Линейные вложения графов в трехмерное евклидово пространство тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На нравах рукописи

Глушак Елена Николаевна

Линейные вложения графов в трехмерное евклидово пространство

01.01.04 — Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математический- наук

Санкт-Петербург

2008 г.

003456173

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии математико-механичес-кого факультета Санкт-Петербургского государственного университета Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Нежинский Владимир Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Панина Гаянэ Юрьевна (Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации Российской академии наук)

кандидат физико-математических наук Подкорытов Семен Сергеевич (Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук)

Ведущая организация: Коми научный центр

Уральского отделения Российской академии наук Защита состоится З-Ч 2008 года в и час. на заседании со-

вета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математи-ко-механический факультет, ауд. 405.

Защита будет проходить в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб.р.Фонтанки, д.27, ауд.311

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат разослан ^ ко^Ьрд 2008 г. Ученый секретарь .

диссертационного совета ШВ. М. Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы и цель работы. Теория вложений - одна из важных ветвей геометрической топологии. Фундаментальным разделом теории вложений является теория кусочно-линейных вложений конечных графов в трехмерное евклидово пространство. Разные части этого раздела развиты неодинаково. Например, часть теории, относящаяся к изучению кусочно-линейных вложений одного или нескольких попарно непересекающихся многоугольников с точностью до кусочно-линейной изотопии, (классическая теория узлов и зацеплений) разработана хорошо. Напротив, положение с изучением линейных вложений одного или нескольких многоугольников (с точностью до кусочно-линейной, а тем более до линейной изотопии) вряд ли следует считать удовлетворительным: методы разработаны слабо и, как следствием этого, в литературе имеются лишь разрозненные результаты. Работ, в которых изучаются линейные вложения графов, отличных от многоугольников, с точностью до кусочно-линейной и линейной изотопий, автору не известно. Актуальной поэтому является задача развития этих отстающих частей теории.

Главная цель работы - продвинуть, насколько окажется возможным, решение этой задачи.

Методы исследований. В работе применяются стандартные методы теории вложений и теории графов.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.

1. Расклассифицированы с точностью до линейной изотопии линейные вложения в М3 графов с числом вершин, не превосходящим пяти.

2. Построены таблицы попарно линейно неизотопных линейных вложений в Ж3 графов с шестью вершинами.

3. Получены оценки сверху и снизу на число (кусочно-)линейных изотопических классов линейных вложений графов в Ж3.

4. Определены и изучены зацепления выпуклых плоских заляшутых кривых с малым числом компонент.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории вложений графов в трехмерное евклидово пространство.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: на международных конференциях "Александровские чтения 2006"(Москва, 2006 г.), "Algebraic Topology: Old and New - M.M.Postnikov Memorial Conference" (Bedle-wo, Польша, 2007 г.), "The Algebra and Geometry around Knots and Braids" (Санкт-Петербург, 2007 г.); на Всероссийской научной конференции (Новгород, 2004 г.); в общегородском семинаре по дифференциальной и алгебраической топологии им. В.А.Рохлина ПОМИ РАН (2003-2008 гг.); в семинаре по геометрической топологии РГПУ им. А.И.Герцена (2003-2008 гг.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [17]. Работа [6] опубликована в издании, включенном в перечень ВАК на момент публикации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (разбитых на параграфы), приложения и списка литературы, содержащего 31 наименование. Объем диссертации - 132 страницы.

Главные результаты работы

Графом называется конечный полиэдр размерности, не превосходящей единицы. Топологическое вложение графа G в пространство R3 называется линейным, если оно линейно на каждом ребре графа. Два линейных вложения одного и того же графа в пространство R3 называются жестко изотопными, если они лежат в одной компоненте линейной связности пространства всех линейных вложений этого графа в Ж3.

Рис. 1: Образы линейных вложений полного графа с пятью вершинами

Пусть - граф. Подграф графа называется основным, если он не содержит вершин степеней нуль и один и является наибольшим (по включению) из таких подграфов. Граф называется основным, если он совпадает со своим основным подграфом.

1. Результаты, относящиеся к графам, основные подграфы которых имеют не более шести вершин

Для'графа (7 через п(С) мы будем обозначать число вершин его основного подграфа.

Теорема А. Пусть С - какой-нибудь граф.

1. Если п{С) ^ 4, то любые два линейных вложения графа О в пространство К3 жестко изотопны.

2. Если п((?) = 5 и основной подграф графа О не является полным, то любые два линейных вложения графа (7 в'пространство К3 жестко изотопны. Если п(С) = 5 и основной подграф является полным, то существует ровно два класса жестко изотопных линейных вложений графа О в пространство К3. Образы основного подграфа графа (? при вложениях, представляющих эти классы, изображены на рисунке 1.

Пусть пит- натуральные числа,..такие что т < п\ Диаграммой с п вершинами (и т сторонами) называется подмножество плоскости К2, являющееся объединением п находящихся в общем положении точек плоскости

{вершин) и тп попарно различных отрезков (сторон), концы каждого отрезка совпадают с выбранными точками. Диаграмма называется основной, если степень каждой его вершины больше единицы.

Ниже на рис. 2-4 изображены основные диаграммы с шестью вершинами. В символе первый индекс (д) обозначает количество ребер, второй индекс (И) - порядковый номер этой диаграммы в таблице.

Ясно, что любая диаграмма является диаграммой какого-то графа, что граф с точностью до линейного гомеоморфизма диаграммой определен однозначно и что если диаграмма - основная, то граф, диаграммой которого она является, - основной.

Лемма 1. Если граф с шестью вершинами является основным, то на рис. 2-4 имеется диаграмма, являющаяся диаграммой этого графа. Если два (основных) графа имеют диаграммы, изображенные на рис. 2-4, и эти диаграммы различны, то графы не являются линейно гомеоморфными.

Для любого графа С? через у(0) мы будем обозначать число классов жестко изотопных линейных вложений <7 —> М3.

Обозначим через графы, диаграммами которых являются диаграммы Ид^. В нижеследующей таблице в нечетных строках указаны графы в четных строках - соответствующие им натуральные числа то^дг.

Диаграммы с шестью ребрами

О 6,1 О б.г

Диаграммы с семью ребрами

07,4 07,5

Диаграммы с восемью ребрами

Рис. 2: Основные диаграммы с шестью вершинами

Диаграммы с девятью ребрами

Диаграммы с десятью ребрами

Рис. 3: Основные диаграммы с шестью вершинами (продолжение)

Диаграммы с десятью ребрами (окончание)

■но,9

Dm,™ D-to.li D10,12

Диаграммы с одиннадцатью ребрами

■'и.б Du g DI1i7 DU,S

Диафаммы с двенадцатью ребрами

Диаграммы с тринадцатью, четырнадцатью и пятнадцатью ребрами

°13,1 D13i2 Dl4,1 D-15,1

Рис. 4: Основные диаграммы с шестью вершинами (окончание)

Gq,N G7,l Gitz Grti | <?7,5 Ge,2 ^8,3

тя,к 3 : 5 5 1 - 1 3 1 7 5

Gq,N Gs,i GS,5 ^8,6 Ge,7 Ggfi ^8,9 ^8,10 <^8,11 Gg,l

Wqjf 9 1 5 3 1 5 1 9 1

Gqjf Ggt2 Gg,3 Gg,4 Ggfi G9J Gg,8 Gg,g Gg.io

5 1 3 13 13 11 9 7 5

Gq,N Ggtu G9,12 С^эдз ^9,15 Gio,i (no,2 <П0,3 <?10,4

9 25 5 1 9 5 21 J ^ 9 11

Gq,N Gio,5 Gio.e Gl0,7 GIO,8 Gl0,9 Gio,io Gio.n G 10,12 Gn,i

mq,N 1 21 17 15 11 25 17 9 9

Gq,N GH,2 Gn,3 Gll,5 £»11,6 Gll,7 Gll,8 Gl2,l Gl2,2

mq,N 17 29 19 25 41 33 25 41 25

Gq,N Gi2,3 Gl2,4 G\2,5 Gi3,i Gi3,2 Gi4,i Gl5,l

mq,N 28 57 65 74 97 148 260

Теорема А. 3. Пусть G - граф. Если основной подграф графа G линейно гомеоморфен графу Gqj? для некоторых чисел q и N, то v(G) ^ т5>дг.

В диссертации на стр. 118-128 (то есть в Приложении) для каждой пары чисел q и N изображены или описаны образы т5д линейных вложений GqtN .-* Ж3, не являющихся попарно жестко изотопными.

2. Результаты, относящиеся к произвольным графам

Перечислим сначала результаты работы, относящиеся к кусочно-линейно изотопической классификации линейных вложений графов в Ж3.

Пусть G - граф. Линейные вложения /, g : G —*■ Е3 называются кусочно* линейно изотопными, если существует, кусочно-линейный гомеоморфизм Ф : Ж3 х I R3 х I, такой что Ф(Ж3 х t) С Ж3 х 't для любого tel, Фо = id и $i(/(®)) = g(x) для любого х € G. Через A(G) мы будем обозначать число классов изотопных линейных вложений графа G в Ж3. Заметим, что, поскольку из линейной изотопии следует кусочно-линейная, A (G) < v{G).

Пусть Go - связный граф (возможно, пустой) и пусть Gi, G2 ■ • ■ j Gk ~ графы, содержащие граф Go в качестве подграфа. Если G; П Gj — Go при

1 ^ г < j s^ к, то объединение графов Gi, G2 ■ ■•,Gk мы будем, обозначать через Gi Vg0 Gi VGo... VGo Gk.

Лемма 2. i. Если Gi - подграф графа Gi, то \(Gi) ^ A(G2).

Пусть Go - связный граф, содержащий не более двух ребер, и пусть G\,Gi... ,Gk - графы, такие что GjflGj = Gq при г < j ^ к. Тогда A(Gi VGo G2 VGo ... VGo Gk) > Ilf=i 4Gi)- Если> свеРх того> гРаФ Go пуст и каждый граф Gi содержит нестягиваемую компоненту (т.е. основной подграф графа Gi не пуст), то A(Gi Vg0 G2 Vg0 • •. Vg„ Gk) >

3. Пусть Gi, G2..., Gk - графы, такие что Gi ПGj+i есть либо вершина, либо ребро каждого из графов Gi и Gi+i (при 1 ^ г < к). Если G,-flGy = 0 при j - г > 1, то A(GX U G2 U... U Gk) > П*=1 a(g0-

Для любых натуральных чисел тик обозначим через Ст)£ число если и нуль, если тп < к.

Лемма 3. Для любого графа Gen вершинами имеет место неравенство

Зп

A(GK2-63"£2fc-GC4ifc. i=0

Пусть /г, mi, тг, •.., Шк - натуральные числа; обозначим через G(m\, т2, ■ ■ ■ , тк) какой-нибудь граф, линейно гомеоморфный набору к непересекающихся циклов с mi, 7712 у... ,тк ребрами. Положим A(mi, гпг,..., т^) = A(G(mi,m2,... Далее, для любого натурального числа тп обозначим

через А(т) число классов изотопных линейных вложений G(m) —> R3, являющихся простыми узлами; ясно, что А(ш) < А(тп). Наконец, для любых натуральных чисел inj обозначим через dij число j-членных последовательностей целых чисел (ri, ..., fj), таких что |п| + |г2| + ... + [rj\ = i.

Лемма 4. 1. Если к = 1, то Х(т) = 1 для 3 ^ т < 5;

А (т) >

'\{2m~i + 2mil) при m = 0 (mod 4),

¿(2m-4 + 2^-1) прит- 1 (mod 4),

l(2m~4 + 2^ + 1) ' при т = 2 (mod 4),

i (2m-4 + 2Ета) npum = Z (mod 4)

. з

е остальных случаях.

. .Если к = 2, то

m

A(m1; m2) ^ max{3A(mi)A(77Z2) + 2А(ггц) ^Г^ А(тог — 2г + 1),

¿=2

min{mi— 2,mi—3}

3A(7ni)A(m2) + 2 A(mx - г + 1)А(т2 - г')}.

г=2

к^ 3, то

X (ть ...,тк)^ А (тх,..., mfc-x)-

, т ,

■ - l)A(mjt) + -2i + 1)J.

Заметим, что для конкретных графов эта лемма допускает усиление. Например, пусть Gk - граф, линейно гомеоморфный набору к непересекающихся циклов, каждый цикл состоит из трех ребер. Тогда: если к — 1, то X(Gk) = 1; если к = 2, то \{Gk) -- 3; если к = 3, то X(Gk) > 29; если к = 4, то A(Gfc) > 1017; если к ^ 5, то X(Gk) > ззэ'^~1)!! + (Согласно

лемме 4, имеем A (Gk) ^ (2fc — 1)!! для любого натурального числа к.)

Пусть к - натуральное число и G' - граф, который может быть получен из последовательности к циклов отождествлением для каждого натурального числа г < к циклов с номерами г и г + 1 вдоль простых путей. Обозначим через 1{ число ребер путей, по которым отождествляются циклы с номерами

i ni+1, и через m¡ число ребер i-oro цикла. Положим щ = mi — li,ri2 — т2 — k — h, ■ ■ ■ ,П{ =m¡-li-i — li,... ,n¡t_i = mk-\ — lk-2-h--L,nk = mk—h-1-

Лемма 5.

к к

А(С0 > щ) + ^(А^ +П2 + ...+ под + 1) - 1)-

!=1 р=2 "

р-1

• П + ■■■ + П[й] + 2) - 1) • (л(п^]+1 + ... + пк + 1) - 1) •

г—2 " "

Перечислим теперь результаты работы, относящиеся к жестко изотопической классификации линейных вложений графов в пространством3.

Теорема В. Для любого графа Осп вершинами имеет место неравенство

з п

к=О

Леммы 2, 4, 5 остаются верными, если в них символ А заменить символом V. Далее, следующая теорема следует из лемм 2, 4, 5 и неравенства А (б) ^ и{0).

Пусть к,т\,тп2,... ,тк- натуральные числа; мы полагаем 1/(7711, 7712,- .. ,ТПк) = 1/(0(7711, 7712,-. • ,ГПк)).

Теорема С. 1. Если к = 2, то

г(титг) > тахД - 2т'+т2~8 + 2т^3(2т2"5 + (~1)к+1)/27,

О

^ тт{тх-2,т2—3}

_ . 21711+т2-8 _ V*4* 2т1_1'~32т2~г~4*}-

3 9 ^

¿=2

если к > 2, то

/ о ь _ 1 1 \

2. Пусть граф С? содержит подграф, линейно гомеоморфный букету к

циклов с ГП1, Ш2, ■ ■ •, гп,к ребрами соответственно. Тогда „(<?) >

3. Пусть граф С - тот же, что и в лемме 5. Тогда

р=2

. П(2пт-+-"+п[г2 _ 1). -1)

¿=2

3. Зацепления выпуклых плоских кривых

Замкнутой кривой называется гладкое компактное связное одномерное подмногообразие пространства К3. Замкнутая кривая называется плоской, если она содержится в какой-нибудь плоскости пространства К3. Плоская замкнутая кривая называется выпуклой, если в плоскости, в которой она содержится, она ограничивает выпуклое множество.

Назовем ср-зацеплением с п компонентами любую тг-членную последовательность попарно непересекающихся выпуклых плоских замкнутых кривых в Ж3. Назовем ер-зацепления (1а, Ь2,..., Ьп) и (Ь[, Ь'2,..., Ь'п) ср-изотопны-ми, если существует гладкая изотопия : М3 —>■ М3 с £ 6 I, такая что Ио = гй, что /1х (Ь{) = Ц (с 1 < г ^ тг) и что для любого £ £ / и для любого 1 < г ^ п кривая /ц(£г) содержится в некоторой плоскости и ограничивает в ней выпуклое множество.

Пусть (¿1, ¿/2,.. •, Ьп) - ср-зацепление. Для натуральных чисел г ф не превосходящих числа п, выберем какие-нибудь ориентации подмногообразий Ь{ и Ь^ пространства Е3 и обозначим через ) (Ь\, Ь2, • ■ ■, Ьп) модуль их коэффициента зацепления. Нетрудно проверить, что число ¿2) • ■ •, Ьп)

не зависит от выбора ориентации подмногообразий Li и Lj, является ср-изотопическим инвариантом и может принимать только значения Out Для попарно различных натуральных чисел г, j, к, каждое из которых не превосходит числа п, выберем какие-нибудь ориентации компонент Li, Lj и Lk и определим два числа £(ijk)(Li, L2,..., Ln) и ft(ijk)(Li, ¿2, ■ • •, Ьп). Первое число - это произведение коэффициентов зацепления i-ой и j-ой, г-ой и кой, j-ой и А:-ой компонент зацепления. Второе число зададим правилом: если ¡j,(ij)(LuL2,...,Ln) = Д(г&)(Ьь1,2,---,£п) = ¡i(jk)(L1,L2,...,Ln) = 0, то jl(ijk)(Li, L2,..., Ln) есть абсолютная величина числа MiuiHopa/i(yfc) зацепления (Li, Lj, Lk)', если хотя бы одно из чисел jl(ij)(Li, L2, ■ ■., Ln), fi(ik)(Li, L2,..., Ln), ji(jk)(Li, ¿2, • • •, Ln) отлично от нуля, то мы полагаем jl{ijk)(Li, L2,..., Ln) = 0. Нетрудно проверить, что наши определения не зависят от выбора ориентации компонент зацепления, числа £(ijk)(Li, L2,... ,Ln) и fi(ijk)(Li, L2,..., Ln) являются ср-изотопическими инвариантами и принимают значения 0, ±1 и 0, 1 соответственно.

Теорема. 1. Пусть (L\, L2) и (L[, L2) - ср-зацепления. Они ср-изотопны тогда и только тогда, когда /¿(12)(Li, ¿2) = L'2).

2. Пусть (Li,L2,L3) и (L'i, L'2, L^) - ср-зацепления, такие что Д(123)(¿1, L2,L3) = p,(123)(L[,L'2,L'3) = 0. Они ср-изотопны тогда и только тогда, когда p,(ij)(Li, L2, L3) = ¡^{^{L'l, L'2, L'3) при 1 < i < j < 3 « £(123)(ii, L2, L3) = £(123)(Li, L'2, L'3). Любое ср-зацепление (Lb L2> ¿3) с 123) ф- 0 ср-изотопно кольцу Борромео (с какой-то нумерацией компонент).

3. Пусть (Li, L2l L3, Li) - ср-зацепление. Оно ср-изотопно тривиальному тогда и только тогда, когда p,(ij)(Li, L2, L3, L4) = 0 при 1 ^ г < j < 4 и fi(ijk)(Li, L2, L3, Li) = 0 при 1 < г < j < k < 4.

Следствие. Пусть (¿1,^2,^3,^4) - ориентированное (классическое) зацепление. Если оно изотопно какому-нибудь ер-зацеплению, то yiZ(1234)(ii, Z-2, Lz,Li) = 0, где Д(1234) - один из серии p-инвариантов, определенных Мил-нором.

Работы автора по теме диссертации

1. Е.Н.Глушак, Линейные вложения полных графов в трехмерное евклидово пространство, Сборник аннотаций работ по грантам Санкт-Петербургского конкурса 2003 г. для студентов, аспирантов и молодых специалистов, 2003 г., с.20.

2. Е.Н.Глушак, Линейные вложения полных графов с пятью вершинами, Материалы Всерос. науч.-метод. конф., Вел. Новгород, 2004 г., с.31-34.

3. Е.Н.Глушак, Оценки числа классов жестко изотопных полигональных узлов, Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006 г., с.24-25.

4. Е.Н.Глушак, Зацепления выпуклых плоских узлов, Тезисы докладов 7-й междунар. конф. по геометрии и топологии, Черкассы, 2007 г., с.12-13.

5. Е.Н.Глушак, Линейные вложения простых графов в R3, Зап. научн. сем. ПОМИ 353 (2008), 27-34 .

6. Е.Н.Глушак, Линейные вложения графов с шестью вершинами, Успехи математических наук 63:4(382) (2008), 177-178.

7. E.Glushak, Linear embeddings of graphs with six vertices mM3, Дифференциальные уравнения и топология: Междунар. конф., поев. 100-летию со дня рожд. Л.С.Понтрягина: Тезисы докладов, Москва, 2008 г., с. 437.

Подписано в печать 29.10.08. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100. Заказ № 61.

Типография Издательства СПбГУ. 190066, Санкт-Петербург, Средний пр., 41

1 Введение

1.1 Формулировка задачи и цель работы.

1.2 Исторический обзор.

1.2.1 Линейные вложения полных графов.

1.2.2 Линейные вложения циклов и наборов циклов ( полигональных узлов и зацеплений).

1.3 Главные результаты работы.

1.3.1 Результаты, относящиеся к графам с числом вершин. не превосходящим тести.

1.3.1.1 Линейные вложения графов не более чем с четырьмя вершинами.

1.3.1.2 Линейные вложения графов с пятью вершинами.

1.3.1.3 Диаграммы и графы.

1.3.1.4 Линейные вложения графов с шестью вершинами

1.3.2 Результаты, относящиеся к графам с произвольным числом вершин.

1.3.2.1 Подготовительный материал.

1.3.2.1.1 Инвариант Л: определение и свойства.

1.3.2.1.2 Оценка сверху числа Л (С).

1.3.2.1.3 Оценка снизу числа А (С).

1.3.2.2 Теоремы В и С.

1.3.2.2.1 Свойства инварианта р.

1.3.2.2.2 Оценка сверху числа и {Су).

1.3.2.2.3 Оценка снизу числа ^(С).

1.3.3 Добавление. Зацепления выпуклых плоских кривых

1.4 Расположение материала.

Глава 1. Доказательство теоремы А

2 Доказательство пункта 1 теоремы А

3 Доказательство пункта 2 теоремы А

4 Доказательство части б) пункта 3 теоремы А и следствия из нее

4.1 Доказательство для графа (?12,з

4.1.1 Предварительный материал. Инварианты жесткой изотопии.

4.1.2 Доказательство.

4.2 Доказательство для подграфов графа С^з.

4.3 Доказательство для графов, не рассмотренных в разделах

4.1 и 4.2.

4.3.1 Доказательство для графа (5x5,

4.3.2 Доказательство для графов, не рассмотренных выше

Глава 2. Доказательство результатов, сформулированных в подпункте 1.3.

5 Доказательство лемм и следствия из 1.3.2.

5.1 Доказательство леммы 1.

5.2 Доказательство леммы 3.

5.3 Доказательство леммы 4.

5.4 Доказательство следствия леммы

5.5 Доказательство леммы 5.

6 Доказательство замечания из 1.3.2.1.

7 Доказательство теоремы В

Глава 3. Доказательство результатов, сформулированных в подпункте 1.3.

8 Доказательство теоремы из 1.3.

9 Доказательство следствия из 1.3.

1.1 Формулировка задачи и цель работы

Графом называется конечный полиэдр размерности, не превосходящей единицы, т.е. подмножество евклидова пространства, наделенное конечной триангуляцией, все симплексы которой евклидовы.

Пусть С - граф. Топологическое вложение С —> К3 называется линейным, если оно линейно на каждом ребре (= одномерном симплексе) графа. Рассмотрим множество всех линейных вложений графа в пространство М3 и снабдим его компактно-открытой топологией; линейные вложения /, д : С —> М3 называются жестко изотопными, если они лежат в одной компоненте линейной связности этого пространства. Фундаментальной является следующая задача: для любого графа расклас-сифтцироватъ линейные вложения этого графа еМ3 с точностью до 'жесткой изотопии.

Главная цель этой работы - продвинуть, насколько окажется возможным, решение этой задачи.

1. C.C.Adams, B.M.Brennan, D.L.Greilsheimer, А.К.Woo, Stick numbers and composition of knots and links, J. Knot Theory Ramif. 6 (1997), 1ю.2, 149-161.2j J.A.Calvo, The embedding space of hexagonal knots, Topology and its Applications 112 (2001), 137-174.

2. J.A.Calvo, Geometric knot spaces and polygonal isotopy, J. Knot Theory Ramif. 10 (2001), 245-267.

3. J.A.Calvo, K.C.Millett, Minimal edge piecewise linear knots, Ideal Knots (A.Stasiak, V.Katrich, L.H.Kauffman, eds.), Series on Knots and Everything, vol. 19, World Scientific, Singapore (1999), 107-128.

4. J.H.Conway, C.McA.Gordon, Knots and links in spatial graphs. J. of Graph Theory 7 (1983), 445-553.

5. C.Ernst, D.W.Sumners, The growth of the number of prime knots, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 102 (1987), 303-315.

6. G.T.Jin, H.S.Kim, Polygonal knots, Jour. Korean Math. Soc. 30 (1993), 371-383.

7. G.T.Jin, Polygon indices and superbridge indices of torus knots and links, J. Knot Theory Ramif. 6 (1997), no.2, 281-289.

8. Y.Huh, C.B.Jeon, Knots and links in linear embeddings ofK§, J. Korean Math.Soc. 44 (2007), no.3, 661-671.

9. J.P.Levine, An approach to homotopy classification of links, Trans. Amer. Math. Soc. 306 (1988), 361-387.

10. C.McCabe, An upper bound on edge numbers of 2-bridgc knots and links, J. Knot Theory Ramif. 7 (1998), 797-805.

11. B.Mellor, P.Melvin, A geometric interpretation of Milnor's triple linking numbers, Algebraic & Geometric Topology 3 (2003), 557-568.

12. K.C.Millett, Monte Carlo explorations of polygonal knot spaces, Proceedings of the International Conference on Knot Theory and its Ramif., World Scientific Publishing Co., 2001.

13. J.Milnor, Link groups, Annals of Mathematics 59:2 (1954). 177-195.

14. J.Milnor, Isotopy of links, Algebraic geometry and topology, A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, Princeton, N. J. (1957), 280-306.

15. S.Negami, Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs, Trans. Amer. Math. Soc. 324 (1991), 527-541.

16. B.Podlesny, Minimal stick number for knots arid links, www.math.csusb.edu/reu/bpOl .pdf (2003).

17. J.L.Ramirez Alfonsin, Spatial Graphs and Oriented Matroids: the Trefoil, Discrete Comput. Geom. 22 (1999). 149-158.

18. R.Randell, Conformation spaces of molecular rings, Studies in Physical and Theoretical Chemistry 54 (1988), 141-156.

19. R.Randell, A molecular conformation space, Studies in Physical and Theoretical Chemistry 54 (1988), 125-140.

20. R.Randell, An elementary invariant of knots, J. Knot Theory Ramif. 3 (1994), 279-286.

21. E.J.Rawdon, R.G.Scharein, Upper bounds for equilateral stick numbers, In Physical Knots: Knotting, Linking, and Folding Geometric Objects in R3 (Las Vegas, NV, 2001). Amer.Math.Soc.Contemp.Math (2002), 55-75.

22. H.E.Warren, Lower bounds for approximation by nonlinear manidolds, Trans. Amer. Math. Soc. 133 (1968), 167-178.

23. Ф.Харари, Теория графов, УРСС, Москва, 2003 г., 296 с.

24. Е.Н.Глушак, Линейные вложения полных графов в трехмерное евклидово пространство, Сборник аннотаций работ по грантам Санкт-Петербургского конкурса 2003 г. для студентов, аспирантов и молодых специалистов, 2003 г., с.20.

25. Е.Н.Глушак, Линейные вложения полных графов с пятью вершинами, Материалы Всерос. науч.-метод. конф., Великий Новгород, 2004 г., с.31-34.

26. Е.Н.Глушак, Оцет :и числа классов жестко изотопных полигональных узлов, Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006 г., с.24-25.

27. Е.Н.Глунтак, Зацепления выпуклых плоских узлов, Тезисы докладов 7-й международной конференции по геометрии и топологии, Черкассы, 2007 г., с. 12-13.

28. Е.Н.Глушак, Линейные вложения простых графов в R3, Зап. научн. сем. ПОМИ 353 (2008), 27-34 .

29. Е.Н.Глушак, Линейные вложения графов с шестью вершинами, УМН 63:4(382) (2008), 177-178.

30. E.Glusliak, Linear embeddings of graphs with six vertices in R3, Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина:Тезисы докладов, Москва, 2008 г., с. 437.