Аппроксимация лакунарными степенными рядами и операторы Ганкеля конечного ранга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



2 а \AiV- ^РОССИЙСКАЯ ЛКАЛЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В. А. СТЕКЛОВА (Санкт-Петербургское отделение)

На правах рукописи УЛК 517.98

АБАКУМОВ Евгений Валерьевич

АППРОКСИМАЦИЯ ЛАКУНАРНЫМИ СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ И ОПЕРАТОРЫ ГАНКЕЛЯ КОНЕЧНОГО РАНГА

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Лаборатории математического анализа Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ — доктор физ. -мат. наук

профессор Н. К. Никольский

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ — доктор физ.-мат. наук

вед. науч. сотрудник С. В. Кисллков

кандидат физ.-мат. наук доцент А. И. Плотник

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ — Санкт-Петербургский

Университет

Защита состоится 22 июня 1995 г. в часов на заседании специализированного совета Д.002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, комн. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ.

Автореферат разослан апреля 1995 г.

Учёный секретарь специализированного совета

профессор А. П. Осколков

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Пусть в - локально-компактная абелева группа (или полугруппа), а М - некоторое пространство функций на й, инвариантное относительно группы (полугруппы) сдвигов. Задачи, связанные с описаниями подпространств М, инвариантных относительно сдвигов (т.е., по существу, задачи о решениях свёрточных уравнений на О), являются одними из основных в коммутативном гармоническом аиализе.

В важном частном случае, когда в качестве б рассматривается полугруппа Z+ неотрицательных целых чисел, а в качестве М - классические пространства Лебега &(%>+) (или пространства с весом ^{ып, 2+)), вопрос о таком описании восходит к знаменитой работе А. Бёрлинга [1]. Часто бывает удобно иметь дело не с самими пространствами последовательностей 6р(\ип), а с пространствами тех формальных степен-

ных рядов (или аналитических функций), последовательности коэффициентов Фурье (Тейлора) которых попадают в (?(уип). В этих пространствах прямой сдвиг - это оператор г умножения на независимую переменную г, а оператор обратного

(сопряжённого) сдвига г* действует по формуле / ——

Отметим, что классические пространства Харди Н7, Дирихле, Бергмана, пользующиеся особым вниманием аналитиков, являются частными случаями описанной ситуации (¿\, 1\{п + 1) и ^»(гГ+т) соответственно).

Полное описание г-инвариантных подпространств в Я2 получено Бёрлингом [1], для остальных же рассматриваемых пространств вопросы о таком описании являются нерешёнными и очень трудными. В этой ситуации важная роль отводится более частным задачам, таким, например, как характеризация циклических векторов (т.е. тех векторов, орбита которых под действием оператора порождает всё пространство) для операторов гиг*. Первый результат в этом направлении - описание ¿-циклических векторов в Я2 - был получен В. И. Смирновым , ещё в 1932 году [2]. По поводу последних достижений см. [3-5].

Изучение циклических векторов оказывается полезным в самых разных областях анализа. Упомянем, среди прочих, связи

с периодическими в среднем функциями (через посредство преобразования Борелл, см. [б]), со спектральными кратностлми, с популярными в последнее время задачами о "хаотических полугруппах" (изучение гиперциклических векторов и т.д.). Наконец, нельзя не отметить, что основное в теории линейных динамических систем понятие "управляемости" по существу тождественно определению цикличности относительно полугруппы, определяемой уравнением (или относительно её генератора).

Характеризации и подробному изучению ¿'-циклических векторов в пространстве Харди Я3 посвящена работа Р. Дугласа, Г. Шапиро и А. Шилдса [3] (см. также [7]): циклическими являются те и только те функции, которые не допускают псевдопродолжения до функции класса Неванлинны в дополнении замкнутого единичного круга. Отметим, что свойство функции / быть 2*-циклической всегда имеет ясный аппроксимационный смысл: это свойство равносильно тому, что всякий элемент рассматриваемого пространства может быть аппроксимирован линейными комбинациями остатков ряда Тейлора функции /.

Часть I диссертации посвящена изучению связей между частотным спектром функции (т.е. множеством её ненулевых коэффициентов Тейлора) и её аппроксимационной способностью (цикличностью для оператора обратного сдвига) в пространствах И?А и ¿^(и>„). Изучение таких связей примыкает к широкому и интересному кругу вопросов, относящихся к принципу неопределённости в гармоническом анализе (подробно о нём можно прочитать в [8]). Например, тот факт (доказанный в [3]), что всякий невырожденный степенной ряд с лакунарным по Адамару спектром в пространстве Н3 является ¿'-циклическим, может быть переформулирован следующим образом: лакунарные функции в Я3 не допускают псевдопродолжения, т.е. может рассматриваться как аналог классической теоремы Фабри о невозможности аналитического продолжения аналитической функции с редким спектром за пределы её круга сходимости (ср. [8]). Глубиной этих (и прочих) связей цикличности, псевдопродолжений, лакунарности и пр. можно объяснить, например, и то обстоятельство, что до сих пор не известны прямые (т.е. не использующие оператор сдвига, циклические векторы) доказательства упомянутого факта о невозможности псевдопродолже-

ния для аналитических функций с лакунарным спектром. Что касается других (отличных от Харди) пространств, то здесь известно совсем немного. Упомянем работу [6], где, в частности, доказана цикличность лакунарных рядов для класса пространств Фреше (в том числе для пространства всех целых функций), а также тот факт (Н. К. Никольский), что в очень широком классе пространств степенных рядов г*-нецикличность равносильна существованию некоторого (зависящего от пространства) аналога псевдопродолжения (правда, обычно с трудом поддающегося ясному списанию).

Отметим ещё один круг вопросов, связанный с инвариантными подпространствами оператора прямого сдвига в Каково геометрическое расположение таких подпространств? В частности, могут ли два (ненулевых) из них иметь тривиальное (нулевое) пересечение? Само существование пространств, в которых есть указанные пары подпространств, было открытым вопросом вплоть до 1974 года, когда Ч. Горовиц [9], используя тонкую аналитическую технику, построил такую пару в пространстве Бергмана. Позднее был предложен другой, основанный на теории дуальных алгебр подход к (неявному) доказательству существования континуальных семейств г-инвариантных подпространств с попарно-тривиальными пересечениями в пространствах типа Бергмана (см. [10]).

Теория операторов Ганкеля и их спектральных характеристик имеет разнообразные связи с инвариантными подпространствами и циклическими векторами операторов сдвига. Вот две наиболее очевидные: г-инвариантные подпространства пространства Харди Я2 суть ядра ганкелевых операторов, действующих в Я2; функция / является ¿'-циклической в Я2 в том и только том случае, когда оператор Ганкеля с символом / имеет плотный образ. Часть II реферируемой работы посвящена обратной спектральной задаче (ОСЗ) для ганкелевых операторов конечного ранга. Общая постановка ОСЗ для операторов Ганкеля и их модулей - описать все такие операторы (или их модули) в спектральных терминах с точностью до унитарной эквивалентности - восходит к П. Халмошу. Её интерес определяется разнообразными приложениями в теории наилучших приближений, стационарных случайных процессах, теории управления, гармоническом анализе. Упомянем три важ-

пых продвижения, полученные о последние годы: решение ОСЗ дли модулей ганкелеиых операторов [11]', для самосопряжённых гинкслсвых операторов [12]; построение ненулевого оператора Ганкелл с нулевым спектром ([13], решение известной задачи Пауэра). С другой стороны, как начальный этап для обшей ОСЗ представляет интерес изучение различных спектральных характеристик (спектры, кратности собственных чисел, жорданова структура и т.д.) ганкелевых операторов конечного ранга.

(1БЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертации является:

1. Изучение аппроксимационной способности (цикличности для обратного сдвига) степенных рядов с редким спектром в пространствах 1РЛ и £^(ш„): её зависимость от метрики пространства; получение необходимых и достаточных условий на цикличность таких рлдов; характеризация пространств, в которых лакунарность влечёт цикличность; усиления известных фактом для пространства II2. Использование полученных результатов для построения континуальных семейств попарно-дизъюнктных ¿-инвариантных подпространств (в частности, в пространствах типа Бергмана, в пространствах И?л, р > 2).

2. Решение обратной спектральной задачи для операторов Ганкелл конечного ранга.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Основной метод, развиваемый и используемый в диссертации - непосредственная аппроксимация лакунарными степенными рядами -базируется на комбинаторной технике, именно, на изучении структуры пересечений левых сдвигов лакунарной последовательности. Также применяются стандартные методы функционального анализа, теории операторов, линейной алгебры, многомерного комплексного анализа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории операторов и гармоническом анализе при изучении инвариантных подпространств и циклических векторов операторов сдвига на группах и полугруппах, в теории аналитических в единичном круге функ-

ций при исследовании свойств псевдопродолжений, в теории управления для систем, где генератором полугруппы является оператор обратного сдвига, в спектральной теории операторов Ганкеля.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинаре ПОМИ-СПбУ по спектральной теории функций, на конференциях■по теории операторов в Варшаве (1992 г.), Марселе (1993 г.), Лилле (1994 г.), на аналитических семинарах университетов ТТприжа, Бордо, Барселоны.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14,15].

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из Введения и трёх глав (первые две главы составляют Часть I, третья глава - Часть II диссертации). Список литературы содержит 35 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ. Часть I диссертации посвящена изучению аппроксимациоиной способности (цикличности для оператора обратного сдвига) лакунарных степенных рядов в пространствах (РА и аналитических функций. Приводятся усиления (в нескольких направлениях) результата из [3] о ^'-цикличности лакунарных по Адамару степенных рядов в пространстве Харди Я2. Показывается, что цикличность лакунарных рядов не является общим фактом (как можно было бы ожидать ввиду известных результатов), а зависит от метрических свойств пространства и от некоторых специфических характеристик убывания коэффициентов Тейлора степенного ряда. В частности, в пространстве все лакунарные (по Адамару) степенные ряды являются г*-циклическими в случае 2 ^ р ^ со, но это не так, когда 1 ^ р < 2 (таким образом, классический случай пространства Харди Я2 является пограничным для этого свойства). В случае 1 ^ р < 2 даётся полное описание циклических и нециклических лакунарных степенных рядов порядка 2 (т.е. таких рядов, частотный спектр {п^} которых удовлетворяет условию >2 (к ^ 1)).

- N -

Показываются результаты аналогичного характера для весовых пространств ¿^(ш»,) (с некоторыми ограничениями на регулярность веса {«'«}). В частности, приводится характериза-ция тех весовых пространств, в которых всякий лакунарный (по Адамару) степенной ряд является г*-цикличес.ким.

Полученные результаты прилагаются к инвариантным подпространствам для оператора прямого сдвига. Именно, в широком классе пространств (включающем пространства типа Бергмана, СРА при р > 2) приводятся примеры континуальных семейств ненулевых г-инвариантных подпространств с попарно-тривиальными пересечениями.

Часть II диссертации посвящена решению обратной спектральной задачи для операторов Ганкеля конечного ранга. Показывается, что нет никаких ограничений на собственные числа таких операторов (с учётом их алгебраических крат-ностей), даже если рассматривать ганкелевы операторы с фик-сированнами заранее полюсами символа. Обсуждается вопрос о жордановой структуре операторов Ганкеля конечного ранга.

Перейдём к более подробному обзору результатов. Нумерация утверждений далее совпадает с принятой в диссертации.

ЧАСТЬ I

ГЛАВА 1. ЦИКЛИЧНОСТЬ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЯМИ С РЕДКИМ СПЕКТРОМ В ПРОСТРАНСТВАХ Рл

Эта глава содержит результаты Части I, относящиеся к невесовому случаю. Всюду на протяжении этой и следующей глав слово циклический означает циклический для оператора обратного сдвига г*\ все лакунарные степенные ряды предполагаются невырожденными (т.е. не полиномами), а пространства ¿д(шп) - наделёнными »-слабой топологией.

§1 - вводный. В §2 собраны вспомогательные леммы. Основную для дальнейшего роль играют леммы 1.3-1.5, в которых показывается, что спектры левых сдвигов лакунарного степенного ряда порядка 2 "почти не пересекаются" в совокупности.

В §3 приводятся несколько обобщений результата Дугласа, Шапиро и Шилдса о цикличности лакунарных по Адамару функций в пространстве Я2. (Напоминание: степенной ряд на-

- и -

зывяртся лакуннрнымно Адамару, если его спектр {»к) такой, что > А > I (к ^ 1) для некоторого числа А.)

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть {»tj^i) - возрастающая последовательность неотрицательных целых чисел, являющаяся объединением конечного числа лакунарных по Адамару последова-

телыюстей. Пусть /(г) = £ atznk 6 Я2; ак ф 0 (к ^ 1). Тогда

*=1

функция / миклична n Н2

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть /= Г щг"*еЯ2; IÜÜ > А > 1, ак ф О

t^i »* (к ^ 1). Пусть функция Л апалитична в некоторой окрестности замкнутого единичного круга; F = /4- /». Тогда либо F циклична в пространстве Я2, либо F - рациональная функция.

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть - возрастающая последова-

со

тельность неотрицательных целых чисел; / = €

t = i

a/t ^ 0 (it ^ 1). Положим Rfc = —-j, fc ^ 1. Предположим,

что выполнено одно из следующих четырёх услоний:

(i) lim sup Rt = oo,

k — OO

(ii) liin inf ß)t >0 и lim snp(»jt+1 - iц ) = oo,

fc-oo

(Iii) lim sup Rt > 0 и lim (»u+i - тц) = oo,

l —oo t —ro

(iv) есть конечное объединение лакунарных но Адамару

последовательностей. Тогда функция / циклична в Я2.

В §4 изучается цикличность лакунарных рядок » пространствах Рл, 1 ^ р ^ оо. Теоремы 1.4 и 1.5 доставляют полное описание (в терминах последовательности относительных остатков {ft*}) циклических и нециклических лакунарных функций порядка 2 в этих пространствах. При их доказательстве существенно используются упомянутые нише леммы из §2.

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть I < < <х>; / = > 2,

¿• = 1 "к "1 ^ ü (fc ^ 1). Функция / цикличиа о (А тогда и только тогда,

1

когда Н-к ~ 001 гд<* "fc =

М"

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть / = £ "i*"1 6 t\\ > 2, л* ^ О

jk=i "t {к ^ 1). Функция / циклична о тогда и только тогда, когда

~ Inil

Птах(Я*,1) = оо, где Rk = ' *

Ej>tlnil

Приводятся примеры, иллюстрирующие эти результаты. В частности, если Л = {2*, к ^ 0} С Z+ и 1 < р < 2, то функции log» « Циклична в пространстве £д при а ^ 1 — р и

нсниклична при — 1 < п < 1 — р.

Полученные и теоремах 1.4 и 1.5 описания позволяют доказать следующий результат.

ТЕОРЕМА I.G. (¡) Пусть 2 ^ ;> ^ оо. Если функция / Ç РА такова, что её спектр а(/) представляет собой конечное объединение лакунарных по Адамару последовательностей, то / циклична о пространстве (РА.

(н) Пусть 1 ^ р < 2. Тогда в пространстве tpA существуют нециклические лакунарные по Адамару функции. Более того, для всякого бесконечного подмножества Л С Z+ найдётся такая нециклическая функция /6 СА, что a(f) € Л и card<x(/) = оо.

В следующей теореме под сд понимается пространство аналитических в единичном круге функций, последовательности коэффициентов Тейлора которых попадают в пространство со-

ТЕОРЕМА 1.7. Пусть {»»t}tii - возрастающая последовательность неотрицательных целых чисел, lim (»¿+j — n*) = оо;

t—(U

ru

/ = л*2"' G с*', «t Ф 0 (Jt ^ 1). Тогда функция / циклична в

* = I

пространстве сд.

§5 содержит приложения полученных в §4 результатов. Следующий эффект отсутствует в пространстве Я2 (т.е. для р = 2):

ТЕОРЕМА 1.8. Пусть 1 ^ р < 2. В пространстве РА найдётся нециклическая функция /й циклическая функция д такие, что функция / + \д нециклична для каждого комплексного числа Л.

Из соображений двойственности отсюда выводится

ТЕОРЕМА 1.9. Пусть 2 < q ^ оо. Тогда в пространстве существует такое семейство {£а}л6С ненулевых z-инвариантных подпространств, что Е\ П Е^ = {О} при всех А ф ц.

ГЛАВА 2. АППРОКСИМАШЮННАЯ СПОСОБНОСТЬ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

В этой главе содержатся обобщения результатов Главы 1 на случай весовых пространств

В §1 вводятся некоторые определения и обозначения. Под весом понимается последовательность положительных чисел {ш„}п-_0 такая, что с"1 < < с для некоторого числа с.

Вес называется медленно колеблющимся, если найдётся такое с, что с-1 ^ jji ^ с для п ^ j iC 2п. Пространство ^A(wn) состоит

оо

по определению из тех формальных степенных рядов Е /(")*">

п=0

°° . р

для которых конечна сумма J2 1/(п)1 wn (или 8ир|/(п)|ш„, если

п=0 п^О

Р = оо).

В §2 устанавливаются условия на цикличность и на нецикличность для лакунарных степенных рядов в пространствах с медленно колеблющимся (в том числе со степенным) весом.

Пусть 1 < р < оо, {w„}£L0 - медленно колеблющийся вес;

/ = £ Qizn* € > А > 1, в* #0 (Jk ^ 1). Положим

— r^-i—-» * ?

£ ¡>k lai!u;",

ТЕОРЕМА 2.1. Если > 2 и sup £ (^UlRÄ7^ < 1, то

k t? i j=k ^ '> '

функция / нециклична в пространстве (fA{wn).

ТЕОРЕМА 2.2. Если ^ > 2 и inf £ fbtA^ > 1, то функция / циклична в пространстве

ТЕОРЕМА 2.2'. Если £ (£*-)'' = оо, то функция / цик-

Jt=i 4

лична в пространстве ^(и/„).

ПРИМЕР. Пусть Л = {2*. к ^ 0} С Z+. Функция £

пел

циклична в пространстве Лирихле при а ^ |||| и нециклична в этом пространстве при | < а <

§3 начинается с описания весовых пространств, в которых все лакунарные функции цикличны.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть {wn}£L0- медленно колеблющийся вес.

(i) 2 ^ р ^ оо. Тогда лакунарность по Адамару степенного ряда в пространстве tt>„) влечёт его цикличность в том и только том случае, когда supw„ < оо.

п>0

(ii) 1 ^ р < 2. Тогда лакунарность по Адамару степенного ряда в пространстве влечёт его цикличность в том и

только том случае, когда Ъ -<

nal «

Заключительные две теоремы главы являются обобщениями теорем 1.8 и 1.9 на случай весовых пространств.

ТЕОРЕМ А'2.4. Пусть 1 ^ р < оо, w = {u>„}~-o ~ вес, для которого lim ^^^ = 1. Предположим, что limsupu>„ = оо в случае,

п-00 w* п—>00

если р или limsupu;,, > 0 в случае, если р < 2. Тогда в прос-

П—ОО'

транстве PA{wn) найдётся нециклический вектор / и циклический вектор д такие, что вектор / + Äff нецикличен для каждого комплексного числа Л.

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть 1 < q оо, w - {ш„}~=0 - вес, для которого lim = 1. Предположим, что liminfiu„ = 0 в случае,

П-.00 п—оо

если или liminfu/„ < оо в случае, если q > 2. Тогда в прос-

п—оо

транстве ¿¿(tun) существует такое семейство {¿?л}лес ненулевых z-инвариантных подпространств, что Е\ П Е„ = {О} для любых

ЧАСТЬ II

ГЛАВА 3. ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ГАНКЕЛЯ КОНЕЧНОГО РАНГА

В §1 обсуждается обратная спектральная задача для операторов Ганкеля и приводятся формулировки теорем.

Целью §2 является' доказательство следующего основного результата главы.

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть А - дивизор из я точек з единичном круге, а ............. - ненулевые комплексные числа. Тогда

существует оператор Ганкеля Г ранга п такой, что дивизор полюсов его символа совпадает с Л, а ненулевыми собственными числами оператора Г (посчитанными с учётом крат-ностей) являются числа «тьсг, •••, 0V»-

Существенную роль при доказательстве этой теоремы играет следующая

ОСНОВНАЯ ЛЕММА. Пусть F : С" — С - отображение, координатные функции которого /ь /з, ■ • ■, /г» представляют собой однородные многочлены п переменных и не имеют общих нулей (за исключением точки О). Тогда F сюръективно.

В §3 собраны добавления. В частности, приводится описание возможных структур Жордана для операторов Ганкеля ранга, не превосходящего 4, и доказывается следующий результат, представляющий интерес для теории управления.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть А - (пхп)-матрица, все симметричные миноры которой отличны от нуля; erj,ад,...,с„ - комплексные числа. Тогда существует такал диагональная (п х п)-матрица Р, что собственными числами матрицы РА (посчитанными с учётом кратностей) являются числа , cr2l..., <г„.

ЛИТЕРАТУРА

1. A. Bcurling, On the two problems concerning linear transformations in Hilbert space,-Acta Math. 81 (1949), 239-255.

2. V. I. Smirnov, Sur les formules de Cauchy et de Green et quelques problèmes qui s'y rattachent, Izv. AN SSSR 3 (1932), 338-372.

- и

3. R. (J. Douglas, II. S. Shapiro and Л. L. Shields, Cyclic vectors and invariant, suhspares for the backward shift operator, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 20 (1У70), 37-70.

4. A. L. Shields, Cyclic vectors in Banarh spaces of analytic functions, Operators and Function Theory, 315-349, ed. S. C. Power, Reidel Publishing Company (1985).

5. H. Korviihliini, Outer functions and cyclic elements in Bergman spaces, J. of Funrt. Anal. 115 (1993), 104-118.

6. 11. К. Никольский, Псевдолродолжение преобразования Бо-реля и периодические и среднем функции, Алгебра и Анализ, готооитсн к публикации.

7. Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига, М., Наука, 1980.

8. V. Havin and В. Joricke, The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag; Berlin, Heidelberg, 1994.

9. C. Horowitz, Zeroz of functions in the Bergman spaces, Duke J. Math. 41 (1974), G93-7I0.

10. G. Apostol, H. Bercovici, C. Foia$ and C. Pearcy, Invariant subspaces, dilation theory, and the structure of the predual of a dual algebra, I, J. of Funct. Anal. 03 (1985), 369-404.

11. С. P. Треиль, Обратная спектральная задача для модулей ганкелеиых операторов и сбалансированные реализации, Алгебра и Анализ 2, Вып. 2 (1990), 158-182.

12. А. V. Megretskii, V. V. Peller and S. R. Treil, The inverse spectral problem for self-adjoint Ilankel operators, to appear.

13. А. В. Мегрецкий, Квазинильпотентный оператор Ганкеля, Алгебра и Анализ 2, Вып. 4 (1990), 201-212.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

14. Е. В. Абакумов, Обратная спектральная задача для операторов Ганкеля конечного ранга, Зап. научи, семин. ПОМ И 217 (1994), 5-15.

15. Е. V. Abakumov, Gyclicily and approximation by lacunary power series, Michigan Math. J., 42 (1995), to appear.