Некоторые оценки скорости рациональной аппроксимации аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.Ш

Радыпо Александр Яковлевич

Некоторые оценки скорости рациональной аппроксимации аналитических функций

01.01.01. — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

МИНСК - 1998

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Прохоров В.А.

Официальные оппоненты: член-корреспондент HAH Беларуси,

доктор физико-математических наук, профессор Янович Л.А.

кандидат физико-математических наук, доцент Ровба Е.А.

Оппонирующая организация: Львовский государственный университет

им. И. Франка.

Защита состоится 18 декабря 1998 г. в 10.00 часов на заседании Совета Д 02.01.07 в Белорусском государственном университете (220050, г. Минск пр. Скорины, 4, главный корпус, ауд. 206, тел. ученого секретаря •ХЛЬ- Ь У^ ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан К " гЮЯ-^199В г.

Учёный секретарь совета по защите диссертаций, доктор физико-математических наук, профессор

A.A. Килбас

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Настоящая работа посвящена прямым задачам теории рациональной аппроксимации аналитических функций. В прямых задачах в терминах, связанных со свойствами аппроксимируемой функции: расположением и структурой множества её особенностей характером её аналитического продолжения, устанавливается скорость убывания величин рп,т — наилучших приближений аналитической функции в равномерной метрике на компакте Е комплексной плоскости рациональными функциями порядка (п,т), т.е. у рациональных функций степень числителя не выше п, а степень знаменателя не выше m. Обратная задача теории рациональной аппроксимации состоит в том, чтобы по скорости убывания величин рпт определить все вышеупомянутые характеристики аппроксимируемой функции. Работы Е.П. Дол-женко (1967 г.), A.A. Гончара (1955 г.), A.A. Пекарского (1977-1995 г.г.), Е.А. Рахманова, Е.А. Ровбы (1973 г.), В.Н. Русака (1978 г.) Л.А. Яновича и др. явились огромным вкладом в развитие теории прямых и обратных задач рациональной аппроксимации. Было замечено, что в отличие от теории полиномиальных аппроксимаций здесь прямые и обратные теоремы не смыкаются, и притом не от недостатка доказательств, а по существу. В частности никакая скорость убывания чисел />„_„ не гарантирует никакой классической (локальной) гладкости (A.A. Гончар 1955 г.). Поэтому особую важность приобретают оценки нижнего предела lim inf„._:>= р^" для различных классов аналитических функций, так называемая гипотеза A.A. Гончара (1982 г.). Эта гипотеза в разной степени общности была доказана О.Г. Парфеновым (1986 г.) и В.А. Прохоровым (1993 г.).

Если к двум вышеупомянутым характеристикам аппроксимируемой функции добавить третью: рост максимума модуля функции в окрестности её особенностей (т.е порядок и тип функции), то перед нами откроется широкое поле деятельности по нахождению оценок скорости убывания наилучших рациональных аппроксимаций голоморфной в некоторой области функции имеющей конечный порядок и тип.

Первоначально порядок и тип был введен для целых функций (см. например, Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, 4.1. 2-е изд. пе-рераб, и доп. — М.: Наука, 1976.). Скорость полиномиальной аппроксимации целых функций конечного порядка была исследована в работах A.B. Батырева (1951 г.), P.C. Варги (1968 г.), Т. Винярского (1970 г.).

1 Скорость рациональной аппроксимации целых функций конечного порядка и типа была исследована В.А. Прохоровым (1993 г.).

Аналогично тому как вводился порядок и тип для целых функций можно ввести порядок и тип для функций имеющих в расширенной комплексной плоскости конечное число существенно особых точек (каждая существенно особая точка имеет свой положительный конечный порядок и тип). Отмечу свой результат (см. [6]), относящийся к этой проблеме.

В 1965 - 1967 годах М.Н. Шеремета ввел обобщенный порядок с помощью функций медленного роста (см. также работы Г.А. Фридмана, 1966 г.) и исследовал обобщенный порядок целых функций и функций голоморфных в единичном круге. Центральное место в исследованиях скорости убывания наилучших полиномиальных аппроксимаций целых функций обобщенного порядка занимают работы С.М. Шаха (1977 г.). Скорость убывания наилучших рациональных аппроксимаций целых функций обобщенного порядка наиболее подробно изучена В.А. Прохоровым (1993 г.).

Иное определение порядка потребуется в том случае, когда аппроксимируемая функция имеет неизолированные особые точки, особые кривые и т.п. особенности.

Когда в качестве особой линии функции выступает окружность, вполне можно обойтись определением порядка и типа функции, введенным Н.В. Говоровым (1959 г.). Эти понятия были распространены на функции голоморфные в односвязной конечной области В.М. Мурадовым (1992 г.).

В настоящей диссертации рассмотрен порядок для голоморфных в круге функций, а также порядок для функций голоморфных в многосвязной области. Изучены соответствующие задачи рациональной аппроксимации с ним связанные. Оценки получены не только для уклонений рп<п, (диагональная последовательность таблицы Уолша). но и в случае m — \6п), 0 < 0 < 1 (лучевая последовательность таблицы Уолша). Отмечу, что техника доказательства полученных результатов использует как теоремы функционального анализа (В.М. Адамян, Д.З. Аров, М.Г. Крейн, В.В. Пеллер, C.B. Хрущев , О.Г. Парфенов, В.А. Прохоров), так и современную теорию логарифмического потенциала (T. Bagby, К. Menke, H. Kloke, Ch. Pommerenke, J. Siciak).

Последняя глава диссертации посвящена ортогональным многочленам. Для специалистов в области рациональной аппроксимации не секрет, что ортогональные многочлены очень сильно связаны с рациональной аппроксимацией аналитических функций, особенно многочлены ортогональные относительно скалярного произведения с весом (A.A. Гончар и Е.А. Рахманов 1984 г.), зависящим от степени многочлена. Для развития теории и практики весьма важны их асимптотические свойства: предельное рас-

предедение нулей, рост нормы и т.н.

Скалярное произведение, содержащее производную будем называть скалярным произведением Соболева, а многочлены ортогональные относительно этого скалярного произведения назовем ортогональными многочленами Соболева. Такие многочлены стали серьёзно изучаться начиная с 1990 года W. Van Assche. М. Alfaro, F. Marcellan, H. G. Meijer, M. L. Rezóla, A. Ronveaux и другими математиками. Алгебраические свойства, распределение их нулей п разложения в ряд Фурье также как и их уместность в анализе спектральных методов для уравнений в частных производных обещает огромное поле для эксплуатации таких многочленов. Многочлены, исследованные в данной работе, являются ортогональными многочленами Соболева.

Связь работы с крупными научными программами, темами.

Исследования выполнялись в рамках госбюджетной НИР N 850/24 по теме: "Алгебраические методы в теории дифференциальных и дифференциально - функциональных уравнений", утвержденной-распоряжением министерства образования Беларуси от 27.02.96 г. N 05- 8/39, номер гос. регистрации 19962628, выполняется с 1996 г. по 1998 г.

Цель п задачи исследования. Цель настоящей диссертации: оценить скорость убывания наилучших рациональных аппроксимаций pn¡n - диагональной последовательности таблицы Уолшаи /5П)ГО(П) - лучевой последовательности таблицы Уолта через порядок й тип аппроксимируемой функции. Найти предельное распределение нулей ортогональных многочленов относительно скалярного произведения, содержащего переменный вес и производную. Исследовать асимптотическое поведение че-бьппевской и соболевской норм этих многочленов.

Для достижения поставленной цели выдвинуты следующие задачи::

1. Исследование связи между сингулярными числами оператора Ган-келя, построенного по аппроксимируемой функции, и наилучшими рациональными аппроксимациями этой функции. Применение теоремы Ада-мяна - Арова - Крейна, если аппроксимируемая функция голоморфна в круге и обобщенной теоремы Адам яла - Арова - Крейна, если аппроксимируемая фуштця голоморфна в многосвязной области. t ' ■"' " 2. Нахождение оценки скорости сходимости решения дискретной экстремальной задачи теории потенциала к соответствующему решению непрерывной задачи теории потенциала. . ■• ■ •• -- '- ''' '

3. Получение оценок скорости наилучшей рациональной аппроксимации (диагональная и лучевая последовательности таблицы Уолша) голо--

морфной в круге функции конечного порядка и типа.

4. Получение оценки скорости наилучшей рациональной апроксима-шш голоморфной в многосвязной области функции.

о. Исследование асимптотики корня га-ой степени отношения введенной соболевской нормы к взвешенной чебышевской норме.

6. Исследование связи ортогональных многочленов с экстремальными задачами теории потенциала и нахождение предельного распределения нулей ортогональных многочленов Соболева.

Объект и предмет исследования. Объектами исследования здесь являются наилучшие рациональные аппроксимации функции аналитической в круге или в конечно - связной области, а также ортогональные многочлены относительно скалярного произведения Соболева.

Предметом исследования будет скорость убывания наилучших рациональных аппроксимаций .и асимптотическое поведение названных ортогональных многочленов. .

Методология и методы проведенного исследования. При решении поставленных задач в области рациональной аппроксимации использованы методы теории логарифмического потенциала и методы теории операторов Ганкеля. .. <...-.'■ . :

При решении задач, связанных с ортогональными многочленами, использовались методы теории логарифмического потенциала, конструктивной теории функций, террии неполных полиномов.

Научная новизна и значимость полученных результатов. В

диссертации изучена 'зависимость рациональной аппроксимации от роста приближаемой функции вблизи ее особенностей. '

Получены оценки скорости убывания наилучших рациональных аппроксимаций для голоморфной" в кр^ге функции конечного порядка и типа по диагональной последователъности'таблицы Уолша.

Получены оценки скорости убывания наилучших рациональных аппроксимаций для голоморфной в круге функции конечного порядка по лучевой последовательности таблицы Уолша.

-. Рассмотрен порядок'для функций голоморфных в многосвязной: области и уточнены оценки скорости убывания наилучших рациональных аппроксимаций для голоморфной в многосвязной области функций конечного порядка.'; • - " : '■>'-'■• '•'•'••">' ' ' • ' '

Найдено асимптотическое распределение 'нулей многочленов ортогональных относительно соболевского скалярного произведения с переменным весом. ■ • • :

Определена скорость убывания нормы, порожденной этим скалярным произведением, при п -* ос. Получена скорость убывания чебышевской нормы с переменным весом хт" от ортгопального многочлена степени п .

Практическая (экономическая, социальная) значимость полученных результатов. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты и методы имеют непосредственные приложения к различным вопросам теории приближения аналитических функций многочленами и рациональными функциями. Результаты диссертации могут найти применение в задачах математической, физики для решения которых используются наилучшие рациональные аппроксимации. Экономическую значимость результатов диссертации оценить в настоящее время не представляется возможным.

Основные положения диссертации выносимые на защиту. На

защиту выносится следующее:

• Показано, что наилучшие рациональные аппроксимации голоморфной в круге функции убывают не медленнее геометрической прогрессии, причем если функция имеет конечный порядок в круге голоморфности, то знаменатель этой. прогрессии явно вычисляется и зависит не; только от расположения множества особенностей аппроксимируемой функции, но и от порядка функции в этом круге.

• Доказан аналог гипотезы Гончара для голоморфных в круге функций конечного порядка в случае диагональной последовательности таблицы Уолша.

• Найдена оценка скорости убывания чисел диагональной последовательности таблицы Уолша если приближаемая функция голоморфна в круге и имеет там конечный порядок и тип. Эта оценка учитывает более тонкую характеристику роста максимума модуля функции вблизи особенности, т.е. тин.

• Исследована скорость убывания лучевой последовательности таблицы Уолша для голоморфной в круге функции в зависимости от по. рядка аппроксимируемой функции. . '

• Доказан аналог гипотезы Гончара* для .тучевой последовательности таблицы Уолша, если аппроксимируемая функция голоморфна в круге и имеет там конечный порядок.

Полученные результаты относятся к прямым задачам теории рациональной аппроксимации и позволяют судить не только о скорости

убывания наилучших рациональных приближений, но и об ускорении этого убывания. Ускорение и будет зависеть от порядка и типа приближаемой функции.

• Изучены некоторые асимптотические свойства ортогональных многочленов Соболева. Доказано, что эти ортогональные многочлены имеют те же асимптотические свойства, что и многочлены, решающие взвешенную экстремальную задачу Чебышева. Меры ассоциированные с нулями соболевских ортогональных многочленов сходятся в* - слабой топологии к мере, распределенной на отрезке [А;, 1], к > 0. Введенная норма от соответствующего ортогонального многочлена убывает с той же .скоростью, что и взвешенная чебышевская норма от этого многочлена.

Решенная задача тесньтм образом связана как с теорией рациональных аппроксимаций, так и с задачей о равновесии заряда, в проводнике, помещенном во внешнее поле.

Личный вклад соискателя. Диссертационная работа является самостоятельным научным исследованием. Все "основные результаты, приведенные в ней, получены автором лично. Результаты, приведенные в работах с В.А. Прохоровым, -получены в равном соавторстве.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на Минском городском семинаре по краевым задачам и сингулярным интегральным ¡уравнениям при БГУ/(руководитель'■—"проф. Э.И. Зверович), на Международном конгрессе математиков 1СМ'98 (Берлин, 18 - 27 августа 1998 г.) на Международной научной конференции "Разробка1 та' застосування натемат'шшйх методов у науково- техшчных дослщжаннях" (Львов, 8 -10 октября*1998 г.), на Международной конференции " Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования."., посвященной 75 - летию члена - корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, (Москва, 1998 г.), на конференции "Еругинские^чтения IV" (Витебск 20 - 22 мая, 1997 г.), на междунаррдной конференции "Краевые задачи специальные функции дробное исчисление", посвященная 90- летию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова, (Минск, 16- 20. февраля 1996 г.), на республиканской научной конференции посвященной ¿5-летию факультета прикладной математики и информатики БГУ, (Минск, 10- 14 апреля, 1995 г.).

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в научных журналах, ! статья в трудах конференции,

7 тезисов докладов выступлений на конференциях, 1 доклад на Международном конгрессе. Обшее количесво опубликованных материалов 33 страницы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников (90 наименований), полный объём диссертации 82 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников.

Первая глава является очерком основных этапов по проблеме изучения скорости рациональной аппроксимации и ортогональным многочленам относительно скалярного произведения, содержащего производную. В ней сделан обзор литературы и выбрана методика исследования. Эта же глава содержит формулировки всех основных результатов, а также основные определения.

Рассмотрим функцию / голоморфную в области С \ F, где F — компакт расширенной комплексной плоскости. Для любых неотрицательных целых пит обозначим класс всех рациональных функций с комплексными коэффициентами порядка (п, т):

= {г : г = p/q, degр < п, deg q < m, q ф 0}.

Расстояние от функции / до класса %п>т в равномерной метрике на компакте Е, где Е П F = 0, обозначим через pnja:

Рп,т = Pn,m(f, Е) = inf II/ - г||в,

Г£Кп,т

где || • ||jr; есть равномерная норма на Е.

Предположим, что Е — {z : |г| < 1}, F — {z : |л| > р > 1}, а Dp = С \ F. Иные случаи будут специально оговариваться.

Определение 1 Порядком функции f в области Dp назовем величину а — cr(f), определяемую равенством

a(f) = limsupln+ln+max|/(z)|/ln(l/0> - г)).

Р Ы=Г

0<T<i>

Определение 2 Пусть / имеет конечный порядок а в области Dp. Ее типом назовем число г = т(/), определяемое формулой

r(f) = limsup(p-r)<Tln+max|/(z)|.

r—P Z =Г

a<r<p

В главе 2 представлены известные факты, относящиеся к теории операторов Ганкеля, такие как: пространство Харди, классы Смирнова, сингулярные числа, теорема Адамяна - Арова - Крейна, обобщенная теорема Адамяна - Арова - Крейна. Согласно этим темам глава делится на четыре раздела и в целом носит вспомогательный характер.

Главы 3 и 4 настоящей диссертации посвящены анализу скорости убывания лучевой последовательности {р„1т(„)}^о, т(п)/п —> в G (0,1] когда п —» оо; таблицы Уолша {/>n,m}m п=о наилучших рациональных аппроксимаций голоморфных функций конечного порядка. Доказательство полученных результатов основано на методах теории операторов Ганке-ля.

Мы предполагаем, что

m = т(п) = [вп\, (1)

где 0 < 0 < 1, а [ • j - целая часть числа.

Во-первых, рассмотрим результаты относящиеся к случаю, когда то =

п.

Известно, что если / голоморфна на Dp, р > 1, то верно соотношение:

limsup < 1 (2)

n—*оо '

Заметим, что это неравенство нельзя улучшить в классе всех функций, голоморфных на Dp.

A.A. Гончар в 1982 году предположил, что она также имеет оценку

liminfр\[; < 1 /р\ (з)

О.Г. Парфенов (1986 г.) применял методы теории операторов Ганкеля и теорему Адамяна - Арова - Крейна, чтобы доказать гипотезу Гончара для случая, когда Е является единичным кругом. В своих работах в 1993 году В.А. Прохоров обобщил теорему Адамяна - Арова - Крейна и доказал гипотезу Гончара в общем случае. Отметим, что оценки (2) и (3) следуют из неравенства

limsup^i.t/^'' -Pn,n)ynl < 1 /р

п—*ос

Основные результаты диссертации суть результаты, уточняющие неравенства (2), (3) и (4) для аналитических функций конечного порядка и типа в смысле определений 1 и 2.

Анализ скорости убывания произведения • • • зп сингулярных чисел оператора Ганкеля А/, построенного по аппроксимируемой функции / , позволяет нам доказать теорему, в которой характеризуется скорость сходимости к нулю произведения />о,оРи • • ■ рп,п, в зависимости от порядка функции /.

Теорема 1.1 Пусть / голоморфна па Ир,р > 1 и пусть а > 0 — порядок функции / в области Вр. Тогда

(5)

п—оо 1п п СГ + 1

Отметим некоторые следствия. Согласно неравенствам рп п < рп-\,п-\ < ■ ■ • < Ро,о : получим следующую верхнюю оценку.

Следствие 1.2 Пусть / удовлетворяет условию теоремы 1.1. Тогда

^ (б)

оо 1пп а +1

Ф Г • ,1п+1п+(Яп,п/") 1еорема 1.1 дает также нам верхнюю оценку пппш —-~-.

Следствие 1.3 Имеет место соотношение

(7)

1ип ~~ а +1

Теорема 1.4 Пусть / является голоморфной в круге Ор функцией, имеющей конечный порядок а > 0, а также тип т > 0. Тогда

\*=1 / 4 ;

(8)

Доказательства этих оценок представлены в разделе 3.2 главы 3. Результаты (5), (6) и (7) будут справедливы и тогда, когда компакты Е и Г имеют более общий вид. В этом случае полагаем

1

р ехр

где С(Е,Г) —емкость конденсатора (Е,Р). Сформулируем соответствующее утверждение.

Теорема 1.5 Предположим Е,Г (ЕПГ — %) — компакты в С с границами дЕ и дГ С С такие, что диаметры их связных компанент ограничены снизу положительной константой. Функция / голоморфна в области С\Г и имеет в этой области порядок а. Тогда справедливо соотношение

1пп УП+1Д+ • еХР (П(П + ^^ < 1 + - Л., (9)

п-*оо 1x1 п а+1

Отметим, что в этой ситуации потребуется более общее определение порядка функции / в области , которое будет дано в разделе 3.4 главы 3 (доказательство теоремы 1.5 см. там же). Используемые при доказательстве результаты теории операторов Ганкеля отражены в разделе 3.1, а теории потенциала — в разделе 3.3.

Теперь рассмотрим случай, когда последовательность т(п) удовлетворяет условиям (1)иО<0<1.

Приведем известный результат, принадлежащий В,А. Прохорову и Е.Б. Саффу (1998 г.), касающийся скорости сходимости к нулю произведения Пь^ Рп-к,т{п)-к ■ Пусть / голоморфна на Пр,р> 1. Тогда

1ш18ир(/)„1т(„)р„_11го(„)_1 ■ • • ргг_т(п),о)1/г'т(") < (Ю)

Следующая теорема уточняет неравенство (10) для голоморфных в круге функций конечного порядка а.

Теорема 1.6 Пусть f голоморфна на Dp,p > 1, и пусть а > 0 — порядок функциии f в области Dp. Тогда

lim сир • • ■ pn-m{n]fip'i(m{n)+l)) ^ х | ff (п)

n->oo Inn v + l

Поскольку />„,„(„) < 1,т(„)_1 <" < Рп-т(п),0 , ТО ИЗ (11) НеТруДНО показать следующее.

Следствие 1.7 Допустим, что выполнены условия теоремы 1.6. Тогда

1ш15ирЬ+1п>'^<^-. (12)

П-.00 In П CT + 1

Следствие 1.8 Пусть f голоморфна на Dp,p > 1, и пусть а > 0 — порядок функциии f в области Dp. Тогда

lim (13)

Inn ~ <Т + 1

Доказательства теоремы 1.6 и следствия 1.8 представлены в главе 4 разделах 4.2 и 4.3 соответственно. Используемая при доказательстве теория потенциала дана в разделе 4.1, а теория операторов Ганкеля в разделе 2.4 главы 2.

В главе 5 изложен материал, касающийся асимптотических свойств многочленов Р„(х) = хп + ..., п — 0,1,... удовлетворяющих равенствам

£ Рп{х)х>х2т<ч1х + £ Р^х^Ух"2™"йх = 0, ] = 0,1,..., п - 1, (14)

где {тп}5£_0 — неубывающая последовательность натуральных чисел, таких, что

ТП

= (15)

Введем обозначения. Пусть

dp* =

(1 - 9)vx\

х -в2

dx, (16)

1-х

4 9Й 7

w = ln_ + _b—, где в = \/(\ +1). (17)

Обозначим:

Т„ = Ц1 \Pn(z)\2x^dx + JQl \P'(x)\2x^dxy2 ,

|| ■ ||д — sup - норма на отрезке Д = [0,1]. Далее, пусть

(18)

п (

где С пробегает нули полинома Рп . — мера Дирака в точке С • Сформулируем основную теорему этой главы.

Теорема 1.9 Для многочленов Рп, удовлетворяющих (Ц), справедливы следующие утверждения:

1. Меры ii{Pn) слабо сходятся к мере р* при п—* со,

2. limn_oo г1/™ = е~и,

3. linw, Ijx^Pjf- е-».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этом разделе мы приведем все результаты, содержащиеся в диссертации и дадим краткий комментарий к ним.

Запишем следствия 1.2 а 1.3 в более наглядной асимптотической форме и сравним их с ранее полученными результатами других авторов. Из соотношения (6) получим асимптотическую оценку

< Чп > щ, Ча' > а, (19)

и сравним ее с результатом О.Г. Парфенова, 1986 г.:

рЦ:<\ Уп > щ, (20)

Формула (7) даст нам неравенство

рЦп < п е А С М, V« > пи Ма> > а, (21)

и

которое можно сравнить с результатом В.А. Прохорова, 1993 г.

р]!; < ~ П 6 А С К, Уп > пь (22)

Г

Как видно, оценки (19) и (21) содержат множитель еп , зависящий от порядка функции /. Этот множитель стремится к 1 при п —► ос. Если перейти к пределу в этих неравенствах, то мы увидим, что (19) и (20) дают оценку (2), а неравенства (21) и (22) дают (3).

Тем самым показано, что результаты (19), (21) уточняют оценки (20), (22) для голоморфных в круге функций, имеющих конечный порядок. Теорема 1.1 и следствия 1.2, 1.3 опубликованы в работах [2] и [3]. Еще более тонкая характеристика — тип функции — позволяет нам уточнить оценку О.Г. Парфенова.

Оценка в заключении теоремы 1.4 (опублик. в работе [3]) означает следующее:

р1п{п < ^ ехр (о-г+т + |, Уп > пг, Уг' > г. (23)

Соотношение (9) перепишем подобным же образом:

рЦ; < ехр ^^ V« > пз, Уст' > а, (24)

и сравним с результатом В.А. Прохорова (1993 г.)

р1п(: < ехр , Уп > щ. (25)

Доказательство гипотезы Гончара в случае, когда /, Е, Г удовлетворяют условиям теоремы 1.5 дословно повторяет доказательство следствия 1.3. Поэтому мы можем написать следующее асимптотическое неравенство:

рЦ; < ехр ^ ^ е"'7*1, п е Л! с К, Уп > тг4, М > а. (26)

и сравнить его с аналогичным неравенством, доказанным в работе В.А. Прохорова (1993 г.).

< ехр ' " € Л1 С N. Уп > щ. (27)

Как и ранее, заключения следствий 1.7 и 1.8 перепишем в более наглядной форме. Имеем:

Уп > ид, Уст' > а, (28)

< , « € М С К, Уп > щ, Уа' > а. (29)

Эти результаты (теорема 1.6 и следствия 1.7. 1.8) опубликованы в работах [10], [12]. Сравним их с результатами В.А. Прохорова и Е.Б. Саффа (1998 г.):

р1!1 < V« > п5, (30)

Рп,п < п € Л2 С N. Уп > п„. (31)

Таким образом, можно сделать вывод, что в главах 2, 3, 4 данной диссертации уточняются оценки скорости убывания наилучших рациональных приближений рпп и рп<т ( т удовлетворяет условию (1)), когда приближаемая функция голоморфна в круге и имеет в этом круге конечный порядок и тип. Кроме того, уточняются оценки р„,п в случае, когда аппроксимируемая функция голоморфна в многосвязной области и имеет в этой области конечный порядок.

Теорема 1.9 опубликована в работе [1]). Этот результат означает, что ортогональные многочлены относительно скалярного произведения, содержащего вес х2т" и первую производную, имеют те же асимптотические свойства, что и многочлены решающие взвешенные экстремальные задачи Чебышева.

Как видно из доказательства, сей неочевидный результат получается благодаря тому, что вес х2т" исчезает в нуле. Данная задача тесным образом связана с задачей теории потенциала о равновесном распределении единичного заряда на проводнике [0,1] с учетом внешнего поля, порожденного зарядом величины Л > 0, помещенного в точку 0.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА

1. Радыно А.Я. Асимптотическое поведение ортогональных многочленов соответствующих скалярному произведению Соболева// Доклады Академии наук Беларуси. — 1997. —- Т. 41, N 4. — С. 23 -29.

2. Радыно А.Я. Исследование скорости рациональной аппроксимации некоторого класса аналитических функций// Математичш методи та ф1з1ко-мехашчш поля. — 1997. — Т. 40, N 4. — С. 32 - 39.

3. Радыно А.Я. Зависимость скорости рациональной аппроксимации от порядка и типа функции// Весщ Акадэмн навук Беларусь -— 1998. — N 13. — С. 36 - 41.

4. Радыно А.Я. Скорость приближения аналитической в круге функции// Труды Международной конференции, посвященной 75-летию члена-корреспондента РАН профессора Л.Д. Кудрявцева: Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования. — 1998. — Т. 1. — С. 130 - 135.

5. Прохоров В.А., Радыно А.Я. Об аппроксимации рациональными функциями// Материалы Международной конференции посвященной 25-летию Гомельского госуниверситета имени Ф. Скарыны: тезисы докладов, Гомель, 1994 г./ Гомельский госуниверситет. — Гомель, 199.4. — с. 158

6. Прохоров В.А., Радыно А.Я. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций// Понтрягинские чтения -V: тезисы докладов научной конференции, Воронеж, 25 - 29 апреля 1994 г. / Воронеж, гос. университет. — Воронеж, 1994. — с. 122.

7. Радыно А.Я. Об асимптотическом поведении нулей ортогональных многочленов// Республиканская научная конференция посвяхценпая 25-летию ФПМ ВГУ: тезисы докладов научной конференции, Минск, 10 - 14 апреля 1995 г./ Белгосуниверситет. — Минск, 1995. — С. 79.

8. Радыно А.Я. О нулях ортогональных многочленов соответствующих скалярному произведению Соболева// Международная конференция "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление " посвященная 90-летию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова: тезисы докладов конференции, Минск, 16 - 20 февраля 1996 г./ Белгосуниверситет. — Минск, 1996. — С. 77.

9. Прохоров В.А. , Радыно А.Я. Скорость приближения аналитической в круге функции// Еругинские чтения - IV: тезисы докладов конференции, Витебск, 20 - 22 мая 1997 г./ Витебский гос. университет. — Витебск, 1997. — С. 126 - 127. ...

10. Радыно А.Я. Скорость приближения аналитической в круге функции// Международная конференция "Функциональные пространства.

.Дифференциальные операторы. Проблемы математического обра: зования." посвященной 75-летию члена-корреспондента РАН, цро-

■ " фессора Л.Д. Кудрявцева: тезисы докладов конференции,'Москва, 1998 г./ Российский университет дружбы народов: — Москва, 1998.

• — С. 53. - ! ' ;

11. Radyno A.Ya. The degree of rational approximation of a holomorphic function// International congress of nxathematicians'98: abstract of short communications and poster sessions, Berlin, August 18 -27,1998./ Tech.

. Universitat Berlin. — Berlin, 1998. —- P. 149 - 150. . ,,

12. Радино А.Я. Ощнка гцвидкосп спадання найкращдх ращональних наблажень голоморфной у Kpysi функцп с конченного порядку// Мик-народна пауков а конферешця " Разробка та эастосування математич-них метоД1в у науково-техщчних досладжаннях": Льв1в, 8 - 10 жо-втня 1998 р./ BicTHiK державного ушверситету Льв1вска пол1техшка прикладна математика. —1998. — Т 337. — С. 55 - 56.

РЭЗЮМЭ

Радына Аляксандр Якаулев1ч

Некаторыя ацэнш хуткасщ рацыянальнага наблгжэння анал1тычных

функций

Ключавыя словы: найлешпае рацыянальнае набл1жэнне, дыягапаль-ная послядоунасць таблщы Уолша, прамянёвая послядоунасць таблицы Уолша, парадах, тыл, шнгулярныя лщ, аператар Ганкеля, артаганаль-ныя мнагасклады, скалярны здабытак Собалева, зменныя вагавыя функ-цш.

Работа прысвечала даследванню хуткасщ збежнасш найлешпых рацы-янальных набл1жэняяу галаморфнай у крузе альбо у мнагазвязньш абся-гу функцьп. Разглядаюцца парадах i тьш галаморфнай у крузе функцьп, парадак функцьп галаморфнай у мнагазвязным абсягу.

Зроблена ацэнка хуткасщ спадання найлешпых рацыянальных набл1ж-энняу (па дыяганалз таблицы Уолша) функцьп галаморфнай у крузе праз парадак i тьш гэтай фунвдш. Ацэнена хуткасць спадання найлешпых рацыянальных набл1жэнняу (па прамянёвай паслядоунасщ таблщы Уолша) .функцьп галаморфнай у крузе праз парадак функцьп. Атрымана ацэнка хуткасщ спадання найлешпых рацыянальных наб.пжэнняу (па дыяганал1 таблщы Уолша) функцьп галаморфнай у мнагазвязным абсягу цераз парадак гэтай функцы1. Удакладнена гшотэза A.A. Ганчара для дыяганальнай i прамянёвай паслядоунасцяу таблщы Уолша, кал1 набщжаемая функцыя галаморфна у крузе i мае там канечны парадак.

Праведзена даследванне аамптатычных паводзш артаганальных мна-гаскладау, яия адпавядаюць скалярнаму здабытку Собалева са зменньпп вагавьаи функциям!.- • -■'-'• -

Вышю працы могуць выкарыстоувацца у задачах матэматычнай ф131ю, дзеля развязку каторых патрэбны найлепшыя рацыянальныя наЕшжэн-ki. .Выти, адносна'артаганальных мнагаскладау, мажл1ва будуць ка-рысным! * у аяаллзе спектральных метадау для раунанняу у частковых вытворных. ... ,

РЕЗЮМЕ

Радыно Александр Яковлевич

Некоторые оценки скорости рациональной аппроксимации аналитических функций . . •

Ключевые слова: наилучшая рациональная аппроксимация, диагональная последовательность таблицы Уолша, лучевая последовательность таблицы Уолша, порядок, тип, сингулярные числа, оператор Ган-хеля, ортогональные многочлены, скалярное произведение Соболева, переменные весовые функции. '

Работа посвящена исследованию скорости сходимости наилучшей рациональной аппроксимации к голоморфной в круге или в многосвязной области функции. Рассматривается порядок и тип голоморфной в круге функции, порядок функции голоморфной в многосвязной области.

Оценивается скорость убывания наилучшей рациональной аппроксимации (по диагонали таблицы Уолша) голоморфной в круге функции через порядок и тип этой функции. Оценена скорость убывания наилучших рациональных аппроксимаций (по лучевой последовательности таблицы Уолша) голоморфной в круге функции через порядок функции. Получена оценка скорости убывания наилучшей рациональной аппроксимации (по диагонали таблицы Уолша) функции голоморфной в многосвязной области через порядок этой функции. Уточнена гипотеза A.A. Гончара для диагональной и лучевой последовательностей таблицы Уолша, когда аппроксимируемая функция голоморфна в круге и имеет там конечный порядок. - " ■ - ' :

Проведено исследование асимптотического поведения ортогональных многочленов, соответствующих скалярному произведению Соболева с переменными весовыми функциями. -

Результаты могут быть использованы в задачах математической физики, для решения которых применяются наилучшие рациональные аппроксимации. Результаты, относящиеся к ортогональным многочленам, могут быть полезными в анализе спектральных методов для уравнений в частных производных.

RESUME

Radyno Alexander Yakovlevich

Some estimates of the rate of a rational approximation of analitic functions

Key words: best ratioinal approximation, diagonal sequence of the Walsh array, ray sequence of the Walsh array, order, type, singular numbers, Hankel operator, orthogonal polynomials, Sobolev inner product, varying weights.

.The work is devoted to the rate of the convergence of the best rational approximation of a function to be analitic in the disk or N-connected domain. The order and the type of a function which is holomorphic in the disk and the order of a function which is holomorphic in the N -connected domain are considered.

Let an approximated function be a holomorphic function in the disk.

We estimate the rate of decrease of the best rational approximation of the function with respect to the diagonal of the Walsh array with aid of the order and the type of the function.

Suppose an approximated function is a holomorphic in the N - connected domain. The rate of decrease of the best rational approximation of the function with respect to the ray sequence of Walsh array with aid of the order is estimated. The estimate of the rate of decrease of the best rational approximation of the function with respect to the diagonal of Walsh array is obtained and containes the order of the function. Gonchar conjecture for diagonal and ray sequences of Walsh array when the approximated function is a hplomorphic in the disk and has a finite order is made more presice.

Asimptotic behaviour of the orthogonal polynomials with respect to the Sobolev inner product with varying weights is investigated.

Results of the work may be used to,solve problems of the mathematical physics which are require applying the best uniform rational approximation.

Results, refering to the orthogonal polinomials may be useful in analysis of spectral methods for partial differential equations.