Линейные представления свободных групп и групп автоморфизиков свободных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

СГ:

сг

»- Институт математики Национальной академии наук Беларуси

=С

УДК 512.54

СО счл

Матейко Олег Михайлович

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СВОБОДНЫХ ГРУПП И ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНЫХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ . диссертация иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1997

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Тавгень О.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Скиба 'А.Н.

кандидат физико-математических наук-, ■ доцент Милованов II.В.

Оппонирующая организация -Институт информационных технологий и прикладной математики СО РАН

Защита состоится /$ декабря 1997 года В 13 часов на заседании совета по защитам диссертаций Д 01.02.01 при Институте математики НАЛ Беларуси (220072, г. Минск, ул. Сурганова,' 11, кон-ференц-эал).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики.

Автореферат разослан ноября 1997 г.

Ученый секретарь совета, кандидат физико-математических наук у^/С^ Беняш-Кривец В.В.

ОБЩ/»Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Линейные представления данной группы являются важным инструментом для изучения свойств этой группы. Особый интерес вызывает случай, когда группа имеет точное представление . В последнее десятилетие решены некоторые известные классические задачи, связанные с существованием точных конечномерных линейных представлений определенных групп. Форманек и Прочези 1' доказали, что группы автоморфизмов свободных групп ранга пгЗ нелинейны. Лонг и Патон г) установили, что представление Бурау для групп кос Вп, паб не является точным.

Естественным образом возникает вопрос о линейности групп 'автоморфизмов свободных групп конечного ранга произвольного многообразия ЗИ, ответ на который содержится в данной работе. Кроме того, представляет интерес классификация всех линейных представлений группы автоморфизмов свободной группы ранга 2, для которой пока открыт вопрос о ее линейности.

Многие вопросы теории групп приводят к необходимости устанс*1-вить является ли данная линейная группа свободным произведением циклических групп и, в частности, свободной. Так открытые вопросы о линейности группы А2 и точности представления Бурау группы кос В4 сводятся к задаче такого рода. Рядом авторов исследовался вопрос, когда два параболических дробно-линейных преобразования порождают свободную группу. Пужицки 3) получил необходимые и достаточные условия при которых подгруппа, порожденная в группе РЭ^СИ) двумя элементами А и В, является дискретным свободным произведением циклических подгрупп <А> и <В>. Однако существует необходимость в подобного рода условиях и для два-порожденных подгрупп линейных групп над полем С.

В диссертации получены достаточные условия, при которых элементы групп РБ^СС) и БЬ3(С) порождают свободное произведение, циклических групп. Эти результаты применяются при определении

Procasl C The lutoaorpht an group or i fp»e group 1» not 1Inaar // J. Algebra. - 1992. Vol. 149, N 2. - P. 494-499. ..

D.D., Paton M. Tha Bur«« rapraaanta11 on la not faithful for n*6 // Topology. - 1993. Vol: 32. - P. 439-447.

3 i 1 •

Purxltaky H. Two generator dlsorata fraa product« // Math. Z. -1972. Vol. 126. - P. 209-223.

образов линейных представлений группы А2 и исследовании групп с одним соотношением.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация .выполнена в рамках темы "Многообразия представлений конечно-порожденных групп, комбинаторное строение арифметических и проконечных групп. Группы Брауэра алгебраических многообразий и их использование в алгебраической геометрии и теории чисел" отдела алгебры и теории чисел Института математики АНБ, входившей в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных математических структур" за 1995 год; а также в рамках темы "Линейные и топологические группы и связанные с ними ассоциативные системы" кафедры высшей алгебры БГУ, . входящей в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных математических структур", рассчитакнуи па 1996-2000 годы.

Цель работы состоит в получении достаточных условий, при которых элементы групп РЗЬ2(С) и БЬд(С) порождают свободное произведение циклических групп, применении этих результатов к классификации линейных представлений степени 2 и 3 группы А2, а также в доказательстве критерия линейности групп автоморфизмов относительно свободных групп.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем: -

получены достаточные условия, при которых элементы групп РБЦСс; и БЬдСс) порождают свободное произведение циклических .групп;

доказан критерий линейности групп автоморфизмов относительно свободных групп;

классифицированы линейные представления степени 2 и 3 над полем С группы автоморфизмов свободной группы ранга 2 г

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применений з теории линейных групп, при исследовании свойств групп автоморфизмов свободных групп, в теории представлений групп.

Оснопние положения диссертации, выносимые ча защиту.

, • 1 Точные представления свободного произведения п (пь2) циклических групп в группу РБЬ2(С) и достаточнее условия,- при кото; ых два-порожденкая подгруппа <А,Б> этой группы изоморфна свободному произведении <А>*<В>.

2. Критерий лииейности групп автоморфизмов относительно :вободных групп;

3. Классификация линейных представлений степени 2 и 3 над юлем С группы автоморфизмов свободной группы ранга 2.

Личный вклад соискателя. Результаты работ, опубликованных с мучным руководителем, получены совместно.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации слагались на совместном заседании американского и израильского штэматических обществ (Иерусалим, 24-26 мая 1995 г.), на конференции '"г"0 European congress of mathematics" (Будапешт, 22-26 нзля, 1996 Г.), на Республиканской научно-методической конферен-{ИИ, посвященной 25-летию ФПМИ БГУ (г. Минск, 10-14 апреля . 1995 )', на международной конференции "Алгебра и математическая ки-¡ернетика", посвященной 80-лет..ю со дня рождения академика Д.А. :упруненко (г. Минск, ноябрь 1995г.), VII Республиканской конфе-)енции математиков Беларуси (г. Минск, 1996 г.), на международной сонференции по теории групп, посвященной памяти С.Н. [ерникова- (г.Пермь, сентябрь 1997 г.).

Опубликованносгь результатов. По теме диссертации опублико-¡ано 7 печатных работ. Из них 3 является тезисами докладов на гатематических конференциях, 1 - депонированная научная работа.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из переч-. ¡я условных обозначений, введения, общей характеристики работы, рех глав, выводов и списка используемых источников, включающего' 8 наименований. Общий объем.диссертации составляет 64 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Во введении дана краткая характеристика того направления исследований, к которому относится настоящая работа.

В первой главе дается обзор литературы по теме диссертации, а также приводятся необходимые в дальнейшем сведения из некоторых разделов теории групп.

В разделе 1.1 рассматриваются работы, касающиеся линейных представлений свободных групп и групп автоморфизмов свободных групп, отмечаются задачи, которые остались неразрешенными в этой литературе и решению которых посвящена диссертация.

Раздел 1.2 состоит из трех подразделов, в которых приводится ряд определений и фактов, используемых в последующих главах.

Б подразделе 1.2.1 приводятся необходимые сведения о группе РБЬ^СО, а также некоторые методы исследования вопроса о том, какие, элементы этой \группы порождают свободное произведение. В частности, доказывается усиленный вариант теоремы Макбета, с помощью которой получаются все основные результаты главы 2. При ее применении используются свойства изометрических окружностей, которые также указаны в этом подразделе.

В подразделе 1.2.2 приводятся некоторые .сведения о много, образиях групп, которые затем используются в третьей главе при доказательстве критерия линейности групп автоморфизмов относительно свободных групп. Для доказательства основной части этого критерия используется метод алгебраических групп. Поэтому в подразделе 1.2.3 приводятся необходимые определения и факты из теории алгебраических групп.

Вторая глава посвящена изучению представлений свободных групп конечного ранга в группы РЗЬ2(С) и БЬ^С). Основное внимание.уделяется исследованию того факта, когда образ такого представления является свободным произведением циклических подгрупп. Е этой главе получен ряд достаточных условий, при которых два элементе А,В«РЭ!^(С), порождают подгруппу изоморфную свободному произведенис <А>"<В>. Эти условия формулируются в терминах " следсв матрац А,В и АВ.

. /' Пусть г .¿¡¡^(СМРЗХ^СС) — канонический гомоморфизм с ядром

(¿Е^ ?. Группа РЯЬ2(С) ..состоит из пар {А,-А), где Ае31-2(С) . Будем

записывать эг.еиенти гпуппы РЗЬ0(С> в виде 2x2 матриц, подразуме-

а

рая, что матрица А определяет класс [Л.-Л}. Группа РЗЬ„(С) 1.зо-

морфна группе всех дробно-линейных преобразований расширенной комплексной плоскости. След матрицы А ( ЪгА ) будем называть также следом дробно-линейного преобразования.

Пусть Г2=<х,у> - свободная группа ранга два. Представление ц: Р2->РЗЬ2(С) будем называть неприводимым, если группа

—1 —1 <х и(х),т ц(у)> - неприводима.

В разделе 2.1 описаны с точностью до эквивалентности все неприводимые представления д: ^-»РЭ^СС). Пусть

<3-

О 1 -1 X

V

о -р 1/р Л,

'элементы группы РБ^СС), где А^.А^реС, р*О. Обозначии через

Ьг—(А2+/ А^-4 Л^-4 )), Ь2—(А2-/Л|-4 ))/(Л1+/А^-4 ) ),

Ь-Чх^Ь^.Ь^Ца^СхЫо.л)}.

Определим множество Р следующим образом: -

1) Если х1А2=0, то

Р=С г>1, 4«[0;п)Ме^| 06[О;п/2]})\Ь.

2).Если А1А2#0, то .

Предложение 2.1. Пусть ц: Р2-*Р812(С) - неприводимое представление, такое что 1г(д(х)-\1, Ьгд(у)-А2. Тогда с точностью до эквивалентности м(у)-Кр. где реР.

Рассмотрим два-порожденную подгруппу <А,В> группы Р31-2(С). Если она приводима, то она является матабелевой. Если <А,В> - неприводима , то согласно результатам раздела 1.2 она сопряжена в

РБЬ_(С) к подгруппе <Ч,Н„>, для некоторого реС. В разделе 2.2 ис-л р

следуется структура группы бр-<Ч,Вр>, где реС, р*0, А^К, 1-1,2, А^г или А1-2со8п/р, р»2 и А2в2 или А2-2со8П/д, 4*2, т.е. каждый из образующих элементов А и В является параболическим, гиперболическим или эллиптическим преобразованием со следом 2созя/п,

п*2. В частности, исследуется при каких значениях ре С группа изоморфна своСодному произведении <0>*<К^>.

Теорема 2.1. Пусть рей, р>О и р*1, если Л1-Х2-0. Тогда

Если то на действительной оси указаны все промежут-

ки, где *<Кр>, а также все промежутки, где точки, соответ-

ствующие числам р для которых (5р*<ц> * <Нр>, являются всюду плотными. Если X4' то поназако как находить эти промежутки. Затем на всей комплексной плоскости выделяртся области, где

вр«<д>-<кр>.

Теорема 2.3. Пусть р»О, реБ, где БЧреС |

Г|р|гЪ.Ъ9 /—р

1 * , 'где Ц-(А.+/4+\?)/2, А—1,2 },

|Р!= ^ Ь 1 1 1

если *1+А2*0 и 3-{реС| |р|*1], если Тогда Ор<*<£}>" <Г$р>.

Отсюда можно получить следующие достаточные условия," при которых два-порожденная подгруппа <А,В> группы РЗЬ^СО, изоморфна свободному произведению <А>*<В>.

Следствие 2.3. Пусть А,ВеРЗЬ2(С), ^(А)-*^, Ъг(В)-Х2, где . А^Я, или А^-гсозл/п (пь2), х-1,2, А^+А^О и пусть выпол-

няется одно из следующих условий:

1) |гг(А"1В)|ьг1Ь2+(Ъ1Ъ2)~1, где 1-1,2.

2) - алгебраические числа и ЪгСА^В) - трансцендентное число.

Тогда <А,В>»<А>*<В> .

Теорема 2.3 утверждает, что вне и на границе круга с центром

в точке 0 и радиусом расположены точки, для которых

* '^р* • ® последующих теоремах этого раздела расширяется

множество таких точек. Так, например,' если А^-0, А2-1 то( как

следует из теоремы 2.5, они расположены вне и на границе области,

которая пресекает действительную ось в точках ±1 и- мнимую ось в

точках ±(>'5+1)1/2. Тан как ЭиС,та к ним относятся также точ-

Р 1'Р

ки, расположенные симметрично данным относительно единичкой окружности.

Теорема 2.5. Пусть р- Не1». где

R * (sin* +/l+4sin20)//l-t-3.>?in2^, фе[о;п/2), .

И Aj-O, Ag-l. ТогДа Gp"Z2'Z3-

Если р - корень из единицы, то G^«<Q> • <Rp>. однако, при определенных условиях можно установить изоморфизм G^ с некоторой известной группой.

. Теорема 2.6. 1) Пусть p-e±irr/'n', га>1, либо р- корень уравнения р + р-1 - -2cosn/m - Aj^Ag, если Тогда группа изоморфна группе Г, имеющей представление <а,Ь;а^-Ьч-(аЬ)я-1>, где р-О, если , р- порядок Q, если А^<2 и q-О, если A2i2, q-порядок , если А2<2.

2) Пусть p-e1"(^'r/m, где т>1, п- нечетно. Тогда, если A^t2, А2*2, •A2-A1-±4cos(ir/ni)cos(n/'p), для некоторого р»2, то Gp«Z В частности, если Ag-Aj, то Gp"Z2*Zm" Если же ||*4cosn/tn, то

р ш •

Интерес к изучению свободных подгрупп в линейных группах стимулируется и известной альтернативой Титса. Бахмут, Мочизуки 4> и другие авторы рассматривали свободные подгруппы ранга 3 в группе SL2(C). Продолжая эту тему, в разделе 2.3 мы рассматриваем свободные произведения n (nt2) циклических подгрупп в группе PSLa(C).

Пусть GC«1(...,«n) - группа, которую порождают n (п*2) дробно-линейных преобразований следующего вида

l(ek-e~,)-la«k

С*1«*

k-l,n-l, Ajj—

«>

••oKauth 8., Xochlxukl И - Trlplx оГ 3X2 »»trio»» »hl с h gantrat» Гга» groupa // Prot. A»»г. Math. Soo. - 197«. Vol. S9, II t. - P. 2S-3B.

{(1-Ю/2, если к- нечетно ¿.п/ш

к/2, если к - четно • V0 • тк*2 или «к-1 •

Если п=3, гк=1, к=1,3, то она совпадает с группой, которую рассматривали Бахмут и Иочизуки.

Тгорема 2.7. Пусть выполняется одно из следующих условий:

1) [ак|г:4, к=1,п-1, |ап|ьп, если П - нечетно и |ап(г:П-1, если п - четно.

■ 2) | а^ | г=4, к-1,л-1, и «п не находится внутри ни одного

из кругов, с центрами в точках О,±1, . . . ,±(п-2) и радиусами 1. Тогда

Б(«1.....V" Лг^»-

Для случая п=2 можно установить также -следующий результат:

■Сп/т

Теорема 2.8. Пусть 5к=е к, ткь2' или 5]£ь1> к=1,2,

|а1й2|й:2|52|(|а1|-+1). Тогда <А1 ,А2>'»<А1> *<А2> .

Как следствие георемы 2.8, в этом разделе установлен еще ряд достаточных условий, при которых подгруппа <А,В>сРБЬ2(С), изоморфна свободному произведению <А>'<В>.

Следствие 2.5. Пусть А.ВеРЙГ^СО, ЬгА^, ^В=Х2 и

.выполняется одно из следующих условий:

1) А^гсойл/п, п*2, Х2-=2соЕп/га, Х^Х^ХЭ и

^г(АВ) - 2сог(7г/п + л/т)|г4;

2) Х1-2созгг/п, ги2 или Х^-2, Х2=2 И

¡Ъг(АВ) - Х1|г4;

3) Х1-2созп/п, п*2, Х2>2 И

*^г(АВ> - Сл2созп/п +^Л2-4 б1пгг/п)| г: 2Сх2 +

4) Х^З, Аг>2 и |Ъг(АВ) - Х2|е 2(Х2 Л2~4);

5) Х1>2, Х„>2 и

|tr(AB) - 0,5(Х1Л2 + )|

= О,5(Л„ +

A2~4 )(A1

Тогда <А,В>«»<А> * <В>.

В качестве применения теоремы 2.7 в этом разделе приводится доказательство теоремы о свободе для произведения ' циклических групп с одним.соотношением, установленной Файком, Хови и Розен-бергером 51, а также обобщение результата Ри и Мендельсона 6' о том, что в два-порожденной группе с одним соотношением <а,Ь; Т1т(а,Ь)-1> элементы а, Ь^ порождают свободную группу для достаточно больших ^ на случай групп с одним соотношением И произвольным конечным 'числом образующих.

В разделе 2.4 устанавливается вложение Рй1,2(С>*о13(С) откуда, используя результаты предшествующих разделов этой главы получены трехмерные представления группы Рассмотрены также некоторые точные трехмерные представления модулярной группы. Их изучение стимулируется известным открытым вопросом о точности представления Бурау группы кос В^.

Лемма 2.7. Рассмотрим отображение^ (р:Ы^СЮ-гё^СС) , которое определяется следующим образом:

если g«GL2(C), g-^® то (p(g)-

fa2 b2 2ab

с2 d2 2cd ас bd ad+bc

(1)

Тогда p - гомоморфизм с ядром f ±E2 J. Пусть

V/3

1 a 0 -1 0 0

/3 0 -1

B-

0 0 1 10 0 0 10

51rin® B., Howl« J•, Roaenberger G. On«-r«lAtor quotients and free product or eyollda // Proc. Aaer. Math. Soc, - 1988. Vol. 102. - P. 249-254.

6 * Re* R., Mendelsohn N.S. Free subgroups of groups with single defining relation /✓ Art. Math. - 1968. Vol. 19, M 6. P.S77-S80.

Теорема 2.10. Пусть выполняется одно из следующих условий:

1) aelR£3u{zeC/ |zjt4]uT, где Т - множество трансцендентных чисел и

2) одно из чисел а или ß трансцендентно, а второе алгебраическое из множества Rt3u{zeC/ |z|*4),

3) « и р - алгебраически независимые числа над Z. Тогда <Ав10.В>-12'13.

В третьей главе диссертации доказан критерий линейности групп автоморфизмов относительно свободных групп и классифицированы (с точностью до эквивалентности) все неразложимые линейные представления степени 2 и 3 группы автоморфизмов свободной группы ранга 2 над полем С.

Из результатов Верфрица 71 следует, что если относительно свободная группа Fn(®) является почти нильпотентной, то группа

AutFn(ffl) - линейна. Ночизуки а) отметил, что открыт вопрос о линейности группы автоморфизмов свободной.метабелевой группы конечного ранга.

В разделе 3.1 сформулирован и доказан критерий, который дает ответ на вопрос о линейности группы автоморфизмов свободной группы произвольного многообразия Я, не совпадающего с многообразием всех групп.

Пусть Я - многообразие всех нильпотентных групп класса с (eel), и- многообразие всех абелевых групп, 11^- многообразие всех абелевых групп экспоненты к>1, £ю~ многообразие всех локально конечных; групп экспоненты в, » - многообразие всех групп.

Теорема 3.1. Пусть Fn(K)- свободная группа ранга п*2 многообразия ГО* 2,

1. Если Я/Itcuen. то AutPn(B) нелинейна.

•ñ !

UthrfrllB В.A.F. On the hol OAOrphs of lolubU groupa йГ finite rank // 3. Pura Appt. Algebra. - 1974. Vol. 4, Ы 1. - P. SS-6V. В )

Mochlxukl H. AutoBorph1ава ОГ eolvable groupa, part XX // London Math. Soe. Lectura Mota Sar. - 1985. Vol. 121. - P. 16-29.

2. Пусть Я1слсигт и ни для какого к>1. Тогда группа АиЬГ^СИ) линейна.

3. Пусть Я1£Ясигт и Ц^исзл, к>1. Тогда Аи1Гп(Я0 нелинейна.

В частности, группы АиЪГп(ЯсИ) и АиЪГп(1Ш) - нелинейны.

Доказательство теоремы 3.1 в основном сводится к доказательству нелинейности групп АиЪГп(ЯО, если РП(Я1) почти разрешимая группа, не являющаяся почти нильпотентной. Идеи, с помощью которых осуществляется это доказательство имеют более широкий характер и распространяются на общий случай расширений разрешимых групп. Это позволило нам сформулировать в этой же разделе критерий линейности расширений разрешимых линейных групп. Используя его, можно усилить результат о нелинейности группы АШ;Г (1Ш).

Следствие 3.3. Существует полупрямое произведение РП(1Ш)А2, которое нелинейно. " (

С учетом теоремы 3.1 и результата Форманека и Прочези о нелинейности групп автоморфизмов Ап свободных групп ранга п, при п*3, из всех групп А1^ГП(1Я), лишь для группы А2 остается открытым вопрос о ее линейности. Мы рассматриваем более общую задачу классификации всех линейных представлений группы А2. В разделах 3.2 и 3.3 классифицированы все неразложимые представления у.Л2-*СЬп(С) , где п-2,3. В частности, мы также рассматриваем представления V, где 1>(12)-1 (12 - подгруппа внутренних автоморфизмов А^), т.е., V факторизуется через натуральный гомоморфизм А2 А2/12«0Ь2(2).

Отметим, что Джокович и Платонов 91 недавно классифицировали все неразложимые представления V группы А2 над алгебраически замкнутым полем К степени п*4, такие что у(12)*1. В нашем же случае, основное внимание уделяется классификации представлений группы А2/12"(И2(г).

Для п-2 и п-3, в случае 1>(12)-1, существует однопараметри-ческое семейство неприводимых неэквивалентных представлений группы вЬ^Т) и. мы указываем множество значений параметра для которых эти представления являются точными. Также указаны образы некоторых неточных представлений.

с

оГ АиКГ ) М «п и ■ о г 1 р 1.« о.1.К.>»«Ч, с» . - 1996. Уо1.в9. - Р. *7Ь-

Чтобы получить все представления группы вИ^С*) мы используем результаты главы 2 о линейных представлениях модулярной группы 22*23. Известно, что фактор-группа по центру подгруппы индекса 2 группы вЬ2(2) изоморфна группе 22*1д. Используя этот факт, мы строим однопараметрическое семейство представлений группы СЬ2(2). Они являются точными для тех же значений параметра, что и представления группы

1 2 3.

В терминах образующих и определяющих соотношений группа А2 имеет следующее представление :

<и,сг,Р;' а2-Р2-(<гР)4-(РстРи)2-(иР(т)3-(и<!г)2(1ги)~2-1>.

Из этих определяющих соотношений группы А2 следует, что если V:А2-+£Ьп(С) некоторое линейное представление, то мы можем построить новые представления:

и-»с1у(и), О-^С2У(<Г), РчСдиСР), (2)

где с(-±1 И с1с2сз"1•

Следуя работе Джоковича и Платонова ".будем говорить, что представление V группы А2 слабо эквивалентно представлению V, если V' эквивалентно одному из представлений (2) или его дуальному представлению. Для удобства мы будем обозначать одним и тем же символом элемент группы А2 и его гомоморфный образ.

Пусть й-СЬ^Х)", 01-ЗЬ2(1)а^лг2«<и,о-; и12-а2-(и<т)2-1>-Р12,

а2-<и,р-,и2-р2-(ир)6-1>«06, где. 0П - группа диэдра порядка п.

Несложно показать, что для каждого представления V:А2-»СЬ2(С) мы

будем иметь у(12)-1, т.е. все двумерные представления группы А2 факторизуются через гомоморфизм А2 -» й-

Теорема 3.3. С точностью до эквивалентности группа в имеет следующие неразложимые представления v:G-♦GL2(C).

1) 5 неприводимых представлений, которые факторизуются через

гомоморфизм Сг-Л. , где образующие представляются матрицами

' \ х

.где и-е^гг/6, к-1,5. Здесь v(&) - группы диэдра п-12,6,4,3. 2) 2 неприводимых представления, которые факторизуются через

гомоморфизм G-*G2, где образующие y(G) представляются матрицами:

"1л

О w и1 О

, «Г-±Б2,

-де v*=ein/3, 1-1,2. Здесь i>(G)<*D6 и i^CO-Dg.

3) однопцраметрнческое семейство неприводимых представле-шй, при которых:

Сз)

■де f2=l/(p2+l/p2-l), g=f(l /р -р), peR=fpeC, p-re^ | r>0, ?Se(Q;n)

[ rsl если ф=0 или ф-п, p*atrr/6 ,p*e'L57T/6} .

Множество значений параметра peR при которых представления ¡ида (3) являются точными представлениями группы G указаны в еоремах 2.3 ( при Х2~1) и 2.5. Они являются точными такие

;ля всех трансцендентных чисел р. Алгебраические числа р для ко-орых они являются точными, плотни на комплексной плоскости.

Все неразложимые представления i>:G->GLg(C) факторизуются че-ез гомоморфизм G->PGL2(Z). Трехмерное однопараметрическое семей-тво неприводимых представлений группы G получается из двумерного помощью гомоморфизма p:GL2(C)-»GL3(C) вида (1). Кроме того, с очностыэ до слабой эквивалентности существует еще 2 приводимых редставления. В первом из них оСразом группы SLgCZ) является

р' з f.

реугольная группа Г-<а,b; а -b =(ab) =1>, а во втором - сбобщен-

2 3 ' 3

ая треугольная группа Г= <а,Ь; а —b =[а,Ы =1> . .

Если v(I2)#l, то о точностью до слабой эквивалентности су-ествует только одно трехмерное представление образом которого вляется бесконечная группа. В этом случае ,

(A2)=«(ZxZ)Ä.GL2(Z) . Кроме этого, существует еще 2 представления, це y(I2)=<Z2xZ2, 1»(А2)«(2,,х22)Л0^ - конечная группа порядка 48.

вывода

В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Описаны с точностью до эквивалентности все неприводимые представления ц: Г2-»Р31-2(С). При фиксированных значениях Ьгц(х) и Ъгд(у) получается однопараметрическое семейство представлений. Найдены значения параметра, при которых образы этих представлений являются свободным произведением двух циклических групп, в случае^ когда Ъгр(х)Лгц(у)еЯ.

2. Найдены достаточные условия, при которых два-порожденная подгруппа <А,В> группы РБЬ^С). где ЪгА., ЪгВ«1», изоморфна свободному произведении <А>* <В>. Эти условия формулируются в терминах

следов матриц А,В и АВ.

3. Указаны точные представления свободного произведения п (п*2) циклических групп в группу РЗЬ2(С) и свободного произведения двух циклических групп в группу 5Ц(С). Эти результаты могут применяться при исследовании произведений циклических групп с одним соотношением.

4. Доказан критерий линейности групп автоморфизмов относительно свободных групп. Группа АиЪГп(»), где многообразие в не совпадает с многообразием всех групп, линейна тогда и только тогда, когда группа ГП(Я) является почти нильпотентной

5. Классифицированы все неразложимые линейные- представления степени п«3 над полем С группы А2. Все двумерные представления факториэуются черва натуральный гомоморфизм А2 А^Г^ЦС!). Для группы И.2(*> существует однопараметрическое семейство неэквивалентных неприводимых двумерных и трехмерных представлений. Указаны образы этих представлений при некоторых значениях параметра. Если и(12)*1, где у:А2-ЛЬ3(С). то у(А2)«(1х1)ЛС1.2(1) либо »СА2)-(*а«Ха>ХП6.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Матейко О.М. Критерий линейности расширений разрешимых линейных групп // Материалы республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летио факультета прикладной математики и информатики. Тез. докл. конф. - Минск, 1995, ч.И. - с. 129.-

2. Матейко О.М. Линейные двумерные представления свободного произведения двух конечных циклических групп // VII Белорусская математическая конференция. Тез. докл. конф. - Минск, 1996, ч.П. - с. 70.

3. Матзйко О.М. Линейные двумерные представления свободного произведения двух конечных циклических групп У/ Весц1 АН Беларуси. Сер. фгз.-мат. навук. - 1997, N 1. - с. -46-49.

4. Матейко О.М. О некоторых два-порожденных подгруппах группы РБЬ^С) / Ред. журн. "Известия АН Беларуси. Сер. физ. - мат. каук". - Минск, 1997. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.97, II 1908 - В97.

5. Матейко О.М. Комплексные двумерные представления свободной группы ранга 2 // Международная конференция по теории групп, посвященная памяти'С.Н. Черникова. Тез. докл. конф. - Пермь, 1997, - с. 41.

5, Матейко О.Ц., Тавгень О.И. Линейность групп автоморфизмов от-юсительно свободных групп // Математические заметки. - 1995, Т. 58, N 3. - С. 465-467.

Г. Матейко О.М., Тавгень О.И. Линейные представления степени 2 и } группы автоморфизмов свободной группы ранга 2 // Доклады АН Зеларуси. - 1997, т. 41, N 3. - с. 5-9.

РЕЗЮ'ЛЕ Матейко Олег Михайлович Линейные представления свободных групп и групп автоморфизмов свободных групп

Ключевые .слова: линейная группа, линейные представления ма-шх степеней, группа автоморфизмов относительно свободной группы, :вободное произведение циклических групп.

В диссертации изучаются представления свободных групп коечного ранга и группы автоморфизмов А„ свободной группы ранга 2

степени 2 и 3 над полем С. Также исследуется вопрос о существовании точного конечномерного линейного представления групп автоморфизмов относительно свободных групп.

Получены следующие новые результаты.

1. Описаны с точностью до эквивалентности все неприводимые представления ц: Г2-»Р31,2(С).

Найдены достаточные условия, при которых два-порожденная подгруппа <А,В> группы РБЬ^(С), где ЬгА, ЬгВеК, изоморфна свободному произведению <А> * <В>.

I 3. Указаны точные представления свободного произведения п (пе2) циклических групп В группу РЗЬ2(С) и свободного произведения двух циклических групп в группу БЬ3(С). .

4. Доказан критерий линейности групп автоморфизмов относительно свободных групп.

5, Классифицированы все неразложимые линейные представления степени п*3 над полем С группы А2 и, в частности, группы СЬ^Сг).

Результаты, как показано в диссертации, могут применяться при- исследовании произведений циклических групп с одним соотношением, могут найти применение при исследовании свойств групп автоморфизмов свободных групп, в теории линейных групп.

В диссертации используются общие методы и результаты комбинаторной теории групп, теории линейных групп, используется действие элементов группы РЗ^(С) на расширенной комплексной плоскости ; при доказательстве критерии' линейности групп автоморфизмов относительно свободных групп используется метод алгебраических групп.

РЭЗЮМЭ Нацейка Алег Н1хайлав1ч Л1нейныя выяуленн! свабодных груп

1 груп аутамарф1змау свабодных груп

. ' '

■ ) Ключавыя еловы: линейная група, л!нейныя выяуленн! малых ступеняу, група аутамарф1змау адносна свабоднай групы, свабодны здабытак цыкл1чных груп.

У'дысертацы! вывучаюцца выяуленн1 свабодных груп канечнага рангу 1 групы аутамарф!змау А2 свабоднай групы рангу 2 ступен! 2

i 3 над полем С. Таксама даследуецца питание аб icHapaHHi даклад-нага канечнанернага л1нейнага выяулення груп аутамарф1змау аднос-на свабодных груп.

Атрыманы наступныя новыя вын!к1.

1. AnicaHbi з дакладнасцю да экв1валентнасц1 ycei непрывод-шя выяуленнг (i:Fg-»PSL2(C).

2. Знойдзены дастатковия умовы, прц nKix два-спароджаная гадгрупа <А,В> rpynu PSL2(C), дзе trA, trBeR, 1заморфна свабодна-гу здабытку <А>" <В>.

3. Вызначаны дакладния выяуленн! свабодкага здабытку п (пг=2) ыюичних груп у трупу PSL2(C) i свабоднага здабытку двух ыкл!чных груп у групу SL3(C).

4. Даказаны крытэрый Л1нейнасц1 груп аутамарфхзмау. адносна вабодных груп.

5. Праведзена клас1фа.кацкя ycix кераскладных л1нейных ■шуленняу ступен! п*3 над полем С групы А2 - i, У прыватнасц!, зупы GL2(Z).

Гэтыя BbiHiKi, як паказана у дысертацьи, могуць прымяняцца >ы даследаваннх здабытку цыклгчных груп э адным судачынейнем, >гуць знайсцх прымяненне при даследаванн1 уласц1васцяу груп ау-марф1дмау свабодных груп, у_тэорьй линейных груп.

У дысертацы! выкарыстоуваюцца агульныя метады i вын!К1 мб1наторнай тэоры! груп, rsopui лгнейных груп, выкарыстоуваёцца еянне элементау групы PSL2(C) на пашыранай камплекснай плоскас-

; пры доказе крытэрыя л1нейнасц! груп аутамарф1змау адносна абодных груп выкарыстоуваевда метад алгебраачных груп.

SUMMARY Matelko Oleg Michallovich Linear representations of the free groups and the automorphism groups of the free groups.

Key norda: tho linear, group, linear representation of low ree, the automorphism group of relatively free groupT'tlje free Juct of cyclic groups.

The representations of the free groups of finite rank and the. automorphism group Ag of the free group of rank 2 of degree 2 and 3 over field C are studied in the thesis. Also the problem of the existence of a finite-dimensional faithful linear representation of the automorphism groups of relatively free groups are inverstigated.

The following new results are obtained: ) ^ '

;1. Irreducible representations ix:f,2">PSIj2^C^ are desoribed UP to equivalence.

/ 2. The sufficient conditions for 2-generator subgroup <A,B> of the group PSL2(C), where trA; trBeIR, to be a free product <A>*<B> are obtained.

3. The faithful representations of the free product of n (na2) cyclic groups into the group PSL2(C) and two cyclic groups into the group SL3(C) are determinated.

4. The linearity criterion of the automorphism groups of relatively free groups is proved.

5. The indecomposable representations of degree n*3 of the groups A2 and GL2(Z) over field C are classified.

The general methods and results of the combinatorial group theory, theory of linear groups are used in the work. The action of elements of the group PSLgCO on the exended complex plain is used and the methods of algebraic groups is used for proving the linearity criterion of the autotaorjihism groups of relatively free groups.-

The results, as showed in' the work, may be applied for inverstigating the one-relator product of cyclics, it may be applied for inverstigating the automorphism groups of the free groups and in the theory of linear groups.