тейлора4: для любой функции /(г) € 5, /(г) = z + аг-г2 + ..., справедлива точная оценка |аг| < 2, причем равенство достигается только для функции Кёбе

2

Л(*) = м , О 6

С этим фактом связано введение для линейно-инвариантных семейств величины, получившей название порядка,

огсШ = I вир |Г (0)|, 1 /езл

которая оказалась для таких семейств важнейшей характеристикой.

Изучение линейно-инвариантных семейств вызвало большой интерес. Оказалось, что многие известные классы конформных отображений

'Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen.!/ Ch. Pommerenkc // Math. Ann. - 1964. - Hf.155. - P. 108-154.

2Bieberbach L. Aufstellung und Beweis des Drehungssatzen für schlichte konforme Abbildung / L. Bieberbach // Math. Z. - 1919. - N 4. - P. 295-305.

3 Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln / L. Bieberbach // Sitzgsber. Preuß. Acad. Wiss. - 1916. - V. 138. - P. 940-955.

4 Там же.

являются линейно-инвариантными. Следовательно, появилась возможность исследовать общие свойства таких классов функций. И если раньше изучение многих классов конформных отображений зачастую основывалось на свойствах, характерных для функций конкретного семейс тва, то с введением понятия линейной инвариантности стало возможным разработан, универсальные методы изучения свойств классов локально однолистных функций.

Для линейно-инвариантных семейств хорошо известен класс теорем, характеризующих рост модулей функций и их производных при приближении аргумента к границе единичного круга. Такие утверждения получили название теорем регулярности роста. Самым известным результатом такого типа является теорема регулярности роста в классе 5 : пусть / € Тогда 1) существуют числа 6 е [0,1] и <р° € [0; 27т)

такие, что

8 =

lim ■->1-

max |/(z)|

(1-r)2

= lim

Г-.1-

I/(re* )|

(1 - г)2

= lim

r-»l-

= lim

г—1-

™ах \f'{z)\

|г|=г

(1-г)3 1 + г

(1-г)3

1 + г

2) величины, стоящие под знаком предела, не возрастают по г 6

(ОД);

3) 5 = 1 f(z) = fe(z) — функция Кёбе (см. стр. 3).

Первая часть теоремы говорит о том, что функции, имеющие максимальную для класса S скорость роста, растут гладко, регулярно (т.к. предел существует). Более того, эти функции имеют максимальный рост на некотором радиусе rel4> , г € (0; 1), tp° е [0;27г). Часть приведенной теоремы, касающаяся модулей функций, получена в 1951 г. В. К. Хейманом5. В 1955 г. Я. Кшиж6 продолжил исследования Хей-мана: описал характер роста модулей производных и получил второе и четвертое равенства первого пункта теоремы. JL Бибербах7 привел новое, более простое доказательство теоремы.

Подобный результат получил В. К. Хейман8 для функций, р-лист-ных в среднем по окружности. Д, М. Кэмпбелл высказал гипотезу о

5Наушап W. К. Some applications of the trans-finite diameter to the theory oj functions, / W. K. Hayraan // J. Analyse Math. - 1951. - N 1. - P. 155-179.

6Krzyz J. On the maximum modulus of univalent functions / J. Krzyz // Bull. Pol. Acad. Sei. Math. - 1955. - V. CI. - N 3. - P. 203-206.

7Bieberbach L. Einführung in die konforme Abbildung / L. Bieberbach. - Berlin: Sammlung Göschen, Band 768/786a. - 1967. - 184 p.

8ХеГшан В. К. Многолистные функции / В. К. Хейман. - М.: Иностранная литература, 1960.- 180 с. - С. 121-125

справедливости такой теоремы для класса Vk функций с ограниченным граничным вращением. Гипотеза оказалась верной, в 1984 г. В. В. Старков9 получил такой результат не только для класса Vk, & и для любого линейно-инвариантного семейства конечного порядка.

В 1996 г. Я. Годуля и В.В. Старков10 обобщили понятие линейно-инвариантных семейств на функции, аналитические в поликруге Д" = Д х ... х Д, и получили многомерный аналог теоремы регулярности роста.

Цель работы — рассмотреть задачу, симметричную описанной выше: охарактеризовать УБЫВАНИЕ модулей производных функций из линейно-инвариантных семейств вблизи границы единичного круга и остова единичного поликруга.

Методы исследования. В работе используются методы теории функций комплексного переменного и математического анализа.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами. Основными явлются следующие:

• доказательство теоремы регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций, аналитических в единичном круге;

• обобщение теоремы регулярности убывания на случай линейно-инвариантных семейств в ноликруге;

• доказательство аналога теоремы Бейджмила для функций, определенных в ноликруге, его применение к исследованию свойств аналитических функций;

• исследование множества направлений интенсивного убывания функций из линейно-инвариантных семейств;

• приложение теорем регулярности к исследованию класса аналитических функций Блоха.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы

9Старков В. В. Теорема регулярности в универсальных линейно-инвариантных семействах функций / В. В. Старков // Труды международной конференции по конструктивной теории функций (Варна 1984). - София, 1984. - С. 76-79.

10Godula Linearly invariant families of holomorphic functions in the unit polydisk / J. Godula, V. V. Starkov // Generalizations of Coplex Analisis. Banach Center Publ. -1996. - N 37. - P. 115-127.

при исследовании граничного поведения аналитических функций одного или нескольких комплексных переменных, а также в учебном процессе.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены в докладах автора на Третьей Петрозаводской международной конференции по теории функций комплексного переменного (Петрозаводск, 2006), Пятой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2006), Восьмой международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2007), XIV International Conference on Analytic Functions (Chelm, Poland, 2007), 14-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной памяти академика П. Л. Ульянова (Саратов, 2008), IV Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу и приложениям (Петрозаводск, 2008), International conference "Analytic methods of mechanics and complex analysis"(Kiev, Ukraina, 2009), 15-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ (Саратов, 2010), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2010), в Петрозаводском государственном университете в 2006-2010 гг. на семинаре по теории функций комплексного переменного под руководством проф. В.В. Старкова, на объединенном научном семинаре математических кафедр Саратовского государственного университета (2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы автором в 14 работах, из них 6 статей, 8 тезисов и материалов конференций. Список публикаций автора приведен в конце автореферата. Работа [4] опубликована в журнале, входящем в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, каждая из которых разбита на разделы, списка литературы из 48 наименований. Нумерация теорем, определений и формул двойная: первым указан номер главы, вторым - номер теоремы (определения, формулы) в этой главе. Общий объем диссертации составляет 105 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении приводится история исследуемого вопроса, формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена теореме регулярности убывания в классе Ыа и связанных с ней задачам. В разделе 1.1 получеп результат, описывающий характер убывания модулей производных функций, принадлежащих универсальному линейно-инвариантному семейству Ыа, которое является объединением всех линейно-инвариантных семейств порядка, не превосходящего а.

Теорема 1.1 (регулярности убывания в Ua). Пусть } £ Ыа. Тогда

1) существуют постоянные ¿о € [1,оо] и ¡ро € К такие, что ,(1 +г)а+1~

¿¡о = lim

V—* 1 —

min\f'(z)\

(1 _r)a-l

= lim

r— i-

fi + ry»+i I f'(rel<Po)r '--

-¿0

- 1

при фикси-

2) выражения, стоящие под знаком предела, не убывают по г £ (0,1) для любого <р0 £ К;

е»0 Г/1 _ 2Р"1'6"

*) Ь = = = [тТГе

роваином в £ К.

В разделе 1.2 мы рассматриваем функции семейства Ыа, имеющие хотя бы одно направление интенсивного убывания (н.и.у.), то есть такое число 9 б [0, 27г) , для которого

И л. гЛа+1

По аналогии с терминологией теорем регулярности роста, число 5д мы называем числом Хеймаиа функции /(г), соответствующим н.и.у. в.

Показано, что модуль п-ой производной таких функций и

функция - эквивалентные бесконечно малые величины в уг-

ловой области с вершиной в точке егв при г —> егв. Таким образом, исследование производных абстрактной функции /(г) £ Ыа с указанным свойством во многом можно свести к изучению производных функции ке{г) из теоремы 1.1, имеющей конкретное аналитическое выражение.

Теорема 1.3. Пусть а > 1, / £ Ыа, в — направление интенсивного убывания функции /, которому соответствует число ¿д.

7Г

Обозначим Д(?7) — угол Штольца раствора 2т], г) £ (0, —) с вершиной в точке егв, Ф(£) = aтgf'(p(Qeгв), С £ А(т?), где

Тогда для любых п, удовлетворяющих условиям

( п < а + 1, при а е N п — любое натуральное, при а ^ N

(nhf\ ICI-.1-

справедливо:

*п О |С|

е угле Штольца A(rj).

Раздел 1.3 первой главы посвящен направлениям интенсивного убывания функций / €Е Ып.

Так как объектом изучения данной работы являются линейно-инвариантные семейства, важно иметь информацию о том, как изменяются направления интенсивного убывания и соответствующие им числа Хей-мана при преобразовании

/'(<р(0))</?'(0) •

В случае ip(z) = ге1в, в е R, решение этой задачи очевидно: направление интенсивного убывания 7 функции f(z) перейдет направление интенсивного убывания 7 — в функции Lv[f(z)}, а число Хеймана останется тем же. Нетривиален случай

Тогда

< \ z + a .

= TW а е А-

Lv\M) = fM =

/'(а)(1-|а|2) '

Что будет происходить в этой ситуации, показано в следующей теореме. Теорема 1.4 Пусть / £Иа.

1) Чтобы ф было н.и.у. функции /(г, а), необходимо и достаточно, чтобы

1-ае'т ^ '

где 7 — н.и.у. функции /(л).

То есть при конформном автоморфизме круга А каждое п.и.у. функции /(г) переходит в н.и.у. функции /(г,а) (и наоборот) и эти числа связаны равенством (*).

2) Если ф и 7 - н.и.у. функций /(г, а) и ¡(г) соответственно, связанные (*), 5ф - число Хеймана, соответствующее н.и.у. ф функции /(г,а), аду - число Хеймана, соответствующее н.и.у. 7 функции /(г), то эти числа связаны следующим соотношением:

|/'(а)||1 + ае'ф\2а 7 ~ ф (1 - |а|2)°-1 '

В разделе 1.3 также решен порос о мощности множества направлений интенсивного убывания функций / € Ыа. Показано, что любая функция семейства Ыа имеет не более, чем счетное множество н.и.у.

Это множество может быть пусто. Таким свойством обладают, например, функции, модуль производной которых не стремится к нулю при радиальном стремлении г к границе единичного круга. Это, к примеру, функция /(г) = г, принадлежащая Ыа при любом а > 1. Единственное н.и.у. в имеет функция кд{£) из теоремы 1.1. Примеры функций, имеющих множество н.и.у. заданной мощности (> 2), также построены в этом разделе.

Теорема 1.5. 1) Пусть п - фиксированное натуральное число, п > 2; 1 < а < оо. Тогда функция

Z

g„,a(z) = J(l-Snr~l

ds е U,y

2?rfc и n

имеет n н.и.у. и ими являются числа-, к = 0,..., п — 1.

2) Функция

z

э,а(2) = J

ffoo,<

1 — ехр ( —7Г

1-s

1 - е-*

■ ds G Ua

1+2Ы

ke

и имеет счетное множество н.и.у. 9^ = arg - - ,

1 — 2 кг

Перейдем к содержанию раздела 1.4 первой главы. Семейство Ыа мы разбиваем на подклассы Ua(So), Sq € [1; 00], функциям, входящим в

Ыа{80)1 соответствует одно и то же число ¿о из теоремы 1.1. Изучению свойств таких подклассов и посвящен этот раздел.

Здесь рассматривается следующий вопрос: пусть /(г) € Ыа(8о), можно ли с помощью преобразования Ь,рЦ(г)\ перейти в другой подкласс Ыа{5)1 Ответ на него дает

Теорема 1.7. Если функция / 6 иа(8о), ¿о £ (1, оо), то для любого 8 6 (1,<5о] существует об Д такое, что функция f(z,a) е Ка{8).

Оказывается, что если наложить па функцию /(г) из предыдущей теоремы определенные условия, то с помощью преобразования /(г, а) можем перейти в класс Иа(8) с любым 8 6 (1; оо).

Теорема 1.8. Если функция / 6 Ыа{8о), 6 (1700) и существует интервал (х',х") С [0,2-к), свободный от н.и.у. функции /(г), то для любого 8 £ (1,оо) существует такое число а € Л, что функция

Если же /(г) б Ыа{оо), тогда для любого а 6 Д преобразованная функция /(г, а) снова будет принадлежать классу ¿4,(00).

Кроме этого раздел 1.4 посвящен возможности аппроксимации функций из классов Иа(8о), для различных ¿о-

Теорема 1.9. Для любой функции / £ Ыа(8о), 8о £ [1, оо] и для произвольной функции <5*(А), Л € (0,1), со значениями в [¿о, со] существует семейство функций ф\ € 1Аа{8*(\)), таких, что ф\(г) —> /(2) равномерно внутри А при А —> 0.

Из этой теоремы, как следствие, получаем, что для любой функции / € Ыа(8о), <5о е [1, оо] и любого 8 е [<5о>00] существует семейство функций /п(г) 6 Ыа{8), таких, что /п(г) —+ /(.г) равномерно внутри Д при п —* оо. Если же <5 £ (1,^0)1 то утверждение уже не будет верным: для 5 6 (1, ¿о) и любой функции /(г) € Иа{8о) не существует последовательности функций /„ € Ыа{8) такой, что /„ —> /(г) равномерно внутри

п—»оо

Д:

Эти утверждения позволяют говорить о расширении классов Ыа{5) при росте 5, понимая этот факт следующим образом: если ¿1 <82, то функции из класса Ыа{6\) можно равномерно внутри Д аппроксимировать функциями из Ыа (82), обратного сделать нельзя.

В разделе 1.5 получен аналог теоремы регулярности убывания для производных высших порядков.

Теорема 1.10. Пусть / € Ыа(8о), 8о < оо, а > 1, в — одно из н.и.у. функции / и 6 € [^о>оо) — число Хеймана, соответствующее этому

п.и.у. Тогда для любых ii€N, удовлетворяющих условиям

( п < а + 1, при а € N | п — любое натпуралыюе, при п И,

существует предел

I f(nUrew)\ 5

(1-!-)а-;' = 2^1 • - - 2)... (а - (п - 1))|.

Вторая глава диссертационной работы посвящена линейно-инвариантным семействам функций, аналитических в поликруге. Необходимо отметить, что здесь нет автоматического переноса с одномерного случая на многомерный. Также во второй главе получены результаты, не имеющие аналогов в первой главе.

В разделе 2.1 вводится обобщение понятия линейно-инвариантного семейства для функций в поликруге, данное Я. Годулей и В. В. Старковым. Для фиксированного /, 1 < I < п семейство 9Л; аналитических в Д" функций f(z) = f(z\,..., zn) было названо 1-линейно-ипвариапт-ным семейством, если для каждой функции из этого семейства:

1) ф 0 в Д», ДО) = О, дМщ = 1, где О = (0,... ,0) - центр ozi oz{

поликруга;

2) f(zet0)e~ie1 £ Ш; для любой функции / £ ®î( и любого в = (ви ...,вп) £ К", где = (zxew>,..., гпег9»);

3) для любой функции / 6 Wli и для любого а = (oi,..., ап) £ Дп

¿(а)( 1 - 1а'|2)

где

Ра(г) =

z\ + ai + а„

1 + ai zi 1 + anzn

— автоморфизм поликруга Д".

Пусть °f^ а) = 1 + c1(f,a)z1 +... + cn(f,a)zn + o(||z||), где ||z|| =

шах |лд.|. По аналогии с определениями Хеймана порядком лииейно-ин-k

вариантного семейства было названо число

огсШ, = i sup sup ||(ci(/,a),...,cn(/,a))|| , z feoiti оедп

универсальным I-линейно-инвариантным семейством Ы1а порядка а -объединение всех /-линейно-инвариантных семейств, порядок которых не превосходит а.

В разделе 2.1 получена теорема регулярности убывания в универсальном ¿-линейно-инвариантном семействе Ы1а. Обозначим = г = (г:1,...,г„), где гь € (0;1) У/г = 1 ,...,тг, тогда 2 = гегв. Пусть / = (1-,...,1-). Для/ еи1а пусть

Фв(г)

Ё1

dzi

Теорема 2.1 (регулярности убывания в Ы1а). Пусть /(г) £ К1а. Тогда

1) величины Ф#(г) (для любого фиксированного в) и пппФо(г) не убывают по каждой переменной 6 (0,1); величина

(1 + г)ап+1

mm

Ы<г

(1 - ту

не убывает по г е (0,1).

2) существуют такие ¿о £ [1,оо] и во € К", что

¿о = Игл

г—»1 —

min

lUlKr

df , . toi{Z)

(1 + r)

an-f-1

(1 -г)"

lim ттФв(г) = lim Ф0о(г);

г—>/ в г—»/

= f(z) = ke(z) =

"2а

Д

Lfc=l

1 - zke

-гвк

. + Zke~i9k

+ Q{zi,- ■ ■ ,Zl-l,Zi+l, . . . ,Zn),

где Q — любая аналитическая в Д"-1 функция, такая, что Q(O) = 0.

По аналогии с одномерным случаем направлением интенсивного убывания (н.и.у.) функции f(z) 6 Ula мы называем каждый вектор в = (#1,... ,9п), 9k € [0,27г), такой, что

lim Фе(г) = ¿0 < оо,

г—>1

при этом Sg называем числам Хеймана функции f, соответствующим н.и.у. в.

Семейство Ы1а рабивается иа непересекающиеся подклассы Ы1а{5о), 60 6 [1;оо], каждый такой класс состоит из функций, которым соответствует одно и то же число 5о из теоремы 2.1.

В разделе 2.2 получен многомерный аналог теоремы 1.3 первой главы.

Теорема 2.3. Пусть а > 1, /(г) е Ы1а(50), 60 < оо и 7 = (7Ь ... ,у„) — п.и.у. функции /(г), которому соответствует число Хеймапа 5 е [¿о;оо). Тогда для любых чисел ^ 6 N11 {0}, <71 + ... + <?„ = q, удовлетворяющих условиям

{(¡к < с*, при а 6 N

Цк — любое натуральное, при а ^ М, и для любого фиксированного г) € (0; 7г/2) в угловой области {С = (Съ---,Сп)е А": М1-СкС-**-)\<л щ выполняется предельное соотношение

дч+11 (О

—__Ь._¡с)

с^дг?1 ... дгчпп

при С —> ег

р(0 = р = (ри---,рп), рк = Р*(0 = - 4 - ¿ 0 - 4

Таким образом величины

дг^г*1 ...ад"

(С)

а*,а*?1 ...<94"

(0

■5

в указанной угловой области будут эквивалентными бесконечно малыми при £ —► е17.

Результат, полученный в следующем разделе разделе 2.3 применяется при дальнейшем исследовании свойств функций из линейно-инвариантных семейств, хотя к этой тематике и не относится. Здесь идет

речь об обобщении хорошо известной теоремы Бейджмила на случай функций, определенных в поликруге.

Обозначим С сферу Римана. Если функция f(z) определена в области Е С Сп, А С Е, £ е дЕПА, то ее предельным множеством С(/, £, А) в точке £ вдоль А называется множество всех таких w 6 С, для которых найдется последовательность {z^' с A, z'^' —> для которой f(z^) w при 7V" —► оо.

Рассмотрим произвольную функцию f(z), определеннуе в круге Д. Точка £ е OA называется точкой неопределенности функции /(z), если существуют две простые кривые Ti и Г2, лежащие в Д кроме их общей конечной точки такие, что предельные множества функции f(z) в точке С вдоль кривой Г1 и вдоль кривой Г2 не пересекаются. В 1955 г. Ф. Бейджмил11 доказал, что множество точек неопределенности любой функции не более чем счетно.

В разделе 2.3 получен аналог теоремы Бейджмила для функций, определенных в поликруге Д". В шаре теорема Бейджмила не будет верна, если понятие точки неопределенности оставить прежним. Существуют функции, определенные в тп-мерном (т € N) евклидовом шаре, имеющие на границе шара континуум точек неопределенности12. Однако, в 1983 г. Риппон обобщил теорему Бейджмила на функции, определенные в евклидовом шаре, изменив понятие точки неопределенности. Точку С € 9Ш Риппон называет точкой неопределенности функции f(z), если существует подобласть D шара В, граница которой пересекает границу шара в единственной точке ( (назовем такую область допустимой) и существует простая кривая Г, лежащая в D, кроме своей конечной точки причем С(/, П С(/,(,Г) = 0. При таком определении теорема Бейджмила уже будет верна в шаре: множество точек неопределенности на с® не более чем счетЕЮ13. Вследствие гомеоморфности Дп и В аналогичный результат верен и для функций, определенных в поликруге, но использовать эту теорему оказывается довольно сложно. Проблема в том, что автоматическое перенесение теоремы Бейджмила из В в Дп возможно для соответствующих допустимых областей D С Л". Однако, граница даже такой простой области, как прямое произведение углов Штольца, будет пересекать границу поликруга дАп = {z — (21,..., zn) : 3j, \zj\ = 1} по множеству мощности

uBagemihl F. Curvilinear cluster sets of arbitrary function/ F. Bagemihl // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. - 1955. - Vol. 41. - P.379-382.

12Young G. S. A generalization of Bagemihl's theorem on ambiguous point/ G. S. Young // Michigan Math. J. - 1958. - Vol. 5. - P. 223-227.

1 ''Rippon P. J. Ambiguous points of functions in the unit ball of euclidean space /Р. J. Rippon // Bull. London Math. Soc. - 1983. - N 15. - P. 336-338.

континуума. Для того, чтобы получить удобный для применения аналог теоремы Бейджмила в поликругс, в качестве допустимых мы берем области, замыкание которых может иметь не одну общую точку с дАп, а даже континуум (что существенно ослабляет условия на допустимую область в теореме Бейджмила). Правда, при этом речь пойдет не о всех точках на дА", а только о точках на остове Т" = дА х ... х дА поликруга Дп.

Теорема 2.4. Пусть /(г) — любая (функция, определенная в поликруге. Рассмотрим точки (, 6 Тп, для которых существует область Д; С А", сЩ; ПТ" = {С}, и существует простая кривая Г^ С Д, оканчивающаяся в точке С, такие, что

С(/,С,дЯспД")лС(/,С,Гс) = 0.

Множество таких точек £ не более чем счетно.

Раздел 2.4 посвящен направлениям интенсивного убывания функций из Ы1а. Здесь установлено, как изменяются н.и.у. и соответствующие им числа Хеймана при преобразовании /(г) >—> /(г, а) (обозначение из определения /-линейно-инвариантного семейства).

Теорема 2.5. Пусть / € Ы1а. Тогда

1) чтобы <р являлось н.и.у. функции /(г,а), необходимо и достаточно, чтобы

•«т» — Л

(**)

1 - йзе'Т!' " '' 1 - апе'7"

где 7 = (71,... ,7П) — н.и.у. функции /(2). То есть при голоморфном автоморфизме поликруга Ап каждое н.и.у функции /(г) переходит в н.и.у. функции /(2, а) и эти векторы связаны равенством (**).

2) Если 1р и 7 - н.и.у. функций /(2, а) и /(2) соответственно, связанные (**), 5,р — число Хеймана, соответствующее н.и.у. (р функции /(г, а), а <57 — число Хеймана, соответствующее н.и.у. у функции ¡{г), то эти числа связаны следующим соотношением:

<57 =

д/, .

*=1 ^ 1 - Ы*

В этом разделе с помощью теоремы 2.4 также решен вопрос о мощности множества н.и.у. функций из Ы1п : как и в случае функций одной переменной, каждая функция /(2) семейства Ы1а имеет не более чем

сметное множество н.н.у. Примером функции, не имеющей н.и.у., является f(z) — 2¡. Единственное н.и.у. О имеет кд(г') — функция из теоремы 2.1. Примеры функций из 1А1а, имеющих множество н.и.у. заданной мощности (> 2), построены на основе примеров функций из раздела 1.3.

Теорема 2.7. Функция

п /1 \ а

при

принадлежит семейству 1А1а и имеет N н.и.у. (ТУ бМ, N > 2), при

дЫ) - Эоо.

А^) = J

1 — ехр

и

— в + 5

(1 + ^

¿в

принадлежит и1а и имеет счетное множество н.и.у.

Раздел 2.5 посвящен изучению классов Ы1а{5о), ¿о € [1; оо], каждый такой класс состоит из функций, которым соответствует одно и то же число 5о из теоремы 2.1. Показано, что по известной функции /(г) 6 К„(6о), ¿о < оо, для любого 8 £ (1; 8о) можно построить функцию /(г,а) € Ы1а{8). Если же потребовать от функции ¡(г) существования интервалов к — 1 ,...,п, которые не содержат соответствую-

щих к-х координат всех н.и.у. функции /(2), то функция /(г, а) при надлежащем выборе а £ Д" уже попадает в класс И1а(8) с любым заданным 8 £ (1;оо). При /(г) £ Ы\х(1) такие ограничения на функцию /(г) можем снять: для любого 8 € (1;оо) существует такое а £ Д", что /(2,а) £ Ы1а{8). В случае, когда /(2) £ Ы1а(оо), для любого а £ Д™ /(2, а) £ Ы'а(оо). Как следствие сказанного выше, получаем, что классы Ма{8о) непусты для любого 8о £ [1; оо].

В разделе 2.6 получен аналог теоремы регулярности убывания для частных производных высших порядков:

Теорема 2.8. Пусть / £ Ы1а, 7 — н.и.у. функции /, <5 — число Хеймана, соответствующее этому н.и.у. Тогда для любых ць £ N и {0}, к = 1, ...,п,

Чк < <*> при О: € N

qk — любое натуральное, при а N,

+ ... + qn = q, существует дч+if

lim

г—* /

dzidzf1 ... dz«"

(re41)

(i-n)

k=1

sign Ilk

k=1

При изучении свойств аналитических функций важное место занимает исследование функций класса Блоха. Аналитическая в поликруге А" функция д называется функцией Блоха, если

max sup

< 00.

Множество В всех функций Блоха называется классом Блоха. Была установлена связь между классом Блоха и универсальными i-линейно-инвариантнымыми семействами14: д £ В тогда и только тогда, когда

существует функция / € |J Ula такая, что g(z) — <?(©) = log -~(z). В

Q<00 OZl

разделе 2.7 эта взаимосвязь используется для получения аналога теорем регулярности для функций класса Блоха: Теорема 2.13. Пусть g £ В,

а

Z|

= orcl J exp {g(zi,...,zi^i,t,zi+i,...,zn)-g(0)}dt.

Тогда

1) существует такие 6 € [0; оо] и во € К™, что

5 = lim

г->1-

1 + г

min 5R{g(z) - g(Q)} + anlog --+ log(l - r2)

U!l<r 1 — r

= lim

г—> /

min X{ff(reie) - g(0)} + а V log i±I* + log(l - rf)

0 *—' 1 — Tfc

I__1

k=1

14Godula J., Starkov V. V. Указ. соч.

lim г—

fc=1

- s(O)} + a T log + log(l - rf)

.. 1 ~ nt

2) величина, стоящая под знаком первого предела не убывает nor G (0; 1); величины, стоящие под знаками второго и третьего пределов не убывают по каждому € (0; 1), k = 1,..., п;

3) 5 = 0 <f=> fl(2) = ¿/(О) + a Е bg * . - log(l - zfe~2i0').

k=l 1 + Zke™k

Автор выражает глубокую благодарность соему науному руководителю, профессору Виктору Васильевичу Старкову, за постоянное внимание к работе, полезные советы и всестороннюю поддержку.

Работы автора по теме диссертации

1. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы Третьей Петрозаводской международной конференции по теории функций комплексного переменного, посвященной 100-легию Г. М. Голузина. -Петрозаводск, 2006. - С. 9-11.

2. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2006".

- Казань, 2006. - С. 47-49.

3. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. - 2006. -Вып. 13. - С. 46-59.

4. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Известия ВУЗов. Сер. математика. - 2007. - N 2 (537). - С. 75-78.

5. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции. -Казань, 2007. - С. 71-72.

6. Ganenkova Е. G. The theorem of regularity of decrease for universal linearly invariant families of functions / E. G. Ganenkova. // Scientific Bulletin of Chelm. Section of Mathematics and Computer Science. - 2007.

- N. 2. - P. 17-23.

7. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. - 2007. - Вып. 14. -С. 14-30.

8. Ganenkova Е. G. On the theorem of regularity of decrease for universal linearly invariant families of functions / E. G. Ganenkova. // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A. - 2007. - V. LXI. - P. 23-38.

9. Ганенкова E. Г. Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций / Е. Г. Ганенкова // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы, посвященной памяти академика П. JI. Ульянова. - Саратов, 2008. - С. 51-52.

10. Ганенкова Е. Г. К теореме регулярности убывания для аналитических функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы IV Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу. - Петрозаводск, 2008. - С. 10-11.

11. Ганенкова Е. Г. Некоторые граничные свойства аналитических в поликруге функций, образующих линейно-инвариантные семейства / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. - 2009. - Вып. 16. - С. 12-31.

12. Ganenkova Е. G. Directions of intensive decrease of functions, analyti in the poly disk / E. G. Ganenkova // Abstracts of international conference "Analytic methods of mechanics and complex analysis". - 2009. - P. 16-17.

13. Ганенкова E. Г. Граничные свойства модулей производных из линейно-инвариантных семейств в поликруге / Е. Г. Ганенкова // Материалы 15-й Саратовской зимней школы, посвященной 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ. - Саратов, 2010. - С. 55.

14. Ганенкова Е. Г. Аналог теоремы Бейджмила для остова поликруга / Е. Г. Ганенкова // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понт-рягинские чтения - XXI" (дополнительный выпуск). - Воронеж, 2010. - С. 12.

Подписано в печать 12.07.2010. Формат 60х 84 Чи. Бумага газетная. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Изд. № 164.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Отпечатано в типографии Издательства ПетрГУ 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33

Введение

1 Теоремы регулярности убывания для аналитических в единичном круге функций

1.1 Линейно-инвариантные семейства. Теоремы регулярности

1.2 Поведение производных в угловой области.

1.3 Направления интенсивного убывания.

1.4 Подклассы универсального линейно-инвариантного семейства

1.5 Аналог теоремы регулярности для производных высших порядков

2 Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций

2.1 Обобщение понятия линейно-инвариантного семейства. Теорема регулярности.

2.2 Частные производные в угловой области

2.3 Теорема Бейджмила для остова поликруга.

2.4 Мощность множества направлений интенсивного убывания

2.5 Об аппроксимации функций из линейно-инвариантных семейств

2.6 Поведение частных производных высших порядков вблизи точки остова поликруга, соответствующей направлению интенсивного убывания.

2.7 Теоремы регулярности для функций Блоха.

Объектом изучения данной диссертации являются линейно-инвариантные семейства аналитических функций. Семейство ШТ функций f(z) = z + . , аналитических и локально однолистных в единичном круге А, называется линейно-инвариантным семейством, если вместе с функцией f(z) оно содержит также и функцию вида

ДФ)) - /МО)) /'МО)У(О) для любого конформного автоморфизма cp(z) единичного круга А. Определение таких семейств было дано в 1964 г. X. Поммеренке в работе [44], хотя свойство линейной инвариантности использовалось и ранее: так, например, Л. Бибербах, используя линейную инвариантность класса S аналитических и однолистных в А функций, получил в этом классе известные теоремы искажения и вращения (см. [29], [30]). Еще одним важным звеном в доказательстве результатов Бибербаха служила оценка модуля второго коэффициента в разложении функций класса S в ряд Тейлора [29]: для любой функции f{z) 6 S, f(z) = z + aoz2 + ., справедлива точная оценка |а.2 ] < 2, причем равенство достигается только для функции Кёбе (ГТ^Г ' е R

С этим фактом связано введение для линейно-инвариантных семейств величины, получившей название порядка, огсШ = i sup |/"(0)|, fem которая стала для таких семейств важнейшей характеристикой.

Изучение линейно-инвариантных семейств вызвало большой интерес. Оказалось, что многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными. Следовательно, появилась возможность изучать общие свойства таких классов функций. И если раньше изучение многих классов конформных отображений зачастую основывалось на свойствах, характерных для функций конкретного семейства, то с введением понятия линейной инвариантности стало возможным разработать универсальные методы изучения свойств классов локально однолистных функций.

В качестве примеров линейно-инвариантных семейств приведем следующие:

• Семейство LS всех аналитических и локально однолистных в Д функций f(z) = z + • • .

• Семейство S С LS однолистных в А функций; ord S = 2 [29].

• Семейство К С S выпуклых функций (функций из 5, для которых /(А) —- выпуклая область); ord К — 1 [15, с. 202].

• Класс Vk функций с ограниченным граничным вращением (/ 6 14 тогда и только тогда, когда для каждого г € (0; 1) полная вариация угла наклона касательной к образу окружности {z : \z\ — г} не превосходит

Ьг); ord Vk = ^ [40], [41].

В [44] также было введено понятие универсального линейно-инвариантного семейства Ua, являющегося объединением линейно-инвариантных семейств порядка, не превосходящего а, и, следовательно, позволяющего изучать все такие семейства в совокупности. В [44] показано, что при а < 1 классы Ua пусты, Ы\ совпадает с классом К выпуклых функций, класс S содержится в классе U2, но с ним не совпадает. Заметим, что для любого а > 1 семейство Ыа содержит многолистные функции (см. [44]): функция m

2г7

1 + z

7 > 0 является бесконечнолистной и принадлежит классу U^д 1+т2)- Особое внимание Поммеренке уделял семействам конечного порядка, так как такие семейства являются нормальными.

Для линейно-инвариантных семейств хорошо известен класс теорем, характеризующих рост модулей функций и их производных при приближении аргумента к границе единичного круга. Такие утверждения получили название теорем регулярности роста. Самым известным таким результатом является теорема регулярности роста в классе S :

Теорема А (регулярности роста в S) [31, с. 104-105], [38], [39] (см. также [17, с. 120-121], [19, с. 80-82], [23, с. 121-123]). Пусть f Е S. Тогда

1) существуют числа 5 € [0,1] и (р° б [0; 2тг) такие, что

6 = lim max|/(z)|

1 - rf r max I f(z) I z=r

1 - rf

1+Г lim

Г-41

1-r)

21 Г lim

IJ K l + r

2) величины, стояш}ие под знаком предела, не возрастают по г £ (0,1);

3) 5 = 1 f(z) = fe(z) — функция Кёбе.

Первая часть теоремы говорит о том, что функции, имеющие экстремальную для класса S скорость роста, растут гладко, регулярно (т.к. предел существует). Более того, эти функции имеют такой рост на некотором радиусе г G (0; 1), / 6 [0; 2тг).

Часть теоремы А, касающаяся модулей функций,, получена в 1951 г. В. К. Хейманом в [38]. В 1955 г. Я. Кшиж продолжил исследования Хеймана: описал характер роста модулей производных и получил второе и четвертое равенства первого пункта теоремы А (см. [39]). JL Бибербах в [31] привел новое, более простое доказательство теоремы А.

Результат, подобный теореме А, был получен в [23, с. 121-125] В. К. Хейманом для функций, р-листпых в среднем по окружности в круге Д (функция f(z), аналитическая в А, называется р-листной в среднем по окружности в круге А, если 1

-2тг

2тг Л n(Rel(p) dip <р \/R G (0; 1), здесь р > 0, n(w) — число корней уравнения f(z) = w в А):

Пусть f(z) = z + . р-листна в среднем по окружности в круге А. Тогда

1) существуют числа 5 G [0,1] и ср G [0; 2тг) такие, что lim г-Яmax|/(z)|

1 - rfP rp lim

1 rfp rp

2) величина, стоящая под знаком первого предела, не возрастает по ге( 0,1);

8) 5 = 1<= f(z) = в е R.

1 - zeid)2P:

Д. М. Кэмпбелл в [32] обобщил приведенные выше теоремы регулярности роста на функции из 5 П Ua, 1 < ос < 2. В этой же работе он высказал гипотезу о справедливости такой теоремы для класса V/~ функций с ограниченным граничным вращением. Гипотеза оказалась верной: в 1984-85 гг. в [21] и [22] В. В. Старков получил такой результат не только для класса 14, а и для любого семейства Ua, а < оо. Фрагментом этой теоремы является

Теорема В (регулярности роста в Ыа) [13], [21], [22], [32]. Пусть f еИа. Тогда

1) существуют постоянные £ [0,1] и ср° £ Ж такие, что

S°= lim lim r-> lmax \f(z)\2a

Z\—T

I f{re^)\2a

1 - /Л 1 + rJ an a lim lim max \f'(z)\

IZ =r

1 -r)a+1 (1 + r)a-l

2) величины, стоящие под знаком предела, не возрастают по г £ (0,1) для любого £ М; 1 + ze

S) S° = 1 f(z) = I<o(z) = ванное вещественное число.

2a ze

-ie

- 1 где в — фиксиро

Второй пункт этой теоремы получил Д. М. Кэмпбелл в [32], В. В. Старков привел новое, более простое его доказательство.

Приведенная в теореме В функция Kg(z) введена Поммеренке в [44] и является обобщением функции Кёбе для универсального линейно-инвариантного семейства Ыа• При а = 2 мы получим классическую функцию Кёбе,

2, при а = 1, в — 0 получим функцию --, которая, как и функция Кёбе

1 — z в классе S, является экстремальной во многих задачах в классе выпуклых функций.

Константа из теоремы В введена Спенсером в [46]. Для р-листных в среднем функций она подробно изучалась Хейманом (см. [23, с. 4б, 50, 124]), поэтому такую константу принято называть числом Хеймана функции f(z). Число <£>° из теоремы В называют направлением максимального роста функции f(z). Направлением интенсивного роста функции f(z) называется ([22]) каждое такое в £ [0; 2п), что lim i/V)l l-r) a+1

1 +Г) a—1 5e> 0 такой предел всегда существует), 5в называется ([22]) числом Хеймана функции f(z), соответствующим направлению интенсивного роста д.

В 1996 г. Я. Годуля и В.В. Старков в работе [37] обобщили понятие линейно-инвариантных семейств на функции, аналитические в поликруге Дп = А X • • • Ж А. Условия на функции, образующие линейно-инвариантные семейства по Поммеренке, были перенесены на многомерный случай следующим образом: для фиксированного натурального числа I, 1 < I < п, семейство DJti аналитических в Дп функций f(z) было названо Z-линейно-инвариантным семейством, если для каждой функции из этого семейства п

1) ^ОвД", /(О) = 0, |(0) = 1, где О = (0,., 0) - центр поликруга;

2) f(zel$)e~iei € для любой функции / 6 ШТ/ и любого 9 = (<9х, 0„) е R", где = (ziei01,., ^е*»);

3) для любой функции / € ЯЯг и для любого а = (ах, .,ап) 6 Дг

Wd-hl2) где . / 2гх + ах ап \

Ы*) = ч1 + ах^х'' 1 + anznJ — автоморфизм поликруга Дп.

По аналогии с одномерным случаем в [37] был введен порядок линейно-инвариантного семейства. Пусть = 1 + сх(/, фх + . + Cn(f, a)zn + о(М), здесь под ||.г|| понимаем поликруговую норму ЦгЦ = ||(^i> • • •, zn)|| = max \zk\. к

Порядком линейно-инвариантного семейства называется число 1 ordatt/ = -sup sup ||(cx(/,a),.,cn(/,a))||, feMi абД"

Также было введено универсальное I-линейно-инвариантное семейство U^, как объединение всех линейно-инвариантных семейств, порядок которых не превосходит а.

При п = 1 эти определения совпадают с определениями X. Поммеренке из [44].

Пусть Т = дА, Тп — остов поликруга. Важным для изучения функций, аналитических в Дп, является вопрос о поведении этих функций при приближении z к остову Тп. После того, как понятие линейно-инвариантного семейства было обобщено на случай поликруга, появилась возможность получить многомерный аналог результатов, касающихся регулярности роста, что и было сделано в [14].

Обозначим rk = г = (гх,., гп), где rk е (0; 1) V& = 1,., п, тогда z = гег9. Пусть I = (1—,1—). Для f £Ы1а пусть вд = dzt

П /Л \ О.

Теорема С (регулярности роста в Ula) [14]. Пусть f(z) <Е Ы1а. Тогда

1) величины (для любого фиксированного в) и тах^(г) не возрастают по каоюдой переменной rk G (0,1); величина max INI<r

1 dzi w

1-г) an+1

1 + r) an—1 не возрастает no r G (0,1);

2) существуют такие 5° 6 [0,1] и 6° <G 3Rn; что

5° = lim

3)80 max df

Г-Ъ1 [||2||<Г i <=s> № dzi

1-r) an+l

1 + Г) an—1 lim max F$ (r) = lim Fgo (r); r—>/ в r ->I ei<h

2a n fili

1 + zke~iek' a zke

-i9k Q(z 1, • - • , Zl-1, Zl+1, . . . , Zn), где Q — любая аналитическая в An функция, такая, что Q(О) = 0.

Естественно рассмотреть задачу, симметричную описанной выше: охарактеризовать УБЫВАНИЕ модулей производных функций из линейно-инвариантных семейств вблизи границы единичного круга или единичного поликруга. Этому вопросу и связанным с ним задачам посвящена данная диссертационная работа.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Будем использовать номера теорем, введенные в основном тексте данной работы.

Первая глава посвящена теореме регулярности убывания в классе Ua и связанных с ней задачам. В разделе 1.1 получен результат, описывающий характер убывания модулей производных функций, принадлежащих Ыа.

Теорема 1.1 (регулярности убывания в Ыа) . Пусть f EUa. Тогда

1) существуют постоянные 5q G [1,оо] и <ро Е М такие, что

So lim г-» 1min \f'(z)\ z =r

1+г) (1-г) a+l"| a—1 lim f'{reitpo)\

1 + 0 (1-r) a+l' a—1

2) выражения, стоящие под знаком предела, не убывают, по г 6 (0,1) для любого сро € М/

3)6Q = 1<=* f(z) = ke{z) = ном

J в

2а

-гв\ а

1 — ze 1 4- ze~i9 при фиксирован

В разделе 1.2 мы рассматриваем функции семейства 1Аа, имеющие хотя бы одно направление интенсивного убывания (н.и.у.), то есть такое число в € [0, 27г), для которого lim \fVeie)\[] + Tl =5в<оо. г-> 1- lJ К (1 - г)

По аналогии с терминологией теорем регулярности роста, число <5# мы называем числом Хеймана функции f(z), соответствующим н.и.у. 9. )

Показано, что модуль п-ой производной таких функций \f^n\z)\ и функция • 5g являются эквивалентными бесконечно малыми величинами в угловой области с вершиной в точке егв при —егв. Таким образом, исследование производных абстрактной функции f(z) Е Ыа с указанным свойством можем свести к изучению производных функции kg(z) из теоремы 1.1, имеющей конкретное аналитическое выражение.

Теорема 1.3 . Пусть а > 1, / 6 Ua, 0 — направление интенсивного убывания функции f, которому соответствует число 6д.

7Г

Обозначим А(г}) — угол Штольца раствора 2г], г) Е (0, —) с вершиной в

• Л . точке ei9, Ф(С) = axg f (p(C)eie), С € АЩ, где

Л1-^)2 1 1 Л Л

Тогда для любых п, удовлетворяющих условиям п < а + 1, при а Е N п — любое натуральное, при a ^N справедливо:

С) & fcW(C) и-"в угле Штольца А (77).

1. Ганенкова Е. Г. К теореме регулярности убывания для аналитических функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы IV Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу. Петрозаводск, 2008.C. 10-11.

2. Ганенкова Е. Г. Некоторые граничные свойства аналитических в поликруге функций, образующих линейно-инвариантные семейства / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. 2009. - Вып. 16. - С. 12-31.

3. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения-2006". Казань, 2006. - С. 47-49.

4. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Материалы Восьмоймеждународной Казанской летней научной школы-конференции. -Казань, 2007. С. 71-72.

5. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. 2006. - Вып. 13. -С. 46-59.

6. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций / Е. Г. Ганенкова // Известия ВУЗов. Сер. математика. 2007. - N 2 (537). - С. 75-78.

7. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций / Е. Г. Ганенкова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. 2007. - Вып. 14. - С. 14-30.

8. Ганенкова Е. Г. Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций / Е. Г. Ганенкова // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы, посвященной памяти академика П. JT. Ульянова. Саратов, 2008. - С. 51-52.

9. Ганнинг Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, X. Росси. М.: Мир, 1969. - 397 с.

10. Годуля Я. Линейно-инвариантные семейства / Я. Годуля, В. В. Старков / / Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. математика. 1998. - Вып. 5. - С. 3-96.

11. Годуля Я. Теорема регулярности для линейно-инвариантных семейств функций в поликруге/ Я. Годуля, В. В. Старков // Известия ВУЗов. Сер. математика. 1995. - N 8. - С. 21-33.

12. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

13. Коллингвуд Э. Теория предельных множеств / Э. Коллингвуд, А. Ловатер. М.: Мир, 1971. - 312 с.

14. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций / Н. А. Лебедев. М: Наука, 1975. - 336 с.

15. Математическая энциклопедия: в 5 т. / гл. ред. И. М. Виноградов. -М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 1. - 1152 с.

16. Милин. И. М. Однолистные функции и ортонормированные системы / И. М. Милин. М.: Наука, 1971. - 256 с.

17. Носиро К. Предельные множества. / К. Носиро. М: Иностранная литература, 1963. - 252 с.

18. Старков В. В. Теорема регулярности в универсальных линейно-инвариантных семействах функций / В. В. Старков // Труды международной конференции по конструктивной теории функций (Варна 1984). -София, 1984. С. 76-79.

19. Старков В. В. Теоремы регулярности для универсальных линейно-инвариантных семейств функций / В. В. Старков / / Сер дика. 1985. -Т.Н. - С. 299-318.

20. Хейман В. К. Многолистные функции / В. К. Хейман. М.: Иностранная литература, 1960. - 180 с.

21. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: в 2 ч. / Б. В. Шабат. М.: Наука, 1976. Ч. 2. - 400 с.

22. Bagemihl F. Curvilinear cluster sets of arbitrary function/ F. Bagemihl // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1955. - Vol. 41. - P.379-382.

23. Bagemihl F. Functions of bounded characteristic with prescribed ambigous points/ F. Bagemihl, W. Seidel // Michigan Math. J. 1955-56. - Vol. 3. -P. 77-81.

24. Bagemihl F. Rectilinear limits of a function defined inside of spherej F. Bagemihl // Michigan Math. J. 1957. - Vol. 4. - P. 147-150.

25. Bagemihl F. Ambiguous points of a functions harmonic inside a sphere/ F. Bagemihl // Michigan Math. J. 1957. - Vol. 4. - P. 153-154.

26. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln/ L. Bieberbach. Sitzgs-ber. PreuB. Acad. Wiss. - 1916. - V. 138. - P. 940-955.

27. Bieberbach L. Aufstellung und Beweis des Drehungssatzen fur schlichte kon-forme Abbildung / L. Bieberbach // Math. Z. 1919. - N 4. - P. 295-305.

28. Bieberbach L. Einfiihrung in die konforme Abbildung f L. Bieberbach. -Berlin: Sammlung Goschen, Band 768/786a. 1967. - 184 p.

29. Campbell D. M. Applications and prvofs of a uniqueness theorems for linear invariant families of finite order / D. M. Campbell /J Rocky Mountain J. of Math. 1974. - V. 4. - N 4. - P. 621-634.

30. Church P. Т. Ambiguous points of a functions homeomorphic inside a sphere/ P. T. Church // Michigan Math. J. 1957. - Vol. 4. - P. 155-156.34